Basic m5-1-chapter1

บทที่ 1ลําดับและอนุกรม

( 18 ชั่วโมง )

ลําดับและอนุกรมที่จะกลาวถึงในบทนี้ จะเปนเรื่องเกี่ยวกับการหาพจนทั่วไปของลําดับที่สามารถหาพจนทั่วไปไดงาย ลําดับเลขคณิต ลําดับเรขาคณิต อนุกรมเลขคณิตและอนุกรมเรขาคณิต รวมทั้งโจทยที่แสดงใหเห็นการนําความรูในเรื่องที่กลาวมาไปใชในการแกปญหาที่เกี่ยวของกับชีวิตประจําวัน

ผลการเรียนรูท่ีคาดหวัง1. เขาใจความหมายของลําดับ และหาพจนทั่วไปของลําดับจํากัดที่กําหนดใหได2. เขาใจความหมายของลําดับเลขคณิตและลําดับเรขาคณิต หาพจนตาง ๆ ของลําดับ

เลขคณิตและลําดับเรขาคณิตได3. เขาใจความหมายของผลบวก n พจนแรกของอนุกรมเลขคณิต และอนุกรมเรขาคณิต4. หาผลบวก n พจนแรกของอนุกรมเลขคณิต และอนุกรมเรขาคณิต โดยใชสูตรและ

นําไปใชได

ผลการเรียนรูดังกลาวเปนผลการเรียนรูที่สอดคลองกับมาตรฐานการเรียนรูชวงชั้นทางดานความรู ในการเรียนการสอนทุกครั้งผูสอนตองคํานึงถึงมาตรฐานการเรียนรูทางดานทักษะและกระบวนการทางคณิตศาสตรที่จําเปนและสอดแทรกกิจกรรมปญหาหรือคําถามที่เสริมสรางทักษะกระบวนการเหลานั้นดวย นอกจากนั้นควรปลูกฝงใหผูเรียนทํางานอยางเปนระบบ มีระเบียบวินัย รอบคอบ มีความรับผิดชอบมีวิจารณญาณและมีความเชื่อมั่นในตัวเอง

2

ขอเสนอแนะ

1. การกําหนดลําดับอาจจะกําหนดโดยพจนทั่วไปหรือกําหนดโดยการแจงพจนการกําหนดลําดับโดยการแจงพจนแลวใหหาพจนทั่วไปของลําดับนั้น อาจหาพจนทั่วไปไดตางกันและทําใหลําดับนั้นเปนลําดับที่ตางกันดวย กลาวคือ ลําดับที่ตางกันอาจจะมีพจนตน ๆเหมือนกัน เชน

(1) 1, 21 ,

31 , ...,

n1 , ...

เมื่อ n = 4 จะไดพจนที่ 4 เทากับ 41

และ 1, 21 ,

31 , ...,

6n12n6n123 −+−

, ...


(2) 1 1 1, ,2 4 8

, ..., n

12

, ...


และ 1 1 1, ,2 4 8

, ..., 2

6(n 1)(n n 6)+ − +

, ...


ในหนังสือเรียนไดกลาวถึงการหาพจนทั่วไปของลําดับเมื่อกําหนดลําดับโดยการแจงพจน เนื่องจากตองการใหผูเรียนไดฝกการสรุปกฎเกณฑดังนั้นในการออกขอสอบใหหาพจนทั่วไป ถาผูสอนกําหนดใหหาพจนทั่วไปของลําดับอนันตจะตองระวังวาคําตอบอาจจะตางกันแตเปนคําตอบที่ถูกตองทั้งหมด

3

2. การหาพจนทั่วไปของลําดับที่กําหนดเฉพาะพจนตน ๆ ให แลวจึงหาพจนทั่วไปโดยการพิจารณาความสัมพันธระหวาง an กับ n แลวสรุปเปนกฎเกณฑ ผูสอนควรเริ่มจากลําดับที่สามารถสังเกตเห็นความสัมพันธระหวาง an กับ n ไดงายโดยอาจเริ่มตนจากตัวอยางดังนี้

(1) กําหนดลําดับ 2, 4, 8, 16, ... ใหเปลี่ยนรูปแตละพจนเพื่อหาความสัมพันธระหวาง an และ n ไดดังนี้

a1 = 2 = 21

a2 = 4 = 22

a3 = 8 = 23

a4 = 16 = 24

จะได an = 2n

(2) กําหนดลําดับ 1, 3, 7, 15, ... ใหเปลี่ยนรูปแตละพจนเพื่อหาความสัมพันธระหวาง an กับ n ไดดังนี้

a1 = 1 = 2 – 1 = 21 – 1a2 = 3 = 4 – 1 = 22 – 1a3 = 7 = 8 – 1 = 23 – 1a4 = 15 = 16 – 1 = 24 – 1

จากความสัมพันธขางตน จะได an = 2n – 1

(3) กําหนดลําดับ 1, 21 , 61 ,

241 , ... ให

เปลี่ยนรูปแตละพจนเพื่อหาความสัมพันธระหวาง an กับ n ดังนี้a1 = 1 =

11

a2 =21 =

211⋅

a3 =61 =

3211⋅⋅

a4 =241 =

43211⋅⋅⋅

จากความสัมพันธขางตน จะได an = n...321

1⋅⋅⋅⋅

4

จากตัวอยางที่กลาวมาจะเห็นวา การหาพจนทั่วไปของลําดับที่กําหนดใหจะเปนตัวอยางที่ไมซับซอน เนื่องจากไมไดใหความสําคัญของการหาพจนทั่วไป เพียงแตตองการใหผูสอนเห็นตัวอยางการสอนที่ทําใหผูเรียนสามารถหาพจนทั่วไปของลําดับที่กําหนดใหไดเทานั้น ทั้งนี้ ผูสอนไมควรเนนวิธีการที่กลาวมาโดยการหาตัวอยางที่ซับซอนมากเกินไปเพียงแตหาโจทยที่เหมาะกับความสามารถของผูเรียนเพื่อใหผูเรียนฝกการสรุปกฎเกณฑโดยอาศัยการสังเกตจากพจนในลําดับที่กําหนดใหเทานั้น

สําหรับผูเรียนที่มีความถนัดในวิชาคณิตศาสตรอาจมีขอสงสัยวา ถาลําดับที่กําหนดใหไมสามารถหาพจนทั่วไปตามวิธีการที่กลาวมาไดจะมีวิธีการหาพจนทั่วไปของลําดับไดอยางไร ผูสอนอาจนําเสนอความรูเพิ่มเติมเรื่องการหาฟงกชันพหุนาม เพื่อนํามาเชื่อมโยงกับการหาพจนทั่วไปของลําดับได เนื่องจากลําดับก็เปนฟงกชันเชนกัน ดังนี้

ตัวอยางที่ 1 ให f(x) = 5x + 3พิจารณาคาของ f(x) และผลตางของ f(x) เมื่อ x = 0, 1, 2, 3, 4, 5 ดังนี้

x 0 1 2 3 4 5f(x) 3 8 13 18 23 28

ผลตางของคา f(x) 5 5 5 5 5

จากตัวอยางขางตน จะเห็นวา f เปนฟงกชันพหุนามดีกรี 1 และมีผลตางครั้งที่หนึ่งเปนคาคงตัวที่เทากับ 5 ซึ่งไมเทากับศูนย

5

ตัวอยางที่ 2 ให f(x) = x2 + x + 3พิจารณาคาของ f(x) และผลตางของ f(x) เมื่อ x = -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5 ดังนี้

x -1 0 1 2 3 4 5f(x) 3 3 5 9 15 23 33

ผลตางครั้งที่ 1 0 2 4 6 8 10

ผลตางครั้งที่ 2 2 2 2 2 2

จากตัวอยาง จะเห็นวา ฟงกชันที่กําหนดใหเปนฟงกชันพหุนามดีกรี 2 และมีผลตางครั้งที่สองเปนคาคงตัวซึ่งไมเทากับศูนย

ตัวอยางที่ 3 ให f(x) = 2x3 + x - 10พิจารณาคาของ f(x) และผลตางของ f(x) เมื่อ x = 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 ดังนี้

x 0 1 2 3 4 5 6f(x) -10 -7 8 47 122 245 428

ผลตางครั้งที่ 1 3 15 39 75 123 183

ผลตางครั้งที่ 2 12 24 36 48 60ผลตางครั้งที่ 3 12 12 12 12

จากตัวอยาง จะเห็นวา ฟงกชันที่กําหนดใหเปนฟงกชันพหุนามดีกรี 3 และผลตางครั้งที่สามเปนคาคงตัวที่เทากับ 12 ซึ่งไมเทากับศูนย

ในกรณีทั่วไป เชน เมื่อ f เปนฟงกชันพหุนามดีกรี 2

6

ให f(x) = ax2 + bx + c ผลตางครั้งที่ (1) ผลตางครั้งที่ (2)

จะได f(1) = a + b + cf(2) = 4a + 2b + cf(3) = 9a + 3b + cf(4) = 16a + 4b + cf(5) = 25a + 5b + c

จากตัวอยางขางตน จะเห็นวา ฟงกชันพหุนามกําลังสองมีผลตางของ f(x)ครั้งที่ 2 เปนคาคงตัวที่ไมเทากับศูนย สําหรับฟงกชันพหุนามอื่นที่มีดีกรีไมเทากับสองก็มีสมบัติขางตนที่เกี่ยวกับผลตางของคาของฟงกชันพหุนามเชนเดียวกัน

สรุปวา เมื่อ f เปนฟงกชันพหุนามดีกรี n เมื่อ n ∈ {1, 2, 3, ...} ผลตางของคาของฟงกชัน f ครั้งที่ n จะเปนคาคงตัวและไมเทากับศูนย ขอสรุปที่กลาวมานี้มีที่มาจากทฤษฎีบทที่มีชื่อวา Polynomial Difference Theorem ซึ่งกลาววา “ฟงกชัน f จะเปนฟงกชันพหุนามดีกรีที่ n ก็ตอเมื่อ มีคา x ที่ทําใหผลตางของคาของฟงกชันครั้งที่ n เปนคาคงตัวที่ไมเทากับศูนย ซึ่งสวนมากจะใช x ที่เปนจํานวนที่เรียงถัดกัน เชน 1, 2, 3, 4, …”

ตอไปจะพิจารณาคาของ f(x) ที่กําหนดให เพื่อพิจารณาวา f เปนฟงกชันพหุนามหรือไม โดยใชขอสรุปจากทฤษฎีที่กลาวมาขางตน ดังตัวอยางตอไปนี้

ตัวอยางที่ 4 ให f เปนฟงกชัน จากคา x และ f(x) ที่กําหนดใหจงพิจารณาวา f เปนฟงกชันพหุนามหรือไม โดยหาวา มีผลตางของคาของฟงกชัน f ที่เปนคาคงตัวที่ไมเทากับศูนยหรือไม

x 1 2 3 4 5f(x) 3 -3 -13 -27 -45

ผลตางครั้งที่ 1 -6 -10 -14 -18

ผลตางครั้งที่ 2 -4 -4 -4

จะไดวา ผลตางครั้งที่สองของคาของฟงกชัน f เปนคาคงตัวและไมเทากับศูนยสรุปไดวา f เปนฟงกชันพหุนามดีกรี 2

3a + b

5a + b7a + b9a + b

2a

2a2a

7

ตัวอยางที่ 5 จากตาราง จงพิจารณาวา y เปนคาของฟงกชันพหุนามหรือไม และถาเปน จงหาดีกรีของฟงกชันพหุนามนั้น

x 1 2 3 4 5 6 7 8y 2 12 36 80 150 252 392 576

วิธีทํา จากตารางพิจารณาคาของ y และผลตางคาของ y ดังนี้x 1 2 3 4 5 6 7 8y 2 12 36 80 150 252 392 576

ผลตางครั้งที่ 1 10 24 44 70 102 140 184

ผลตางครั้งที่ 2 14 20 26 32 38 44

ผลตางครั้งที่ 3 6 6 6 6 6

จะพบวา ผลตางครั้งที่สามของคา y เปนคาคงตัวที่ไมเทากับศูนยสรุปไดวา y เปนคาของฟงกชันพหุนามดีกรี 3จากตัวอยางที่กลาวมา จะเห็นไดวา จากคา x และ f(x) ที่กําหนดให

