7/25/2019 Bài giảng Toán cao cấp III - Đặng Văn Vinh (Biên soạn), Đại Học Bách Khoa Tp.HCM, 2008 http://slidepdf.com/reader/full/bai-giang-toan-cao-cap-iii-dang-van-vinh-bien-soan-dai 1/229 Trườ ng Đại học Bách khoa tp. Hồ Chí Minh Bộ môn Toán Ứ ng dụng ------------------------------------------------------------------------------------- Giải tích hàm nhi ều biến • Giả ng viên Ts. Đặ ng V ă n Vinh (2/2008) [email protected]Môn học cung cấp các kiến thức cơ bản của giải tích hàm nhiều biến. Sinh viên sau khi k ết thúc môn học nắm vững các kiến thức nền tảng: hàm nhiều biến, giớ i hạn kép và liên t ục, đạo hàm riêng và vi phân, đạo Mục tiêu của môn học Toán 3 hàm theo hướ ng, khai tri n Taylor, Maclaurint của hàm nhi u bi n, ứng d ụ ng c ủ a đạ o hàm riêng: ph ươ ng trình m ặ t ph ẳ ng ti ế p di ệ n, pháp véct ơ , ứng dụng tìm cực trị; cách tính tích phân bội: bội 2, bội 3; tích phân đườ ng: loại 1, loại 2; tích phân mặt: loại 1, loại 2 và các ứng dụng hình học, cơ học của các loại tích phân này; tích phân suy r ộng phụ thuộc tham số; trườ ng véctơ .
229
Embed
Bài giảng Toán cao cấp III - Đặng Văn Vinh (Biên soạn), Đại Học Bách Khoa Tp.HCM, 2008
This document is posted to help you gain knowledge. Please leave a comment to let me know what you think about it! Share it to your friends and learn new things together.
Transcript
7/25/2019 Bài giảng Toán cao cấp III - Đặng Văn Vinh (Biên soạn), Đại Học Bách Khoa Tp.HCM, 2008
I. Đạo hàm riêng và vi phân của f = f(x,y)---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Định ngh ĩ a đạo hàm riêng theo x.
Cho hàm hai biến f = f(x,y) vớ i điểm cố định.0 0 0( , ) M x y
Xét hàm một biến F(x) = f(x,y0) theo biến x.
Đạo hàm của hàm một biến F(x) tại x0 đượ c gọi là đạo hàm riêng theo xcủa f(x,y) tại , ký hiệu0 0 0( , ) M x y
0 0 0 00 0
0
'( , ) ( ) ( )( , ) lim
x x
f x y F x x F x f x y
x x∆ →
∂ + ∆ −= =
∂ ∆
0 0 0 0
0
( , ) ( , )lim x
f x y f x y
x∆ →
∆ −=
∆
I. Đạo hàm riêng và vi phân của f = f(x,y)---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Định ngh ĩ a đạo hàm riêng theo y.
Cho hàm hai biến f = f(x,y) vớ i điểm cố định.0 0 0( , ) M x y
Xét hàm một biến F(y) = f(x0,y) theo biến y.
Đạo hàm của hàm một biến F(y) tại y0 đượ c gọi là đạo hàm riêng theo y
của f(x,y) tại , ký hiệu0 0 0( , ) M x y
0 0 0 00 0
0
'( , ) ( ) ( )( , ) lim y
y f x y F y y F y f x y
y y∆ →
∂ + ∆ −= =∂ ∆
0 0 0 0
0
( , ) ( , )lim y
f x y y f x y
y∆ →
+ ∆ −=
∆
7/25/2019 Bài giảng Toán cao cấp III - Đặng Văn Vinh (Biên soạn), Đại Học Bách Khoa Tp.HCM, 2008
I. Đạo hàm riêng và vi phân của f = f(x,y)---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Ghi nhớ .
Đạo hàm riêng của f = f(x,y) tại theo x là đạo hàm của hàm
một biến f = f(x,y0).0 0 0( , ) M x y
Đạo hàm riêng của f = f(x,y) tại theo y là đạo hàm của hàmmột biến f = f(x0,y).
0 0 0( , ) M x y
Qui tắc tìm đạo hàm riêng.
Để tìm đạo hàm riêng của f theo biến x, ta coi f là hàm một biến x, biến
còn lại y là hằng số.
f(x,y) biễu diễn bở i mặt S (màu xanh)
Giả sử f(a,b) = c, nên điểm P(a,b,c) S.∈
Cố định y = b. Đườ ng cong C1 là
giao của S và mặt phẳng y = b.
Phươ ng trình của đườ ng cong C1
là g(x) = f(x, b).
1
đườ ng cong C1 là' '( ) ( , ) xg a f a b=
Đạo hàm riêng theo x của f = f(x,y) là hệ số góc của tiếp tuyến T1 vớ i đườ ng
cong C1 tại P(a,b,c).
Tươ ng tự, đạo hàm riêng theo y của f = f(x,y) là hệ số góc của tiếp tuyến T2
vớ i đườ ng cong C2 tại P(a,b,c).
7/25/2019 Bài giảng Toán cao cấp III - Đặng Văn Vinh (Biên soạn), Đại Học Bách Khoa Tp.HCM, 2008
I. Đạo hàm riêng và vi phân của f = f(x,y)--------------------------------------------------------------------------------------------------------
Tính chất của đạo hàm riêng
Vì đạo hàm riêng là đạo hàm của hàm một biến nên tính chất của đạo hàm
riêng cũng là tính chất của đạo hàm của hàm một biến.
' '1) ( ) x x f f α α = ' ' '2) ( ) x x x f g f g+ = +
' ' '
x xgf fg f − =
' ' '3 ⋅ = ⋅ + ⋅
2
xg g
Hàm một biến: hàm liên tục tại x0 khi và chỉ khi hàm có đạo hàm cấp 1 tại x0.
Hàm nhiều biến: Tồn tại hàm có các đạo hàm riêng cấp 1 tại (x0,y0) nhưng
không liên tục tại điểm này. Giải thích!
I. Đạo hàm riêng và vi phân của f = f(x,y)---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Ví dụ
Tìm đạo hàm riêng , biết' '(1, 2), (1, 2) x y f f
2 2( , ) ln( 2 ) f x y x y= +
Giải. ( )'
' 2 2( , ) ln( 2 ) x
x f x y x y= +
' 2,
x x = ' 2
1 2⇒ =2 x y+ 9
( )'
' 2 2( , ) ln( 2 ) y
y f x y x y= +
'
2 2
4( , )
2 y
y f x y
x y=
+
' 8(1, 2)
9 y f ⇒ =
7/25/2019 Bài giảng Toán cao cấp III - Đặng Văn Vinh (Biên soạn), Đại Học Bách Khoa Tp.HCM, 2008
I. Đạo hàm riêng và vi phân của f = f(x,y)---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Ví dụ
Tìm đạo hàm riêng , biết' '(1, 2), (1, 2) x y f f ( , ) ( 2 )
y f x y x y= +
Giải.
( )
''( , ) ( 2 )
y
x x f x y x y= +
' 1( , ) ( 2 )
y x f x y y x y
−= +
'(1, 2) 10 x f ⇒ =
ln ln( 2 ) f y x y= +
'2
ln( 2 )2
y f x y y
f x y= + + ⋅
+
' 2( , ) ( 2 ) ln( 2 )
2
y y f x y x y x y y
x y
⇒ = + + + ⋅
+
Đạo hàm riêng hai vế theo y, ta có
' 4( , ) 25(ln 5 )
5 y f x y⇒ = +
I. Đạo hàm riêng và vi phân của f = f(x,y)---------------------------------------------------------------------------------------------------
Giải. ( )'
' 2 3
2 31) ( , ) x
x
x f x y x y
x y= + =
+
Ví dụ
Cho .2 3( , ) f x y x y= +
1) Tìm '
(1,1) x f 2) Tìm '
(0,0) x f 3) Tìm '
(0,0) y f
' 1(1,1)
2 x f ⇒ =
2) Không thể thay (0,0) vào công thức để tìm . Ta sử dụng định ngh ĩ a(0,0) x
f
'
0
(0 , 0) (0, 0)(0, 0) lim x
x
f x f f
x∆ →
+ ∆ −=
∆
2
0
( ) 0 0lim x
x
x∆ →
∆ + −=
∆ 0
| |lim x
x
x∆ →
∆=
∆
Không tồn tại giớ i hạn này vì giớ i hạn trái và giớ i hạn phải không bằng nhau.
Tươ ng tự '
0
(0, 0 ) (0, 0)(0, 0) lim y
y
f y f f
y∆ →
+ ∆ −=
∆
3
0
( ) 0lim y
y
y∆ →
∆ −=
∆ 0=
7/25/2019 Bài giảng Toán cao cấp III - Đặng Văn Vinh (Biên soạn), Đại Học Bách Khoa Tp.HCM, 2008
I. Đạo hàm riêng và vi phân của f = f(x,y)---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Giải.
Ví dụ
Cho
2 22
1
( , )t x y
f x y e dt +
= ∫
Tìm ' '( , ), ( , ). x y f x y f x y
2 22
'
'
1
( , )t x y
x
x
f x y e dt +
= ∫
( ) ( )2
2 2 '2 2
x y
x
e x y+
= ⋅ +2 2
2 2
x y xe
x y
+= ⋅
+
Vì biểu thức đối xứng đối vớ i x và y nên, đổi chỗ x và y cho nhau ta
đượ c đạo hàm riêng theo y.
2 2'
2 2( , )
x y y
y f x y e
x y
+⇒ = ⋅
+
I. Đạo hàm riêng và vi phân của f = f(x,y)---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Ví dụ
Cho
2 21/( ) 2 2
2 2
, 0( , )
0, 0
neáu
neáu
x ye x y
f x y x y
− + + >=
+ =
Tìm '
(0,0). x f
.
'
0
(0 , 0) (0, 0)(0, 0) lim x
x
f x f f
x∆ →
+ ∆ −=
∆
21/( )
0lim
x
x
e
x
− ∆
∆ →
=∆
1t
x=
∆Đặt , suy ra .t → ∞
2'(0,0) lim
t x
t f te
−
→∞
⇒ = 0= (sử dụng qui tắc Lopital)
7/25/2019 Bài giảng Toán cao cấp III - Đặng Văn Vinh (Biên soạn), Đại Học Bách Khoa Tp.HCM, 2008
I. Đạo hàm riêng và vi phân của f = f(x,y)---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Cho hàm hai biến f = f(x,y).
Đạo hàm riêng theo x và theo y là những hàm hai biến x và y:
Ta có thể lấy đạo hàm riêng của hàm :'( , ) x f x y
( )2'
' ''
2( , ) ( , ) ( , ) x xx
x
f f x y f x y x y
x
∂= =
∂( )
2'' ''( , ) ( , ) ( , ) x xy
y
f f x y f x y x y
x y
∂= =
∂ ∂
( )2
'' ''( , ) ( , ) ( , ) y yx
x
f f x y f x y x y
y x
∂= =
∂ ∂( )
2'
' ''
2( , ) ( , ) ( , ) y yy
y
f f x y f x y x y
y
∂= =
∂
Tươ ng tự có thể lấy đạo hàm riêng của hàm :'( , ) y f x y
Tiếp tục quá trình, ta có khái niệm các đạo hàm cấp cao.
Vì đạo hàm riêng là đạo hàm của hàm một biến nên việc tính đạo hàm
riêng cấp cao cũng tươ ng tự tính đạo hàm cấp cao của hàm một biến: dùng
công thức Leibnitz và các đạo hàm cấp cao thông dụng.
I. Đạo hàm riêng và vi phân của f = f(x,y)---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
cao ta phải chú ý đến thứ tự lấy đạo hàm.
Chú ý.
2 2
0 0 0 0( , ) ( , ) f f
x y x x
y y y x
∂ ∂≠
∂ ∂ ∂ ∂Nói chung , nên khi lấy đạo hàm riêng cấp
Định lý
2 2
0 0 0 0( , ) ( , ) f f
x y x x
y y y x
∂ ∂=
∂ ∂ ∂ ∂
Cho hàm f(x,y) và các đạo hàm riêng xác định trong lân
cận của và liên tục tại điểm này. Khi đó
' ' '' '', , , x y xy yx f f f f
0 0( , ) x y
Chứng minh:
7/25/2019 Bài giảng Toán cao cấp III - Đặng Văn Vinh (Biên soạn), Đại Học Bách Khoa Tp.HCM, 2008
I. Đạo hàm riêng và vi phân của f = f(x,y)---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Giải. '( , ) sin
x x f x y e y=
Ví dụ
Chứng tỏ rằng hàm thỏa phươ ng trình Laplace( , ) sin x
f x y e y=
2 2
2 2 0
f f
x y
∂ ∂+ =
∂ ∂
''sin
x xx f e y=
2 2
2 2 sin sin 0
x x f f e y e y
x y
∂ ∂⇒ + = − =
∂ ∂
'( , ) cos
x y f x y e y=
''sin
x yy f e y= −
Hàm f = f(x,y) thỏa phươ ng trình Laplace đượ c gọi là hàm điều hòa.
Hàm điều hòa đóng vai trò quan trọng trong lý thuyết fluid flow, heat
conduction, electric potential,….
I. Đạo hàm riêng và vi phân của f = f(x,y)---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Giải. '( , ) cos( )t u x t a x at = − −
Ví dụ
Chứng tỏ rằng hàm thỏa phươ ng trình sóng( , ) sin( )u x t x at = −
2 22
2 2
u ua
t x
∂ ∂=
∂ ∂
'' 2sin( )tt u a x at = − −
2 22 2
2 2 sin( )
u ua a x at
t x
∂ ∂⇒ = = − −
∂ ∂
'
( , ) cos( ) xu x t x at = −
''
sin( ) xxu x at = − −
Phươ ng trình sóng mô tả sự chuyển động của các loại sóng: sóng biển,
sóng âm thanh hay sóng chuyển động dọc theo một sợ i dây rung.
