i BAHAN AJAR MATEMATIKA EKONOMI DOSEN PENGAMPU RINA AGUSTINA, S. Pd., M. Pd. NIDN. 0212088701 PENDIDIKAN MATEMATIKA FAKULTAS KEGURUAN DAN ILMU PENDIDIKAN UNIVERSITAS MUHAMMADIYAH METRO 2015
i
BAHAN AJAR MATEMATIKA EKONOMI
DOSEN PENGAMPU
RINA AGUSTINA, S. Pd., M. Pd. NIDN. 0212088701
PENDIDIKAN MATEMATIKA
FAKULTAS KEGURUAN DAN ILMU PENDIDIKAN UNIVERSITAS MUHAMMADIYAH METRO
2015
ii
KATA PENGANTAR
حِيْماللهِبسِْمِ ا حْمٰنِ الرَّ الرَّ
Segala puji bagi Allah SWT yang telah memberikan kehidupan
bagi kita dan memberkahi kita dengan hidayah dan karunia-Nya yang
begitu melimpah.
Shalawat serta salam tetap tercurah kepada Nabi Besar Muhammad
SAW yang selalu menjadi panutan untuk kehidupan semua umat Islam.
Adapun isi bahan ajar ini meliputi materi Limit dan Aplikasi
dalam Bidang Ekonomi, Diferensial dan Aplikasi dalam Bidang Ekonomi
serta Integral dan Aplikasi dalam Bidang Ekonomi.
Semoga bahan ajar ini dapat memberikan manfaat dalam bidang
pendidikan khususnya dalam pembelajaran Matematika Ekonomi bagi
mahasiswa Pendidikan Matematika
Metro, September 2015
Penyusun
iii
DAFTAR ISI
HALAMAN JUDUL …….. ............................................................................. ……... i KATA PENGANTAR …….. ......................................................................... ……... ii DAFTAR ISI …….. ......................................................................................... ……... iii BAB I.FUNGSI LINEAR ……....................................................................... ……... 1
A. Pembentukan Persamaan Linear …….. ............................... ……... 1 B. Hubungan Garis Lurus……………………………………….………….. 2 C. Penyelesaian Akar-akar Fungsi ……………………………………… 6 D. Penerapan Ekonomi ………………………………………………………. 7
Latihan I ………………………………………………………………………………….. 25 BAB II.LIMIT FUNGSI …….. ....................................................................... ……... 25
A. Pengertian Limit …….. ............................................................... ……... 25 B. Limit Sisi-Kiri, Limit Sisi-Kanan ……………………………………… 26 C. Kaidah Limit ………………………………………………………………….. 29 D. Penerepan Ekonomi ……………………………………………………… 31
Latihan II ………………………………………………………………………………….. 36 BAB III. DIFERENSIAL …….. ..................................................................... ……... 38
A. Diferensial Parsial …….. ............................................................ ……... 38 B. Derivatid dari DIferensial Parsial …………………………………… 39 C. Nilai Ektrim …………………………………………………………………. 45 D. Penerepan Ekonomi ……………………………………………………… 42
Latihan III ………………………………………………………………………………… 53 BABIV. INTEGRAL …….. ............................................................................ ……... 55
A. Pengertian Integral …….. .......................................................... ……... 55 B. Integral Tak Tentu ………………….……………………………………… 55 C. Penerapan Ekonomi……………………………………………………….. 58 D. Integral Tertentu ….. ……………………………………………………… 62 E. Kaidah Integral Tertentu ……………………………………………….. 62 F. Penerapan Ekonomi ……………………………………………………… 65
Latihan IV ……………………………………………………………………………….. 68 DAFTAR PUSTAKA ……………………………………………………………………. 69
1
BAB I FUNGSI LINEAR
A. Pembentukan Persamaan Linear
1. Metode “ dwi- kooordinat”
Apabila diketahui dua buah titik A dan B dengan koordinat masing-
masing (x1, y1) dan (x2, y2), maka persamaan linearnya adalah:
Contoh:
Bentuklah persamaan linear yang memenuhi titik A (2, 3) dan B (6,
5)
Penyelesaian:
3
5 3 2
6 2
3
2 2
4
4 12 2 4
4 2 8
5 2
Y
5 y = 0,5x + 2 B(6,5)
3 A(2,3)
2
0 2 6 X
2
2. Metode “koordinat – lereng”
Apabila diketahui koordinat titik A(x1, y1) dan lereng garisnya
adalah a, maka persamaan gagrisnya adalah:
( )
Contoh :
Bentuklah persamaan linear yang memenuhi titik A(2, 3) dan
lereng garisnya a = 0,5.
y-y1 = a (x – x1)
y – 3 = 0,5 (x – 2)
y = 0,5x – 1 + 3
y = 0,5x + 2
B. Hubungan Dua Garis Lurus
1. Berimpit
Dua buah garis lurus akan berhinpit apabila persamaan garis yang
satu merupakan kelipatan dari persamaan garis yang lain. Dengan
demikian, garis ny = n(ax + b) akan berimpit dengan garis y = ax + b
untuk n = bilangan positif.
3
2. Sejajar
Dua buah garis lurus akan sejajar apabila lereng garis yang satu
sama dengan lereng garis yang lain. Dengan demikian, garis y = a1x + b1
akan sejajar dengan garis y = a2x + b jika a1 = a2. (tentu saja b1 harus
tidak sama dengan b2.
Jika b1 = b2 juga, kedua garis itu akan berimpit).
3. Berpotongan
Dua buah garis lurus akan berpotongan apabila lerang garis yang
satu tidak sama dengan lereng garis yang lain. Dengan demikian, garis y
= a1x + b1 akan berpotongan dengan garis y = a2x + b2 jika
4
4. Tegak lurus
Dua buah garis lurus akan saling tegak lurus apabila lereng garis
yang satu merupakan kebalikan dari lereng garis yang lain dengan tanda
yang berlawanan. Dengan demiikian, garis y = a1x + b1 akan tegak lurus
dengan garis y = a2x + b2 jika
atau 1.
C. Pencarian Akar-Akar Fungsi
Mencari akar-akar fungsi maksudnya ialah menghitung besarnya
nilai variabel-variabel tertentu di dalam persamaan sebuah fungsi.
Beberapa persamaa dapat diselsaikan dengan 3 macam cara yaitu:
cara substitusi, cara eliminasi dan cara determinan.
1. Cara substitusi
Contoh:
Carilah nilai variabel-variabel x dan y dari dua persamaan berikut:
2x + 3y = 21 dan x + 4y = 23
Penyelsaian:
Selsaikanlah lebih dahulu persamaan kedua untuk variabel x,
diperoleh: x = 23 – 4y. Kemudian substitusikan hasil x ( yang
masih mengandung y) ini kedalam persamaan pertama:
2(23 – 4y) + 3y = 21
5
46 – 8y + 3y = 21
46 – 5y = 21
25 = 5y
y = 5
atau x + 4(5) = 23
x + 20 = 23
x = 3
Jadi akar-akar persamaan tersebut adalah x = 3 dan y = 5
2. Cara eliminasi
Dua persamaan dengan dua bilangan dapat diselsaikan dengan cara
menghilangkan untuk sementara (mengeliminasi) salah satu dari
bilangan yang ada, sehingga dapat dicari nilai atau harga dari bilangan
yang lain.
Contoh:
Carilah nilai variabel-variabel x dan y dari dua persamaan berikut:
2x + 3y = 21 dan x + 4y = 23
Penyelsaian:
2x + 3y = 21 x 1 2x + 3y = 21
x + 4y = 23 x 2 2x + 8y = 46
2x + 3y = 21
2x + 8y = 46
-5y = - 25
y = 5
2x + 3y = 21
2x + 3(5) = 21
2x + 15 = 21
2x = 21 – 15
2x = 6
6
x = 3
Jadi akar-akar persamaan tersebut adalah x= 3 dan y = 5
3. Cara determinan
Secara umum suatu determinan dilambangkan dengan notasi
|
| di mana unsur-unsur a, b, d, e mencerminkan bilangan-bilangan
tertentu. Prinsip pengerjaan determinan adalah dengan mengalikan
unsur-unsurnya secara diagonal, dari kiri-atas menurunkan ke kanan-
bawah dan dari kiri-bawah menaiki ke kanan-atas, kemudian
mengurangkan hasil perkalian menaik dari hasil perkalian menurun.
|
| |
| ( )( )
Untuk determinan berderajat tiga:
|
|
Contoh:
|2 45 7
| (2)(7) (5)( 4) 14 2 34
|3 6 41 2 53 2 7
|
(3)( 2)(7) (6)(5)(3) (4)(2)(1)
(3)( 2)(4) (1)(6)(7) (3)(5)(2)
42 9 8 24 42 3 8
Dua persamaan dengan dua bilangan
ax + by = c
dx + ey = f
maka pencarian harga-harga variabel x dan varabel y dapat
dihitung sebagai berikut:
7
|
|
|
|
| |
|
|
Contoh:
Carilah nilai variabel-variabel x dan y dari dua persamaan
berikut:
2x + 3y = 21
x + 4y = 23
Penyelsaian:
|21 323 4
|
|2 31 4
| (21) (4) (23)(3)
(2)(4) (1)(3) 84 69
8 3 15
5 3
|2 211 23
|
|2 31 4
| (2) (23) (1)(21)
(2)(4) (1)(3) 46 21
8 3 25
5 5
D. PENERAPAN EKONOMI
1. Fungsi Permintaan Dan Fungsi Penawaran
Fungsi permintaan menghubungkan antara variabel harga dengan
variabel jumlah (barang/jasa) yang diminta.
Bentuk umum fungsi permintaan
8
Grafik fungsi permintaan :
Dalam bentuk permintaan diatas terlihat bahwa variabel P ( Harga
/ Price ) dan variabel Q ( Jumlah / Quantity ) mempunyai tanda yang
berlawanan. Ini mencerminkan berlakunya hukum permintaan ,bahwa
apabila harga turun jumlah yang diminta akan naik . Variabel harga
berbanding terbalik dengan variabel jumlah , oleh karena itu kurva
permintaan berlereng negatif.
Sedangkan fungsi penawaran menghubungkan antara variabel
jumlah (barang / jasa) yang ditawarkan.
Bentuk umum fungsi penawaran
Grafik fungsi penawaran :
9
Dalam bentuk persmaan diatas terlihat bahwa variabel P (harga)
dan variabel Q (jumlah) mempunyai tanda yang sama yaitu sama –
sama positif . ini mencerminkan berlakunya hukumnya hukum
penawaran ,bahwa apabila harga turun jumlah yang ditawarkan akan
berkurang .jadi variabel harga berbanding lurus dengan variabel jumlah
,oleh karena itu kurva penawaran berlereng positif.
Rumus-rumus untuk mencari fungsi permintaan dan fungsi
penawaran:
a.
=
atau
=
b. P – P1 = m ( Q – Q1 )
Dimana
c. Syarat harga tertinggi adalah Q = 0
Contoh :
Suatu produk jika harganya Rp 100 maka produk itu terjual 10
unit dan jika harganya Rp 75 terjual 20 unit. Tentukan fungsi
permintaan dan grafiknya !
