Bat Phuong Trinh Chua Can

8/6/2019 Bat Phuong Trinh Chua Can

http://slidepdf.com/reader/full/bat-phuong-trinh-chua-can 1/41

79

VAÁN ÑEÀ 5

BAÁT PHÖÔNG TRÌNH COÙCHÖÙA CAÊN



80

Vaán ñeà 5

Baát phöông trình coù chöùa caên.

A. Toùm taét lyù thuyeátThöôøng ta gaëp moät trong caùc daïng sau :

1-\ ⎪⎩

⎪⎨⎧

≥<>

⇔<0ABA

0B

BA2 2-\

⎢⎢⎢

⎣

⎡

⎩⎨⎧

>≥

⎩⎨⎧

≥<

⇔>2

BA

0B

0A0B

BA

3-\ A2 ≥ B2 ⇔ (A + B ) ( A – B ) ≥ 0

4-\ ⎢⎢⎢

⎣

⎡

⎩⎨⎧

≥−<

⎩⎨⎧

≥≥

⇔≥

BA0A

BA0A

BA

5-\ Trong tröôøng hôïp gaëp nhieàu daáu caên ta ñaët ñieàu kieän caùc bieåuthöùc coù x ôû phiaù döôùi daáu caên , tìm ñieàu kieän chung , töø ñoù bieán ñoàitöông ñöông ñeå ñöa veà caùc daïng cô baûn treân .6-\ Baát phöông trình höõu tæ :Baát phöông trình höuõ tæ laø baát phöông trình ñöa ñöôïc veà daïng :

( )

( )

P x

Q x ≥ 0 ( ≤ 0 , > 0 , < 0) trong ñoù P(x), Q(x) laø caùc bieåu thöùc ñöa

ñöôïc veà daïng tích caùc tam thöùc hoaëc nhò thöùc. Nguyeân taéc giaûi :Caùch 1 :

-

Ñöa baát phöông trình veà moät trong caùc daïng neâu treân- Phaân tích P(x), Q(x) thaønh tích caùc tam thöùc hay nhò thöùc.- Laäp baûng xeùt daáu cuûa bieåu thöùc ôû VT.- Döïa vaøo baûng xeùt daáu ruùt ra taäp nghieämCaùch 2 :Ñaët aån phuï.



81

Ngoaøi ra chaén raèng ta seõ coøn gaëp nhieàu daïng khaùc ……Sau ñaây laø moät ví duï vaø moät soá baøi coù höôùng daãn giaûi……

B. VAØI VÍ DUÏ CÔ BAÛN VAØ CAÙC BAØI TAÄP COÙ HÖÔÙNG DAÃN GIAÛI Ñaàu tieân ta xem vaøi ví duï ñôn giaûn sau :Ví duï1 :

Giaûi caùc baát phöông trình sau :

a)3x

x2x1517 2

+−−

> 0 (1)

Ñieàu kieän : 17 – 15x – 2x2 ≥ 0 ⇔ 2

17− ≤ x ≤ 1 .

Sau ñoù chuù yù ñeán maãu coù ( x + 3) laø moät nhò thöùc baäc nhaát .

• Tröôøng hôïp 1:2

17− < x < 3− : baát phöông trình voâ nghieäm .

(vì töû soá > 0 coøn maãu soá < 0 ⇒ VT < 0 )• Tröôøng hôïp 2 : -3 ≤ x ≤ 1: (1) ⇔ 17 – 15x – 2x2 > 0

⇔ 2

17− < x < 1 (2)

Sau ñoù giao vôùi ñieàu kieän 3− ≤ x ≤ 1 ta ñöôïc 3− < x < 1 .

Vaäy taäp nghieäm cuûa baát phöông trình laø : S = ( 3− ; 1 )

b)x

x411 2−−< 3 ⇔

x

x3x411 2 −−−< 0

Tröôøng hôïp 1 :⎩⎨⎧

><−−−

0x0x3x411

2

)dk (

⇔ 1 – 3x < 2x41 −

⇔

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

⎩⎨⎧

−>−≥−

⎩⎨⎧

≥−

<−

22

2

)x31(x41

0x310x41

0x31

⇔

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

⎪⎩

⎪⎨⎧

+−>−

≤

⎪⎩

⎪⎨

⎧

≤≤−

>

22 x9x61x413

1x

21x

21

3

1x



82

⇔

⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

⎪⎩

⎪⎨⎧

<−

≤

≤<

0x6x133

1x

2

1x

3

1

2

⇔

⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

⎪⎩

⎪⎨

⎧

<<

≤

≤<

13

6x0

3

1x

2

1x

3

1

⇔ ⎢⎢⎢

⎣

⎡

≤<

≤<

3

1x0

2

1x

3

1

So vôùi ñieàu kieän ⇔ 0 < x ≤

2

1(1).


<>−−−

)dk (0x0x3x411 2

⇒ 1 – 3x > 2x41 −

⇔ ⎪⎩

⎪⎨⎧

−<−≥−

>−

22

2

)x31(x41

0x41

0x31

⇔

⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪

⎨

⎧

><

≤≤−

<

13

6vx0x

2

1x

2

13

1x

⇔ 0x2

1<≤− v

2

1x

13

6≤<

So vôùi ñieàu kieän ⇔ 0x21 <≤− v

21x

136 ≤< (2)

Hôïp (1) (2) ta ñöôïc nghieäm cuûa bpt laø :2

1x

2

1≤≤−

c) 2x2xx 22 +++ > 4 – 2x

⇔ 062x2x2x2x 22 >−+++++ (*)

Ñaët t = 2x2x 2 ++ ≥ 1 (1)

(*) ⇔ t2 + t – 6 > 0 ⇔ t < 3− v t > 2 (2)

(1) ∧ (2) ⇔ t > 2

Vaäy baát phöông trình ⇔ 2x2x 2 ++ > 2

⇔ x2 + 2x + 2 > 0 ⇔ x < 31 −− v x > 31 +−



83

d) 24 xx1 −− ≥ x – 1 ⇔

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

⎩⎨⎧

+−≥−−≥−

⎩⎨⎧

≥−−<−

1x2xxx1

01x

0xx1

01x

224

24

Tröôøng hôïp 1 :

Vôùi x < 1 vaø ≥−− 24 xx1 0 ⇔ 1xx 24 ≤−

x

2

(x

2

– 1) ñeå luoân coù nghóa laø x

2

– 1 ≥ 0 ⇔ x ≤ 1− v x ≥ 1 (*)Vôùi x ≤ 1− ⇔ x4 – x2 –1 ≤ 0 (1)Ñaët t = x 2 ( t ≥ 0)

(1) ⇔ t2 – t – 1 ≤ 0 ⇔ 2

51t

2

51 +≤≤

−

So vôùi ñieàu kieän ta ñöôïc : 0 ≤ t ≤ 2

51 + ⇒ x2

2

51 +− ≤ 0

⇔ 2

51x

2

51 +≤≤

+−

So vôùi ñieàu kieän coù nghóa ta ñöôïc : x φ∈ (a)

Tröôøng hôïp 2 :

Vôùi x ≥ 1thì 1 24 xx −− ≥ x2 – 2x + 1 ⇔ x2xxx 224 +−≤−

⇔ ⎪⎩

⎪⎨⎧

+−≤−≥−≥−

23424

24

2

x4x4xxx

0xx

0xx2

⇔

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

≤

−≤≤≤

4

5x

1x2x0

v 1x ≥ ⇔ 1≤ x ≤ 2 (b)

Hôïp (a) (b) , nghieäm baát phöông trình laø : 1 ≤ x ≤ 2

e) 4x4x 2 ++ < x + 2

Caùch 1 : 4x4x 2 ++ < x + 2

⇔ ⎪⎩

⎪⎨⎧

+<++≥++

>+

22

2

)2x(4x4x

04x4x

02x

⇔ ⎪⎩

⎪⎨⎧

<∈

−>

)voly(0x0R x

2x ⇔ x φ∈



84

Caùch 2: Döïa vaøo tính chaát cuûa giaù trò tuyeät ñoái.Ta coù : AA ≥ luoân ñuùng vôùi moïi A vaø AA < luoân sai vôùi moïi A .

Baát phöông trình ⇔ 2x2x +<+ (1) vaän duïng tính chaát treân

Vaäy (1) luoân sai R x ∈∀ do ñoù (1) coù S = φ .