7/25/2019 Bài giảng Toán cao cấp III - Đặng Văn Vinh (Biên soạn), Đại Học Bách Khoa Tp.HCM, 2008
I. Đạo hàm riêng và vi phân của f = f(x,y)---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Ví dụ
Chứng tỏ rằng thỏa phươ ng trình truyền nhiệt2 2
/(4 )1( , )
2
x a t u t x e
a t π
−=
22
2
u ua
t x
∂ ∂=
∂ ∂
Giải. 2 2
' /(4 )
2
1 2( , )
4 )2
x a t x
xu x t e
a t a t π
− −= ⋅
22
2
u ua
t x
∂ ∂⇒ =
∂ ∂
2 2'' /(4 )
5 2
2( , )
8
x a t xx
x a t u x t e
a t t π
−−⇒ =
2 2'
/(4 )1
2
x a t
t
ue
t a t π
−∂ =
∂
2 22 2
/(4 )
3 2
2
8
x a t x a t e
a t t π
−−=
I. Đạo hàm riêng và vi phân của f = f(x,y)---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Ví dụ
Cho
2 2
2 2
2 2
, 0( , )
0, 0
neáu
neáu
xy x y
x y f x y
x y
+ ≠
+=
+ =
Tìm ''
(0,0). xx f
.
'
0
(0 , 0) (0, 0)(0, 0) lim x x
f x f f x∆ →
+ ∆ −=∆ 0
0 0lim 0 x x∆ →
−= =∆
( )
3 22 2
22 2'
2 2
, 0
( , ) ( , )
0, 0
neáu
neáu
x
y yx x y
x yh x y f x y
x y
−+ ≠
+⇒ = =
+ =
7/25/2019 Bài giảng Toán cao cấp III - Đặng Văn Vinh (Biên soạn), Đại Học Bách Khoa Tp.HCM, 2008
I. Đạo hàm riêng và vi phân của f = f(x,y)---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Tìm đạo hàm riêng cấp hai
'' '
0
(0 , 0) (0, 0)(0, 0) (0, 0) lim xx x
x
h x h f h
x∆ →
+ ∆ −= =
∆
''
0
0 0(0, 0) lim 0 xx
x f
x∆ →
−⇒ = =
∆
Tươ ng tự tìm đượ c và''
(0, 0) 0 yy f = '' ''(0, 0); (0, 0) xy yx f f ∃ ∃
Chú ý. Để tìm đạo hàm riêng cấp hai tại (x0, y0) ta phải tìm đạo hàm
riêng cấp một tại mọi điểm (tức là tìm hàm ).'( , ) x f x y
'( , ) x f x y
Hàm này có các đạo hàm riêng cấp 1 tại (0,0) nhưng không liên tục tại đây.
I. Đạo hàm riêng và vi phân của f = f(x,y)---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Giải.
Ví dụ
Cho hàm . Tìm( , ) (2 3 ) ln( 2 )u x y x y x y= + +
100
100 (1, 2).
f
x
∂
∂
Sử dụng công thức Leibnitz, coi f ( x,y) là hàm một biến theo x.
Đ t . ; , 2 3 ; , ln 2u x x x x= = + = +
1000 (0) (100) 1 ' (99) 2 '' (98)
100 100 100100 ( , ) ... x x x x x x
f x y C f g C f g C f g
x
∂= + + +
∂
' ''2; 0; x xx f f = = ( )
( )( ) 1 1ln( 2 ) ( 1) ( 1)!
( 2 )
nn n x x n
g x y n x y
−= + = − −
+
100 99 980 1
100 100100 100 99
( 1) 99! ( 1) 98!( , ) (2 3 ) 2 0
( 2 ) ( 2 )
f x y C x y C
x x y x y
∂ − ⋅ − ⋅= + ⋅ + ⋅ +
∂ + +
7/25/2019 Bài giảng Toán cao cấp III - Đặng Văn Vinh (Biên soạn), Đại Học Bách Khoa Tp.HCM, 2008
' '0 0 0 0 0 0 0( , )( ) ( , )( ) x y z z f x y x x f x y y y− = − + −
mặt phẳng tiếp diện vớ i mặt S tại P.
Tiếp tuyến vớ i mọi đườ ng cong nằm
trong S, qua P đều nằm trong .( )α
Phươ ng trình mặt tiếp diện vớ i S tại (x0, y0, z0) là:
I. Đạo hàm riêng và vi phân của f = f(x,y)---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Giải.
Ví dụ
Tìm phươ ng trình mặt phẳng tiếp diện vớ i paraboloid elliptic
2 22 z x y= +
' '4 (1,1) 4. x x f x f = ⇒ =
tại điểm .(1,1,3)
' '2 (1,1) 2. y y f y f = ⇒ =
Phươ ng trình mặt phẳng tiếp diện:
' '0 0 0 0 0 0 0( , )( ) ( , )( ) x y z z f x y x x f x y y y− = − + −
3 4( 1) 2( 1) z x y− = − + −
4 2 3 ( , ) z x y L x y= + − =
7/25/2019 Bài giảng Toán cao cấp III - Đặng Văn Vinh (Biên soạn), Đại Học Bách Khoa Tp.HCM, 2008
I. Đạo hàm riêng và vi phân của f = f(x,y)---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Định ngh ĩ a
Cho hàm f = f(x,y) và (x0, y0) là điểm trong của miền xác định.
Hàm f đượ c gọi là khả vi tại (x0, y0) nếu số gia toàn phần
có thể biễu diễn đượ c ở dạng
0 0 0 0 0 0( , ) ( , ) ( , ) f x y f x x y y f x y∆ = + ∆ + ∆ −
0 0( , ) f x y A x B y x yα β = ∆ + ∆ + ∆ + ∆∆
trong đó A, B là các hằng số, , 0, , 0.khi x yα β → ∆ ∆ →
Định ngh ĩ a
Đại lượ ng gọi là vi phân của hàm f = f(x,y) tại (x0,y0).0 0( , )d f x y A x B y= ∆ + ∆
Mặt tiếp diện
' '( , ) ( ) ( ) x y z f a b f x a f y b− = − + −
7/25/2019 Bài giảng Toán cao cấp III - Đặng Văn Vinh (Biên soạn), Đại Học Bách Khoa Tp.HCM, 2008
I. Đạo hàm riêng và vi phân của f = f(x,y)---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Định lý (điều kiện cần khả vi)
Nếu hàm f = f (x,y) khả vi tại (x0, y0), thì:
1) f liên tục tại (x0, y0),
2) f có các đạo hàm riêng cấp một tại (x0,y0) và ' '
0 0 0 0( , ), ( , ) x y A f x y B f x y= =
Chứng minh.
Định lý (điều kiện đủ)
Nếu hàm f(x,y) xác định trong một lân cận của (x0,y0) và có các đạo hàm riêng
' ', x y f f liên tục tại (x0,y0), thì hàm f(x,y) khả vi tại (x0,y0).
Chứng minh.
I. Đạo hàm riêng và vi phân của f = f(x,y)---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Ghi nhớ
Vi phân cấp 1 của f(x,y) tại (x0,y0): ' '
0 0 0 0 0 0( , ) ( , ) ( , ) x ydf x y f x y dx f x y dy= +
Tính chất của vi phân
Cho f(x,y) và g(x,y) khả vi tại (x0,y0). Khi đó
1) ( ) d f df α α =
2) ( ) d f g df dg+ = +
3) ( ) d fg gdf fdg= +
24) ( )
f gdf fdgd
g g
−=
7/25/2019 Bài giảng Toán cao cấp III - Đặng Văn Vinh (Biên soạn), Đại Học Bách Khoa Tp.HCM, 2008
I. Đạo hàm riêng và vi phân của f = f(x,y)---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Dùng vi phân cấp 1 để tính gần đúng
Cho hàm f(x,y) khả vi tại (x0,y0). Khi đó ta có:
' '0 0 0 0 0 0 0 0( , ) ( , ) ( , ) ( , ) x y f x x y y f x y f x y dx f x y dy x yα β + ∆ + ∆ − = + + ∆ + ∆
' '0 0 0 0 0 0( , ) ( , ) ( , ) ( , ) x y f x y f x y f x y dx f x y dy x yα β + + + ∆ + ∆=
' ' ≈, , , , x y
Công thức (1) dùng để tính gần đúng giá trị của f tại (x,y).
Công thức (1) có thể viết lại: ' '
0 0 0 0 0 0( , ) ( , ) ( , ) ( , ) x y f x y f x y f x y dx f x y dy− ≈ +
hay ta có: f df ∆ ≈
I. Đạo hàm riêng và vi phân của f = f(x,y)---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Qui tắc dùng vi phân cấp 1 để tính gần đúng
Để tính gần đúng giá trị của hàm f tại điểm cho trướ c (x,y). Ta thực hiện
1) Chọn một điểm (x0,y0) gần vớ i điểm (x,y) sao cho f (x0,y0) đượ c tính dễ dàng
2) Tính giá trị ' '
0 0 0 0 0 0, , ( , ), ( , ). x y x x x y y y f x y f x y∆ = − ∆ = −
Chú ý: Nếu điểm (x0,y0) xa vớ i điểm (x,y) thì giá trị tính đượ c không phù hợ p.
' '0 0 0 0 0 0( , ) ( , ) ( , ) ( , ) (1) x y f x y f x y f x y x f x y y+ ∆ + ∆≈
3) Sử dụng công thức:
7/25/2019 Bài giảng Toán cao cấp III - Đặng Văn Vinh (Biên soạn), Đại Học Bách Khoa Tp.HCM, 2008
I. Đạo hàm riêng và vi phân của f = f(x,y)---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Ví dụ
Chứng tỏ f = xe xy khả vi tại (1,0). Sử dụng k ết quả này để tính gần đúng giá
trị
Giải.
(1.1, 0.1) f −
2( , ) ; ( , ) xy xy xy x y f x y e xye f x y x e= + =
Các đạo hàm riêng cấp một liên tục trên R2, nên liên tục trong lân cận của
(1,0). Theo định lý (đk đủ khả vi) f = xe xy khả vi tại (1,0).
' '
(1.1, 0.1) (1, 0) (1, 0) (1, 0) x y f f f x f y− ≈ + ∆ + ∆
Chọn0 01; 0 x y= = 0 1.1 1.0 0.1 x x x⇒ ∆ = − = − =
0 0.1 0 0.1 y y y∆ = − = − − = −
1 1(0.1) 1( .1) 10= + + − =
So sánh vớ i giá trị thực: 0.11
(1.1, 0.1) (1.1 0 9) . 8542 f e−
− = ≈
I. Đạo hàm riêng và vi phân của f = f(x,y)---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Ví dụ
Cho 2 2
( , ) 3 f x y x xy y= + −
1) Tìm ( , )d f x y
2) Khi x thay đổi từ 2 đến 2.05, y thay đổi từ 3 đến 2.96, so sánh df và f ∆
' '. , x y x y x y= , x y x y x x y y= −
2) Cho x0 = 2, y0 = 3 0.05, 0.04, 2.05, 2.96 x y x y⇒ ∆ = ∆ = − = =
(2,3) (2.2 3.3)0.05 (3.2 2.3) 0.6( 0. 504) f d = + + − − =
I. Đạo hàm riêng và vi phân của f = f(x,y)---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Định ngh ĩ a vi phân cấp cao
Cho hàm f = f(x,y) khi đó df(x,y) cũng là một hàm hai biến x, y.
Vi phân (nếu có) của vi phân cấp 1 đượ c gọi là vi phân cấp 2.
2( , ) ( ( , ))d f x y d df x y=
' '( )
x y
d f dx f dy= + ' '
( ) ( ) x y
d f dx d f dy= +
' '( ) ( ) x ydxd f dyd f = +
' ' ' ' ' ' ' '( ) ( ) ( ) ( ) x x x y y x y ydx f dx f dy dy f dx f dy = + + +
'' '' '' '' xx xy yx yy f dxdx f dxdy f dxdy f dydy= + + +
2 '' 2 '' '' 2( , ) 2 xx xy yyd f x y f dx f dxdy f dy=⇔ + +
nn
d f dx dy f x y
∂ ∂ = +
∂ ∂
Một cách hình thức, có công thức tính vi phân cấp n. Sử dụng nhị thức Newton
I. Đạo hàm riêng và vi phân của f = f(x,y)---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Ví dụ
Công thức vi phân cấp 3 của hàm f = f(x,y)
2 33 2
3 3 f dx dy f dx dy f dy f x x y x y y
∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ = + + +
∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂
3
3d f dx dy f x y
∂ ∂ = +
∂ ∂
3 3 2 2 3
3 2 2 33 3d f dx dx dy dxdy dy x x y x y y= + + +∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂4
I. Đạo hàm riêng và vi phân của f = f(x,y)---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Giải.
Ví dụ
Tìm vi phân cấp hai , biết
( , ) xy
f x y e=
' '' 2 '', (1 )
xy xy xy x xx xy f ye f y e f e xy= ⇒ = = +
' ''
2(1,1)d f
. xy xy
y yy f xe f x e= ⇒ =
Vi phân cấp hai
2 '' 2 '' '' 22 xx xy yyd f f dx f dxdy f dy= + +
( )2 2 2 2 2( , ) (1 )2 xyd f x y e y dx xy dxdy x dy= + + +
( )2 2 2(1,1) 4d f e dx dxdy dy= + +
I. Đạo hàm riêng và vi phân của f = f(x,y)---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Giải.
Ví dụ
Tìm vi phân cấp hai , biết
( , ) y
f x y x
=
' '' ''
2 3 2
2 1, x xx xy
y y f f f
x x x
− −= ⇒ = =
2(1,1)d f
' ''
0. y yy f f x= ⇒ =
Vi phân cấp hai
2 '' 2 '' '' 22 xx xy yyd f f dx f dxdy f dy= + +
2 2 2
2 3
4( , ) 0
y yd f x y dx dxdy dy
x x
−= + +
2 2(1,1) 4d f dx dxdy= − +
7/25/2019 Bài giảng Toán cao cấp III - Đặng Văn Vinh (Biên soạn), Đại Học Bách Khoa Tp.HCM, 2008
I. Đạo hàm riêng và vi phân của f = f(x,y)---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Ví dụ
Dùng vi phân cấp 1, tính gần đúng
2 3(1.03) (1.98) A = +
2 3( , ) f x y x y= +Chọn hàm
0 0,= =
0 1.03 1 0.03dx x x x⇒ = ∆ = − = − =
' '0 0( , ) ( , ) x y f f x y f x y df f dx f dy∆ = − ≈ = +
' '(1.03,1.98) (1,2) (1,2).(0.03) (1,2)( 0.02) x y f f f f ≈ + + −
II. Đạo hàm riêng và vi phân của hàm hợ p---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Hàm một biến
' ' '( )( ) ( ) ( )
( )
f f u f x f u u x
u u x
=⇒ = ⋅
=
Hàm hai biến: trườ ng hợ p 1
' ' ' ' ' '( ) f f u== ⋅ = ⋅
( , ) y x y x
y xu u=
Trườ ng hợ p 2.
