Top Banner
Baøi taäp Giaûi tích 1 Ñaëng Tuaán Hieäp 2008
18

Bai Tap Giai Tich Chung Minh

Apr 09, 2018

Download

Documents

Bui Nguyen
Welcome message from author
This document is posted to help you gain knowledge. Please leave a comment to let me know what you think about it! Share it to your friends and learn new things together.
Transcript
Page 1: Bai Tap Giai Tich Chung Minh

8/8/2019 Bai Tap Giai Tich Chung Minh

http://slidepdf.com/reader/full/bai-tap-giai-tich-chung-minh 1/18

Baøi taäp Giaûi tích 1Ñaëng Tuaán Hieäp

2008

Page 2: Bai Tap Giai Tich Chung Minh

8/8/2019 Bai Tap Giai Tich Chung Minh

http://slidepdf.com/reader/full/bai-tap-giai-tich-chung-minh 2/18

Muïc luïc

Lôøi môû ñaàu

1 Soá thöïc vaø daõy soá

2 Giôùi haïn vaø tính lieân tuïc cuûa haøm soá 3 Pheùp tính vi phaân 10

4 Pheùp tính tích phaân 13

5 Chuoãi soá 16

1

Page 3: Bai Tap Giai Tich Chung Minh

8/8/2019 Bai Tap Giai Tich Chung Minh

http://slidepdf.com/reader/full/bai-tap-giai-tich-chung-minh 3/18

Page 4: Bai Tap Giai Tich Chung Minh

8/8/2019 Bai Tap Giai Tich Chung Minh

http://slidepdf.com/reader/full/bai-tap-giai-tich-chung-minh 4/18

Chöông 1

Soá thöïc vaø daõy soá

Baøi 1.1.Cho A⊂R laø taäp bò chaën treân. Chöùng minh raènga = sup A khi vaø chæ khia laø moät

caän treân cuûaA vaø∀ε > 0,∃xε∈A : a −ε < x ε.

Giaûi. Thuaän: Giaû söûa = sup A, khi ñoùa laø caän treân beù nhaát cuûaA.Giaû söû

∃ε > 0 sao cho∀x∈A ta coùx ≤a −ε. Khi ñoùa −ε laø moät caän treân beù hôna cuûa

A. (maâu thuaãn)Ñaûo: Giaû söûa laø moät caän treân cuûaA vaø

∀ε > 0,∃xε∈A : a −ε < x ε. DoA laø taäp bò chatreân neân

∃b = sup A. Ta seõ chæ rab = a. Thaät vaäy, doa laø moät caän treân cuûaA, neânb ≤a.Neáub < a thì ta laáyε = a −b > 0, toàn taïixε ∈A sao choa −ε < x ε, töùc laøb < x ε.(maâuthuaãn)

Baøi 1.2.Cho A⊂R laø taäp bò chaën döôùi. Chöùng minh raènga = inf A khi vaø chæ khia laø moät

caän döôùi cuûaA vaø

ε > 0,

A : a + ε > x ε.

Giaûi. Töông töï baøi1.1

Baøi 1.3.Chöùng minh:

1. Vôùi moïix, y > 0 ñeàu toàn taïin∈N , sao chox < ny .

2. Vôùi moïix > 0 ñeàu toàn taïin∈N , sao cho0 <

1n

< x .

3. Vôùi moïix > 0 ñeàu toàn taïin∈N , sao chon ≤x < n + 1 .

Giaûi.

1. AÙp duïng nguyeân lyù Acsimet cho soá thöïcxy

.

2. AÙp duïng nguyeân lyù Acsimet cho soá thöïc1x

.