Ví duï 2

a) Tìm mieàn xaùc ñònh cuûa haøm soá sau :6

y 5 x

x

= − −

Giaûi

1/ 6

y 5 xx

= − − ñöôïc xaùc ñònh khi :

26 x 5x 65 x 0 0

x xx 0 x 0

⎧⎧ − +− − ≥⎪ ⎪ ≤⇔⎨ ⎨⎪ ⎪≠ ≠⎩ ⎩

( ] [ )x 0

,0 2, 32 x 3

≠⎧⇔ ⇔ −∞ ∪ +⎨ ≤ ≤⎩

Vaäy, mieàn xaùc ñònh cuûa y laø [ ] ( )D 2,3 ,0= ∪ −∞

b) Giaûi baát phöông trình : x 3 2 x 8 7 x + ≥ − + −

Giaûi x 3 2 x 8 7 x + ≥ − + −

(1)Ñieàu kieän cuûa nghieäm: 4 x 7 (2)≤ ≤

(1) ( )( )x 3 2x 8 7 x 2 2x 8 7 x⇔ + ≥ − + − + − −

( )( ) 24 2 2x 8 7 x 4 (2x 8)(7 x) 2x 22x 60 0⇔ ≥ − − ⇔ ≥ − − ⇔ − + ≥

2x 11x 30 0⇔ − + ≥ x 5 x 6 (3)⇔ ≤ ∨ ≥

(2) vaø (3) cho [ ] [ ]x 4,5 6,7∈ ∪

Ví duï 3

Giaûi baát phöông trình : 21 x x 1 0− − + >

Töø ñoù suy ra baûng xeùt daáu cuûa : ( ) 2f x 1 x x 1= − − +

Giaûi

Ta coù : 21 x 1 x 0− − + > 22

1 x 0 x 1

1 x x 11 x x 1

− ≥⎧ ≤⎧⎪ ⎪⇔ ⇔⎨ ⎨− > +⎪− > +⎪ ⎩⎩

[ ]x 1

x 1,01 x 0

≤⎧⇔ ⇔ ∈ −⎨− ≤ ≤⎩



85

Vaäy : 21 x 1 x 0 1 x 0− − + > ⇔ − ≤ ≤

Töø ñoù suy ra Baûng xeùt daáu cuûa ( ) 2f x 1 x 1 x= − − +

Theo treân : ( ) 2f x 1 x 1 x 0 1 x 0= − − + > ⇔ − ≤ ≤ neân

( )f x 0 x < -1 x > 0< ⇔ ∨

Ví duï 4

Giaûi phöông trình : ( )2

x 2 x 1 x 1 x x x 0− − − − + − = Giaûi

1) 2x 2 x 1 (x 1) x x x 0− − − − + − =

⇔ ( )x 2 x 1 (x 1) x x x 1 0− − − − + − =

Ñaët :A x

B x 1

(A 0)

(B 0)

⎧ = ≥⎪⎨

= − ≥⎪⎩

Ta coù :2 2

2 2

A B 1

A 2B AB AB 0

(1)

(2)

⎧ − =⎪⎨

− − + =⎪⎩

Thay : 2 2A B 1= + vaøo (2), ta coù : 2B 1 2B AB(B 1) 0+ − − − =

B 1(B 1)(B 1 AB) 0

B 1 AB 0

=⎡⇔ − − − = ⇔ ⎢ − − =⎣

• B = 1 ta ñöôïc : x 1 1 x = 2− = ⇔

• 2 2 2

B 1 0B 1 AB (

(B 1) A B

− ≥⎧⎪− = ⇔ ⎨− =⎪⎩

vì A 0, B 0)≥ ≥

2 2 2 2

B 1

B 2B 1 (B 1)B B 12vì : A

≥⎧⎪⇔ ⎨− + = + = +⎪⎩

4

B 1

B 2B 1 0(*)

≥⎧⎪⇔ ⎨+ − =⎪⎩

Vì B 1≥ neân (*) voâ nghieäm neáuKeát luaän : Phöông trình ñaõ cho coù nghieäm duy nhaát x = 2



86

Ví duï 5

Giaûi baát phöông trình : 2 2(x 3) x 4 x 9− − ≤ −

GiaûiTaäp xaùc ñònh cuûa phöông trình laø : ( ] [ ); 2 2; −∞ − ∪ ∞

Ta coù : 2 2(x 3) x 4 x 9 (1) − − ≤ −

2(x 3) x 4 (x 3) 0 (2) ⎡ ⎤⇔ − − − + ≤⎢ ⎥

⎣ ⎦

Ñaët 2f (x) (x 3) x 4 (x 3) .⎡ ⎤= − − − +⎢ ⎥⎣ ⎦

Roõ raøng f xaùc ñònh vaø lieân tuïc treân ( ] [ ); 2 2; −∞ − ∪ + ∞

2

x 3f (x) 0

x 4 x 3 (3)

=⎡= ⇔ ⎢

⎢ − = +⎣

(3)2 2 13x 4 x 6x 9

x6x 3

⎧ − = + +⎪⇔ ⇔ = −⎨

≥ −⎪⎩

Toùm laïi, hai nghieäm cuûa f(x) = 0 laø x = 3 vaø x =13

6−

. f (4) 16 4 7 12 7 0= − − = − <

. f ( 3) 6 5 0− = − <

. f ( 2) 5 0− = >

. f (2) 5 0= >

x-∞ -

6

13-2 2 3 4 +∞

f(x) - 0 + | | + 0 -

Vaäy :Taäp nghieäm BPT laø13

x hay x 36

≤ − ≥

Ví duï 7

Giaûi baát phöông trình : 22x 6x 1 x 2 0− + − + >

Giaûi

Ñaët f(x) 22x 6x 1 x 2= − + − +

' 9 2 7.∆ = − = Roõ raøng f xaùc ñònh vaø lieân tuïc treân



87

3 7 3 7; ; .

2 2

⎛ ⎤ ⎡ ⎞− +−∞ ∪ +∞⎜ ⎟⎥ ⎢⎜ ⎟

⎝ ⎦ ⎣ ⎠Trong taäp xaùc ñònh, ta coù :

2f (x) 0 2x 6x 1 x 2 0= ⇔ − + − + =

22x 6x 1 x 2⇔ − + = − 2 2

2x 6x 1 x 4x 4x 3

x 2

⎧ − + = − +⎪⇔ ⇔ =⎨≥⎪⎩

x

-∞ 0

2

73 −

2

73 +3 4 +∞

f(x) + || || - 0 +

f (0) 0; f (4) 0.> > Ñaùp soá :3 7

x ; (3; )2

⎛ ⎞−∈ −∞ ∪ ∞⎜ ⎟⎜ ⎟

⎝ ⎠

Sau ñaây laø moât soá baøi taäp coù höôùng daãn giaûi :Baøi 0 (khôûi ñoäng )

Giaûi baát phöông trình:

a) 2x − < 4 – x

⇔ ⎪⎩⎪⎨

⎧

≥− +−<−

>−

02xxx8162x

0x42 ⇔

⎪⎩⎪⎨

⎧

≥ >+−

<

2x018x9x

4x2

⇔ ⎩⎨⎧

<<≤

3x4x2

v

6x > ⇔ 2 ≤ x < 3

b) x4x 2 − > x – 3

⇔

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

⎩⎨⎧

−>−≥−

⎩⎨⎧

≥−<−

22

2

)3x(x4x

03x

0x4x

03x

⇔ ⎢⎢⎢

⎣

⎡

⎩⎨⎧

>−≥

⎩⎨⎧

≤<

09x23x

0x3x

v 4x ≥ ⇔

⎢⎢⎢

⎣

⎡

⎪⎩

⎪⎨⎧

>

≥≤

2

9x

3x0x

⇔ ⎢⎢⎣

⎡

>

≤

29x

0x

⇔ x ≤ 0 v x > 2

9



88

c) 12xx 2 −+ ≤ 8 – x

⇔ ⎪⎩

⎪⎨⎧

≥−++−≤−+

≥−

012xx

xx166412xx

0x8

2

22 ⇔ ⎪⎩

⎪⎨

⎧

−≤

≤

≤

4x17

76x

8x

v

3x ≥

⇔ x ≤ 4− v 3 ≤ x ≤ 17

76⇔ x ≤ 4− v 3 ≤ x ≤

17

76

d) 8x7x 2 −− + 6 ≤ x

⇔ 8x7x 2 −− ≤ x – 6 ⇔ ⎪⎩

⎪⎨⎧

+−≤−−≥−−

≥−

36x12x8x7x

08x7x

06x

22

2

⇔

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

≤

−≤≥

5

44x

1x6x

v x ≥ 8 ⇔ 8 ≤ x ≤ 5

44

e) 2+ 10x3x 2 −− > x ⇔ 10x3x 2 −− > x – 2

⇔

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

⎩⎨⎧

+−>−−≥−

⎩⎨⎧ ≥−− <−

4x4x10x3x

02x

010x3x 02x

22

2

⇔ ⎢⎢⎢

⎣

⎡

⎩⎨⎧

>≥

⎩⎨⎧ −≤<

14x2x

2x 2x v

5x ≥ ⇔ ⎢⎣

⎡>

−≤14x

2x

Vaäy taäp nghieäm cuûa baát phöông trình laø S = ( ] [ )+∞−∞− ;14U2;

f) (x – 3) 4x 2 − ≥ x2 – 9 ⇔ (x – 3) )3x4x( 2 −−− ≥ 0


+≤−≤−

3xx4x

03x2 ⇔

⎪⎪

⎩

⎪⎪

⎨

⎧

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

⎩⎨⎧

++≥−≥+

⎩⎨⎧

≥−<+

≤

9x6x4x

03x

04x

03x

)dk (3x

22

2

⇔

⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪

⎨

⎧

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

⎪⎩

⎪⎨⎧

−≤

−≥⎩⎨⎧

−≤−<

≤

6

13x

3x

2x3x

3x

v 2x ≥ ⇔ ⎪⎩

⎪⎨⎧

−≤

≤

6

13x

3x⇔ x ≤

6

13− (1)