' ' ' ' '
( , )
( ) ( ) ( ) ( )
( )
u v
f f u v
u u x f x f u x f v x
v v x
=
= ⇒ = ⋅ + ⋅ =
7/25/2019 Bài giảng Toán cao cấp III - Đặng Văn Vinh (Biên soạn), Đại Học Bách Khoa Tp.HCM, 2008
II. Đạo hàm riêng và vi phân của hàm hợ p---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Giải.
Ví dụ
Tìm các đạo hàm riêng của hàm hợ p 2
( ) , sin( )u
f f u e u xy= = =
2' ' '
( ) 2 . cos( )u
x x f f u u ue y xy= ⋅ =
2sin ( )
( , ) xy
f f x y e= =
2sin ( )
2sin( ) . cos( ) xy
xy e y xy=
2' ' '
( ) 2 . cos( )u
y y f f u u ue x xy= ⋅ =2
sin ( )2sin( ) . cos( )
xy xy e x xy=
Giải. ' ' ' ' '( ) ( ) ( )u v
df f x f u x f v x
dx= = ⋅ + ⋅
Ví dụ
Tìm , biết 3 2( , ) ln( ), , sin
x f f u v u v uv u e v x= = + = =
' x f
2 31 13 sin(2 )
xu v e u x
u v
= + + +
II. Đạo hàm riêng và vi phân của hàm hợ p---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Trườ ng hợ p 3
' ' ' ' '
' ' ' ' '
( , )
( , )
( , )
u v
u
x x x
y v y y
f f u v f f u f v
u u x y f f u f v
v v x y
== ⋅ + ⋅
⇒== ⋅ + ⋅ =
f = f (u,v) ' x f
u = u( x,y) v = v( x,y)
x y x y
' y f
7/25/2019 Bài giảng Toán cao cấp III - Đặng Văn Vinh (Biên soạn), Đại Học Bách Khoa Tp.HCM, 2008
II. Đạo hàm riêng và vi phân của hàm hợ p---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Giải.
Ví dụ
Tìm của hàm hợ p 2 2( , ) , ( , ) , ( , )
uv f f u v e u x y x y v x y xy= = = + =
' ' ' ' '.2 .
uv uv x u x v x f f u f v ve x ue y= ⋅ + ⋅ = +
2 2( )
( , ) x y xy
f f x y e +
= =
' ', x y f f
' ' ' ' '.2 .
uv uv y u y v y f f u f v ve y ue x= ⋅ + ⋅ = +
2 2 2 2' ( ) 2 2 ( )
.2 ( ) . x y xy x y xy
x f xye x x y e y+ +
= + +
2 2 2 2' ( ) 2 2 ( )
.2 ( ) . x y xy x y xy
y f xye y x y e x+ +
= + +
II. Đạo hàm riêng và vi phân của hàm hợ p---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Trườ ng hợ p 4
( , )
( )
f f x y
y y x
=
=
f = f (x,y) là một hàm hai biến theo x và y. Khi đó ta có khái niệm đạo
hàm riêng theo x:'
x
f f
x
∂=
∂
Thay y = y(x) vào ta đượ c hàm một biến theo x:
df f dx f dy
dx x dx y dx
∂ ∂= ⋅ + ⋅
∂ ∂
f f dy
x y dx
∂ ∂= + ⋅
∂ ∂
Trong trườ ng hợ p này vừa tồn tại đạo hàm của f theo x như là đạo hàmdf
dx
của hàm một biến x, vừa tồn tại đạo hàm riêng của f theo x. f
x
∂
∂
7/25/2019 Bài giảng Toán cao cấp III - Đặng Văn Vinh (Biên soạn), Đại Học Bách Khoa Tp.HCM, 2008
II. Đạo hàm riêng và vi phân của hàm hợ p---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Ví dụ
Tìm của hàm ( )2 2( , ) , ( ) ln 1
xy f f x y e x y y y x x x= = + = = + +
( )'
2
2 xy xy
x
f
e x y ye xy x
∂
= + = +∂
, f df
x dx
∂
∂
'2 2 xy xy f ∂
y y∂
( )( )'
' 2
2
1( ) ln 1
1
dy y x x x
dx x= = + + =
+
df f f dydx x y dx
∂ ∂= + ⋅∂ ∂
2
212 ( )
1
xy xy ye xy xe x x
= + + + ⋅+
II. Đạo hàm riêng và vi phân của hàm hợ p---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Đạo hàm cấp hai của hàm hợ p
( , )
( , )
( , )
f f u v
u u x y
v v x y
=
= =
' ' ' ' ' x u x v x f f u f v= ⋅ + ⋅ ( ) ( )
' ''' ' ' ' ' '
xx x u x v x x x
f f f u f v= = ⋅ + ⋅
là hàm
hợ p hai biến u,v
'u f
( ) ( )' '' ' ' 'u x v x
x x f u f v= ⋅ + ⋅ ( ) ( ) ( ) ( )' '''' '' ' ' ' ''
x u x x v x x x
u v x x
u f u v f v f f = ⋅ + + ⋅ +
( ) ( ) ( ) ( )'' '
' ' ' '
'' ' '' ' ' ''' ' ''v x v x
u vu x u x
u v x u xx x v xxu f f u f u f vv u f v f v
= ⋅ + ⋅ + ⋅ ⋅ + ⋅
+
⋅⋅ + ⋅
( ) ( )2 2
'' ' '' ' ' ' '' '' ' ' '' ' ' ''uu x uv x x u xx vu x x vv x v xx f u f v u f u f v u f v f v= ⋅ + ⋅ ⋅ + ⋅ + ⋅ ⋅ + ⋅ + ⋅
7/25/2019 Bài giảng Toán cao cấp III - Đặng Văn Vinh (Biên soạn), Đại Học Bách Khoa Tp.HCM, 2008
II. Đạo hàm riêng và vi phân của hàm hợ p---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Ví dụ
Tìm của hàm hợ p 2 2( , ) 2 , ( , ) , ( , ) 3 f f u v u v u x y xy v x y x y= = + = = +
' ' ' ' ' 22 . 2.1 x u x v x f f u f v u y= ⋅ + ⋅ = +
'' xy f
( ) ( )' '
'' ' 22 . 2 xy x
y y
f f u y⇒ = = +
( )'
'' 2 ' 22 . 2 . 2 .2 xy y
y f u y u y u y= = +
Tìm của hàm hợ p 2( , ) , ( , ) , ( , ) 2
uv f f u v e u x y xy y v x y x y= = = + = +''
xy f
' ' ' ' '. .2
uv uv x u x v x f f u f v ve y ue= ⋅ + ⋅ = + ( )
'''
. .2uv uv
xy y
f ve y ue⇒ = +
( ) ( )' '
. . 2( 2 ) 2uv uvuv uv y
v y
ue y v y ve x ye ee u= + + + + +
( ) ( ) ( )' '
' ''
. .uv uv
y yu v
uv
ye u ee v= + .( 2 ) .1
uv uvve x y ue= + +
II. Đạo hàm riêng và vi phân của hàm hợ p---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Đạo hàm cấp hai của hàm hợ p
( )
( , )
f f u
u u x y
=
=
' ' '( ) x x f f u u= ⋅
( ) ( )' '
'' ' ' '( ) xx x x
x x f f f u u= = ⋅ ( ) ( )
''
'' ' '
)) (( x x x x
u f u f u u= ⋅ + ⋅
là hàm
hợ p một biến u
'( ) f u
( )'
' ' ' ' ''( ) ( ) ( ) x xx x u f u f uu u u = ⋅ + ⋅ ⋅ ( )2
'' ' ' ''( ) ( ) x xx f u u f u u= ⋅ + ⋅
( ) ( )' '
'' ' ' '( ) xy x x
y y f f f u u= = ⋅ ( ) ( )
''
'' ' '
)) (( x x y y
u f u f u u= ⋅ + ⋅
( )'
' ' ' ' ''( ) ( ) ( ) x xy y u f u f uu u u
= ⋅ + ⋅
⋅ '' ' ' ' ''
( ) ( ) x y xy f u u u f u u= ⋅ ⋅ + ⋅
7/25/2019 Bài giảng Toán cao cấp III - Đặng Văn Vinh (Biên soạn), Đại Học Bách Khoa Tp.HCM, 2008
II. Đạo hàm riêng và vi phân của hàm hợ p---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Ví dụ
Tìm của hàm hợ p 2( ) ln , ( , )
y f f u u u x y xy e= = = +
' ' ' 21( ) . x x f f u u y
u
= ⋅ =
'' xy f
( )
''
'' ' 21. xy x
y y
f f y
u
⇒ = =
''' 21 1
. .2 xy f y y
= + 2
2
1 1(2 ). .2
y xy e y y= − + +
y
Ví dụ
Tìm của hàm hợ p 2( )
y f f x e= +
'' xy f
' ' ' '( ) ( ).2
x x
f f u u f u x⇒ = ⋅ =2
( , ) y
u x y x e= +Đặt
( )'
'' '( ).2 xy
y f f u x=
''2 . ( ).
y x f u e=
II. Đạo hàm riêng và vi phân của hàm hợ p---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Vi phân cấp một của hàm hợ p
( , )
( , )
( , )
f f u v
u u x y
v v x y
=
= =
' ' ' ' ' ' ' ' ' '
u, v là hai biến hàm, x và y là hai biến độc lập.
Khi thay u(x,y), v(x,y) vào ta đượ c hàm f theo hai biến
x, y độc lập.
x y x y= ⋅u x v x u y v yu v x u v y= ⋅ ⋅ ⋅ ⋅
( ) ( )' ' ' ' ' 'u x y v x y f u dx u dy f v dx v dy= + + +
' 'u v f du f dv= +
' ' (1)u vdf f du f dv= +
' ' (2) x ydf f dx f dy= +
Tùy theo bài toán mà ta dùng công thức (1) hoặc
(2). Thườ ng dùng công thức số (1)
Hai công thức giống nhau. Trong (1) là biến hàm, trong (2) là biến độc lập.
Nên ta nói: vi phân cấp một có tính bất biến.
7/25/2019 Bài giảng Toán cao cấp III - Đặng Văn Vinh (Biên soạn), Đại Học Bách Khoa Tp.HCM, 2008
II. Đạo hàm riêng và vi phân của hàm hợ p---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Ví dụ
Tìm của hàm hợ p 2( , ) , ( , ) ; ( , ) 2 3
uv f f u v e u x y xy v x y x y= = = = +
' 'u vdf f du f dv= +
df
Ví dụ
22du y dx xydy= + 2 3dv dx dy= +
2( 2 ) (2 3 )
uv uvdf ve y dx xydy ue dx dy= + + +
2( 2 ) (2 3 )
uv uve vy u dx e vxy u dy= + + +
Tìm của hàm hợ p 1
( ) , ( , ) ln( 2 ) f f u u x y x yu
= = = +df
( )' '
2
1 x yu dx u dy
u= − +
'( )df f u du=
2
1 1 2
2 2dx dy
x y x yu
= − +
+ +
Chú ý: Trong hai ví dụ này ta đều có thể dùng ' '
x ydf f dx f dy= +
nhưng việc tính toán phức tạp hơ n.
II. Đạo hàm riêng và vi phân của hàm hợ p---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Ví dụ
Tìm của hàm hợ p 2( 2 , )
xy f f x y e= +df
Đặt 2
2 ; xy
u x y v e= + =
Ta có 2
( , ); ( , ) 2 , ( , ) xy
f f u v u x y x y v x y e= = + =
' 'u vdf f du f dv= +
2 2du xdx dy= + xy xy
dv ye dx xe dy= +
' '(2 2 ) ( )
xy xyu vdf f xdx dy f ye dx xe dy= + + +
Chú ý: Có thể dùng ' ' x ydf f dx f dy= +
7/25/2019 Bài giảng Toán cao cấp III - Đặng Văn Vinh (Biên soạn), Đại Học Bách Khoa Tp.HCM, 2008
II. Đạo hàm riêng và vi phân của hàm hợ p---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Vi phân cấp hai của hàm hợ p
( , )
( , )
( , )
f f u v
u u x y
v v x y
=
= =
2( )d f d df =
Chú ý ở đây u, v là biến hàm nên du, dv không là hằng số
' '( )u vd f du f dv= +
( ) ( )' 'u vd f du d f dv= +
( ) ( )u u v vd f d f du f d du d f dv f d dv= ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅
là những hàm hợ p hai biến' ',u v f f
( ) ( ) ( )' '
' ' 'u u u
u vd f f du f dv= + ( ) ( ) ( )
' '' ' '
v v vu v
d f f du f dv= +
( ) ( )2 2,d du d u d dv d v= =
Vi phân cấp hai không còn tính bất biến.
II. Đạo hàm riêng và vi phân của hàm hợ p---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Vi phân cấp hai của hàm hợ p
( )
( , )
f f u
u u x y
=
=
2( )d f d df = '
( ( ) )d f u du=
( ) ( )' '( ) ( )d f u du f u d du= ⋅ + ⋅
( )'
2 ' ' 2( ) ( ) ( )d f f u u du du f u d u= ⋅ ⋅ +
'' 2 ' 2( ) ( ) f u du f u d u= ⋅ +
Tóm lại:
Để tìm đạo hàm riêng (vi phân) cấp hai của hàm hợ p ta lấy đạo hàm (vi
phân) của đạo hàm (vi phân) cấp một và phải biết phân biệt là hàm hợ p mấy
biến.
