http://ebook.here.vn Thư viện Bài giảng, Đề thi trắc nghiệm trực tuyến PHẦN 1 THỂ TÍCH KHỐI ĐA DIỆN A. LÝ THUYẾT 1. Khái niệm thể tích của 1 khối đa diện (Sgk hh 12) 2. Các công thức tính thể tích của khối đa diện a) Thể tích khối hộp chữ nhật V = abc với a, b, c là 3 kích thước của khối hộp chữ nhật b) Thể tích của khối chóp V= 3 1 S đáy . h ; h: Chiều cao của khối chóp c) Thể tích của khối lăng trụ V= S đáy . h ; h: Chiều cao của khối lăng trụ B. CÁC DẠNG BÀI TẬP
This document is posted to help you gain knowledge. Please leave a comment to let me know what you think about it! Share it to your friends and learn new things together.
*Phương pháp: Để tính thể tích của khối đa diện ta có thể:+Áp dụng trực tiếp các công thức tính thể tích+Chia khối đa diện thành các khối nhỏ hơn mà thể tích của các khối đó tính được+Bổ sung thêm bên ngoài các khối đa diện để được 1 khối đa diện có thể tính thể
tích bằng công thức và phần bù vào cũng tính được thể tích.
*Các bài tập
1)Về thể tích của khối chóp
+Nếu khối chóp đã có chiều cao và đáy thì ta tính toán chiều cao, diện tích đáy và
áp dụng công thức :V= 3
1 Sđáy . h
Bài 1: Tính thể tích hình chóp tam giác đều SABC trong các trường hợp sau:a) Cạnh đáy bằng a, góc ABC = 60o
b) AB = a, SA = lc) SA = l, góc giữa mặt bên và mặt đáy bằng ỏ
c) Gọi O là tâm ∆ABCGọi A’ là trung điểm BCDễ thấy ((SBC), (ABC)) = góc SA’O = ỏTam giác vuông SOA có:
SO2 = l2 - OA2 = l2 - 94
AA’2
Tam giác vuông SOA’ có: sin'.sin 3
1'
31 AASO
AASO (2)
Từ (1) (2) ta có:
2
942
91 sin'.sin' lAAAA
O
B
A'
A C
a
AA’2(sin2 ỏ + 4) = 9l2
4sin
32
'
lAA
S∆ABC = )4(sin233
4sin3
3
4sin
321
21
2
2
22..'.
lllBCAA
4sin
sin.
4sin
331
22sin..
llSO
⇒VSABC = 31
S∆ABC . SO = 4sin).4(sin
sin33
22
2
.
l
Bài 2. Cho lăng trụ ABCA’B’C’ có độ dài cạnh bên = 2a, ∆ABC vuông tại A, AB = a, AC = a 3 . Hình chiếu vuông góc của A’ trên (ABC) là trung điểm BC. Tính VA’ABC
Bài 5 Cho hình vuông ABCD cạnh a. các nửa đường thẳng Ax, Cy ⊥ (ABCD) và ở cùng một phía với mặt phẳng đó. Điểm M không trùng với với A trên Ax, điểm N không trùng với C trên Cy. Đặt AM = m, CN = n. Tính thể tích của hình chóp BAMNC.
*Nếu khối chóp cần tính thể tích chưa bíết chiều cao thì ta phải xác định đựơc vị trí chân đường cao trên đáy.
Ta có một số nhận xét sau:
-Nếu hình chóp có cạnh bên nghiêng đều trên đáy hoặc các cạnh bên bằng nhau thì chân đường cao là tâm đường tròn ngoại tiếp đáy.
-Nếu hình chóp có các mặt bên nghiêng đều trên đáy hoặc có các đường cao của các mặt bên xuất phát từ một đỉnh bằng nhau thì chân đường cao là tâm đường tròn nội tiếp đáy
-Hình chóp có mặt bên hoặc mặt mặt chéo vuông góc với đáy thì đường cao của hình chóp là đường cao của mặt bên hoặc mặt chéo đó.