Penyelesaian :
Diketahui : Q1 = 10 Q2 = 20 P1 = 100 P2 = 75
10
Ditanya : Fungsi permintaan dan grafik
Penyelesaian :
=
=
=
Q – 10 =
(P – 100)
Q – 10 = 40 -
P
Q = 50 -
P
2. Keseimbangan Pasar
Pasar suatu barang berada dalam keseimbangan (equlibrium)
apabila jumlah barang yang diminta di pasar tersebut sama dengan
jumlah barang yang ditawarkan
Bentuk umum keseimbangan pasar :
Qd : jumlah permintaan Qs : jumlah penwaran
E : titik keseimbangan Pe : harga keseimbangan
11
Qe : jumlah keseimbangan
Grafik keseimbangan pasar :
3. Pengaruh Pajak terhadap Keseimbangan Pasar
Pengenaan pajak atas sesuatu barang akan mempengaruhi
keseimbangan pasar barang tersebut baik harga keseimbangan dan
jumlah keseimbangan.
Pajak yang dikenakan atas penjualan sesuatu barang menyebabkan
harga jual barang tersebut menjadi lebih mahal. Sebab setelah dikenakan
pajak, produsen akan berusaha mengalihkan beban pajak tersebut
kepada konsumen,yaitu dengan jalan menawarkan harga jual yang lebih
tinggi. Akibatnya harga keseimbangan sebelum pajak,dan jumlah
keseimbangan menjadi lebih sedikit. Pajak yang dikenakan hanya
mempengaruhi fungsi penawaran sehingga fungsi permintaan setelah
dikenakan pajak adalah tetap.
Fungsi permintaan : Pd = a – bQ
Fungsi penawaran sebelum pajak : Ps = a + bQ
12
fungsi penawaran sesudah pajak : Pst = Ps + t
Titik keseimbangan pasar sebelum pajak : E(Qe , Pe)
Harga keseimbangan sebelum pajak : Pe
Jumlah keseimbangan sebelum pajak : Qe
Titik keseimbangan pasar sesudah pajak : Et(Qt , Pt)
Harga keseimbangan sesudah pajak : Pt
Jumlah keseimbangan sesudah pajak : Qt
Penerimaan pajak total oleh pemerintah : T = t . Qt
Besarnya pajak yang ditanggung oleh konsumen : T = (Pt - P) . t
Besarnya pajak yang ditanggung oleh produsen : T = t . Qt - (Pt - P)
. t
Dimana :
T = jumlah penerimaan pajak oleh pemerintah
T = pajak yang ditanggung oleh konsumen
T = pajak yang ditanggung oleh produsen
t = pajak per unit produk
Qt = jumlah keseimbangan setelah dikenakan pajak
Grafik keseimbangan pasar mula-mula dan setelah dikenakan pajak
:
13
Contoh :
Fungsi permintaan suatu produk ditunjukkan oleh P = 15 – Q dan
fungsi penawarannya P = 0,5Q + 3. Produk tersebut dikenakan
pajak oleh pemerintah sebesar Rp 3 per unit.
a. Berapa harga dan jumlah keseimbangan pasar sebelum dan
sesudah kena pajak ?
b. Gambarkan harga dan jumlah keseimbangan sebelum dan
setelah pajak dalam satu grafik !
Penyelesaian :
Diketahui : Pd = 15 – Q Ps = 0,5 Q + 3 t = 3
a. Jika Pd = Ps
15 – Q = 0,5 Q + 3
-1,5 Q = -12 maka Q = 8 sehingga P = 15 – 8 = 7
Jadi harga keseimbangan sebelum di kenakan pajak adalah 7 dan
jumlah keseimbangan pasar sebelum dikenakan pajak adalah 8.
Sehingga titik keseimbanganya adalah E (8,7).
Pst = Ps + t
14
Pst = 0,5 Q + 3 + 3 = 0,5 Q + 6
Jika Pd = Pst
15 – Q = 0,5 Q + 6
-1,5 Q = -9 maka Qt = 6 sehingga Pt = 15 – 6 = 9
Jadi jumlah keseimbangan pasar setelah di kenakan pajak adalah 6
dan hrga keseimbangan pasar setelah dikenakan pajak adalah 9.
Sehingga titik keseimbangan pasar setelah di kenakan pajak adalah Et
(6,9).
b. Gambar grafik
4. Keseimbangan Pasar Kasus Dua Komoditi
Permintaan suatu barang seringkali tidak hanya dipengaruhi oleh
harga barang yang bersangkutan, tetapi juga dipengaruhi oleh harga
barang lainnya. Contohnya seperti barang substitusi (kopi dan teh),
barang komplementer (gula dan teh)
Q x = f ( P x , Py ) dan Qy = g ( Py , P x )
15
Ketentuan: Qx bisa berubah menjadi Qdx atau Qsx tergantung jenis
fungsi tersebut fungsi permintaan atau fungsi penawaran dan begitu
pula dengan Px.
Dimana :
Qdx = jumlah permintaan x Qdy = jumlah permintan akan
y
Qsx = jumlah penawaran produk x Qsy = jumlah penawaran produk
y
P x = harga barang x Py = harga barang y
Contoh :
Permintaan akan barang x ditunjukkan oleh persamaan Qdx =10 –
4Px + 2Py , sedangkan penawarannya Qsx = -6 + 6Px. Sementara itu
permintaan akan barang y ditunjukkan oleh persamaan Qdy = 9 + 4Px –
3Py, sedangkan penawarannya Qsy = -3 + 7Py. Berapa harga
keseimbangan yang tercipta di pasar untuk masing-masing barang
tersebut? Dan berapa jumlah keseimbangan pasar yang tercipta untuk
masing-masing barang tersebut?
Pembahasan:
Keseimbangan pasar barang x :
Qdx = Qsx
10 – 4Px + 2Py = -6 + 6Px
-10Px + 2Py = -16 .............(1)
Keseimbnagan pasar barang y :
Qdy = Qsy
9 + 4Px – 3Py = -3 + 7Py
4Px – 10Py = -12 ............(2)
Dari (1) dan (2)
16
-10Px + 2Py = -16 x 1 -10Px + 2Py = -16
4Px – 10Py = -12 x 2,5 10Px – 25Py = -30
-23Py = -46
Py = 2
Substitusikan Py = 2 ke persamaan (1)
10Px – 2Py = 16
10Px -2.2 = 16
10Px= 16 + 4
10Px= 20
Px= 2
Subtitusikan Px = 2 ke persamaan Qsx
Qsx = -6 + 6 Px = -6 + 6(2) = 6
Subtitusikan Py = 2 ke persamaan Qsy
Qsy = -3 + 7 Py = -3 + 7 (2) = 11
Jadi harga keseimbangan pasar untuk barang x adalah Rp 2 per unit
dan jumlah keseimbanganya adalah 6 unit. Sedangkan harga
keseimbangan pasar untuk barang y adalah Rp 2 per unit dan jumlah
keseimbanganya adalah 11 unit.
5. Fungsi Biaya dan Fungsi Penerimaan
Biaya total (total cost) yang dikeluarkan oleh sebuah perusahaan
dalam operasi bisnisnya terdiri dari biaya tetap dan biaya variabel. Biaya
tetap adalah tidak tergantung pada jumlah barang yang dihasilkan.
Berapapun jumlah barang yang dihasilkan, jumlah biaya tetap senantiasa
tidak berubah.secara matematis biaya tetap bukan merupakan fungsi
jumlah barang yang dihasilkan, ia merupakan sebuah konstanta, dan
kurvanya berupa garis lurus sejajar sumbu jumlah. Sebaliknya biaya
variabel tergantung pada jumlah barang yang dihasilkan. Semakin
banyak jumlah barang yang dihasilkan semakin besar pula biaya
17
variabelnya. Secara matematis biaya variabel merupakan fungsi jumlah
barang yang dihasilkan, kurvanya berupa garis lurus berlereng positif
dan bermula dari titik pangkal.
Ket :
FC = biaya tetap VC = biaya variabel
C = biaya total k = konstanta
Q = jumlah barang
Grafik fungsi biaya dan penerimaan
Contoh :
Biaya tetap yang dikeluarkan oleh sebuah perusahaan sebesar Rp
20rb, sedangkan biaya variabelnya ditunjukan oleh persamaan VC =
100Q. Tunjukkan persamaan dan kurva biaya toalnya ! berapa biaya total
FC = k
VC = f(Q) = vQ
C = f(Q) = FC +VC = k
+ vQ
18
yang dikeluarkan oleh perusahaan tersebut jika ia memproduksi 500
unit output?
Pembahasan:
FC = 20.000
VC = 100Q
C = FC +VC
= 20.000 + 100Q
Jika : Q = 500
C = 20.000 + (500)
= 70.000
Grafik
Penerimaan sebuah perusahaan dari hasil penjualan barangnya
merupakan fungsi dari jumlah barang yang terjual atau diproduksikan.
Semakin banyak barang yang diproduksi dan terjual semakin besar pula
penerimaannya. Penerimaan total adalah hasil kali jumlah barang yang
terjual dengan harga jual per unit barang tersebut.
R = f(Q) = Q
19
Contoh:
Harga jual produk yang dihasilkan oleh sebuah perusahaan Rp 200,
00 per unit. Tunjukkan persamaan dan kurva penerimaan total
perusahaan ini. Berapa besar penerimaannya bila terjual barang
sebanyak 350 unit?
Pembahasan:
P = Rp 200,00
Q = 350
R = Q x P
= Q x 200
= 200Q
Bila Q = 350,
R = 200(350)
= 70.000
Grafik
20
6. Pendapatan Disposabel
Pendapatan disposabel (disposable income) adalah pendapatan
nasional yang secara nyata dapat dibelanjakan oleh masyarakat.
Pendapatan disposabel dilambangkan dengan Yd. Terdapat dua faktor
yang mempengaruhi pendapatan disposabel, yaitu faktor yang
memperkecil dan faktor yang memperbesar pendapatan disposabel.
Faktor yang memperkecil pendapatan disposabel adalah pajak.
Apabila tidak terdapat pajak maka besar pendapatan disposabel sama
dengan pendapatan nasional tetapi karena terdapat pajak maka besar
pendapatan disposabel lebih kecil dari pendapatan nasional.
Faktor yang memperbesar pendapatan disposabel adalah
pembayaran alihan (tunjangan pensiun, tunjangan hari raya, gajih bulan
ke-13, dll). Karena ada pembayaran alihan maka pendapatan disposabel
lebih besar dari pendapatan nasional.
Sehingga fungsi konsumsiyang riil adalah :
Uraian pendapatan disposabel berdasarkan ada tidaknya pajak
dan pembayaran alihan
Tidak ada pajak maupun pembayaran alihan
Ada pajak tapi tidak ada pembayaran alihan
Tidak ada pajak tapi ada pembayaran alihan
Ada pajak dan ada pembayaran alihan
C = a + bYd
Yd = Y
Yd = Y
Yd = Y + R
Yd = Y – T + R
21
Contoh :
Fungsi konsumsi masyarakat suatu negara ditunjukkan oleh C = 25
+ 0,5Yd. jika pemerintah menerima pembayaran pajak sebesar 16 dari
masyarakat tetapi juga memberikan pembayaran alihan sebesar 6
kepada warganya, berapa besar konsumsi pada waktu pendapatan
nasional negara tersebut berjumlah 300 ?