89


+≤−≥−

3x4x

03x2 ⇔

⎪⎩

⎪⎨

⎧

≥−++≤−

≥+≥

04x

9x6x4x

03x3x

2

22

⇔ ⎪⎩

⎪⎨

⎧

≥−≤

−≥

≥

2vx2x6

13x

3x

⇔ x ≥ 3 (2)

Hôïp (1) (2) : x ≤ 6

13− v x ≥ 3

g) 7x12x6 2 +− + 2x ≥ x2

⇔ 7x12x6 2 +− ≥ x2 – 2x ⇔ 7)x2x(6 2 +− ≥ x2 – 2x (1)

Ñaët y = x2 – 2x ⇔ y + 1 = (x + 1)2 ≥ 0 ⇔ y ≥ 1−

(1) ⇔ ⎩⎨⎧

≥+−≥

(*)y7y6

1y

(*) ⇔ ⎢⎢

⎢

⎣

⎡

⎩⎨⎧ ≥+≥⎩⎨⎧

≥+<≤−

2y7y60y

07y60y1

⇔

⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

⎩⎨⎧

≤−−≥⎪⎩

⎪⎨⎧

−≥

<≤−

07y6y

0y 6

7y

0y1

2

⇔ ⎢⎢⎣

⎡

⎩⎨⎧ ≤≤− ≥

<≤−

7y1 0y

0y1

⇔ ⎢⎣⎡

≤≤<≤−7y0

0y1 ⇔ ⎢⎣⎡

≤−≤≤−≤−7x2x0

0x2x12

2

⇔

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

⎩⎨⎧

≤−−≥−

⎩⎨⎧

<−≥+−

07x2x

0x2x

0x2x

01x2x

2

2

2

2

⇔ ⎢⎢⎢

⎣

⎡

⎩⎨⎧

+≤≤−≥≤

⎩⎨⎧

<<∈∀

81x81

2vx0x

2x0R x

⇔ ⎢⎣⎡

≤≤−<<

0x81

2x0

v

81x2 +≤≤

⇔ 81x81 +≤≤−



90

Baøi 1

Giaûi baát phöông trình :4

x2x1x1

2

−≤−++ (1)

Giaûi

Ñieàu kieän :

⎪⎪

⎩

⎪⎪

⎨

⎧

≥−≥−

≥+

04

x2

0x1

0x1

2⇔ -1 ≤ x ≤ 1

Khi ñoù (1) ⇔ 1 + x + 1 – x + 2 2x1− ≤

22

4

x2 ⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ −

⇔ 2 + 2 2x1− ≤ 4 +16

x 4

- x2 ⇔ 1 – x2 - 2 2x1− +1+16

x 4

≥ 0

⇔ 0 ≤ ( )22 1x1 −− +16

x 4

(2)

(2) ñuùng vôùi moïi x ∈ [-1 ; 1] .Nghieäm cuûa baát phöônt trình laø moïi x ∈ [-1 ; 1] .Baøi 2

Giaûi baát phöông trình : 3x

x411 2

<−−

(1)

Giaûi

Ñieàu kieän :⎩⎨⎧

≠≥−

0x

0x41 2

⇔ ⎪⎩

⎪⎨⎧

≠

≤≤−

0x

2

1x

2

1

(3) ⇔ 3)x411(x

)x41(1

2

2

<−+

−− ⇔

2x411

x4

−+< 3

⇔ 4x < 3(1+ 2x41− ) ⇔ 3 2x41− > 4x – 3 (2)



91

Ta ñaõ coù : x ≤ 2

1<

4

3 ⇒ 4x – 3 < 0 ≤ 3 2x41−

⇒ (2) ñuùng vôùi moïi x thuoäc ⎥⎦⎤

⎢⎣⎡−

2

1;

2

1\ { }0

Vaäy nghieäm cuûa (1) laø ⎥⎦⎤

⎢⎣⎡−

2

1;

2

1\ { }0

Baøi 3

x

)1x()1xx(x1xx

32224 +

≤+−+++

(Ñeà thi chuyeân Toaùn –Tin ÑHQG Haø noäi1988)

GiaûiÑieàu kieän baøi toaùn coù nghóa : x > 0 .

Chia hai veá cho )1x(x 2 + vaø sau khi bieán ñoåi baát phöông trình trôû

thaønh :x

1x

x

1x

11

x

1x

1

x

1x +≤

+−+

+−+

Ta ñaët : x +x

1= t ≥ 2 , Baát phöông trình töông ñöông vôùi :

t

1tt

t

11 −−≤− , do hai veá döông vôùi moïi t ≥ 2 neân bình

phöông hai veá ta ñöôïc 1 -t

1 ≤ t2 + t -

t

1-2t.

t

11−

⇔ t

1≤t+1-2

t

11− ⇔ 0 ≤ (

t

11− - 1)2 ñuùng vôùi moïi t ≥ 2 ,

Vaäy : baát phöông trình ñuùng vôùi moïi x > 0.



92

Baøi 4

Giaûi vaø bieän luaän baát phöông trình : m2xm2mx +≤+− (1)

Giaûi


≥+≥−

0m2x

0mx⇔

⎩⎨⎧

−≥≥

m2x

mx(2)

Ta xeùt ba tröôøng hôïp :

a) m = 0 : (1) ⇔ x ≤ x ñuùng vôùi moïi x ≥ 0

b) m > 0 : (2) ⇔ x ≥ m

Khi ñoù (1) ⇔ x – m + 4m2 + 4m m1− ≤ x + 2m

⇔ 4m mx − ≤ 3m - 4m2 ⇔ 4 mx − ≤ 3- 4m (do m > 0)

⇔ ( )⎪⎩

⎪⎨⎧

−≤−

≥−

16

m43mx

0m4x

2 ⇔ ( )

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

−+≤

≤<

16

m43mx

4

3m0

2

Giao vôùi ñieàu kieän x ≥ m ⇒ vôùi 0 < m ≤ 4

3

thì (1) coù nghieäm :

m ≤ x ≤ m +

2

4

m43⎟

⎠ ⎞

⎜⎝ ⎛ −

Baøi 5

Giaûi baát phöông trình :

(12 – x)2x

x12

−−

+ (x – 2)x12

2x

−−

<3

82

Giaûi

Ñieàu kieän :2x

x12

−−

> 0 ⇔ 2 < x < 12

Baát phöông trình :

⇔ ( ) ( ) ( ) )2x)(x12()2x(x123

82

x12

1

2x

122 −−−−

<−

+−

⇔ (x – 2)2 + (12 – x)2 <3

82( )( )2xx12 −−



93

⇔ (x – 2)2 + (12 – x)2 + 2(x – 2)(12 – x) <

( )( ) )x12)(2x(22xx123

82−−+−−

⇔ (x – 2 + 12 – x)2 <3

82)x12)(2x(2)2x)(x12( −−+−−

⇔ 102 <3

82)2x)(x12(2)2x)(x12( −−+−−

Ñaët t = )2x)(x12( −− , t > 0

Baát phöông trình ⇔ ⎪⎩

⎪⎨⎧

+<

>

22 t2t3

8210

0t

⇔ ⎪⎩

⎪⎨⎧

>∨−<

>

3t3

50t

0t

⇔ t > 3

⇔ 3)2x)(x12( >−− ⇔ (12 – x)(x – 2) > 9 ⇔ 3 < x < 11

Keát luaän : 3 < x < 11Baøi 6


3x4x 2 ++− - 1x3x2 2 +− ≥ x – 1

(Ñaïi hoïc Kieán truùc Haø noäi )

Giaûi

3x4x 2 ++− - 1x3x2 2 +− ≥ x – 1 (*)

Ñieàu kieän :

⎪⎩

⎪⎨⎧

≥+−

≥+−

01x3x2

03x4x

2

2

⇔

1

3

12

x

x

x

⎡⎢ =⎢

≥⎢

⎢ ≤⎢⎣

• Vôùi x =1 , baát phöông trình nghieäm ñuùng

• Vôùi x ≥ 3 , ta coù :



94

(*) ⇔ )3x)(1x( −− - )1x2)(1x( −− ≥ x – 1

⇔ 3x − - 1x2 − ≥ 1x −

Ta thaáy : 3x − - 1x2 − < 1x − ( vôùi x ≥ 3)

Vaäy baát phöông trình khoâng thoaû ∀ x ≥ 3

• Vôùi x ≤ 21 .

