7/25/2019 Bài giảng Toán cao cấp II - Đặng Văn Vinh (Biên soạn), Đại Học Bách Khoa Tp.HCM, 2008 http://slidepdf.com/reader/full/bai-giang-toan-cao-cap-ii-dang-van-vinh-bien-soan-dai 1/249 Trườ ng Đại học Bách khoa tp. Hồ Chí Minh Bộ môn Toán Ứ ng dụng ------------------------------------------------------------------------------------- Đại số tuyến tính 1 • Giả ng viên Ts. Đặ ng V ă n Vinh (9/2008) www.tanbachkhoa.edu.vn Môn học cung cấp các kiến thức cơ bản của đại số tuyến tính. Sinh viên sau khi k ết thúc môn học nắm vững các kiến thức nền tảng và biết giải các bài toán cơ bản: tính định thức, làm việc vớ i ma trận, bài toán gi ải Mục tiêu của môn học Toán 2 2 hệ phươ ng trình tuy n tính, không gian véct ơ , ánh xạ tuy n tính, tìm trịriêng véc t ơ riêng, đư a d ạ ng toàn ph ươ ng v ề chính t ắ c.
249
Embed
Bài giảng Toán cao cấp II - Đặng Văn Vinh (Biên soạn), Đại Học Bách Khoa Tp.HCM, 2008
This document is posted to help you gain knowledge. Please leave a comment to let me know what you think about it! Share it to your friends and learn new things together.
Transcript
7/25/2019 Bài giảng Toán cao cấp II - Đặng Văn Vinh (Biên soạn), Đại Học Bách Khoa Tp.HCM, 2008
0.2 Dạng lượ ng giác của số phức---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
0.2 Dạng lượ ng giác của số phức---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Chú ý:
Nếu coi số phức z = a + bi là một điểm c ó tọa độ (a, b), thì
0.2 Dạng lượ ng giác của số phức---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Ví dụ
Tìm tất cả các số phức z t hỏa
| | | | 4 z i z i− + + =
23
| | | | 4− + + = z i z i
Tập hợ p tất cả các điểm trong mặt phẳng sao cho tổng
khoảng cách từ đó đến hai điểm cho trướ c (0,1) và (0,-1)
không thay đổi bằng 4 chính là ellipse.
0.2 Dạng lượ ng giác của số phức
----------------------------------------------------------------------------Định ngh ĩ a argument của số phức
Góc đượ c gọi là argument của số phức z và đượ c ký hiệu làϕ
arg( ) .ϕ = z
Góc đượ c giớ i hạn trong khoảngϕ
Lưu ý.
24
0 2ϕ π ≤ < hoặc π ϕ π − < ≤
Công thức tìm argument của số phức.
2 2
2 2
cos
sin
ϕ
ϕ
= =
+ = = +
a a
r a b
b b
r a b
hoặc tgϕ = b
a
7/25/2019 Bài giảng Toán cao cấp II - Đặng Văn Vinh (Biên soạn), Đại Học Bách Khoa Tp.HCM, 2008
0.2 Dạng lượ ng giác của số phức---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
0.2 Dạng lượ ng giác của số phức---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Giải
Ví dụ
Tìm argument của số phức 3 .= + z i
3; 1= =a b . Ta tìm góc thỏa:ϕ
27
3 3os =
23 1ϕ = =
+
ac
r
1 1sin =
23 1ϕ = =
+
b
r
Suy ra6
π ϕ =
Vậy arg( z) =6
π
0.2 Dạng lượ ng giác của số phức---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
2 2; 0= + + > z a bi a b
2 2
2 2 2 2( )= + +
+ +
a b z a b i
a b a b
28
cos s nϕ ϕ = + z r
Dạng lượ ng giác của số phức(cos sin ) z r iϕ ϕ = +
7/25/2019 Bài giảng Toán cao cấp II - Đặng Văn Vinh (Biên soạn), Đại Học Bách Khoa Tp.HCM, 2008
0.4 Khai căn số phức-----------------------------------------------------------------------------------------------------
Ví dụ. Tìm căn bậc n của các số phức sau. Biểu diễn các nghiệm lên
trên mặt phẳng phức.
3 8a) 4 3 + ib) 8
16
1
i
i+c)
6 1
3
i
i
+
−d) 5 12i+e) 1 2i+f)
45
Giải câu a)
Viết số phức ở dạng lượ ng giác: 8 8(cos0 sin0)i= +
Sử dụng công thức:
3 0 2 0 2
8(cos0 sin 0) 2(cos sin )3 3k
k k i z i
π π + ++ = = +
0,1,2.k =
0.5 Định lý cơ bản của Đại số---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Định lý cơ bản của Đại số cho biết đượ c số nghiệm của phươ ng
trình mà không chỉ cách tìm các nghiệm đó như thế nào.
Nếu đa thức vớ i hệ số thực, chúng ta có một hệ quả rất quan trọng
46
Hệ quả
Nếu a + bi là một nghiệm phức của đa thức P(z) vớ i hệ số thực, thì
a – bi cũng là một nghiệm phức.
7/25/2019 Bài giảng Toán cao cấp II - Đặng Văn Vinh (Biên soạn), Đại Học Bách Khoa Tp.HCM, 2008
0.4 Khai căn số phức-----------------------------------------------------------------------------------------------------
Giải câu b)
Viết số phức ở dạng lượ ng giác:
Sử dụng công thức:
442 26 62(cos sin ) 2(cos sin )
6 6 4 4
π π
π π π π + ++ = = +k
k k i z i
3 2(cos sin )6 6
π π + = +i i
47
, , , .=
0 z•
1 z•
2 z•
3 z•
0.5 Định lý cơ bản của Đại số---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Nhà bác học ngườ i Đức Carl Friedrich Gauss (1777-1855) chứng
minh rằng mọi đa thức có ít nhất một nghiệm.
48
Định lý cơ bản của Đại sốĐa thức P(z) bậc n có đúng n nghiệm k ể cả nghiệm bội.
7/25/2019 Bài giảng Toán cao cấp II - Đặng Văn Vinh (Biên soạn), Đại Học Bách Khoa Tp.HCM, 2008
0.5 Định lý cơ bản của Đại số---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
(sử dụng hệ quả của định lý cơ bản)
1) Tìm đa thức bậc 3 vớ i hệ số thực nhận z1 = 3i và z2 = 2+i
Ví dụ
làm nghiệm.
2) Tìm đa thức bậc 4 vớ i hệ số thực nhận z1 = 3i và z2 = 2+i
49
.
1) Không tồn tại đa thức thỏa yêu cầu bài toán.
2) Đa thức cần tìm là:
1 1 2 2( ) ( )( )( )( )P z z z z z z z z z= − − − −
( ) ( 3 )( 3 )( (2 ))( (2 ))P z z i z i z i z i= − + − + − −
2 2( ) ( 9)( 4 5)P z z z z= + − +
0.5 Định lý cơ bản của Đại số---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Ví dụ. Giải các phươ ng trình sau trong C.
015=−+ i za)
0122=−++ i z zd)
0224=++ z zc)
012=++ z zb)
50
Giải. Giải phươ ng trình 02=++ cbzaz
acb 42−=∆Bướ c 1. Tính
Bướ c 2. Tìm2,1
2 4 ∆=−=∆ acb
Bướ c 3. 1 21 2;
2 2
b b z z
a a
− +∆ − +∆= =
7/25/2019 Bài giảng Toán cao cấp II - Đặng Văn Vinh (Biên soạn), Đại Học Bách Khoa Tp.HCM, 2008
0.5 Định lý cơ bản của Đại số---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Giải. Bở i vì đa thức vớ i hệ số thực và 2 + i là một nghiệm, theo hệquả ta có 2 –i cũng là nghiệm.
(sử dụng hệ quả của định lý cơ bản)
Tìm tất cả các nghiệm của
biết 2 + i là một nghiệm.
Ví dụ
4536144)(234
+−+−= z z z z zP
51
z c p n c n z – + z - – =
= z2 – 4z + 5
P(z) có thể ghi ở dạng
P(z) = ( z2 – 4z + 5)(z2 + 9)
z2 + 9 có hai nghiệm 3i và –3i. Vậy ta tìm đượ c cả 4 nghiệmcủa P(z) là 2 + i, 2 – i, 3i, -3i.
0.5 Định lý cơ bản của Đại số---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Giải phươ ng trình sau trong C.
9 0 z i+ =
Ví dụ
52
9 z i= −
9 z i⇔ = − 9 cos sin2 2
z iπ π − −
⇔ = +
2 22 2cos sin
9 9k
k k
z i
π π π π
− −+ +
⇒ = +
0,1,...,8.k =
7/25/2019 Bài giảng Toán cao cấp II - Đặng Văn Vinh (Biên soạn), Đại Học Bách Khoa Tp.HCM, 2008
Ma trận c ó tất cả các phần tử là không đượ c gọi là ma trận không,ký hiệu 0, (aij = 0 vớ i mọi i và j ) .
Định ngh ĩ a ma trận không
=
000
000 A
I. Caùc khaùi nieäm cô baûn vaø ví duï---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Phần tử khác không đầu tiên của một hàng kể từ bên tráiđượ c gọi là phần tử cơ sở của hàng đó.
Định ngh ĩ a ma trận dạng bậc thang1. Hàng không có phần tử cơ sở (nếu tồn tại) thì nằm dướ i cùng
2. Phần tử cơ sở của hàng dướ i nằm bên phải (không cùngcột) so vớ i phần tử cơ sở của hàng trên.
7/25/2019 Bài giảng Toán cao cấp II - Đặng Văn Vinh (Biên soạn), Đại Học Bách Khoa Tp.HCM, 2008
I. Các khái niệm cơ bản và ví dụ.---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Ví dụ
52140
62700
23012
−
−
= A Không là ma trậnbậc thang
−
=
5000
3000
2112
B Không là ma trậnbậc thang
54×
I. Các khái niệm và ví dụ cơ bản.---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Ví dụ
52000
41700
22031
−
−
= A
Là ma trận dạng bậcthang
Là ma trận dạngbậc thang
54×
−
=
7000
3100
2021
B
7/25/2019 Bài giảng Toán cao cấp II - Đặng Văn Vinh (Biên soạn), Đại Học Bách Khoa Tp.HCM, 2008
Ma trận vuông thực A t hỏa aij = a ji vớ i mọi i = 1,….n và j =1,…,nđượ c gọi l àm a t rận đối xứng (tức l à , nếu A = AT)
Định ngh ĩ a ma trận đối xứng thực
−
−
= 741
312
A
Ma trận vuông A thỏa aij = - a ji vớ i mọi i và j (tức là A = -AT)đượ c gọi l à m a t rận phản đối xứng.
Định ngh ĩ a ma trận phản đối xứng
1 3
1 7
3 7
0
0
0
A
−
=
− −
II. Các phép biến đổi sơ cấp.---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Các phép biến đổi sơ cấp đối vớ i hàng
; 0α α → ≠i ih h1. Nhân một hàng tùy ý vớ i một số khác không
; β β → + ∀i i jh h h
2. Cộng vào một hàng một hàng khác đã đượ c nhân vớ i một sốtùy ý
↔i jh h3. Đổi chổ hai hàng tùy ý
Tươ ng tự có ba phép biến đổi sơ cấp đối vớ i cột.
Chú ý: các phép biến đổi sơ cấp là các phép biến đổi cơ bản,thườ ng dùng nhất!!!
7/25/2019 Bài giảng Toán cao cấp II - Đặng Văn Vinh (Biên soạn), Đại Học Bách Khoa Tp.HCM, 2008
II. Các phép biến đổi sơ cấp.---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Mọi ma trận đều có thể đưa về ma trận dạng bậc thang bằng cácphép biến đổi sơ cấp đối vớ i hàng.
Định lý 1
Khi dùng các phép biến đổi sơ cấp đối vớ i hàng ta thu đượ cnhiều ma trận bậc thang khác nhau
Chú ý
II. Các phép biến đổi sơ cấp.---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Dùng các phép biến đổi sơ cấp đối vớ i hàng đưa ma trận sauđây về ma trận dạng bậc thang.
1 1 1 2 1
2 3 1 4 5
3 2 3 7 4
1 1 2 3 1
−
−
−
− −
Ví dụ
Bướ c 1. Bắt đầu từ cột khác không đầu tiên từ bên trái. Chọnphần tử khác không tùy ý làm phần tử cơ sở .