Penyelesaian :
C = 25 + 0,5Yd
T = 16
R = 6
Yd = Y – T + R → Yd = Y – 16 + 6 → Yd = Y – 10
C = 25 + 0,5(Y – 10)
C = 25 + 0,5Y – 5
C = 20 + 0,5Y
Jika Y = 300 maka :
C = 20 + 0,5(300) → C 2 15 → C 17
7. Pendapatan Nasional
Pendapatan nasional adalah jumlah seluruh nilai out-put (barang
dan jasa) yang dihasilkan oleh suatu negara selama jangka waktu
tertentu. Perhitungan pendapatan nasional dapat dilakukan dengan tiga
macam pendekatan yaitu pendekatan produksi, pendekatan
pendapatan, pendekatan pengeluaran.
Ditinjau dari pendekatan pengeluaran, pendapatan nasional adalah
jumlah pengeluaran yang dilakukan oleh seluruh sektor di dalam suatu
negara. Pengeluaran sektor rumah tangga dicerminkan oleh konsumsi
masyarakat (C), pengeluaran sektor badan usaha dicerminkan oleh
investasi yang dilakukan oleh badan-badan usaha (1), pengeluaran
sektor pemerintah dicerminkan oleh pengeluaran pemerintah (G),
22
sedangkan pengeluaran perdagangan internasional dicerminkan oleh
selisih antara ekspor dan impor negara tersebut (X – M).
Dengan demikian pendapatan nasional:
untuk perekonomian 2 sektor
untuk perekonomian 3 sektor
untuk perekonomian 4 sektor
dimana :
Y = pendapatan nasional C = konsumsi masyarakat
I = investasi nasional G = pengeluaran pemerintah
X = ekspor M = impor
Contoh :
Hitunglah pendapatan nasional suatu negara jika diketahui
autonomous consumption masyarakatnya sebesar 500, MPC = 0,8,
investasi yang di lakukan oleh sektor badan usaha sebesar 300 dan
pengeluaran pemerintahnya sebesar 250. Sedangkan nilai ekspor dan
impornya masing-masing 225 dan 175 !
Pembahasan :
a = 500 C = a + bYd Yd = Y – T +R
b = MPC = 0,08 C = 500 = 0,8Y Yd = Y – 0 + 0 = Y
Y = C + I + G + (X – M)
Y = 500 + 0,8Y + 300 + 250 (225 – 175)
Y = 1.100 + 0,8Y
Y – 0,8Y =N1.100
0,2Y = 1.100
Y = 5.500
Jadi pendapatan nasional negara tersebut adalah sebesar 5.500.
23
LATIHAN I
1. Pak Hendrian memiliki pendapatan sebesar Rp 300.000,00. Seluruh
pendapatannya akan dianggarkan untuk membeli barang a dan
barang b dengan harga masing-masing Rp 7.500,00 per unit dan Rp
5.000,00 per unit. Jika Pak Hendrian membeli barang a sebanyak 20
unit maka berapa unit barang b yang dapat dibeli pak Hendrian ?
2. Gejala penawaran sandal merek “Walet” ditunjukkan oleh data
sebagai berikut : pada harga Rp 35.000,00 ditawarkan sebanyak 50
buah tetapi bila harganya Rp 45.000,00 akan ditawarkan sejumlah
7 buah. Bagaimana fungsi penawaran sandal “Walet” itu ?
3. Di sebuah toko buah N, saat harga salak Rp 10.000,00 per kg
permintaan akan apel tersebut sebanyak 500kg, tetapi pada saat
harga salak meningkat menjadi Rp 12.000,00 per kg permintaan
akan salak menurun menjadi 300kg. Buatlah fungsi permintaannya
dan grafiknya !
4. Jumlah investasi yang terdapat di suatu negara sebesar 25. Ketika
tingkat bunga yang berlaku 20%, dan sebesar 100 ketika tingkat
bunga yang berlaku 5%. Bagaimana fungsi permintaan investasinya
dan berapa besar investasi jika tingkat bunga 15% ?
5. Bentuklah persamaan fungsi impor negara “Austria” bila diketahui
autonomous import dan marginal propensity to import-nya
masing-masing 50 dan 0,25 ! Berapa nilai impor jika pendapatan
nasional sebesar 1. 200 ?
6. Biaya tetap yang dikeluarkan oleh sebuah perusahaan sebesar
Rp.10.000, sedangkan biaya variabelnya ditunjukan oleh
persamaan VC = 200 Q. Tunjukan persamaan dan kurva biaya
totalnya! Berapa biaya total yang dikeluarkan oleh perusahaan
tersebut jika ia memproduksi 400 unit output ?
24
7. Fungsi permintaan suatu produk ditunjukkan oleh P = 3.600 –
1,25Q dan fungsi penawarannya P = 0,75Q + 1.200. Produk
tersebut dikenakan pajak oleh pemerintah sebesar Rp 400 per unit.
Berapa harga dan jumlah keseimbangan pasar sebelum dan
sesudah kena pajak ? dan berapakah pajak yang diterima oleh
pemerintah ? serta berapa pajak yang ditanggung oleh konsumen
dan produsen ?
8. Permintaan akan barang x ditunjukan oleh persamaan Qdx = 5 - 2Px
+ 4Py, sedangkan penawarannya Qsx = -5 + Px. Sementara itu
permintaan akan barang y ditunjukan oleh persamaan Qdy = 6 +
2Px – 2Py. Sedangkan penawarannya Qsy = -4 + 4Py . berapa harga
keseimbangan dan jumlah keseimbangan yang tercipta dipasar
untuk masing-masing barang tersebut ?
9. Fungsi konsumsi masyarakat negara B ditunjukkan oleh C = 1.500
+ 0,4Yd. jika pemerintah menerima pajak dari masyarakat sebesar
800 akan tetapi pemerintah juga memberi pembayaran alihan
kepada masyarakat sebesar 300. Berapakah konsumsi nasional jika
pendapatan nasional pada tahun tersebut 100.000 ? dan berapakah
tabungan yang terkumpul ?
10. Konsumsi masyarakat sebuah negara ditunjukkan oleh persamaan
C = 4.000 + 1,5Yd. investasi nasionalnya ditunjukkan oleh
persamaan I = 3.000 – 800i. pengeluaran pemerintahnya sebesar
1.400, di samping itu pemerintah juga mengeluarkan pembayaran
alihan sebesar 200, sedangkan pajak yang diterima pemerintah
dicerminkan oleh T = 600 + 0,4Y. besarnya ekspor adalah 3.200,
adapun impornya M = 1.800 + 0,1Y. tingkat bunga yang berlaku
30%. Hitunglah pendapatan nasional negara tersebut, konsumsi
nasional dan pajak yang diterima oleh pemerintahnya ! Berapa
pula nilai impornya ?
25
BAB II LIMIT FUNGSI
A. Pengertian Limit
Limit menggambarkan seberapa jauh sebuah fungsi akan
berkembang apabila variabel didalamfungsi yang bersangkutan terus
menerus berkembang mendekati nilai tertentu. Sebagai gambaran : dari
y = f(x) akan dapat diketahui limit atau batas perkembangan f(x) ini
apabila variabel x terus menerus berkembang hingga mendekati suatu
nilai tertentu. Jika fungsi f(x) mendekati L manakala variabel x
mendekati a (a dan L keduanya konstanta), maka L disebut limit fungsi
f(x) untuk x mendekati a. Hubungan ini dilambangkan dengan notasi :
lim →
( )
dan dibaca “limit fungsi f(x) untuk x mendekati a adalah L”. Artinya
jika variabel x berkembang secara terus menerus hingga mendekati
bilangan tertentu a, maka nilai fungsi f(x) pun akan berkembang pula
hingga mendekati L. Atau sebaliknya, fungsi f(x) dapat dibuat mendekati
nilai tertentu yang diinginkan L dengan mengembangjan variabel x
sedemikian rupa hingga mendekati a.
Dua hal perlu diperhatikan dalam notasi atau pernyataan limit
diatas. Pertama, x→ ! Kedua, lim f(x) = L harus dibaca serta ditafsirkan
bahwa L adalah limit fungsi f(x), dan bukan berarti L adalah nilai fungsi
f(x) !
Ringkasnya,
→ ( ) bukan berarti f(a) = L
Contoh praktis berikut ini akan menjelaskan bagaimana bekerjanya
teori limit dan apa sesungguhnya yang dimaksud dengan limit.
Andaikan y = f(x) = 1 2
26
Maka lim → ( ) lim → (1 2 ) 7 lim → ( )
lim → (1 2 ) 17
Limit sebuah fungsi dapat dapat pula dianalisis untuk
perkembangan variabel yang menuju nilai-nilai negatif tertentu, menuju
0, bahkan menuju . Dengan demikian, untuk setiap fungsi
f(x) kita dapat menganalisi limit f(x) untuk x→ → → ,
x→ →
Seiring dengan itu dapat pula terjadi (untuk x mendekati sebarang
nilai tertentu) lim f(x) = + L, lim f(x) = lim f(x) = 0, lim f(x) = 0, lim
f(x) = atau lim f(x) = . Limit sesuatu fungsi hanya mempunyai
dua kemungkinan : ada (terdefinisi, terdefinisi; yakni jika limitnya
adalah L, atau – atau 0, atau ) atau tidak ada sama sekali
(tidak terdefinisi), dan tidak boleh taktentu (
).
Contoh:
1) lim → (1 2 ) 7
2) lim → (1 2 ) 1
3) lim → (1 2 )
4) lim → (1 2 )
B. Limit Sisi-Kiri, Limit Sisi-Kanan
Analisis mengenai limit sesuatu fungsi sesungguhnya dapat dipilih
menjadi dua bagian, tergantung dari sisi mana kita melihat gerakan
perkembangan variabelnya. Apabila kita menganalisislim → ( ) dari
nilai-nilai x yang lebih kecil daripada a (dari x <a ), berarti kita
melihatnya dari sisi kanan.
27
Jadi,
lim →
( )
terdiri atas
lim → ( ) lim → ( )
Limit sebelah kiri dari sebuah fungsi nilai yang didekati oleh fungsi
tersebut apabila variabelnya bergerak mendekati limitnya melalui nilai-
nilai yang membesar (x→a dari sisi kiri, melalui nilai-nilai x < a). Jadi,
jika lim → ( ) berarti merupakan limit sisi-kiri dari f(x)
untuk x →
Limit sisi-kanan dari sebuah fungsi adalah nilai yang didekati oleh
fungsi tersebut apabila variabelnya bergerak mendekati limitnya melalui
nilai-nilai yang mengecil (x → dari sisi kanan, melalui nilai-nilai x > a).
Jadi, jika lim → ( ) berarti merupakan limit sisi-kanan dari
f(x) untuk x →
Limit sebuah fungsi dikatakan ada jika dan hanya jika limit sisi-kiri
dan limit sisi-kananya ada serta sama. Dalam kasus semacam ini
lim →
( ) lim →
( ) lim →
( )
Apabila salah satu dari ketentuan-ketentuan tersebut diatas tidak
dipenuhi, maka limit dari fungsi yang bersangkutan tidak terdefinisi.
