Basic m3 1 Chapter1

บทที ่1 พื้นที่ผิวและปริมาตร (16 ชั่วโมง)

1.1 รูปเรขาคณิตสามมิติ (3 ช่ัวโมง) 1.2 ปริมาตรของปริซึมและทรงกระบอก (4 ช่ัวโมง) 1.3 ปริมาตรของพีระมิดและกรวย (4 ช่ัวโมง) 1.4 ปริมาตรของทรงกลม (2 ช่ัวโมง) 1.5 พื้นที่ผิวของปริซึมและทรงกระบอก (3 ช่ัวโมง) นักเรียนเคยรูจกัรูปเรขาคณิตสามมิติซ่ึงไดแก ทรงสี่เหล่ียมมุมฉาก ปริซึม ทรงกระบอก พีระมดิ กรวยและทรงกลมมาบางแลว ในบทนี้จะกลาวถึงลักษณะของรูปเรขาคณิตสามมิติเหลานั้นโดยละเอียด อีกครั้ง สาระที่นักเรียนจะไดเรียนรูเพิ่มเติม คือ การหาปริมาตรของรูปเรขาคณิตสามมิติที่กลาวถึงขางตน และการหาพื้นที่ผิวของปริซึมและทรงกระบอก สําหรับพื้นที่ผิวของพรีะมิด กรวย และทรงกลม จะเปนเนื้อหาในหนังสือเรียนสาระการเรียนรูเพิ่มเติม คณิตศาสตร เลม 1 ช้ันมัธยมศึกษาปที่ 3 เนื้อหาสาระของบทนี้สวนใหญเสนอไวในรูปของกิจกรรม เพราะตองการใหนกัเรียนศึกษาและสํารวจลักษณะตาง ๆ ของรูปเรขาคณิตสามมิติ ทั้งยังมกีิจกรรมเกีย่วกับการหาปริมาตรของรูปเรขาคณิต สามมิติบางรูป เพื่อใหนักเรยีนเห็นความสมัพันธและที่มาของสูตรการหาปริมาตรของรูปเรขาคณิตสามมิติ และสูตรการหาพื้นที่ผิวของปริซึมและทรงกระบอก โจทยแบบฝกหดับางขอในแตละชุดไดเชื่อมโยงความรูเกี่ยวกับพืน้ทีผิ่วและปริมาตรกับขอมูลจริงในสิ่งแวดลอม จึงอาจมีตัวเลขที่ทําใหการคํานวณยุงยาก ครูอาจใหนกัเรียนใชเครื่องคิดเลขชวยในการคํานวณไดตามความเหมาะสม ในการวัดและประเมินผลหากครูนําขอมูลจริงในสิ่งแวดลอมหรือทองถ่ินมาสรางโจทย ก็ควรระมัดระวังโดยปรับตัวเลขใหงายตอการคํานวณและเหมาะสมกับเวลา สําหรับเนื้อหาการเปรียบเทยีบหนวยความจุหรือหนวยปริมาตรในระบบเดียวกันและตางระบบ การเลือกใชหนวยการวดัเกีย่วกับความจหุรือปริมาตรไดอยางเหมาะสม ตลอดจนการคาดคะเนเกี่ยวกับการวัดในสถานการณตาง ๆ ไดอยางเหมาะสม ไมไดนํามากลาวในบทเรียนนี้เพราะนักเรียนไดเรียนมาแลวในชั้นกอนหนา อยางไรก็ตามครูควรใหนกัเรียนไดมีกจิกรรมเพื่อทบทวนและฝกฝนในสิ่งเหลานัน้เมื่อมีโอกาส

2

ผลการเรียนรูที่คาดหวังรายป 1. อธิบายลักษณะและสมบตัิของปริซึม พีระมิด ทรงกระบอก กรวย และทรงกลมได 2. หาพื้นที่ผิวของปริซึม และทรงกระบอกได 3. หาปริมาตรของปริซึม ทรงกระบอก พีระมิด กรวย และทรงกลมได 4. ใชความรูเกี่ยวกับพืน้ที่ พื้นที่ผิว และปริมาตรแกปญหาในสถานการณตาง ๆ ได 5. ตระหนกัถึงความสมเหตุสมผลของคําตอบที่ได

แนวทางในการจัดการเรียนรู

1.1 รูปเรขาคณิตสามมิติ (3 ชั่วโมง) จุดประสงค นักเรียนสามารถ 1. อธิบายลักษณะและสมบัติของปริซึม พีระมิด ทรงกระบอก กรวย และทรงกลมได 2. ระบุรูปคล่ีของรูปเรขาคณิตสามมิติที่กําหนดใหได

ขอเสนอแนะในการจัดกิจกรรมการเรยีนการสอน 1. ครูนําสนทนาเกีย่วกับวัตถุหรือส่ิงของตาง ๆ ในสิ่งแวดลอมที่นกัเรียนเคยพบเห็นซึ่งมีลักษณะเปนรูปเรขาคณิตสามมิติ เชน ใหนักเรยีนบอกสิ่งที่มลัีกษณะเปนปริซึม ทรงกระบอก พีระมิด กรวย และทรงกลม หรือส่ิงที่มีลักษณะใกลเคียงกับรูปเรขาคณิตสามมิติเหลานั้น สําหรับพีระมิดครูอาจหาภาพหรือเลาเรื่องยอ ๆ เกี่ยวกับพรีะมิดในประเทศอียิปต และสําหรับปริซึมครูอาจนําแทงแกวปริซึมของหมวดวิทยาศาสตรมาแนะนําเปนตวัอยางก็ได 2. กอนใหความหมายของรูปเรขาคณิตสามมิติแตละชนิด ครูอาจหาสื่ออุปกรณที่มีลักษณะตามลักษณะของรูปเรขาคณิตสามมิติเหลานั้นมาใหนกัเรียนสํารวจ สังเกตและพิจารณาสวนประกอบตาง ๆ ของรูปเรขาคณิตสามมิติแตละชนิด แลวจึงชวยกันสรุปใหไดความหมายตามที่กลาวไวในหนังสือเรียน 3. ในการเรยีกชื่อปริซึมและพีระมิด ครูควรชี้ใหนกัเรียนสังเกตเหน็วาชื่อของปรซึิมไมมีคําวา “ฐาน” เชน ปริซึมสามเหลี่ยมและปริซึมสี่เหล่ียมจัตุรัส แตช่ือของพรีะมิดจะมีคําวาฐาน เชน พรีะมิดฐานสามเหลี่ยมดานเทาและพีระมิดฐานสี่เหล่ียมผืนผา ทั้งนี้เปนไปตามความนิยมในการเรียกช่ือเหลานัน้ 4. ในหวัขอนี้จะกลาวถึงเฉพาะปริซึมตรง ทรงกระบอกตรง และกรวยตรง สําหรับพรีะมิด จะกลาวถึงพีระมิดตรงและพรีะมิดที่มีสันยาวเทากนัทุกสนั ทั้งนี้เพราะตองการศึกษารวมไปถึงพีระมิดฐาน ส่ีเหล่ียมผืนผาดวย 5. สําหรับกิจกรรม “สํารวจปริซึม” ขอ 1 ขอยอย 6) ครูควรใหนักเรียนอธิบายความแตกตาง ระหวางรูปคลีข่องแตละรูปที่ใชเปนเกณฑในการพิจารณาหาคําตอบ ซ่ึงจะทําใหครูทราบถึงการพัฒนา