1 1 1 2 1
2 3 1 4 5
3 2 3 7 4
1 1 2 3 1
−
−
−
− −
7/25/2019 Bài giảng Toán cao cấp II - Đặng Văn Vinh (Biên soạn), Đại Học Bách Khoa Tp.HCM, 2008
Bướ c 2. Dùng bđsc đối vớ i hàng, khử tất cả các phần tử còn lại củacột.
II. Các phép biến đổi sơ cấp.---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
1 1 1 2 1
2 3 1 4 5
3 2 3 7 4
1 1 2 3 1
A
−
− =
− − −
4 4 3
1 1 1 2 1
0 1 1 0 3
0 0 1 1 4
0 0 0 0 0
→ +
−
→
h h h
Bướ c . Che tất cả các hàng từ hàng chứa phần tử cơ sở và nhữnghàng trên nó. Áp dụng bướ c 1 và 2 cho ma trận còn lại
3 3 2
4 4 22
1 1 1 2 1
0 1 1 0 30 0 1 1 4
0 0 1 1 4
→ +
→ −
−
→
− − −
h h hh h h
II. Các phép biến đổi sơ cấp.---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Nếu dùng các biến đổi sơ cấp đưa A về ma trận bậc thangU, thì U đượ c gọi là dạng bậc thang của A.
Định ngh ĩ a
Cột của ma trận bậc thang A đượ c gọi là cột cơ sở nếu cột đó
Định ngh ĩ a
c a p n cơ s
1 2 0 2
0 0 1 3
0 0 0 7
A
−
=
7/25/2019 Bài giảng Toán cao cấp II - Đặng Văn Vinh (Biên soạn), Đại Học Bách Khoa Tp.HCM, 2008
III. Các phép toán đối vớ i ma trận---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Hai ma trận bằng nhau nếu: 1) cùng cở ; 2) các phần tử ở nhữngvị trí tươ ng ứng bằng nhau (aij = bij vớ i mọi i và j ) .
Sự bằng nhau của hai ma trận
Phép cộng hai ma trận
Tổng A + B :Cùng cở
Các phần tử tươ ng ứng cộng lại
−=
−=
741
623;
503
421 B A
=+
1244
1002 B A
Ví dụ
III. Các phép toán đối vớ i ma trận---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Phép nhân ma trận vớ i một số.Nhân ma trận vớ i một số, t a lấy số đó nhân vớ i tất cả các phần
tử củam at rận.
−
=503
421 A
−
=×842
2 A
Ví dụ
Tính chất:a) A + B = B + A; b) (A + B) + C = A + ( B + C);
c) A + 0 = A; d) k(A + B) = kA + kB;
e) k (mA) = (km) A; f) (k + m)A = kA + mA;
7/25/2019 Bài giảng Toán cao cấp II - Đặng Văn Vinh (Biên soạn), Đại Học Bách Khoa Tp.HCM, 2008
III. Các phép toán đối vớ i ma trận---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Phép nhân hai ma trận vớ i nhau
( ) ; ( ) pij m i p j n A a B b× ×
= =
nmijcC AB×
== )( vớ i pjip ji jiij bababac +++= ...2211
1*
* *
jb
b
⋮
Để tìm phần tử c2,3 ở ma trận tích: lấy hàng 2 của A nhân vớ i cột 3của B (coi như nhân tích vô hướ ng hai véctơ vớ i nhau)
III. Các phép toán đối vớ i ma trận---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Nâng ma trận lên lũy thừa.
n A A A A A= ⋅ ⋅⋯
0Qui öôùc: A I = 2 A A A= ⋅
3 A A A A= ⋅ ⋅
nnijn
nn
n a Aa xa xa xa x f ×
−
− =++++= )(;...)( 011
1
n
11 1 0( ) ... .n n
n n A a A a A a I A a−
−= + + + +
III. Các phép toán đối vớ i ma trận---------------------------------------------------------------------------------------------------------------
22 1; ( ) 2 4 3
3 4 A f x x x
− = = − +
Ví dụ
Tính f(A).
2( ) 2 4 3 A A I A= − +
2 1 2 1 2 1 1 0( ) 2 4 33 4 3 4 3 4 0 1
A− − −
= − +
1 6 8 4 3 0( ) 2
18 13 12 16 0 3 A
− − = − +
3 8( )
24 13
A− −
=
7/25/2019 Bài giảng Toán cao cấp II - Đặng Văn Vinh (Biên soạn), Đại Học Bách Khoa Tp.HCM, 2008
II. Tính chất của định thứ c---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Tính định thức det (A), vớ i
−
=
004
225
313
A
Ví dụ
Khai triển theo hàng thứ 3
322231)1(4
004
225
313
)1(4
004
225
3131313
−=−−⋅=
−
−⋅=
−
= ++
A
Giải.
II. Tính chất của định thứ c---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
2 3 3 2
3 0 1 4
−
Ví dụ
n n c e , v
2 0 3 2
4 0 1 5
=
− −
7/25/2019 Bài giảng Toán cao cấp II - Đặng Văn Vinh (Biên soạn), Đại Học Bách Khoa Tp.HCM, 2008
II. Tính chất của định thứ c---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Khai triển theo cột thứ hai
12 22 32 42 12
2 3 3 23 0 1 4
( 3) 0 0 0 3 A A A A A A
−
= = − ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ = −−
Giải
4 0 1 5−
3 1 4
3 2 3 2 87
4 1 5
A = − = =
−
⋯
II. Tính chất của định thứ c---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Định thức của ma trận tam giác bằng tích các phần tử nằm
trên đườ ng chéo.
Ví dụ
120145)3(2
10000
94000
82500
1763040312
−=⋅⋅⋅−⋅=
−
−
= A
7/25/2019 Bài giảng Toán cao cấp II - Đặng Văn Vinh (Biên soạn), Đại Học Bách Khoa Tp.HCM, 2008
II. Tính chất của định thứ c---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Sử dụng biến đổi sơ cấp đối vớ i hàng để tính định thức
1.Nếu thìi ih h A B
α → → | | | | B Aα =
i i jh h h β → + | | | | B A=
3. Nếu thìi jh h A B
↔ → | | | | B A= −
II. Tính chất của định thứ c---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Ví dụ
Sử dụng các phép biến đổi sơ cấp, tính định thức
−
0532
1211
−
−
=
13122623
7/25/2019 Bài giảng Toán cao cấp II - Đặng Văn Vinh (Biên soạn), Đại Học Bách Khoa Tp.HCM, 2008
II. Tính chất của định thứ c---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Giải
1312
2623
0532
1211
||
−
−
−
= A
2 2 12→ −h h h
3 3 13→ −h h h
4 4 12→ +h h h
1504101
211
||−−
−= A
Khai triển theo cột đầu tiên|| A
173
101
211
)1(1 11
−
−−⋅ +
19154
11
)1(1 21
−=−−
−
−⋅=
+
II. Tính chất của định thứ c---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Bướ c 1. Chọn 1 hàng (hoặc một cột) tùy ý;
Bướ c 2. Chọn một phần tử khác không tùy ý của hàng (hay cột)
ở bướ c 1. Dùng biến đổi sơ cấp, khử tất cả các phần tử khác.
Nguyên tắc tính định thức sử dụng biến đổi sơ cấp
Bướ c 3. Khai triển theo hàng (hay cột) đã chọn.
7/25/2019 Bài giảng Toán cao cấp II - Đặng Văn Vinh (Biên soạn), Đại Học Bách Khoa Tp.HCM, 2008
II. Tính chất của định thứ c---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Ví dụ
Sử dụng biến đổi sơ cấp, tính định thức
−
−
=02321123
A
−−
1314
2413
0411
0253
0232
1123
−
−
−
1314
2413
0232
1123
||−−
−
−
= A
II. Tính chất của định thứ c---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Giải
3 3 12→ +h h h
4 4 1→ −h h h
2 3 2
| | 5 8 0
5 5 0
A
−
= −
411
253232
)1(1 41
−
−
−⋅ +
1 3 5 8( 2) ( 1) 30
5 5
+= − − ⋅ − = −
Khai triển theo cột số 4|| A
7/25/2019 Bài giảng Toán cao cấp II - Đặng Văn Vinh (Biên soạn), Đại Học Bách Khoa Tp.HCM, 2008
II. Tính chất của định thứ c---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
det ( AT) = det ( A)
det( AB) = det( A) det( B)
Ma trận có một hàng (cột) b ng không, thì det (A) = 0
Ma trận có hai hàng (cột) tỉ lệ nhau, thì det (A) = 0
Chú ý: det( A+B) det( A) + det( B).≠
II. Tính ch t của định thứ c---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Giả sử A là ma trận khả nghịch nxn. Khi đó tồn tại ma
trận khả nghịch A-1, sao cho AA-1 = I. Suy ra
Chứng minh
Ma trận vuông A khả nghịch khi và chỉ khi det( A) 0.≠
Định lý
det(AA-1) = det (I) det(A).det(A-1) = 1 det(A) 0≠
1 1 A A P
A
−= , vớ i
11 12 1
21 22 2
1 2
T n
n A
n n nn
A A A
A A AP
A A A
=
⋯
⋯
⋮ ⋮ ⋮
⋯
Giả sử det( A) 0. Khi đó≠
7/25/2019 Bài giảng Toán cao cấp II - Đặng Văn Vinh (Biên soạn), Đại Học Bách Khoa Tp.HCM, 2008
II. Tính chất của định thứ c---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
| | A i =
=
*
*
*
111
111
iii
j j j
aaa
aaa
A
⋯
⋯
=
*
*
*
111
111
j j j
j j j
aaa
aaa
B⋯
⋯
1 1 2 20,
i j i j in jna A a A a Ai j
+ + + =≠
⋯
II. Tính chất của định thứ c---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Tính chất của ma trận nghịch đảo
1. 1 1
det( )det( )
A A
−=
1n−=
Chứng minh.
7/25/2019 Bài giảng Toán cao cấp II - Đặng Văn Vinh (Biên soạn), Đại Học Bách Khoa Tp.HCM, 2008
II. Tính chất của định thứ c---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Cho A là ma trận khả nghịch. Khi đó
11 12 1T
n A A A ⋯
Công thức tính ma trận nghịch đảo A-1
1 1 A A P
A
−= , vớ i 21 22 2
1 2
n A
n n nn
A A AP
A A A
=
⋯
⋮ ⋮ ⋮
⋯
II. Tính chất của định thứ c---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Ví dụ. Tìm ma trận nghịch đảo của
=
043
132
111
A
Giải. 02)det( ≠−= A A khả nghịch
Tính 9 bù đại số của các phần tử
1 111 ( 1) 4;4 0 A +
= − = − 1 212 ( 1) 3;3 0 A +
= − = 1 313 ( 1) 13 4 A +
= − = −
21 22 23 31 32 334; 3; 1; 2; 1; 1 A A A A A A= = − = − = − = =
1
4 4 21
3 3 12
1 1 1
A−
− −
= − −
− −
7/25/2019 Bài giảng Toán cao cấp II - Đặng Văn Vinh (Biên soạn), Đại Học Bách Khoa Tp.HCM, 2008
II. Tính chất của định thứ c---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Tính định thức bằng bù đại số cần n! phép toán.
Nếu một máy tính siêu tốc độ có thể tính tỉ tỉ phép toán
trong một giây thì để tính một định thức cấp 25 cần 500.000
năm (cần 25! , khoảng 1.5x1025 phép toán).
Phần lớ n các máy tính sử dụng biến đổi sơ cấp để tính
det ( A).
Các phép biến đổi sơ cấp cần (n3+2n-3)/3 phép nhân và
chia. Bất k ể máy tính nào cũng có thể tính định thức cấp 25trong vòng phần của 1 giây, chỉ cần khoảng 5300 phép toán.
7/25/2019 Bài giảng Toán cao cấp II - Đặng Văn Vinh (Biên soạn), Đại Học Bách Khoa Tp.HCM, 2008
I. Hệ phươ ng trình tuyến tính tổng quát---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
11 1 12 2 1 1
21 1 22 2 2 2
n n
n n
a x a x a x ba x a x a x b
+ + ⋅ ⋅ ⋅ + =
+ + ⋅ ⋅ ⋅ + =
Hệ phươ ng trình tuyến tính gồm m phươ ng trình, n ẩn códạng:
Định ngh ĩ a hệ phươ ng trình tuyến tính.
a11 , a12 , …, amn đượ c gọi là hệ số của hệ phươ ng trình.