Dengan demikian limit sebuah fungsi dikatakan tidak ada jika limit salah
(analisis sisi
kanan)𝑥 → 𝑎 dilihat
dari nilai –nilai x> a
(analisis sisi
kiri)𝑥 → 𝑎 dilihat
dari nilai –nilai x< a
28
satu sisinya tidak ada, atau limit kedua sisinya tidak ada, atau limit kedua
sisinya ada tetapi tidak sama.
Contoh:
1) lim → (1 2 ) 7 (terdefinisi)
Sebab lim → (1 2 ) lim → (1 2
) 7
apabila tabel pada gambar 1.1 diperhatikan kembali dengan
seksama, akan terlihat bahwa gerakan x → 2 dari kiri (dari x = 1;
x = 1,50; x = 1,90 dan seterusnya) menyebabkab f(x) mendekati
nilai 7.
2) Andaikan y = f(x) =
maka
lim →
( ) lim →
3
lim
→ ( ) lim
→
3
Karena lim →
lim
→
lim
→
tidak terdefinisi.
-1
-2
-3
-4
-1 -2 -3 1 2 3
1
2
3
4
y=f(x)
f(x)= -3/x
x
29
Pada gambar tersebut, jika x mendekati 0 dari kiri ( dari x =
3 2, x = 1 dan seterusnya), maka f(x) akan menjadi positif tak
terhingga. Tetapi jika x mendekati 0 dari kana ( dari x = 3, x = 2, x = 1
dan seterusnya), maka f(x) akan menjadi negatif tak terhingga. Itulah
sebabnya untuk x → lim f .
/ ini tidak terdefinisi.
Konsep limit, yang secara matematik terasa samar-samar,
sebenarnya bukanlah sesuatu yang abstrak. Dalam kehidupan bisnis dan
ekonomi sehari-hari konsep ini cukup sering diterapkan. Ia
menggambarkan batas ideal tertentu (maksimum atau minimum) yang
dapat atau harus dipenuhi, dalam kondisi yang juga ideal. Ambillah
sebagai contoh tinggakt upah minimum. Ini menggambarkan batas upah
terendah yang harus dipenuhi. Kalaupun dalam kenyataan tingkat upah
minimum yang ideal ini tidak dipenuhi, karena kondisi ideal yang
mendukungnya tidak memadai, namun setidak-tidaknya upah minimum
yang langsung akan berkisar ditingkat ideal yang diharapkan (sedikit
diatasnya atau sedikit dibawahnya). Gambaran mengenai batas ideal ini
dapat pula kita temui dalam hal kapasitas produksi (maksimum), profit
(maksimum), biaya (minimum) dan sebagainya.
C. Kaidah-kaidah Limit
1. Jika y = f(x) = xn dan n > 0, maka lim → = .
Contoh : lim → 2 8 lim →
5 125
2. Limit dari suatu konstanta adalah konstanta itu sendiri.
Contoh : lim → 3 3
3. Limit dari suatu penjumlahan (pengurangan) fungsi adalah
jumlah (selisih) dari limit fungsi- fungsinya.
lim →
* ( ) ( )+ lim →
( ) lim →
( )
30
Contoh : lim → *(1 2 ) ( ) + lim → (1 2
)
lim →
= (1 2. 2 ) 2 7 8 1
4. Limit dari suatu perkalian fungsi adalah perkalian dari limit
fungsi-fungsinya.
lim →
* ( ) . ( )+ lim →
( ) . lim →
( )
Contoh :
lim →
*(1 2 ) . ( ) + lim →
(1 2 ) . lim →
( 7)(8) 56
5. Limit dari suatu pembagian fungsi adalah pembagian dari limit
fungsi-fungsinya, dengan syarat limit fungsi pembagiannya tidak
sama dengan nol.
lim → ( )
( )
→ ( )
→ ( ) dengan syarat lim → ( )
Contoh : lim → ( )
( )
→ ( )
→ ( )
= → ( )( )
→ ( ) = lim → ( 5) 1
6. Limit dari suatu fungsi berpangkat n adalah pangkat n dari limit
fungsinya.
lim →
* ( )+ {lim →
( )}
Contoh :
lim →
(1 2 ) {lim →
(1 2 )}
( 7) 343
7. Limit dari suatu fungsi terakar berpangkat positif adalah akar
dari limit fungsinya.
lim → {√ ( ) } √lim → ( )
n > 0
Contoh :
lim →
√( 44)
√lim →
( 44) √64
4
31
D. Penerapan Ekonomi
Penerapan limit dalam bidang ekonomi terbagi menjadi 2 yaitu:
a. Produksi Marginal
Produksi fisik marginal (MPP) didefenisikan sebagai output
tambahan yang dihasilkan dari adanya penggunaan satu unit tambahan
input (
). Jika perubahan → , maka turunan pertama dari
fungsi produksi marginal dinyatakan sebagai:
lim →
……(19)
Produksi fisik rata-rata akan sama dengan marginal produksi
fisik ( ) yaitu pada saat produksi rata-rata mencapai
maksimum. Secara geometris, dapat ditunjukan oleh perpotongan kurva
produksi rata-rata pada posisi maksimum dengan kurva produksi
marginalnya.
Contoh:
1. Diketahui fungsi produksi pada persamaan 6 dimana
P output produksi dan Q input produksi.
a. Carilah fungsi produksi marginal dan fungsi produksi rata-
rata
b. Hitunglah produksi total, produksi marginal dan produksi
rata-rata jika digunakan input sebanyak Q=10 unit.
c. Berapa total biaya maksimumnya.
Penyelesaian:
6
a. Fungsi produksi marginal,
12 3
Fungsi produksi rata-rata,
6
b. Pada 1 unit, maka
6 6 (1 ) (1 ) 6 1 5
32
12 3 12 (1 ) 3(1 ) 12 3
9
6 6 (1 ) (1 ) 6 1 5
c. Total produksi maksimum (TPP) dicapai pada saat MPP=0,
yaitu:
12 3 → (12 3 ) diperoleh
4 unit
Jadi, TPP maksimum
6 6 (4 ) (4 ) 96. 64. 32.
b. Elastisitas
Elastisitas dari suatu fungsi ( ) berkenaan dengan x dapat
didefinisikan sebagai :
lim
→
( )
( )
.
…… (23)
Ini berarti bahwa elastisitas ( ) merupakan limit dari rasio
antara perubahan relative dalam y terhadap perubahan relative dalam x,
untuk perubahan x yang sangat kecil atau mendekati nol. Dengan
terminology lain, elastisitas y terhadap x dapat juga dikatakan sebagai
rasio antara persentase perubahan y terhadap perubahan x.
Elastisitas terbagi menjadi 2 yaitu:
1. Elastisitas Permintaan
Elastisitas permintaan (istilahnya yang lengkap : elastisitas harga
permintaan, price elasticity of demand) ialah suatu koefisien yang
menjelaskan besarnya perubahan jumlah barang yang diminta akibat
adanya perubahan harga. Jadi, merupakan rasio antara persentase
perubahan jumlah barang yang diminta terhadap persentase perubahan
harga. Jika fungsi permintaan dinyatakan dengan Qd = f(P), maka
elastisitas permintaannya :
33
lim →
(
)
( )
.
……(24)
Dimana
tak lain adalah Q'd atau f'(P)
Permintaan akan suatu barang dikatakan bersifat elastic apabila
| | 1, elastic – uniter jika | | 1, dan inelastic bila | | 1. Barang
yang permintaanya elastic mengisyaratkan bahwa jika harga barang
tersebut berubah sebesar persentase tertentu, maka permintaan
terhadapnya akan berubah (secara berlawanan arah) dengan persentase
yang lebih besar daripada persentase perubahan harganya.
Contoh:
Fungsi permintaan akan suatu barang ditunjukan oleh persamaan
25 – 3 . tentukan elastisitas permintaannya pada tingkat
harga P = 5.
25 – 3
.
6 .
.
6 6 (5).
3 ( )
ηd = 3 berarti bahwa apabila, dari kedudukan 5, harga naik
(turun) sebesar 1 % maka jumlah barang yang diminta akan
berkurang (bertambah) sebanyak 3 %.
2. Elastisitas Penawaran
Elastisitas penawaran (istilahnya yang lengkap : elastisitas harga
penawaran, price elasticity of supply) ialah suatu koefisien yang
menjelaskan besarnya perubahan jumlah barang yang ditawarkan
berkenaan adanya perubahan harga. Jadi, merupakan rasio antara
persentase perubahan harga. Jika fungsi penawaran dinyatakan dengan
Qs = f(P), maka elastisitas penawarannya :
34
lim →
(
)
( )
.
……(25)
Dimana
tak lain adalah Q's atau f'(P).
Penawaran suatu barang dikatakan bersifat elastic apabila 1,
elastic – uniter jika 1 dan inelastic bila 1. Barang yang
penawarannya inelastic mengisyaratkan bahwa jika harga barang
tersebut (secara searah) dengan persentase yang lebih kecil daripada
persentase perubahan harganya.
Contoh :
Fungsi penawaran suatu barang dicerminkan oleh
2 7 . Berapa elastisitas penawarannya pada
tingkat harga P = 10 dan P = 15 ?
2 7
.
14 .
14
Pada 1 , 14 .
2 8
Pada 15, 21 .
2 3
2 8 berarti bahwa apabila dari kedudukan P = 10, harga naik
(turun) sebesar 1 % maka jumlah barang yang ditawarkan akan
bertambah (berkurang) sebanyak 2,8%. Dan 2 3 berarti
bahwa apabila dari kedudukan 15, harga naik (turun)
sebesar 1% maka jumlah barang yang ditawarkan akan
bertambah (berkurang) sebanyak 2,3%
3. Elastisitas Produksi
Elastisitas produksi ialah suatu koefisien yang menjelaskan
besarnya perubahan jumlah keluaran (output) yang dihasilkan akibat
35
adanya perubahan jumlah masukan (input) yang digunakan. Jadi,
merupakan rasio antara persentase perubahan jumlah keluaran
terhadap persentase perubahan jumlah masukan. Jika P melambangkan
jumlah produk yang dihasilkan sedangkan X melambangkan jumlah
factor produksi yang digunakan, dan fungsi produksi dinyatakan dengan
P = f(X), maka efisiensi produksinya :
lim
→
( )
( )
.
……(25)
Dimana
adalah produk marjinal dari X [P' atau f' (X)].
Contoh:
1. Fungsi produksi suatu barang ditunjukan oleh persamaan
6 – . Hitunglah elastisitas produksinya pada tingkat
penggunaan factor produksi sebanyak 3 unit dan 7 unit.
6 –
12 – 3
.
(12 3 ).
( )
Pada 3, (36 27) .
( ) 1
Pada 7, (84 147) .