3

Page 5: Bai Tap Giai Tich Chung Minh

8/8/2019 Bai Tap Giai Tich Chung Minh

http://slidepdf.com/reader/full/bai-tap-giai-tich-chung-minh 5/18

Ñaëng Tuaán Hieäp - Baøi taäp Giaûi tích 1 4

3. AÙp duïng nguyeân lyù Acsimet, toàn taïik∈N sao cho0 < x < k . Xeùt taäpA = {k∈

N :k > x } ⊂N, khi ñoùA = ∅

vaøA bò chaën döôùi bôûix. Do ñoù, toàn taïik0 = min A, deãthaáyk0 ≥1. Ñaëtn = k0 −1, thì n∈

N, vaøn ≤x < n + 1 .

Baøi 1.4.Chöùng minh caùc soá sau laø caùc soá voâ tæ:√3, √2 + √6, 3√5 −4√3,

ax + bcx + d

(a,b,c,d∈Q , ad −bc = 0 , x∈

Q )

Giaûi. • Ñaëtx = √2 + √6, bình phöông hai veá ta ñöôïcx2 = 8+ 4 √3, hayx2 −8 = 4√3.Tieáp tuïc bình phöông hai veá ta ñöôïcx4 −16x2 + 64 = 48 , hayx4 −16x2 + 16 = 0 .Ñeå chöùng minh√2 + √6 laø soá voâ tyû, ta seõ chæ ra ña thöùcP (x) = x4 −16x2 + 16 khoângcoù nghieäm höõu tyû. Thaät vaäy, neáup

q( p,q∈

Z , q = 0 , ( p,q) = 1) laø nghieäm cuûa ña thP (x); thìq|1 vaøp|16. Do ñoùP (x) neáu coù nghieäm höõu tyû thì chæ coù theå lacaùc soá

±1,

±2,

±4,

±8,

±16. Thöû tröïc tieáp, ta thaáy taát caû caùc giaù trò naøy

nghieäm cuûa ña thöùcP (x).

• Töông töï, ta cuõng chæ ra ñöôïc caùc soá √3, 3√5 −4√3 laø caùc soá voâ tyû.

• Giaû söûr =ax + bcx + d∈

Q . Khi ñoù, ta coù(cr −a)x = b−dr .

Neáucr −a = 0 thì x =b−drcr −a ∈

Q (maâu thuaãn).Neáucr −a = 0 thì b−dr = 0 , suy rar (ad −bc) = 0 . Doad −bc = 0 neânr = 0 , hayax + b = 0 .

{ Neáua = 0 thì x = −b

a ∈Q

(maâu thuaãn).{ Neáua = 0 thì b = 0 , töùc laøad −bc = 0 (maâu thuaãn).

Baøi 1.5.Tìmsup A, inf A, max A, min A (neáu toàn taïi), khi

1. A = {1

n + 1: n∈

N}.

2. A = {12n +

(−1)n

n + 1: n∈

N}.

3. A = {1 + (−1)n

n + 1 −n2 : n∈N}.

Ñaùp soá .

Page 6: Bai Tap Giai Tich Chung Minh

8/8/2019 Bai Tap Giai Tich Chung Minh

http://slidepdf.com/reader/full/bai-tap-giai-tich-chung-minh 6/18

Ñaëng Tuaán Hieäp - Baøi taäp Giaûi tích 1 5

1. sup A = max A = 1 vaøinf A = 0 , khoâng toàn taïimin A.

2. sup A = max A = 2 vaøinf A = min A = −18 .

3. sup A = max A = 2 vaøinf A =

−∞, khoâng toàn taïimin A.

Baøi 1.6.Chöùng minh taäp caùc soá dyadic D = {m2n : m∈

Z , n∈N}laø truø maät trongR .

Giaûi. Laáyx, y ∈R sao chox < y . Theo nguyeân lyù Acsimet, toàn taïin ∈

N sao cho0 <

1y −x

< n ≤2n hay x < y +12n . Toàn taïim∈

Z sao chom ≤2n x < m + 1 . Khi ñoù, toàn

taïim + 12n ∈D thoûa maõn

x <m + 1

2n =m2n +

12n ≤x +

12n < y.

Baøi 1.7.Cho D truø maät trongR vaøF laø taäp con höõu haïn cuûaD . Chöùng minhD/F truø maät trong R .