ถาพบวา ผลตางของคา f(x) ครั้งที่ n เปนคาคงตัวที่ไมเทากับศูนยแลว f จะเปนฟงกชันพหุนามดีกรี n แตจะยังไมสามารถบอกไดวา f คือ ฟงกชันใด ตัวอยางตอไปนี้จะแสดงวิธีการหาฟงกชัน f จากคา x และ f(x) ที่กําหนดให เมื่อไดขอสรุปวา f เปนฟงกชันพหุนามดีกรี n

ตัวอยางที่ 6 กําหนดคาของ x และ f(x) ดังตาราง

x 1 2 3 4 5 6f(x) 1 4 10 20 35 56

8

จากคาที่กําหนดให หาผลตางของ f(x) ไดดังนี้x 1 2 3 4 5 6f(x) 1 4 10 20 35 56

ผลตางครั้งที่ 1 3 6 10 15 21

ผลตางครั้งที่ 2 3 4 5 6

ผลตางครั้งที่ 3 1 1 1

จะเห็นวา ผลตางครั้งที่สามของ f(x) เปนคาคงตัวที่ไมเทากับศูนยสรุปไดวา f เปนฟงกชันพหุนามดีกรี 3จากขอสรุปขางตน จะหาฟงกชันพหุนาม f ไดโดยให f(x) = ax3 + bx2 + cx + dจะหาคาของ a, b, c และ d ซึ่งเปนคาคงตัวไดดังนี้

เมื่อ x = 4 จะได f(4) = 20นั่นคือ 64a + 16b + 4c + d = 20 ------------- (1)

x = 3 จะได f(3) = 10นั่นคือ 27a + 9b + 3c + d = 10 ------------- (2)

x = 2 จะได f(2) = 4นั่นคือ 8a + 4b + 2c + d = 4 ------------- (3)

x = 1 จะได f(1) = 1นั่นคือ a + b + c + d = 1 ------------- (4)

(3) - (4) 7a + 3b + c = 3 ------------- (5)

(2) - (3) 19a + 5b + c = 6 ------------- (6)

(1) - (2) 37a + 7b + c = 10 ------------- (7)

(7) - (6) 18a + 2b = 4 ------------- (8)

(6) - (5) 12a + 2b = 3 ------------- (9)

9

จาก (8) - (9) จะได 6a = 1 หรือ a = 16

แทนคา a = 16

จะไดวา b = 12

, c = 13

และ d = 0นั่นคือ f(x) = 1

612

13

3 2x x x+ +

สําหรับการหาพจนทั่วไปของลําดับที่กําหนดใหอาจทําไดโดยการใชสมบัติของฟงกชันพหุนามที่กลาวมาโดยสมมติพจนทั่วไปในรูปฟงกชันพหุนามใหดังนี้an + b เมื่อผลตางของคาของฟงกชันครั้งที่ 1 เปนคาคงตัวที่ไมเทากับศูนยan2 + bn + c เมื่อผลตางของคาของฟงกชันครั้งที่ 2 เปนคาคงตัวที่ไมเทากับศูนยan3 + bn2 + cn + d เมื่อผลตางของคาของฟงกชันครั้งที่ 3 เปนคาคงตัวที่ไมเทากับศูนย

สําหรับการตัดสินใจวา จะใชพหุนามดีกรีเทาใดขึ้นอยูกับการหาผลตางระหวางพจนในลําดับดังตัวอยางตอไปนี้

ตัวอยางที่ 7 จงหาพจนทั่วไปของลําดับจํากัดตอไปนี้1) 2, 4, 6, 8, 102) 1, 3, 7, 13

วิธีทํา 1) จากลําดับที่กําหนดหาผลตางระหวางสองพจนติดกันไดดังนี้2 4 6 8 10

ผลตางครั้งที่ 1 2 2 2 2

ผลตางครั้งที่หนึ่งเปนคาคงตัวที่เทากับ 2 ในกรณีนี้จะหาพจนทั่วไปของลําดับที่กําหนดให โดยให an = an + b จากนั้นจึงหา a และ b โดยแทนคาของn และ an ไดดังนี้

a1 = 2 = a + b ---------- (1)a2 = 4 = 2a + b ---------- (2)a3 = 6 = 3a + b ---------- (3)a4 = 8 = 4a + b ---------- (4)a5 = 10 = 5a + b ---------- (5)

10

จากสมการ (1) และ (2) จะได a = 2, b = 0 และ an = 2nเมื่อทดลองแทน a, b ดวย 2 และ 0 ตามลําดับ ในสมการ (1) ถึง (5) ตามลําดับจะพบวา สมการดังกลาวเปนจริง

จะไดพจนทั่วไปของลําดับ 2, 4, 6, 8, 10 คือ an = 2n

2) จากลําดับที่กําหนดหาผลตางระหวางสองพจนติดกันไดดังนี้1 3 7 13

ผลตางครั้งที่ 1 2 4 6

ผลตางครั้งที่ 2 2 2

จะไดวา ผลตางครั้งที่สองคือ 2 เปนคาคงตัวที่ไมเทากับศูนยให an = an2 + bn + cแทน n ในพจนทั่วไปดวย 1, 2, 3, 4 ไดดังนี้

1 = a + b + c ---------- (1)3 = 4a + 2b + c ---------- (2)7 = 9a + 3b + c ---------- (3)13 = 16a + 4b + c ---------- (4)

แกระบบสมการเพื่อหา a, b และ c ไดดังนี้(2) – (1) 2 = 3a + b ---------- (5)(3) – (2) 4 = 5a + b ---------- (6)(6) – (5) 2 = 2a หรือ a = 1แทน a = 1 ใน (5) จะได b = –1แทน a และ b ดวย 1 และ –1 ตามลําดับ ใน (1) จะได c = 1ดังนั้น an = n2 – n + 1ตรวจสอบโดยแทน n ดวย 1, 2, 3 และ 4 จะได a1, a2, a3 และ a4

ตามที่กําหนด แสดงวา พจนทั่วไปที่หาไดถูกตอง

11

3. ในหนังสือเรียนไดกลาวถึงรายละเอียดของลําดับที่มีชื่อเฉพาะไวสองชนิดคือ ลําดับเลขคณิตและลําดับเรขาคณิต นอกจากลําดับทั้งสองชนิดนี้แลวยังมีลําดับอื่นที่มีชื่อเฉพาะซึ่งอาจจะตั้งชื่อตามลักษณะของลําดับนั้น ๆ หรือต้ังตามชื่อของนักคณิตศาสตรที่เปนผูคนพบลําดับนั้น ซึ่งนักเรียนจะไดพบในการเรียนคณิตศาสตรระดับสูงตอไปตัวอยางของลําดับที่มีชื่อเฉพาะเหลานั้นไดแก

ลําดับฮารโมนิก (Harmonic sequence) คือ ลําดับซึ่งสวนกลับของพจนทุกพจนเปนลําดับเลขคณิต เชน1, 21 , 31 ,

41 , ...,

n1 , ... เปนลําดับฮารโมนิก เพราะวา 1, 2, 3, 4, ..., n, ... เปนลําดับเลขคณิต

ลําดับสลับ (alternating sequence) คือ ลําดับซึ่งพจนที่ n กับพจนที่ n + 1 มีเครื่องหมายตรงขามกัน เชน

1, –1, 1, –1, ..., (–1)n–1 , ...–1,

21 ,

31− ,

41 , ...,

n)1( n− , ...

ลําดับฟโบนักชี (Fibonacci sequence) เปนลําดับของจํานวนเต็มบวก ซึ่งมีสมบัติวา an = an–2 + an–1, n ≥ 3 เชน

1, 1, 2, 3, 5, ...1, 3, 4, 7, 11, ...

ลําดับโคชี (Cauchy sequence) คือ ลําดับซึ่ง an – an–1 มีคาเขาใกลหรือเทากับศูนย เมื่อ n มีคามากขึ้นโดยไมมีที่สิ้นสุด เชน

1, 21 , 41 , 81 , ..., 1n2

1− , ...

1, 21 , 31 , 41 , ...,

n1 , ...

1, 1, 1, 1 , ..., 1 , ...

ผูสอนอาจยกตัวอยางของลําดับที่กลาวมาเพิ่มเติมโดยพิจารณาจากความสามารถของผูเรียนเปนสําคัญ

12

กิจกรรมเสนอแนะ

สําหรับผูเรียนที่มีความสามารถในการเรียนวิชาคณิตศาสตรนอย ผูสอนอาจตองใชกิจกรรมที่มีรูปภาพประกอบเพื่อชวยใหผูเรียนสามารถหาขอสรุปในการหาพจนทั่วไปไดงายข้ึนดังนี้

กิจกรรมที่ 1เนื้อหา การหาพจนทั่วไปของลําดับจุดประสงค เพื่อใหผูเรียนรูจักวิธีคิดและมีทักษะในการหาพจนทั่วไปของลําดับลักษณะกิจกรรม ผูสอนใหผูเรียนเรียนรูและสรุปความหมายของลําดับและสามารถหาพจนถัดไปจากลําดับที่กําหนดใหจากตัวอยางและคําถามของผูสอน โดยผูสอนใชปญหานําเขาสูเนื้อหา เพื่อใหผูเรียนหาคําตอบสุดทายไดกิจกรรม

1. ผูสอนใหผูเรียนชวยกันหาจํานวนรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัสจากรูปที่กําหนดใหตอไปนี้

รูปที่ (1) (2) (3) (4) (5)

2. ผูสอนอาจใหขอแนะโดยใชคําถามตอไปนี้ 1) รูปสี่เหลี่ยมจัตุรัสในรูปที่กําหนดใหมีขนาดใดบาง 2) รูปสี่เหลี่ยมจัตุรัสแตละขนาดมีอยางละกี่รูป

4. ผูสอนใหผูเรียนหาผลรวมของจํานวนรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัสของแตละรูปโดยใชตารางตอไปนี้

13

ขนาด ตร. หนวย จํานวนรูปสี่เหล่ียมจัตุรัสแตละขนาดรูปที่ 1 4 9 16 25

จํานวนรูปสี่เหล่ียมจัตุรัสทั้งหมด

1 1 - - - - 1 2 4 1 - - - 1 + 4 = 5 3 9 4 1 - - 1 + 4 + 9 = 14 4 16 9 4 1 - 1 + 4 + 9 + 16 = 30 5 25 16 9 4 1 1 + 4 + 9 + 16 + 25 = 55

ตารางที่ 1

5. ผูสอนใหผูเรียนบอกความสัมพันธของจํานวนรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัสที่มีขนาด1 ตารางหนวย กับความยาวของดานของรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัสแตละรูป ซึ่งผูเรียนควรบอกไดวา

รูปที่ ความยาวของดานของรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัส (หนวย)

จํานวนรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัสที่มีขนาด 1 ตารางหนวย (ตร.หนวย)

12345

12345

1 หรือ 12

4 หรือ 22

9 หรือ 32

16 หรือ 42

25 หรือ 52

ตารางที่ 2

ใหผูเรียนเขียนแทนจํานวนรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัสทั้งหมดของแตละรูปจากตารางที่ 1 ใหอยูในรูปของผลบวกที่อยูในรูปของกําลังสองสมบูรณ ดังนี้จํานวนรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัสของรูปที่ 1 เทากับ 12 = 1จํานวนรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัสของรูปที่ 2 เทากับ 12 + 22 = 5จํานวนรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัสของรูปที่ 3 เทากับ 12 + 22 + 32 = 14จํานวนรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัสของรูปที่ 4 เทากับ 12 + 22 + 32 + 42 = 30จํานวนรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัสของรูปที่ 5 เทากับ 12 + 22 + 32 + 42 + 52 = 55

จากแนวคิดในการหารูปสี่เหลี่ยมจัตุรัสขางตน ผูสอนใหผูเรียนหาจํานวนรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัสทั้งหมด เมื่อรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัสมีขนาด 6 × 6 , 7 × 7 ,

8 × 8, 9 × 9 และ 10 × 10 ตารางหนวย

14

กิจกรรมเพิ่มเติม

1) ผูสอนใหผูเรียนหาจํานวนรูปสามเหลี่ยมทั้งหมดในรูปตอไปนี้

(1) (2) (3) (4) (5)

2) ผูสอนใหผูเรียนหาจํานวนรูปสี่เหลี่ยมทั้งหมดในรูปตอไปนี้

(1) (2) (3) (4) (5)

กิจกรรมที่ 2ในการเรียนการสอนเรื่องลําดับและอนุกรม ผูสอนอาจใชใบงานในการจัดกิจกรรม

เชน ในตัวอยางกิจกรรมที่จะกลาวถึงตอไปนี้จะใชใบงานสามใบ โดยที่แตละใบงานมีจุดประสงคดังนี้