1 1 2 2m m mn m ma x a x a x b
⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅
+ + ⋅ ⋅ ⋅ + =
b1 , b2 , …, bm đượ c gọi là hệ số tự do của hệ phươ ng trình.
I. Hệ phươ ng trình tuyến tính tổng quát---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Hệ phươ ng trình tuyến tính đượ c gọi là thuần nhất nếu tất cảcác hệ số tự do b1, b2, … , bm đều bằng 0.
Định ngh ĩ a hệ thuần nhất.
Định ngh ĩ a hệ không thuần nhất.
Nghiệm của hệ là một bộ n số c1, c2, …, cm sao cho khi thayvào từng phươ ng trình của hệ ta đượ c những đẳng thức đúng.
p ươ ng r n uy n n ượ c gọ ng u n n n u
nhất một trong các hệ số tự do b1, b2, … , bm khác 0.
7/25/2019 Bài giảng Toán cao cấp II - Đặng Văn Vinh (Biên soạn), Đại Học Bách Khoa Tp.HCM, 2008
I. Hệ phươ ng trình tuyến tính tổng quát---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Hệ tươ ng thích
Hệ không tươ ng thích
Một hệ phươ ng trình tuyến tính có thể:
1. vô nghiệm,
2. có duy nhất một nghiệm3. Có vô số nghiệm
Hai hệ phươ ng trình đượ c gọi l à tươ ng đươ ng nếu chúng cùngchung một tập nghiệm.
Để giải hệ phươ ng trình ta dùng các phép biến đổi hệ vềhệ tươ ng đươ ng, mà hệ này giải đơ n giản hơ n.
I. Hệ phươ ng trình tuyến tính tổng quát---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Có 3 phép biến đổi tươ ng đươ ng đối vớ i hệ phươ ng trình .
Một phép biến đổi đượ c gọi l à tươ ng đươ ng nếu biến một hệphươ ng trình về một hệ tươ ng đươ ng.
Định ngh ĩ a phép biến đổi tươ ng đươ ng
1. Nhân hai vế của phươ ng trình vớ i một số khác không.
3. Đổi chổ hai phươ ng trình.
2. Cộng vào một phươ ng trình một phươ ng trình khác đãđượ c nhân vớ i một số tùy ý.
Chú ý: Chúng ta có thể kiểm tra dễ dàng rằng các phép biếnđổi trên là các phép biến đổi tươ ng đươ ng.
7/25/2019 Bài giảng Toán cao cấp II - Đặng Văn Vinh (Biên soạn), Đại Học Bách Khoa Tp.HCM, 2008
I. Hệ phươ ng trình tuyến tính tổng quát---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
0 y+ =
Giải hệ phươ ng trình:
0
2 3 3
2 3
x y
x y z
x y z
+ =
− + =
− − =
Ví dụ
1 2
1 3h h
−
− + → 3 3 3
3 3
y z
y z
− + =
− − =
2 3h h− +
→
0
3 3 3
4 0
x y
y z
z
+ =
− + = − =
Phươ ng trình có nghiệm duy nhất : x = 1 ; y = - 1 ; z = 0
I. Hệ phươ ng trình tuyến tính tổng quát---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
1 1 0
2 1 3
1 2 1
−
−
Ma trận hệ số:
Ma trận mở rộng:1 1 0 02 1 3 3
1 2 1 3
−
− −
7/25/2019 Bài giảng Toán cao cấp II - Đặng Văn Vinh (Biên soạn), Đại Học Bách Khoa Tp.HCM, 2008
I. Hệ phươ ng trình tuyến tính tổng quát---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
1 1 0 0
2 1 3 3
1 2 1 3
−
− −
1 1 0 0 1 2
1 3
2h h
h h
− +
− + →
2 3h h− + →
0 3 3 3
0 3 1 3
−
− −
1 1 0 0
0 3 3 3
0 0 4 0
−
−
I. Hệ phươ ng trình tuyến tính tổng quát
Ẩn cơ sở là ẩn tươ ng ứng vớ i cột chứa phần tử cơ sở .
Ẩn tự d o là tươ ng ứng vớ i cột không có phần tử cơ sở .
Định ngh ĩ a ẩn cơ sở và ẩn tự do.
1 1 1 2 12 2 3 5 6
3 3 4 1 1
−
BĐSC HÀNG1 1 1 2 10 0 1 1 4
0 0 0 6 8
− −
x1, x3, x4: là các ẩn cơ sở
x2: ẩn tự do
7/25/2019 Bài giảng Toán cao cấp II - Đặng Văn Vinh (Biên soạn), Đại Học Bách Khoa Tp.HCM, 2008
I. Hệ phươ ng trình tuyến tính tổng quát----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Giải các hệ phươ ng trình sau đây vớ i các ma trận mở rộng chotrướ c.
1 5 2 6− 1 1 1 3−
Ví dụ
. ,
0 0 5 0
a −
. 0 1 2 4 ,
0 0 0 5
b
1 1 1 0
. 0 1 2 5 ,0 0 0 0
c
−
−
1 1 1 0
. 0 3 1 0 .
0 0 0 0
c
−
I. Hệ phươ ng trình tuyến tính tổng quát--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Ví dụ
5 2 1
4 6
3 3 9
x y z
x y z
x
+ + =
− − + =
+ − = −
Giải hệ phươ ng trình:
7/25/2019 Bài giảng Toán cao cấp II - Đặng Văn Vinh (Biên soạn), Đại Học Bách Khoa Tp.HCM, 2008
I. Hệ phươ ng trình tuyến tính tổng quát---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
3
3 5 9 2
2 3 3
y z
x y z
x
+ =
+ + = −
+ + =
Ví dụ
Giải hệ phươ ng trình
I. Hệ phươ ng trình tuyến tính tổng quát---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Tìm nghiệm tổng quát của hệ phươ ng trìnhVí dụ
2 3 4 5
1 2 3 4 5
1 2 3 4 5
3 6 6 4 5
3 7 8 5 8 9
3 9 12 9 6 15
x x x x
x x x x x
x x x x x
− + + = −
− + − + =
− + − + =
ẩn cơ sở : 521 ,, x x x ẩn tự do: 43 , x
Nghiệm tổng quát:
1
2
3
4
5
24 2 3
7 2 2
4
x
x
x
x
x
α β
α β
α
β
= − + −
= − + −
=
=
=
7/25/2019 Bài giảng Toán cao cấp II - Đặng Văn Vinh (Biên soạn), Đại Học Bách Khoa Tp.HCM, 2008
I. Hệ phươ ng trình tuyến tính tổng quát---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Tìm nghiệm tổng quát của hệ phươ ng trình biết ma trân mở rộng
Ví dụ
1 1 1 1−
2 3 4 1
3 4 2 1
−
I. Hệ phươ ng trình tuyến tính tổng quát-----------------------------------------------------------------------------------------------------------
---
Tìm nghiệm tổng quát của hệ phươ ng trình biết ma trận mở rộng
Ví dụ
1 1 2 0
2 1 5 0
3 4 5 0
7/25/2019 Bài giảng Toán cao cấp II - Đặng Văn Vinh (Biên soạn), Đại Học Bách Khoa Tp.HCM, 2008
I. Hệ phươ ng trình tuyến tính tổng quát-----------------------------------------------------------------------------------------------------------
--
Tìm nghiệm tổng quát của hệ phươ ng trình biết ma trận mở rộng
Ví dụ
1 1 1 1 2−
2 1 3 0 1
3 4 2 2 5
2 3 1 1 3
−
−
I. Hệ phươ ng trình tuyến tính tổng quát---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Tìm nghiệm tổng quát của hệ phươ ng trình biết ma trận mở rộng
1 1 2 0 1
Ví dụ
2 3 1 2 43 4 5 1 3
1 2 3 1 0
−
− −
7/25/2019 Bài giảng Toán cao cấp II - Đặng Văn Vinh (Biên soạn), Đại Học Bách Khoa Tp.HCM, 2008
I. Hệ phươ ng trình tuyến tính tổng quát------------------------------------------------------------------------------------------------------------
-
Tìm tất cả các giá trị của tham số m để phươ ng trình sau có nghiệm
Ví dụ
1 1 1m
2
1 1 ,
1 1
m m
m m
I. Hệ phươ ng trình tuyến tính tổng quát---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
1 1 1 1
Tìm tất cả các giá trị của tham số m để phươ ng trình sau có nghiệmExample
2 3 1 4
3 4 1m m
+
7/25/2019 Bài giảng Toán cao cấp II - Đặng Văn Vinh (Biên soạn), Đại Học Bách Khoa Tp.HCM, 2008
Ví dụ Tìm tất cả các giá trị của tham số m để phươ ng trình sau có nghiệm
duy nhất1 1 1 1 1
2 1 3 1 2,
3 4 2 0 6
2 1 0 1m m
−
− − −
I. Hệ phươ ng trình tuyến tính tổng quát---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Ví dụ Tìm tất cả các giá trị của tham số m để phươ ng trình sau có nghiệm
duy nhất
2 3 1 4 0
23 2 1 5 71 1 1m m
− −
7/25/2019 Bài giảng Toán cao cấp II - Đặng Văn Vinh (Biên soạn), Đại Học Bách Khoa Tp.HCM, 2008
I. Ñònh nghóa vaø caùc ví duï---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
==
Tập khác rỗng V Hai phép toán
Nhân véctơ vớ i 1 sốCộng
8 tiên đề
KHÔNG GIAN VÉCTƠ V3. Tồn tại véc tơ không, ký hiệu 0 sao cho x + 0 = x
4. Mọi x thuộc V , tồn tại vectơ , ký hiệu –x sao cho x + (-x) = 0
8. 1x = x
5. Vớ i mọi số và mọi vector x: , K α β ∈ ( ) x x xα β α β + = +
6. Vớ i mọi số , vớ i mọi :K α ∈ x , y V ∈ ( x y ) x yα α α + = +
7. ( ) x ( x )αβ α β =
I. Định ngh ĩ a và các ví dụ---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Tính chất của không gian véctơ
1) Véctơ không là duy nhất.
2) Phần tử đối xứng của véctơ x là duy nhất.
3) 0x = 0
5) -x = (-1)x
Vớ i mọi vectơ x thuộc V và mọi số :K α ∈
4) 0 0α =
7/25/2019 Bài giảng Toán cao cấp II - Đặng Văn Vinh (Biên soạn), Đại Học Bách Khoa Tp.HCM, 2008
I. Định ngh ĩ a và các ví dụ----------------------------------------------------------------------------------------------------------
--
}{ R x x x xV i ∈= ),,( 3211
),,(),,(),,( 332211321321 y x y x y x y y y x x x y x +++=+=+
Ví dụ 1
Định ngh ĩ a phép cộng hai véctơ như sau:
Định ngh ĩ a phép nhân véctơ vớ i một số thực như sau:
),,(),,( 321321 x x x x x x α α α α α ==⋅
=
=
=
⇔=
33
22
11
y x
y x
y x
y x
V 1 - Không gian véctơ trên trườ ng số thực3 R
Định ngh ĩ a sự bằng nhau:
I. Định ngh ĩ a và các ví dụ---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
RcbacbxaxV ∈++= ,,2
2
Ví dụ 2
Định ngh ĩ a phép cộng hai véctơ : là phép cộng hai đa thứcthông thườ ng, đã biết ở phổ thông.
Định ngh ĩ a phép nhân véctơ vớ i một số: là phép nhân đa thức
V 2 - Không gian véctơ ][2 xP
vớ i một s thực thông thườ ng, đã bi t ở ph thông.
Định ngh ĩ a sự bằng nhau: hai véc tơ bằng nhau nếu hai đathức bằng nhau, tức là các hệ số tươ ng ứng bằng nhau).
7/25/2019 Bài giảng Toán cao cấp II - Đặng Văn Vinh (Biên soạn), Đại Học Bách Khoa Tp.HCM, 2008
I. Định ngh ĩ a và các ví dụ---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
∈
= Rd cba
d c
baV ,,,3
Ví dụ 3
Định ngh ĩ a phép cộng hai véctơ : là phép cộng hai ma trận đãbiết trong chươ ng ma trận.
V 3 - Không gian véctơ ][2 R M
vớ i một số đã biết.
Định ngh ĩ a sự bằng nhau của hai véctơ : hai véc tơ bằng nhauhai ma trận bằng nhau.