3

ทางดานความรูสึกเชิงปริภูมขิองนักเรียน สําหรับขอ 2 คําตอบที่ใหไวตองการเพยีงใหนกัเรียนบอกไดวาเปนปริซึมชนิดใดอยางคราว ๆ เชน ขอยอย 1) ตองการใหบอกวาเปนปริซึมสามเหลี่ยมโดยไมจาํเปนตองบอกวาเปนปริซึมสามเหลี่ยมดานเทา แตถาเห็นวาเหมาะสมครูอาจใหนักเรียนวิเคราะหบอกรายละเอียดดวยก็ได เชน ขอยอย 5) อาจบอกวาเปนปริซึมส่ีเหล่ียมคางหมู 6. สําหรับกิจกรรม “สํารวจทรงกระบอก” เพื่อทํากิจกรรมในขอ 1 ครูควรสั่งใหนกัเรียนเตรียมแกนกระดาษทิชชู เชือกฟางและกรรไกรดวย อาจใหเตรยีมเปนงานกลุมกไ็ด 7. สําหรับกิจกรรม “สํารวจพีระมดิ” ในบทเรียนจะยังไมเนนการพิจารณาความสัมพันธของ ความยาวของสัน สูงเอียง และความสูงของพีระมิด ทั้งนี้เพราะในบทนี้จะยังไมกลาวถึงการหาสูงเอียง และยังไมจําเปนตองนําความรูในสวนนี้ไปใชในการหาปริมาตรของพีระมิดดวย สําหรับขอ 4 การเขียนรูปคล่ีของสวนที่ครอบดวงไฟ นักเรียนจะเขียนสวนทีใ่ชทากาวสําหรับประกอบเปนสวนที่ครอบดวงไฟหรือไมก็ได 8. สําหรับกิจกรรม “สํารวจกรวย” ครูควรใหนักเรียนไดปฏิบัติจริง อาจใหทําเปนงานกลุมก็ได เมื่อไดกรวยครบสี่อันแลว ครูอาจใหนกัเรียนตกแตงภาพบนกรวยและรอยเปนโมบายตามกิจกรรมใน ขอ 2 ขอยอย 6) สําหรับขอ 3 การเขียนรูปคลี่ของสวนที่ครอบดวงไฟ นักเรียนจะเขียนสวนทีใ่ชทากาวสําหรับประกอบเปนที่ครอบดวงไฟหรือไมก็ได 9. ในเรื่องของทรงกลม ครูอาจใหนกัเรียนชวยกนัยกตัวอยางของทรงกลมหรือส่ิงที่มีลักษณะใกลเคียงกับทรงกลมที่เกิดขึน้ตามธรรมชาติเพิ่มเติม เชน โลก ดวงจันทร ดาวตาง ๆ ไขกบ ไขปลา ไขมุก สม และมะเขือพวง สําหรับกิจกรรม “สํารวจทรงกลม” ครูอาจใชคําถามเพิม่เติมเกี่ยวกับโลก เมื่อถือวาโลกเปนทรงกลม ดังตัวอยางตอไปนี ้ – ใหนกัเรียนยกตวัอยางวงกลมใหญของโลก [เสนศูนยสูตร] – ถาตําแหนงทีน่ักเรยีนยนือยูปจจบุันเปนจดุ ๆ หนึ่งบนพืน้โลกแลว นักเรียนคิดวาม ี วงกลมใหญผานจุดนีห้รือไม ถามี มีไดกี่วง [มวีงกลมใหญผานเปนจํานวนมากมาย นับไมถวน ในทางภูมิศาสตรมีเสนแวงซึง่เปนสวนหนึง่ของวงกลมใหญที่ใชบอก ตําแหนงของจุดตาง ๆ บนพื้นโลก]

4

1.2 ปริมาตรของปริซึมและทรงกระบอก (4 ชั่วโมง) จุดประสงค นักเรียนสามารถ 1. หาปริมาตรของปริซึมและทรงกระบอก และนําความรูไปใชแกปญหาในสถานการณ ตาง ๆ ได 2. ตระหนกัถึงความสมเหตุสมผลของคําตอบที่ได เอกสารแนะนําการจัดกิจกรรม กิจกรรมเสนอแนะ 1.2

ขอเสนอแนะในการจัดกิจกรรมการเรยีนการสอน 1. ครูนําสนทนาเกีย่วกับความจําเปนทีน่ักเรียนจะตองมีความรูในเรือ่งของปริมาตรของปริซึมและทรงกระบอก เพราะในชีวิตประจําวันของเรามักตองเกี่ยวของกับปริมาตรและความจุของผลิตภัณฑ ตาง ๆ อาหารและเครื่องดืม่ซ่ึงสวนใหญบรรจุอยูในภาชนะที่มีลักษณะเปนทรงสี่เหล่ียมมุมฉากและ ทรงกระบอก นอกจากนี้เราตองเขาใจเกีย่วกับหนวยตาง ๆ ที่เปนหนวยวัดความจหุรือปริมาตร ซ่ึงอาจตองนําไปใชเปนพืน้ฐานในงานอาชพีหรือใชเพือ่การตัดสินใจในการเลือกซือ้สินคา ครูอาจนํานมกลองหรือน้ําผลไมกลองที่บอกปริมาตรและราคา และเปนผลิตภณัฑชนดิเดยีวกันมาสองขนาดเพื่อเปนตวัอยางให นักเรียนไดอภปิรายกันถึงเหตุผลที่นักเรียนจะเลือกซื้อ 2. ครูอาจทบทวนเกี่ยวกับเรื่องหนวยการวัดปริมาตรในระบบเดยีวกนัหรือตางระบบ โดยอาจใชกิจกรรมเสนอแนะ 1.2 เพิ่มเติม ก็ได 3. ครูควรสนทนาเกีย่วกับการหาปริมาตรของวัตถุตาง ๆ โดยเฉพาะวัตถุที่ไมใชรูปเรขาคณิต สามมิติที่กลาวถึงในบทนี้โดยการแทนทีน่้ํา ทําความเขาใจในเรื่องของปริมาตรของน้ําที่ลนออกมาในกรณีที่ใสวัตถุลงแทนที่น้ําในภาชนะที่มีน้ําเต็มภาชนะ หรือหาปริมาตรของน้ําที่มีระดับน้ําสูงขึ้นในกรณีที่ใสวัตถุลงแทนทีน่้ําในภาชนะแลวน้ําไมลนออกมา ครูอาจสาธิตการหาปริมาตรของวัตถุโดยวิธีนีแ้ละให นักเรียนชวยกนัอภิปรายสรปุผล ทั้งนี้เพื่อใหนกัเรียนมคีวามคิดรวบยอดในเรื่องนี้อีกครั้งและสามารถนําความรูนี้ไปใชแกปญหา หรือแกโจทยปญหาในสถานการณตาง ๆ ได 4. ในการจดักิจกรรมการเรียนการสอนเกี่ยวกับการหาสูตรของปริมาตรของปริซึม ครูอาจทํา อุปกรณเปนแทงปริซึมที่มีลักษณะดังในบทเรียนดวยกระดาษแข็งประกอบการสอน ก็จะชวยใหนกัเรียน เขาใจสูตรอยางเปนรูปธรรมยิ่งขึ้น 5. ในการแกโจทยปญหาปริซึมซ่ึงมีฐานเปนรูปหลายเหล่ียม เชน แทนรับรางวัล หรือโจทยแบบฝกหัด 1.2 ก ขอ 10 ครูควรใหนกัเรียนไดอภิปรายวาสามารถทําวิธีใดไดบาง วิธีแกปญหาของ นักเรียนอาจทาํได 2 วิธีดังตัวอยาง กําหนดปริซึมที่มีลักษณะดังรูป