Giaûi. Giaû söû|F | = n. Laáyx, y∈R sao chox < y . DoD truø maät trongR neân toàn taïiz1∈D

sao chox < z 1 < y . Toàn taïiz2, . . . , z n +1 ∈D sao cho

x < z 1 < z 2 < · · ·< z n < z n +1 < y.

Vì |F | = n neân toàn taïik∈ {1, 2, . . . , n + 1}sao chozk ∈D vaøzk ∈F , töùc laøzk ∈D/F ,thoûa maõnx < z k < y .

Baøi 1.8.Cho α∈R sao cho α

π ∈Z . Chöùng minh khoâng toàn taïilim

n→+ ∞sin nα, lim

n→+ ∞cos nα .

Giaûi. Giaû söû toàn taïia = limn→+ ∞

sin nα . Khi ñoù, ta coù

sin(n + 2) α −sin nα = 2 sin α cos(n + 1) α

Do ñoùb = limn→+ ∞

cosnα = 0 . Hôn nöõa, do

cos(n + 2) α −cosnα = −2sin α sin(n + 1) α

neân ta phaûi coùa = 0 . Vì vaäy, ta coùa = b = 0 .

Töông töï, neáu toàn taïib = limn→+ ∞ cos nα thì ta cuõng coù ñöôïca = limn→+ ∞ sin nα vaøa = b = 0 .Tuy nhieân, ta laïi coù1 = lim

n→+ ∞(sin2 nα + cos 2 nα ) = a2 + b2.

Ta coù ñieàu maâu thuaãn.

Page 7: Bai Tap Giai Tich Chung Minh

8/8/2019 Bai Tap Giai Tich Chung Minh

http://slidepdf.com/reader/full/bai-tap-giai-tich-chung-minh 7/18

Ñaëng Tuaán Hieäp - Baøi taäp Giaûi tích 1 6

Baøi 1.9.Chöùng minh neáulimn→∞

an = L thì limn→∞|an | = |L|.

Höôùng daãn. Söû duïng baát ñaúng thöùc||a|− |b|| ≤ |a −b| vaø ñònh nghóa giôùi haïn theo nngöõ

−δ.

Baøi 1.10.Cho an = 1.3. . . . . (2n −1)2.4. . . . . 2n

. Chöùng minhan < 1√2n + 1

. Suy ra limn→∞

an = 0 .

Höôùng daãn. Duøng quy naïp chöùng minh0 < a n <1

√2n + 1, vôùi moïin ∈

N∗. Sau ñoù aùduïng nguyeân lyù Sandwich ñeå suy ralim

n→∞an = 0 .

Baøi 1.11.Cho a0 = 1 , a n = √1 + an−1. Chöùng minh daõy(an ) laø daõy ñôn ñieäu, bò chaën. ϕ = lim

n→∞an goïi laøtæ leä vaøng.

Höôùng daãn. Duøng quy naïp chöùng minh, vôùi moïin ∈N, ta coùan < a n +1 vaø0 < a n < 2.

Khi ñoù, toàn taïiϕ = limn→∞an , thoûa maõn0 ≤ϕ≤2 vaøϕ = √1 + ϕ. Do ñoùϕ = 1 +

√52 .

Baøi 1.12.Giaû söû toàn taïi0 < r < 1 , sao cho|an +1 −an | ≤Cr n ,∀n. Chöùng minh(an ) laø daõy

Cauchy neân hoäi tuï.Höôùng daãn. Vôùi moïim > n , ta coù

|am −an | ≤ |am −am−1|+ |am−1 −am−2|+ · · ·+ |an +1 −an |≤ C (r m−1 + r m−2 + · · ·+ r n )= Cr n (r m−n−1 + · · ·+ 1)

= Cr n 1 −r m−n

1 −r<

Cr n

1 −r

Baøi 1.13.Cho a0 = 1 , a n = 1 +1

an−1. Chöùng minh3

2 ≤an ≤2 , vôùi moïin ≥1. Suy ra(an )

laø daõy Cauchy (neân hoäi tuï). Tìmϕ = limn→∞

an .