I. Định ngh ĩ a và các ví dụ----------------------------------------------------------------------------------------------------------
--
}{4 1 2 3 1 2 32 3 0i x x x x R x x x= ∈ ∧ + + =( , , )
Phép cộng hai véctơ và nhân véctơ vớ i một số giống nhưtrong ví dụ 1.
Ví dụ 4
V 4 - là KGVT
CHÚ Ý: Có nhiều cách khác nhau để định ngh ĩ a hai phéptoán trên V 1, ( hoặc V 2, hoặc V 3 ) sao cho V1 ( hoặc V 2, hoặcV 3 ) là không gian véctơ .
7/25/2019 Bài giảng Toán cao cấp II - Đặng Văn Vinh (Biên soạn), Đại Học Bách Khoa Tp.HCM, 2008
III. Toång vaø giao cuûa hai khoâng gian con---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Cho F và G là hai không gian con của K-kgvt V .
Giao của hai không gian con F và G là tập hợ p con của V, ký
hiệu bở i
Định ngh ĩ a giao của hai không gian con
{ | vaø }F G x V x F x G= ∈ ∈ ∈∩
Tổng của hai không gian con F và G là tập hợ p con của V,
ký hiệu bở i
Định ngh ĩ a tổng của hai không gian con
{ | vôùi vaø }F G f g f F g G+ = + ∈ ∈
III. Toång vaø giao cuûa hai khoâng gian con---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
2.
Định lý
1. là hai không gian con của V.&F G F G+∩
dim( ) dim( ) dim( ) dim( )F G F G F G+ = + − ∩
Kết quả
F G F F G V ⊆ ⊆ + ⊆∩
F G G F G V ⊆ ⊆ + ⊆∩
7/25/2019 Bài giảng Toán cao cấp II - Đặng Văn Vinh (Biên soạn), Đại Học Bách Khoa Tp.HCM, 2008
III. Toång vaø giao cuûa hai khoâng gian con---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Các bướ c để tìm không gian con F+G
1. Tìm tập sinh c
ủa F . Gi
ả s
ử là { f 1 , f 2 , …, f n}
2. Tìm tập sinh của G. Giả sử là {g1 , g2 , …, gm}
1 2 1 23. , ,..., , , ,...,n mF G f f f g g g+ =< >
III. Toång vaø giao cuûa hai khoâng gian con---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Cho F và G là hai không gian con của R3, vớ i
Ví dụ
{ 1 2 3 1 2 3( , , ) | 2 0}F x x x x x x= + − =
1 2 3 1 2 3
, , x x x x x x= − + =
.F G∩1. Tìm cơ sở và chiều của
2. Tìm cơ sở và chiều của .F G+
7/25/2019 Bài giảng Toán cao cấp II - Đặng Văn Vinh (Biên soạn), Đại Học Bách Khoa Tp.HCM, 2008
III. Toång vaø giao cuûa hai khoâng gian con---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Giải câu 1.
1 2
1
3
2 3
02 0
x x x x
x x− ++ − =
=⇔
1 2 3( , , ) x x x x F G∀ = ∈ ∩
& x F x G⇔ ∈ ∈
1
2
3
3
2
x
x
x
α
α
α
=
⇔ = =
Khi đó 1 2 3( , , ) ( ,3 ,2 ) x x x x α α α = =
(1,3,2) x α⇔ =
(1,3,2){ } E ⇒ = là tập sinh của F G∩
vì E độc lập tuyến tính. Suy ra E là cơ sở của F G∩
dim( ) 1.F G⇒ ∩ =
III. Toång vaø giao cuûa hai khoâng gian con---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Giải câu 2. Bướ c 1. Tìm tập sinh của F. 1 {(-1,1,0),(2,0,1)} E =
Bướ c 2. Tìm tập sinh của G. 2 {(1,1,0),( 1,0,1)} E = −
( 1,1,0),(2,0,1 (1,1,0),(, 1,0,1))F G −⇒ + −=< >
1 1 0 − 1 1 0
−
dim( ) ( ) 3.F G r A⇒ + = =
1 1 0
1 0 1
A
= −
0 0 1
0 0 0
bñs haøngc ñv → −
Cơ sở : ( 1,1,0),(0,2,1),(0,0, 1){ } E = − −
7/25/2019 Bài giảng Toán cao cấp II - Đặng Văn Vinh (Biên soạn), Đại Học Bách Khoa Tp.HCM, 2008
III. Toång vaø giao cuûa hai khoâng gian con---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Cho F và G là hai không gian con của R3, vớ i
Ví dụ
{ 1 2 3 1 2 3( , , ) | 0}F x x x x x x= + + =
, , ; , ,=< >
.F G∩1. Tìm cơ sở và chiều của
2. Tìm cơ sở và chiều của .F G+
III. Toång vaø giao cuûa hai khoâng gian con---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Giải câu 1.
(1,0,1) (2,3,1) x G x α β ∈ ⇔ = +
1 2 3( , , ) x x x x F G∀ = ∈ ∩ & x F x G⇔ ∈ ∈
( 2 ,3 , )α β β α β ⇔ = + +
thoûa ñieàu kieän cuûa . x F x F ∈ ⇔
2 03 β α α β β ⇒ + + + =+ 3α β ⇔ = −
Vậy
dim( ) 1.F G⇒ ∩ =
( ,3 , 2 ) x β β β = − − ( 1,3, 2) β = − −
(1, 3,2) x β ⇔ = − − (1, 3,2){ } E ⇒ = − là tập sinh của F G∩
vì E độc lập tuyến tính. Vậy E là cơ sở
7/25/2019 Bài giảng Toán cao cấp II - Đặng Văn Vinh (Biên soạn), Đại Học Bách Khoa Tp.HCM, 2008
III. Toång vaø giao cuûa hai khoâng gian con---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Cho F và G là hai không gian con của R4, vớ i
Ví dụ
{ 1 2 3 41 2 3 4
1 2 3 4
0( , , , )2 2 0 x x x xF x x x x x x x x
+ + − = = + + − =
{ 1 2 3 4
1 2 3 41 2 3 4
0( , , , )
3 2 2 3 0
x x x xG x x x x
x x x x
+ − + = =
+ + − =
.F G∩1. Tìm cơ sở và chiều của
2. Tìm cơ sở và chiều của .F G+
III. Toång vaø giao cuûa hai khoâng gian con---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Cho F và G là không gian con của R3, vớ i
Ví dụ
(1,0,1);(1,1,1)F =< >
= , , , ,
.F G∩1. Tìm cơ sở và chiều của
2. Tìm cơ sở và chiều của .F G+
7/25/2019 Bài giảng Toán cao cấp II - Đặng Văn Vinh (Biên soạn), Đại Học Bách Khoa Tp.HCM, 2008
III. Toång vaø giao cuûa hai khoâng gian con---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Cho F và G là hai không gian con của P2[x], vớ i
Ví dụ
2{ ( ) [ ] | (1) 0}F p x P x p= ∈ =
.F G∩1. Tìm cơ sở và chiều của
2. Tìm cơ sở và chiều của .F G+
2 −
III. Toång vaø giao cuûa hai khoâng gian con---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
.F G∩
Cho F và G là hai không gian con của P2[x], vớ iVí dụ
21,2 1 ;F x x x=< + − + >
Tìm cơ sở và chiều của
22, 1G x x x=< − + + >
Cách 1. Có thể giải như các ví dụ trướ c.
Cách 2. Coi P2[x] là không gian R3. F và G là hai mặt phẳng.Cặp véctơ chỉ phươ ng của F là: (1,1,-1); (0,2,1).
Cặp véctơ chỉ phươ ng của G là: (1,-1,2); (0,1,1).
Pháp véctơ của F là (3,-1,2); pháp véctơ của G là (3,1,-1)
Giao của F và G là đườ ng thẳng có vectơ chỉ phươ ng: (-1,9,6)
Cơ sở của : E={(-1,9,6)};F G∩ dim( ) 1.F F ∩ =
7/25/2019 Bài giảng Toán cao cấp II - Đặng Văn Vinh (Biên soạn), Đại Học Bách Khoa Tp.HCM, 2008
5.3 Quá trình trự c giao hóa Gram-Schmidt------------------------------------------------------------------------------------------------------------
--
Khi làm việc vớ i không gian Euclid V, ta làm việc vớ i cơ sở của
không gian véctơ .
Theo định lý trên và ví dụ ở slide trướ c ta thấy nếu cơ sở là trực
chuẩn thì công việc tính toán rất nhanh (tính tọa độ, tính tích vôhướ ng của hai véctơ , tính độ dài, khoảng cách, …)
.
Bướ c 1. Trướ c hết, ta chọn một cơ sở tùy ý E của V.
Bướ c 2. Dùng quá trình Gram – Schdmidt sau đây đưa E về cơ sở trực giao.
Bướ c 3. Chia mỗi véctơ cho độ dài của nó ta đượ c cơ sở trực chuẩn.
5.3 Quá trình trự c giao hóa Gram-Schmidt--------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Quá trình Gram – Schmidt là quá trình đơ n giản dùng đểtìm một cơ sở trực giao, sau đó là cơ sở trực chuẩn cho một
không gian con của không gian Euclid.
Cho là họ độc lập tuy n tính của không
Định lý (quá trình Gram – Schmidt)
1 2, , ...,{ }m E e e e=
gian Euclid V.
1 2, ,...,{ }mF f f f =
Khi đó có thể xây dựng từ E một họ trực giao
sao cho 1 2 1 2, ,..., , ,...,m m f f f e e e< >=< >
7/25/2019 Bài giảng Toán cao cấp II - Đặng Văn Vinh (Biên soạn), Đại Học Bách Khoa Tp.HCM, 2008
5.3 Quá trình trự c giao hóa Gram-Schmidt--------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Quá trình trực giao hóa Gram – Schmidt
Chọn 1 1 f e=
2 12 2 1
1 1
( , )
( , )
e f f e f
f f ⇒ = −
Tìm 2 2 1 1 f e f α = +
2 1 2 1 1 1 1( , ) ( , ) ( , ) f f e f f f α ⇒ = + 2 1 1 1 10 ( , ) ( , )e f f f α ⇔ = +
2 11
1 1
( , )
( , )
e f
f f α ⇒ = −
3 1 3 23 3 1 2
1 1 2 2
( , ) ( , )
( , ) ( , )
e f e f f e f f
f f f f = − −
1 2 11 2 1
1 1 2 2 1 1
( , ) ( , ) ( , )( , ) ( , ) ( , )
k k k k k k k
k k
e f e f e f f e f f f f f f f f f
−−
− −
= − − − −⋯
Khi đó { f 1 , f 2 , ..., f m} là cơ sở trực giao của W.
3 3 3 1 1 2 2Tìm ôû daïng f f e f f α α = + +
5.3 Quá trình trự c giao hóa Gram-Schmidt--------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Ví dụ
Trong cho họ đltt E= {(1,0,1,1), ) , (0,1,1,1), (1,1,1,1)}
Dùng quá trình Gram –Schmidt tìm họ trực giao, họ trực chuẩn.
4 R
1 2 3{ , , }F f f f = 1 1 (1,0,1,1) f e= =Chọn
2 12 2 1
1 1
( , )
( , )
e f f e f
f f = −Tìm
2(0,1,1,1) (1,0,1,1)
3= −
2 1 1( ,1, , )
3 3 3
−=
3 1 3 23 3 1 2
1 1 2 2
( , ) ( , )
( , ) ( , )
e f e f f e f f
f f f f = − −Tìm
Chọn 2 ( 2,3,1,1) f = −2 2 1 1
( , , , )5 5 5 5
− −=
Chọn 3 (2,2, 1, 1) f = − − Họ trực giao cần tìm 1 2 3, ,{ }F f f f =
Chia mỗi vectơ cho độ dài của nó ta đượ c họ trực chuẩn
1 1 1 2 3 1 1 2 2 1 1,0, , , , , , , , , ,
3 3 3 15 15 15 15 10 10 10 10
− − −
7/25/2019 Bài giảng Toán cao cấp II - Đặng Văn Vinh (Biên soạn), Đại Học Bách Khoa Tp.HCM, 2008
I. Định ngh ĩ a và ví dụ---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------Ví dụ
Cho ánh xạ tuyến tính , biết3 2: f R R→
(1,1,1) (1,2), f =(1,1,0) (2, 1), f = − (1,0,1) ( 1,1); f = −
1. Tìm f (3,1,5) 2. Tìm f ( x)
2. Giả sử 1 2 3( , , ) (1,1,0) (1,1,1) (1,0,1) x x x α β γ = = + +
1 xα β γ + + = 1 3 x xα = −
2
3
x
x
α β
β γ
⇔ + =
+ =
1 2 3
1 2
x x
x x
β
γ
⇔ = − + +
= −
1 2 3( ) ( , , ) (1,1,0) (1,1,1) (1,0,1) f x f x x x f f f α β γ ⇔ = = + +
1 3 1 2 3 1 2( ) ( )(2, 1) ( )(1,2) ( )( 1,1) f x x x x x x x x= − − + − + + + − −
2 3 1 2 3( ) (2 , 2 3 ) f x x x x x x= − − + +
Ánh xạ f đượ c xác định hoàn toàn
I. Định ngh ĩ a và ví dụ---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Ví dụCho ánh xạ tuyến tính là phép quay trong không gian 0xyzquanh trục 0z một góc 30o ngượ c chiều kim đồng hồ nhìn từhướ ng dươ ng của trục 0z. Tìm f ( x).