(*) ⇔ x3 − - x21− ≥ - x1−

⇔ x3 − + x1− ≥ x21−

⇔ 3 – x + 1 – x + 2 )x1)(x3( −− ≥ 1 – 2x

⇔ 3 + 2 )x1)(x3( −− ≥ 0 (luoân thoaû ∀ x ≤ 2

1)

Keát luaän : x = 1 hay x ≤ 21

Baøi 7

Giaûi baát phöông trình : )4x3)(5x( ++ > 4(x – 1)

(Ñaïi hoïc kinh teá Quoác Daân)

Giaûi

Ta coù : )4x3)(5x( ++ > 4(x – 1)

⇔

⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

⎩⎨⎧

−>++

≥−⎩⎨⎧ <−

≥++

)2()1x(16)4x3)(5x(

01x

)1(01x

0)4x3)(5x(

2



95

Giaûi (1) : (1) ⇔

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

<

⎢⎢

⎣

⎡

−≥

−≤

1x

3

4x

5x

⇔ ⎢⎢

⎣

⎡

<≤−

−≤

1x3

4

5x

Giaûi (2) : (2) ⇔ ⎩⎨

⎧

≥

<−−

1x

04x51x13 2

⇔ ⎪⎩

⎪

⎨

⎧

≥

<<−

1x

4x

13

1

⇔ 1 ≤ x < 4

Hôïp laïi ta coù : x ≤ -5 hay 4x3

4<≤

−

Baøi 8

Giaûi baát phöông trình : xx1x1 ≥−−+ (1)

(Ñaïi hoïc Ngoaïi thöông 2001)

Giaûi

Ñieàu kieän : -1 ≤ x ≤ 1

(1) ⇔ xx1x1

)x1()x1(≥

−++−−+

⇔ x 01x1x1

2≥⎟

⎠

⎞⎜⎝

⎛ −

−++(2)

Neáu x = 0 thì (2) nghieäm ñuùng .

Xeùt x ≠ 0 , ta coù ( x1x1 −++ )2 = 2 + 2 2x1− < 2 + 2 = 4

⇒ x1x1 −++ < 2 ⇒ x1x1

2

−++- 1 > 0

Do ñoù (2) ⇔ x > 0

Vaäy nghieäm cuûa baát phöông trình laø : 0 ≤ x ≤ 1.



96

Baøi 9

Giaûi baát phöông trình : 27x59x313x7 −≤−−−

(Ñaïi hoïc Daân laäp phöông Ñoâng 2001)

Giaûi

27x59x313x7 −≤−−−

⇔ 27x59x313x7 −+−≤−

⇔ ⎪⎩

⎪⎨

⎧

−−+−+−≤−

≥

)27x5)(9x3(227x59x313x7

5

27x

⇔ ⎪⎩

⎪⎨

⎧

−≥−−

≥

x23)27x5)(9x3(2

5

27x

⇔ ⎪⎩

⎪⎨⎧

≥+−

≤≤

0443x458x59

23x5

27

2

⇔

⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪

⎨

⎧

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−≤

+≥

≤≤

59

26304229x

59

26304229x

23x5

27

⇔ 23x59

26304229≤≤

+



97

Baøi 10

Chöùng minh raèng vôùi moïi t [ ]1;1−∈ ta coù :

22 t2t11t1t1 −≥−+≥−++

(Ñaïi hoïc quoác Gia TP HCM -2001)

Giaûi

Vôùi {t} ≤ 1 , ta coù : 2t11t1t1 −+≥−++

⇔ 1 +t + 2 2t1− +1 – t ≥ 1 + 1 – t2 + 2 2t1−

⇔ t2 ≥ 0 ( luoân ñuùng vôùi moïi t )

Xeùt : 1 + 2t1− ≥ 2 – t2

⇔ 1 – t2 - 2t1− ≤ 0 ⇔ ( ) 01t1t1 22 ≤−−−

⇔ 2t1− ≤ 1 (luoân ñuùng )

Vaäy vôùi moïi t [ ]1;1−∈ , ta coù : 22 t2t11t1t1 −≥−+≥−++

Baøi 11

Giaûi baát phöông trình : 2x2 + 6x5x 2 −− > 10x + 15

(Ñaïi hoïc Y- Haø Noäi- 2001 )

Giaûi

2x2 + 6x5x 2 −− > 10x + 15

⇔ 2(x2 – 5x – 6) + 6x5x 2 −− +3 > 0

Ñaët y = 6x5x 2 −− ; vôùi x ≤ -1 hoaëc x ≥ 6 thì y ≥ 0

Ta coù baát phöông trình : 2y2 + y – 3 > 0 ⇔ ⎢⎢

⎣

⎡

−<

>

)loai(2

3y

1y

Vaäy 6x5x 2 −− > 1 ⇔ x2 – 5x – 7 > 0



98

⇔

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−<

+>

2

535x

2

535x

Baøi 12


4x5x23x4x2x3x 222 +−≥+−++− (Ñaïi hoïc Y Döôïc TP HCM - 2001)

Giaûi

4x5x23x4x2x3x 222 +−≥+−++− (*)

Ñieàu kieän : ⎢⎣

⎡≤≥

1x

4x

(*) ⇔ )1x)(3x()1x)(2x( −−+−− ≥ 2 )1x)(4x( −− (**)

• Tröôøng hôïp 1 : x ≥ 4

(**) ⇔ 4x23x2x −≥−+− = 4x4x −+−

(Baát phöông trình luoân ñuùng vôùi moïi x ≥ 4 ;vì x – 2 > x – 4; x – 3 > x –4 )

• Tröôøng hôïp 2 : x < 1

(**) ⇔ )x1)(x4(2)x1)(x3()x1)(x2( −−≥−−+−−

⇔ x42x3x2 −≥−+− (voâ nghieäm)

Vì ∀ x < 1 : 2 – x < 4 – x ; 3 – x < 4 – x• Tröôøng hôïp 3 : x = 1 : (**) ñuùng

Ñaùp soá : x = 1 hay x ≥ 4



99

Baøi 13

Giaûi baát phöông trình :( )

4xx11

x2

2

−>++

(Ñaïi hoïc Sö phaïm Vinh - 2001)

Giaûi

( )4x

x11

x

2

2

−>++

(*)

• Khi x = 0 : (*) ⇔ 0 > -4 (ñuùng)Vaäy x = 0 laø nghieäm cuûa bpt (*)

• Khi x ≠ 0 :

(*) ⇔ ( )

2

22

x

x11x +−> x – 4 ⇔1 - 2 x1+ + 1 + x > x – 4

⇔⎩⎨⎧

≠<+

0x

3x1 ⇔

⎪⎩

⎪⎨

⎧

≠<+

−≥

0x

9x1

1x

⇔ ⎩⎨⎧

≠<≤−

0x

8x1

Vaäy : (*) coù nghieäm laø : -1 ≤ x < 8Baøi 14

1) Giaûi vaø bieän luaän theo a baát phöông trình: 2x a x.− ≥

2) Cho baát phöông trình : mx x 3 m 1− − ≤ +

a) Giaûi baát phöông trình vôùi1

m .2

=

b) Vôùi giaù trò naøo cuûa m thì baát phöông trình coù nghieäm ?