ใบงานที่ 1 และ 2 เพื่อใหผูเรียนเกิดทักษะในการหาพจนทั่วไปของลําดับจํากัดใบงานที่ 3 เพื่อใหผูเรียนรูจักเชื่อมโยงความรูในเรื่องลําดับและอนุกรม และ

สามารถนํามาใชในการแกปญหาไดในการใชใบงานผูสอนควรพัฒนาทักษะกระบวนการทางคณิตศาสตรไปดวย

เชน ในบางกรณีที่ผูเรียนมีคําตอบที่แตกตางกันผูสอนควรใหโอกาสผูเรียนไดนําเสนอวิธีการคิดพรอมทั้งแสดงความสามารถในการใหเหตุผล

15

ใบงานที่ 1

1. พิจารณาแบบรูปตอไปนี้ และจงเขียนรูปที่ (4), (5) และ (6)

(1) (2) (3)

2. จงเติมจํานวนรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัสในตารางตอไปนี้

รูปที่ จํานวนรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัส

ความสัมพันธของรูปที่ (n) และจํานวนรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัสในแตละรูป

1 1 12 5 1 + 4 = 1 + (4 × 1)3 9 1 + 8 = 1 + (4 × 2)456

3. จากแบบรูปที่กําหนดให จงหาวา รูปที่ (10) และ (20) ควรจะมีจํานวนรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัสเทาใดในแตละรูป

4. จงหาจํานวนรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัสของรูปที่ (n)

16


(1) (2) (3)

ในรูปที่ (1) มีจํานวนจุด 3 จุด และมีจํานวนเสนที่เชื่อมจุดเทากับ 3 เสน

1. จงเติมจํานวนจุดและเสนในตารางที่กําหนดใหตอไปนี้ พรอมทั้งหาความสัมพันธ

2. จงหาจํานวนจุดและจํานวนเสนที่เชื่อมระหวางจุดในรูปที่ (10) และรูปที่ (25)

3. จงหาจํานวนจุดและจํานวนเสนเชื่อมระหวางจุดในรูปที่ (n)

รูปที่ จน.จุด ความสัมพันธระหวางรูปที่ กําหนดและจํานวนจุด

1 3 1+2 = 1+2 (1)2 5 1+4 = 1+2(2)3 7 1+6 = 1+2(3)456

รูปที่จน. เสนเชื่อมระหวางจุด

ความสัมพันธระหวางรูปที่กําหนดและจํานวนเสนเชื่อมจุด

1 3 3 × 12 6 3 × 23 9 3 × 3456

17


(1) (2)

ให S(1) แทนผลบวกที่กําหนดใหในตารางที่ (1) S(2) แทนผลบวกที่กําหนดใหในตารางที่ (2)

1. จงหาผลบวกในตารางที่ (1) และ (2)

2. จงอธิบายวา ผลบวก S(1) และ S(2) มีความสัมพันธกันอยางไร

3. 1, 2, 3, 4, ..., 10 เปนลําดับเลขคณิตหรือไม

4. จงหาผลบวกของ 10 พจนแรกของอนุกรม 1 + 2 + 3 + 4 + ... + 10

5. จงหาผลบวกของอนุกรม 13 + 23 + 33 + 43 + ... + 103 โดยใชความสัมพันธในขอ 2

6. ถา 13+ 23+ 33+ 43+ ... + n3 = 44,100จงหาคาของ 1 + 2 + 3 + 4 + ... + n

ในการหาพจนถัดไปของลําดับที่กําหนดใหโดยใชการสังเกตความสัมพันธของพจนผูสอนอาจใชวิธีการในกิจกรรมตอไปนี้เพื่อชวยใหผูเรียนสามารถหาพจนถัดไปของลําดับที่กําหนดใหไดงายขึ้นดังนี้

อนุกรม S(1)1 11 + 2 31 + 2 + 3 61 + 2 + 3 + 41 + 2 + 3 + 4 + 51 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6

อนุกรม S(2)13 113+ 23 913+ 23+ 33 3613+ 23+ 33+ 43

13+ 23+ 33+ 43+ 53

13+ 23+ 33+ 43+ 53 + 63

18

กิจกรรมที่ 3เนื้อหา ความหมายของลําดับ และการหาพจนทั่วไปของลําดับจุดประสงค เพื่อใหผูเรียนเขาใจความหมายของลําดับและรูจักวิธีการหาพจนทั่วไป

ของลําดับจํากัดความหมายของลําดับ

ผูสอนใหผูเรียนเขียนจํานวนตอไปนี้1) จํานวนนับ 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , ...2) จํานวนเต็มบวกที่เปนจํานวนคู 2 , 4 , 6 , 8 , 10 , ...3) จํานวนเต็มบวกที่เปนจํานวนคี่ 1 , 3 , 5 , 7 , 9 , ...4) จํานวนเต็มบวกที่เขียนไดในรูปกําลังสองสมบูรณ 1 , 4 , 9 , 16 , 25 , ...

ผูสอนแนะนําวาจํานวนที่เขียนอยูในแบบรูปขางตนเรียกวา ลําดับของจํานวน และแตละจํานวนในลําดับเรียกวา พจน

5) ผูสอนใหผูเรียนหาจํานวนถัดไปของลําดับตอไปนี้ พรอมทั้งบอกเหตุผลประกอบ1) 5 , 10 , 15 , 20

คําตอบ : จํานวนถัดไปคือ 25 เหตุผล : ผลตางของแตละจํานวนเทากับ 5 และ 20 + 5 = 252) 1 , 8 , 27 , 64

คําตอบ : จํานวนถัดไปคือ 125 เหตุผล : แตละจํานวนเขียนอยูในรูปกําลังสามของจํานวนเต็ม

จํานวนถัดไปคือ พจนที่ 5 ซึ่งมีคาเทากับ 53

ผูสอนใหผูเรียนหาจํานวนถัดไปของลําดับตอไปนี้ พรอมทั้งใหเหตุผลประกอบคําตอบ1) 7 , 14 , 21 , 28 5) 8 , 64 , 216 , 5122) 4 , 16 , 36 , 64 6) 4 , 9 , 25 , 493) 1 , 27 , 125 , 343 7) 11 , 22 , 33 , 444) 1 , 3 , 9 , 27 8) 1 , 9 , 36 , 100

19

ในกรณีที่ผูเรียนไมสามารถหาคําตอบได ผูสอนอาจแนะนําวิธีการสังเกต โดยการยกตัวอยางที่หลากหลายเพื่อใหผูเรียนหาขอสรุปและคําตอบที่ตองการไดดังนี้

พิจารณาผลตางของจํานวนในพจนที่อยูถัดไปแตละคูวา ผลตางดังกลาวมีคาเพิ่มขึ้นหรือลดลง

ในกรณีที่พจนถัดไปมีคาเพิ่มขึ้น พจนที่อยูถัดไปอาจจะไดจากการบวกหรือคูณพจนกอนหนานั้นดวย จํานวนใดจํานวนหนึ่ง

ในกรณีที่พจนถัดไปมีคานอยลง พจนที่อยูถัดไปอาจจะไดจากการลบหรือหารพจนกอนหนานั้นดวยจํานวนใดจํานวนหนึ่ง

จากการสังเกตดวยวิธีการที่กลาวมาจะชวยทําใหไดขอสรุปที่งายขึ้นดังตัวอยางตอไปนี้

จงหาพจนถัดไปของลําดับตอไปนี้1) 1 , 4 , 7 , 10

พิจารณาผลตางของพจนแตละคูในลําดับ 1 , 4 , 7 , 10

1 4 7 10

3 3 3 3

พบวาลําดับของผลตางมีคาเพิ่มขึ้นคงที่เทากับ 3นั่นคือพจนที่อยูถัดไปจะไดจากการนํา 3 ไปบวกกับจํานวนที่อยูในพจนกอนหนานั้นดังนั้น พจนถัดไปคือ 10 + 3 หรือ 13

2) 100 , 99 , 97 , 94พิจารณาผลตางของแตละพจนในลําดับ 100 , 99 , 97 , 94

100 99 97 94

-1 -2 -3 -4

พบวาลําดับของผลตางมีคาลดลงทีละ 1 ไปเรื่อย ๆ และพจนถัดจาก 94ควรจะมีคาลดลงจาก 94 เทากับ 4 นั่นคือ มีคาเทากับ 94 – 4 หรือ 90

20

จงหาพจนถัดไปของลําดับตอไปนี้อีก 2 พจน

1) 1 , 3 , 7 , 13

คําตอบ 1 3 7 13 21 31

2 4 6 8 10

พจนถัดไปจะไดจากการบวกพจนกอนหนานั้นดังนี้ 13 + 8 = 21 และ 21 + 10 = 31

2) 16 , 8 , 4 , 2คําตอบ 16 8 4 2 1 1

2

÷2 ÷2 ÷2 ÷2 ÷2พจนถัดไปจะไดจากผลหารของพจนกอนหนานั้นดวย 2

3) 2 , 20 , 200 , 2000คําตอบ 2 20 200 2000 20000 200000

×10 ×10 ×10 ×10 ×10พจนถัดไปจะไดจากผลคูณของพจนกอนหนานั้นดวย 10

เมื่อผูเรียนมีความเขาใจในวิธีการหาพจนทั่วไปของลําดับจํากัดจากตัวอยางที่ผูสอนนําเสนอแลว ผูสอนอาจใหโจทยเพิ่มเติม โดยพิจารณาจากความสามารถของผูเรียน เพื่อใหผูเรียนไดฝกทักษะดังนี้

21

จงหาพจนถัดไปของลําดับตอไปนี้1) 2 , 6 , 10 , 14 10) 20 , 10 , 5 , 2.52) 200 , 195 , 190 , 185 11) 2 , 3 , 6 , 113) 1 , 4 , 16 , 64 12) 3 , 5 , 9 , 154) 729 , 243 , 81 , 27 13) 4 , 7 , 12 , 195) 2 , 7 , 17 , 32 14) 50 , 49 , 47 , 446) 5 , 10 , 30 , 120 15) 60 , 58 , 54 , 487) 5 , 4 , 1 , -4 16) 5 , 9 , 17 , 298) 100 , 98 , 94 , 88 17) 8 , 13 , 23 , 389) 7 , 7 , 14 , 42 18) 78 , 75 , 69 , 60คําตอบ 1) 18 2) 180 3) 256 4) 9 5) 52

6) 600 7) –11 8) 80 9) 168 10) 1.2511) 18 12) 23 13) 28 14) 40 15) 4016) 45 17) 58 18) 48

สําหรับบางชั้นเรียนที่ผูเรียนมีความสนใจในเรื่องการหาพจนทั่วไปของลําดับ ผูสอนอาจเพิ่มการหาพจนถัดไปจากลําดับที่กําหนดใหโดยวิธีพิจารณาจากผลตางของพจนจากตัวอยางที่กลาวมาแลว ซึ่งบางครั้งอาจยังไมสามารถสรุปคําตอบได

ในกรณี เชนนี้อาจจะใชวิธีพิจารณาลําดับของผลตางที่ไดอีกครั้ง ดังตัวอยางตอไปนี้

ตัวอยาง จงหาพจนถัดไปของลําดับ 3 , 9 , 19 , 37 , 67พิจารณาผลตางของลําดับ 3 , 9 , 19 , 37 , 67

3 9 19 37 67

6 10 18 30

22

พบวาผลตางมีคาเพิ่มขึ้น แตยังไมสามารถหาพจนถัดจาก 67 ไดเพราะไมสามารถบอกไดวา พจนถัดไปของลําดับ 6, 10, 18, 30คือจํานวนใดพิจารณาผลตางของลําดับ 6 , 10 , 18 , 30

6 10 18 30

4 8 12พบวา ผลตางของลําดับมีคาเพิ่มขึ้นครั้งละ 4 นั่นคือจากพจนแรกคือ 4 พจนถัดไปไดจากผลบวกของพจนแรกคือ 4 บวกกับ 4ซึ่งเทากับ 8 และพจนถัดไปคือ 8 + 4 ซึ่งเทากับ 12 ในทํานองเดียวกันพจนถัดไปของ 12 จะเทากับ 12 + 4 หรือ 16*

3 9 19 37 67

6 10 18 30

4 8 12 16 *

จาก 16 * จะสามารถหาพจนถัดไปของลําดับของผลตางครั้งแรกคือ 30 พจนถัดไปไดจากผลบวกของ 30 + 16 ซึ่งเทากับ 46**