Đây là ánh xạ3 3: f R R→ z
n u t ượ c n c a m t cơ s c a R3. Chọn cơ sở chính tắc
oy
x
(0,0,1) (0,0,1) f =
3 1(1,0,0) ( , ,0)
2 2 f =
1 3(0,1, 0) ( , , 0)
2 2 f
−=
1 2 1 2 3
3 1 1 3
( ) ( , , )2 2 2 2 f x x x x x x⇒ = − +
7/25/2019 Bài giảng Toán cao cấp II - Đặng Văn Vinh (Biên soạn), Đại Học Bách Khoa Tp.HCM, 2008
Ánh xạ f đượ c xác định hoàn toàn nếu biết đượ c ảnh của mộtcơ sở của R3.
I. Định ngh ĩ a và ví dụ---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Ví dụ
Cho ánh xạ tuyến tính là phép đối xứng trong không gian0xyz qua mặt phẳng . Tìm f ( x).
Tươ ng tự ví dụ trướ c, đây là ánh xạ3 3
: f R R→
2 3 0 x y z− + =
(2, 1,3) ( 2,1, 3) f − = − −
(1,2,0) (1,2,0) f = (0,3,1) (0,3,1) f =
( ) f x⇒
Nếu chọn cơ sở chính tắc thì việc tìm ảnh qua mặt phẳng đãcho phức tạp. Ta chọn cơ sở của R3 là: pháp véctơ của mặtphẳng và cặp véctơ chỉ phươ ng của mặt phẳng.
I. Định ngh ĩ a và ví dụ---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Ánh xạ nào sau đây là ánh xạ tuyến tính?Ví dụ
1. ),32(),(;: 1212122 x x x x x f R R f +=→
2. )0,2(),(;: 212122 x f R R f +=→
3. )1,2(),(;: 1212122 +−=→ x x x x f R R f
4. ),1(),(;: 212122 x x x f R R f −=→
5. ),(),(;: 2
1212122 x x x x x f R R f +=→
6 ),(),(;: 122122 x x x x f R R f =→
7/25/2019 Bài giảng Toán cao cấp II - Đặng Văn Vinh (Biên soạn), Đại Học Bách Khoa Tp.HCM, 2008
II. Nhân và ảnh của ánh xạ tuyến tính---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Cho ánh xạ tuyến tính.
Định ngh ĩ a nhân của ánh xạ tuyến tính
W V f →:
}{ 0)(| =∈= x f V xKerf
Nhân của ánh xạ tuyến tính f là tập hợ p tất cả các vectơ x
của không gian véctơ V, sao cho f(x) = 0.
V W
0Ker f
II. Nhân và ảnh của ánh xạ tuyến tính---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Ảnh của ánh xạ tuyến tính f là tập hợ p tất cả các phần tử y
của không gian véctơ W sao cho tồn tại để y = f(x).
Định ngh ĩ a ảnh của ánh xạ tuyến tính
}{ )(:|Im x f yV xW y f =∈∃∈=
Cho ánh xạ tuyến tính. W V f →:
x V ∈
V W
Im f
7/25/2019 Bài giảng Toán cao cấp II - Đặng Văn Vinh (Biên soạn), Đại Học Bách Khoa Tp.HCM, 2008
II. Nhân và ảnh của ánh xạ tuyến tính---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Định lý
Cho ánh xạ tuyến tính W V f →:
1. Nhân của ánh xạ tuyến tính f là không gian con của V .
. n c a n xạ tuy n t n ng g an con c a .
3. dim(ker f ) +dim(Im f ) = dim (V )
Chứng minh.
II. Nhân và ảnh của ánh xạ tuyến tính---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
3. dim(ker f ) +dim(Im f ) = dim (V )Chứng minh.Giả sử dim(Ker f ) = m.Tồn tại cơ sở của nhân 1 2, , ...,{ }m E e e e=
Bổ sung vào E để đượ c cơ sở của V: 1 1 1,..., , ,..., }{ m n E e e v v=
Ta chứng tỏ cơ sở của Im f là: 2 1( ),..., ( ){ }n E f v f v=
Im : ( ) y f x V y f x∀ ∈ ⇔ ∃ ∈ =
1 1 1 1( ... ... )m m n n y f e e v vα α β β ⇔ = + + + + +
1 1 1 1( ) ... ( ) ( ) ... ( )m m n n y f e f e f v f vα α β β ⇔ = + + + + +
1 1( ) ... ( ).n n y f v f v β β ⇔ = + + Vậy E2 là tập sinh của Im f .
1) E2 là tập sinh:
7/25/2019 Bài giảng Toán cao cấp II - Đặng Văn Vinh (Biên soạn), Đại Học Bách Khoa Tp.HCM, 2008
II. Nhân và ảnh của ánh xạ tuyến tính---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
2) Chứng minh E2 độc lập tuyến tính.
1 1( ... ) 0n n f v vα α ⇔ + + =
1 1 ... .ern nv v K f α α ⇔ + + ∈
1 1 1 1... ...n n m mv v e eα α β β ⇔ + + = + +
1 1( ) ... ( ) 0n n f v f vα α + + =Giả sử
1 1 1 1... ... 0n n m mv v e eα α β β ⇔ + + − − − =
Vì E1 độc lập tt nên 1 2 ... 0mα α α = = = =
Suy ra E2 độc lập tuyến tính. Vậy E2 là cơ sở của Im f .
dim(Im f ) = n. Hay dim(Im f ) + dim(Ker f ) = m + n = dim(V ).
II. Nhân và ảnh của ánh xạ tuyến tính---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Mệnh đềẢnh của ánh xạ tuyến tính là không gian con đượ c sinh rabở i ảnh của một tập sinh của V.
Chứng minh.1 2, , ...,{ }n E e e e=Giả sử tập sinh của V là
Im y f ∀ ∈ : ( ) x V y f x⇔ ∃ ∈ = Vì x thuộc V nên x là thtt của E.
= n n
1 1 2 2( ) ( ) ... ( )n n y x f e x f e x f e= + + +
1 2( ), ( ),..., ( ){ }nF f e f e f e= sinh ra y.
1 2Im ( ), ( ),..., ( )n f f e f e f e⇒ =< >
Lập ma trận, dùng bđsc đối vớ i hàng đưa về bậc thang, kết luận:
7/25/2019 Bài giảng Toán cao cấp II - Đặng Văn Vinh (Biên soạn), Đại Học Bách Khoa Tp.HCM, 2008
II. Nhân và ảnh của ánh xạ tuyến tính---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Các bướ c tìm ảnh của ánh xạ tuyến tính.
1. Chọn một cơ sở của V là 1 2, , ...,{ }n E e e e=
3. 1 2Im ( ), ( ),..., ( )n f f e f e f e=< >
2. Tìm 1 2( ), ( ),..., ( )n f e f e f e
Chú ý: a) Còn có nhiều cách giải khác.
b) Tùy theo đề bài mà ta chọn cơ sở (ở bướ c 1) phù hợ p, để việctìm ảnh của cơ sở đó nhanh.
II. Nhân và ảnh của ánh xạ tuyến tính---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Ví dụ
Cho ánh xạ tuyến tính , biết3 3: f R R→
31 2 3
1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3
( , , ) :
( ) ( , , ) ( ,2 3 ,3 5 )
x x x x R
f x f x x x x x x x x x x x x
∀ = ∈
= = + − + − + −
1. Tìm cơ sở và chiều của Ker f .
1 2 3( , , ) Ker x x x x f ∀ = ∈ ( ) 0 f x⇔ =
1 2 3 1 2 3 1 2 3( ,2 3 ,3 5 ) (0,0,0) x x x x x x x x x⇔ + − + − + − =
1 2 3
1 2 3
1 2 3
0
2 3 0
3 5 0
x x x
x x x
x x x
+ − =
⇔ + − = + − =
1 2 32 ; ; x x xα α α ⇔ = = − =
(2 , , ) x α α α ⇒ = −
(2, 1,1) x α ⇔ = −
Vậy E={(2,-1,1)} là tập sinh và cũng là cơ sở của Ker f
dim(Ker f ) = 1.
7/25/2019 Bài giảng Toán cao cấp II - Đặng Văn Vinh (Biên soạn), Đại Học Bách Khoa Tp.HCM, 2008
II. Nhân và ảnh của ánh xạ tuyến tính---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
(1,1,1),(1,1,2), (1,2,1){ } E =Cách 2. Chọn cơ sở Ker x f ∀ ∈ ( ) 0 f x⇔ =
Giả sử tọa độ của x trong E là1
2
3
[ ] E
x
x x
x
=
1 2 3
(1,1,1) (1,1,2) (1,2,1) x x x⇔ = + +
1 2 3( ) (1,1,1) (1,1,2) (1,2,1) f x x f x f x f ⇒ = + +
1 2 3 1 2 3 1 2 3( ) ( 2 5 ,2 4 , )⇔ = + + + + − − f x x x x x x x x x x
Hệ thuần nhất, giải ra có( ) 0 f x = 1 2 3, 2 ,x x x α α α = − = − =
2[ ]
α
α α
−
= −
E x
(1,1,1) 2 (1,1,2) (1,2,1)x α α α ⇔ = − − +
( 2 , , 4 ) (2,1, 4)x α α α α ⇔ = − − − = −
Cơ sở của Ker f E={(2,1,4)}, dim(Ker f ) = 1.
II. Nhân và ảnh của ánh xạ tuyến tính---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Ví dụCho ánh xạ tuyến tính , biết3 3: f R R→
2. Tìm cơ sở và chiều của ảnh Im f .
(1,1,1) (1,2,1); f = (1,1,2) (2,1, 1); f = − (1,2,1) (5,4, 1); f = −
Chọn cơ sở của R3 là (1,1,1),(1,1,2), (1,2,1){ } E =
ảnh của một cơ sở (tập sinh) của R3.
Im (1,1,1), (1,1,2), (1,2,1) f f f f =< >
Im (1,2,1),(2,1, 1),(5,4, 1) f =< − − >
Lập ma trận, dùng bđsc đối vớ i hàng đưa về bậc thang, kết luận:
dim(Im ) 2 f = Cơ sở : E={(1,2,1), (0,1,1)}
7/25/2019 Bài giảng Toán cao cấp II - Đặng Văn Vinh (Biên soạn), Đại Học Bách Khoa Tp.HCM, 2008
I. Định ngh ĩ a và ví dụ---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Ví dụ
Cho ánh xạ tuyến tính là phép quay trong không gian 0xyzquanh trục 0z một góc 30o ngượ c chiều kim đồng hồ nhìn từhướ ng dươ ng của trục 0z.
Tìm cơ sở và chiều của nhân và ảnh. z
t m n n v n .
o
x
Ta giải bằng cách lập luận đơ n giản sau:
Qua phép quay chỉ có mỗi véctơ 0 cóảnh bằng 0. Vậy nhân chứa một véctơ
0, dim(Ker f ) = 0, không có cơ sở .dim(ker f ) + dim(Im f ) = dim (R3). Suy ra dim(Im f ) = 3
Vậy Im f = R3.