Giaûi.1) Ñieàu kieän : x a / 2.≥

2x a x.− ≥ ⇔ 22 2x a 2x a a 1 a ( 2x a 1) (1) − ≥ − + ⇔ − ≥ − −

• 1 a 0 a 1: (1)− < ⇔ > voâ nghieäm• 1 a 0 a 1: (1)− = ⇔ = coù nghieäm x = 1

• 2 21 a 0 a 1: (1) 0 ( 2x a 1) ( 1 a )− > ⇔ < ⇔ ≥ − − − −

1 a 2x a 1 1 a⇔ − − ≤ − − ≤ −

1 1 a 2x a 1 1 a (2) ⇔ − − ≤ − ≤ + −



100

) 0 a 1 1 1 a a / 2α < < ⇒ − − ≥ neân (2) 1 1 a x 1 1 a⇔ − − ≤ ≤ + −

) a 0 : (2) a/2 x 1 + 1-a.β ≤ ⇔ ≤ ≤

2) Ñieàu kieän cuûa nghieäm : x 3≥

Ñaët 2t x 3 0 x t 3 3= − ≥ ⇒ = + ≥ vaø baát phöông trình ñaõ cho trôû thaønh

2f (t) mt t 2m 1 0, t 0 (1) = − + − ≤ ≥

b) ) m 0 :α ≤ Vì t 0≥ neân (1) ñöôïc thoûa maõn.

) m 0 : f ( t)β > coù bieät soá 2

1 4m(2m 1) 8m 4m 1.∆ = − − = − + + Ñeå (1) coù nghieäm t 0,≥ tröôùc heát caàn coù :

0 0 m (1 3) / 4∆ ≥ ⇒ < ≤ +

Khi ñoù f(t) coù nghieäm 11

t2m

− ∆= vaø 2

1t 0.

2m

+ ∆= > Töø ñoù suy ra baát

phöông trình ñaõ cho coù nghieäm 1 2t t≤ (neáu 1t 0≥ ) hoaëc laø :

20 t t≤ ≤ (neáu 1t 0)< hoaëc 2t t= (neáu 1 2t t ).=

Ñaùp soá :1 3

m4

+≤

b) Vôùi 1 2m 1/ 2 : t 0, t 2 0 t x 3 2= = = ⇒ ≤ = − ≤

0 x 3 4 3 x 7⇔ ≤ − ≤ ⇒ ≤ ≤ (do aùp duïng phaàn 2).Baøi 15

Vôùi moãi giaù trò a > 0 , giaûi baát phöông trình a xa xa >−++ (1)

(Ñeà thi caùc tröôøng Ñaïi hoïc mieàn Baéc naêm 1970)

Giaûi


≥−≥+

0

0

xa

xa ⇔

⎩⎨⎧

≤−≥a x

a x ⇔ -a ≤ x ≤ a (*)

(1) ⇔ ( ) 22

a xa xa >−++

⇔ 2a + 2 22 xa − > a2 ⇔ 2 22

xa − > a(a – 2)

⇔ ( ) ( )

( ) ( )⎩⎨⎧

−>−

−∨

⎩⎨⎧

≥−

<−222222

24

2

0

02

aa xa

aa

xa

aa

⇔ ( )⎩

⎨⎧

−<

≥∨

⎩⎨⎧

≤≤−<<

aa x

a

a xa

a

44

22032

(2)



101

Xeùt heä (2) ta coù :• Neáu a ≥ 4 ⇒ 4x2 < a3(4 – a) < 0 : heä voâ nghieäm

• Neáu 2 ≤ a < 4 ⇒ x2 < ( )aa

−44

3

⇔ ( )aaa

x −< 42

Keát hôïp ñieàu kieän (*) ta choïn ñöôïc ⏐x⏐ < ( )aaa

−42

Vaäy nghieäm cuûa baát phöông trình (1) laø :

• ⏐x⏐ ≤ a vôùi 0 < a < 2

• ⏐x⏐ < ( )aaa

−42

vôùi 2 ≤ a < 4

Voâ nghieäm khi a ≥ 4

Chuù yù : Deã daøng kieåm chöùng raèng ( )aaa

−42

≤ a vôùi 2 ≤ a < 4 .

Baøi 16

Vôùi giaù trò naøo cuûa y toàn taïi ít nhaát moät giaù trò cuûa x laø nghieäm cuûa baátphöông trình

0log23log2 22

2

1

2

2

1 >−+− x y y (1)

Giaûi

Ñaët m y =2

2

1log , ñieàu kieän y ≠ 0

Baát phöông trình ñaõ cho thaønh2m – 3 + 2mx – x2 > 0 ⇔ x2 – 2mx + 3 – 2m < 0 (2)Baøi toaùn trôû thaønh ñi tìm m ñeå baát phöông trình (2) coù nghieämTröôùc heát ta ñònh m ñeå baát phöông trình (2) voâ nghieäm , töùc laø ñònh mñeå x2 – 2mx + 3 – 2m ≥ ∀xÑieàu naøy xaûy ra khi vaø chæ khi :∆’ ≤ 0 ⇔ m2 + 2m – 3 ≤ 0 ⇔ -3 ≤ m ≤ 1do ñoù caùc trò cuûa m ñeå baát phöông trình (2) coù nghieäm laø :

m < -3 ∨ m > 1

• Vôùi m < -3 , ta coù : 3log 2

2

1 −< y ⇔ y2 > 8 ⇔ ⏐y⏐ > 2 2



102

• Vôùi m > 1 ta coù : 1log 2

2

1 > y ⇔ 0 < y2 <2

1 ⇔ 0 < ⏐y⏐ <

2

2

Baøi 16

Ñònh y ñeå :

01

log121

log121

log2 222

2 >⎟⎟ ⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ +

+−⎟⎟ ⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ +

++⎟⎟ ⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ +

− y

y

y

y x

y

y x

nghieäm ñuùng vôùi moïi xGiaûi

Ñaët : m y

y=

++

1log1 2

Ñieàu kieän1+ y

y> 0 ⇔ y < -1 ∨ y > 0

Baát phöông trình ñaõ cho thaønh (3 – m)x2 + 2mx – 2m > 0 (2)Baát phöông trình (2) nghieäm ñuùng vôùi moïi x neáu vaø chæ neáu :

03

60

3

06

03

0' 2

<⇔

⎩

⎨⎧

<>∨<

⇔

⎩

⎨⎧

<

<+−⇔

⎩

⎨⎧

>−<∆

mm

mm

m

mm

m

Töø ñoù m < 0 ⇔ 1

log1 2 ++

y

y< 0

⇔ 1

log2 + y

y< -1 ⇔

1+ y

y<

2

1 ⇔ -1 < y < 1

Keát hôïp vôùi ñieàu kieän ban ñaàu ta coù 0 < y < 1Vaäy vôùi 0 < y < 1 thì baát phöông trình ñaõ cho nghieäm ñuùng vôùi moïi x

Baøi 17

Giaûi phöông trình : ( ) 75152452 +≥−−+ x x x (*)

(Ñeà thi Ñaïi hoïc Toång hôïp Quoác gia Matxcôva – 1977)

GiaûiÑieàu kieän 5x – 7 ≥ 0 ⇔ 5x ≥ 7 ⇔ x ≥ log57

(*) ⇔ ( ) 75152452 +≥−−+ x x x

⇔ ( ) 75752452 ++−≥+ x x x



103

⇔ ( ) ( )( )7575275752452 +−+++−≥+ x x x x x

⇔ 484952 2 ≤− x ⇔ 24495 ≤− x ⇔ 5764952 ≤− x

⇔ 52x ≤ 625 ⇔ 5x ≤ 25 = 52 ⇔ x ≤ 2Giao vôùi ñieàu kieän ban ñaàu ta ñöôïc nghieäm cuûa baát phöông trình laølog57 ≤ x ≤ 2Baøi 18

Giaûi baát phöông trình( ) 1

114

2log34log

22

1

2

2 ++++−

>+− x x x

x x

GiaûiÑieàu kieän ñeå baøi toaùn coù nghóa laø :

⎩⎨⎧

≥+≥−

01

042

x

x x ⇔ -1 ≤ x ≤ 0 ∨ x ≥ 4

Ta coù VP = 1114

2log

22

1 ++++− x x x

=21log

1142log

2

12

2

1 ++++− x x x

=114

1log

22

1

+++− x x x

= ( 114log 2

2 +++− x x x

Töø ñoù baát phöông trình trôõ thaønh :

( ( 114log34log 2

2

2

2 +++−>+− x x x x x

⇔ 11434 22 +++−>+− x x x x x

⇔ 21 <+ x ⇔ x + 1 < 4 ⇔ x < 3Giao vôùi ñieàu kieän ban ñaàu ta ñöôïc nghieäm cuûa baát phöông trình laø–1 ≤ x ≤ 0



104

Baøi 19

Giaûi phöông trình :