7/25/2019 Bài giảng Toán cao cấp III - Đặng Văn Vinh (Biên soạn), Đại Học Bách Khoa Tp.HCM, 2008
II. Đạo hàm riêng và vi phân của hàm hợ p---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Ví dụ
Tìm của hàm hợ p2 2 2
( , ) 2 ; ( , ) 2 ; ( , ) f f u v u v u x y xy x v x y x y= = + = + = +
2d f
' 'vudu f d v f d f = + [ ] [ ]( 2) 2 22 2 y dx xdy xdx yv dy++ + +=
y x x y v x x y y= = + + + +
( )[ ] ( )[ ]22 ( 2) 2 2 2d f d y dx xdy d v xdx ydy= + + + +
( ) ( ) ( )22 ( 2) ) 2 ( 2 2 2 2 2 2d f d y dx d xdy xdx ydy dv vd xdx ydy= + + + + + +
(( 2) )d y dx• + ( )d xdy•
( )2 2d xdx ydy• + (2 ) (2 )d xdx d ydy= + 2 2
2 2dx dy= +
( 2)dxd y= + dxdy= dxdy=
II. Đạo hàm riêng và vi phân của hàm hợ p---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
'
Ví dụ
Tìm của hàm hợ p 2( 3 ) f f x y= +2d f
Đặt 2
3u x y= +
Ta có 2
( ); ( , ) 3 f f u u x y x y= = +
'u u=
2 '( ) ( ( )(2 3 ))d f d df d f u xdx dy= = +
u x x y= +
2 ' '(2 3 ) ( ( )) ( ) (2 3 )d f xdx dy d f u f u d xdx dy= + ⋅ + ⋅ +
III. Đạo hàm riêng và vi phân của hàm ẩn---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Giả sử phươ ng trình xác định một hàm ẩn( , ) 0F x y = ( ) y y x=
sao cho vớ i mọi x thuộc miền xác định của f .( , ( )) 0F x y x =
Sử dụng công thức tính đạo hàm của hàm hợ p:
F dx F dy∂ ∂ F F dy∂ ∂
x dx y dx⋅ ⋅ =
∂ ∂ x y dx⋅ =
∂ ∂
'
'
/
/
x
y
F dy F x
dx F y F
∂ ∂= − = −
∂ ∂
II. Đạo hàm riêng và vi phân của hàm ẩn---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Ví dụ
Tìm biết y = y(x) là hàm ẩn xác định từ phươ ng trình
2 2 xy xy x y e+ + =
'( ) y x
Cách 1. Đạo hàm hai vế phươ ng trình, chú ý y là hàm theo x.
' ' '2 2 ( )
xy y x y x y y e y x y+ ⋅ + + ⋅ = + ⋅ ' 2
( ) xy
ye x y y x
− −⇒ =
x y xe+ −
Cách 2. Sử dụng công thức. Chú ý ở đây sử dụng đạo hàm riêng!
2 2( , ) 0
xyF x y xy x y e= + + − ≡
' '2 ; 2
xy xy
x yF y x ye F x y xe= + − = + −
'
'
'
2( )
2
xy
x
xy
y
F y x ye y x
F x y xe
+ −⇒ = − = −
+ −
Chú ý. Cần phân biệt đạo hàm theo x ở hai cách. Cách 1, đạo hàm hai vế coi y
là hàm theo x. Cách 2, đạo hàm riêng của F theo x, coi y là hằng.
7/25/2019 Bài giảng Toán cao cấp III - Đặng Văn Vinh (Biên soạn), Đại Học Bách Khoa Tp.HCM, 2008
III. Đạo hàm riêng và vi phân của hàm ẩn---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Giả sử phươ ng trình xác định một hàm ẩn .( , , ) 0F x y z = ( , ) z z x y=
sao cho vớ i mọi ( x,y) thuộc miền xác định của z.( , , ( , )) 0F x y z x y =
Sử dụng công thức tính đạo hàm của hàm hợ p, chú ý x, y là hai biến độc lập, z
là hàm theo x, y
F dx F z∂ ∂ ∂ F F z∂ ∂ ∂
x dx z x⋅ + ⋅ =
∂ ∂ ∂ x z x⇔ + ⋅ =
∂ ∂ ∂
'
'
/
/
x
z
F F x
F z
z
F x−
∂ ∂ ∂= − =
∂ ∂ ∂
'
'
/
/
y
z
F F y
F z
z
F y−
∂ ∂ ∂= − =
∂ ∂ ∂
II. Đạo hàm riêng và vi phân của hàm ẩn---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Ví dụ
Tìm , biết z = z(x,y) là hàm ẩn xác định từ phươ ng trình
z x y x y z e
− −+ − =
' x z
Cách 1. Đạo hàm hai vế phươ ng trình theo x, chú ý y là hằng, z là hàm theo x.
' '1 ( 1)
z x y x x z e z
− −− = − ' 1
1 z x y
x
e z
− −
− −
+⇒ = =
e − −+
Cách 2. Sử dụng công thức. Chú ý ở đây x là biến, y và z là hằng!
( , , ) 0 z x y
F x y z x y z e − −
= + − − ≡
' '1 ; 1
z x y z x y
x zF e F e
− − − −= + = − −
'
'
'
11
1
z x y
x
x z x y
z
F e z
F e
− −
− −
+⇒ = − = − =
− −
Tươ ng tự tìm đạo hàm riêng của z theo y.
7/25/2019 Bài giảng Toán cao cấp III - Đặng Văn Vinh (Biên soạn), Đại Học Bách Khoa Tp.HCM, 2008
III. Đạo hàm riêng và vi phân của hàm ẩn--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Định lý (về hàm ẩn) .
Cho hàm thỏa các điều kiện sau:( , )F x y
2)0 0
(( , )) 0F x y =
1) Xác định, liên tục trong hình tròn mở tâm bán kính0 0 0
( , ) M x y r 0
( , ) B M r
F F ∂ ∂
3) 0 0( , ) 0F x y y
∂ ≠∂
, x y∂ ∂
0,
Khi đó xác định trong lân cận U của một hàm thỏa( , ) 0F x y = 0 x ( ) y y x=
và trong U . Ngoài ra y = y( x) khả vi, liên tục trong U 0 0
( ) y y x= ( , ( )) 0F x y x =
'
'
/
/
x
y
F dy F x
dx F y F
∂ ∂= − = −
∂ ∂
Chứng minh.
III. Đạo hàm riêng và vi phân của hàm ẩn---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Đạo hàm riêng cấp hai của hàm ẩn: z = z(x,y)
1) Tìm đạo hàm riêng cấp 1 (bằng 1 trong hai cách)
2) . Chú ý: x là hằng, y là biến, z là hàm theo y.( )'
'''' '
'
x
xy x y z y
F z z
F
= = −
Vi phân cấp 1 của hàm ẩn: z = z(x,y): ' '
x ydz z dx z dy= +
Chú ý. Vì z = z(x,y) là hàm hai biến độc lập x và y. Nên vi phân cấp một,
cấp hai hoặc cấp cao của hàm ẩn cũng giống như vi phân cấp 1 và cấp hai
của hàm f = f(x,y) trong phần I.
Vi phân cấp 2 của hàm ẩn: z = z(x,y)
2 '' 2 '' '' 22
xx xy yyd z z dx z dxdy z dy= + +
7/25/2019 Bài giảng Toán cao cấp III - Đặng Văn Vinh (Biên soạn), Đại Học Bách Khoa Tp.HCM, 2008
II. Đạo hàm riêng và vi phân của hàm ẩn---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Ví dụ
Tìm , biết z = z(x,y) là hàm ẩn xác định từ phươ ng trình
3 3 32 3 2 3 0, (1,1) 2. x y z xyz y z+ + − + − = = −
(1,1)dz
3 3 3( , , ) 2 3 2 3 0F x y z x y z xyz y= + + − + − ≡
' 2 ' 2 ' 2
x x yz= − y
= − z
z xy= −
' 2 2
'
' 2 2
3 3
3 3
x
x
z
F x yz yz x z
F z xy z xy
− −= − = − =
− −
' 1.( 2) 1.1(1,1) 1
4 1 x
z − −
⇒ = = −−
' 2
'
' 2
6 3 2
3 3
y
y z
F y xz z
F z xy
− += − = −
−
' 14(1,1)
9 y
z⇒ = −
Vi phân cấp 1: ' ' 14
9 x y
dz z dx z dy dx dy= + = − −
II. Đạo hàm riêng và vi phân của hàm ẩn---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Ví dụ
Tìm , biết z = z(x,y) là hàm ẩn xác định từ phươ ng trình
2 2 2 x y z x y z e
+ ++ + =
'' xy z
2 2 2( , , ) 0
x y zF x y z x y z e + +
= + + − ≡
' 2 2 22 2
x y z
xF x e x x y z+ +
= − = − − − ' 2 2 2
2 2 x y z
zF z e z x y z+ +
= − = − − −
' 2 2 2
'
' 2 2 2
2
2
x
x
z
F x x y z z
F x y z z
− − −= − =
+ + −
'2 2 2
''
2 2 2
2
2 xy
y
x x y z z
x y z z
− − − =
+ + −
Đạo hàm theo y, coi x là hằng,
y là biến, z là hàm theo y!
( )
' ' '
22 2 2
( 2 2 ) (2 2 2 )
2
maãu töû y y y
y z z y z z z
x y z z
− − ⋅ ⋅ − ⋅ + ⋅ − ⋅=
+ + −
7/25/2019 Bài giảng Toán cao cấp III - Đặng Văn Vinh (Biên soạn), Đại Học Bách Khoa Tp.HCM, 2008
II. Đạo hàm riêng và vi phân của hàm ẩn---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Ví dụ
Tìm , biết z = z(x,y) là hàm ẩn xác định từ phươ ng trình
2 22 3 xyz x y z+ + = −
2 2( , , ) 2 3 0F x y z xyz x y z= + + − + ≡
'2
xF yz x= +
'2F xz y= +
'2
zF xy= −
2 z
x y
∂
∂ ∂
'
'
'
2 2
2 2
x
x
z
F yz x yz x z
F xy xy
+ += − = − =
− −
' ''
''
'
2
2
x
xy
z y y
F yz x z
F xy
+ = − =
−
Coi x là hằng, y là biến,
z là hàm theo y
( )
( )
'
2
( ) 2 ( 2 ) ( )
2
y z yz xy yz x x
xy
+ ⋅ − − + ⋅ −=
−
II. Bài tập---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
7/25/2019 Bài giảng Toán cao cấp III - Đặng Văn Vinh (Biên soạn), Đại Học Bách Khoa Tp.HCM, 2008
IV. Đạo hàm theo hướ ng, véctơ Gradient---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
có đạo hàm riêng đến cấp n + 1 trong một lân cận của
IV. Đạo hàm theo hướ ng, véctơ Gradient---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
f = f ( x,y)
1 2( , )u u u=
( , ) M x y•
Véctơ đơ n vị cùng phươ ng u
( )0 1 2,u
l l lu
= =
( )0 cos , cosl α β =
là góc tạo bở i và chiều dươ ng
tr c 0x và 0 tươ n ứn .
u
,α β
oy
α β
0 0 0, M x y•
Phươ ng trình tham số của tia 0 : M M 0
0
cos0
cos
x x t t
y y t
α
β
= +≥
= +
Đạo hàm của hàm f theo hướ ng véctơ tại điểm là giớ i hạn (nếu có)u
0 M
'0( )
u f M
ox•
0( ) f
M u
∂=
∂
0
0
0
( ) ( )lim
M M
f M f M
MM →
−=
7/25/2019 Bài giảng Toán cao cấp III - Đặng Văn Vinh (Biên soạn), Đại Học Bách Khoa Tp.HCM, 2008
IV. Đạo hàm theo hướ ng, véctơ Gradient---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Đây chính là đạo hàm của hàm f theo biến t
2 20 0 0( ) ( ) M M x x y y t = − + − =
' 0 00
0
( , ) ( , )( ) lim
ut
f x y f x y f M
t +→
−=
' 0 0 0 00
0
( cos , cos ) ( , )( ) lim
u
t
f x t y t f x y f M
t
α β +
→
+ + −=
' '0( ) t u
f M f =
' ' ' ' x t y t f x f y= ⋅ + ⋅
' '0 0 0 0( , ) cos ( , ) cos x y f x y f x yα β = ⋅ + ⋅
( ) ( )( )' '0 0
'00 0 0( , ), cos ,c( , ) ,) s, o( xu y f x y f x y f x y α β =
( )' '0 0 0 0 0 0( , ) ( , ), ( , )grad x y f x y f x y f x y=
véctơ gradient của f tại M0
Tích vô hướ ng của véctơ gradient tại M0 vớ i véctơ đơ n vị.( )'
0 0 0 0( ) ( , ),gradu
f M f x y l=
IV. Đạo hàm theo hướ ng, véctơ Gradient---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
' ' ' '0 0 0 0( ) ( ) cos ( ) cos ( ) cos x y zu
f M f M f M f M α β γ = ⋅ + ⋅ + ⋅
( )'0 0 0 0 0( ) ( , , ),grad
u f M f x y z l=
Tươ ng tự, ta có định ngh ĩ a đạo hàm của f=f (x,y,z) tại M0 theo hướ ng u
u
Trong đó: véctơ đơ n vị cùng phươ ng vớ i là: ( )0 , ,os os osl c c cα β γ =
là các góc tạo bở i và chiều dươ ng trục 0x, 0y và 0z tươ ng ứng.u
, ,α β γ
Véctơ Gradient của f (x,y,z) tại M0 là: ( )' ' '0 0 0 0( ) ( ), ( ), ( )grad x y z f M f M f M f M =
7/25/2019 Bài giảng Toán cao cấp III - Đặng Văn Vinh (Biên soạn), Đại Học Bách Khoa Tp.HCM, 2008
IV. Đạo hàm theo hướ ng, véctơ Gradient---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Ví dụ.
Tìm đạo hàm của tại điểm M0(1,1)2 4 5
( , ) 3 f x y xy x y= −
(1, 2)u = −
theo hướ ng của véctơ
Giải.
0
1 2,l
= −
Véctơ đơ n vị cùng phươ ng vớ i là:u
( ),os osc cα β =
' 2 3 512 x f y x y= −
' 4 42 15 y f xy x y= −
'(1,1) 11 x f ⇒ = −
'(1,1) 13 y f ⇒ = −
' ' '(1,1) (1,1) (1,1)os os x yu
f f c f cα β = ⋅ + ⋅
11 263 5
5 5= − + =
IV. Đạo hàm theo hướ ng, véctơ Gradient---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Ví dụ.
Tìm đạo hàm của tại điểm M0(1,2)3 2
( , ) 3 4 f x y x xy y= − +
theo hướ ng của véctơ tạo vớ i chiều dươ ng trục 0x một góc 300.
Giải.0l =
Véctơ đơ n vị là: ( ),os osc cα β
' 23 3 x f x y= −
'3 8 y f x y= − +
'(1,2) 3 x f ⇒ = −
'(1,2) 13 y f ⇒ =
0
' ' '(1,2) (1,2) (1,2)os os x yl
f f c f cα β = ⋅ + ⋅
3 3 13
2 2= − +
0 cos ,cos ,
6 3 2 2l⇒ = =
,
6 2 6 3
α β = = − =
7/25/2019 Bài giảng Toán cao cấp III - Đặng Văn Vinh (Biên soạn), Đại Học Bách Khoa Tp.HCM, 2008
IV. Đạo hàm theo hướ ng, véctơ Gradient---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Ví dụ.
Tìm đạo hàm của tại điểm( , ) arctg y
f x y x
=
theo hướ ng pháp véctơ của đườ ng tròn x2 + y2 = 2x tại M0.