II. Nhân và ảnh của ánh xạ tuyến tính---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Ví dụTìm một ánh xạ tuyến tính , biết4 3: f R R→
1 2Im (1,1,1), (1, 2,1) f f f =< = = >
1 2er (1,1,1,0), (2,1,0,1)K f e e=< = = >
1 1 1 0e
2(2,1,0,1)e
3(0,0,1,1)e
4(0,0,0,1)e
(0,0,0)
1(1,1,1) f
2 (1,2,1) f
1 2( ) ( ) 0 f e f e= = 3 4( ) (1,1,1), ( ) (1,2,1) f e f e= =
( ) f x⇒ Chú ý: lờ i giải không duy nhất!
7/25/2019 Bài giảng Toán cao cấp II - Đặng Văn Vinh (Biên soạn), Đại Học Bách Khoa Tp.HCM, 2008
III. Ma trận của ánh xạ tuyến tính---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Định ngh ĩ a ma trận của ánh xạ tuyến tính.
Ma trận cở mxn vớ i cột thứ j là tọa độ của véctơ trong( ) j f e
E = {e1 , e2 , …, en} là một cơ sở của V .
F = { f 1 , f 2 , …, f m} là một cơ sở của W .
Cho ánh xạ tuyến tính W V f →:
cơ sở F đượ c gọi là ma trận của f trong cặp cơ sở E và F .
, 1 2[ ( )] [ ( )] [ ( )] E F F F n F A f e f e f e
=
⋯
I. Định ngh ĩ a và ví dụ---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Ánh xạ cho bở i3: R R f →
1 2 3 1 2 3 1 3( , , ); ( ) ( 2 3 ,2 )∀ = = + − + x x x x f x x x x x xVí dụ
Tìm ma trận của ánh xạ tuyến tính trong cặp cơ sở
{ }; { }(1,1,1),(1,0,1),(1,1,0) (1,1),(1,2)E F = =
3 −
Vậy ma trận cần tìm là
, , , , ,
3
F
(1,0,1) ( 2,3)f = − [ ](1,7
0,1)5
F f
⇒ =
−
(1,1,0) (3,2)f = [ ](1,4
1,0)1
F f
⇒ = −
7
5
3
3
4
1A
−
=
−−
7/25/2019 Bài giảng Toán cao cấp II - Đặng Văn Vinh (Biên soạn), Đại Học Bách Khoa Tp.HCM, 2008
III. Ma trận của ánh xạ tuyến tính---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
1. Cho ánh xạ tuyến tính . Khi đó tồn tại duy nhấtmột ma trận AE,F cở mxn sao cho
: f V W →
,[ ( )] [ ]=F E F E f x A x
vớ i E và F là hai cơ sở trong V và W tươ ng ứng.
Định lý
2. Cho ma trận trên trườ n s K. Khi đó t n tại( ) A a×
=
duy nhất một ánh xạ tuyến tính thỏa: n m
f K K →
,[ ( )] [ ]=F E F E f x A x
Chú ý: Mỗi một ánh xạ tuyến tính tươ ng ứng duy nhất một ma trận
và ngượ c lại.Ta coi ánh xạ tuyến tính là ma trận. Thông thườ ng không phân biệthai khái niệm này.
III. Ma trận của ánh xạ tuyến tính---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Ví dụ
E = {(1,1,1); (1,0,1); (1,1,0)} và F = {(1,1); (2,1)} làCho ánh xạ tuyến tính , biết ma trận của f trongcặp cơ sở
3 2: f R R→
1. Tìm f (3,1,5),
2 1 3
0 3 4 E F A
− =
Bướ c 1. Tìm tọa độ của (3,1,5) tron cơ sở E:
3
(3,1,5) 2[ ]
=
Bướ c 2. Sử dụng công thức ,[ ( )] [ ]F E F E f x A x=
Bướ c 3. Đổi tọa độ của ảnh cần tìm sang cơ sở chính tắc.
2 −
32 1 3 14
[ (3,1,5)] 20 3 4 2
2
F f
−
= = − −
(3,1,5) 14(1,1) 2(2,1) (10,12) f = − =
7/25/2019 Bài giảng Toán cao cấp II - Đặng Văn Vinh (Biên soạn), Đại Học Bách Khoa Tp.HCM, 2008
III. Ma trận của ánh xạ tuy n tính---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Ví dụ
E = {(1,1,1); (1,0,1); (1,1,0)} và F = {(1,1); (2,1)} làCho ánh xạ tuyến tính , biết ma trận của f trongcặp cơ sở
3 2: f R R→
2. Tìm f ( x),
2 1 3
0 3 4 E F A
− =
= = , , , , , ,
1 2 3 1 2 1 3; ;x x x x x x x α β γ ⇔ = − + + = − = −
[ ]1 2 3
1 2
1 3
E
x x x
x x x
x x
− + + ⇔ = −
−
III. Ma trận của ánh xạ tuy n tính---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
[ ]
1 2 3
1 2
1 3
2 1 3( )
0 3 4F
x x x
f x x x
x x
− + + −
⇔ = − −
Theo công thức ta có: [ ] [ ],( ) .F E F E f x A x =
[ ] 1 2 3
1 2 3
4 5( )
7 3 4F
x x x f x
x x x
− + +
⇔ = − −
1 2 3 1 2 3( ) ( 4 5 )(1,1) (7 3 4 )(2,1)f x x x x x x x ⇔ = − + + + − −
1 2 3 1 2 3( ) (10 5 3 ,3 2 )f x x x x x x x ⇔ = − − − +
7/25/2019 Bài giảng Toán cao cấp II - Đặng Văn Vinh (Biên soạn), Đại Học Bách Khoa Tp.HCM, 2008
III. Ma trận của ánh xạ tuyến tính---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Ví dụ
Cho là ánh xạ tuyến tính.3 3: f R R→
Giả sử
1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3( ) ( , , ) ( ,2 ,3 4 ) f x f x x x x x x x x x x x x= = + + + − + −
2. Tìm ma trận của ánh xạ tuyến tính f trong cơ sở
E = {(1,1,1); (1,1,2); (1,2,1)}.
3. Tính f (2,1,5) sử dụng 2), so sánh vớ i 1).
III. Ma trận của ánh xạ tuyến tính---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------Ví dụ
Cho là ánh xạ tuyến tính, biết ma trận của f trong cơ sở E = {(1,1,1); (1,0,1); (1,1,0)} là
1. Tìm f (2,3,-1) 2. Tìm cơ sở và chiều của nhân Ker f .
,
1 1 1
2 3 3
1 2 4
E E A
−
=
3 3: f R R→
Cách 1. Để tìm ker f , có thể tìm f (x) rồi làm tiếp.Cách 2. ker ( ) 0 x f f x∈ ⇔ =
Giả sử1
2
3
[ ] E
x
x x
x
=
[ ( )] 0 E f x⇔ = , .[ ] 0 E E E A x⇔ =
7/25/2019 Bài giảng Toán cao cấp II - Đặng Văn Vinh (Biên soạn), Đại Học Bách Khoa Tp.HCM, 2008
VI. Ma trận chuyển cơ sở , đồng dạng---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
{ }; { }' ' ' '
1 2 1 2, ,..., , ,...,n n E e e e E e e e = =Cho hai cơ sở của kgvt V:
(1)1 1 2 2 ... n n x V x x e x e x e ∀ ∈ ⇔ = + + +
(2)' ' ' ' ' '1 1 2 2 ... n n x x e x e x e = + + +
'1 11 1 21 2 1... n n e a e a e a e = + + +
'= n n
⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯'
1 1 2 2 ...n n n nn n e a e a e a e = + + +
'1 11 1 21 2 1
'2 12 1 22 2 2
'1 1 2 2
( ... )
( ... ) ...
( ... )
n n
n n
n n n nn n
x x a e a e a e
x a e a e a e
x a e a e a e
= + + + +
+ + + + + +
+ + + +
III. Ma trận chuyển cơ sở , đồng dạng---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
& (2)
'
111 12 11'
21 22 22 2
'1 2 ,
(1)
n
n
n n n n n n
x a a a x a a a x x
a a a x x
⇒ =
⋮
⋮
⋯ ⋯ ⋯ ⋯⋮ ⋮
⋮
11 12 1n a a a
⋮
1 2 ,
n
n n n n
P
a a a
=
⋯ ⋯ ⋯ ⋯
⋮
Ma trận
đượ c g
ọi là ma tr
ậnchuyển cơ sở từ E sang E’.
Ta có: [ ] [ ] '.E E x P x =
Cấu trúc ma trận P:
( )' ' '1 2[ ] [ ] [ ]E E n E P e e e = ⋯
7/25/2019 Bài giảng Toán cao cấp II - Đặng Văn Vinh (Biên soạn), Đại Học Bách Khoa Tp.HCM, 2008
III. Ma trận chuyển cơ sở , đồng dạng---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Ví dụ
E = {(1,1,1); (1,0,1); (1,1,0)}Trong R3 cho cặp cơ sở :
1. Tìm ma trận chuyển cơ sở từ E sang E’.
E’ = {(1,1,2); (1,2,1); (1,1,1)}
'=
'
2
=
1 −
Tươ ng tự ta tìm đượ c: '2
2
1
0
[ ]E e
=
−
'3[ ]
1
0
0
E e
=
2
1
0
1
0
0
2
0
1
P ⇒ = −
−
III. Ma trận chuyển cơ sở , đồng dạng---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
{ }; { }' ' ' '
1 2 1 2, ,..., , ,...,n n E e e e E e e e = =Cho hai cơ sở của V:Cho ánh xạ tuyến tính W:f V →
{ }; { }' ' ' '
1 2 1 2, ,..., , ,...,m m F f f f F f f f = =Cho hai cơ sở của W:
Giả sử P là ma trận chuyển cơ sở từ E vào E’.
là ma trận chu ển cơ sở từ F vào F’.
A là ma trận của ánh xạ tuyến tính f trong cặp cơ sở E và F.
Khi đó là ma trận của f trong cặp cơ sở E’ và F’.1EF Q A P
−
[ ( )] [ ]F EF E f x A x =' '[ ( )] [ ]EF F E
Q f x A P x ⇔ =
' '
1[ ( )] [ ]EF F E
f x Q A P x −
⇔ =
7/25/2019 Bài giảng Toán cao cấp II - Đặng Văn Vinh (Biên soạn), Đại Học Bách Khoa Tp.HCM, 2008
III. Ma trận chuyển cơ sở , đồng dạng---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
E FAP
Tóm tắt slide vừa rồi trong sơ đồ như sau:
E’ F’Q-1AP
Chú ý: Q là ma trận chuyển cơ sở từ F sang F’, nên Q khả nghịch.
III. Ma trận chuyển cơ sở , đồng dạng---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
{ }; { }' ' ' '
1 2 1 2, ,..., , ,...,n n E e e e E e e e = =Cho hai cơ sở của V:Cho ánh xạ tuyến tính V:f V →
Giả sử P là ma trận chuyển cơ sở từ E vào E’.
A là ma trận của ánh xạ tuyến tính f trong cơ sở E.
1−
Khi đó là ma trận của f trong cơ sở E’.1P AP
−
' 'E E
=
E E
E’ E’
A
P P
P-1AP
7/25/2019 Bài giảng Toán cao cấp II - Đặng Văn Vinh (Biên soạn), Đại Học Bách Khoa Tp.HCM, 2008
Cho là ánh xạ tuyến tính, biết ma trận của f trong cơ sở E = {(1,2,1); (1,1,2); (1,1,1)} là
III. Ma trận chuyển cơ sở , đồng dạng---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
3 3: f R R→
Ví dụ
,
1 0 1
2 1 4
1 1 3 E E
A
=
Tìm ma trận của ánh xạ tuyến tính
trong cơ
sở
chính tắc.
Cơ sở chính t c: { }(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1)F =
Giả sử ma trận chuyển cơ sở từ E sang F là P.
Ma trận cần tìm là 1B P AP
−=
Tìm ma trận P lâu. Các cột của P là tọa độ của các các véctơ của F trong E. Ma trận là ma trận chuyển từ F sang E.1
P −
1
1 1 1
2 1 1
1 2 1
P −
=
Cho là ánh xạ tuyến tính, biết ma trận của f trong cơ sở là
III. Ma trận chuyển cơ sở , đồng dạng---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
: → f V V
Ví dụ
,
2 1 3
1 2 0
1 1 1
=
−
E E ATìm ma trận của f trong cơ sở
Giả sử ma trận chu ển cơ sở từ E san F là P.
{ , ,2 }1 2 3 1 2 3 1 2 32E e e e e e e e e e = + + + + + +
{ , , }1 2 3 1 2 2 3F e e e e e e e = + + + +
Ma trận cần tìm là 1B P AP −=
Tìm ma trận P. Các cột của P là tọa độ của các các véctơ của Ftrong E.