Höôùng daãn. Duøng quy naïp chöùng minh,32 ≤an ≤2, vôùi moïin ≥1. Sau ñoù, vôùi moïin∈

N,ta coù

|an +1 −an | = |an

−an

−1

||an an−1| ≤49|an −an−1| ≤ ·· · ≤(

49)

n

|a1 −a0| = (49)

n.

Do ñoù,(an ) laø daõy Cauchy (neân hoäi tuï).

Khi ñoù, toàn taïiϕ = limn→∞

an , thoûa maõn32 ≤ϕ≤2 vaøϕ = 1 +

. Vì vaäyϕ =1 + √5

2.

Page 8: Bai Tap Giai Tich Chung Minh

8/8/2019 Bai Tap Giai Tich Chung Minh

http://slidepdf.com/reader/full/bai-tap-giai-tich-chung-minh 8/18

Ñaëng Tuaán Hieäp - Baøi taäp Giaûi tích 1 7

Baøi 1.14.Cho daõy soá döông(an ). Chöùng minh neáulimn→∞

an = a , thì daõy trung bình coäng vdaõy trung bình nhaân:

sn =a1 + a2 +

· · ·+ an

n , pn =n

√a1 . . . a n

cuõng hoäi tuï veàa.

Baøi 1.15.Cho daõy soá döông(an ). Chöùng minh neáulimn→∞

an +1

an= a , thì lim

n→∞n√an = a. AÙp

duïng choan =nn

n!, suy ra lim

n→∞

nn√n!

= e.

Page 9: Bai Tap Giai Tich Chung Minh

8/8/2019 Bai Tap Giai Tich Chung Minh

http://slidepdf.com/reader/full/bai-tap-giai-tich-chung-minh 9/18

Page 10: Bai Tap Giai Tich Chung Minh

8/8/2019 Bai Tap Giai Tich Chung Minh

http://slidepdf.com/reader/full/bai-tap-giai-tich-chung-minh 10/18

Ñaëng Tuaán Hieäp - Baøi taäp Giaûi tích 1 9

Höôùng daãn. Tröôùc heát, ta seõ chöùng minhf (r ) = f (1)r,∀r ∈Q . Sau ñoù, söû duïng tính l

tuïc cuûa haømf vaø tính truø maät cuûaQ trongR , vôùi moïix∈R , toàn taïi daõy(r n ) trongQ sao

cho limn→∞

r n = x. Khi ñoù,

f (x) = limn→∞f (r n ) = limn→∞f (1)r n = f (1)x.Vaäy taát caû caùc haøm caàn tìm laøf (x) = ax , vôùia∈R baát kyø.Baøi 2.4.Tìm taát caû caùc haømf : R →R , lieân tuïc vaø thoûa maõnf (x + y) = f (x)f (y);∀x, y∈

R .Höôùng daãn. Neáu toàn taïix0∈

R sao chof (x0) = 0 thì, vôùi moïix∈R , ta coùf (x) = f (x−x0+

x0) = f (x−x0)f (x0) = 0 . Neáuf (x) = 0;∀x∈R thì f (x) = f (

x2

+x2

) = ( f (x2

))2 > 0;∀x∈R .

Khi ñoù, xeùt haømg : R →R sao chog(x) = ln f (x). Khi ñoù, haømg lieân tuïc vaø thoûa mg(x + y) = g(x) + g(y);∀x, y∈

R . Vaäy taát caû caùc haøm caàn tìm laøf (x) = eax , vôùia∈R baátkyø vaø haømf (x) = 0;∀x∈

R + .Baøi 2.5.Tìm taát caû caùc haømf : R +

→R , lieân tuïc, thoûa maõnf (xy) = f (x)+ f (y);

x, y

R + .Höôùng daãn. Xeùt haømg : R →R sao chog(x) = f (ex ). Khi ñoù, haømg lieân tuïc vaø thoûa mg(x + y) = g(x) + g(y);∀x, y∈