-Nếu có một đường thẳng vuông góc với mặt đáy của khối chóp thì đường cao của khối chóp sẽ song song hoặc nằm trờn với đường thẳng đó.
-Nếu một đường thẳng nằm trong đáy của khối chóp vuông góc vuông góc với một mặt phẳng chứa đỉnh của khối chóp thì đường cao của khối chóp là đường thẳng kẻ từ đỉnh vuông góc với giao tuyến của mặt đáy và mặt phẳng chứa đỉnh đã nói ở trên.
*Nếu khối chóp là khối tứ diện thì ta cần khéo chọn mặt đáy thích hợp.
Bài 6: SABCD có đáy là tâm giác cân tại A, BC =a, ABC = ỏ, các cạnh bên nghiêng trên đáy một góc ỏ. Tính VSABC
- Vì khối chóp có các bên nghiêng đều trên đáy. ⇒ O là tâm đường tròn đi qua 4 đỉnh A, B, C, D ⇒ tứ giác ABCD là hình chữ nhật và {O} = AC ∩ BD- Đặt AC = BD =x.
Bài 9: SABCD có đáy ABCD là hình thang với đáy lớn AB = 2, ACB = 90o. ∆SAC và ∆SBD là các tam giác đều có cạnh = 3 .
Tính thể tích khối chóp SABCD.
Đáp số: VSABCD = 46
Bài 10: SABCD có đáy là hình thang vuông tại A và D, ∆SAD đều cạnh = 2a,
BC = 3a. Các mặt bên lập với đáy các góc bằng nhau. Tính VSABCD
GIẢI
2a3a
CD
HK
- Hạ SH ⊥ (ABCD), H ∈ (ABCD)- Vì các mặt bên lập với đáy các góc bằng nhau nên dễ dàng chứng minh được H là tâm đường tròn nội tiếp đáy- Gọi K là hình chiếu của H lên AD
- Ta có HK = aAD 2
- Tam giác vuông SHK có HK = a
SK = 32 23 aa (vì ∆SAD đều)
⇒SH = 23 22 aaa Vì ⋄ABCD ngoại tiếp nên: AB + CD = AD + BC = 5a
⇒SABCD = 222.5
2).( 5aaaADCDAB
⇒VSABCD = 352
31
31 23
2.5. aABCD aaSHS
Bài 11: Cho hình chóp SABCD có ABCD là hình vuông cạnh 2a, SA = a,
SB = a 3 , (SAB) (ABCD). M, N lần lượt là trung điểm AB, BC. Tính VSBMDN
Bài 13: hình chóp SACD có đáy ABCD là hình chữ nhật, ∆SCD cân tại S và nằm trong mặt phẳng (ABCD). ∆SAB có SA = a, ASB = 2 ỏ và nằm trong mặt phẳng lập với (SCD) một góc ỏ. Tính thể tích khối chóp SABCD
GIẢI
Trong ∆SCD hạ SH CDVì ∆SCD cân tại S
⇒ H là trung điểm CD.SH CD(SCD) (ABCD
⇒ SH (ABCD)Gọi K là trung điểm AB Ta có HK ABAB SH (vì SH (ABD))⇒AB (SKH) ⇒ AB SK ⇒ ∆SAB cân tại S
Dễ thấy ((SAB), (SCD)) = KSH = ỏ∆SAB có SK = acos ỏ , AB = 2AK = 2asin ỏ∆SHK vuông tại H có SH =SK.cosỏ = acos2 ỏKH = SKsinỏ = asinỏcosỏ. SABCD =AB.BC = 2asinỏ.asinỏcosỏ
= 2a2sin2ỏcosỏ ⇒VSABCD = 2332
.31 sinaS ABCDSH ỏ
Bài 14: Hình chóp SABCD có ∆ABC vuông tại B, SA b (ABC). ACB =60o, BC = a, SA = a 3 , M là trung điểm SB. Tính thể tích MABC
GIẢI
H
CA
B
a
M
Cách 1. SA b (ABC)Từ M kẻ MH // AS cắt AB tại H ⇒MH b (ABC)
Bài 16: Hình chóp SABCD có ABCD là hình chữ nhật, AB = a, AD = a 2 , SA = a, SA (ABCD). M, N lần lượt là trung điểm AD và SC. {I} = BM ∩ AC. Tính thể tích hình chóp ANIB.