1 2 2
0 1 0
0 1 1
P
−
=
−
7/25/2019 Bài giảng Toán cao cấp II - Đặng Văn Vinh (Biên soạn), Đại Học Bách Khoa Tp.HCM, 2008
III. Ma trận chuyển cơ sở , đồng dạng---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Cho hai ma trận vuông A và B cấp n trên cùng trườ ng K.
Định ngh ĩ a hai ma trận đồng dạng
A và B đượ c gọi là đồng dạng nếu tồn tại ma trận khả nghịchP sao cho P-1 A P = B.
Hệ quả
A là ma trận của ánh xạ tuyến tính f trong cặp cơ sở E, E.
Cho ánh xạ tuyến tính V.:f V →
B là ma trận của ánh xạ tuyến tính f trong cặp cơ sở F, F.
Khi đó A và B là hai ma trận đồng dạng.
7/25/2019 Bài giảng Toán cao cấp II - Đặng Văn Vinh (Biên soạn), Đại Học Bách Khoa Tp.HCM, 2008
7.1 Trị riêng, véctơ riêng của ma trận---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Av
u
Ví dụ. 3 2
1 0 A
− =
1
1u
− =
2
1v
=
Tính và . Hãy cho biết nhận xét.Au Av
Au
Số đượ c gọi là trị riêng của A, nếu tồn tại véctơ x kháckhông, sao cho . Ax xλ =
λ
Khi đó, véctơ x đượ c gọi là véctơ riêng của ma trận vuông A
tươ ng ứng vớ i trị riêng .λ
7.1 Trị riêng, véctơ riêng của ma trận---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Giải 1 6 6 24− = =
Ví dụ
1 6
5 2 A
=
6
5u
=
−
3
2v
=
−
Véctơ nào là véctơ riêng của A?
6 = − = −
5 2 5 20−
Ta có 4.Au u = − là véctơ riêngu ⇒
1 6 3 9
5 2 2 11
− = =
− Av
Không tồn tại số đểλ Av v λ = không là véctơ riêngv ⇒
5−
7/25/2019 Bài giảng Toán cao cấp II - Đặng Văn Vinh (Biên soạn), Đại Học Bách Khoa Tp.HCM, 2008
7.1 Trị riêng, véctơ riêng của ma trận---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Bướ c 1. Lập phươ ng trình đặc trưng det( ) 0.λ − = A I
(Tính định thức ở vế trái, ta có phươ ng trình bậc n theo )λ
Tìm trị riêng, véctơ riêng của ma trận vuông A cấp n.
Bướ c 2. Giải phươ ng trình đặc trưng. Tất cả các nghiệm củaphươ ng trình đặc trưng là trị riêng của A và ngượ c lại.
Bướ c 3. Tìm VTR của A tươ ng ứng TR (chẳng hạn)1λ
1( ) 0.λ − = A I X bằng cách giải hệ phươ ng trình
Tất cả các nghiệm khác không của hệ là các VTR của A ứngvớ i trị riêng 1.λ
7.1 Trị riêng, véctơ riêng của ma trận---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Không gian nghiệm của hệ đượ c gọi là
Định ngh ĩ a
1( ) 0A I X λ − =
Bội đại số của trị riêng là bội của trị riêng trong phươ ngtrình đặc trưng.
λ Định ngh ĩ a
λ
Bội hình học của trị riêng là số chiều của không gian con riêngtươ ng ứng vớ i trị riêng đó.
Định ngh ĩ a
không gian con riêng ứng vớ i TR , ký hiệu1λ 1E λ
7/25/2019 Bài giảng Toán cao cấp II - Đặng Văn Vinh (Biên soạn), Đại Học Bách Khoa Tp.HCM, 2008
7.1 Trị riêng, véctơ riêng của ma trận---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Ví dụ. 1 1 1
1 1 1
1 1 1
=
⋯
⋯
⋯ ⋯ ⋯ ⋯
⋯
ATìm trị riêng; cơ sở , chiềucủa các kgian con riêng ứngcủa ma trận vuông cấp n.
Xét phươ ng trình đặc trưng: det( ) 0A I λ − =
Tính vế trái pt đặc trưng bằng cách cộng tất cả các hàng lên hàng1, ta có thừa số chung là suy ra là trị riêng thứ 2.( )n λ − 2 n λ =
Nhận xét thấy det (A) = 0 nên A có một trị riêng bằng .1 0λ =
Tươ ng ứng vớ i TR xét hệ thuần nhất 1
( ) 0A I X λ − =1
0λ =
Dễ thấy không gian nghiệm này có chiều bằng n-1, vậy BHH củaTR này bằng n – 1, suy ra BĐS của lớ n hơ n hoặc bằng n -1.1λ
Tổng các BĐS bằng n, vậy không còn TR khác nữa!
7.1 Trị riêng, véctơ riêng của ma trận---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
1 là trị riên của Aλ
Ví dụ. Cho là trị riêng của ma trận vuông A.0λ
1) Chứng tỏ là trị riêng của ma trận Am.0m λ
2) Giả sử A khả nghịch, chứng tỏ là trị riêng của A-1.
0
1
λ
0 :x Ax x λ ⇔ ∃ ≠ =
0 0 0 0. ... . ....m A x A A Ax A A A x λ = = 0 0... m x λ = =
Chứng tỏ là trị riêng của Am.0m λ
7/25/2019 Bài giảng Toán cao cấp II - Đặng Văn Vinh (Biên soạn), Đại Học Bách Khoa Tp.HCM, 2008
7.3 Chéo hóa ma trận đối xứ ng bở i ma trận trự c giao---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Ma trận vuông thực A thỏa aij = a ji vớ i mọi i = 1,….n và j =1,…,nđượ c gọi là ma trận đối xứng (tức là, nếu A = AT)
Định ngh ĩ a ma trận đối xứng thực
Định ngh ĩ a ma trận trực giao
Ma trận vuông A đượ c gọi là ma trận trực giao nếu A-1=AT .
1/ 2 1/ 18 2 / 3
0 4 / 18 1/ 31/ 2 1/ 18 2 / 3
−
=
−
P
7.3 Chéo hóa ma trận đối xứ ng bở i ma trận trự c giao----------------------------------------------------------------------------------------------------
Ma trận vuông A là ma trận trực giao nếu các cột của A tạo nênhọ trực chuẩn.
Hệ quảĐể thiết lập ma trận trực giao ta dùng hệ quả sau.
Ma trận vuông A đượ c gọi là chéo hóa trực giao nếu tồn tạima trận trực giao P và ma trận chéo D sao cho
A = PDP-1=PDPT .
Định ngh ĩ a
7/25/2019 Bài giảng Toán cao cấp II - Đặng Văn Vinh (Biên soạn), Đại Học Bách Khoa Tp.HCM, 2008
( )1 2, 0 x x⇔ = Vậy hai véctơ riêng này vuông góc vớ i nhau.
7.3 Chéo hóa ma trận đối xứ ng bở i ma trận trự c giao---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Bướ c 1. Lập phươ ng trình đặc trưng. Giải tìm trị riêng.Các bướ c chéo hóa trực giao ma trận đối xứng thực.
Bướ c 2. Giải các hệ phươ ng trình tươ ng ứng vớ i từng trịriêng. Tìm cơ sở TRỰ C CHUẨN của các kgian con riêng.
Bướ c 3. Ma trận P có các cột là các cơ sở TRỰ C CHUẨN của.
Các phần tử trên đườ ng chéo chính của D là các trị riêng.
Chú ý: Ma trận đối xứng thực luôn chéo hóa đượ c nên không cầnxác định bội đại số và bội hình học.
Để tìm cơ sở trực chuẩn của một không gian con riêng nào đó tachọn một cơ sở tùy ý rồi dùng quá trình Gram – Schmidt (nếu cần).
7/25/2019 Bài giảng Toán cao cấp II - Đặng Văn Vinh (Biên soạn), Đại Học Bách Khoa Tp.HCM, 2008
7.3 Chéo hóa ma trận đối xứ ng bở i ma trận trự c giao---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Chéo hóa trực giao ma trận đối xứng thực sau:
3 2 4
2 6 24 2 3
−
= −
A
Ví dụ
20 det( ) ( 7) ( 2) A I λ λ λ = − = − − +
1 2
1 1
0 ; 2
1 0
−
= =
x xCơ sở của không gian conriêng :
1
7λ = E
Lập phươ ng trình đặc trưng
7.3 Chéo hóa ma trận đối xứ ng bở i ma trận trự c giao---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
1 1
1
0 ;
1
= =
f x 2 1
2 2 1 2
1 1
1( , )
4( , )
1
−
= − ⇒ =
x f f x f f
f f
Dùng quá trình Gram – Schmidt, tìm cơ sở trực giaocủa không gian con riêng :
1
7λ = E { }1 2,F f f =
Trực chuẩn hóa, tìm cơ sở trực chuẩn của :1 7λ = E
1/ 181/ 2
0 ; 4 / 18
1/ 2 1/ 18
−
=
E
7/25/2019 Bài giảng Toán cao cấp II - Đặng Văn Vinh (Biên soạn), Đại Học Bách Khoa Tp.HCM, 2008
7.3 Chéo hóa ma trận đối xứ ng bở i ma trận trự c giao---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Ví dụ. Tìm ma trận đối xứng thực cấp 3 (khác vớ i ma trậnchéo) sao cho có ba trị riêng là .
1 2 32; 1; 1λ λ λ = = − =
A là ma trận đối xứng thực nên A chéo hóa đượ c bở i ma trậntrực giao P và ma trận chéo D. 2 0 0
0 1 0
0 0 1
D
= −
Theo đề bài ta có ma trận chéo:
.
Chọn một cơ sở tùy ý (khác vớ i cơ sở chính tắc) của R3:
{ }(1,1,1),(1,0,1),(1,1,0)E =
Dùng quá trình Gram – Schmidt đưa E về cơ sở trực giao, sau
đó trực chuẩn hóa, ta đượ c cơ sở trực chuẩn.Các cột của ma trận trực giao P là cơ sở trực chuẩn này.
Kết luận. Ma trận đối xứng thực cần tìm: 1 T A PDP PDP −
= =
7.3 Chéo hóa ma trận đối xứ ng bở i ma trận trự c giao---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Cho A là ma trận đối xứng thực cấp 3.
Chứng tỏ rằng ma trận khả nghịch.A iI −
Trong đó i là đơ n vị ảo, và I là ma trận đơ n vị cùng cấp A.
Ví dụ.
A là ma trận đ i xứng thực nên trị riêng của A là những s thực.Nếu , thì i là trị riêng của ma trận đối xứng A(điều không thể xảy ra)
det( ) 0A iI − =
det( ) 0A iI − ≠Vậy
Hay ( A – iI ) khả nghịch.
7/25/2019 Bài giảng Toán cao cấp II - Đặng Văn Vinh (Biên soạn), Đại Học Bách Khoa Tp.HCM, 2008
7.4 Trị riêng, véctơ riêng của ánh xạ tuyến tính.---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Trong chươ ng ánh xạ tuyến tính ta biết: có thể coi ánh xạ tuyếntính là ma trận, cho nên tìm trị riêng, véctơ riêng của ánh xạtuyến tính là tìm trị riêng, véctơ riêng của ma trận.
Chéo hóa ánh xạ tuyến tính là chéo hóa ma trận.
S đượ c ọi là trị riên của A, n u t n tại véctơ λ ∈ K
Định ngh ĩ a
Cho V là K-kgvt, ánh xạ tuyến tính .:f V V →
x V ∈
khác không, sao cho .( ) λ = f x x
Khi đó, véctơ x đượ c gọi là véctơ riêng của ánh xạ tuyếntính f tươ ng ứng vớ i trị riêng .λ
Chú ý: véctơ riêng của ánh xạ tuyến tính là véctơ có ảnh tỉ lệvớ i véctơ ban đầu.
Nếu xét trong không gian thực: VTR là véctơ có ảnh cùngphươ ng vớ i véctơ ban đầu (tạo ảnh).
7.4 Trị riêng, véctơ riêng của ánh xạ tuyến tính.---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Giả sử véctơ 0 00; ( )v v α ≠ ∈ Khi đó: 0 0( )f v v = 01.v =
Suy ra là VTR của f và là trị riêng của f.0v 0 1λ =
Cho ánh xạ tuyến tính f là phép đối xứng qua mặt phẳng
y = x trong hệ trục tọa độ 0xyz. Tìm TR và VTR của f.