R . Vaäy taát caû caùc haøm caàn tìm laøf (x) = a ln x, vôùia∈Rbaát kyø.Baøi 2.6.Tìm taát caû caùc haømf : R + →R , lieân tuïc vaø thoûa maõnf (xy) = f (x)f (y);∀x, y∈

R + .Höôùng daãn. Neáu toàn taïix0 ∈

R + sao chof (x0) = 0 thì vôùi moïix ∈R + , ta coùf (x) =

f (xx0

x0) = f (xx0

)f (x0) = 0 . Neáuf (x) = 0;∀x∈R + thì f (x) = ( f (√x)2 > 0;∀x∈

R + . Khiñoù, ta xeùt haømg : R →R sao chog(x) = ln f (ex ). Khi ñoù, haømg lieân tuïc vaø thoûa mg(x + y) = g(x) + g(y);∀x, y∈

R . Vaäy taát caû caùc haøm caàn tìm laøf (x) = xa , vôùia∈R baátkyø vaø haømf (x) = 0;

x

R + .Baøi 2.7.Chöùng minh neáuf : [a; b] →[a; b] laø haøm lieân tuïc, thìf coù ñieåm baát ñoäng, i.e. taïix0∈[a; b] sao cho f (x0) = x0.Giaûi. Xeùt haømg : [a; b] →[a; b] sao chog(x) = f (x) −x;∀x∈[a; b]. Khi ñoùg laø haøm lieâtuïc treân[a; b]. Hôn nöõa, ta coùg(a) = f (a) −a ≥0; g(b) = f (b) −b ≤0. Theo ñònh lyù giaù trung gian, toàn taïix0∈[a; b] sao chog(x0) = 0 hay f (x0) = x0.Baøi 2.8.Cho haømf : X →R . Giaû söûf thoûa ñieàu kieän Lipschitz treânX :

∃L > 0 : |f (x) −f (x )| ≤L|x −x |;∀x, x ∈X.Chöùng minh khi ñoùf lieân tuïc ñeàu treânX .

Giaûi. ∀ε > 0,∃δ =εL > 0 sao cho

∀x, x ∈X, |x −x | < δ⇒ |f (x) −f (x )| ≤L|x −x | < LεL

= ε.

Do ñoùf lieân tuïc ñeàu treânX .

Page 11: Bai Tap Giai Tich Chung Minh

8/8/2019 Bai Tap Giai Tich Chung Minh

http://slidepdf.com/reader/full/bai-tap-giai-tich-chung-minh 11/18

Chöông 3

Pheùp tính vi phaân

Baøi 3.1.Cho haøm soá

f (x) =x2 sin 1

xneáu x = 0

0 neáu x = 0

Chöùng minhf khaû vi, nhöngf khoâng lieân tuïc taïix = 0 .

Höôùng daãn. Neáux = 0 thì f (x) = x2 sin1x

, neânf khaû vi vaøf (x) = 2 x sin1x −cos

1x

.Neáux = 0 thì ta coù

limx→0

f (x)x

= limx→0

x sin1x

= 0 .

Do ñoùf (0) = 0 .Xeùt hai daõy soá (xn ) vaø(xn ) xaùc ñònh nhö sau:

xn = 12nπ

; xn = 1π + 2 nπ

Deã thaáy, khi ñoùlimn→∞

xn = limn→∞

xn = 0 . Tuy nhieân, vôùi moïin∈N∗ta coùf (xn ) = −1 vaø

f (xn ) = 1 . Do ñoù khoâng toàn taïilimx→0

f (x), töùc laøf khoâng lieân tuïc taïix = 0 .

Baøi 3.2.Chöùng minh raèng neáua0

n + 1+

a1

n+ · · ·+

an−1

2+ an = 0 , thì phöông trìnha0xn +

a1xn−1 + · · ·+ an = 0 coù ít nhaát moät nghieäm treân[0;1].