5

วิธีท่ี 1 หาปริมาตรของทรงสี่เหล่ียมมุมฉากแตละรูปคือ 1 , 2 และ 3 ดังรูป แลวนําปริมาตรมาบวกกนั

วิธีท่ี 2 หาปริมาตรของทรงสี่เหล่ียมมุมฉาก ABCDEFGH แลวลบดวยปริมาตรของ ทรงสี่เหล่ียมมุมฉาก 1 และ 2 ดังรูป

2

3

1

6. สําหรับกิจกรรม “ขนาดของตูเยน็” มีเจตนาใหนักเรียนไดเหน็การใชปริมาตรหรือความจ ุในชีวิตประจําวัน ซ่ึงขนาดภายในของตูเยน็คิดเปนลูกบาศกฟุต ซ่ึงภาษาชาวบานเรียกวา ควิ และตองการใหนกัเรียนไดฝกทักษะในเรือ่งการเปลี่ยนหนวยจากหนวยคิวเปนหนวยลิตร ในการทํากิจกรรมนีค้รูควรนําสนทนาใหนักเรียนไดรูจักเลอืกใชเครื่องใชไฟฟาประหยดัไฟที่มีเบอร 5 ระบุไวบนเครื่องใชไฟฟาเหลานั้น

1 2 A

B

F

G

D

C

E

H

7. สําหรับกิจกรรม “อาคารลูกเตา” มีเจตนาเชื่อมโยงความรูคณิตศาสตรกับศาสตรอ่ืน ๆ เพื่อใหนักเรยีนมีความคุนเคยกับคณติศาสตรที่อยูรอบ ๆ ตัวเพื่อเปนตัวอยางการสอนใหนกัเรียนรูจกัสังเกตและเชื่อมโยงความรูตามพื้นฐานที่ม ี 8. ในแบบฝกหัด 1.2 ข. มีคําสั่งใหนักเรียนเลือกใชคา π ตามความเหมาะสมในการแกโจทยปญหาแตละขอ ครูควรใหขอสังเกตกับนกัเรียนวา ถึงแมคําถามในโจทยจะไมมีคําวา “ประมาณ” กํากับ ไว แตนักเรยีนตองตระหนกัไดเองวาคําตอบที่ไดจะตองใชคําวาประมาณในคําตอบดวยหรือไม 9. สําหรับกิจกรรม “เทากันหรือไม” ครูควรใหนกัเรียนใชความรูสึกเชิงปริภูมิและความรูทางคณิตศาสตรมาคาดคะเนปรมิาตรของทรงกระบอกทั้งสองรูปกอน หลังจากนั้นใหนักเรียนวดัความยาวและ

6

ความกวางของกระดาษ A4 แลวคํานวณหาปริมาตรของทรงกระบอกทั้งสองรูปเพื่อตรวจสอบความคิดของนักเรียน ครูควรใหนกัเรียนสังเกตวา แมทรงกระบอกฐานเปดทั้งสองจะทํามาจากกระดาษขนาดเดียวกัน แตเมื่อมวนตามแนวที่ตางกนั ปริมาตรที่ไดไมจําเปนตองเทากัน 10. สําหรับกิจกรรม “มีขนาดเทาไร” มีเจตนาใชเปนโจทยปญหาเพื่อฝกทักษะกระบวนการทางคณิตศาสตรในดานการแกปญหาอยางเปนระบบ ครูควรใหเวลานกัเรียนไดคดิอยางอิสระกอนและควรไดตรวจสอบดูแนวคิดของนกัเรียนแตละคน หรือแตละกลุมวานักเรียนมกีารจัดระบบขอมูลอยางไร มีแบบรูปของขอมูลที่บันทึกไวครอบคลุมทุกกรณี สามารถนํามาใชตัดสินใจบอกเปนคําตอบไดหรือไม ถานักเรียนมีปญหาครูจึงคอยแนะนําวิธีหาคําตอบตามแนวทีเ่ฉลยไว 11. สําหรับกิจกรรม “นาคิด” มีเจตนาใหนักเรยีนพิจารณาหาคําตอบโดยใชความรูสึกเชิงปริภูมิประกอบกับใชความคิดรวบยอดเกีย่วกับปริมาตร กลาวคือ ปริมาณน้าํที่บรรจุในภาชนะเดยีวกัน เมื่อวางภาชนะในลักษณะตางกัน ระดับน้ําไมจําเปนตองสูงคงที่ ระดับน้ําจะสูงขึ้นหรือลดลงขึ้นอยูกับพืน้ที่รับน้ําที่เปลี่ยนไป ครูอาจขยายแนวคิดเกีย่วกับเรือ่งนี้ในชวีิตจรงิกรณีน้ําทวมพื้นที่ตาง ๆ ถามีการเปดพืน้ที่รับน้ําเพิ่มขึ้น ก็จะทาํใหระดับน้ําทีข่ังอยูลดลงโดยมีเงื่อนไขวาไมมีปริมาณน้ําไหลมาเพิ่มอีก สําหรับแนวคดิที่อธิบายไวในคําตอบของกิจกรรมนี้ หากนักเรยีนนึกภาพระดบัน้ํามันเมื่อวางถังในแนวนอนไมได ครูอาจหากระบอกน้ําทรงกระบอกที่มีฝาปดและใสพอที่จะเหน็ระดับน้ํามาแสดงประกอบคําตอบดวยก็ได 1.3 ปริมาตรของพีระมิดและกรวย (4 ชั่วโมง) จุดประสงค นักเรียนสามารถ 1. หาปริมาตรของพีระมิดและกรวย และนําความรูไปใชแกปญหาในสถานการณตาง ๆ ได 2. ตระหนกัถึงความสมเหตุสมผลของคําตอบที่ได เอกสารแนะนําการจัดกิจกรรม กิจกรรมเสนอแนะ 1.3

ขอเสนอแนะในการจัดกิจกรรมการเรยีนการสอน 1. ในการจดักิจกรรม “ปริมาตรของพีระมิด” ครูควรเตรียมกระดาษแข็งและใชตวัแบบสราง พีระมิดและปริซึมจากกิจกรรมเสนอแนะ 1.3 ใหนกัเรยีนใชเทปกาวปดรอยตอใหเปนพีระมิดและปริซึม กอนลงมือปฏิบัติกิจกรรมครูควรใหนกัเรยีนสังเกตตวัแบบแตละคูวามีความยาวของสวนใดเทากนับาง อาจใหนกัเรียนตรวจสอบความยาวของแตละดานของพีระมิดและของปริซึมคูที่มีความสูงเทากนัและ พื้นที่ฐานเทากนั พรอมทั้งจดบันทกึขอมูลไวดวย ในการทดลองตวงทราย ครูอาจแบงใหนกัเรียนใชพีระมิดและปริซึมที่แตกตางกันเปนกลุม ๆ แลวใหนักเรียนชวยกันสรุปผล