( ) ( ) 016281

5log134 2

5

2 ≤+−−+++− x x x

x x x

(Ñeà thi Khoa Hoaù Ñaïi hoïc Toång hôïp Quoác gia Matxcôva – 1983)

Giaûi

Ñieàu kieän ñeå heä coù nghieäm laø :⎪⎩

⎪⎨

⎧

≥−−

>≥+−

0628

0

034

2

2

x x

x

x x

⇔ ⎪⎩

⎪⎨

⎧

≤+−

>≥+−

034

0

034

2

2

x x

x

x x

⇔ ⎩⎨⎧

=+−

>

034

0

2 x x

x ⇔ x = 1 ∨ x = 3

• Vôùi x = 1 ta coù veá traùi cuûa baát phöông trình laø :

( ) ( ) 015

1log1628

1

5log134 5

2

5

2 =+=+−−+++− x x x

x x x

Vaäy x = 1 laø nghieämcuûa baát phöông trình ñaõ cho• Vôùi x = 3 , ta coù veá traùi cuûa baát phöông trình laø

( ) ( )2 25

14 3 1 log 8 2 6 1

5

x x x x x

x− + + + − − +

5 5

3 1 1log log 3 1

5 3 3= + = − +

= 0

3

25

3log

3

23log 55 >=− (Ñeå yù raèng 1

3

25

3> )

Vaäy x = 3 khoâng phaûi laø nghieäm cuûa baát phöông trìnhKeát luaän : baát phöông trình ñaõ cho coù nghieäm x = 1

Baïn ñoïc haõy thöû tìm 1 soá baát phöông trình maø chæ coù 1 nghieäm .chuùccaùc baïn thaønh coâng nheù !



105

Baøi 20

Giaûi baát phöông trình : cosx – y2 - 012 ≥−− x y

GiaûiÑaây laø moät trong nhöõng daïng daãn ñeán söï ñoái laäp :

Phöông trình ñaõ cho töông ñöông vôùi : cosx – y2 ≥ 12 −− x y (1)

Ñieàu kieän y – x2 – 1 ≥ 0 ⇔ y ≥ x2 + 1 (2)

Neáu y < 0 ⇔ (2) khoâng nghieäm ñuùngVaäy x ≥ 0 , luùc ñoù (2) ⇔ y2 ≥ (x2 + 1)2 (3)Baát phöông trình (1) coù nghieäm khi vaø chæ khi :cosx – y2 ≥ 0 ⇔ y2 ≤ cosx (4)Töø (3) vaø (4) ta coù : cosx ≥ y2 ≥ (x2 + 1)2 (5) ⇒ cosx ≥ (x2 + 1)2 (6)Maø cosx ≤ 1 vaø (x2 + 1)2 ≥ 1Suy ra (6) coù nghieäm khi vaø chæ khi

( )⎪⎩

⎪⎨⎧

=+

=

11

1cos

22 x

x ⇔

⎩⎨⎧

==

0

1cos

x

x ⇔ x = 0

Khi ñoù (5) trôû thaønh :

1 ≥ y2 ≥ 1 ⇔ y2 = 1 ⇔ y = 1 ∨ y = -1 (loaïi vì y ≥ 0)Vaäy nghieäm cuûa baát phöông trình ñaõ cho laø x = 0 ; y = 1Baøi 21

Giaûi baát phöông trình 45342312 −+−>−+− x x x x (1)

Giaûi

Ñieàu kieän :5

4

045

034

023

012

≥⇔

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

≥−≥−≥−≥−

x

x

x

x

x

Baát phöông trình (1) töông ñöông vôùi :23453412 −−−>−−− x x x x (2)

Ta coù :

⇔−≥−⇔≥−−− 341203412 x x x x 2x – 1 ≥ 4x – 3

⇔ x ≤ 1



106

vaø 234502345 −≥−⇔≥−−− x x x x

⇔ 5x – 4 ≥ 3x – 2 ⇔ x ≥ 1Vaäy :• Neáu x = 1 : (2) ⇔ 0 > 0 : voâ lyù

• Neáu x < 1 ⇒ ⎪⎩

⎪⎨⎧

<−−−

>−−−

02345

03412

x x

x x ⇒ (2) ñöôïc nghieäm ñuùng

vôùi x < 1.

Keát hôïp vôùi ñieàu kieän ban ñaàu ta coù nghieäm soá laø :5

4 ≤ x < 1

• Neáu x > 1 ⇒ ⎪⎩

⎪⎨⎧

>−−−

<−−−

02345

03412

x x

x x ⇒ (2) khoâng nghieäm ñuùng

vôùi x > 1.

Vaäy nghieäm cuûa baát phöông trình ñaõ cho laø :5

4 ≤ x < 1

Chuù yù :

Neáu giaûi baèng caùch thoâng thöôøng seõ maát thôøi gian hôn nhieàu .

Baøi 22

Giaûi baát phöông trình : 2x2x1x2 −>+−−

(Ñeà Ñaïi Hoïc Moû Ñòa Chaát )

Giaûi


≥+≥−

02x01x ⇔ x ≥ 1

Luùc ñoù : 2x2x1x2 −>+−− (1)

(1) ⇔

2x1x2

)2x()1x(4

−−−

+−−> x –2

⇔ ( x – 2) 2x1x(23 +−−− > 0

Vì x ≥ 1 neân 2x1x +−− ≥ 3 ⇒ 2x1x(23 +−−− ) < 0

Vaäy (1) ⇔ x – 2 < 0 ⇔ x < 2



107

Baøi 22:

Tìm m ñeå baát phöông trình : )3x5x2(m)x3)(x21( 2 +−+>−+

thoaû maõn ⎥⎦⎤

⎢⎣⎡−∈∀ 3;

2

1x

(Ñeà Ñaïi Hoïc Giao Thoâng Vaän Taûi )

Giaûi

Ñieàu kieän caàn :)3x5x2(m)x3)(x21( 2 +−+>−+ (*) ⎥⎦

⎤⎢⎣⎡−∈∀ 3;

2

1x

Cho x = 3 : 0 > m + 6 ⇒ m < 6− .

Ñieàu kieän ñuû : Vôùi m < 6− ta chöùng minh (*) ñuùng ⎥⎦⎤

⎢⎣⎡−∈∀ 3;

2

1x

Ñaët t = )x3)(x21( −+ ≥ 0 thì (*) trôû thaønh :

t > m + 6 – t2 ⇔ t2 + t > m + 6Ñieàu naøy hieån nhieân ñuùng vì :

t2 + t ≥ 0

⎥⎦

⎤

⎢⎣

⎡∈∀ 3;

2

1x ; m + 6 < 0

Vaäy m caàn tìm laø : m < 6− .

Baøi 23

Giaûi baát phöông trình : x285x6x 2 −>−+−

(Ñeà Ñaïi Hoïc Quoác Gia HaøNoäi )

Giaûi

x285x6x 2 −>−+− ⇔ )x4(2)5x)(1x( −>−−− (1)

Ñieàu kieän : 1 ≤ x ≤ 5Neáu 4 < 4 ≤ 5 (1) nghieäm ñuùng .

Neáu 1 ≤ x≤ 4 : (1) ⇔ 22 x4x32645x6x +−>−+− ⇔

064x32x4 2 <+− ⇔ 3 < x <5

23

Ta chæ coù 3 < x ≤ 4Vaäy nghieäm cuûa baát phöông trình laø 3 < x ≤ 5



108

Baøi 24

Giaûi baát phöông trình : 4x2

1x2

x2

5x5 ++<+

(Ñeà Ñaïi Hoïc Luaät TPHCM)

GiaûiÑieàu kieän : x > 0

Ñaët t = 2t,x2

1

x ≥+

Ta coù : t2 = )1t(2x2

1x21

x4

1x

2 −=+⇒++

Baát phöông trình ñaõ cho :

⇔ 02t5t24)1t(2t5 22 >+−⇔+−<

⇔ ⎢⎢⎣

⎡

>

<2t

)loai(2

1t

⇔ 41x4

1x2

x2

1x >++⇔>+

⇔ 4x

2

–12x +1 > 0 ( vì x > 0) ⇔ ⎢⎢⎢

⎢

⎣

⎡

+>

−<<

2

223x

2

223x0

Baøi 25

Cho Baát phöông trình : 42xxm)1x( 222 ++≤++

1-\Giaûi Baát phöông trình treân khi m = 3.2-\ Xaùc ñònh tham soá m ñeå Baát phöông trình ñaõ cho ñöôïc thoaû vôùi moïix treân ñoaïn [ 0;1 ]

( Ñaïi Hoïc Luaät TPHCM)

Giaûi

1-\ 42xx3)1x( 222 ++≤++

⇔ ⎩⎨⎧

≥+≤+⇔+≤+

0x2x)2x(x2xxx2x

222224

⇔ ⎩⎨⎧

≥−<≤⇔

⎩⎨⎧

≥≤−+

0x12x0

0x01x2x 224

⇔ 0 ≤ x≤ 12 −

2-\ Ta coù : 42xxm)1x( 222 ++≤++



109

m ≤ 32xxx2x 224 +++−−

m ≤ 32xx)2x(x 222 ++++−

Ñaët t = 2xx 2 + khi 0 ≤ x ≤ 1 , ta coù : 0 ≤ t ≤ 3

Baát phöông trình theo t : m ≤ 2t− + t + 3 ; t∈ [0; 3 ]

Ñaët f(t) = 2t− + t + 3 ; t∈ [0; 3 ]

f’(t) = t2− + 1 .f’(t) = 0 ⇔ t = 2

1

Baûng bieán thieân cho ta :

Ñieàu kieän cuûa m : m ≤ 3 .