Höôùng daãn. Xeùt haømf (x) =a0xn +1

n + 1+

a1xn

n+

· · ·+

an−1x 2

2+ an x. Ta coùf laø haøm lieâ

tuïc treân[0;1], khaû vi treân(0;1) vaøf (0) = f (1) = 0 . Do ñoù, theo ñònh lyù Rolle, toàc∈(0;1) sao chof (c) = 0 . Töùc laø, phöông trìnha0xn + a1xn−1 + · · ·+ an = 0 coù nghieämtreân[0;1].

10

Page 12: Bai Tap Giai Tich Chung Minh

8/8/2019 Bai Tap Giai Tich Chung Minh

http://slidepdf.com/reader/full/bai-tap-giai-tich-chung-minh 12/18

Ñaëng Tuaán Hieäp - Baøi taäp Giaûi tích 1 11

Baøi 3.3.Chöùng minh vôùip, q > 0,1 p

+1q

= 1 , ta coù:

1. ab

a p

p+

bq

q, (a,b > 0)

2. Baát ñaúng thöùc Holder:n

k=1

akbk ≤n

k=1|ak| p

1

p n

k=1|bk|q

1

q

.

3. Baát ñaúng thöùc Minkowski:p

n

k=1|ak + bk| p ≤ p

n

k=1|ak| p + p

n

k=1|bk| p.

Höôùng daãn.

1. Xeùt haømf :

R+ →

R; x → −ln x

. Khi ñoù,f

khaû vi hai laàn treânR+

vaø vôùi mox∈

R + ta coùf (x) = 1x 2 > 0, neânf laø haøm loài. AÙp duïng baát ñaúng thöùc

haømf trong tröôøng hôïpn = 2 , x1 = a p, x2 = bq, t 1 = 1 p , t 2 = 1

q ta ñöôïc

f (a p

p+

bq

q) ≤

1 p

f (a p) +1q

f (bq).

Suy raab ≤a p

p+

bq

q, (a,b > 0).

2. Ñaët

x =

n

k=1 |ak| p

1

p

; y =

n

k=1 |bk|q

1

q

Neáux = 0 hoaëcy = 0 thì baát ñaúng thöùc Holder hieån nhieân ñuùng.Neáux = 0 vaøy = 0 thì ta seõ aùp duïng baát ñaúng thöùc ñaït ñöôïc ôû1. trong tröôøng hôïpa = |ak|

xvaøb = |bk|

y. Ta ñöôïc, vôùi moïik∈ {1, 2, . . . , n }, thì

akbk

xy ≤ |ak|x

|bk|y ≤

1 p

|ak| px p +

1q|bk|qyq .

Coäng laïi, ta ñöôïc

1xy

n

k=1

akbk ≤1

px p

n

k=1|ak| p +

1qyq

n

k=1|bk|q =

1 p

+1q

= 1 .

Suy ra baát ñaúng thöùc Holder ñöôïc chöùng minh.

Page 13: Bai Tap Giai Tich Chung Minh

8/8/2019 Bai Tap Giai Tich Chung Minh

http://slidepdf.com/reader/full/bai-tap-giai-tich-chung-minh 13/18

Ñaëng Tuaán Hieäp - Baøi taäp Giaûi tích 1 12

3. Ta coùn

k=1|ak + bk| p ≤

n

k=1|ak||ak + bk| p−1 +

n

k=1|bk||ak + bk| p−1.

AÙp duïng baát ñaúng thöùc Holder, ta ñöôïcn

k=1|ak||ak + bk| p−1 ≤

n

k=1|ak| p

1

p n

k=1|ak + bk|( p−1)q

1

q

.

n

k=1|bk||ak + bk| p−1 ≤

n

k=1|bk| p

1

p n

k=1|ak + bk|( p−1) q

1

q

.