Giải.
0
1 3,
2 2 M
=
2 2( , ) 2 0F x y x y x= + − = ( ) ( )' '
, 2 2,2 x yn F F x y⇒ = = −
( 1, 3)= −
'
2 2 x
y f
x y= −
+
'
2 2 y
x f
x y
=
+
'0
3( )
2 x f M ⇒ = −
'0
1( )
2 y f M ⇒ =
0
' ' '0 0 0( ) ( ) ( )os os x yl
f M f M c f M cα β = ⋅ + ⋅
0l =
Véctơ đơ n vị là: ,2 2
−
3
2=
IV. Đạo hàm theo hướ ng, véctơ Gradient---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Ví dụ.
Tìm đạo hàm của tại điểm M0(3,3,1)3 2 2
( , , ) 2 3 f x y z x xy yz= + +
theo hướ ng của véctơ l=(2,1,2).
Giải.0l =
Véctơ đơ n vị là: 2 1 2
, ,3 3 3
(cos ,cos ,cos )α β γ =
3 2 x
f x y= +
' 24 3 y f xy z= +
(3,3,1) 45 x
f ⇒ =
'(3,3,1) 39 y f ⇒ =
' ' ' '0 0 0 0( ) ( ) ( ) ( )os os os x y zl
f M f M c f M c f M cα β γ = ⋅ + ⋅ + ⋅
'6 z f yz=
'(3,3,1) 18 z f ⇒ =
55=
7/25/2019 Bài giảng Toán cao cấp III - Đặng Văn Vinh (Biên soạn), Đại Học Bách Khoa Tp.HCM, 2008
IV. Đạo hàm theo hướ ng, véctơ Gradient---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Ví dụ.
Tìm đạo hàm của tại điểm M0(1,2,-1)2
( , , ) 3 4 f x y z x yz= − +
theo hướ ng của véctơ tạo vớ i các trục tọa độ những góc nhọn bằng nhau.
Giải. 0l =
Véctơ đơ n vị là: (cos ,cos ,cos )α β γ
2 2 2= 2 1
'2 x f x=
'3 y f z= −
'(1,2, 1) 2 x f ⇒ − =
'(1,2, 1) 3 y f ⇒ − =
' ' ' '0 0 0 0( ) ( ) ( ) ( )os os os x y zl
f M f M c f M c f M cα β γ = ⋅ + ⋅ + ⋅
'
3 z f y= −
'
(1,2, 1) 6 z f ⇒ − = −
3
3= −
3
IV. Đạo hàm theo hướ ng, véctơ Gradient---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Chú ý. Cho hàm f=f (x,y,z).
Đạo hàm của f tại M0 theo hướ ng của véctơ (1,0,0) là:
' ' ' '0 0 0 0( ) ( ) cos ( ) cos ( ) cos x y zi
f M f M f M f M α β γ = ⋅ + ⋅ + ⋅ '
0( ) x f M =
Nếu đạo hàm riêng theo x không tồn tại, thì đạo hàm theo hướ ng vẫn có thể có.
, , 0 ,
đạo hàm riêng theo x tồn tại.
(vì theo định ngh ĩ a, đạo hàm theo hướ ng là giớ i hạn một phía)
7/25/2019 Bài giảng Toán cao cấp III - Đặng Văn Vinh (Biên soạn), Đại Học Bách Khoa Tp.HCM, 2008
IV. Đạo hàm theo hướ ng, véctơ Gradient---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Ví dụ.
Tìm đạo hàm của tại điểm M0(0,1, 1)( , , ) | | 2 f x y z x yz= +
theo hướ ng của véctơ (1,0,0).
Giải.0l =
Véctơ đơ n vị là: ( )1,0,0
Không tồn tại đạo hàm riêng theo x tại M0.
Tìm đạo hàm của f theo hướ ng của véctơ (1,0,0) bằng định ngh ĩ a
' 0 0 0 0 0 0
0
( cos , cos , cos ) ( , , )(0,1,1) lim
it
f x t y t z t f x y z f
t
α β γ +
→
+ + + −=
'0
( ,1,1) (0,1,1)(0,1,1) limi
t
f t f f t +
→
−
=
0
| | 2 2lim
t
t
t +→
+ −
=0
| |lim
t
t
t +→
=0
lim 1t
t
t +→
= =
Lý do: trong định ngh ĩ a đạo hàm theo hướ ng, M dần đến bên phải của M0.
IV. Đạo hàm theo hướ ng, véctơ Gradient---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
( )'0 0 0( ) ( ),grad
u f M f M l=
Theo công thức tính đạo hàm đạo hàm theo hướ ng:
0 0 0( ) ( )grad grad f M l f M ≤ ⋅ =
0 0( ) cosgrad f M l θ = ⋅ ⋅
ạo m c a ạ 0 ạ g r n n eo ư ng c a v c ơ 0
Giá trị lớ n nhất của đạo hàm theo hướ ng bằng: 0 0( , )grad f x y
Đạo hàm của f tại M0 đạt giá trị nhỏ nhất theo hướ ng ngượ c vớ i 0( )grad f M
Giá trị nhỏ nhất của đạo hàm theo hướ ng bằng: 0 0( , )grad f x y−
7/25/2019 Bài giảng Toán cao cấp III - Đặng Văn Vinh (Biên soạn), Đại Học Bách Khoa Tp.HCM, 2008
IV. Đạo hàm theo hướ ng, véctơ Gradient---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Ví dụ.
Cho hàm và một điểm2 3
( , , ) 2 f x y z xyz xy yz= + +
1) Tìm hướ ng mà đạo hàm của f theo hướ ng đó tại M0 đạt giá trị lớ n nhất.
( )0 1,1,2 M =
Tìm giá trị lớ n nhất này.
2) Tìm hướ ng mà đạo hàm của f theo hướ ng đó tại M0 đạt giá trị nhỏ nhất.
Giải.
.
1) Hướ ng cần tìm là hướ ng của véctơ gradf (M0)
( )' ' '0 0 0 0( ) ( ), ( ), ( )grad x y z f M f M f M f M =
Giá trị lớ n nhất bằng độ lớ n véctơ gradf (M0): 0
'( ) 0| ( ) |grad grad f M f f M =
2) Hướ ng cần tìm là ngượ c hướ ng của véctơ gradf (M0)
IV. Đạo hàm theo hướ ng, véctơ Gradient---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Ví dụ.
Cho hàm và một điểm( , ) ln( ) f x y xyz=
1) Tìm giá trị lớ n nhất của đạo hàm theo hướ ng của f tại M0.
Giải.
( )0 1, 2, 3 M = − −
2) Tìm giá trị nhỏ nhất của đạo hàm theo hướ ng của f tại M0.
1) Đạo hàm theo hướ ng của hàm f tại M0 là một hàm phụ thuộc vào
hướ ng của véctơ l =(l1, l2,l3).
Giá trị lớ n nhất của đạo hàm theo hướ ng bằng độ lớ n véctơ gradf (M0)
Giá trị lớ n nhất đạt đượ c khi lấy đạo hàm theo hướ ng của véctơ gradf (M0)
7/25/2019 Bài giảng Toán cao cấp III - Đặng Văn Vinh (Biên soạn), Đại Học Bách Khoa Tp.HCM, 2008
IV. Đạo hàm theo hướ ng, véctơ Gradient---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Ví dụ.
Cho hàm và một điểm2( , ) sin( ) f x y x xy= +
Tìm hướ ng mà đạo hàm của f theo hướ ng đó tại M0 có giá trị bằng 1
( )0 1,0 M =
Giả sử hướ ng cần tìm là hướ ng của véctơ đơ n vị: 2 2
0 ( , ), 1l a b a b= + =
' ' '
0 0 0 0l x ya= ⋅ ⋅
'2 cos( ) x f x y xy= +
'cos( ) y f x xy='
0( ) 2 x f M ⇒ = '
0( ) 1 y f M ⇒ =
0
'0( ) 2 1l f M a b= + =
0 4 / 5;
1 3/5
a a
b b
= =
= = −
Vậy có hai hướ ng:
0 (0,1)l = hoặc 0 (4/5, 3/ 5)l = −
điểm đó là theo hướ ng của véctơ .
IV. Đạo hàm theo hướ ng, véctơ Gradient---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Ví dụ.
Cho hàm 2 2( , ) 2 4 . f x y x y x y= + − −
Tìm tất cả các điểm mà tốc độ thay đổi nhanh nhất của hàm f tại những
i j+
Giả sử điểm cần tìm là M(a,b)
Tốc độ thay đổi nhanh nhất của f tại M là theo hướ ng của véctơ gradf(M)( )' '
( ) ( , ), ( , )grad x y f M f a b f a b=
(2 2,2 4)a b= − −
(2 2,2 4) (1,1), 0a b t t − − = >
Theo đề: grad f (M) cùng hướ ng vớ i véctơ i + j = (1,0) + (0,1) = (1,1)
1 / 2 1, 0
2 / 2 2
a t a ss
b t b s
= + = + ⇔ ⇔ >
= + = +
Tập hợ p các điểm là nửa đườ ng thẳng.
7/25/2019 Bài giảng Toán cao cấp III - Đặng Văn Vinh (Biên soạn), Đại Học Bách Khoa Tp.HCM, 2008
1) Tìm tốc độ thay đổi của nhiệt độ tại điểm P(2,-1,2) theo hướ ng đến
IV. Đạo hàm theo hướ ng, véctơ Gradient---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Ví dụ.
Nhiệt độ T tại một điểm (x,y,z) đượ c cho bở i công thức
2 2 23 9
( , , ) 200 x y zT x y z e
− − −= ⋅
T tính bằng 0C; x, y, z tính bằng mét.
m ,- , .
2) Tìm hướ ng mà nhiệt độ thay đổi nhanh nhất tại điểm P(2,-1,2).
3) Tìm giá trị lớ n nhất của tốc độ thay đổi tại điểm P(2,-1,2).
IV. Đạo hàm theo hướ ng, véctơ Gradient---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
0 0 0( , , )grad f x y z
Mặt phẳng tiếp diện
Mặt cong S có ptrình: F(x,y,z) = 0
một m t uộc
Phươ ng trình mặt phẳng
tiếp diện tại P vớ i S:
' ' '0 0 0( )( ) ( )( ) ( )( ) 0 x y zF P x x F P y y F P z z− + − + − =
Pháp véctơ của mặt phẳng tiếp diện chính là vectơ grad f (P)
7/25/2019 Bài giảng Toán cao cấp III - Đặng Văn Vinh (Biên soạn), Đại Học Bách Khoa Tp.HCM, 2008
Viết phươ ng trình mặt tiếp diện và phươ ng trình của pháp tuyến vớ i mặt2 2
23
4 9
x z y+ + = tại điểm P(-2, 1, -3).
2 22
( , , ) 3 0
4 9
x zF x y z y= + + − =
' ' ' 2; 2 ;
2 9 x y z
x zF F y F = = =
Phươ ng trình mặt tiếp diện
21( 2) 2( 1) ( 3) 0
3 x y z− + + − − + =
3 6 2 18 0 x y z− + + =
Phươ ng trình pháp tuyến qua P và có VTCP (-1, 2, -2/3): 2 1 3
1 2 2 / 3
x y z+ − += =
− −
V. Công thứ c Taylor, Maclaurint---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Cho hàm có các đạo hàm riêng đến cấp n + 1 trong lân cận V( , ) f f x y=
của điểm .( )0 0 0, M x y=
k n d
Công thức Taylor của f đến cấp n tại điểm M0 là
0 0 0 0 0 0
1
, , , , ,
!
n
k
x y x x y y x y x y x y
k =
= + + = + +
trong đó là phần dư cấp n.( , )n R x y∆ ∆
Khai triển Taylor tại điểm M0(0,0) đượ c gọi là khai triển Maclaurint
7/25/2019 Bài giảng Toán cao cấp III - Đặng Văn Vinh (Biên soạn), Đại Học Bách Khoa Tp.HCM, 2008
V. Công thứ c Taylor, Maclaurint---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Có hai cách thườ ng dùng để biễu diễn phần dư:
1) Nếu cần đánh giá phần dư, thì sử dụng phần dư ở dạng Lagrange:
10 0
1( , ) ( , )( 1)!
nn R x y d f x x x yn θ θ
+
∆ ∆ = + ⋅ ∆ + ⋅ ∆+
trong đó 0 1θ < <
2) Nếu không quan tâm phần dư, thì sử dụng phần dư ở dạng Peano:
( , ) ( )n
n R x y o ρ ∆ ∆ =
trong đó 2 20 0( ) ( ) x x y y ρ = − + −
V. Công thứ c Taylor, Maclaurint---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Ứ ng dụng khai triển Taylor
1) Xấp x ĩ hàm đã cho vớ i một đa thức (một hoặc nhiều biến) trong lân cận
một điểm cho trướ c.
2) tính đạo hàm cấp cao của f tại một điểm cho trướ c.
3) Tính giớ i hạn của hàm số (giớ i hạn kép nếu hàm 2 biến)
4) Tính gần đúng vớ i sai số cho trướ c (vi phân cấp một không làm đượ c điều
này).
7/25/2019 Bài giảng Toán cao cấp III - Đặng Văn Vinh (Biên soạn), Đại Học Bách Khoa Tp.HCM, 2008
V. Công thứ c Taylor, Maclaurint---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Ví dụ.
Cho hàm và một điểm2( , ) 2 f x y x xy= +
Tìm công thức Taylor của f tại M0 đến cấp hai.
( )0 1,2 M =
2 2(1,2)( , ) (1,2) ( )1!
(1,2)2!
df f x f o f y d ρ = + + +
' ', ,
( , ) (1, 2)1!
x y f x y f
x y− + −= + +
'' 2 '' '
2
' 2(1,2)( 1) 2 (1,2)( 1)(
( )2) (1, 2)(
2!
2) xx xy yy f f o
x f x y y ρ +
++
− − − + −
tính tất cả các đạo hàm riêng trong công thức, thay vào!!
2 2( 1) ( 2) x y ρ = − + −
V. Công thứ c Taylor, Maclaurint---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Chú ý.
Tìm khai triển Taylor bằng công thức rất mất thờ i gian, nên trong đa sốtrườ ng hợ p ta sử dụng cách sau.