Baøi 27

Giaûi baát phuông trình :

4x5x23x4x2x3x 222 +−≥+−++−

( Ñaïi Hoïc Quoác Gia TP HC M )

Giaûi

4x5x23x4x2x3x 222 +−≥+−++− (1)

⇔ )4x)(1x()3x)(1x()2x)(1x( −−≥−−+−− (2)baát phuông trình coù nghóa khi x ≤ 1 hoaëc x ≥ 4.Xeùt 2 tröôøng hôïp :

* x ≥ 4 : (2) ⇔ 4x1x23x1x2x1x −−≥−−+−−

⇔ 4x23x2x −≥−+−

baát phöông trình hieån nhieân ñuùng vì x –2 > x –3 > x – 4 ≥ 0

* x ≤ 1 : (2) ⇔ 4x1x23x1x2x1x −−≥−−+−−

Roõ raøng x = 1 laø nghieäm .Xeùt x < 1 . Luùc ñoù :

(2) ⇔ x42x3x2 −≥−+−

⇔ x3x22x25 −−+− ≥ 4 (4 – x)⇔ x3x22 −− ≥ 11 – 2x

⇔ 4(2 – x )(3 – x) ≥ (11 – 2x)2 (vì x < 1 ) ⇔ x ≥ 24

97(loïai).

x3x22 −− aäy nghieäm cuûa (1) laø : x =1 hoaëc x ≥ 4 .



110

Baøi 28

Giaûi vaø bieän luaän theo tham soá m baât phöôngtrình sau:

4x 2 − ≥ m (x – 2) (1)

(Ñeà Ñaïi Hoïc Quoác Gia Haø Noäi )

Giaûi

Ñieàu kieän : x2 – 4 ≥ 0 ⇔ ⎢⎣⎡

≥−≤2x

2x

* Neáu m = 0 : baât phöôngtrình coù nghieäm : ⎢⎣⎡

≥−≤2x

2x

* Neáu m > 0 , ta coù :

(1) ⇔ ⎢⎢

⎣

⎡

⎩⎨⎧

≥−≥+

−≤⇔

⎢⎢

⎣

⎡

⎩⎨⎧

≥−≥−

−≤

2x)2x(m2x

2x

2x)2x(m4x

2x2222

⇔ ⎢⎢

⎣

⎡

⎩⎨⎧

≥+≥−

−≤

2x)1m(2x)1m(

2x22

* Neáu 0 < m ≤ 1 thì (1) ⇔

⎢⎣

⎡

≥

−≤

2x

2x

* Neáu 0 > m ≤ 1 thì (1) ⇔ ⎢⎢

⎣

⎡

−+

≤≤

−≤

1m

)1m(2x2

2x

2

2

* Neáu m < 0 thì (1) ⇔ ⎢⎢

⎣

⎡

⎩⎨⎧

−≥−−≤

≥

222 )2x(m4x

2x2x

⇔ ⎢⎢

⎣

⎡

⎩⎨⎧

−≤+−≤

≥

)2x(m2x

2x2x

2 ⇔

⎢⎢

⎣

⎡

⎩⎨⎧

+≥−−≤

≥

)1m(2x)1m(

2x2x

22

* Neáu 1− < m < 0 thì (1) ⇔ ⎢⎢⎣

⎡

−+≤

≥

1m

)1m(2x

2x

2

2

* Neáu m ≤ 1− thì (1) ⇔ x ≥ 2.



111

Baøi 29

Tìm nghieäm cuûa baát phöông trình :22 x1xx1x −<−+ trong [ 0 , 1 ]

(Ñeà Ñaïi Hoïc Kieán Truùc Haø Noäi )

Giaûi222 x1xx1x1x −≥−≥−+ ∈∀x [ 0 , 1 ] , vaäy baát phöông

trình ñaõ cho voâ nghieäm trong [ 0 , 1 ].Baøi 30

Giaûi vaø bieän luaän baát phöông trình :

m3xm2xmx −>−−− ( m : tham soá )

Giaûi

Xeùt m3xm2xmx −>−−−

⇔ m3xm2xmx −+−>− (*)

* Neáu m ≤ 0 ⇒ baát phöông trình voâ nghieäm.* Neáu m > 0 . Ñieàu kieän x ≥ 3m . khi ñoù :

(*) ⇔ )m3x)(m2x(2m3xm2xmx −−+−+−>−

⇔ )m3x)(m2x(2xm4 −−>− Khi 3m ≤ x < 4m , bình phöông 2 veá baát phöông trình naøy , ta ñöôïc :

)m6mx5x(4mx8xm16 2222 +−>−+

⇔ 2

m)326(x

3

m)326(0m8mx12x3 22 +

<<−

⇔<+−

Giao vôùi ñieàu kieän : 3m ≤ x < 4 , ta ñöôïc : 3m ≤ x <2

m)326( +

Keát luaän :+ Neáu m ≤ 0 : baát phöông trình voâ nghieäm.+ Neáu m > 0 : baát phöông trình coù nghieäm.

3m ≤ x <2

m)326( + .



112

Baøi 31

Giaûi baát phöông trình ( ) 943 22 −≤−− x x x

(Ñaïi hoïc daân laäp Ngoaïi ngöõ – Tin hoïc , naêm 1997)

Giaûi

( ) 943 22 −≤−− x x x ⇔ ( ) ( )( )3343 2 +−≤−− x x x x

Vôùi x = 3 ta coù ñaúng thöùc

Vôùi x ≠ 3 ta phaân laøm 2 tröôøng hôïp• x > 3 :

Luùc ñoù ta coù : 42 − x ≤ x + 3

⇒ x2 – 4 ≤ x2 + 6x + 9 ⇒ x ≥ 6

13−

Vì x > 3 neân taát nhieân x ≥ 6

13− . Do ñoù nghieäm cuûa baát phöông trình

laø x > 3• x < 3Ta coù :x < 3 ⇔ x – 3 < 0 neân baát phöông trình töông ñöông vôùi

42 − x ≥ x + 3

Suy ra : x ≤ 6

13−

Vôùi x ≤ 6

13− thì x > 3 vaø nghieäm cuûa baát phöông trình laø x ≤

6

13−

Ñaùp soá :Vaäy nghieäm cuûa baát phöông trình ñaõ cho laø :⎢⎢

⎣

⎡

−≤

≥

6

13

3

x

x

Baøi 32

Cho baát phöông trình x - 2 1− x ≤ m + 1a) Giaûi baát phöông trình vôùi m = 0b) Vôùi giaù trò naøo cuûa m thì baát phöông trình voâ nghieäm

Giaûia) Ta phaûi coù ñieàu kieän x ≥ 1

Bpt ⇔ x – 1 ≤ 2 1− x ⇔ x2 – 2x + 1 ≤ 4x – 4



113

⇔ x2 – 6x + 5 ≤ 0 ⇔ 1 ≤ x ≤ 5

b) Xeùt x - 2 1− x ≤ m + 1

Ñaët t = 1− x ≥ 0 ⇒ x – 1 = t2

⇒ t2 – 2t ≤ m ⇒ (t – 1)2 ≤ m + 1

⇒ 1 - 1+m ≤ t ≤ 1 + 1+m

Keát hôïp vôùi ñieàu kieän t ≥ 0 ta thaáy ∀m ≥ -1 baát phöông trình luoân coù

nghieämmax{ }0,111 +− m ≤ t ≤ 1 + 1+m

⇒ 1 + max2{ }0,11 +− m ≤ x ≤ 1 + (1 + 1+m )2

Baøi 33

Giaûi baát phöông trình : 1213 −>−−+ x x x

(Ñaïi hoïc daân laäp Hoàng Baøng , naêm 1998 – 1999)