Ví dụ
( )α
Khi đó: 1 1( )f v v = − 1( 1).v = −
Suy ra là VTR của f và là trị riêng của f.1v 1 1λ = −
Giả sử véctơ 1 10; ( )v v α ≠ ⊥
c c c vec ơ c ng u c ng vα 0
Tất cả các vectơ vuông góc vớ i là VTR ứng TR( )α 0≠ 1λ
Không còn TR, VTR loại khác. (tại sao?)
7/25/2019 Bài giảng Toán cao cấp II - Đặng Văn Vinh (Biên soạn), Đại Học Bách Khoa Tp.HCM, 2008
7.4 Trị riêng, véctơ riêng của ánh xạ tuyến tính.---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Giả sử là TR của axtt f 0λ 0 0 0 0 00; : ( )x x V f x x λ ⇔ ∃ ≠ ∈ =
Cho V là K-kgvt, E là một cơ sở của V.
: .f V V →Cho ánh xạ tuyến tính
A là ma trận của ánh xạ tuyến tính trong cơ sở E.
0 0 0[ ( )] [ ]E E f x x λ ⇔ = 0 0 0[ ] [ ]E E A x x λ ⇔ =
là trị riêng của ma trận A.0λ ⇒
là VTR của ma trận A ứng vớ i TR0[ ]E x 0.λ
Kết luận. 1) TR của ma trận là TR của axtt và ngượ c lại.
2) Nếu véctơ là VTR của ma trận A ứng vớ i TR ,0x 0λ
thì véctơ sao cho là VTR của f ứng vớ i TR0[ ]E x x = 0.λ x
7.4 Trị riêng, véctơ riêng của ánh xạ tuyến tính---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Bướ c 1. Chọn một cơ sở E tùy ý của kgvt V.
Tìm ma trận A của f trong cơ sở E.
Tìm trị riêng, véctơ riêng của ánh xạ tuyến tính f.
Bướ c 2. Tìm TR và VTR của ma trận A.
Bướ c 3. Kết luận
1) TR của ma trận là TR của axtt và ngượ c lại.2) Nếu véctơ là VTR của ma trận A ứng vớ i TR ,0x 0λ
thì véctơ sao cho là VTR của f ứng vớ i TR0[ ]E x x = 0.λ x
Chú ý. VTR của ma trận không hẳn là VTR của axtt mà là tọa độcủa VTR của ánh xạ tuyến tính trong cơ sở E.
Cần đổi sang cơ sở chính tắc.
7/25/2019 Bài giảng Toán cao cấp II - Đặng Văn Vinh (Biên soạn), Đại Học Bách Khoa Tp.HCM, 2008
7.4 Trị riêng, véctơ riêng của ánh xạ tuyến tính---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Cho ánh xạ tuyến tính , biết3 3:f R R →
Ví dụ
1 2 3
1 2 3 1 2 3 1 2 3
( ) ( , , )
(5 10 5 ,2 14 2 , 4 8 6 )
f x f x x x
x x x x x x x x x
= =
− − + + − − +
Tìm trị riêng, véctơ riêng của ánh xạ tuyến tính f.
1) Chọn cơ sở chính tắc của R3 là: { }(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1)E =
5 10 5
2 14 2
4 8 6
− −
=
− −
AMa trận của f trong E là:
2) Tìm trị riêng, véctơ riêng của A.
2( 5)( 10) 0λ λ
− − =
1 25, 10λ λ = =Trị riêng của ma trậnAlà:
Đây cũng là trị riêng của ánh xạ tuyến tính.
7.4 Trị riêng, véctơ riêng của ánh xạ tuyến tính---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
1
1 2
3
0 10 5
( ) 2 9 2 0
4 8 1
λ
− −
− = =
− −
x
A I X x
x
3) Tìm véctơ riêng của A:Giải hệ phươ ng trình1 5λ =
5
2
4
x α
⇔ = −
5
VTR của A ứng vớ i TR là tất cả các véctơ 1λ 2 ,4
0α α −
≠
VTR của f ứng vớ i TR véctơ x sao cho1λ [ ]
5
2
4
E x
α
α
α
= −
(5 , 2 , 4 )x α α α ⇔ = − (vì E là cơ sở chính tắc)
Tươ ng tự cho trị riêng2
λ
7/25/2019 Bài giảng Toán cao cấp II - Đặng Văn Vinh (Biên soạn), Đại Học Bách Khoa Tp.HCM, 2008
7.4 Trị riêng, véctơ riêng của ánh xạ tuyến tính---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Cho ánh xạ tuyến tính , biết3 3:f R R →
Ví dụ
Tìm trị riêng, véctơ riêng của ánh xạ tuyến tính f.
1) Chọn cơ sở của R3 là: { }(1,1,1),(1,0,1),(1,1,0)E =
(1,1,1) (2,1,3); (1,0,1) (6,3,5); (1,1,0) ( 2, 1, 3).f f f = = = − − −
1 3 1
1 1 1
−
= −
−
AMa trận của f trong E là:
2) Tìm trị riêng, véctơ riêng của A. ( 2)( 4) 0λ λ λ − − =
1 2 30, 2, 4λ λ λ = = =Trị riêng của ma trậnAlà:
Đây cũng là trị riêng của ánh xạ tuyến tính.
7.4 Trị riêng, véctơ riêng của ánh xạ tuyến tính---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
1
1 2
3
2 2 2
( ) 1 3 1 0
1 1 1
λ
−
− = − =
−
x
A I X x
x
3) Tìm véctơ riêng của A:Giải hệ phươ ng trình1 0λ =
1
0
1
x α
⇔ = 1
VTR của A ứng vớ i TR là t t cả các véctơ 1
00 ,
1
α α
≠
VTR của f ứng vớ i TR véctơ x sao cho1λ [ ] 0E
x
α
α
=
(1,1,1) 0(1,1,1) (1,1,0)x α α ⇔ = + +
Tươ ng tự cho trị riêng2 3
,λ λ
(2 ,2 , ), 0α α α α = ≠
7/25/2019 Bài giảng Toán cao cấp II - Đặng Văn Vinh (Biên soạn), Đại Học Bách Khoa Tp.HCM, 2008
7.4 Trị riêng, véctơ riêng của ánh xạ tuyến tính---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
2 2 1
2 1 214 25 14
− −
= − − −
A
Cho ánh xạ tuyến tính , biết ma trận của f trongcơ sở là
3 3:f R R →
Ví dụ
{ }(1,1,1),(1,2,1),(1,1,2)E =
vì ma trận của f trong E đã cho sẵn là A.
m r r ng, v c r ng c a n xạ uy n n .
2) Tìm trị riêng, véctơ riêng của A. 2
( 3)( 6) 0λ λ − − =
1 23, 6λ λ = =Trị riêng của ma trậnAlà:
Đây cũng là trị riêng của ánh xạ tuyến tính.
1) Hiển nhiên chọn cơ sở của R3 là: { }(1,1,1),(1,2,1),(1,1,2)E =
7.4 Trị riêng, véctơ riêng của ánh xạ tuyến tính---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
1
1 2
3
1 2 1
( ) 2 4 2 0
14 25 11
λ
− − −
− = − − − =
x
A I X x
x
3) Tìm véctơ riêng của A:Giải hệ phươ ng trình1 3λ =
1
1
1
x α
⇔ = − 1
VTR của A ứng vớ i TR là t t cả các véctơ 1
1 ,
1
0α α −
≠
VTR của f ứng vớ i TR véctơ x sao cho1λ [ ]E x
α
α
α
= −
(1,1,1) (1,2,1) (1,1,2)x α α α ⇔ = − +
Tươ ng tự cho trị riêng2
λ
( ,0,2 ), 0α α α = ≠
7/25/2019 Bài giảng Toán cao cấp II - Đặng Văn Vinh (Biên soạn), Đại Học Bách Khoa Tp.HCM, 2008
7.4 Trị riêng, véctơ riêng của ánh xạ tuyến tính---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
2 2 1
2 1 214 25 14
− −
= − − −
A
Cho ánh xạ tuyến tính , biết ma trận của f trongcơ sở là
3 3:f R R →
Ví dụ
{ }(1,1,1),(1,2,1),(1,1,2)E =
1) Tính 2)(2,4,3)f (2,0,4)f
Để giải câu 1) và 2) ta sử dụng công thức [ ] [ ]( )E E
f x A x =
Tuy nhiên theo ví dụ trướ c ta thấy véctơ (2,0,4) là VTR của f tươ ng ứng vớ i TR 1 3λ =
Vậy (2, 0, 4) (2,3. 0, 4) (6,0,12)f = =
7.4 Trị riêng, véctơ riêng của ánh xạ tuyến tính---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Tìm ánh xạ tuyến tính , biết f có 3 trị riêng là3 3:f R R →Ví dụ
(1,1,1),(1,2,1),(1,1,2)
1 2 12, 1, 0λ λ λ = = =
và 3 véctơ riêng tươ ng ứng là
,
Biết ảnh của một cơ sở của R3, suy ra ta có thể tìm đượ c f(x).
(1,1,1) 2(1,1,1) (2,2,2)f = =
(1,2,1) 1(1,2,1) (1,2,1)f = =
(1,1,2) 0(1,1,2) (0,0,0)f = =
7/25/2019 Bài giảng Toán cao cấp II - Đặng Văn Vinh (Biên soạn), Đại Học Bách Khoa Tp.HCM, 2008
7.6 Dạng Toàn phươ ng---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Giả sử dạng toàn phươ ng đưa về chính tắc đượ c:
1. Nếu , thì dạng toàn phươ ng xđ dươ ng.( 1,.., ) : 0k k n λ ∀ = >
2 2 21 1 2 2( ) ... n n f y y y y λ λ λ = + + +
. u , ạng o n p ươ ng x m.,..., : k n =
3. Nếu và , thì nửa xđ dươ ng.( 1,..., ) : 0k k n λ ∀ = ≥ 0k λ ∃ =
4. Nếu và , thì nửa xđ âm.( 1,..., ) : 0k
k n λ ∀ = ≤ 0k
λ ∃ =
5. Nếu , thì dạng toàn phươ ng không xác định dấu1 20; 0λ λ ∃ < >
7.6 Dạng Toàn phươ ng---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Giả sử dạng toàn phươ ng đưa về chính tắc đượ c:2 2 2
1 1 2 2( ) ... n n f y y y y λ λ λ = + + +
Số các hệ số dươ ng đượ c gọi là chỉ số dươ ng quán tính.
Số các hệ số âm đượ c gọi là chỉ số âm quán tính.
Tồn tại rất nhiều phươ ng pháp đưa dạng toàn phươ ng về dạngchính tắc. Các dạng chính tắc này thườ ng khác nhau.
Luật quán tính
Chỉ số dươ ng quán tính, chỉ số âm quán tính của dạng toànphươ ng là những đại lượ ng bất biến không phụ thuộc vào cáchđưa dạng toàn phươ ng về dạng chính tắc.
Có điểm chung của các dạng chính tắc là: số lượ ng các hệ số âmvà số lượ ng các hệ số dươ ng là không thay đổi.
7/25/2019 Bài giảng Toán cao cấp II - Đặng Văn Vinh (Biên soạn), Đại Học Bách Khoa Tp.HCM, 2008
VII) Dạng toàn phươ ng:1) Đưa dạng toàn phươ ng về dạng chính tắc bằng hai cách:
a) Biến đổi trực giao; b) Biến đổi Lagrange (biến đổi sơ cấp)
2) Phân loại dạng toàn phươ ng: có 5 loại. Cách phân loại: đưa vềdạng chính tắc hoặc dùng tiêu chuẩn Sylvester.
3) Sử dụng vẽ đườ ng cong bậc hai, mặt cong bậc hai.Chú ý: Trên đây là những phần chính. Ngoài ra các em phải biếtcách giải một số bài toán dạng khác.
Nói chung 8 phần trên là toàn bộ các kiến thức yêu cầu trongmôn học toán 2 này. Tuy nhiên để đượ c điểm tối đa các em phảibiết cách giải thêm một số dạng bài tập khác.
7/25/2019 Bài giảng Toán cao cấp II - Đặng Văn Vinh (Biên soạn), Đại Học Bách Khoa Tp.HCM, 2008