3 9 19 37 67

6 10 18 30 46 **

4 8 12 16 *

และจาก 46** เราสามารถหาพจนถัดไปของลําดับ 3, 9, 19, 37, 67พจนถัดไปไดจาก 67 + 46 ซึ่งเทากับ 113

23

3 9 19 37 67 113

6 10 18 30 46 **

4 8 12 16 *

และดวยวิธีการเดียวกันนี้ จะสามารถหาพจนถัดไปของลําดับ 3, 9, 19, 37, 67ไดอีกดังนี้ลําดับของผลตางครั้งที่สอง คือ 4 , 8 , 12 , 16 , 20 , 24ลําดับของผลตางครั้งที่หนึ่ง คือ 6 , 10 , 18 , 30 , 46 , 66 , 90จากผลตางครั้งที่ 1 และ 2 หาพจนถัดไปของลําดับ 3, 9, 19, 37, 67, 113ไดดังนี้

3 9 19 37 67 113 179 269

6 10 18 30 46 66 90

4 8 12 16 20 24

จะไดลําดับ 3 , 9 , 19 , 37 , 67 , 113 , 179 , 269

สําหรับลําดับที่กําหนดใหบางลําดับอาจจะตองใชวิธีเดียวกับที่กลาวมาขางตนหาผลตางครั้งที่ 3 หรือมากกวานั้นเพื่อหาพจนถัดไป ดังตัวอยางตอไปนี้

ตัวอยาง จงหาพจนถัดไปที่กําหนดให โดยใชวิธีพิจารณาผลตางของพจนที่อยูถัดกัน

1 1 2 3 5 8 13 21 34

0 1 1 2 3 5 8 13

1 0 1 1 2 3 5

-1 1 0 1 1 2

24

ลําดับของผลตางครั้งที่ 1 คือ 0 , 1 , 1 , 2 , 3 , 5 , 8 , 13ลําดับของผลตางครั้งที่ 2 คือ 1 , 0 , 1 , 1 , 2 , 3 , 5ลําดับของผลตางครั้งที่ 3 คือ -1 , 1 , 0 , 1 , 1 , 2มีขอสังเกต จากลําดับของผลตางครั้งที่ 3 ซึ่งเทากับ -1, 1, 0, 1, 1, 2 ดังนี้พจนที่ 3 คือ 0 ไดจาก ผลบวกของจํานวนในพจนที่ 1 และ 2 -1 +1 = 0พจนที่ 4 คือ 1 ไดจาก ผลบวกของจํานวนในพจนที่ 2 และ 3 1 + 0 = 1พจนที่ 5 คือ 1 ไดจาก ผลบวกของจํานวนในพจนที่ 3 และ 4 0 + 1 = 1พจนที่ 6 คือ 2 ไดจาก ผลบวกของจํานวนในพจนที่ 4 และ 5 1 + 1 = 2

ผูสอนใหผูเรียนหาพจนถัดไปของลําดับที่กําหนดใหดังนี้จากลําดับผลตางครั้งที่ 3 พจนถัดไปของลําดับ -1, 1, 0, 1, 1, 2 คือ 3*

และจะไดพจนถัดไปของลําดับของผลตางครั้งที่ 2 เทากับ 8**

พจนถัดไปของลําดับของผลตางครั้งที่ 1 เทากับ 21***

นั่นคือพจนถัดไปของลําดับ 1 , 1 , 2 , 3 , 5 , 8 , 13 , 21 , 34เทากับ 21 + 34 หรือ 55

1 1 2 3 5 8 13 21 34 55

0 1 1 2 3 5 8 13 21***

1 0 1 1 2 3 5 8**

-1 1 0 1 1 2 3*

25

โจทยเพิ่มเติม

จงหาพจนถัดไปของลําดับที่กําหนดใหตอไปนี้1) 2 , 11 , 26 , 47, 74 5) 2 , 9 , 20 , 37 , 622) 3 , 12 , 23 , 37 , 55 6) 2 , 6 , 15 , 34 , 683) 1 , 9 , 18 , 30 , 47 7) 3 , 3 , 6 , 9 , 154) 4 , 7 , 12 , 19 , 28 8) 4 , 6 , 10 , 16 , 26

คําตอบ 1) 107 2) 78 3) 71 4) 395) 97 6) 122 7) 24 8) 42

26

ตัวอยางแบบทดสอบประจําบท

1. จงเขียนพจนที่ 1, 2 และ 3 ของลําดับตอไปนี้1) an =

n2 2) an = 2 – 3n

3) an = n(n – 1)

2. จงหาพจนที่ 5 ของลําดับที่กําหนดใหตอไปนี้1) 1, 6, 11, 16 2)

31 ,

54 ,

79 ,

916

3. จงหาวา 64 เปนพจนที่เทาใดของลําดับ an = 5n + 4

4. จงหาพจนทั่วไปของลําดับตอไปนี้1) 0, 1, 2, 32)

21 ,

32 ,

43 ,

54

5. จงหาผลตางรวมและพจนที่ n ของลําดับเลขคณิตตอไปนี้1) 1, 4, 7, 10, ...2) 14, 8, 2, –4, ...

6. จงหาอัตราสวนรวมและพจนที่ n ของลําดับเรขาคณิตตอไปนี้1)

21 ,

25 ,

225 ,

2125 , ...

2) 10, 5, 25 ,

45 , ...

7. จงหาวาลําดับที่กําหนดใหตอไปนี้ มีลําดับใดเปนลําดับเลขคณิต ลําดับใดเปนลําดับเรขาคณิต1) 15, 30, 60, 120, ...2) 15, 30, 45, 60, ...3) 15, 30, 90, 360, ...

27

8. ในชั้นเรียนหนึ่งมีนักเรียนทั้งหมด 35 คน ถานักเรียนคนที่ 1, 2, 3, 4, ..., 35 นับ 3, 6,9, 12, ... เรื่อย ๆ ไป ถามวา คนที่ 35 จะนับจํานวนใด

9. ถา 3 และ 127

เปนพจนที่ 1 และพจนที่ 5 ในลําดับเรขาคณิตจงหาพจนที่ 2, 3 และ 4 ของลําดับเรขาคณิตนี้

10. จงหาผลบวกของจํานวนคูทั้งหมดที่มีคาอยูระหวาง 41 และ 101

11. จงหาผลบวกของ 7 พจนแรกของอนุกรมที่กําหนดใหดังนี้4 + 4⋅31 + 4⋅32 + 4⋅33 + … + 4⋅36

12. ถาในการแขงฟุตบอลของโรงเรียนระดับประเทศครั้งหนึ่ง มีผูเขาแขงขันทั้งหมด 64 ทีมโดยในการแขงขันแตละครั้ง (ครั้งละ 2 ทีม) ทีมที่ชนะจะไดแขงขันในรอบตอไป ถามวาจะตองจัดการแขงขันทั้งหมดกี่ครั้ง จึงจะไดทีมที่ชนะเลิศตัวอยางเชน ถามีทั้งหมด 8 ทีม จะตองจัดการแขงขันทั้งหมด ดังนี้

จากแผนภาพพบวา จะตองจัดการแขงขันทั้งหมด 4 + 2 + 1 = 7 ครั้ง

1 ครั้ง2 ครั้ง

4 ครั้ง

ทีมที่ชนะเลิศ

28

เฉลยตัวอยางแบบทดสอบประจําบท

1. 1) an = 2n

a1 = 21

= 2

a2 = 22

= 1

a3 = 23

2) an = 2 – 3na1 = 2 – 3(1) = –1a2 = 2 – 3(2) = –4a3 = 2 – 3(3) = –7

3) an = n(n – 1)a1 = 1(1 – 1) = 0a2 = 2(2 – 1) = 2a3 = 3(3 – 1) = 6

2. 1) 21 2) 2511

3. จาก an = 5n + 4จะได 64 = 5n + 4

5n = 60n = 12

จะไดวา 64 เปนพจนที่ 12 ของลําดับ an = 5n + 4ตรวจสอบคําตอบ a12 = 5(12) + 4 = 64

29

4. 1) an = n – 1 2) an = nn 1+

5. 1) ผลตางรวมของลําดับ 1, 4, 7, 10, ... เทากับ 3จาก an = a1 + (n – 1)d เมื่อ a1 = 1 และ d = 3จะได an = 1 + (n – 1)3

= 3n – 2

2) ผลตางรวมของลําดับ 14, 8, 2, –4, ... เทากับ –6จาก an = a1 + (n – 1)d เมื่อ a1 = 14 และ d = –6จะได an = 14 + (n – 1)(–6)

= 14 – 6n + 6= 20 – 6n

6. 1) อัตราสวนรวมของลําดับ 1 5 25 125, , ,2 2 2 2

หาไดจาก5 12 2÷ = 25 5

2 2÷ = 125 25

2 2÷ = 5

จาก an = a1rn–1 เมื่อ a1 = 12

และ r = 5

จะได an = n 11 (5)2

−

2) อัตราสวนรวมของลําดับ 10, 5, 52

, 54

, ... หาไดจาก510

= 5 52÷ = 5 5

4 2÷ = 1

2

จาก an = a1rn–1 เมื่อ a1 = 10 และ r = 12

จะได an = n 1110( )2

−

30

7. 1) ลําดับเรขาคณิตที่มีอัตราสวนรวมเทากับ 22) ลําดับเลขคณิตที่มีผลตางรวมเทากับ 153) ไมเปนทั้งลําดับเลขคณิตและลําดับเรขาคณิต

8. พิจารณาลําดับ 3, 6, 9, 12, ... พบวา ลําดับดังกลาวเปนลําดับเลขคณิตที่มีผลตางรวมเทากับ 3จาก an = a1 + (n – 1)d เมื่อ a = 3 และ d = 3จะได a35 = 3 + (35 – 1)(3)

= 105ดังนั้น คนที่ 35 จะตองนับ 105

9. พิจารณาลําดับเรขาคณิต 3, a2, a3, a4, 127จาก an = a1rn–1

จะได 127

= 3r5–1

r4 = 4

13

= 41( )3

r = 13

จะได an = n 113( )3

−

a1 = 3 a2 = 1 a3 = 1

3

a4 = 19

และ a5 = 127

นั่นคือ 1, 13

, 19

เปนพจนสามพจนในลําดับเรขาคณิตที่เรียงอยูระหวาง 1

และ 127

31

10. พิจารณาลําดับของจํานวนคูที่มีคาอยูระหวาง 41 และ 101 จะไดลําดับ42, 44, 46, ..., 100

เนื่องจากลําดับขางตนเปนลําดับเลขคณิตที่มีผลตางรวมเทากับ 2จาก an = a1 + (n – 1)dจะได 100 = 42 + (n – 1)2

100 = 2n + 40และ n = 30จาก Sn = n

2(a1 + an)

จะได S30 = 302

(42 + 100)= 15(142)= 2130

นั่นคือ ผลบวกของจํานวนคูที่มีคาอยูระหวาง 41 และ 101 จะมีคาเปน 2130

11. จากอนุกรม 4 + 4⋅31 + 4⋅32 + … + 4⋅36 ซึ่งเปนอนุกรมเรขาคณิตที่มีa1 = 4 , r = 3

และ sn =n

1a (r 1)r 1

−−

จะได s7 =74(1 3 )

1 3−−

= 2(37 – 1)= 4372

32

12. ถามีทีมทั้งหมด 64 ทีม จะตองจัดการแขงขันครั้งแรกเทากับ 64 ÷ 2 = 32 หรือ 25 ครั้งนั่นคือ จะตองจัดการแขงขันทั้งหมด 1 + 21 + 22 + 23 + 24 + 25 ครั้งซึ่งผลบวกขางตนอยูในรูปอนุกรมเรขาคณิตที่มี a1 = 1 , r = 2 และ n = 5จาก sn =

n1a (r 1)r 1

−−

จะได s5 =51(2 1)2 1−−

= 63ดังนั้น จะตองจัดการแขงขันทั้งหมด 63 ครั้ง จึงจะไดทีมที่ชนะเลิศ





26

ตัวอยางแบบทดสอบประจําบท

1. จงเขียนพจนที่ 1, 2 และ 3 ของลําดับตอไปนี้1) an =

n2 2) an = 2 – 3n

3) an = n(n – 1)

2. จงหาพจนที่ 5 ของลําดับที่กําหนดใหตอไปนี้1) 1, 6, 11, 16 2)

31 ,

54 ,

79 ,

916

3. จงหาวา 64 เปนพจนที่เทาใดของลําดับ an = 5n + 4

4. จงหาพจนทั่วไปของลําดับตอไปนี้1) 0, 1, 2, 32)

21 ,

32 ,

43 ,

54

5. จงหาผลตางรวมและพจนที่ n ของลําดับเลขคณิตตอไปนี้1) 1, 4, 7, 10, ...2) 14, 8, 2, –4, ...