Do 1 p

+1q

= 1 , neân( p−1)q = p. Vì vaäy, ta coù

n

k=1|ak||ak + bk| p−1 +

n

k=1|bk||ak + bk| p−1

≤n

k=1|ak| p

1

p

+n

k=1|bk| p

1

p n

k=1|ak + bk| p

1

q

.

Töø ñoù, ta coù baát ñaúng thöùc Minkowski

n

k=1 |ak + bk| p1

p

≤n

k=1 |ak| p1

p

+

n

k=1 |bk| p1

p

.

Page 14: Bai Tap Giai Tich Chung Minh

8/8/2019 Bai Tap Giai Tich Chung Minh

http://slidepdf.com/reader/full/bai-tap-giai-tich-chung-minh 14/18

Chöông 4

Pheùp tính tích phaân

Baøi 4.1.Tính caùc tích phaân baát ñònh:

• Baèng phöông phaùp ñoåi bieán soá:a) x√4 + x2dx b) xe−x 2

dx c) ln xdxx√1 + ln x

d) sin x cos3 xdx1 + cos2 x

e) dx(1 + x)√x

f) √4 −x2dx g) √a2 + x2dx

Höôùng daãn. a) Ñaëtu = 4 + x2 b) Ñaëtu = −x2 c) Ñaëtu = 1 + ln xd) Ñaëtu = 1 + cos 2 x e) Ñaëtu = √x

• Baèng phöông phaùp tích phaân töøng phaàn:

a) x2e−x dx b) x2 ln xdx c) ln xx3 dx d) ex sin xdx e)

arcsin xx2 dx

Höôùng daãn. a)u = x2∨dv = e−x dx b) u = ln x∨dv = x2dx

c) u = ln x∨dv = x−3dx d) u = sin x∨dv = exdx e) u = arcsin x∨dv = x−2dx

• Haøm höõu tyû:a) dx

x4 −x2 −2b) dx

(x2 −1)(x2 + 1)c) x + 1

(x2 + 1) 2 dx d) x2dx

x6 −1

e)

dx

x(x2 + 1) 2 f)

dx

x4 + 1g)

x2dx

(1

−x)100

Höôùng daãn. Xem giaùo trình lyù thuyeát trang62 −64.

13

Page 15: Bai Tap Giai Tich Chung Minh

8/8/2019 Bai Tap Giai Tich Chung Minh

http://slidepdf.com/reader/full/bai-tap-giai-tich-chung-minh 15/18

Ñaëng Tuaán Hieäp - Baøi taäp Giaûi tích 1 14

• Haøm caên thöùc:a) dx

x(1 + 2√x + 3√x)b) x x −2

x + 1dx c) 1 −√x + 1

1 + 3√x + 1dx

d) dx

(x + 1) √x2 + x + 1 e) dx

x + √x2 + 2 x f) √−x2

+ 4 x + 10 dx

Höôùng daãn. Xem giaùo trình lyù thuyeát trang64 −65.

• Haøm löôïng giaùc:a) dx

2sin x −cos x + 5b) dx

1 + cos x( > 0) c) sin4 xdx d) cos5 xdx

e) cos3x sin5xdx f) sin4 x cos5 xdx g) sin2 x cos4 xdx

Höôùng daãn. Xem giaùo trình lyù thuyeát trang66.

Baøi 4.2.Tính caùc tích phaân baát ñònh sau theon:a) I n (a) = dx

(a2 + x2)n b) J n = sinn xdx c) K n = cosn xdx d) Ln = xn e−x dx

Baøi 4.3.Tính caùc tích phaân xaùc ñònh:

• Baèng phöông phaùp ñoåi bieán:

a) a

0x2√a2 −x2dx b)

a

1

√a2 −x2

xdx

• Baèng phöông phaùp tích phaân töøng phaàn:a)

1

0xexdx b)

π2

0x cosxdx c)

π2

0ex cos xdx

• Haøm höõu tæ:a)

1

0

dxx2 −5x + 6

b) 1

0

xdx(1 + x)2 c)