( ) 9
1 berarti bahwa, dari kedudukan 3, maka jika jumlah
input dinaikkan (diturunkan) sebesar 1% maka jumlah output akan
bertambah (berkurang) sebanyak 1 %. Dan 9 berarti bahwa,
dari kedudukan 7, maka jika jumlah input dinaikkan
(diturunkan) sebesar 1% maka jumlah output akan bertambah
(berkurang) sebanyak 9 %.
36
LATIHAN II
1. Diketahui biaya tetap untuk produksi barang Q adalah sebesar 10,
dan biaya variabelnya 4 per unit. Tentukan persamaan total
biayanya (C) dan biaya rata-ratanya (AC)!
2. Perusahaan menaksir biaya memproduksi x unit barang (dalam
USD) adalah :C(x)=10.000+5x+0,01x2 .
a. Tulisakan biaya marginalnya!
b. Berapakah biaya marginalnya untuk 500 unit?
3. Diketahui FC = 8 dan AVC = 3 + 5Q. Tentukan total biaya produksi
Q, dan biaya rata-rata (AC). Dan hitung nilai limitnya
4. Pertambahan berat badan bayi dalam 30 hari pertama dinyatakan
dalam fungsi b(t) = (1400t2+2,5) kg dengan t dalam hari.
Tentukan kecepatan pertambahan berat badan bayi pada hari ke
20!
5. Sebuah perusahaan mempunyai biaya 3200 + 3,25x –
0,0003x2 dengan jumlah persatuan x=1000. tentukan biaya rata-
rata dan biaya marjinal?
6. Dalam suatu pasar diketahui fungsi permintaannya Qd = 40 - 2P
dan fungsi penawarannya Ps = Q + 5, berdasarkan informasi
tersebut maka harga keseimbangan terjadi pada...
7. Permintaan akan durian di Medan ditunjukkan oleh persamaan Q =
80 - 2P, sedangkan penawarannya dicerminkan oleh persamaan Q
= -120 + 8P. Harga keseimbangan dan jumlah keseimbangan pasar
durian di medan adalah...
8. Saat harga Rp . 15.000,00 permintaan lampu adalah untuk 4.000
untuk setiap barang , dan untuk setiap kenaikan harga Rp . 1.000,00
permintaan lampu turun 500 untuk setiap barang . Berdasarkan
data , fungsi permintaan adalah ....
37
9. Hitunglah elastisitas produksi dari fungsi produksi P = 5X2 – 5X3
pada tingkat faktor produksi sebanyak 2 unit!
10. Pada saat harga Jeruk Rp. 5.000 perKg permintaan akan jeruk
tersebut sebanyak 1000Kg, tetapi pada saat harga jeruk
meningkat menjadi Rp. 7.000 Per Kg permintaan akan jeruk
menurun menjadi 600Kg, buatlah fungsi permntaannya ?
38
BAB III DIFERENSIAL
A. Difernsiasi Parsial
Sebuah fungsi yang hanya mengandung satu variabel bebas hanya
akan memiliki satu macam turunan. Apabila y = f(x) maka turunanya
hanyalah turunan y terhadap x dengan kata lain y
.
Sedangkan jika sebuah fungsi mengadung lebih dari satu variabel
bebas maka turunannya akan lebih dari satu macam pula, sesuai dengan
jumlah macam variabel bebasnya. Jadi, jika sebuah fungsi mempunyai n
macam variabel bebas maka ia akan memiliki n macam turunan, yaitu
turunan y terhadap x atau
dan turunan y terhadap z atau
.
dengan demikian :
1. y = f(x,z)
a) fx(x,z) =
y
b) fz(x,z) =
dy =
dx +
dz .
p = f(q,r,s)
a) fq(q,r,s) =
p b) fr(q,r,s) =
b) fs(q,r,s) =
dp =
dq +
dr +
ds
dan
dalam kasus 1serta
,
, dan
dalam kasus 2 masing-
masing di namakan derivatif parsial. Sedangkan
dx ,
dz ,
dq ,
39
dr , dan
ds dinamakan diferensial parsial. Adapun dy dan dp
dinamakan diferensial total.
Contoh :
y = x3 + 5z2 4x2z 6xz2 + 8z – 7
(1)
= 3x2 – 8xz – 6z2
(2)
= 10z – 4x2 – 12xz + 8
Dalam menurunkan y terhadap x yang dilambangkan dengan
,
hanya suku-suku yang mengandung variabel x yang diperhitungkan ;
sedangkan suku-suku yang tidak mengandung variabel x dianggap
sebagai konstanta dan turunannya adalah nol. Di lain pihak dalam
menurunkan y terhadap z yang dilambangkan dengan
, hanya suku-
suku yang mengandung variabel z yang diperhitungkan ; sedangkan
suku-suku yang tidak mengandung variabel z dianggap sebagai
konstanta dan turunannya adalah nol.
B. Derivatif Dari Derivatif Parsial
Seperti halnya fungsi dengan satu variabel bebas, fungsi dengan
lebih dari satu variabel bebas pun dapat diturunkan lebih dari satu kali.
Dengan kata lain masing-masing turunan parsialnya masih mungkin
diturunkan lagi . Turunan berikut dari turunan parsial tadi sudah barang
tentu bias sangat bervariasi, tergantung dari bentuk turunan parsial
tersebut. Apabila suatu turunan parsial berbentuk suatu fungsi yang
tinggal mengandung satu macam variabel bebas, maka turunan
berikutnya hanya ada satu macam. Akan tetapi bila suatu turunan parsial
berbentuk suatu fungsi yang masih mengandung beberapa macam
variabel bebas, maka turunan berikutnya masih dapat dipecah-pecah lagi
menjadi beberapa turunan parsial pula.
40
Contoh :
y = x3 + 5z2 4x2z 6xz2 + 8z – 7
(1)
= 3x2 – 8xz – 6z2
(2)
= 10z – 4x2 – 12xz + 8
Dalam contoh diatas ∂y/ ∂x maupun ∂y/ ∂z masih dapat
diturunkan secara parsial lagi baik terhadap x maupun terhadap z
(1a)
terhadap x :
= 6x – 8z
(1b)
terhadap z
= -8x – 12z
(2a)
terhadap x :
= -8x – 12z
(2b)
:
= 10 – 12x
Ternyata turuna parsial kedua (1a), (1b), (2a) dan (2b) masih
dapat di turunkan secara parsial lagi baik terhadap x maupun terhadap z.
(1a.1)
terhadap x :
= 6
(1a.2)
terhadap z :
= -8
(1b.1)
terhadap x :
= -8
(1b.2)
terhadap z :
= -12
(2a.1)
terhadap x :
= -8
(2a.2)
terhadap z :
= -12
(2b.1)
terhadap x :
= -12
(2b.2)
terhadap z :
= 0
Sekarang turunan-turunan parsial ketiga ini tidak dapat lagi
diturunkan secara parsial, karena masing-masing hanya tinggal
mengandung konstanta.
41
C. Nilai Ekstrim : Maksimum dan Minimum
Nilai-nilai ekstrim dari sebuah fungsi yang mengandung lebih dari
dua variabel bebas dapat dicari dengan pengujian sampai derivatif
keduanya.
Syarat di atasadalah syarat yang diperlukan (necessary condition)
agar fungsi mencapai titik ekstrim. Guna mengetahui apakah titik
ekstrim itu berupa titik maksimum ataukahtitik minimu, dibutuhkan
syarat yang mencangkupkan (sufficient condition) , yakni:
Dalam hal
dan
= 0 , tak bias di tegaskan mengenai
nilaiekstrimnya. Untuk kasuasmacamini diperlukan penyelidikan
danpengujianlebih lanjut.
Contoh :
Fungsi permintaan akan dua macam barang a dan b, masing-
masing ditunjukkan oleh 1 2 4 dan 12
2 4
Hitunglah elastisitas permintaan masing-masing barang dan
jelaskan bentuk hubungan antara kedua macam barang tersebut,
jika harga a dan b masing-masing sebesar 4 dan 3 per unit.
Untuk y = f(x,y),
Maka y akan mencapai titik ekstrimnya jika :
𝝏𝒚
𝝏𝒙 = 0 dan
𝝏𝒚
𝝏𝒛 = 0
Maksimum bila 𝝏2𝒚
𝝏𝒙2 0 dan
𝝏2𝒚
𝝏𝒛2 0
Minimum bila 𝝏2𝒚
𝝏𝒙2 0 dan
𝝏2𝒚
𝝏𝒛2 0
42
Penyelesaian :
1 2 4 12 2 4
2
4
2
2
Jika 4 1 2(4) 4(3) 14
3 12 2(4) 4(3) 8
.
2.
= -
.
4.
=
.
4.
= -
.
2.
= 1
Permintaan akan barang a bersifat inelastis karena 1,
sedangkan permintaaan akan barang b bersifat elastis 1.
Hubungan antara a dan b bersifat subtitutif karena elastisitas silang
permintaannya bertanda positif.
D. PENERAPAN EKONOMI
Pendekatan diferensial parsial sangat bermanfaat untuk diterapkan
pada model-model ekonomi yang mengandung lebih dari satu variabel
bebas,dalam hal kita hendak menelaah secara parsial pengaruh dari
salah satu variabel bebas tadi terhadap vaiabel berikutnya.
1. Permintaan Marjinal dan Elastisitas Permintaan Parsial
Apabila dua macam barang mempunyai hubungan dalam
penggunaannya,maka permintaan akan masing-masing barang akan
fungsional terhadap harga kedua macam barang tersebut.Dengan
perkataan lain jika barang a dan barang b mempunyai hubungan
penggunaan,maka :
43
daQ = f ),( ba pp dan ),( badb ppfQ
Derivatif pertama dari daQ dan dbQ adalah fungsi – fungsi
permintaan
marjinalnya,dimana:
a
da
P
Q
adalah permintaan marjinal a berkenaan dengan
aP
b
da
P
Q
adalah permintaan marjinal a berkenaan dengan bP
a
db
P
Q
adalah permintaan marjinal b berkenaan dengan
aP
b
db
P
Q
adalah permintaan marjinal a berkenaan dengan bP
Dengan dapat diturunkannya fungsi permintaan marjinal
tersebut,dapatlah dihitung elastisitas permintaan parsialnya.Dalam hal
ini terdapat dua macam elastisitas permintaan,yaitu elastisitas yang
mengukur kepekaan perubahan permintaan suatu barang berkenaan
perubahan harga barang itu sendiri ( elastisitas harga-permintaan ),dan
elastisitas yang mengukur kepekaan perubahan harga barang lain
(elastisitas silang – permintaan ).
dae a
da
P
Q
= da
a
a
da
a
da
Q
P
P
Q
EP
EQ.
db
b
b
db
b
db
b
db
dbQ
p
P
Q
EP
EQ
P
Qe .
da
b
b
da
b
da
b
da
abQ
P
EP
Q
EP
EQ
P
Qe .
44
db
a
a
db
a
db
a
db
baQ
P
P
Q
EP
EQ
P
Qe .
dbdadanee keduanya merupakan elastisitas harga permintaan.