6. จงหาอัตราสวนรวมและพจนที่ n ของลําดับเรขาคณิตตอไปนี้1)

21 ,

25 ,

225 ,

2125 , ...

2) 10, 5, 25 ,

45 , ...

7. จงหาวาลําดับที่กําหนดใหตอไปนี้ มีลําดับใดเปนลําดับเลขคณิต ลําดับใดเปนลําดับเรขาคณิต1) 15, 30, 60, 120, ...2) 15, 30, 45, 60, ...3) 15, 30, 90, 360, ...

27

8. ในชั้นเรียนหนึ่งมีนักเรียนทั้งหมด 35 คน ถานักเรียนคนที่ 1, 2, 3, 4, ..., 35 นับ 3, 6,9, 12, ... เรื่อย ๆ ไป ถามวา คนที่ 35 จะนับจํานวนใด

9. ถา 3 และ 127

เปนพจนที่ 1 และพจนที่ 5 ในลําดับเรขาคณิตจงหาพจนที่ 2, 3 และ 4 ของลําดับเรขาคณิตนี้

10. จงหาผลบวกของจํานวนคูทั้งหมดที่มีคาอยูระหวาง 41 และ 101

11. จงหาผลบวกของ 7 พจนแรกของอนุกรมที่กําหนดใหดังนี้4 + 4⋅31 + 4⋅32 + 4⋅33 + … + 4⋅36

12. ถาในการแขงฟุตบอลของโรงเรียนระดับประเทศครั้งหนึ่ง มีผูเขาแขงขันทั้งหมด 64 ทีมโดยในการแขงขันแตละครั้ง (ครั้งละ 2 ทีม) ทีมที่ชนะจะไดแขงขันในรอบตอไป ถามวาจะตองจัดการแขงขันทั้งหมดกี่ครั้ง จึงจะไดทีมที่ชนะเลิศตัวอยางเชน ถามีทั้งหมด 8 ทีม จะตองจัดการแขงขันทั้งหมด ดังนี้

จากแผนภาพพบวา จะตองจัดการแขงขันทั้งหมด 4 + 2 + 1 = 7 ครั้ง


4 ครั้ง


28

เฉลยตัวอยางแบบทดสอบประจําบท

1. 1) an = 2n

a1 = 21

= 2

a2 = 22

= 1

a3 = 23

2) an = 2 – 3na1 = 2 – 3(1) = –1a2 = 2 – 3(2) = –4a3 = 2 – 3(3) = –7

3) an = n(n – 1)a1 = 1(1 – 1) = 0a2 = 2(2 – 1) = 2a3 = 3(3 – 1) = 6

2. 1) 21 2) 2511

3. จาก an = 5n + 4จะได 64 = 5n + 4

5n = 60n = 12

จะไดวา 64 เปนพจนที่ 12 ของลําดับ an = 5n + 4ตรวจสอบคําตอบ a12 = 5(12) + 4 = 64

29

4. 1) an = n – 1 2) an = nn 1+

5. 1) ผลตางรวมของลําดับ 1, 4, 7, 10, ... เทากับ 3จาก an = a1 + (n – 1)d เมื่อ a1 = 1 และ d = 3จะได an = 1 + (n – 1)3

= 3n – 2

2) ผลตางรวมของลําดับ 14, 8, 2, –4, ... เทากับ –6จาก an = a1 + (n – 1)d เมื่อ a1 = 14 และ d = –6จะได an = 14 + (n – 1)(–6)

= 14 – 6n + 6= 20 – 6n

6. 1) อัตราสวนรวมของลําดับ 1 5 25 125, , ,2 2 2 2

หาไดจาก5 12 2÷ = 25 5

2 2÷ = 125 25

2 2÷ = 5

จาก an = a1rn–1 เมื่อ a1 = 12

และ r = 5

จะได an = n 11 (5)2

−

2) อัตราสวนรวมของลําดับ 10, 5, 52

, 54

, ... หาไดจาก510

= 5 52÷ = 5 5

4 2÷ = 1

2

จาก an = a1rn–1 เมื่อ a1 = 10 และ r = 12

จะได an = n 1110( )2

−

30

7. 1) ลําดับเรขาคณิตที่มีอัตราสวนรวมเทากับ 22) ลําดับเลขคณิตที่มีผลตางรวมเทากับ 153) ไมเปนทั้งลําดับเลขคณิตและลําดับเรขาคณิต

8. พิจารณาลําดับ 3, 6, 9, 12, ... พบวา ลําดับดังกลาวเปนลําดับเลขคณิตที่มีผลตางรวมเทากับ 3จาก an = a1 + (n – 1)d เมื่อ a = 3 และ d = 3จะได a35 = 3 + (35 – 1)(3)

= 105ดังนั้น คนที่ 35 จะตองนับ 105

9. พิจารณาลําดับเรขาคณิต 3, a2, a3, a4, 127จาก an = a1rn–1

จะได 127

= 3r5–1

r4 = 4

13

= 41( )3

r = 13

จะได an = n 113( )3

−

a1 = 3 a2 = 1 a3 = 1

3

a4 = 19

และ a5 = 127

นั่นคือ 1, 13

, 19

เปนพจนสามพจนในลําดับเรขาคณิตที่เรียงอยูระหวาง 1

และ 127

31

10. พิจารณาลําดับของจํานวนคูที่มีคาอยูระหวาง 41 และ 101 จะไดลําดับ42, 44, 46, ..., 100

เนื่องจากลําดับขางตนเปนลําดับเลขคณิตที่มีผลตางรวมเทากับ 2จาก an = a1 + (n – 1)dจะได 100 = 42 + (n – 1)2

100 = 2n + 40และ n = 30จาก Sn = n

2(a1 + an)

จะได S30 = 302

(42 + 100)= 15(142)= 2130

นั่นคือ ผลบวกของจํานวนคูที่มีคาอยูระหวาง 41 และ 101 จะมีคาเปน 2130

11. จากอนุกรม 4 + 4⋅31 + 4⋅32 + … + 4⋅36 ซึ่งเปนอนุกรมเรขาคณิตที่มีa1 = 4 , r = 3

และ sn =n

1a (r 1)r 1

−−

จะได s7 =74(1 3 )

1 3−−

= 2(37 – 1)= 4372

32

12. ถามีทีมทั้งหมด 64 ทีม จะตองจัดการแขงขันครั้งแรกเทากับ 64 ÷ 2 = 32 หรือ 25 ครั้งนั่นคือ จะตองจัดการแขงขันทั้งหมด 1 + 21 + 22 + 23 + 24 + 25 ครั้งซึ่งผลบวกขางตนอยูในรูปอนุกรมเรขาคณิตที่มี a1 = 1 , r = 2 และ n = 5จาก sn =

n1a (r 1)r 1

−−

จะได s5 =51(2 1)2 1−−

= 63ดังนั้น จะตองจัดการแขงขันทั้งหมด 63 ครั้ง จึงจะไดทีมที่ชนะเลิศ





33

เฉลยแบบฝกหัด 1.1.1

1. 1) จาก an = 2n + 5จะได a1 = 2(1) + 5 = 7

a2 = 2(2) + 5 = 9a3 = 2(3) + 5 = 11a4 = 2(4) + 5 = 13

ดังนั้น 4 พจนแรกของลําดับนี้คือ 7, 9, 11, 13

2) จาก an =n

21

จะได a1 =1

21

= 2

1

a2 =2

21

=

41

a3 =3

21

=

81

a4 =4

21

=

161

ดังนั้น 4 พจนแรกของลําดับนี้คือ 21 ,

41 ,

81 ,

161

3) จาก an = (–2)n

จะได a1 = (–2)1 = –2a2 = (–2)2 = 4a3 = (–2)3 = –8a4 = (–2)4 = 16

ดังนั้น 4 พจนแรกของลําดับนี้คือ –2, 4, –8, 16

4) จาก an =n1n +

จะได a1 =111+ = 2

a2 =212+ =

23

34

a3 =313+ =

34

a4 =414+ =

45

ดังนั้น 4 พจนแรกของลําดับนี้คือ 2, 23 ,

34 ,

45

5) จาก an =n)1(1 n−+

จะได a1 =1)1(1 1−+ = 0

a2 =2)1(1 2−+ = 1

a3 =3)1(1 3−+ = 0

a4 =4)1(1 4−+ =

21


6) จาก an = n

n

32

จะได a1 =1

123

=32

a2 = 2

2

32 = 9

4

a3 = 3

3

32 = 27

8

a4 = 4

4

32 = 81

16

ดังนั้น 4 พจนแรกของลําดับนี้คือ 32 , 9

4 , 278 , 81

16

7) จาก an = (n – 1)(n + 1)จะได a1 = (1 – 1)(1 + 1) = 0

a2 = (2 – 1)(2 + 1) = 3a3 = (3 – 1)(3 + 1) = 8a4 = (4 – 1)(4 + 1) = 15


35

8) จาก an = n(n – 1)(n – 2)จะได a1 = 1(1 – 1)(1 – 2) = 0

a2 = 2(2 – 1)(2 – 2) = 0a3 = 3(3 – 1)(3 – 2) = 6a4 = 4(4 – 1)(4 – 2) = 24


2. 1) 2 , 6 , 10 , 14 , 18 , 22 +4 +4 +4 +4 +4

2) 200 , 195 , 190 , 185 , 180 , 175 –5 –5 –5 –5 –5

3) 1 , 4 , 16 , 64 , 256 , 1024 ×4 ×4 ×4 ×4 ×4

4) 729 , 243 , 81 , 27 , 9 , 3 ÷3 ÷3 ÷3 ÷3 ÷3

5) 2 , 7 , 17 , 32 , 52 , 77 +5 +10 +15 +20 +25

6) 5 , 10 , 30 , 120 , 600 , 3600 ×2 ×3 ×4 ×5 ×6

7) 5 , 4 , 1 , –4 , –11 , –20 –1 –3 –5 –7 –9

8) 100 , 98 , 94 , 88 , 80 , 70 –2 –4 –6 –8 –10

36


1. 1) an = 4n – 2a1 = 4(1) – 2 = 2a2 = 4(2) – 2 = 6a3 = 4(3) – 2 = 10a4 = 4(4) – 2 = 14

2) an = n(n – 1)a1 = 1(1 – 1) = 0a2 = 2(2 – 1) = 2a3 = 3(3 – 1) = 6a4 = 4(4 – 1) = 12

3) an = 2nn 1+

a1 = 2(1)1 1+

= 1

a2 = 2(2)2 1+

= 43

a3 = 2(3)3 1+

= 32

a4 = 2(4)4 1+

= 85

4) an =n1

2

a1 =11

2

= 12

a2 =21

2

= 14

a3 =31

2

= 18

a4 =41

2

= 116

37

5) an = (–1)n

a1 = (–1)1 = –1a2 = (–1)2 = 1a3 = (–1)3 = –1a4 = (–1)4 = 1

2. 1) 1, 12

, 14

, 18

an = n 1

12 −

2) 1, 3, 9, 27an = 3n–1

3) 24, 8, 83

, 89

an = n 1124

3

− ×

4) 2 3 4 5, , ,3 4 5 6

an = n 1n 2++

5) 0.4, 0.04, 0.004, 0.0004an = n

410

38

3. 1) พิจารณาลําดับ 1, 3, 5, 7, 9, ...จะเห็นวา a1 = 1 = 2(1) – 1

a2 = 3 = 2(2) – 1a3 = 5 = 2(3) – 1a4 = 7 = 2(4) – 1a5 = 9 = 2(5) – 1

ดังนั้น พจนทั่วไป an = 2n – 1

2) พิจารณาลําดับ 4, 8, 12, 16, 20, ...จะเห็นวา a1 = 4 = 4(1)

a2 = 8 = 4(2)a3 = 12 = 4(3)a4 = 16 = 4(4)a5 = 20 = 4(5)