Giaûi

1213 −>−−+ x x x

⇔ ( )( )⎪

⎩

⎪

⎨

⎧

+<−−+−+−≥−

≥−

31212121012

01

x x x x x

x

x

⇔

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

+−≤+−

≥

≥

521322

2

1

1

2 x x x

x

x

⇔

( )⎪⎩

⎪⎨

⎧

+−<+−

≥+−≥

252041324

052

1

22

x x x x

x

x

⇔

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

<−+

≤

≥

02184

2

5

1

2 x x

x

x

⇔

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

<≤−

≤≤

2

3

2

7

2

51

x

x

⇔ 1 ≤ x ≤ 2

3



114

Vaäy nghieäm cuûa baát phöông trình ñaõ cho laø 1 ≤ x ≤ 2

3

Baøi 34

Giaûi baát phöông trình 22 22463 x x x x −−<++

(Ñaïi hoïc Giao thoâng vaän taûi , naêm 1998)

Giaûi

Ñaët t = 4632

++ x x , ta coù :22 22463 x x x x −−<++ (1)

⇔ ⎪⎩

⎪⎨

⎧

≥++=

−−<

0

463

(2) 22

22

2

t

x xt

x xt

⇔ x2 + 2x =3

42 −t (3)

Theá (3) vaøo (1) ta coù : t < 2 - ⎟⎟ ⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ −3

42t

⇔ t2 + 3t – 10 = 0 ⇔ -5 < t < 2 (4)

Do t ≥ 0 neân :0 ≤ t < 2⇔ t2 < 4 ⇔ 3x2 + 6x + 4 < 4 ⇔ -2 < x < 0Ñaùp soá (1) ⇔ -2 < x < 0Baøi 35

Giaûi baát phöông trình : 2315

49

2

2

+≤−

− x

x

x

(Ñaïi hoïc sö phaïm Quy Nhôn , naêm 1998)

Giaûi

Bpt ⇔ 2315

49

2

2

+≤−

− x

x

x ⇔

( )( )23

15

2323

2+≤

−

−+ x

x

x x

• x <3

2− : (3x + 2)(3x – 2) > 0

Do ñoù( )( )

2315

2323

2+≤

−

−+ x

x

x xvoâ nghieäm



115

• 3

2

5

1≤< x : (3x + 2)(3x – 2) ≤ 0

Do ñoù( )( )

2315

2323

2+≤

−

−+ x

x

x xhieån nhieân thoaû maõn

• x >3

2: (3x + 2)(3x – 2) > 0

Do ñoù : ( )( ) 2315

23232 +≤

−−+ x

x

x x ⇔ 3x – 2 ≤ 15 2 − x

⇔ (3x – 2)2 ≤ 5x2 – 1 ⇔ 4x2 – 12x + 5 ≤ 0 ⇔ 3

2 ≤ x ≤

2

5

Vaäy taäp nghieäm cuûa baát phöông trình laø : ⎥⎦

⎤⎜⎜⎝

⎛ ∪⎟⎟

⎠

⎞⎢⎣

⎡−−

2

5;

5

1

5

1;

3

2

C.BAØI TAÄP TÖÏ GIAÛI Giaûi caùc baát phöông trình sau :

Baøi 1

a. 51x2 <+ b. 12x3 >− c.x4

3x

−+

≥ 2

d.2x3

1x2

−−

≤ 3

Baøi 2.

a. 10x2 + < 3x – 5 b. )1x)(3x( +− > 3(x + 1)

c. )1x2)(4x( −+ < 2 (x + 4)



116

Baøi 3.

a. )5x)(2x( −+ < 8 – x b. 12xx 2 −− < x

c.3x

x2x1517 2

+−−

> 0 d. 20x9 − < x

e. x4x 2 − > x – 3 f. x22x3 2 − > 2x – 7

Baøi 4

a) 6x5x 2 +− ≤ x + 4 b) 22x 3x 5 x 1− − < −

c) 2x x 12+ − < 8 – x d) 23 x− < 4 – x

e ) 2x 7x 8− − < x – 6

Baøi 5

a) s ≥ x – 3 b) x 1+ < x – 3 c) 2x 2x− > 1 – x

d) 2x 3x 10− − > x – 2 e) 22x 7x 5+ + > x + 1

e) 2x1x −−+ ≤ 1 f) 4x3x −−+ ≥ 2

g) 2x1x ++− ≤ 1 h) 5x44x1x3 +−−++ < 0

k) 3x21x1x2 −≥−−+

Baøi 6

Giaûi caùc baát phöông trình sau :

a) 4(x + 1)2 < (2x + 1)(1 - x23 + )2

b) (x – 3) 4x2 + ≤ x2 – 9

c) 1x2x +−+ ≤ x

d) 02x1x6x22 >+−+−

e) 31x

x2

1x

x>

+−

+

f) x2x71x10x522 −−≥++

g) 4

x2x1x1

2

−≤−++

Ñaùp soá :

a) - 1x2

3−<≤ hoaëc –1 < x < 3



117

b) x ≤ -6

5hoaëc x ≥ 3 c) x >

3

332 −

d) x ≤ 2

73 −hoaëc x ≥ 3 e) -

3

4< x < -1

f) x ≤ -3 hoaëc x ≥ 1 g) –1 ≤ x ≤ 1

h) 1x135xx417 +≤−+−

Baøi 7


a) x

1x

x

1x

2

1x

−>−−− b) 1x21

9x2

x2−+<

+

c) 15x8x15x2x 22 +−+−+ > 18x18x4 2 +−

d) x – 4 <( )2

2

x11

x

++e) 4

x2

1x2

x2

5x5 ++<+

Höôùng daãn :

a) x > 1, x ≠ 2

15 +b) 0 < x <

8

45

c) x < 0 hoaëc x > 5 d) –1 ≤ x ≤ 8

e) Ñaët t =x2

1x + ⇒ t2 = x + 1

a4

1+ ⇒ 2x + 2t2

x2

1 2 −=

Baát phöông trình seõ laø : 2t2 –5t + 2 > 0 ⇔

⎢⎢⎢

⎣

⎡

>

>

2

1t

2t

Ñaùp soá : x > 22

3+ hoaëc 0 < x < 2

2

3−

Baøi 8

a) 5x21x6x −+−>+ b) x23x2x −+−− ≥ 0

c) 4 28x72x72 >−−+ d) 11xx 22 ++ < 31

e)4

3

x

4

2

1

x

22

−>− f)2x

4x

+

−< x – 8

g)12

7

1x2

2x

2x

1x2≥

−+

−+−

h) )3x(x3)2x)(5x( ++−+ > 0



118

Baøi 9

a) 22 x5x3x ++− ≤ 3x + 7

b) )7x2)(3x(x2 2 −−− < 13x + 9

c) 1x6x2 2 ++ < x + 1 d) 1x1x)x1( 222 −>++

e) 33 3x25x −>++ e) 33 x12x1 −−<+

f) 2x62x44

≥−+− g)363

2xxx44 −>+− h) 1x2x 24 +− > 1 – x

Baøi 10

a) 2x5x37x5x3 22 ++−++ > 1

b) x2x2

4−−

−< 2

c) 9x4x)3x( 22 −≤−−

d) 4

2x

x122

2x

x12

2x

x6

−−

−−

−> 0

e) x1

x421

x422

22 >−−+−+

f)3x

53x

3x

16x 2

−>−+

−

−

g) 31x4x3x 2 −>++++

h) 1xx2x3x 2 +−−++ < 1

Baøi 11

Tìm m ñeå phöông trình : )x3).(x21( −+ > +m (2x2-5x +3)

thoûa maõn ∀ , x ∈⎥⎦

⎤

⎢⎣

⎡− 3,2

1 (Ñaïi hoïc giao thoâng vaän taûi naêm 98)



119

Baøi 12

Giaûi vaø bieän luaän phöông trình :

1xx −− > a (1) vôùi a : tham soá döông Höôùng daãn :

(1) ⇔ ⎪⎩

⎪⎨⎧

−<+−

≥

1xx2)1a(x2

1x

2 ⇔

⎪⎪⎩

⎪⎪

⎨

⎧

+−<−

+>

≥

22

2

)]1a(x2[x)1x(4

2

1ax

1x

Ñaùp soá :

a = 1 : baát phöông trình voâ nghieäm

0 < a < 1 : baát phöông trình coù nghieäm : 1 ≤ x ≤

22

a2

1a

⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ +

a > 1 : baát phöông trình voâ nghieäm

Bat Phuong Trinh Chua Can

Documents