7

2. หลังจากครูใหตัวอยางที่ 2 แลวครูอาจใหนักเรยีนคิดตอวาถาโจทยกําหนดใหความสูงและความยาวของดานของฐานของที่ทับกระดาษอันใหญเปนสองเทาของความสูงและเปนสองเทาของความยาวของดานของฐานของที่ทับกระดาษอันเล็ก ปริมาตรของที่ทับกระดาษอันใหญจะเปนกี่เทาของปรมิาตรของที่ทับกระดาษอันเล็ก 3. ในแบบฝกหัด 1.3 ก ขอ 1 ในตารางขอยอย 1) และขอยอย 3) มีเจตนากําหนดตัวเลขไวเกนิความจําเปนทีต่องนํามาใชในการหาคําตอบ เพื่อตรวจสอบดูวานักเรียนสามารถเลือกจํานวนในตารางมาคิดคํานวณไดถูกตองหรือไม แบบฝกหัดขอ 2 ไดใหสูตรการหาพื้นที่ของรูปสามเหลี่ยมดานเทาไวใหนําไปใชในการหาปริมาตรของพีระมิดฐานสามเหลี่ยมดานเทา ถาครูตองการใหนักเรียนทราบที่มาของสูตรนี้ ซ่ึงไดกลาวไว ในเรื่องของกรณฑที่สองในหนังสือเรียนสาระการเรียนรูเพิ่มเติม เลม 1 ช้ันมัธยมศึกษาปที่ 3 ครูอาจนํามาสอนเพิ่มเติมโดยมีแนวคดิดงันี้ กําหนดให ∆ ABC เปนรูปสามเหลี่ยมดานเทา ที่มีความยาวของ แตละดานเปน a หนวย ถาลาก AD ตั้งฉากกับ BC จะไดวา BD = CD = 2

a หนวย

โดยทฤษฎีบทพีทาโกรัสจะได AD = a23 หนวย

A

ดังนั้น พื้นที่ของ ∆ ABC เทากับ 21 a × 2

3 a = 43 a2 ตารางหนวย

ครูควรแนะนําใหนกัเรยีนจําสูตรนี้ไวใชและถาครูเห็นวานักเรยีนสวนใหญสามารถเรียนรู การหาพื้นที่ของรูปหกเหลีย่มดานเทามุมเทาได ครูอาจสอนเพิ่มเติมโดยนําสูตรการหาพื้นที่ของรปูสามเหลี่ยมดานเทาไปใชตอเนื่องไดอีกตามแนวคดิดังนี ้

B C

a

D 2a

E F

B C a a

a A

D จากรูป สรางรูปหกเหลี่ยมดานเทามมุเทา ABCDEF โดยแบงสวนโคงของวงกลมออกเปน 6 สวนเทา ๆ กัน

จะไดพืน้ที่ของรูปหกเหลี่ยมดานเทามุมเทา เทากบั 6 × 43 a2 ตารางหนวย

8

4. สําหรับกิจกรรม “หนึ่งในเจ็ดของสิ่งมหัศจรรยของโลกยุคโบราณ” มีเจตนาเชื่อมโยงความรูคณิตศาสตรกบัศาสตรอ่ืน ๆ ใหนกัเรียนเหน็วามีการนําคณิตศาสตรไปใชในการคํานวณสิ่งตาง ๆ รอบตัวนักเรียน เชน ในกิจกรรมนีน้ักเรียนจะไดทราบถึงขนาดของพีระมิดและจํานวนกอนหินที่สัมพันธกับ น้ําหนกัของหนิ 5. สําหรับกิจกรรม “พีระมิดปริศนา” มีเจตนาเชื่อมโยงความรูคณติศาสตรกับศาสตรอ่ืน ๆ เชนเดยีวกัน ครูอาจชี้ใหนกัเรียนทราบวาพีระมิดของอียปิตเปนสิ่งที่มีความสําคัญและยิ่งใหญสําหรับชาวโลกมาก จะสังเกตเห็นวาในสถาปตยกรรมทั่ว ๆ ไปนิยมสรางตึก อาคารหรือสถานที่โดยสรางพีระมิดฐานสี่เหล่ียมจตัุรัสเชนเดียวกันกับพีระมิดของอียิปตเปนสวนประกอบของสิ่งกอสรางเหลานั้น 6. สําหรับกิจกรรม “ชวยคิดหนอย” มีเจตนาใหนกัเรียนพจิารณาหาคําตอบโดยใชความรูสึกเชิงปริภูมิประกอบกับความรูเกี่ยวกับลักษณะและความสัมพันธกันของความยาวของสัน สูงเอียง และ ความสูงของพีระมิด ครูควรนํากิจกรรมนีม้าอภิปรายในชั้นเรียนเพื่อดวูานักเรียนสามารถใชความรูสึกเชิงปริภูมิมาวิเคราะหหาคําตอบไดหรือไม 7. ในการจดักิจกรรมการเรียนการสอนเกี่ยวกับปริมาตรของกรวย ครูอาจทําอุปกรณกรวยและทรงกระบอกที่มีพื้นที่ฐานเทากันและมีความสูงเทากันมาสาธิตใหนกัเรียนเห็นความสัมพันธ เชนเดียวกนักับ การหาความสมัพันธของปริมาตรของพีระมิดและปริซึม 8. สําหรับกิจกรรม “ทําไดหลายแบบ” มีเจตนาสงเสริมความคิดยดืหยุนของนักเรียนและ เชื่อมโยงความรูเกี่ยวกับเลขยกกําลัง ซ่ึงนักเรียนสามารถเขียนความสัมพันธของขนาดของรัศมีและความสูงของกรวยไดหลายขนาด ครูอาจใหนกัเรียนออกมาเขียนคําตอบบนกระดานหนาชั้นเรียน เพื่อใหนกัเรียนไดเห็นแนวคดิทีแ่ตกตางของนกัเรียนแตละคน 9. สําหรับกิจกรรม “รูไวมีประโยชน” เสนอไวเพื่อใหเปนความรูเพิ่มเติมสําหรบันักเรียนและไดความคิดรวบยอดเกีย่วกับปริมาตรของรูปเรขาคณิตสามมิติแบบตรงและแบบเอยีง ครูอาจสาธิตให นักเรียนเหน็เปนรูปธรรม เชน อาจใชกระดาษ A4 ประมาณ 1 รีม มาจัดเปนปรซึิมตรงและปริซึมเอียง หรือครูอาจนําเหรียญสิบบาทประมาณ 15 – 20 เหรียญมาเรียงซอนกนัแลวปรับใหเปนทรงกระบอกตรงและทรงกระบอกเอียง ถามีเวลาพอครูอาจนําโจทยเกี่ยวกับการหาปริมาตรของรูปเรขาคณิตสามมิติแบบเอียงมาใหนักเรียนทําเพิ่มเตมิก็ได 10. สําหรับกิจกรรม “คิดไดไหม” ครูอาจใหนกัเรียนทําเปนกลุมและใหมีการอภิปรายแนวคดิวาจะหาปริมาตรของพีระมิดฐานสามเหลี่ยมที่ยอดมุมของลูกบาศกไดอยางไร ถาเห็นสมควรครูอาจชี้แนะใหนักเรียนใชหลักการของคาวาลิเอริมาชวยในการคํานวณหาปริมาตรของพีระมิดฐานสามเหลี่ยม