Sedangkan abe dan
bae keduanya negatif (abe <0 dan
bae < 0 )
untuk Pa dan Pb tertentu ,berarti hubungan antara barang a dan
barang b adalah komplementer atau saling melengkapi; sebab
penurunan harga salah satu barang akan diikuti oleh kenaikan
permintaan atas keduanya. Sedangkan jika baik eab maupun eba
keduannya positif (eab > 0 dan eba > 0) untuk Pa dan Pb tertentu , berarti
hubungan antara barang a dan b adalah kompotitif atausuftitutif atau
saling menggantikan; sebab penurunan harga salah satu barang akan
diikuti oleh kenaikan permintaan atas barang tersebut dan penurunan
permintaaan atas barang tersebut.
Contoh :
Fungsi permintaan akan barang a dan barang b masing-masing
ditunjukkan
oleh . .
1 dan . . 1
Berapa elastisitas permintaan masing-masing barang dan
bagaimana
hubungan antara kedua barang tersebut?
. .
1
.
.
2 .
3 .
. . 1
45
1
.
.
.
3 .
=
.
= -2
. .
.
= 2
=
.
=
. .
.
= -1
=
.
= -3
. .
.
= -3
=
.
= -3
. .
.
= -3
Barang a adalah barang elastis karena eda >1. Sedangkan b adalah
barang yang unitary-elastic karena eda = 1 ( ingat: dalam dalam
menafsirkan elastisitas harga-permintaan cukup dengan melihat
besarnya angka hasil perhitungan, tandanya tak perlu dihiraukan ).
Adapun hubungan antara a dan b adalh bersifat komplementer
karena eab > 0 dan eba > 0 .
2. Perusahaan Dengan Dua Macam Output dan Biaya Produksi
Gabungan
Apabila sebuah perusahaan menghasilkan dua macam output, dan
biaya yang dikeluarkannya untuk memproduksi kedua macam output itu
Merupakan biaya produksi gabungan ( joint production cost ), maka
perhitungan keuntungan maksimum yang diperolehnya dapat
diselesaikan dengan pendekatan diferensiasi parsial. Dengan metode
46
serupa, pendekatan ini dpat pula digunakan untuk menganalisa kasus
perusahaan yang menghasilkan lebih dari dua macam output yang biaya
produksinya juga merupakan biaya produksi gabungan.
Andaikan sebuah perusahaan memproduksi dua macam barang, a
dan b, dimana fungsi permintaan akan masing-masing barang
dicerminkan oleh Qa dan Qb, serta biaya produksinya C = f ( Qa, Qb). Maka
Penerimaan dari memproduksi a : Ra = Qa . Pa = f (Qa)
Penerimaan dari memproduksi b : Rb = Qb . Pb = f (Qb)
Penerimaan total : R = Ra + Rb = f(Qa) + f(Qb)
Dengan biaya total C = f (Qa + Qb), fungsi keuntungannya :
= R – C = f(Qa) + f(Qb) – f (Qa, Qb) = g(Qa, Qb)
maksimum bila = 0
(1) Qa =
= 0
(2) Qb =
= 0
Dari (1) dan (2) nilai Qa dan Qb dapat diperoleh. Selanjutnya
nilai maksimum bisa dihitung.
Contoh :
Biaya total yang dikeluarkan sebuah perusahaann yang
memproduksi dua macam barang, a dan b, ditunjukkan oleh C =
+ 3
+ Qa . Qb . harga jual masing-masing barang per unit
adalah Pa = 7 sedangkan Pb = 20. Hitunglah berapa unit masing-
masing barang harus diproduksi agar keuntungannya maksimum
dan besarnya keuntungan maksimum tersebut.
Penyelesaian :
Ra = Qa . Pa = 7 Qa
R = Ra + Rb = 7Qa + 20 Qb
Rb = Qb . Pb = 20 Qb
= R – C = 7 Qa + 20 Qb - + 3
+ Qa . Qb
47
Agar maksimum, = 0
(1)
= 0 → 7 2 Qa – Qb = 0
(2)
= 0 → 20 – 6 Qb – Qa = 0
Dari (10) dan (2) diperoleh Qa = 2 dan Qb = 3
maksimum = 7 Qa + 20 Qb - + 3
+ Qa . Qb
= 7(2) + 20(3) – 2 - 3(3) – (2) (3) = 37
Jadi agar keuntungan maksimum, perusahaan harus
memproduksi 2 unit a dn 3 unit b dengan keuntungan sebesar 37.
3. Produk Marjinal Parsial
Untuk memperoleh sesuatu barang pada dasarnya diperlukan
beberapa macam input atau faktor produksi seperti tanah, modal, tenaga
kerja, bahan baku, mesin-mesin dan sebagainya. Jika jumlah output yang
dihasilkan dilambangkan dengan P dan input-input yang digunakan
dilambangkan dengan xi (i = 1,2,....., n), maka fungsi produksinya dapat
dituliskan dengan notasi p = f (x1,x2,x3,.....,xn).
Sebagian dari input yang digunakan sudah barang tentu merupakan
input tetap, sementara sebagian lainnya adalah input variabel.
Selanjutnya jika untuk memproduksi suatu barang dianggap hanya ada
dua macam input variabel (katakanlah K dan L), maka fungsi
produksinya secara pasti dapat dinyatakan dengan :
P = f(K,L)
Derivatif pertama dari P merupakan produk marjinal parsialnya.
adalah produk marjinal berkenaan dengan input K.
adalah produk marjinal berkenaan dengan input L.
Untuk P= konstanta tertentu, fungsi produksi P = f (K,L)
merupakan suatu persamaan isoquant, yaitu kurva yang menunjukan
48
berbagai kombinasi penggunaan input K dan L yang menghasilkan
output dalam jumlah sama.
4. Keseimbangan produksi
Keseimbangan produksi maksudnya ialah suatu keadaan atau
tingkat penggunaaan kombinasi faktor-faktor produksi secara optimum,
yakni suatu tingkat pencapaian produksi dengan kombinasi biaya
terendah (least cost combination). Secara geometri, keseimbangan
produksi terjadi pada persinggungan isocost dengan isoquant. Isocost
adalah kurva yang mencerminkan kemampuan produsen membeli
berbagai macam input berkenaan dengan harga masing-masing input
dan jumlah uang yang dimilikinya. Jika jumlah dana yang dianggarkan
untuk membeli input K dan input L adalah sebesar M, serta harga input K
dan input L masing-masing Pk dan P1, Persamaan isocostnya dapat
dituliskan dengan notasi M = K. Pk +L.P1.
Tingkat kombinasi penggunaan input yang optimum atau “least
cost combination” dapat dicari dengan metode lagrange. Dalam hal ini
fungsi produksi P = f (K,L) di maksimumkan terhadap fungsi isocost M =
K.PK + L.P1.
Fungsi objektif yang hendak di optimumkan : P = f( K,L)
Fungsi kendala yang di hadapi : M = K. Pk +L.P1
K. Pk +L.P1-M = 0
Fungsi baru lagrange : F(K,L) + f(K,L) + (K. Pk +L.P - M)
Syarat yang diperlukan agar F(K,L) maksimum :
FK (K,L) = 0 → ( ) Pk = 0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .(1)
FL (K,L) = 0 → ( ) P1 = 0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . (2)
Dari (1) dan (2) nilai K dan nilai L dapat di peroleh. Selanjutnya
nilai P maksimum bisa dihitung.
Sekarang perhatikan :
49
Produk total : P = f (K,L)
(i) Produk marjinal input K : MPK = fK(K,L) =
(ii) Produk marjinal input L : MPL = fL (K,L) =
Pengembangan lebih lanjut persamaan (1) dan (2) diatas tadi akan
menghasilkan :
(1) fk (K,L) + Pk = 0 → fk (K,L) =- Pk, = ( )
(2) fl (K,L) + Pl = 0 → fl (K,L) =- Pl, = ( )
Dengan demikian, syarat keseimbangan produksi dapat juga
dirumuskan :
( )
=
( )
=
Jadi dalam rumusan lain dapat pula dinyatakan, bahwa produksi
optimum dengan kombinasi biaya terendah akan tercapai apabila hasil
bagi produk marjinal masing-masing input terhadap harganya bernilai
sama.
Contoh :
Fungsi produksi suatu barang dinyatakan dengan P = 6
.
Bentuklah
fungsi produk marjinal untuk masing-masing faktor produksi.
Berapa produk
marjinal tersebut jika digunakan 8 unit K dan 27 unit L ?
Penyelesaian :
P = 6
MPk = Pk =
= 4
=
Jika K = 8 dan L = 27,
50
MPk = ( )
= √
√ =
( )
= 6
MPl = ( )
= √
√ =
√
√ =
( )
=
5. Utilitas Marjinal Parsial dan Keseimbangan Konsumsi
Dalam kenyataan sehari-hari, seorang konsumen tidak hanya
mengkonsumsikan satu macam barang tetapi berbagai macam. Jika
kepuasan konsumen dilambangkan dengan U dan barang-barang yang
dikonsumsinya dilambangkan dengan Qi = (1,2,3,.....,n), maka fungsi
utilitas dapat dituliskan dengan notasi U = f (Qi, Q2,Q3,.....,Qn).
Seandainya untuk penyederhanaan dianggap bahwa seorang
konsumen hanya mengkonsumsi dua macam barang, katakanlah X dan Y,
maka fungsi utilitasnya adalah :
U = f( X,Y)
Derivatif pertama dari U merupakan utilitas marjinal parsialnya.
= utilitas marjinal berkenaan dengan barang X.
= utilitas marjinal berkenaan dengan barang Y.
Untuk U adalah konstanta tertentu, fungsi utilitas U = f(X,Y)
merupakan suatu persamaan kurva indiferens (indifference curve), yaitu
kurva yang menunjukan berbagai kombinasi konsumsi barang X dan Y
yang memberikan tingkat kepuasan sama.
Keseimbangan Konsumsi
Keseimbangan konsumsi maksudnya adalah suatu keadaan atau
tingkat kombinasi konsumsi beberapa macam barang yang memberikan
kepuasan optimum. Secara geometri, keseimbangan konsumsi terjadi
pada persinggungan kurva indiferens dengan garis anggaran konsumen
(budget line). Garis anggaran adalah garis yang mencerminkan
51
kemampuan konsumen membeli berbagai macam barang berkenaan
dengan harganya masing-masing dan pendapatan konsumen. Jika
pendapatan konsumen berjumlah M serta harga barang X dan Y masing-
masing Px dan Py per unit, persamaan budget line nya dapat dituliskan
dengan notasi M = x.Px + y.Py
Tingkat kombinasi konsumsi yang memberikan kepuasan optimum
atau keseimbangan konsumsi dapat dicari dengan metode lagrange.