ดังนั้น พจนทั่วไป an = 4n

3) พิจารณาลําดับ 3, 7, 11, 15, 19, ...จะเห็นวา a1 = 3 = 4(1) – 1

a2 = 7 = 4(2) – 1a3 = 11 = 4(3) – 1a4 = 15 = 4(4) – 1a5 = 19 = 4(5) – 1


39

4) พิจารณาลําดับ 7, 12, 17, 22, 27, ...จะเห็นวา a1 = 7 = 5(1) + 2

a2 = 12 = 5(2) + 2a3 = 17 = 5(3) + 2a4 = 22 = 5(4) + 2a5 = 27 = 5(5) + 2

ดังนั้น พจนทั่วไป an = 5n + 2

5) พิจารณาลําดับ 1, 6, 11, 16, 21, ...จะเห็นวา a1 = 1 = 5(1) – 4

a2 = 6 = 5(2) – 4a3 = 11 = 5(3) – 4a4 = 16 = 5(4) – 4a5 = 21 = 5(5) – 4


6) พิจารณาลําดับ 0, –1, –2, –3, –4, ...จะเห็นวา a1 = 0 = 1 – 1

a2 = –1 = 1 – 2a3 = –2 = 1 – 3a4 = –3 = 1 – 4a5 = –4 = 1 – 5

ดังนั้น พจนทั่วไป an = 1 – n

40

7) พิจารณาลําดับ 1, –1, –3, –5, –7, ...จะเห็นวา a1 = 1 = 3 – 2(1)

a2 = –1 = 3 – 2(2)a3 = –3 = 3 – 2(3)a4 = –5 = 3 – 2(4)a5 = –8 = 3 – 2(5)

ดังนั้น พจนทั่วไป an = 3 – 2n

8) พิจารณาลําดับ 3, 0, –3, –6, –9, ...จะเห็นวา a1 = 3 = 6 – 3(1)

a2 = 0 = 6 – 3(2)a3 = –3 = 6 – 3(3)a4 = –6 = 6 – 3(4)a5 = –9 = 6 – 3(5)


9) พิจารณาลําดับ 3, 1, –1, –3, –5, ...จะเห็นวา a1 = 3 = 5 – 2(1)

a2 = 1 = 5 – 2(2)a3 = –1 = 5 – 2(3)a4 = –3 = 5 – 2(4)a5 = –5 = 5 – 2(5)


41

10) พิจารณาลําดับ –5, –3, –1, 1, 3, ...จะเห็นวา a1 = –5 = 2(1) – 7

a2 = –3 = 2(2) – 7a3 = –1 = 2(3) – 7a4 = 1 = 2(4) – 7a5 = 3 = 2(5) – 7


11) พิจารณาลําดับ31 ,

61 ,

91 ,

121 ,

151 , ...

จะเห็นวา a1 =31 =

)1(31

a2 =61 =

)2(31

a3 = 91 =

)3(31

a4 =121 =

)4(31

a5 =151 =

)5(31

ดังนั้น พจนทั่วไป an = n31

12) พิจารณาลําดับ 1, 41 , 9

1 , 161 ,

251 , ...

จะเห็นวา a1 = 1 = 11

a2 =41 = 2

12

a3 = 91 = 2

13

a4 =161 = 2

14

a5 =251 = 2

15

ดังนั้น พจนทั่วไป an = 2n1

42


32 ,

43 ,

54 ,

65 , ...


111+

a2 =32 =

122+

a3 =43 = 3

3 1+

a4 =54 = 4

4 1+

a5 =65 = 5

5 1+

ดังนั้น พจนทั่วไป an = 1nn+


74 ,

98 ,

1116 ,

1332 , ...


3)1(221

+

a2 =74 =

3)2(222

+

a3 =98 =

3)3(223

+

a4 =1116 =

3)4(224

+

a5 =1332 =

3)5(225

+

ดังนั้น พจนทั่วไป an = 3n2

2n

+

15) พิจารณาลําดับ 0, 21 ,

32 ,

43 ,

54 , ...

จะเห็นวา a1 = 0 =111−

a2 =21 =

212−

a3 =32 =

313−

a4 =43 =

414−

a5 =54 =

515−

ดังนั้น พจนทั่วไป an = n1n −

43


1. 1) จาก a1 = 2, d = 4จะได a2 = a1 + d = 2 + 4 = 6

a3 = a1 + 2d = 2 + 2(4) = 10a4 = a1 + 3d = 2 + 3(4) = 14

ดังนั้น 4 พจนแรกของลําดับเลขคณิตนี้คือ 2, 6, 10, 14

2) จาก a1 = 3, d = 5จะได a2 = a1 + d = 3 + 5 = 8

a3 = a1 + 2d = 3 + 2(5) = 13a4 = a1 + 3d = 3 + 3(5) = 18

ดังนั้น 4 พจนแรกของลําดับเลขคณิตนี้คือ 3, 8, 13, 18

3) จาก a1 = –3, d = 3จะได a2 = a1 + d = –3 + 3 = 0

a3 = a1 + 2d = –3 + 2(3) = 3a4 = a1 + 3d = –3 + 3(3) = 6

ดังนั้น 4 พจนแรกของลําดับเลขคณิตนี้คือ –3, 0, 3, 6

4) จาก a1 = –4, d = 2จะได a2 = a1 + d = –4 + 2 = –2

a3 = a1 + 2d = –4 + 2(2) = 0a4 = a1 + 3d = –4 + 3(2) = 2

ดังนั้น 4 พจนแรกของลําดับเลขคณิตนี้คือ –4, –2, 0, 2

44

5) จาก a1 = 5, d = –2จะได a2 = a1 + d = 5 + (–2) = –3

a3 = a1 + 2d = 5 + 2(–2) = 1a4 = a1 + 3d = 5 + 3(–2) = –1

ดังนั้น 4 พจนแรกของลําดับเลขคณิตนี้คือ 5, 3, 1, –1

6) จาก a1 = –3, d = –4จะได a2 = a1 + d = –3 + (–4) = –7

a3 = a1 + 2d = –3 + 2(–4) = –11a4 = a1 + 3d = –3 + 3(–4) = –15

ดังนั้น 4 พจนแรกของลําดับเลขคณิตนี้คือ –3, –7, –11, –15

7) จาก a1 = 21 , d =

21

จะได a2 = a1 + d = 21

21 + = 1

a3 = a1 + 2d =

+212

21 =

23

a4 = a1 + 3d =

+213

21 = 2

ดังนั้น 4 พจนแรกของลําดับเลขคณิตนี้คือ 21 , 1,

23 , 2

8) จาก a1 = 25 , d =

23−

จะได a2 = a1 + d =

−+23

25 = 1

a3 = a1 + 2d =

−+232

25 =

21−

a4 = a1 + 3d =

−+233

25 = –2

ดังนั้น 4 พจนแรกของลําดับเลขคณิตนี้คือ 25 , 1,

21− , –2

45

2. 1) จาก an = a1 + (n – 1)d เมื่อ a1 = 4, d = 3จะได a3 = 4 + (3 – 1)3

a3 = 4 + 6a3 = 10

2) จาก an = a1 + (n – 1)d เมื่อ a1 = –4, d = –5จะได a8 = –4 + (8 – 1)(–5)

a8 = –4 – 35a8 = –39

3) จาก an = a1 + (n – 1)d เมื่อ a1 = –5, d = 2จะได a9 = –5 + (9 – 1)2

a9 = 11

4) จาก an = a1 + (n – 1)d เมื่อ a1 = 7, d = –3จะได a12 = 7 + (12 – 1)(–3)

a12 = –26

5) จาก an = a1 + (n – 1)d เมื่อ a1 = 54 , d = –1

จะได a20 = 54 + (20 – 1)(–1) = 4 19

5−

a12 = 915

−

6) จาก an = a1 + (n – 1)d เมื่อ a1 = 21− , d = –2

จะได a15 = 21− + (15 – 1)(–2) = 1 28

2− − = 1( 28)

2− +

a15 = 1282

−

46

7) จาก an = a1 + (n – 1)d เมื่อ a1 = 4, d = 21

จะได a11 = 4 + (11 – 1)( 12

)a11 = 9

8) จาก an = a1 + (n – 1)d เมื่อ a1 = 34 , d =

31

จะได a15 = 43

+ (15 – 1)( 13

) = 4 143 3+

a15 = 6

3. 1) จากลําดับเลขคณิต 11, 13, 15, 17, 19, ... ที่มี a1 = 11 และ d = 2จะได an = 11 + (n – 1)2

= 2n + 9ดังนั้น พจนที่ n หรือ an = 2n + 9

2) จากลําดับเลขคณิต 7, 10, 13, 16, 19, ... ที่มี a1 = 7 และ d = 3จะได an = 7 + (n – 1)3

= 3n + 4ดังนั้น พจนที่ n หรือ an = 3n + 4

3) จากลําดับเลขคณิต 2, –1, –4, –7, –10, ... ที่มี a1 = 2 และ d = –3จะได an = 2 + (n – 1)(–3)

= 5 – 3nดังนั้น พจนที่ n หรือ an = 5 – 3n

4) จากลําดับเลขคณิต 4, 2, 0, –2, –4, ... ที่มี a1 = 4 และ d = –2จะได an = 4 + (n – 1)(–2)

= 6 – 2nดังนั้น พจนที่ n หรือ an = 6 – 2n

47

5) จากลําดับเลขคณิต 0, 21 , 1,

23 , 2, ... ที่มี a1 = 0 และ d =

21

จะได an = 0 + (n – 1)(21 )

=21n−

ดังนั้น พจนที่ n หรือ an = 21n−

6) จากลําดับเลขคณิต 23 , 2,

25 , 3,

27 , ... ที่มี a1 =

23 และ d =

21

จะได an =23 + (n – 1)(

21 )

= 12n+

ดังนั้น พจนที่ n หรือ an = 12n+ หรือ n 2

2+

4. จาก an = –n – 3จะได a20 = –20 – 3 = –23

a50 = –50 – 3 = –53

5. จากลําดับเลขคณิต 3, 8, 13, 18, 23, ... ที่มี a1 = 3 และ d = 5จาก an = a1 + (n – 1)dจะได a15 = 3 + (15 – 1)(5)

a15 = 73

6. กําหนดให a6 = 12 และ a10 = 16จะได a1 + 5d = 12 --------- (1)และ a1 + 9d = 16 --------- (2)(2) – (1) 4d = 4

d = 1แทน d = 1 ใน (1) จะได a1 = 7ดังนั้น พจนแรกของลําดับเลขคณิตนี้คือ 7

48

7. ให a3 = 20 และ a7 = 32จะได a1 + 2d = 20 --------- (1)และ a1 + 6d = 32 --------- (2)(2) – (1) 4d = 12

d = 3แทน d = 3 ใน (1) จะได a1 = 14จาก an = a1 + (n – 1)dจะได a25 = 14 + (25 – 1)(3)

a25 = 86

8. ให a2 = 16 และ a12 = 116จะได a1 + d = 16 --------- (1)และ a1 + 11d = 116 --------- (2)(2) – (1) 10d = 100

d = 10แทน d = 10 ใน (1) จะได a1 = 6จาก an = a1 + (n – 1)d

= 6 + (n – 1)(10)= 10n – 4

จะไดวา an = 10n – 4 และ d = 10

9. ลําดับ –1, –6, –11, ... เปนลําดับเลขคณิตที่มี a1 = –1 และ d = –5จาก an = a1 + (n – 1)dจะได –176 = –1 + (n – 1)(–5)

–175 = (n – 1)(–5)35 = n – 136 = n

ดังนั้น –176 เปนพจนที่ 36 ของลําดับเลขคณิต –1, –6, –11, ...

49

10. จํานวนสามจํานวนแรกซึ่งอยูระหวาง 100 ถึง 1000 ที่หารดวย 13 ลงตัว คือ 104,117, 130 จํานวนสุดทายซึ่งอยูระหวาง 100 ถึง 1000 ที่หารดวย 13 ลงตัว คือ 988เขียนจํานวนขางตนเปนลําดับไดดังนี้ 104, 117, 130, ..., 988จะเห็นวาลําดับดังกลาวเปนลําดับเลขคณิตที่มี a1 = 104 และ d = 13จาก an = a1 + (n – 1)dจะได 988 = 104 + (n – 1)(13)

884 = 13n – 1313n = 897n = 69

จะไดวา จํานวนซึ่งอยูระหวาง 100 กับ 1000 ที่หารดวย 13 ลงตัว มีทั้งหมด 69 จํานวน

11. ให a1, a2, a3, ... เปนลําดับเลขคณิตที่มี a1 = 39 และ a3 = 51จะได a1 + 2d = 51

39 + 2d = 512d = 12

d = 6และ a2 = a1 + d = 39 + 6 = 45ดังนั้น จํานวนที่อยูระหวาง 39 และ 51 ที่ทําใหสามจํานวนนี้อยูในลําดับเลขคณิตคือ 45

12. ให a1 = 5 และ a7 = 29 เปนพจนที่ 1 และพจนที่ 7 ในลําดับเลขคณิตจะได a1 + 6d = 29

5 + 6d = 296d = 24

d = 4ดังนั้น 5 พจนซึ่งเรียงอยูระหวาง 5 กับ 29 คือ 5 + 4, 5 + 2 (4), 5 + 3(4) และ 5 + 4(4)หรือ 9, 13, 17, 21, 25

50

13. ให a1 = 20, a2 = 16 และ a3 = 12 เปนพจนสามพจนในลําดับเลขคณิตจาก 20, 16, 12... จะได d = –4จาก an = a1 + (n – 1)d

–96 = 20 + (n – 1)(–4)4n = 96 + 20 + 4n = 120

4n = 30

ดังนั้น –96 เปนพจนที่ 30 ของลําดับเลขคณิต 20, 16, 12, ...