GIẢI
SA (ABCD)Gọi {O} = AC ∩ BDTrong ∆SAC có ON // SA
⇒ON (ABCD) ⇒ NO (AIB)Ta có NO = 22
1 aSA Tính S∆AIB = ?
ABD só I là trọng tâm
⇒S∆ABI = 32
S∆ABO = 41
32 . S⋄ABCD = 3
2a.a 2 = 6
22a
⇒ SANIB = 31 NO.S∆AIB = 36
26
223
1 32
.. aaa
Bài 17. Hình chóp SABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a,
(SAD) (ABCD), ∆SAD đều. Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm SB, BC, CD.
Tính thể tích hình chóp CMNPGIẢI
A
C
N
aD
P
B
M
FE
S
y
x
z
- Gọi E là trung điểm AD. (CNP) ≡ (ABCD) ⇒ SE AD(SAD) (ABCD)
⇒SE (ABCD)- Gọi F là hình chiếu của M lên (ABCD) ⇒ MF // SE. Dễ thấy F ∈ EB và F là trung điểm EB
. aaa Nhận xét: có thể dùng phương pháp toạ độ để giải với gốc toạ độ O .
0x ≡ EN, oy ≡ ED, oz ≡ ESBài 18: Cho hình trụ có các đáy là hai hình tròn tâm O và O’ bán kính đáy bằng chiều cao bằng a. Trên đường tròn tâm O lấy A, Trên đường tròn tâm O’ lấy B. sao cho AB = 2a. Tính thể tích hình chóp OO’AB
GIẢI
B
A
A'O'
O
HD
Kẻ đường sinh AA’. Gọi D đối xứng với A’ qua O’, H là hình chiếu của B trên A’D.Ta có BH A’D BH A’A ⇒ BH (AOO’A’) ⇒BH là đường cao của tứ diện BAOO’
SAOO’ =2
2a , A’B = 3'22 aAAAB
∆A’BD vuông ở B ⇒ BD=a
∆O’BD đều ⇒ BH=2
3a⇒VBAOO’
= .3
1BH SAOO’ = 12
32a
Bài 19: Cho hình chóp có ABCD là hình chữ nhật; AB = a.AD = 2a;
SA (ABCD); (SA, (ABCD) = 60o. Điểm M thuộc cạnh SA, AM = 33a .
(BCM) ∩ SD ={ N}. Tính thể tích hình chóp S.BCMNGIẢI
Kẻ SH⊥ BM thì SH là đương cao của hình chóp S.BCMNta có SH=SB sin 300 = a
BC//(SAD) ⇒MN//BC ⇒ AD
MN
SA
SM ⇒MN =
3
4. a
SA
SMAD
⇒SBCMN =33
10).(
2
1 2aBMBCMN
⇒VSBCMN = .3
1SH SBCMN = 27
310 3a
Bài 20: Cho hình chóp SABCD có ABCD là hình thang; BAD = ABC = 90o; AB = BC = a; AD = 20; SA b (ABCD); SA = 2a. M, N lần lượt là trung điểm SA và SD. Chứng minh rằng BCMN là hình chữ nhật và tính thể tích hình chóp S.BCNM
⇒BC ⊥ (SAB) BC AM (2)Từ (1) và (2) ta có BCNM là hình chữ nhật
Kẻ SH ⊥BM thỡ SH⊥ (BCNM)
⇒VSBCNM=3
1 SBCNM.SH=3
1 BC.NM.SH=3
3a
Bài 21: Cho lăng trụ đứng ABCA1B1C1 có ABC vuông. AB = AC = a; AA1 = a 2 . M là trung điểm AA1. Tính thể tích lăng trụ MA1BC1
Hướng dẫn:
+Chọn mặt đáy thích hợp ⇒ V = 1223a
+Có thể dùng cả phương pháp toạ độ
Bài 22: Tứ diện ABCD có AB = x có các cạnh còn lại bằng 1. a.Tính thể tích tứ diện theo x.b.tính khoảng cách từ điểm B đến mặt phẳng ACDc. Tìm x để thể ABCD đạt giá trị lớn nhất
Gọi H là Hình chiếu của D lên (ABC) vì DA = DC = DB = 1 ⇒ H là tâm đường tròn ngoại tiếp ∆ABC mà ∆ABC cân H ∈ CC’ với C’ là trung điểm AB
S∆ABC = xxxABCC x .4.4'. 241
421
21 2
HC = R∆ABC = 2
4
2
222 4
1
1.4cossin4sin2 x
xxC
x
xxCC
⇒Tam giác vuông HCD có HD2 = CD2- DC2 = 2
2
2 43
411
xx
x
⇒ HD = 2
2
43
xx
⇒VABCD =
2
2
2 231 1 13 3 4 124
. . 4 . . 3x xABC x
S HD x x x
Cách 2:
B
A
D
M
C'
Gọi M là trung điểm CD ⇒ CD ABM
Vì ∆ACD và ∆BCD đều ⇒ AM = BM = 23
VABCD = 2VCBMA = 2. 31 CM.S∆ABC = ABMS.2
132
S∆ABM = 21
MC’.AB = 24
22
223
21 3)()(. xx xx
VABCD = xxxx .33 21212
431
b)
SACD=4
3⇒ d(B,(ACD))=
ACD
ABCD
S
V3= xx .3
3
1 2
c)
VABCD =2 22 31 1 1
12 12 2 83 . . x xx x
Dấu “=” xảy ra ⇔ x2 = 3-x3 ⇔ x = 23 và thể tích lớn nhất là
8
1
Bài 23: Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, SA vuông góc với mặt đáy ABCD và SA=h.Điểm M thuộc cạnh CD.Đặt CM=x.Hạ SH vuông góc với BM.Tính thể tích khối tứ diện SABH.Tìm x để thể tích khối này là lớn nhất.
Dấu bằng xảy ra khi a=x tức M trùng D. Bài 24: Hình chóp SABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh a, SA vuông góc với đáy ABC và SA = a.Điểm M thuộc cạnh AB. Đặt góc ACM bằng Hạ SH vuông góc với CM
a)Tìm giá trị lớn nhất của thể tích khối tứ diện SAHCb)Hạ AI vuông góc với SC,AK vuông góc với SH Tính thể tích khối tứ diện
MỘT SỐ BÀI TẬP CÓ THỂ GIẢI BẰNG PP TOẠ ĐỘ VỚI VIỆC CHỌN HỆ TOẠ ĐỘ DỄ DÀNG
Bài 1: Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD là hình thoi, AC = 4, BD = 2, AC cắt BD tại O SO (ABCD), SA = 2 2 . Gọi M là trung điểm SC, (ABM) cắt SD tại N. Tính thể tích khối chóp S.ABMN
GIẢI
Cách 1:
B
O
C
DA
S
M
N
Ta có AB // CD (gt)(ABM) (SCD) = MN⇒MN // CD ⇒ N là trung điểm SD
Bài 1 Cho lăng trụ tam giác ABCA’B’C’ có đáy ABC là tam giác đều, cạnh a và A’A = A’B = A’C. Cạnh AA’ tạo với đáy một góc 60o. Tính thể tích lăng trụ ABCA’B’C’.