Tìm khai triển Taylor của f = f (x,y) tại M0(x0,y0):
1) Đặt0 0
, X x x Y y y= − = −0 0
; x X x y Y y⇔ = + = +
2) Tìm khai triển Maclaurint của hàm f (X,Y), sử dụng khai triển Maclaurint
của hàm một biến.
3) Đổi f (X,Y) sang f (x,y) (thay )0 0, X x x Y y y= − = −
4) Sắp xếp theo thứ tự tăng dần các bậc của 0 0, x x y y− −
7/25/2019 Bài giảng Toán cao cấp III - Đặng Văn Vinh (Biên soạn), Đại Học Bách Khoa Tp.HCM, 2008
V. Công thứ c Taylor, Maclaurint---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Ví dụ.
Tìm khai triển Taylor đến cấp hai của tại .1
( , )2 3
f x y x y
=+
( )0 1,2 M =
Đặt 1, 2 X x Y y= − = − 1; 2 x X y Y ⇔ = + = +
1
2( 1) 3( 2) f
X Y =
+ + +
1
2 3 8 X Y =
+ +
1 1
8 1 2 /8 3 /8 X Y = ⋅
+ +
Sử dụng khai triển hàm một biến 2 21 2 3
( ) 1 ( ),1 8 8
X Y
g t t t o t t t
= = − + + = ++
221 2 3 2 3
1 ( )8 8 8 8 8
X Y X Y f o ρ
= − + + + +
Khai triển, bỏ bậc cao hơ n 2, đổi biến lại, sắp xếp theo thứ tự.
2
2 2 3
1 2 3 4( 1) ( 2) ( 1)
8 8 8 8 f x y x= − − − − + − + ⋯
V. Công thứ c Taylor, Maclaurint---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Ví dụ.
Tìm khai triển Taylor đến cấp ba của tại .( , ) ln( ) f x y x y= + ( )0 1,1 M =
Đặt 1, 1 X x Y y= − = − 1; 1 x X y Y ⇔ = + = +
ln(2 ) f X Y = + + ln 2 12 2
X Y = ⋅ + +
ln 2 ln 1
2 2
X Y = + + +
Sử dụng khai triển hàm một biến
2 3
3( ) ln(1 ) ( ),2 3 2 t t X Y
g t t t o t t +
= + = − + + =
2 331 1
ln 2 ( )2 2 2 3 2
X Y X Y X Y f o ρ
+ + + = + − ⋅ + ⋅ +
Khai triển, bỏ bậc cao hơ n 3, đổi biến lại, sắp xếp theo thứ tự.
1 1ln 2
2 2
x y f
− −= + + + ⋯
7/25/2019 Bài giảng Toán cao cấp III - Đặng Văn Vinh (Biên soạn), Đại Học Bách Khoa Tp.HCM, 2008
V. Công thứ c Taylor, Maclaurint---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Ví dụ.
Tìm khai triển Maclaurint đến cấp ba của .( , ) sin x
f x y e y=
Sử dụng khai triển hàm một biến
2 3 31 ( )
1! 2! 3!
x x x xe o x= + + + +
3 4sin ( )
3!
y y y o y= − +
Khai triển, bỏ bậc cao hơ n 3, đổi biến lại, sắp xếp theo thứ tự.
3 4( , ) sin 1 ( ) ( )
1! 2! 3! 3!
x x x x y f x y e y o x y o y= = + + + + ⋅ − +
3 3 2 2 3 3 3 33
( , ) ( )6 6 2 36 6 36
y xy x y x y x y x y f x y y xy o ρ = − + − + − + − +
2 33
( , ) ( )2 6
x y y f x y y xy o ρ = + + − +
VI. Cự c trị hàm nhiều biến: cự c trị tự do---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Định ngh ĩ a
Hàm đạt cực đại chặt tại , nếu( , ) f f x y=0 0 0( , ) M x y 0 0( , ) ( , ) f x y f x y<
vớ i mọi (x,y) gần 0 0( , ) x y
tức là0 0 0 0( , ) : ( , ) , : ( ) ( ) f B M r M B M r D M M f M f M ∃ ∀ ∈ ∩ ≠ <
Đ nh n h ĩ a
Hàm f đạt cực đại không chặt tại , nếu
vớ i mọi (x,y) gần 0 0( , ) x y
tức là 0 0 0
1 0 1 0 1 0
( , ) : ( , ) , ( ) ( )
v , ( , ) : ( ) ( )
f B M r M B M r D f M f M
M M M B M r f M f M
∃ ∀ ∈ ∩ ≤
∃ ≠ ∈ =aø
0 0 0( , ) M x y 0 0( , ) ( , ) f x y f x y≤
tươ ng tự cho cực tiểu chặt và cực tiểu không chặt.
7/25/2019 Bài giảng Toán cao cấp III - Đặng Văn Vinh (Biên soạn), Đại Học Bách Khoa Tp.HCM, 2008
VI. Cự c trị hàm nhiều biến: cự c trị tự do---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Hàm f (x,y) = x2 + y2 đạt cực tiểu tại (0,0).
Xét 2 2
( , ) (0,0) 0 f x y f x y− = + ≥
2 2( , ) 0 ( , ) (0,0) f x y x y x y= + = ⇔ =
Vậy điểm (0,0) là điểm cực tiểu chặt.
VI. Cự c trị hàm nhiều biến: cự c trị tự do---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Khảo sát cực trị của tại (1,1).2 2( , ) 1 ( 1) ( 1) f x y x y= − − + −
2 2( , ) (1,1) 1 ( 1) ( 1) 1 f x y f x y− = − − + − − 2 2
( 1) ( 1) 0 x y= − − + − ≤
( , ) (1,1) f x y f ⇔ ≤
Vậy hàm đạt cực đại chặt tại (1,1).
( , ) 1 ( , ) (1,1) f x y x y= ⇔ =
7/25/2019 Bài giảng Toán cao cấp III - Đặng Văn Vinh (Biên soạn), Đại Học Bách Khoa Tp.HCM, 2008
VI. Cự c trị hàm nhiều biến: cự c trị tự do---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Khảo sát cực trị f (x,y) = x2y2 tại (0,0).
Ta có 2 2
( , ) (0,0) 0 f x y f x y− = ≥
suy ra f đạt cực tiểu tại (0,0)
Trong mọi lân cận của (0,0) đ u
tìm đượ c một điểm khác vớ i (0,0)
mà giá trị của f tại đó bằng giá trịcủa f (0,0) = 0.
Vậy (0,0) là điểm cực tiểu không chặt.
VI. Cự c trị hàm nhiều biến: cự c trị tự do---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Khảo sát cực trị của f (x,y) = x y2 tại điểm (0,0).
Hàm không đạt cực trị tại (0,0).
Nếu ta tiến về (0,0) theo đườ ng
thẳng y = x ( x > 0) thì f > 0.
Nếu ta tiến về (0,0) theo đườ ng
= .
Trong mọi lân cận của (0,0)
đều tìm đượ c điểm mà f > 0
và điểm mà f < 0.
7/25/2019 Bài giảng Toán cao cấp III - Đặng Văn Vinh (Biên soạn), Đại Học Bách Khoa Tp.HCM, 2008
VI. Cự c trị hàm nhiều biến: cự c trị tự do---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Định lý điều kiện cần của cực trị
Hàm f đạt cực trị tại thì tại đó:
1) Không tồn tại đạo hàm riêng cấp 1, hoặc
0 0 0( , ) M x y
' '0 0 0 02) ( , ) 0, ( , ) 0. x y f x y f x y∃ = ∃ =
Điểm dừng: các đạo hàm riêng cấp 1 bằng 0.
Chứng minh.
Điểm tớ i hạn: các đạo hàm riêng cấp 1 bằng 0 hoặc không tồn tại.
Điểm cực trị: hàm đạt cực đại hoặc cực tiểu.
VI. Cự c trị hàm nhiều biến: cự c trị tự do---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Định lý điều kiện đủ của cực trị
Cho là điểm dừng của hàm f = f (x,y) và f có các đạo hàm riêng
lien tục đến cấp 2 trong lân cận của điểm M 0.0 0 0( , ) M x y
1) Nếu , thì là điểm cực tiểu.2
0( ) 0d f M > 0 M
2) Nếu , thì là điểm cực đại.2
0( ) 0d f M < 0 M
Chứng minh.
Chú ý: Nếu , thì không k ết luận đượ c. Ta phải tìm vi phân
cấp cao hơ n của f .
20( ) 0d f M =
7/25/2019 Bài giảng Toán cao cấp III - Đặng Văn Vinh (Biên soạn), Đại Học Bách Khoa Tp.HCM, 2008
VI. Cự c trị hàm nhiều biến: cự c trị tự do---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Sơ đồ khảo sát cực trị của hàm hai biến f = f (x,y)
1) Tìm điểm dừng
'
'
( , ) 0
( , ) 0
x
y
f x y
f x y
=
=
2) Tính tất cả các đạo hàm riêng cấp hai '' '' ''
, , . xx xy yy f f f
1 2( , ), ( , ),P x y P x y⇔ ⋯
.
1 1 1( , ) :P x y '' '' '' 21 1 1( ), ( ), ( ), xx xy yy A f P B f P C f P AC B= = = ∆ = −
1
0
0P
A
∆ >• ⇒
>là điểm cực tiểu
1
0
0P
A
∆ >• ⇒
<là điểm cực đại
10 P•∆ < ⇒ không là điểm cực trị 0:•∆ = không k ết luận đượ c
phải khảo sát bằng định ngh ĩ a
VI. Cự c trị hàm nhiều biến: cự c trị tự do---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Chú ý:
1) Sơ đồ ở slide trướ c không cho phép khảo sát cực trị tại điểm mà các đạo
hàm riêng không tồn tại. Những điểm này đượ c khảo sát bằng định ngh ĩ a
2) Đối vớ i hàm nhiều hơ n hai biến ta khảo sát tươ ng tự, bằng cách dùng
định lý điều kiện cần (tìm ở đâu) và định lý điều kiện đủ (tìm như thế nào)
Theo định lý điều kiện đủ, để khảo sát tại điểm dừng ta xét dấu vi phân cấp2. Đây là một dạng toàn phươ ng.
3) Sơ đồ ở slide chỉ sử dụng cho hàm hai biến.
7/25/2019 Bài giảng Toán cao cấp III - Đặng Văn Vinh (Biên soạn), Đại Học Bách Khoa Tp.HCM, 2008
VI. Cự c trị hàm nhiều biến: cự c trị tự do---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
1) Tìm điểm dừng:
2) Tìm đạo hàm riêng cấp 2.
Ví dụ.
Khảo sát cực trị tự do của hàm 2 2
( , ) 2 f x y x xy y x y= + + − −
'
'
2 2 0
2 1 0
x
y
f x y
f x y
= + − =
= + − = 1(1,0),P⇔
'' '' ''2, 1, 2 xx xy yy f f f = = =
3) Khảo sát từng điểm dừng. '' ''1 1 1(1,0) : ( ) 2; ( ) 1 xx xyP A f P B f P= = = =
'' 21( ) 2; 3 0 yyC f P AC B= = ∆ = − = >
Kết luận cho điểm dừng P1: là điểm cực tiểu,100
P A∆ > ⇒
>1( ) 1ct f f P= = −
VI. Cự c trị hàm nhiều biến: cự c trị tự do---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
1) Tìm điểm dừng:
2) Tìm đạo hàm riêng cấp 2.
Ví dụ.
Khảo sát cực trị tự do của hàm 4 4 2 2
( , ) 2 f x y x y x xy y= + − − −
' 3
' 3
4 2 2 0
4 2 2 0
x
y
f x x y
f y x y
= − − =
= − − =
1 2
3
(1,1), ( 1, 1),
(0,0)
P P
P
⇔ − −
'' 2 '' '' 212 2, 2, 12 2 xx xy yy f x f f y= − = − = −
3) Khảo sát từng điểm dừng. ''1 1(1,1) : ( ) 10; 2 xxP A f P B= = = −
'' 2 21( ) 10; 10 4 0 yyC f P AC B= = ∆ = − = − >
Kết luận cho điểm dừng P1: là điểm cực tiểu,1
0
0P
A
∆ >⇒
>1( ) 2.ct f f P= = −
Tươ ng tự P2 là điểm cực tiểu.
7/25/2019 Bài giảng Toán cao cấp III - Đặng Văn Vinh (Biên soạn), Đại Học Bách Khoa Tp.HCM, 2008
VI. Cự c trị hàm nhiều biến: cự c trị tự do---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Khảo sát bằng định ngh ĩ a:
Tại điểm dừng không thể k ết luận đượ c.23(0,0) : 0P AC B∆ = − =
4 4 2 2( , ) (0,0) 2 f f x y f x y x xy y∆ = − = + − − −
Chọn dãy: 1
( , ) ,0 (0,0)n
n n x y →+∞
= →
Xét dấu của trong lân cận của (0,0): f ∆
Vậy hàm không đạt cực trị tại (0,0).
Khi đó:2
4 2 4
1 1 1( , ) 0n n
n f x y
n n n
−∆ = − = <
Chọn dãy: 1 1
( , ) , (0,0)n
n n x yn n
→+∞− = →
Khi đó:4 4 4
1 1 2( , ) 0n n f x yn n n
∆ = + = >
VI. Cự c trị hàm nhiều biến: cự c trị tự do---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
7/25/2019 Bài giảng Toán cao cấp III - Đặng Văn Vinh (Biên soạn), Đại Học Bách Khoa Tp.HCM, 2008
VI. Cự c trị hàm nhiều biến: cự c trị tự do---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
1) Tìm điểm dừng:
Ví dụ.
Khảo sát cực trị tự do của hàm 2 2( , ) 1 f x y x y= + +
'
2 2
'
2 2
0
0
x
y
x f
x y
y f
x y
= =
+
= = +
Không có điểm dừng.
Suy ra (0,0) là điểm cực tiểu chặt.
Dùng định ngh ĩ a ta thấy đạo hàm riêng theo x, theo y tại (0,0) không tồn tại.
(0,0) là điểm tớ i hạn, không là điểm dừng.
2 2(0,0) ( , ) (0,0) 0 f f x y f x y∆ = − = + ≥ (0, 0) 0 ( , ) (0, 0). f x y∆ = ⇔ =
VI. Cự c trị hàm nhiều biến: cự c trị tự do---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Khảo sát cực trị của f (x,y) = |x|+ y2 tại điểm (0,0).
Điểm (0,0) không là điểm dừng.
(0,0) là điểm tớ i hạn.