9

1.4 ปริมาตรของทรงกลม (2 ชั่วโมง) จุดประสงค นักเรียนสามารถ 1. หาปริมาตรของทรงกลมและนําความรูไปใชแกปญหาในสถานการณตาง ๆ ได 2. ตระหนกัถึงความสมเหตุสมผลของคําตอบที่ได ขอเสนอแนะในการจัดกิจกรรมการเรยีนการสอน 1. ครูนําสนทนาใหนักเรียนเห็นวามีหลาย ๆ ส่ิงในธรรมชาติที่มีลักษณะใกลเคยีงกับทรงกลม ไดแกผลไม เชน สม แตงโม ฝร่ัง ลําไยและลิ้นจี่ ไขของสัตวหลาย ๆ ชนิด เชน ไขกบ ไขปลา และไขแมงดา จากนัน้ครูใหขอสังเกตเกีย่วกับความสัมพันธของพื้นที่ผิวและปริมาตรของทรงกลมตามที่กลาวไวในบทเรียน ถึงแมคําวาพื้นที่ผิวจะเปนคาํใหมที่นกัเรียนพบเปนครั้งแรกก็ตาม แตใหถือวาคํานี้เปนคําสามัญจึงไมไดใหความหมายเฉพาะไว ครูอาจอธิบายพอใหนกัเรียนทราบวาพื้นที่ผิวที่กลาวถึงนี้หมายถึงพื้นที่บนพื้นผิวภายนอกของวัตถุตาง ๆ อาจยกตวัอยางใหเห็นจากพื้นที่ผิวของลูกบอล หรือของสม ครูอาจยก ตัวอยางเพิ่มเตมิใหเห็นวาถังเก็บน้ําหรือถังเก็บน้ํามันที่สรางเปนทรงกลม เปนการประหยัดวัสดุที่ใชทําถัง 2. ในการจดักิจกรรมการเรียนการสอนในกิจกรรม “ปริมาตรของทรงกลม” ครูอาจเตรียมส่ืออุปกรณตามสาระที่เสนอไวในกิจกรรมนี้ และอาจใชการสาธิตแสดงใหนักเรยีนเห็นวา ตองตวงทรายเต็มคร่ึงทรงกลม 3 คร้ังจึงจะไดทรายเต็มทรงกระบอกไดพอดี อาจใหนักเรียนชวยกนัหาสูตรการหาปริมาตรของทรงกลมเปนกลุม ๆ แลวนําเสนอเพื่อหาขอสรุปบนกระดานหนาชั้นเรียนก็ได 3. สําหรับโจทยแบบฝกหัด 1.4 ขอ 6 มีเจตนาใหเหน็ตัวอยางการนําภูมิปญญาทองถ่ินมา เชื่อมโยงกับทรงกลม ครูอาจนําเรื่องราวของขาวแชมาเปนบทสนทนาใหนกัเรียนทีไ่มเคยรูจักไดทราบ หรืออาจยกตัวอยางขนมอื่น ๆ ที่มีลักษณะเปนทรงกลมและอาจนําขนาดของขนมเหลานั้นมาสรางเปนโจทยในทํานองเดียวกัน 4. สําหรับกิจกรรม “คิดไดหรือไม” มีเจตนาใชเปนปญหาฝกทักษะในการคิดและจินตนาการ อีกทั้งนักเรยีนจะไดพัฒนาความรูเชิงปริภมูิไดวาทรงกลมที่ใหญที่สุดนี้ควรเปนทรงกลมที่มี เสนผานศูนยกลางยาวเทากับความยาวของดานของลูกบาศกที่กําหนดให

10

1.5 พ้ืนที่ผิวของปริซึมและทรงกระบอก (3 ชั่วโมง) จุดประสงค นักเรียนสามารถ 1. หาพื้นทีผิ่วของปริซึมและทรงกระบอก และนําความรูไปใชแกปญหาในสถานการณตาง ๆ ได 2. ตระหนกัถึงความสมเหตุสมผลของคําตอบที่ได ขอเสนอแนะในการจัดกิจกรรมการเรยีนการสอน 1. ครูควรทบทวนเกี่ยวกับรูปคลี่ของปริซึมแบบตาง ๆ ซ่ึงนักเรียนเคยเรียนมาแลวในเรื่อง ความสัมพันธระหวางรูปเรขาคณิตสองมิติและสามมิติ และใหนกัเรียนชวยกันสรุปใหไดวาพื้นที่ทัง้หมดของรูปคลี่ของปริซึม (ไมรวมสวนที่ทากาว) คือพื้นที่ผิวของปริซึมและพื้นที่ทั้งหมดของรูปคลี่ของ ทรงกระบอก คือ พื้นที่ผิวของทรงกระบอก ทั้งพื้นที่ผิวของปริซึมและทรงกระบอกหาไดจากผลบวกของพื้นที่ฐานทั้งสองกับพื้นที่ของดานขางทั้งหมด 2. หลังจากครูยกตัวอยางที่ 1 และตัวอยางที่ 2 ซ่ึงเปนการหาพืน้ทีผิ่วของปริซึมแลว ควรให นักเรียนทําแบบฝกหัด 1.5 ที่เปนโจทยเกีย่วกับปริซึมกอน โดยเฉพาะขอ 1 ขอยอย 1), 2), 3), 4) และ 6) ครูควรใหนกัเรียนทําในชัน้เรียน เพื่อตรวจสอบดูวานกัเรียนสามารถพิจารณาสวนทีเ่ปนฐานของปริซึมไดถูกตองหรือไม และการหาพื้นที่ผิวขางของแตละรูปนกัเรียนทําอยางไร ในบทเรยีนไมไดสรุปเปนสูตรใหนกัเรียนเห็นวา พื้นที่ผิวขางของปริซึมเทากับความยาวรอบฐานของปริซึม × ความสูงของปริซึม ครูอาจนําโจทยคํานวณหาพืน้ที่ผิวของปริซึมแบบตาง ๆ มาใหนักเรียนชวยกนัทําบนกระดานและชวยกนัสรุปเปนสูตรการหาพื้นที่ผิวขางของปริซึมก็ได ในทํานองเดียวกัน การหาพื้นที่ผิวขางของทรงกระบอก ครูกอ็าจใหนกัเรียนชวยกันหาพืน้ที่ผิวขางของทรงกระบอกจากแกนกระดาษทิชชูอีกครั้งและใหชวยกันสรุปเปนสูตรวา พื้นที่ผิวขางของทรงกระบอกเทากับ 2πrh เมื่อ r แทนรัศมีของฐานของทรงกระบอก และ h แทนความสูงของทรงกระบอก 3. สําหรับกิจกรรม “รูลึกเรื่องโลก” มีเจตนาเชื่อมโยงความรูคณิตศาสตรกับศาสตรอ่ืน ๆ ตองการใหเปนโจทยเราความสนใจใฝรูกบันักเรียนและใชความรูเกีย่วกับปริมาตรของทรงกลมในการแกปญหาทีก่ําหนดให ในการคํานวณครูอาจใหนกัเรียนใชเครื่องมือตาง ๆ เชน เครื่องคิดเลขชวยในการคํานวณได แตควรใหนักเรยีนชวยกนัแสดงแนวคิดในการหาคําตอบกอน เพื่อประเมินวานักเรียนคิดเปนลําดับขั้นตอนถูกตองหรือไม

11

คําตอบแบบฝกหัดและคําตอบกิจกรรม คําตอบกิจกรรม “สํารวจปริซึม”

1. 1) 7 หนา 2) 2 รูป คือ รูป ABCDE และรูป FGHIJ 3) 5 รูป คือ ABHG, BCIH, CDJI, DEFJ และ AEFG 4) เทากันทกุประการ 5) AG , BH , CI , DJ และ EF 6) รูป ข 2. 1) ปริซึมสามเหลี่ยม 2) ปริซึมหกเหลี่ยม 3) ปริซึมสามเหลี่ยม 4) ปริซึมสามเหลี่ยม 5) ปริซึมสี่เหล่ียม 6) ปริซึมหกเหลี่ยม 3. ขอ 1), ขอ 3) และขอ 4) 4. 1) ABCD และ FGHE 2) ABCD และ FGHE 3) ABCD และ FGHE 4) รูป AFEDI และรูป BGHCJ

คําตอบกิจกรรม “สํารวจทรงกระบอก”

1. 2) รูปสี่เหล่ียมมุมฉาก 3) ตัวอยางคําตอบ กวาง 10 เซนติเมตร และยาว 15 เซนติเมตร 4) ความสูงของทรงกระบอกเทากับความกวางของรูปสี่เหล่ียมมุมฉาก ความยาวของเสนรอบวงของวงกลมที่เปนฐานของทรงกระบอกเทากับความยาวของ รูปสี่เหล่ียมมุมฉาก