1

0

x5dx1 + x2 d)

1

0

dxx4 + 4 x2 + 3

• Haøm caên thöùc:

a) √ 2

√ 23

dxx√x2 −1

b) 7

2

dx√2 + x + 1

• Haøm löôïng giaùc:a)

π

0

sin xdxcos2 x −3

b) π

0sin4 xdx c)

π4

0tan 6 xdx d)

π4

0

dxcos4 x

Page 16: Bai Tap Giai Tich Chung Minh

8/8/2019 Bai Tap Giai Tich Chung Minh

http://slidepdf.com/reader/full/bai-tap-giai-tich-chung-minh 16/18

Ñaëng Tuaán Hieäp - Baøi taäp Giaûi tích 1 15

Baøi 4.4.Cho f laø haøm lieân tuïc treân[0;1]. Chöùng minh:

a) π

0f (sin x)dx = 2

π2

0f (sin x)dx b)

π

0xf (sin x)dx =

π2

π

0f (sin x)dx

AÙp duïng tính π

0

x sin x1 + cos2 x dx ,

π

0

x3 sin x1 + cos2 x dx

Baøi 4.5.Tính caùc tích phaân suy roäng:

a) + ∞

1

dxx2/ 3 b)

+ ∞1

dxx4/ 3 c)

1

0

dxx2/ 3 d)

1

0

dxx4/ 3 e)

+ ∞0

x2 + 1x4 + 1

dx

f) + ∞

0x cosxdx g)

+ ∞0

x ln xdx h) + ∞

1

xdx√x −1

Page 17: Bai Tap Giai Tich Chung Minh

8/8/2019 Bai Tap Giai Tich Chung Minh

http://slidepdf.com/reader/full/bai-tap-giai-tich-chung-minh 17/18

Chöông 5

Chuoãi soá

Baøi 5.1.Tìm chuoãi voâ haïn vaø toång cuûa noù neáu daõy toång rieâng cuûa noù{S n}ñöôïc cho bôûi coânthöùc

1. S n =n + 1

n, n∈

N∗ b) S n =2n −1

2n , n∈N

Baøi 5.2.Chöùng minh caùc chuoãi sau hoäi tuï vì daõy toång rieâng hoäi tuï, vaø xaùc ñò

a) 11.2

+1

2.3+

13.4

+1

4.5+

15.6

+ · · ·b) 1

1.4+

14.7

+1

7.10+

110.13

+1

13.16+ · · ·

c)1

2 −1

4 +

1

8 −1

16 +

1

32 −· · ·d)

k=0

2k + 3 k

6k e)

Höôùng daãn.

a) S n =n

k=1

1k(k + 1)

=n

k=1

1k −

1k + 1

= 1 −1

n + 1.

Do ñoùS = limn→∞

S n = 1 .

b) S n =n

k=0

1(3k + 1)(3 k + 4)

=13

n

k=0

13k + 1 −

13k + 4

=13

1 −1

3n + 4.

Do ñoùS = limn→∞

S n =13

.

16

Page 18: Bai Tap Giai Tich Chung Minh

8/8/2019 Bai Tap Giai Tich Chung Minh

http://slidepdf.com/reader/full/bai-tap-giai-tich-chung-minh 18/18

Ñaëng Tuaán Hieäp - Baøi taäp Giaûi tích 1 17

c) S n =12

n

k=0−

12

k

=13

1 − −12

n +1

.

Do ñoùS = limn→∞

S n =1

3.

d) S n =n

k=0

13

k

+n

k=0

12

k

=32

1 −13

n +1

+ 2 1 −12

n +1

.

Do ñoùS = limn→∞

S n =72

.

Baøi 5.3.Cho ak , bk > 0. Giaû söû∞

k=0

ak vaø∞

k=0

bk hoäi tuï. Chöùng minh∞

k=0

akbk ,∞

k=0

a2k ,

k=0

(ak + bk)2 ,∞

k=0

√ak

kcuõng hoäi tuï.