Không tồn tại '
(0,0) x f
2( , ) (0,0) | | 0 f x y f x y− = + ≥
(0,0) là điểm cực tiểu chặt.
7/25/2019 Bài giảng Toán cao cấp III - Đặng Văn Vinh (Biên soạn), Đại Học Bách Khoa Tp.HCM, 2008
VI. Cự c trị hàm nhiều biến: cự c trị có điều kiện---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Đồ thị của ( , ) 2 2 f x y x y= − −
là mặt phẳng. Không có cực trị tự do.
Xét điều kiện: 2 2 1 x y+ =
o s cực r r n ư ng e pse
giao của mặt phẳng và mặt trụ.
Tồn tại cực trị có điều kiện.
VI. Cự c trị hàm nhiều biến: cự c trị có điều kiện---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Định ngh ĩ a cực trị có điều kiện
Hàm đạt cực đại chặt tại vớ i điều kiện( , ) f f x y= 0 0 0( , ) M x y ( , ) 0 x yϕ =
nếu 0 0 0 0( , ) : ( , ) , : ( ) ( ) f B M r M B M r D M M f M f M ∃ ∀ ∈ ∩ ≠ <
và thỏa điều kiện ràng buộc ( ) 0. M ϕ =
Tươ ng tự, ta có định ngh ĩ a cực đại không chặt có điều kiện, cực tiểu chặt
và không chặt có điều kiện.
7/25/2019 Bài giảng Toán cao cấp III - Đặng Văn Vinh (Biên soạn), Đại Học Bách Khoa Tp.HCM, 2008
VI. Cự c trị hàm nhiều biến: cự c trị có điều kiện---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Điểm đượ c gọi là điểm k ỳ dị của đườ ng cong0 0 0( , ) M x y ( , ) 0 x yϕ =
nếu ' '
0 0( ) 0; ( ) 0 x y M M ϕ ϕ = =
Định lý (điều kiện cần của cực trị có điều kiện)
Điểm thỏa các điều kiện:0 0 0( , ) M x y
1 M khôn là điểm k d của đườ n con , 0 x =
2) và các đạo hàm riêng cấp 1 liên tục trong lân cận của M0.( , ), ( , ) f x y x yϕ
3) Hàm f(x,y) vớ i điều kiện đạt cực trị tại M0.( , ) 0 x yϕ =
Khi đó tồn tại một số thỏa:λ ' '0 0
' '
0 0
0
( ) ( ) 0
( ) ( ) 0
( ) 0
x x
y y
f M M
f M M
M
λϕ
λϕ ϕ
+ =
+ ==
VI. Cự c trị hàm nhiều biến: cự c trị có điều kiện---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Số đượ c gọi là nhân tử Lagrange.λ
Hàm đượ c gọi là hàm Lagrange.( , ) ( , ) ( , ) L x y f x y x yλ ϕ = + ⋅
Định lý (điều kiện đủ của cực trị có điều kiện)
Giả sử khả vi liên tục đến cấp 2 trong lân cận của .0 M ( , ), ( , ) f x y x yϕ
M .
20( ) 0d L M • >
0 M ⇒ là điểm cực tiểu có điều kiện.
20( ) 0d L M • <
0 M ⇒ là điểm cực đại có điều kiện.
0 M ⇒ không là điểm cực trị20( )d L M • không xác định dấu
7/25/2019 Bài giảng Toán cao cấp III - Đặng Văn Vinh (Biên soạn), Đại Học Bách Khoa Tp.HCM, 2008
VI. Cự c trị hàm nhiều biến: cự c trị có điều kiện---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
'
'
( , ) 0
( , ) 0( , ) 0
x
y
L x y
L x y x yϕ
=
=
=
'' '' ''
1 1 1 1
2 2 2 2
( , ),
( , ),
P x y
P x y
λ
λ
⇔ ⋯
Sơ đồ khảo sát cực trị của f = f (x,y) vớ i điều kiện ( , ) 0 x yϕ =
1) Lập hàm Lagrange ( , ) ( , ) ( , ) L x y f x y x yλ ϕ = + ⋅
Tìm điểm dừng của L(x,y):
2) Tính t t cả các đạo hàm riêng c p hai , , . xx xy yy L L L
3) Khảo sát từng điểm dừng.
1 1 1 1( , ), :P x y λ 2 '' 2 '' '' 21 1 1 1( ) ( ) 2 ( ) ( ) xx xy yyd L P L P dx L P dxdy L P dy= + +
Dựa vào định lý điều kiện đủ để k ết luận.
Tươ ng tự khảo sát các điểm dừng còn lại.
VI. Cự c trị hàm nhiều biến: cự c trị có điều kiện---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Từ đây ta có dx theo dy (hoặc dy theo dx)
( , ) 0 x yϕ =
Chú ý:
1) Để khảo sát đôi khi ta cần sử dụng điều kiện21( )d L P
( , ) 0d x yϕ ⇒ =
' '1 1( ) ( ) 0 x yP dx P dyϕ ϕ ⇔ + =
1( ) 0d Pϕ ⇒ =
2) Trong bài toán cực trị có điều kiện, dx và dy không đồng thờ i bằng 0.
Thay vào biểu thức của , ta có một hàm theo dx2 (hoặc dy2)2
1( )d L P
3) Trườ ng hợ p có nhiều hơ n một điều kiện: 1 2( , ) 0, ( , ) 0 x y x yϕ ϕ = =
1 1 2 2( , ) ( , ) ( , ) ( , ) L x y f x y x y x yλ ϕ λ ϕ = + +
và tiếp tục tươ ng tự trườ ng hợ p một điều kiện.
7/25/2019 Bài giảng Toán cao cấp III - Đặng Văn Vinh (Biên soạn), Đại Học Bách Khoa Tp.HCM, 2008
VI. Cự c trị hàm nhiều biến: cự c trị có điều kiện---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Ví dụ.
Tìm cực trị của hàm vớ i điều kiện( , ) 6 5 4 f x y x y= − −
'
'
2 2
5 2 0
4 2 0
( , ) 9 0
x
y
L x
L y
x y x y
λ
λ
ϕ
= − + =
= − − =
= − − =
1 1
2 2
(5, 4), 1/ 2,( 5,4), 1/ 2
PP
λ λ
⇔ − =
− = −
2 29 x y− =
1) Hàm Lagrange: 2 2( , ) 6 5 4 ( 9) L x y x y x yλ = − − + − −
2 '' 2 '' '' 21 1 1 1( ) ( ) 2 ( ) ( ) xx xy yyd L P L P dx L P dxdy L P dy= + +
2 2dx dy= −
từ điều kiện: 1( ) 0d Pϕ = 10 8 0dx dy⇔ + =5
4dy dx⇔ = −
22 2 2
1
5 9( ) 0
4 16d L P dx dx dx
− − = − = ≤
P1 là điểm cực đại chặt có điều kiện
VI. Cự c trị hàm nhiều biến: cự c trị có điều kiện---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Ví dụ.
Tìm cực trị của hàm vớ i điều kiện2 2
( , ) 2 12 f x y x xy y= + +
'
'
2 2
4 12 2 0
12 2 8 0
( , ) 4 25 0
x
y
L x y x
L x y y
x y x y
λ
λ
ϕ
= + + =
= + + =
= + − =
1 1 2
1 3 4
2: (3, 2), ( 3,2),
17: ,
4
P P
P P
λ
λ
⇔ = − −
= −
2 24 25 x y+ =
1) Hàm Lagrange: 2 2 2 2
( , ) 2 12 ( 4 25) L x y x xy y x yλ = + + + + −
2) Tìm đạo hàm riêng cấp 2. '' '' ''
4 2 , 12, 2 8 xx xy yy L L Lλ λ = + = = +
3) Khảo sát từng điểm dừng. 1 1(3, 2), 2 :P λ − =
2 '' 2 '' '' 21 1 1 1( ) ( ) 2 ( ) ( ) xx xy yyd L P L P dx L P dxdy L P dy= + + 2 2
8 24 18dx dxdy dy= + +
từ điều kiện: 1( ) 0d Pϕ = 6 16 0dx dy⇔ − =8
3dx dy⇔ =
21( ) 0d L P ≥ P1 là điểm cực tiểu chặt có điều kiện
7/25/2019 Bài giảng Toán cao cấp III - Đặng Văn Vinh (Biên soạn), Đại Học Bách Khoa Tp.HCM, 2008
I. Định ngh ĩ a, cách tính tích phân kép---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Cho vật thể (hình trụ cong) đượ c giớ i hạn trên bở i mặt bậc hai ( , ) f f x y=
giớ i hạn xung quanh bở i những đườ ng thẳng song song oz, tựa trên biên D
g ớ ạn ướ ở m n ( ng, c ặn).
Tìm thể tích vật thể.
I. Định ngh ĩ a, cách tính tích phân kép---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
7/25/2019 Bài giảng Toán cao cấp III - Đặng Văn Vinh (Biên soạn), Đại Học Bách Khoa Tp.HCM, 2008
I. Định ngh ĩ a, cách tính tích phân kép---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
I. Định ngh ĩ a, cách tính tích phân kép---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
7/25/2019 Bài giảng Toán cao cấp III - Đặng Văn Vinh (Biên soạn), Đại Học Bách Khoa Tp.HCM, 2008
I. Định ngh ĩ a, cách tính tích phân kép---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
I. Định ngh ĩ a, cách tính tích phân kép---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Cho vật thể đượ c giớ i hạn trên bở i mặt bậc hai ( , ) f x y
giớ i hạn dướ i bở i miền D (đóng, bị chặn).
giớ i hạn xung quanh bở i những đườ ng thẳng song song oz, tựa trên biên D
Tìm thể tích vật thể.
1, 2, ..., n.
Có diện tích tươ ng ứng là1 2, ,..., .
n D D DS S S
2) Trên mỗi miền lấy tùy ý một điểm ( , )ii i i D M x y S ∈
3) Thể tích của vật thể:1
( )i
n
i D ni
V f M S V =
⋅≈ =∑
lim nn
V V →+∞
=4)
7/25/2019 Bài giảng Toán cao cấp III - Đặng Văn Vinh (Biên soạn), Đại Học Bách Khoa Tp.HCM, 2008
I. Định ngh ĩ a, cách tính tích phân kép---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Định ngh ĩ a tích phân kép
Cho f = f (x,y) xác định trên miền đóng và bị chặn D.
Tích phân kép của f trên miền D là giớ i hạn (nếu có)
Nếu I tồn tại, ta nói f khả tích trên D.
1
( , ) ( )limi
n
i Dn i D
I f x y dxdy f M S →+∞ =
= = ⋅∑∫∫
I. Định ngh ĩ a, cách tính tích phân kép---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Tính chất của tích phân kép
1) Hàm liên tục trên một miền đóng, bị chặn, có biên trơ n tùng khúc thì
khả tích trên miền này.
3) ( , ) ( , ) D D
f x y dxdy f x y dxdyα α =∫∫ ∫∫
2) 1 D D
S dxdy= ∫∫
[ ]4) ( , ) ( , ) ( , ) ( , ) D D D
f x y g x y dxdy f x y dxdy g x y dxdy+ = +∫∫ ∫∫ ∫∫
5) Nếu D đượ c chia làm hai miền D1 và D2 không dẫm lên nhau:
1 2
( , ) ( , ) ( , ) D D D
f x y dxdy f x y dxdy f x y dxdy= +∫∫ ∫∫ ∫∫
6) ( , ) , ( , ) ( , ) D D
x y D f x y g x y fdxdy gdxdy∀ ∈ ≤ ⇒ ≤∫∫ ∫∫
7/25/2019 Bài giảng Toán cao cấp III - Đặng Văn Vinh (Biên soạn), Đại Học Bách Khoa Tp.HCM, 2008
I. Định ngh ĩ a, cách tính tích phân kép---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Ví dụ
Cho vật thể đượ c giớ i hạn trên bở i mặt bậc hai 2 2( , ) 16 2 f x y x y= − −
giớ i hạn dướ i bở i hình vuông: [0,2] [0,2] R = ×
giớ i hạn xung quanh bở i những đườ ng thẳng song song oz, tựa trên biên R.
a) Chia R thành 4 phần bằng nhau;
b) Chia R thành 16 phần bằng nhau;
c) Chia R thành 64 phần bằng nhau;
d) Chia R thành 256 phần bằng nhau;
e) Tính thể tích của vật thể.
4
1
( )in i D
i
V V f M S =
≈ = ⋅∑
1, 1,...,4.i D iS = ∀ =
(1,1) (1,2) (2,1) (2,2)V f f f f ≈ + + +
13 7 10 4 34.V ≈ + + + =
7/25/2019 Bài giảng Toán cao cấp III - Đặng Văn Vinh (Biên soạn), Đại Học Bách Khoa Tp.HCM, 2008
I. Định ngh ĩ a, cách tính tích phân kép---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
I. Định ngh ĩ a, cách tính tích phân kép---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
7/25/2019 Bài giảng Toán cao cấp III - Đặng Văn Vinh (Biên soạn), Đại Học Bách Khoa Tp.HCM, 2008
I. Định ngh ĩ a, cách tính tích phân kép---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
I. Định ngh ĩ a, cách tính tích phân kép---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Cách tính (Định lý Fubini) Cho f liên tục trên miền đóng và bị chặn D.