12

2. ขอ 2) และขอ 4) วงกลมทีเ่ปนฐานของทรงกระบอกในขอ 2) และขอ 4) มีเสนรอบวงยาว 4 หนวย 3. รูป ก เปนทรงกระบอก เพราะมีฐานสองฐานเปนวงกลมที่ขนานกันและเทากนัทุกประการ สวนสูงยาวเทากับความยาวของแกน รูป ข ไมเปนทรงกระบอก เพราะเมื่อใชระนาบตัดในแนวขนานกบัฐานแลว หนาตัดที่ไดแตละ หนาไมเปนวงกลมที่เทากันทุกประการ รูป ค ไมเปนทรงกระบอก เพราะหนาตัดที่เปนฐานไมขนานกันและไมเปนรูปที่เทากัน ทุกประการ รูป ง ไมเปนทรงกระบอก เพราะวงกลมที่เปนฐานไมเทากันทุกประการ

คําตอบกิจกรรม “สํารวจพีระมิด”

1. 1) ABCD 2) มี 4 หนา และ 4 สันที่ทุกสันยาวเทากัน 3) รูปสามเหลี่ยมหนาจั่ว 4) ไมเทากนัทุกประการทุกหนา แตจะมีหนาที่อยูตรงขามกันเทากันทุกประการ คือ ∆ ABE ≅ ∆ DCE และ ∆ ADE ≅ ∆ BCE 2. 1) พีระมิดฐานสามเหลี่ยม 2) พีระมิดฐานสี่เหล่ียม 3) พีระมิดฐานสี่เหล่ียม 4) พีระมิดฐานหาเหล่ียม 5) พีระมิดฐานหกเหลี่ยม 6) พีระมิดฐานแปดเหลี่ยม 3. ขอ 3) เปนพีระมิด เพราะมียอดแหลม 4.

13

คําตอบกิจกรรม “สํารวจกรวย”

2. 1) เทากัน เพราะยาวเทากบัรัศมีของวงกลมคือ 10 เซนติเมตร 2) ไมเทากนั กรวย C สูงที่สุดและกรวย D เตี้ยที่สุด 3) ถามุมที่จุดศูนยกลางมขีนาดใหญกวา พื้นที่ฐานของกรวยจะมากกวา 4) กรวย D 5) สวนโคงของรูปวงกลมเดิม 6)

D

B

A

C

3.

คําตอบกิจกรรม “สํารวจทรงกลม”

1. วงกลม 2. ไมเทากันทกุรูป 3. มีหลายวงนับไมถวน 4. มีหลายวงนับไมถวน

14

คําตอบแบบฝกหัด 1.2 ก

1. 1) 84 ลูกบาศกเซนตเิมตร 2) 1,536 ลูกบาศกเซนตเิมตร 3) 5.445 ลูกบาศกเซนตเิมตร 4) 2,940 ลูกบาศกเซนตเิมตร 5) 940 ลูกบาศกเซนตเิมตร 6) 497.25 ลูกบาศกเซนตเิมตร 7) 1,155.96 ลูกบาศกเซนติเมตร 8) 784 ลูกบาศกเซนตเิมตร 2. 66 ถุง 3. 19,219.2 กิโลกรัม 4. 8 เมตร 5. 11 คัน 6. ประมาณ 3.3 เมตร 7. 1.66 ลูกบาศกเมตร 8. 0.1 เมตร หรือ 10 เซนติเมตร 9. 1,800 ลูกบาศกเมตร 10. 58,320 ลูกบาศกเซนติเมตร

คําตอบกิจกรรม “ขนาดของตูเย็น”

ขนาด 2 คิว มีความจุประมาณ 56 ลิตร ขนาด 4 คิว มีความจุประมาณ 112 ลิตร ขนาด 4.5 คิว มีความจุประมาณ 126 ลิตร ขนาด 10 คิว มีความจุประมาณ 280 ลิตร ขนาด 12 คิว มีความจุประมาณ 336 ลิตร

คําตอบกิจกรรม “อาคารลูกเตา”

ประมาณ 30 เมตร

15

คําตอบแบบฝกหัด 1.2 ข

1. คํานวณโดยใชคา π ≈ 3.14

ขอ พื้นที่ฐาน ปริมาตร 1) ≈ 0.785 ตารางเซนติเมตร ≈ 157 ลูกบาศกเซนติเมตร 2) ≈ 4.522 ตารางเมตร ≈ 15.373 ลูกบาศกเมตร 3) ≈ 706.5 ตารางเซนติเมตร ≈ 14,836.5 ลูกบาศกเซนติเมตร 4) ≈ 1.767 ตารางเมตร ≈ 2.65 ลูกบาศกเมตร

2. ประมาณ 502.4 ลูกบาศกเซนติเมตร (ใชคา π ≈ 3.14) 3. ประมาณ 3.14 ลูกบาศกเมตร (ใชคา π ≈ 3.14)

4. ประมาณ 4.9 เซนติเมตร ⎟⎠⎞⎜

⎝⎛ ≈ 7

22 ใชคา π

5. ประมาณ 288.75 ลูกบาศกเซนติเมตร ⎟⎠⎞⎜

⎝⎛ ≈ 7

22 ใชคา π

6. ประมาณ 2,013.525 ลูกบาศกเซนติเมตร (ใชคา π ≈ 3.14)

7. ประมาณ 2 เมตร ⎟⎠⎞⎜

⎝⎛ ≈ 7

22 ใชคา π

8. ซ้ือขวดเตี้ยจะถูกกวา

9. ประมาณ 0.943 ลูกบาศกเมตร ⎟⎠⎞⎜

⎝⎛ ≈ 7

22 ใชคา π

10. ขาวเหนียวขาวประมาณ 11.8 ลิตร (ใชคา π ≈ 3.14) ขาวเหนียวดําประมาณ 47.1 ลิตร

คําตอบกิจกรรม “เทากันหรือไม”

ไมเทากัน ทรงกระบอกใบแรกนาจะมีปริมาตรมากกวา จากการวดัและคํานวณจากของจริง จะพบวาทรงกระบอกใบแรกมีปริมาตรมากกวาตามทีค่าดการณไว

16

คําตอบกิจกรรม “มีขนาดเทาไร”

กระดาษกวาง 7 นิ้วและยาว 13 นิ้ว ไดปริมาตรมากที่สุดเปน π75.295 ลูกบาศกนิ้ว

วิธีคิด จากความยาวรอบรูป 40 นิ้ว จะไดผลบวกของความกวางและความยาวของ กระดาษเปน 20 นิ้ว บันทกึความสัมพันธไดตามตัวอยางตารางตอไปนี้

ความกวาง ของกระดาษ

ความยาว ของกระดาษ

รัศมีของ ฐานทรงกระบอก

ปริมาตรของทรงกระบอก (ลูกบาศกนิว้)

1

19

r = π219 1 2

19 2

×⎟⎠⎞⎜

⎝⎛ππ = π

25.90

2

18

r = π218 2 2

18 2

×⎟⎠⎞⎜

⎝⎛ππ = π

162

3

17

r = π217 3 2

17 2

×⎟⎠⎞⎜

⎝⎛ππ = π

75.216

4

16

r = π216 4 2

16 2

×⎟⎠⎞⎜

⎝⎛ππ = π

256

5

15

r = π215 5 2

15 2

×⎟⎠⎞⎜

⎝⎛ππ = π

25.281

6

14

r = π214 6 2

14 2

×⎟⎠⎞⎜

⎝⎛ππ = π

294

7

13

r = 132π ⎛ ⎞

⎜ ⎟⎝ ⎠

213 72 ×π π = 295.75

π

8

12

r = π212 8 2

12 2

×⎟⎠⎞⎜

⎝⎛ππ = π

288

9

11

r = π211 9 2

11 2

×⎟⎠⎞⎜

⎝⎛ππ = π

25.272

10

10

r = π210 10 2

10 2

×⎟⎠⎞⎜

⎝⎛ππ = π

250

17

คําตอบกิจกรรม “นาคิด”