Dalam hal ini, fungsi utilitas U = f(X,Y) dimaksimumkan terhadap fungsi
anggaran
M = x.Px + y.Py. analog dengan penyelesaian keseimbangan produksi
sebagaimana diuraikan pada seksi sebelum ini, diperoleh fungsi lagrange
:F(X,Y) = f(X,Y) + (x.Px + y.Py – M)
Agar F maksimum :
Fx (X,Y) = 0→ fx(X,Y) + Px = 0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . (1)
Fy (X,Y) = 0→ fy(X,Y) + Py = 0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .(2)
Dari (1) dan (2) nilai X dan Y dapat diperoleh, kemudian nilai U
maksimum bisa di hitung. Selanjutnya perhatikan :
Utilitas total : U = f(X,Y)
Utilitas marjinal : MU U f (X Y)
(i) Utilitas marjinal barang X : MUx = fx(X,Y) =
(ii) Utilitas marjinal barang Y : MUy = fy(X,Y) =
Menurut (1) : fx(X,Y) + Px = 0 → - = ( )
Menurut (2) : fy(X,Y) + Py = 0 → - = ( )
Dari (1) dan (2)
52
( )
=
( )
=
Jadi dalam rumusan lain dapat pula dinyatakan, bahwa
keseimbangan konsumsi akan tercapai apabila hasil bagi utilitas marjinal
seimbang masing-masing barang terhadap harganya bernilai sama.
Contoh :
Kepuasan seorang konsumen dari mengkonsumsikan barang X
dan Y dicerminkan oleh fungsi utilitas U = X2Y3. Jumlah
pendapatan konsumen 1.000 rupiah, harga X dan Y perunit
masing-masing 25 rupiah dan 50 rupiah.
a). Bentuklah fungsi utilitas marjinal tiap masing-masing barang.
b). Berapa utilitas marjinal tersebut jika konsumen
mengkonsumsikan 14 unit X dan 13 unit Y?
Penyelesaian :
a) U = X2Y3
MUx = Ux =
2
MUy = Yy =
3
b) Jika X = 14 dan Y = 13,
MUx = 2 (14)(13)3 =1=61.516
MUy = 3 (14)2 (13)2 = 99.372
=
.
2.46 64
=
.
1.987 44
53
LATIHAN III
1. Andaikan kepuasaan total seorang konsumen dari mengkonsumsi
barang X dan Y dirumuskan oleh persamaan utilitas . Jika
konsumen tersebut menyediakan anggaran sebesar 4000 rupiah
untuk membeli X dan Y, sedangkan harga X dan Y masing-masing
150 rupiah dan 200 rupiah per unit, hitunglah berapa unit X dan Y
seharusnya ia beli agar kepusaan maksimum?
2. Fungsi permintaan akan dua macam barang a dan b, masing-masing
ditunjukkan oleh 1 2 4 dan 12 2 4 .
Hitunglah elastisitas permintaan masing-masing barang dan
jelaskan bentuk hubungan antara kedua macam barang tersebut,
jika harga a dan b masing-masing sebesar 4 dan 3 per unit.
3. Buktikan bawah fungsi produksi Cobb-Douglas P=6 K2/3 L1/3 adalah
fungsi homogen berderajat satu (Homogen linier)
4. Jelaskan termasuk fungsi homogen berderajat berapakah fungsi
fungsi produksi P = 0,75 K2 + 0,60 L2 – 0,50 KL ini.
5. Fungsi permintaan akan barang A dan barang B masing – masing
ditunjukkan oleh Qda . Pa2 . Pb4 – 1 = 0 dan Qdb . Pa . Pb2 – 1 = 0 ,
berapa elastisitas permintaan masing-masing barang
6. Fungsi permintaan akan barang A dan barang B masing – masing
ditunjukkan oleh Qda . Pa2 . Pb4 – 1 = 0 dan Qdb . Pa . Pb2 – 1 = 0 ,
bagaimanakah hubungan antara kedua barang tersebut?
7. Biaya total yang dikeluarkan sebuah perusahaan yang
memproduksi dua macam barang, A dan B ditunjukkan oleh C =
2Qa2 + Qb2 + Qa . Qb. Harga jual masing-masing barang perunit
adalah Pa = 6 sedangkan Pb = 20. Hitunglah berapa unit masing –
masing barang harus diproduksi agar keuntungannya maksimum
dan besarnya keuntungan maksimum tersebut?
54
8. Seorang produsen mencadangkan 96 rupiah untuk membeli input K
dan input L. Harga per unit input K adalah 4 rupiah dan input L
adalah 3 rupiah. Fungsi produksinya P = 12 KL. Berapa unit
masing-masing input seharusnya ia gunakan agar produksinya
optimum, dan berapa unit output yang dihasilkannya dari
kombinasi tersebut ?
9. kepuasan seorang konsumen dari mengkonsumsikan barang X dan
Y dicerminkan oleh fungsi utilitas U = XY2. Harga X dan Y perunit
masing masing 20 rupiah dan 50 rupiah.
10. Fungsi produksi suatu barang dinyatakan dengan P = 2X2 Y3.
Bentuklah fungsi produksi marjinal utnuk masing-masing factor
produksi. Berapa produk marjinal tersebut jika digunakan 6 unit X
dan 12 unit Y ?
55
BAB IV INTEGRAL
A. Pengertian Integral
Dalam kalkulus integral di kenal dua macam pengertian integral,
Yaitu integral tak tentu ( indefinite integral ) dan integral tertentu (
definite integral). Integral tak tentu adalah keblikan dari diferensial yaitu
suatu konsep yang berhubungan dengan proses penemuan suatu fungi
asal apabila turunan atau derivative dari fungsinya di ketahui.
Sedangkan integral tertentu merupakan suatu konsep yang berhubungan
dengan proses pencarian luas suatu area yang batas-batas atau limit dari
area tersebut sudah tertentu .
B. Macam-Macam Integral
1. Integral tak Tentu
Mengintegralkan suatu fungsi turunan f(X) berarti adalah mencari
integral atau turunan antinya, yaitu f(X) yang apabila di derefisiasikan
menghasilkan f(X) . Bentuk umum integral f(X) adalah
Di mana k adalah sembarang konstanta yang nilainya tidak tertntu .
dalam rumusan di atas tanda ∫ adalah tanda integral f(X) dX adalah
diferensial dari f (X) ; f(X) sendirian di sebut integran , dX sendirian di
sebut diferensial , f(X) adalah integral particular, k adalah konstanta
pengintegralan dan F(X) + k merupakan fungsi asli atau fungsi asal.
Proses mengintegralkan di sebut juga integrasi. Dalam diferensial kita
menemukan , bahwa jika misalnya suatu fungsi asal di lambangkan
dengan f(X) dan fungsi turunya di lambangkan dengan f(X) maka,
Fungsi asal : F(X) = X2 + 5
Fungsi turunanya f(x) = ( )
2
𝑓(𝑋)𝑑𝑋 𝐹 (𝑋) 𝑘
56
Jika prosesnya dibalik, yakni fungsi turunan f(X) di
integralkan maka
∫ ( ) ( ) X2 + k
Karena derivative dari setiap konstantan adalah 0 , maka dalam
mengintegralkan setiap fungsi turunan konstanta k tetap dalam bentuk
k. artinya nilai konstanta tersebut tidak dengan sendirinya bisa di isi
dengan bilangan tertentu, kecuali di dalam soal memang sudah di
tentukan nilai konstantanya.
a. Kaidah-kaidah Integrasi tak tentu
1. Formula Pangkat
Contoh : ∫ X4 dX =
+ k =
+ k
2. Formula Logaritmis
Contoh : ∫
dX = 3 ln x + k
3. Formula eksponensial
Contoh :
∫ ex+2 dX ∫ e x+2 d(x+2)
= e x+2 + k
∫
𝑥 dX = ln x + k
∫ ex dx = e
x + k
∫ eu du = e
u + k , u
∫ Xn dX =
𝑋𝑛
𝑛 + k , n
57
4. Formula Penjumlahan
Contoh :
∫ ( x4 + 3x2) dx ∫ x4 dx ∫ 3x2 dx
= 0,25 x5 + x3 + k
5. Formula perkalian
Contoh :
∫ 3x2 dx 3 ∫ x2 dx
= 3
+ k
= x3 + k
6. Formula Subtitusi
Contoh :
Selesaikanlah 1. ∫ 6x (3x2 – 1 ) dx …
∫ 6x (3x2 – 1 ) dx ∫ (18x3 – 60x) dx
= 4,5x4 – 30x2 + k
∫ { f(x) + g(x) } dx = ∫ f (x) dx + ∫ g(x) dx
= F(x) + G(x) + k
∫ nf (x) dx = n ∫ f( x ) dx n ≠ 0
∫ f( u) 𝑑𝑢
𝑑𝑥 dx = ∫ f(u) du = F (u) + k
Di mana u = g(x) , dan ∫ du merupakan substitusi
bagi ∫ dx
58
C. Penerapan Dalam Bidang Ekonomi
Sudah dijelaskan bahwa integral tak tentu dalam dunia ekonomi
fungsi sering diterapkan untuk mencari persamaan fungsi biaya,
penerimaan, fungsi produksi,fungsi utilitas,fungsi konsumsi dan
tabungan .
Berikut ini adalah langakah – langakah untuk cara penerapan
integral tak tentu :
1. Fungsi Biaya
Biaya total : C =f (Q)
Biaya marjinal : MC C
f (Q)
Biaya total tak lain adalah integral dari biaya marjinal
Contoh :
Biaya marjinal suatu perusahaan di tunjukkan oleh
MC = 3Q2- 6Q + 4
Carilah persamaan biaya total dan biaya rata-ratanya?
Penyelesaian :
Biaya total : C ∫ MC dQ
∫ ( 3 Q2 – 6Q + 4) dQ
= Q3 – 3Q2 + 4Q + k
Biaya rata-rata : AC =
= Q2 – 3Q + 4 +K / Q
Konstanta k tak lain adalah biaya tetap . jika di ketahui biaya tetap
tersebut adalah 4 , maka:
C = Q3 – 3Q2 + 4Q + 4
AC = Q2 – 3Q + 4 + 4 / Q
C = ∫ MC dQ = ∫ f’ (Q)
59
2. Fungsi Penerimaan
fungsi penerimaan dapat kita cari dengan integral tak tentu dengan
langakah seperti berikut :
Penerimaan total (TR) adalah integral dari penerimaan marginal
(MR).
Contoh :
Diketahui MR suatu perusahaan adalah 15Q2 + 10Q – 5. Tentukan
penerimaan totalnya (TR), jika c = 0 ?
TR ∫ MR dQ
∫ 15Q2 + 10Q – 5 dQ
= 5Q3 + 5Q2 – 5Q + c
Jika c = 0
TR = 5Q3 + 5Q2 – 5Q
3. Fungsi Produksi
Fungsi produksi dapat kita cari dengan integaral tak tentu dapat
dilakukan dengan langkah – langakah sebagai berikut ini.
1. Produk Total : P = f(Q), dimana P = keluaran dan Q =
masukan
2. Produk Marjinal : MP P
f (Q)
3. Produk Total adalah integral dari produk marjinal.
F(Q) = ∫ f(Q) dQ
TR = ∫ MR dQ
P = ∫ MP dQ = ∫ f’(Q) dQ
60
Contoh: :
Diketahui produk marjinalnya 2Q2 + 4, maka produk totalnya jika c = 0 ?
penyelesaian :
P ∫ MP dQ
∫ ( 2Q2 + 4 ) dQ
=
Q3 + 4Q + c
Jika c = 0
P =
Q3 + 4Q
Analisa : Dari perhitungan tersebut dapat diketahui bahwa fungsi
total produksi adalah P = 2/3 Q3 + 4Q
4. Fungsi Utilitas
Utilitas total : U = f(Q)
Utilitas marjinal : MU U
f (Q)
Utilitas total tak lain adalah integral dari utilitas marjinal
Contoh :
Carilah persamaan utilitas total dari seorang konsumen jika utilitas
marjinal MU = 90 – 10 Q ?