y= y2(x)
1) Giả sử D xác định bở i:
2
1
( )
( )
( , ) ( , )b
a x D
y x
y
I f x y dxdy dx f x y dy= =∫∫ ∫ ∫a b x≤ ≤
y= y1
(x)
a b
1 2( ) ( ) y x y x y
≤ ≤
7/25/2019 Bài giảng Toán cao cấp III - Đặng Văn Vinh (Biên soạn), Đại Học Bách Khoa Tp.HCM, 2008
I. Định ngh ĩ a, cách tính tích phân kép---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Cách tính tích phân kép (Định lý Fubini)
d
x= x1(y)
x= x2(y)
2) Giả sử D xác định bở i:2
1
( )
( )
( , ) ( , )d
c y D
x y
x
I f x y dxdy dy f x y dx= =∫∫ ∫ ∫c d y≤ ≤
c
1 2( ) ( ) x y x y x
≤ ≤
I. Định ngh ĩ a, cách tính tích phân kép---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Giải câu e)
2
2 0 2 x≤ ≤0 2 y
≤ ≤
Tính thể tích của vật thể. ( )2 216 2 R
V x y dxdy= − −∫∫ ( )2 2
0
2 2
0
16 2dx x y dy= − −∫ ∫
0
322
2
0
(16 ) 23
x d y
x y
= − −∫
22
0
1632 2
3 x dx
= − −∫
48=
7/25/2019 Bài giảng Toán cao cấp III - Đặng Văn Vinh (Biên soạn), Đại Học Bách Khoa Tp.HCM, 2008
III. Ứ ng dụng hình học---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Diện tích miền D: 1 D D
S dxdy= ⋅∫∫
Thể tích hình trụ cong đượ c giớ i hạn trên bở i f = f(x,y), giớ i hạn dướ i bở i miềnD, giớ i hạn xung quanh bở i những đườ ng thẳng song song 0z, tựa trên biên D:
V x dxd = D
Thể tích hình trụ cong đượ c giớ i hạn trên bở i f = f 2(x,y), giớ i hạn dướ i bở i
f = f 1(x,y), giớ i hạn xung quanh bở i những đườ ng thẳng song song 0z, tựa trên
biên D:( )2 1( , ) ( , )
D
V f x y f x y dxdy= −∫∫
Ví dụ
Tính diện tích miền phẳng giớ i hạn bở i
2 2 2 22 ; 6 ; 3; 0 x y y x y y y x x+ = + = ≥ ≥
Diện tích miền D là:
S dxd =6sin / 2 ϕ π
= D /3 2sinπ ϕ
6sin / 2
/3 2sin
2
2 D
r S d
ϕ π
π ϕ
ϕ = ∫ / 2
2
/3
16sin d π
π
ϕ ϕ = ∫
42 3
3 DS π = +
7/25/2019 Bài giảng Toán cao cấp III - Đặng Văn Vinh (Biên soạn), Đại Học Bách Khoa Tp.HCM, 2008
I. Định ngh ĩ a, cách tính tích phân bội ba---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
( , , ) f f x y z= xác định trên vật thể đóng, bị chặn E
Chia E một cách tùy ý ra thành n khối nhỏ: 1 2, ,..., .n E E E
Thể tích tươ ng ứng mỗi khối 1 2( ), ( ),..., ( ).nV E V E V E
, , .i i i ii
Lập tổng Riemann:1
( ) ( )n
n i ii
I f M V E =
= ⋅∑
, không phụ thuộc cách chia E , và cách lấy điểm M ilim nn
I I →+∞
=
đượ c gọi là tích phân bội ba của f=f ( x,y,z) trên khối E .
( , , ) E
I f x y z dxdydz= ∫∫∫
I. Định ngh ĩ a, cách tính tích phân kép---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Tính chất của tích phân bội ba
1) Hàm liên tục trên một khối đóng, bị chặn, có biên là mặt trơ n tùng khúc
thì khả tích trên miền này.
3) ( , , ) ( , , ) E E
f x y z dxdydz f x y z dxdydzα α ⋅ =∫∫∫ ∫∫∫
2) E E
V dxdydz= ∫∫∫
4) ( ) E E E
f g dxdydz f dxdydz gdxdydz+ = +∫∫∫ ∫∫∫ ∫∫∫
5) Nếu E đượ c chia làm hai khối E 1 và E 2 không dẫm lên nhau:
1 2 E E E
fdxdydz fdxdydz fdxdydz= +∫∫∫ ∫∫∫ ∫∫∫
6) ( , , ) , ( , , ) ( , , ) E E
x y z E f x y z g x y z f g∀ ∈ ≤ ⇒ ≤∫∫∫ ∫∫∫
7/25/2019 Bài giảng Toán cao cấp III - Đặng Văn Vinh (Biên soạn), Đại Học Bách Khoa Tp.HCM, 2008
III. Ứ ng dụng hình học của tích phân bội ba---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Từ định ngh ĩ a tích phân bội ba ta có công thức tính thể tích vật thể E:
1 E
E
V dxdydz= ∫∫∫
Có thể sử dụng tích phân kép để tính thể tích vật thể.
Tuy nhiên trong một số trườ ng hợ p sử dụng tích phân bội ba tính nhanh hơ n,
vì tích phân bội ba có cách đổi sang tọa độ trụ hoặc tọa độ cầu.
Ví dụ
Tính thể tích vật thể E đượ c giớ i hạn bở i
2 2 2 2 2 2 2 21; 4,+ + = + + = ≥ + x y z x y z z x y
E
V dxdydz= ∫∫∫
Sử d n t a đ cầu
04
π θ ≤ ≤
0 2π ≤ ≤
1 2 ρ ≤ ≤
/ 42
2 2
0 0 1
sinV d d d π π
θ ρ ϕ θ ρ = ⋅∫ ∫ ∫
14 7 2
3 3V π π = −
Sử dụng tích phân kép, tính toán rất phức tạp!!
7/25/2019 Bài giảng Toán cao cấp III - Đặng Văn Vinh (Biên soạn), Đại Học Bách Khoa Tp.HCM, 2008
I. Tích phân đườ ng loại một.---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
1 A•
2 A• 1n
A −•
n A•
• •• • •
1 M •
2 M •
n M •
• • •• • •
0
I. Tích phân đườ ng loại một.---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
xác định trên đườ ng cong C.( , ) f f x y=
Chia C một cách tùy ý ra n đườ ng cong nhỏ bở i các điểm 0 1, ,..., .n A A A
Độ dài tươ ng ứng 1 2, ,..., .n L L L
Trên mỗi cung lấy tuỳ ý một điểm ( , ).i i i M x y1i i A A+
Lập tổng Riemann:1
( )n
n i ii
I f M L=
= ⋅∑
, không phụ thuộc cách chia C , và cách lấy điểm M ilim nn
I I →+∞
=
đượ c gọi là tích phân đườ ng loại một của f=f ( x,y) trên cung C.
( , )C
I f x y dl= ∫
7/25/2019 Bài giảng Toán cao cấp III - Đặng Văn Vinh (Biên soạn), Đại Học Bách Khoa Tp.HCM, 2008
I. Tích phân đườ ng loại một---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Tính chất của tích phân đườ ng loại một
1) Hàm liên tục trên cung C, bị chặn, trơ n tùng khúc thì khả tích trên C.
3)C C
fdl fdlα α ⋅ = ⋅∫ ∫2) ( ) 1C
L C dl= ∫ 4) ( )C C C
f g dl fdl gdl+ = +∫ ∫ ∫
6) Nếu C đượ c chia làm hai cung C 1 và C 2 không dẫm lên nhau:
5) Tích phân đườ ng loại một không phụ thuộc chiều lấy tích phân trên C.
1 2C C C
fdl fdl fdl= +∫ ∫ ∫
7) ( , ) , ( , ) ( , )C C
x y C f x y g x y fdl gdl∀ ∈ ≤ ⇒ ≤∫ ∫
8) Định lý giá trị trung bình. Nếu f(x,y) liên tục trên cung trơ n C có độ dài
L. Khi đó tồn tại điểm M0 thuộc cung C, sao cho
0( )C
fdl f M L= ⋅∫
Cách tính tích phân đườ ng loại một
1
( , ) ( )limn
i in iC
f x y dl f M L→+∞ =
= ⋅∑∫
1 2 2' '( ) ( )
it
L x t y t dt +
= +2 2
' '( ) ( ) x t y t t = + ⋅ ∆ t t t ≤ ≤
Li là độ dài cung nhỏ AiAi+1:
Cung C cho bở i phươ ng trình tham số: x = x(t), y = y(t),1 2t t t ≤ ≤
it
Chọn điểm trung gian Mi có tọa độ ( )( ), ( )i i x t y t
( ) ( ) ( )2 2
' '
1
( , ) ( ), ( ) ( ) ( )lim→+∞ =
= ⋅ + ⋅ ∆∑∫
n
i i i i in iC
f x y dl f x t y t x t y t t
( ) ( )2
1
2 2' '
( , ) ( ( ), ( )) ( ) ( )t
C t
f x y dl f x t y t x t y t dt = ⋅ + ⋅∫ ∫
7/25/2019 Bài giảng Toán cao cấp III - Đặng Văn Vinh (Biên soạn), Đại Học Bách Khoa Tp.HCM, 2008
Phươ ng trình tham số của C là :x = x(t), y = y(t), 1 2t t t ≤ ≤
2
2'
'
'
( )( ( ), ( )) 1 ( )
t y t f x t y t x t dt
x t
= ⋅ + ⋅ ⋅∫
1
( )2
'( , ) ( , ( )) 1 ( )
b
C a
f x y dl f x y x y x dx= ⋅ + ⋅∫ ∫
( )2
'( , ) ( ( ), ) 1 ( )
d
C c
f x y dl f x y y x y dy= ⋅ + ⋅∫ ∫
Tươ ng tự, Cung C cho bở i phươ ng trình: x = x(y), c y d ≤ ≤
Tươ ng tự , ta có định ngh ĩ a tích phân đườ ng trong không gian.
I. Tích phân đườ ng loại một.---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
xác định trên đườ ng cong C trong không gian.( , , ) f f x y z=
C cho bở i phươ ng trình tham số: 1 2
( )
( ) ,
( )
x x t
y y t t t t
z z t
=
= ≤ ≤ =
( , , )C
I f x y z dl= ∫
( ) ( ) ( )2
1
2 2 2' ' '
( , , ) ( ( ), ( ), ( )). ( ) ( ) ( )t
C t
f x y z dl f x t y t z t x t y t z t dt = + + ⋅∫ ∫
7/25/2019 Bài giảng Toán cao cấp III - Đặng Văn Vinh (Biên soạn), Đại Học Bách Khoa Tp.HCM, 2008
II. Tích phân đườ ng loại hai.---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Chia C một cách tùy ý ra n đườ ng cong nhỏ bở i các điểm
0 0 0 1 1 1( , ), ( , ),..., ( , ).n n n A x y A x y A x y
Trên mỗi cung lấy tuỳ ý một điểm ( , ).k k k M x y1+k k A A
xác định trên đườ ng cong C.( , ), ( , )= =P P x y Q Q x y
Lập tổng Riemann: ( )11
1( )( ) ( ) ( )−=
−= ⋅ + ⋅∑ − −n
n k k k k k k i
I P M Q y y M x x
, không phụ thuộc cách chia C , và cách lấy điểm M ilim nn
I I →+∞
=
đượ c gọi là tích phân đườ ng loại hai của P(x,y) và Q(x,y) trên cung C.
( , ) ( , )= +∫C
I P x y dx Q x y dy
II. Tích phân đườ ng loại hai---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Tính chất của tích phân đườ ng loại hai
1) Tích phân đườ ng loại hai phụ thuộc chiều lấy tích phân trên C.
+ = − +∫ ∫ AB BA
Pdx Qdy Pdx Qdy
2) Nếu C đượ c chia làm hai cung C 1 và C 2 không dẫm lên nhau:
Giải thích.
1 2
+ = + + +∫ ∫ ∫C C C
Pdx Qdy Pdx Qdy Pdx Qdy
7/25/2019 Bài giảng Toán cao cấp III - Đặng Văn Vinh (Biên soạn), Đại Học Bách Khoa Tp.HCM, 2008
II.3. Tích phân không phụ thuộc đườ ng đi---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Cho hàm P(x,y), Q(x,y) và các ĐHR cấp 1 của chúng liên tục trong miền
mở đơ n liên D chứa cung AB.
Các mệnh đề sau đây tươ ng đươ ng
Định lý
1. Q P
x y
∂ ∂=
∂ ∂
2. Tích phân không phụ thuộc đườ ng cong trơ n từng khúc AB
I Pdx Qdy= +∫
nối cung AB nằm trong D.
3. Tồn tại hàm U(x,y) là vi phân toàn phần của Pdx + Qdy, tức là
( , )dU x y Pdx Qdy= +
4. Tích phân trên mọi chu tuyến kín C, trơ n từng khúc trong D bằng 0.
0C
I Pdx Qdy= + =∫
II.3. Tích phân không phụ thuộc đườ ng đi---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Tích phân không phụ thuộc đườ ng đi ( )Q P
x y
∂ ∂=
∂ ∂
B•
1 2
AC CB AB
I I I = = + = +∫ ∫ ∫
A y y=
,
B
A B
x x
y y
=
1 ( , ) ( , ) AC
I P x y dx Q x y dy= +∫
, A B
x x
( , ) ( , ) 0 B
A
x A A
x
P x y dx Q x y dx= + ⋅∫
2 ( , ) ( , )CB
I P x y dx Q x y dy= +∫ ( , ) 0 ( , ) B
A
y
A B y
P x y dy Q x y dy= ⋅ +∫
( , ) ( , ) B B
A A
x y
A B x y
I P x y dx Q x y dy⇒ = +∫ ∫
7/25/2019 Bài giảng Toán cao cấp III - Đặng Văn Vinh (Biên soạn), Đại Học Bách Khoa Tp.HCM, 2008
Tính theo đườ ng cong AB tùy ý từ (1,0) đến (2,0):
2 2
+= ∫
+ AB
xdx ydy I
x y
a) Không bao quanh gốc tọa độ;
b) Bao quanh gốc tọa độ.
Q P∂ ∂=a) tích phân I không phụ thuộc đườ ng đi từ A đến B.
22
11
ln | | ln 2dx
I x x
= = =∫
b) . Đây là tích phân không phụ thuộc đườ ng đi.Q P
x y
∂ ∂=
∂ ∂
I không thể tính theo đườ ng thẳng từ A đến B theo trục hoành, vì khi đó khôngcó miền đơ n liên D nào chứa đườ ng cong kín bao quanh gốc O sao cho P, Q và
các ĐHR cấp 1 liên tục trên D.
Có hai cách khắc phục:
Cách 1. Tính theo các đoạn thẳng: AC, CD, DE, EF, FB.
trong đó: A(1,0), C(1,1), D(-1,1), E(-1,-1), F(2,-1), B(2,0).
Cách 2. Tìm hàm U(x,y) là vi phân toàn phần của P(x,y)dx+Q(x,y)dy
'( , ) (1) x
xU P x y
= = 1 , ,U x P x dx⇒ = +
'
2 2( , )
(2) y
x y
yU Q x y
x y
+
= = +
2 2ln( )
( , ) ( )2
x yU x y g y
+= +
'(2) ( ) 0g y⇒ = ( )g y C ⇒ =
2 2( , ) ln( )U x y x y C = + +
(2,0)
(1,0)( , )= I U x y (2,0) (1,0)U U = −
ln 4 ln1ln 2
2
−= =
7/25/2019 Bài giảng Toán cao cấp III - Đặng Văn Vinh (Biên soạn), Đại Học Bách Khoa Tp.HCM, 2008