น้ํามันควรอยูระหวางระดับ 2 กับระดับ 3 ตามตัวอยางแนวคิดดงันี ้ จากรูป ก เมือ่วางถังน้ํามันในแนวตั้งและแบงความสูงของถังทรงกระบอกเปน 4 สวนเทา ๆ กัน จะเหน็วาความจุของแตละสวนของถังเทากันและเทากับ 4

1 ของถัง จากรูป ข เมือ่วางถังน้ํามันในแนวนอนและแบงความสงูของถังทรงกระบอกเปน 4 สวนเทา ๆ กัน จะเหน็วาความจุของแตละสวนของถังไมเทากัน กลาวคือ สวนที่ 1 และสวนที่ 4 มีความจุเทากัน โดยที่แตละสวนจุไดนอยกวา 4

1 ของถัง

สวนที่ 2 และสวนที่ 3 มีความจุเทากัน โดยที่แตละสวนจุไดมากกวา 41 ของถัง

ความจุของแตละสวนที่เปนสวนที่ 2 และสวนที่ 3 มากกวาความจุของแตละสวน ที่เปนสวนที่ 1 และสวนที่ 4 เมื่อมีน้ํามันอยูในถัง 2

1 ของถัง ปริมาณน้ํามันจะอยูในสวนที่ 1 และสวนที่ 2

ดังนั้นระดับของน้ํามัน 21 ของถัง จะอยูตรงกับขีดบอกระดับ 2 พอด ี

เมื่อมีน้ํามันอยูในถัง 43 ของถัง น้ํามันอีก 4

1 ของถังจะอยูในสวนที่ 3 แตจะไมถึง

ขีดบอกระดับ 3 ทั้งนี้เพราะความจุของสวนที่ 3 มากกวา 41 ของถัง

นั่นคือ น้ํามันควรอยูระหวางระดับ 2 กับระดับ 3

0 1 2 3 4 ระดับ ระดับ

0 1 2 3 4

สวนท่ี 1 สวนท่ี 2 สวนท่ี 3 สวนท่ี 4

รูป ก รูป ข

18

คําตอบแบบฝกหัด 1.3 ก

1.

พีระมิด ความยาวของดานฐาน (ซม.)

พื้นที่ฐาน (ซม.2)

สูง (ซม.)

ปริมาตร (ซม.3)

1) ฐานสามเหลี่ยม 10 43.3 9 ≈ 129.9 2) ฐานสี่เหล่ียม 8.2 67.24 10.5 235.34 3) ฐานหาเหลี่ยม 7.3 91.65 ≈ 21 641.6 4) ฐานสี่เหล่ียม 8 64 15 320 5) ฐานหกเหลี่ยม 6 ≈ 93.5 7.5 ≈ 238.8

2. ประมาณ 415.68 ลูกบาศกเซนติเมตร 3. ประมาณ 9.33 ลูกบาศกเมตร 4. ประมาณ 166.67 ลูกบาศกเซนติเมตร แนวคิด ฐานของพีระมดิมีความยาวของแตละดานเทากับ 22 5 5 + = 50 เซนติเมตร ปริมาตรของแกวนีเ้ทากับ = 2 × 3

1 ( 50 )2 × 5

= 2 × 350 × 5

≈ 166.67 ลูกบาศกเซนติเมตร 5. ประมาณ 1.1 ลิตร 6. ประมาณ 11,093.3 ลูกบาศกเซนติเมตร

คําตอบกิจกรรม “หนึ่งในเจ็ดของสิ่งมหัศจรรยของโลกยุคโบราณ”

ประมาณ 2,541,066.6 ลูกบาศกเมตร

คําตอบกิจกรรม “พีระมิดปริศนา”

ความคิดของนภิาวรรณถกูตอง เพราะเมื่อใหพีระมิดนี้มฐีานเปนรูปสี่เหล่ียมจัตุรัส จะคํานวณปรมิาตรไดประมาณ 8,840.42 ลูกบาศกเมตร ซ่ึงใกลเคียงกบัขอมูลที่ระบุไววาปริมาตรของพีระมิดนี้ ประมาณ 8,840 ลูกบาศกเมตร

19

คําตอบกิจกรรม “ชวยคิดหนอย”

พีระมิดรูป ข รูป ค และรูป ก

คําตอบกิจกรรม “ทําไดหลายแบบ”

ตัวอยาง

แนวคิด เนื่องจากปริมาตรของกรวย เทากับ 1,024π ลูกบาศกเซนติเมตร จะได 3

1πr2h = 1,024π = 210π r2h = 210 × 3 ถา h = 3 × 16 จะได r2 = 26 ดังนั้น r = 23 h = 3 × 4 จะได r2 = 28 ดังนั้น r = 24

8

16 12

16 (r = 24 = 16) (r = 23 = 8)

คําตอบแบบฝกหัด 1.3 ข

1. ประมาณ 10.42 ลูกบาศกเมตร (ใชคา π ≈ 3.14) 2. แบบทรงกระบอกใชเนื้อเทยีนมากกวา (ใชคา π ≈ 3.14) และมากกวากนัอยูประมาณ 10.205 ลูกบาศกเซนติเมตร

3. ประมาณ 3,273.8 ลูกบาศกนิ้ว ⎟⎠⎞⎜

⎝⎛ ≈ 7

22 ใชคา π

4. ประมาณ 9.42 ลูกบาศกเมตร (ใชคา π ≈ 3.14) 5. ประมาณ 3,140 ลูกบาศกเซนติเมตร (ใชคา π ≈ 3.14) 6. เพียงพอ เพราะน้ํา 20 ลิตร เทากับน้ํา 20,000 ลูกบาศกเซนติเมตร แตนักเรยีน 50 คน ดื่มน้ําคนละ 2 แกว จะใชน้ําประมาณ 16,746.67 ลูกบาศกเซนตเิมตร

20

(ใชคา π ≈ 3.14) 7. 9 เซนติเมตร 8. ประมาณ 1060.7 ลูกบาศกเซนติเมตร

คําตอบกิจกรรม “คิดไดไหม”

ปริมาตรของคิวบอกตะฮีดรอนเปน 65 เทาของปริมาตรของลูกบาศกเดิม

แนวคิด ปริมาตรของลูกบาศกเทากับ a3 ลูกบาศกหนวย

ปริมาตรของพีระมิด 8 รูป เทากับ 8 × ⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ ⎟

⎠⎞⎜

⎝⎛ ×××× 2

a 2a 2

a 21 3

1

= 6a 3

จะได ปริมาตรของคิวบอกตะฮีดรอน เทากับ – 3a 6a 3

= 65 3a

คําตอบแบบฝกหัด 1.4

1. ประมาณ 3,052.08 ลูกบาศกเซนติเมตร (ใชคา π ≈ 3.14) 2. กรวยที่มไีอศกรีม 2 ลูกมีปริมาตรมากกวา 3. ประมาณ 4,198.68 ลูกบาศกเซนติเมตร (ใชคา π ≈ 3.14) 4. ประมาณ 1,956.4 ลูกบาศกเซนติเมตร (ใชคา π ≈ 3.14) 5. ประมาณ 12.21 ลูกบาศกเมตร (ใชคา π ≈ 3.14)