14. ให a1 เปนราคาที่บริษัทรับซื้อคืนสําหรับรถยนตที่ใชแลว 1 ป a5 เปนราคาที่บริษัทรับซื้อคืนสําหรับรถยนตที่ใชแลว 5 ปโดยที่ a1 = 900,000 และ d = –70,000จาก a5 = a1 + 4d

= 900,000 + 4(–70,000)= 620,000

ดังนั้น เมื่อครบ 5 ป บริษัทที่ขายรถยนตคันนี้จะรับซื้อคืนในราคา 620,000 บาท

15. ให a1 = 52 และ an = 7 โดยที่ d = –1จาก an = a1 + (n – 1)dจะได 7 = 52 + (n – 1)(–1)

53 – n = 7n = 46

ดังนั้น มีไมทั้งหมด 46 ชั้นนั่นคือ ความสูงของไมกองนี้ เทากับ 46 × 3 หรือ 138 เซนติเมตร

51


1. 1) ลําดับ 2, 4, 8, 16, ...อัตราสวนรวมคือ 4

2 = 2

2) ลําดับ 18, 6, 2, 23

, ...

อัตราสวนรวมคือ 618

= 13

3) ลําดับ 75, 15, 3, 35

, ...


= 15

4) ลําดับ –8, –0.8, –0.08, –0.008, ...อัตราสวนรวมคือ 0.8

8−−

= 110

5) ลําดับ –1, 1, –1, 1, ...อัตราสวนรวมคือ 1

1− = –1

6) ลําดับ 23

, 43

, 83

, 163

, ...

อัตราสวนรวมคือ 4 23 3÷ =

43

× 32

= 2

7) ลําดับ 1x

, 2

1x

, 3

1x

, ...


1 1x x

÷ = 2

1x

× x = 1x

8) ลําดับ 5, 5a2

, 25a4

, 35a8

...

อัตราสวนรวมคือ 5a 52÷ = 5a

2× 15

= a2

2. 1) จากลําดับเรขาคณิต 1, 7, 49, 343, ... ที่มี a1 = 1 และ r2 = 7จะได a5 = a1r4 = 74 = 2401

a6 = a1r5 = 75 = 16807a7 = a1r6 = 76 = 117649

ดังนั้น สามพจนถัดไปคือ 2401, 16807, 117649

52

2) จากลําดับเรขาคณิต –1, 2, –4, 8, ... ที่มี a1 = –1 และ r2 = –2จะได a5 = (–1)(–2)4 = –16

a6 = (–1)(–2)5 = 32a7 = (–1)(–2)6 = –64

ดังนั้น สามพจนถัดไปคือ –16, 32, –64

3) จากลําดับเรขาคณิต 3, 1, 13

, 19

, ... ที่มี a1 = 3 และ r = 13

จะได a5 = 413

3

= 127

a6 =513

3

= 181

a7 =613

3

= 1243

ดังนั้น สามพจนถัดไปคือ 127

, 181

, 1243

3. จากลําดับเรขาคณิต 2, 4, 8, 16, ... ที่มี a1 = 2 และ r = 2จาก an = a1rn–1

จะได a9 = 2(2)8

a9 = 512

4. จากลําดับเรขาคณิต 2, –10, 50, –250, ... ที่มี a1 = 2 และ r = –5จาก an = a1rn–1

จะได a11 = 2(–5)10

a11 = 2(510)

5. จากลําดับเรขาคณิต 1, a2

, 2a4

, 3a8

, ... ที่มี a1 = 1 และ r = a2

จาก an = a1rn–1

จะได a10 =9a1

2

=9a

512

53

6. จากลําดับเรขาคณิต 12

, 16

, 118

, 154

, ... ที่มี a1 = 12

และ r = 13


จะได a8 =71 1

2 3

a8 = 14374

7. 1) จากลําดับเรขาคณิต 1, 3, 9, ... ที่มี a1 = 1 และ r = 3จาก an = a1rn–1

จะได an = 1(3)n–1

= 3n–1

2) จากลําดับเรขาคณิต 25, 5, 1, ... ที่มี a1 = 25 และ r = 15


จะได an = 25n 11

5

−

= 53–n

3) จากลําดับเรขาคณิต 1, –1, 1, –1 ที่มี a1 = 1 และ r = –1จาก an = a1rn–1

จะได an = 1(–1)n–1

= (–1)n–1

4) จากลําดับเรขาคณิต –2, 4, –8, ... ที่มี a1 = –2 และ r = –2จาก an = a1rn–1

จะได an = (–2)(–2)n–1

= (–2)n

54

5) จากลําดับเรขาคณิต 1x

, 21x

, 31x

, ... ที่มี a1 = 1x

และ r = 1x


จะได an =n 11 1

x x

−

= n1x

6) จากลําดับเรขาคณิต 1, 0.3, 0.09, 0.027, ... ที่มี a1 = 1 และ r = 0.3จาก an = a1rn–1

จะได an = 1(0.3)n–1

= (0.3)n–1

7) จากลําดับเรขาคณิต –8, –0.8, –0.08, –0.008, ... ที่มี a1 = –8 และ r = 110


จะได an = (–8)n 11

10

−

= n 18

10 −−

8) จากลําดับเรขาคณิต 2, 2 3 , 6, ... ที่มี a1 = 2 และ r = 3


จะได an = 2( 3 )n–1

8. ให a5 = 323

และ r = 2

จะได a1r4 = 323

a1(24) = 323

a1 = 32 13 16×

ดังนั้น พจนแรกของลําดับคือ 23

55

9. ให a3 = 12 และ a6 = 96จะได a3 = a1r2 = 12 ---------- (1)และ a6 = a1r5 = 96 ---------- (2)(2) ÷ (1) จะได r3 = 8

r = 2ดังนั้น อัตราสวนรวมของลําดับนี้คือ 2

10. ให a2 = 38 และ a5 = 64

81

จะได a1r = 83

---------- (1)

และ a1r4 = 6481

---------- (2)

(2) ÷ (1) จะได r3 = 827

r = 23

ดังนั้น อัตราสวนรวมของลําดับนี้คือ 23

11. ให ar

, a, ar เปนสามพจนแรกของลําดับเรขาคณิต

จะได ar

+ a + ar = –3 ---------- (1)

และ ar

(a)(ar) = 8

a3 = 8a = 2

แทน a = 2 ใน (1) จะได 2r

+ 2 + 2r = –32 + 2r + 2r2 = – 3r

2r2 + 5r + 2 = 0(2r + 1)(r + 2) = 0

r = 12

− , –2

56

ถา a = 2, r = 12

− จะไดลําดับเรขาคณิต –4, 2, –1, 12

, ....ถา a = 2, r = –2 จะไดลําดับเรขาคณิต –1, 2, –4, 8, ...เมื่อตรวจสอบคําตอบจะพบวา ลําดับเรขาคณิตขางตนมีผลบวกและผลคูณของสามพจนแรกเทากับ –3 และ 8 ตามลําดับ

12. 1) ให a1 = 5 และ a3 = 20จะได a1r2 = 20

5r2 = 20r = ±2

ถา r = 2 จํานวนที่อยูระหวาง 5 และ 20 คือ 10ถา r = –2 จํานวนที่อยูระหวาง 5 และ 20 คือ –10

2) ให a1 = 8 และ a3 = 12จะได a1r2 = 12

8r2 = 12r = 3

2±

ถา r = 32

จํานวนที่อยูระหวาง 8 และ 12 คือ 4 6

ถา r = 32

− จํานวนที่อยูระหวาง 8 และ 12 คือ 4 6−

13. ลําดับเรขาคณิต 2, –6, 18, ... ที่มี a1 = 2 และ r = –3จาก an = a1rn–1

จะได 162 = 2(–3)n–1

81 = (–3)n–1

(–3)4 = (–3)n–1

n – 1 = 4n = 5

ดังนั้น 162 เปนพจนที่ 5 ของลําดับเรขาคณิต 2, –6, 18, ...

57

14. ในป พ.ศ. 2540 มีประชากร 60,000 คน และแตละปมีประชากรเพิ่มขึ้น 2%ถาเดิมมีประชากร 60000 คน สิ้นปแรกจะมีประชากร 60000 × 1.02 คนถาเดิมมีประชากร 60000 × 1.02 คน สิ้นปจะมีประชากร 60000 × (1.02)2 คนถาเดิมมีประชากร 60000 × (1.02)2 คน สิ้นปจะมีประชากร 60000 × (1.02)3 คนดังนั้น จํานวนประชากรในอีก n ป ขางหนานับจากป พ.ศ. 2540 คือ

60000 × (1.02)n คนในป พ.ศ. 2555 หรืออีก 15 ปตอไป จะมีประชากรเทากับ 60000 × (1.02)15 คน

≈ 80,752 คน

15. 1) ลําดับ 7, 9, 11, 13, ...,เปนลําดับเลขคณิต มีผลตางรวมเปน 2

2) ลําดับ 6, –6, 6, –6, ...,เปนลําดับเรขาคณิต มีอัตราสวนรวมเปน –1

3) ลําดับ 4, 2, 0, –2, ...,เปนลําดับเลขคณิต มีผลตางรวมเปน –2

4) ลําดับ 3, 1, 31 ,

91 , ...,

เปนลําดับเรขาคณิต มีอัตราสวนรวมเปน 13

5) ลําดับ 14

− , 25

− , 12

− , 47

− , ...,ไมเปนทั้งลําดับเลขคณิตและลําดับเรขาคณิต


1. ลําดับเลขคณิต 5, 7, 9, 11, 13, ... มี a1 = 5 และ d = 2จาก Sn = n

2{2a1 + (n – 1)d}

จะได S50 = 502

{2(5) + (50 – 1)2}= 25(108)= 2,700

58


2{2a1 + (n – 1)d}

จะได S30 = 302

{2(0) + (30 – 1)2}= 15(58)= 870


2{2a1 + (n – 1)d}

จะได S40 = 402

{2(2) + (40 – 1)4}= 20(160)= 3,200

4. ลําดับเลขคณิต –2, 3, 8, 13, 18, ... มี a1 = –2 และ d = 5จาก Sn = n

2{2a1 + (n – 1)d}

จะได S60 = 602

{2(–2) + (60 – 1)5}= 30(291)= 8,730

5. ลําดับเลขคณิต 5, 2, –1, –4, –7, ... มี a1 = 5 และ d = –3จาก Sn = n

2{2a1 + (n – 1)d}

จะได S75 = 752

{2(5) + (75 – 1)(–3)}

= 752

(–212)= –7,950

59

6. ลําดับเลขคณิต 12

, 1, 32

, 2, 52

, ... มี a1 = 12

และ d = 12

จาก Sn = n2

{2a1 + (n – 1)d}

จะได S50 = 502

{2 12

+ (50 – 1) 12

}

= 25 512

= 12752

7. ลําดับเลขคณิต 13

− , 13

, 1, 53

, 73

, ... มี a1 = 13

− และ d = 23

จาก Sn = n2

{2a1 + (n – 1)d}

จะได S100 = 1002

{2 13

−

+ (100 – 1) 23

}

= 50 1963

= 98003

8. 1) ลําดับ 6, 9, 12, 15, ..., 99 เปนลําดับเลขคณิต ที่มี a1 = 6 และ d = 3จาก an = a1 + (n – 1)dจะได 99 = 6 + (n – 1)3

n = 32และ S32 = 6 + 9 + 12 + 15 + ... + 99จาก Sn = 1 n

n (a a )2

+

S32 = 322

(6 + 99)= 16 (105)= 1,680

60

2) เนื่องจากลําดับ –7, –10, –13, –16, ..., –109 เปนลําดับเลขคณิตที่มี a1 = –7 และ d = –3จาก an = a1 + (n – 1)d

–109 = (–7) + (n – 1)(–3)จะได n = 35และ S35 = (–7) + (–10) + (–13) + (–16) + ... + (–109)