GIẢI
B
A
C
C'B'
A'
Oa
Gọi O là tâm ABC⇒ OA = OB = OCA’A = A’B = A’C (gt)⇒A’O⊥ (ABC)(AA’,(ABC)) = (AO, AA’) = 600
A’O ⊥OA (vì A’O⊥ (ABC) Trong tam giác vuông A’OA có OA’ = OA tan 600 = a
Vì ∆ABC đều cạnh a nên S∆ABC = 4
3 2a⇒VABCA’B’C’ = S∆ABC.A’O =
4
33a
Bài 2: Cho hình lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có đáy ABC là một tam giác vuông tại A, AC = b, C = 60o. (BC’,(AA’C’C)) = 30o. Tính thể tích của khối lăng trụ
GIẢI
C
C'A'
A
B
B'
b
b'
Dễ thấy AB (ACC’A’) nên (BC’, (ACC’ A’)) = AC’B = 300
∆ABC vuông tại A có C =600, AC=b nên BC=2b và AB= 3 b.
A/. Phương pháp: Giả sử mặt phẳng ỏ chia khối đa diện thành hai khối có thể tích là V1
và V2. Để tính k = 2
1
VV
ta có thể:
-Tính trực tiếp V1, V2 bằng công thức ⇒ k-Tính V2 (hoặc V2) bằng công thức tính thể tích của cả khối ⇒ Thể tích V2 (hoặc
V1) ⇒ kTa có các kết quả sau:
+Hai khối chóp có cùng diện tích đáy là tỉ số thể tích bằng tỉ số hai đường cao tương ứng.
+Hai khối chóp có cùng độ dài đường cao thì tỉ số thể tích bằng tỉ số hai diện tích đáy.
+ ''.'...
''' SCSBSASCSBSA
VV
CBSA
SABC
CA
B
B'
C'A'
(chỉ đúng cho khối chóp tam giác (tứ diện))B. Các bài tậpBài 1: Chóp SABCD có đáy ABCD là hình bình hành. M là trung điểm SC. mặt phẳng (P) chứa AM và //BD chia hình chóp thành hai phân. Tính tỉ số thể tích của hai phần đó.
-Gọi O = AC ∩ BD, I = SO ∩ AM⇒ I ∈ (P) BD ⊂ (SBD) BD // (P)
⇒ (P) ∩ (SBD) = B’D’ // BD
92
32
32
21
21'' ......'' SO
SISOSI
SDSD
CSBSB
SCSM
VV
SCBD
DSMB
(vì I là trọng tâm ∆SAC)
92
32
32''' ..1..'' SD
SDSBSB
SASA
VV
SCBD
DSMB
mà VSABD = VSCBD = 2
1 VSABCD
21
31
32
94
92
''
''''
21
''
21
'' MBABCDD
MDSAB
SABCD
MDSABDSABDSMB
VV
VV
V
V
V
V
Bài 2: Hình chóp SABCD có đáy là hình vuông, SA (ABCD). (SC, (SAB)) = ỏ. Mắp phẳng (P) qua A và vuông góc SC chia hình chóp thành hai phần. Tính tỉ số thể tích hai phần đó.
GIẢI
Kí hiệu K1 = VSMAQN
V2 = V - V1
Gọi O = AC ∩ BD∆SAC kẻ AN SCE = SO ∩ AN ⇒ E ∈ (P)vì (P) SCmà BD SC BD AC BD SA BD (SAC) BD ⊂ (SAC)
S
D
C
O
B
A
N
M
Q
E
⇒ (P) // (SBD) ⇒ (P) ∩ (SBD) = MQ //BDCB AB (gt)CB SA (vì SA (ABCD))⇒CB (SAB) ⇒ (SC, (SAB)) = CSB = ỏV1 = 2VSANQ, V = 2VSACB
Bài 3: SABCD là hình chóp tứ giác đều cạnh a, đường cao h. Mặt phẳng qua AB (SDC) chia chóp làm hai phần. Tính tỉ số thể tích hai phần đó.
Bài 4: Cho hình lập phương ABCDA’B’C’D’ cạnh là a. M là trung điểm CD, N là trung điểm A’D’. Tính tỉ số thể tích hai phần đó (MNB’) chia hình lập phương.