6. ประมาณ 458 ลูก ⎟⎠⎞⎜

⎝⎛ ≈ 7

22 ใชคา π

7. ประมาณ 3,286.8 ลูกบาศกเมตร (ใชคา π ≈ 3.14) 8. 8 เซนติเมตร

คําตอบกิจกรรม “คิดไดหรือไม”

ประมาณ 0.48 ลูกบาศกเมตร (ใชคา π ≈ 3.14)

คําตอบแบบฝกหัด 1.5

21

1. 1) 780 ตารางเซนติเมตร 2) 51 ตารางเซนติเมตร 3) 816 ตารางเซนติเมตร 4) 2,768 ตารางเซนติเมตร 5) 1,570 ตารางเซนติเมตร 6) 566 ตารางเซนติเมตร 2. 4.5 ตารางเมตร 3. 1,160 ตารางเซนติเมตร 4. ประมาณ 455.3 ตารางเมตร 5. ประมาณ 133.52 ตารางเซนติเมตร 6. 1) 32 ลูก 2) 72 ตารางเซนติเมตร 7. 202.5 ตารางเมตร 8. ประมาณ 7,536 ตารางเมตร 9. ประมาณ 78.5 ตารางเมตร 10. 1) ทอที่หนึง่ประมาณ 113,040 ลูกบาศกเซนติเมตร ทอที่สองประมาณ 113,040 ลูกบาศกเซนติเมตร

2) ทอที่หนึ่ง

22

คําตอบกิจกรรม “รูลึกเรื่องโลก”

ปริมาตรของแกนโลกชั้นในประมาณ 8.58 × 109 ลูกบาศกกิโลเมตร ปริมาตรของแกนโลกชั้นนอกประมาณ 1.66 × 1011 ลูกบาศกกิโลเมตร ปริมาตรของเนื้อโลกประมาณ 8.81 × 1011 ลูกบาศกกิโลเมตร ปริมาตรของเปลือกโลกประมาณ 1.84 × 1011 ลูกบาศกกิโลเมตร แนวคิด ปริมาตรของแกนโลกชั้นใน เทากับ 3

4 π(1270)3 ≈ 8.58 × 109 ลูกบาศกกิโลเมตร

ปริมาตรของแกนโลกชัน้นอก เทากับ 34 π(3470)3 – 3

4 π(1270)3 ≈ 1.66 × 1011 ลูกบาศกกิโลเมตร

ปริมาตรของเนื้อโลก เทากบั 34 π(6300)3 –

⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ ππ −

33 (1270) 34 (3470) 3

4

≈ 8.81 × 1011 ลูกบาศกกิโลเมตร ปริมาตรของเปลือกโลก เทากับ

34 π(6335)3 – ⎥⎦

⎤⎢⎣⎡

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧ πππ −− (1270) 3

4 (3470) 34 (6300) 3

4 333

≈ 1.84 × 1011 ลูกบาศกกิโลเมตร

23

กิจกรรมเสนอแนะและคําตอบ

24

กิจกรรมเสนอแนะ 1.2

กิจกรรมนี้มีไวเพื่อใหครูใชสําหรับทบทวนความรูเกี่ยวกบัการเปลี่ยนหนวยความจหุรือ ปริมาตร

ใหนกัเรียนเตมิคําตอบในชองวางใหถูกตอง 1. พื้นที่ 1 ตารางเมตร เทากับพื้นที่ 10,000 ตารางเซนติเมตร 2. พื้นที่ 50,000 ตารางเซนติเมตร เทากับพืน้ที่ 5 ตารางเมตร 3. พื้นที่ 1 ตารางฟุต เทากับพืน้ที่ 144 ตารางนิ้ว 4. พื้นที่ 936 ตารางนิ้ว เทากับพื้นที ่ 6.5 ตารางฟุต 5. พื้นที่ 5 ไร เทากับพื้นที ่ 2,000 ตารางวา 6. พื้นที่ 3 ไร เทากับพื้นที ่ 4,800 ตารางเมตร 7. ปริมาตร 1 ลูกบาศกเมตร เทากับ ปริมาตร 1,000,000 ลูกบาศกเซนตเิมตร 8. ปริมาตร 2,000,000 ลูกบาศกเซนติเมตร เทากับ ปริมาตร 2 ลูกบาศกเมตร 9. น้ํา 1 ลิตร เทากับน้ํา 1,000 ลูกบาศกเซนติเมตร 10. น้ํา 85,000 ลูกบาศกเซนติเมตร เทากับน้าํ 85 ลิตร 11. น้ํา 1,000 ลิตร เทากับ น้ํา 1 ลูกบาศกเมตร 12. น้ํา 1,000 มิลลิลิตร เทากับน้ํา 1 ลิตร 13. น้ําผลไม 240 มิลลิลิตร เทากับ น้ําผลไม 240 ลูกบาศกเซนติเมตร 14. ยาน้ํา 1 ชอนชา เทียบเทา ยาน้ํา 5 ซีซี 15. น้ําสมสายชู 1 ชอนโตะ เทากับ น้ําสมสายชู 3 ชอนชา 16. น้ําตาล 1 ถวยตวง เทยีบเทา น้ําตาล 240 ลูกบาศกเซนติเมตร 17. น้ํา 840 ลูกบาศกเซนติเมตร เทียบเทา น้าํ 3.5 ถวยตวง

25

กิจกรรมเสนอแนะ 1.3

กิจกรรมนี้มีไวเพื่อใหใชเปนตัวแบบสําหรับทําสื่ออุปกรณหาปริมาตรของพีระมิดเทยีบกับ ปริมาตรของปริซึมที่มีพื้นที่ฐานเทากันและสูงเทากัน

1. พีระมิดฐานสี่เหล่ียมจตัุรัส และปริซึมสี่เหล่ียมจตัุรัส

6 ซม.

ดานขางของพีระมิดฐานสี่เหลี่ยมจัตุรัส (4 แผน)

7.5 ซม.

9 ซม.

9 ซม.

ดานขางของ ปริซึมสี่เหลี่ยมจตุัรัส

(4 แผน)

ฐานของปริซึมสี่เหลี่ยมจัตุรัส (1 แผน)

9 ซม.

9 ซม.

26

2. พีระมิดฐานสามเหลี่ยมดานเทาและปริซึมสามเหลี่ยมดานเทา

ดานขางของ ปริซึมสามเหลี่ยมดานเทา

(3 แผน)

8 ซม.

7 ซม.

ดานขางของพีระมิดฐานสามเหลี่ยมดานเทา (3 แผน)

7.5 ซม.

8 ซม.

ฐานของปริซึมสามเหลี่ยมดานเทา (1 แผน)

8 ซม.

8 ซม.

27

3. พีระมิดฐานสี่เหล่ียมผืนผาและปริซึมสี่เหล่ียมผืนผา

ดานขางของปริซึมสี่เหลี่ยมผืนผา (2 แผน)

12 ซม.

4.5 ซม.

8 ซม.

ดานขางของปริซึมสี่เหลี่ยมผืนผา (2 แผน)

4.5 ซม.

8 ซม. ฐานของปริซึมสี่เหลี่ยมผืนผา

(1 แผน)

12 ซม.

28

12 ซม.

6 ซม.

ดานขางของพีระมิดฐานสี่เหลี่ยมผืนผา (2 แผน)

ดานขางของ พีระมิดฐานสี่เหลี่ยมผืนผา (2 แผน)

8 ซม.

7.5 ซม.