= 352

{(–7)+(–109)}= 35(–58)= –2030

3) เนื่องจากลําดับ –7, –4, –1, 2, ..., 131 เปนลําดับเลขคณิตที่มี a1 = –7 และ d = 3จาก an = a1 + (n – 1)d

131 = –7 + (n – 1)3จะได n = 47และ S47 = (–7) + (–4) + (–1) + 2 + ... + 131

= 472

{(–7) + 131}= 47(62)= 2914

9. ให a1 = 6, d = 4 และ an = 26จาก an = a1 + (n – 1)d

26 = 6 + (n – 1)4n = 6

จาก Sn = n2

(a1 + an)

จะได S6 = 62

(6 + 26)= 3(32)= 96

61

10. ใหผลบวกของจํานวนเต็มคี่บวก 100 จํานวนแรกเขียนแทนดวยอนุกรม1 + 3 + 5 + 7 + 9 + ... + 199 ซึ่งจะเห็นวา อนุกรมขางตนเปนอนุกรมเลขคณิตที่มีa1 = 1 และ an = 199จาก Sn = n

2(a1 + an)

จะได S100 = 1002

(1 + 199)= 50(200)= 10,000

11. ใหผลบวกของจํานวนเต็มบวก 20 จํานวนแรกที่เปนพหุคูณของ 3เขียนแทนดวยอนุกรม 3 + 6 + 9 + ... + 60จะเห็นวา อนุกรมขางตนเปนอนุกรมเลขคณิตที่มี a1 = 3 และ an = 60จาก Sn = n

2(a1 + an)

จะได S20 = 202

(3 + 60)= 10(63)= 630

12. ใหผลบวกของจํานวนคี่ตั้งแต 17 ถึง 379 เขียนแทนดวยอนุกรม 17 + 19 + 21 + ... + 379จะเห็นวา อนุกรมขางตนเปนอนุกรมเลขคณิต ที่มี a1 = 17 และ d = 2จาก an = a1 + (n – 1)d

379 = 17 + (n – 1)2จะได n = 182จาก Sn = n

2(a1 + an)

จะได S182 = 1822

(17 + 379)= 91(396)= 36,036

62

13. กําหนดให a10 = 20, a5 = 10จะได a1 + 9d = 20 ---------- (1)และ a1 + 4d = 10 ---------- (2)(2) – (1) 5d = 10

d = 2แทนคา d = 2 ใน (1) จะได a1 = 2เพราะวา a7 = 2 + (7 – 1)(2) = 14

a15 = 2 + (15 – 1)(2) = 30จาก Sn = n

2(a1 + an)

เนื่องจากผลบวกพจนที่ 8 ถึง 15 = S15 – S7

= 152

(2 + 30) – 72

(2 + 14)= 15(16) – 7(8)= 184

14. ใหเงินเดือนที่ชายคนนี้ไดรับตั้งแตป พ.ศ. 2540 เขียนแทนดวยลําดับเลขคณิตดังนี้9500, 10200, 10900, 11600, ... ลําดับขางตนเปนลําดับเลขคณิตที่มี a1 = 9500และ d = 700จาก an = a1 + (n – 1)dเมื่อ n = 11จะได a11 = 9500 + (11 – 1)700

= 9500 + 10(700)= 16,500

นั่นคือ ในป พ.ศ. 2550 เขาจะไดรับเงินเดือนเดือนละ 16,500 บาท

63

15. ใหจํานวนเงินที่ทิมเก็บออมตั้งแตวันแรกเขียนแทนดวยอนุกรม1 + 2 + 3 + ... + 30 อนุกรมขางตนเปนอนุกรมเลขคณิตที่มี a1 = 1, a30 = 30จาก Sn = n

2(a1 + an)

S30 = 302

(1 + 30)= 15(31)= 465

นั่นคือ ครบ 30 วัน ทิมมีเงินออมทั้งหมด 465 บาท


1. 1) กําหนดให n = 4, a1 = 3, r = 2จาก Sn =

n1a (r 1)r 1

−−

จะได S4 =43(2 1)2 1

−−

= 3(15)= 45

2) กําหนดให n = 7, a1 = 5, r = 4จาก Sn =

n1a (r 1)r 1

−−

จะได S7 =75(4 1)4 1

−−

= 5(16383)3

= 27305

64

3) กําหนดให n = 9, a1 = –3, r = 5จาก Sn =

n1a (r 1)r 1

−−

จะได S9 =9( 3)(5 1)

5 1− −

−

= 93 (5 1)4

− −

= –1,464,843

4) กําหนดให n = 11, a1 = –7, r = 3จาก Sn =

n1a (r 1)r 1

−−

จะได S11 =11( 7)(3 1)

3 1− −

−

= 117 (3 1)2

− −

= –620,011

5) กําหนดให n = 14, a1 = –5, r = –2จาก Sn =

n1a (r 1)r 1

−−

จะได S14 =14( 5)(( 2) 1)]

2 1− − −

− −

= 53

(16383)= 27,305

2. อนุกรมเรขาคณิต 2 + 6 + 18 + 54 + ... มี a1 = 2 และ r = 3จาก Sn =

n1a (r 1)r 1

−−

จะได S9 =92(3 1)3 1

−−

= 19,682

65

3. อนุกรมเรขาคณิต 9 + 12 + 16 + 643

+ ... มี a1 = 9 และ r = 43

จาก Sn =n

1a (r 1)r 1

−−

จะได S8 =849 ( ) 1

34 13

−

−

= 8427 ( ) 13

−

= 58975243

4. อนุกรมเรขาคณิต 2 4 8 16 ...3 9 27 81+ + + + มี a1 = 2

3 และ r = 2

3

จาก Sn =n

1a (r 1)r 1

−−

=n

1a (1 r )1 r−−

จะได S10 =102 2(1 ( ) )

3 3213

−

−

= 2(1 – (32 )10)

= 116,05059,049

5. 1) อนุกรมเรขาคณิต 9 + 27 + 81 + ... + 729 มี a1 = 9, r = 3, an = 729จาก an = a1rn–1

จะได 729 = 9(3)n–1

81 = 3n–1

34 = 3n–1

n – 1 = 4n = 5

66

จาก Sn =n

1a (r 1)r 1

−−

จะได S5 =59(3 1)3 1−−

= 9(242)2

= 1,089

2) อนุกรมเรขาคณิต 2 + 8 + 32 + ... + 8192 มี a1 = 2, r = 4, an = 8192จาก an = a1rn–1

จะได 8192 = 2(4)n–1

4096 = 4n–1

46 = 4n–1

n – 1 = 6n = 7

จาก Sn =n

1a (r 1)r 1

−−

จะได S7 =72(4 1)4 1

−−

= 10,922

3) อนุกรมเรขาคณิต 4 + 2 + 1 + ... + 1512

มี a1 = 4, r = 12

, an = 1512


จะได 1512

= 4n 11

2

−

12048

=n 11

2

−

1112

=n 11

2

−

n – 1 = 11n = 12

67

จาก Sn =n

1a (1 r )1 r−−

จะได S12 =1214(1 ( ) )

2112

−

−

= 1218(1 )2

−

= 4095512

4) อนุกรมเรขาคณิต 16 + 8 + 4 + ... + 132

มี a1 = 16, r = 12

, an = 132


จะได 132

= 16n 11

2

−

1512

=n 11

2

−

912

=n 11

2

−

n = 10จาก Sn =

n1a (1 r )1 r−−

จะได S10 =10116(1 ( ) )

2112

−

−

= 10132(1 )2

−

= 102332

68

5) อนุกรมเรขาคณิต 1 + (–2) + 4 + ... + 256 มี a1 = 1, r = –2, an = 256จาก an = a1rn–1

จะได 256 = 1(–2)n–1

28 = (–2)n–1

(–2)8 = (–2)n–1

n – 1 = 8n = 9

จาก Sn =n

1a (1 r )1 r−−

จะได S9 =91(1 ( 2) )

1 ( 2)− −− −

= 171

6) อนุกรมเรขาคณิต (–1) + 3 + (–9) + ... + (–729) มี a1 = –1, r = –3,an = –729จาก an = a1rn–1

จะได –729 = (–1)(–3)n–1

729 = (–3)n–1

36 = (–3)n–1

(–3)6 = (–3)n–1

n = 7จาก Sn =

n1a (1 r )1 r−−

จะได S7 =7( 1)(1 ( 3) )

1 ( 3)− − −

− −

= –546.5

69

6. ใหเงินที่พลเก็บออมตั้งแตวันแรกเขียนแทนดวยอนุกรมเรขาคณิต1 + 2 + 4 + 8 + ... + 214 ที่มี a1 = 1, r = 2, n = 15จาก Sn =

n1a (r 1)r 1

−−

จะได S15 =151(2 1)2 1

−−

= 215 – 1= 32,767

นั่นคือ เมื่อครบ 15 วัน พลจะมีเงินออมทั้งหมด 32,767 บาท

7. ซื้อรถยนตมาในราคา 1,000,000 บาท ในแตละปราคารถยนตคันนี้ลดลง 20%รถยนตราคา 1,000,000 หรือ 106 บาท เมื่อสิ้นป (ครบ 1 ป) ราคารถยนตจะเทากับ6 8010100

× บาท

รถยนตราคา 6 8010100 ×

บาท เมื่อสิ้นป (ครบปที่ 2) ราคารถยนตจะเทากับ2

6 8010100 ×

บาท

รถยนตราคา 2

6 8010100 ×

บาท เมื่อสิ้นป (ครบปที่ 3) ราคารถยนตจะเทากับ3

6 8010100 ×

บาท

ดังนั้น เมื่อครบ 5 ป รถยนตคันนี้มีมูลคาทางบัญชี 5

6 8010100 ×

บาท

=5

6 81010 ×

=6

55

10 810

×

= 510 8×

= 327,680 บาท

70

8. เมื่อวางแผนยอดขายเทากับ 300,000 บาท แตละไตรมาสตองการใหยอดขายเพิ่มขึ้น 3%ยอดขาย 300,000 ครบไตรมาสแรก ยอดขายจะเทากับ 300,000 × 103

100 บาท

ยอดขาย 300,000 ×103100

ครบไตรมาสที่สอง ยอดขายจะเทากับ 300,000× 2103

100

บาท

ยอดขาย 300,000 ×2103

100

ครบไตรมาสที่สาม ยอดขายจะเทากับ 300,000×3103

100

บาท

ดังนั้น เมื่อครบ 2 ป (8 ไตรมาส) ยอดขายจะเทากับ 300,000 × 8103

100

บาท

≈ 300,000 × (1.26677)≈ 380,031

9. ถังน้ําจุ 5,832 ลิตร แตละวันจะใชน้ําไป 13

ของปริมาณน้ําในถังที่มีอยู

วันแรกมีน้ํา 5832 ลิตร เมื่อใชน้ําแลวมีน้ําเหลืออยู 5832 × 23

ลิตร

วันที่สองมีน้ํา 5832 × 23

ลิตร เมื่อใชน้ําแลวมีน้ําเหลืออยู 5832 × 22

3

ลิตร

วันที่สามมีน้ํา 5832 × 22

3

ลิตร เมื่อใชน้ําแลวมีน้ําเหลืออยู 5832 × 32

3

ลิตร

ดังนั้น เมื่อครบ 6 วัน จะมีน้ําเหลืออยูในถัง 5832 × 62

3

ลิตร = 512 ลิตร

10. ถังใบหนึ่งมีน้ําอยู 20 ลิตร ตักน้ําออกจากถังครึ่งหนึ่ง แลวแทนดวยของเหลวจากนั้นตักน้ําที่มีสวนผสมของของเหลวออกมาครึ่งถัง แสดงวาแตละครั้งเมื่อตักแลวปริมาณน้ําจะลดลง 50%เดิมมีน้ํา 20 ลิตร ตักน้ําออกจากถังครั้งที่ 1 จะมีน้ําเหลืออยู 20 × 1

2 ลิตร

เดิมมีน้ํา 20 × 12

ลิตร เมื่อตักออกครั้งที่ 2 จะมีน้ําเหลืออยู 20 × 21

2

ลิตร

เดิมมีน้ํา 20 × 12ลิตร เมื่อตักออกครั้งที่ 3 จะมีน้ําเหลืออยู 20 ×

312

ลิตร

ดังนั้น เมื่อครบ 8 ครั้ง จะมีน้ําเหลืออยูในถัง 20 × 81

2

ลิตร = 564

ลิตร

Basic m5-1-chapter1

Education