GIẢI
D
AB
Q
M
C'
B'
D'
A'
P
E
C
Gợi ý:Gọi V1, V2 tương ứng là thể tích các phần trên và phần dưới thiết diện ta có:
Bài 5: Cho tứ diện SABC lấy M, N thuộc cạnh SA, SB sao cho2
1
MA
SM , 2NB
SN . Mặt
phẳng qua MN // SC chia tứ diện thành hai phần. Tính tỉ số thể tích hai phần này.GIẢI
A'
C
A
BE
MN
F
Dễ thấy thiết diện là hình thang MNEF (với MF // NE)Đặt V = VSABC, V1 = VMNEFCS, V2 = VMNEFAB
V1 = VSCEF + VSFME + VSMNE
92
32
31 .. CB
CECACF
VVSCEF
31. SA
SMSASE
SESM
VV
SFEA
SFME
94.. CB
CECAFA
SS
SS
SS
VV
ABC
CEA
CEA
FEA
ABC
FEASFEA
⇒ VVVSFME
274
94
31 .
92. SB
SNSASM
VV
SABE
SMNE
31.. CB
CECEEB
SS
SS
SS
VV
ABC
CEA
CEA
ABE
ABC
ABESABE
⇒VSABE = 272
V ⇒ V1 = 92
V + 274
V + 272
V = 94
V 54
2
1 VV
Bài 6: Cho lăng trụ đứng tam giác đều ABCA’B’C’ có cạnh đáy và cạnh bên đều bằng a. M, N, E lần lượt là trung điểm của BC, CC’, C’A’. Tính tỉ số thể tích hai phần lăng trụ do (MNE) tạo ra.
Dễ thấy (MNE) cắt lăng trụ theo thiết diện là ngũ giác MNEFIGọi V1, V2 tương ứng là thể tích phần trên và phần dưới của thiết diện, ta cóV1 = VNIBM + VNBB’FI + VNB’C’EF
V2 = VNFA’E + VNAA’FI + VNACMI
So sánh từng phần tương ứng ta có V1 = V2 2
1
VV
= 1
Bài 7: Cho hình vuông ABCD cạnh a. {O} = AC BD, ox (ABCD). Lấy S Ox, S O. Mặt phẳng qua AC và vuông góc (SAD) chia hình chóp thành hai phần. Tính tỉ số thể tích của hai phần đó.
Bài 6: Cho lăng trụ đứng ABCA1B1C1 có AB = a, AC = = 2a, AA1 = 2a 5 và BAC = 120o. Gọi m là trung điểm của cạnh CC1. Chứng minh rằng MB MA1 và tinh khoảng cách d từ điểm A tới mặt phẳng (A1BM)
GIẢI
B
A
C
2a
y
x
z
M
C1
A1
B1
Đưa và hệ trục toạ độ A1xyz vuông góc như hình vẽ: gốc toạ độ A1. trục A1Z hướng theo AA1
Trục A1y hướng theo 11CA Trục A1x tạo với trục Oy góc 90o và nằm trong MP (A1B1C1).
Bài 3: Cho hình trụ có đáy là tâm đường tròn tâm O và O’ tứ giác ABCD là hình vuông nội tiếp trong đường tròn tâm O. AA’, BB’ là các đường sinh của khối trụ. Biết góc của mặt phẳng (A’B”CD) và đáy hình trụ bằng 60o. Tính thể tích khối trụ
GIẢI
DCDA
DCAD
' ⇒ADA’ là góc của (A’B’CD) và đáy
Do đó: ADA’ = 60o
∆OAD vuông cân nên AD = OA 2 = R 2
∆ADA’ có h = AA’ = ADtan60o = R 6
V = R2h = R3 6
Bài 4: Bên trong hình trụ có một hình vuông ABCD cạnh a nội tiếp mà A, B thuộc đường tròn đáy thứ nhất và C, D thuộc đường tròn đáy thứ hai của hình trụ mặt phẳng hình vuông tạo với đáy hình trụ một góc 45o. Tính thể tích khối trụ.
