BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO Họ và tên thí sinh:……………………………… ĐẠI HỌC HUẾ Số báo danh:……………………………… KỲ THI TUYỂN SINH SAU ĐẠI HỌC NĂM 2009 (Đợt 2) Môn thi: GIẢI TÍCH (Dành cho cao học) Thời gian làm bài: 180 phút Câu 1. a. Cho dãy số thực . Chứng minh rằng nếu chuỗi hội tụ tại thì nó sẽ hội tụ tại mọi . b. Cho chuỗi hàm Khảo sát sự hội tụ tuyệt đối và đều của chuỗi hàm . Tính tổng của chuỗi hàm . Câu 2. Cho là một không gian mêtric. Trên ta định nghĩa a. Chứng minh rằng là một mêtric trên . b. Chứng minh rằng là một không gian mêtric đầy đủ khi và chỉ khi cũng là một không gian mêtric đầy đủ. Câu 3. Cho là hai không gian định chuẩn trên cùng một trường cơ sở và là một ánh xạ tuyến tính thoả mãn điều kiện: với mỗi dãy hội tụ về thì dãy bị chặn. Chứng minh rằng là ánh xạ tuyến tính liên tục. Câu 4. Xét không gian Hilbert phức gồm tất cả các dãy số phức sao cho với tích vô hướng . Giả sử là một dãy số phức bị chặn. Cho xác định bởi a. Chứng minh rằng là toán tử tuyến tính liên tục. Tính chuẩn của . b. Chứng minh rằng nếu là dãy số thực thì là một toán tử tự liên hiệp. ----------------------------------------------------- Ghi chú: Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm.
This document is posted to help you gain knowledge. Please leave a comment to let me know what you think about it! Share it to your friends and learn new things together.
Transcript
BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO Họ và tên thí sinh:………………………………
ĐẠI HỌC HUẾ Số báo danh:………………………………
KỲ THI TUYỂN SINH SAU ĐẠI HỌC NĂM 2009 (Đợt 2)
Môn thi: GIẢI TÍCH
(Dành cho cao học)
Thời gian làm bài: 180 phút
Câu 1.
a. Cho dãy số thực . Chứng minh rằng nếu chuỗi
hội tụ tại thì nó sẽ hội tụ tại mọi .
b. Cho chuỗi hàm
Khảo sát sự hội tụ tuyệt đối và đều của chuỗi hàm .
Tính tổng của chuỗi hàm .
Câu 2.
Cho là một không gian mêtric. Trên ta định nghĩa
a. Chứng minh rằng là một mêtric trên .
b. Chứng minh rằng là một không gian mêtric đầy đủ khi và chỉ khi
cũng là một không gian mêtric đầy đủ.
Câu 3.
Cho là hai không gian định chuẩn trên cùng một trường cơ sở và
là một ánh xạ tuyến tính thoả mãn điều kiện: với mỗi dãy hội tụ về
thì dãy bị chặn. Chứng minh rằng là ánh xạ tuyến tính liên tục.
Câu 4.
Xét không gian Hilbert phức gồm tất cả các dãy số phức sao cho
với tích vô hướng .
Giả sử là một dãy số phức bị chặn. Cho xác định bởi
a. Chứng minh rằng là toán tử tuyến tính liên tục. Tính chuẩn của .
b. Chứng minh rằng nếu là dãy số thực thì là một toán tử tự liên hiệp.