Penyelesaian :
Utilitas Total : U ∫ MU dQ
∫ ( 9 – 10Q) dQ
= 90Q – 5 Q2
U = ∫ MU dQ = ∫ f’ (Q) dQ
61
konstanta k = 0 , sebab tidak akan ada kepuasan atau untilitas yang
diperoleh seseorang jika tidak ada barang yg di konsumsi.
5. Fungsi Konsumsi dan Fungsi Tabungan
Dalam ekonomi makro, konsumi ( C ) dan tabungan (S) dinyatakan
fungsional terhadap pendapatan nasional (Y).
C = f (Y) = a + bY
MPC C
f (Y) b
Karena Y = C + S , maka
S = g (Y) = -a + (1- b )Y
MPS C
g (Y) (1 – b)
Berdasarkan kaidah integrasi, konsumsi dan tabungan masing-
masing adalah integral dari marjinal propensity to consume dan
marginal propensity to save.
Contoh:
Carilah fungsi konsumsi dan fungsi tabungan masyarakat sebuah
negara jika diketahui autonomous consumptionnya sebesar 30
milyar dan MPC = 0,8 ?
Penyelesaian :
C ∫ MPC dY ∫ 8 dY 8 dY 3 milyar
S ∫ MPS dY ∫ 2 dY 2 dY - 30 milyar atau
S = Y – C = Y – ( 0,8Y + 30 milyar ) = 0,2Y – 30 milyar
C = ∫ MPC dY = F (Y) + k k ≡ a
S = ∫ MPS dY = G(Y) + k k ≡ -a
62
D. Integral Tertentu
Kalau ʃ f(x) dx disebut integral tak tentu yang merupakan fungsi F
(x) c yang turunannya F (x) f (x) maka yang dimaksud dengan
integral tertentu adalah integral yang mempunyai batas bawah dan batas
atas, yang tertulis dalam bentuk aʃb f(x).dx ; a adalah batas bawah dan b
adalah batas atas.
Harga integral ini adalah tertentu yang ditentukan oleh besarnya
harga a dan b, yang merupakan selisih antara F (b) dan F (a).
Menjadi :
Notasi [F(x)] berarti bahwa pada fungsi F(x), harga x harus
diganti dengan harga b dan a, kemudian hitunglah selisih antara F(b)
dengan F(a).
Dengan demikian pada perhitungan integral tertentu,
kita harus menentukan dulu hasil dari integral tak tentu, tetapi tidak
lagi memasukkan faktor konstan c pada perhitungan F(b) – F(a) karena
dari selisih F(b) – F(a) faktor c akan hilang.
Contoh:
2ʃ4 (3x2 + 4x – 2) dx = [x3 + 2x2 – 2x]
= (43 + 2.42 – 2.4) – (23 + 2.22 – 2.2)
= 88 – 12 = 76
E. Kaidah - kaidah Integral Tertentu
Untuk a < c < b, berlaku :
1. aʃb f(x)= [F(x)]
F(b) – F(a)
2. aʃbf(x).dx = 0
3. aʃbf(x).dx = -aʃbf(x).dx
aʃb f(x)= [F(x)] 𝑎
𝑏 F(b) – F(a)
63
4. aʃcf(x).dx + cʃbf(x).dx = aʃbf(x).dx
5. aʃb{f(x) + g(x)}.dx = aʃbf(x).dx + aʃbg(x).dx
6. aʃbk.f(x).dx = k.aʃbf(x).dx ; (k = bilangan konstan)
F. Aplikasi Integral Tertentu dalam Surplus Konsumen dan Surplus
Produsen
Operasi hitung integral dapat diterapkan dalam persoalan ekonomi,
misalnya dalam integral tak tentu digunakan menghitung fungsi total,
dan dalam integral tertentu digunakan untuk menghitung surplus
konsumen dan surplus produsen.
Jika diketahui fungsi demand dan supply suatu barang, operasi
hitung integral dapat dipakai untuk menghitung surplus konsumen dan
surplus produsen pada saat market equilibrium atau pada tingkat harga
tertentu.
1. Surplus Konsumen
Konsumen yang mampu atau bersedia membeli barang lebih
tinggi (mahal) dari harga equilibrium Pe akan memperoleh kelebihan
(surplus) untuk tiap unit barang yang dibeli dengan harga Pe. Pada saat
equilibrium, jumlah total pengeluaran (total expenditure) konsumen =
Pe.Qe yang dalam gambar ini adalah luas empat persegi panjang OPeEQe,
sedangkan konsumen yang tadinya bersedia membeli barang ini lebih
tinggi dari harga Pe akan menyediakan uang yang banyaknya = luas
daerah yang dibatasi kurva demand yang sumbu tegak P, sumbu
mendatar Q, dan garis ordinat o = Qe .
64
Karena itu, besarnya surplus konsumen yakni selisih antara
jumlah uang yang disediakan dikurangi dengan jumlah pengeluaran
nyata konsumen sehingga surplus konsumen dapat dinyatakan sebagai
berikut:
Dalam hal fungsi permintaan berbentuk P = f (Q)
Atau Cs = ∫ ( )
dP
Dengan demikian
Jika dari fungsi demand p = f(x) maka hasil dari 0ʃa f(x).dx adalah
jumlah uang yang disediakan.
Contoh :
Fungsi permintaan akan suatu barang di tunjukan oleh persamaan
Q = 48 – 0,03 P2 . hitunglah surplus konsumen jika tingkat harga pasar
30 ?
Cs =∫ 𝑓 (𝑄)𝑄𝑒
dQ –
QePe
Cs = ∫ 𝑓 (𝑄)𝑄𝑒
dQ – QePe =
∫ 𝑓 (𝑃)𝑝
𝑃𝑒 dP
65
Jawab :
Di ketahui : Q = 48- 0,03P2
Pe = 30
Di Tanya : Cs ….?
Penyelesaian :
Q = 48 – 0,03P2
Jika P = 0, Q = 48
Jika Q = 0 ,P = 40
Jika P ≡ Pe 3
Q ≡ Qe 21
Cs= ∫ ( )
dP = ∫ (48 3
P2) dP
= ,48 1 3-
= { 48 (40) – 0,01 (40)2} – { 48 (40) – 0,01 (30)3}
= (1920 – 640) – ( 1440 – 270) = 110
66
2. Surplus Produsen
Surplus produsen adalah selisih antara hasil penjualan barang
dengan jumlah penerimaan yang direncanakan produsen dalam
penjualan sejumlah barang. Pada saat harga terjadi price equilibrium Pe
maka penjual barang yang bersedia menjual barang ini dibawah harga
pe akan memperoleh kelebihan harga jual untuk tiap unit barang yang
terjual yakni selisih antara po dengan harga kurang dari pe.
Surplus produsen atau Ps ( singkatan dari Producers surplus ) tak
lain adalah segitiga PeDE, dengan rentang wilayah yang dibatasi oleh Q =
o sebagai batas bawah dan Q = Qe sebagai batas atas.
Besar surplus produsen adalah :
Dalam hal fungsi penawaran berbentuk P = f (Q) atau
PS = ∫ ( )
Dalam hal fungsi penawaran berbentuk Q = f (P) ; P adalah nilai P
untuk Q = 0, atau penggal kurva penawaran pada sumbu harga.
PS = QePe - ∫ 𝑓 (𝑄)𝑄𝑒
𝑑𝑄
67
Dengan demikian
Contoh :
Seorang produsen mempunyai fungsi penawaran P = 0,50 Q + 3.
Berapa surplus produsen itu bila tingkat harga keseimbangan di pasar
adalah 10 ?
Penyelesaian :
Diketahui :
P = 0,50 Q + 3 jadi dirubah kedalam Q = -6 + 2P
Jika Q = 0 maka P = 3
Jika P = 0 maka Q = -6
Jika Pe = 10 maka Qe = 14
Jadi Ps nya PS = ∫ ( )
∫ ( 6 2 )
, 6 -
* 6 (1 ) 1 + * 6 (3) 3 +
4 ( 9) 49
PS = QePe - ∫ 𝑓 (𝑄)𝑄𝑒
𝑑𝑄 ∫ 𝑓 (𝑃)
𝑃𝑒
𝑃 𝑑𝑃
68
LATIHAN IV
1. Biaya marjinal suatu perusahaan ditunjukan oleh MC = 3Q2 – 6Q +
4. Carilah persamaan biaya totalnya jika di ketahui biaya tetapnya
Rp 2, tentukanlah besar biaya totalnya ?
2. Produk marjinal sebuah perusahaan di cerminkan olh MP = 14X –
6x2 . Carilah persamaan produk totalnya ?
3. Jika g (x) 2x – 3 dan g(2)=1 , tentukan g(x) !
4. Penawaran dan permintaan akan suatu barang di pasar masing –
masing ditunjukkan oleh Q = - 30 + 5 P dan Q = 60 – 4 P . hitunglah
masing – masing surplus
5. Carilah persamaan utilitas total dari seorang konsumen jika utilitas
marjinal MU = 50Q – 3Q2?
6. Diketahui MR suatu perusahaan adalah 12Q2 + 10Q – 3. Tentukan
penerimaan totalnya (TR), jika c = 3 ?
7. Biaya marjinal suatu perusahaan ditunjukan oleh MC = 12Q2 – 3Q
+ 6. Carilah persamaan biaya totalnya jika di ketahui biaya
tetapnya Rp 2, tentukanlah besar biaya totalnya ?
8. Produk marjinal sebuah perusahaan di cerminkan oleh MP = 20X –
12X3 . Carilah persamaan produk totalnya ?
9. Fungsi marjinal dalam tabungan adalah , MPS = 0,25 , bila
pendapatan nasional 50, maka terjadi tabungan negative 5,
tentukanlah fungsi tabungan ,S= = f(y) dan tentukanlah fungsi
konsumsi ,C= f(y)
10. Diketahui fungsi permintaan dan penawaran
D: p = -1/2 x2 – 1/2 x + 33
S: p = 6 + x
Dapatkan besarnya surplus konsumen pada saat terjadi market
equilibrium (ME).
69
DAFTAR PUSTAKA
Bumolo, Husain dan Mursinto, Djoko. 2005. Matematika untuk Ekonomi
dan Aplikasinya Edisi 7.Malang: Bayumedia Publishing.
Ciang,Alpha C.2006.Dasar-dasar Matematika Ekonomi Edisi Keempat
Jilid 1.Jakarta:Erlangga
D.Sriyono.2009.Matematika Ekonomi dan Keuangan.Yogyakarta:
Dumairy.1998.Matematika Terapan untuk Bisnis dan
Ekonomi.Yogyakarta:BPFE.
J.Supranto.2005.Matematika untuk Ekonomi dan Bisnis.Jakarta: Ghalia
Indonesia.
Nababan M. 1988. Pengantar Matematika untuk Ilmu Ekonomi dan
Bisnis. Jakarta: Erlangga.