GIẢI
Gọi I, J là trung điểm của AB và CDTa có: OI AB; IJ cắt OO’ tại ttrung điểm M của OO’ MIO = 45o là góc của mặt (ABCD) với đáy, do đó:
O’I = 22a
; R = 83
48
222 aaa
h = 2OM = 2
a
Vậy V = R2h = 33 3. . 23
8 162. aa a
Bài 5: Một hình trụ có diện tích toàn phần S = 6. Xác định các kích thước của khối trụ để thể tích của khối trụ này lớn nhất.
V’ = -3R2 + 3; V’ =0 ⇔ R = 1Dựa vào bảng biến thiên ta có VMax⇔R = 1 và h = 2
Bài 6: Một mặt phẳng (P) qua đỉnh hình nón cắt đường tròn đáy một cung ỏ và (P) tạo với đáy một góc õ. Cho khoảng cách từ tâm O của đáy đến (P) bằng a. Tính thể tích của khối nón.
GIẢI
O
A
E
B
S
M
Gọi E là trung điểm AB ta có OES= õ ; AOB= ỏVẽ OM (SAB) thì SOM= ta có:
SO=cos
a và OE=sin
a
Bán kính đáy R=OA=
2cossin
2cos
aOE
Thể tích khối nón là:V=3
2
2
1 .
3 3sin .cos .cos2
aR h
Bài 7: Cho hình nốn đỉnh S, đường cao SO = h, bán kính đáy = R. M ∈ SO là đường tròn (C).
1.Tính thể tích khối nón có đỉnh S và đáy là (C).2.Tìm x để thể tích này lớn nhát
Bài 8: Cho hình trụ có bán kính đáy x, chiều cao y, diện tích toàn phần bằng 2 .Với x nào thì hình trụ tồn tại? Tính thể tích V của khối trụ theo x và tìm giá trị lớn nhất của V.
GIẢI
Ta có Stp=Sxq+2Sđ= )(222 22 xxyxxy Theo giả thiết ta có 2 (xy+x2)=2
⇔xy+x2 =1 ⇔ y =x
x 21 .Hình trụ tồn tại y>0 ⇔1-x2> 0 ⇔0 < x < 1
Khi đó V = x2y = x(1-x2) = -x3+x
Khảo sát hàm số trên với x (0,1) ta được giá trị lớn nhất của V=3
1
33
2 x
Bài 9: Cho hình nón tròn xoay đỉnh S, đáy là hình tròn tâm O.Trên đường tròn đó lấy một điểm A cố định và một điểm M di động.Biết AOM= ỏ ,nhị diện cạnh AM có số đo bằng õ và khoảng cách tư O đến (SAM) bằng a.
Gọi I là trung điểm AM∆SAM cân nên SI AM∆OAM cân nên OI AM(SOI) AM nên SOI là góc phẳng nhị diện cạnh AM ⇒ SIO = õKẻ OH (SAM)(SOI) (SAM)⇒ H ∈ SI và OH = a
Ta có OI=
cos
tan;sin
2cos
2cos
;sinsin
aIOSO
aOIOM
aOH
V=2 3
2
2 2 2 2
1 .. . . .
3 3 cos cos .sin 3sin .cos .cos2 2
a a aSO OM
Bài 10: Cho mặt cầu đường kính AB=2R. Gọi I là điểm trên AB sao cho AI=h. Một mặt phẳng vuông góc với AB tại I cắt mặt cầu theo đường tròn (C).
+Tính thể tích khối nón đỉnh A và đáy là (C). +Xác định vị trí điểm I để thể tích trên đạt giá trị lớn nhất.
GIẢI
B
O
I
F
E
Gọi EFlà 1 đường kính cua (C) ta có :IE2 = IA.IB = h(2R-h) ⇒ R = IE = )2( hRh