Buku Kerja 6 Teorema Divergensi, Teorema Stokes, dan Teorema Green Program Studi Pendidikan Matematika STKIP PGRI SUMBAR Created by: Rahima & Anny 142 TEOREMA DIVERGENSI, STOKES, DAN GREEN Untuk memudahkan perhitungan seringkali dibutuhkan penyederhanaan bentuk integral yang berdasarkan pada teorema tertentu. Ada tiga teorema fundamental berkaitan dengan operasi diferensial dan integral yang telah dijelaskan sebelumnya, yaitu: Teorema Gauss, Teorema Stokes, dan Teorema Green Teorema Gauss Pada modul 5, telah dijelaskan bahwa untuk menghitung volume air yang mengalir melewati pipa dapat menggunakan rumus integral permukaan. Namun, ada perhitungan yang lebih mudah untuk menghitung volume air tersebut, yaitu dengan menggunakan teorema Gauss. Sudah dijelaskan sebelumnya pada modul integral permukaan, bahwa volume total per detik dari fluida yang keluar dari permukaan tertutup S adalah Pada modul divergensi, merupakan volume per detik dari fluida yang keluar dari sebuah elemen volume . Oleh karena itu, maka volume total per detik dari fluida yang keluar dari semua elemen volume dalam permukaan tertutup S adalah Jadi, Materi pokok pertemuan ke 13: 1. Teorema divergensi Gauss URAIAN MATERI
This document is posted to help you gain knowledge. Please leave a comment to let me know what you think about it! Share it to your friends and learn new things together.
Transcript
Buku
Kerja 6 Teorema Divergensi, Teorema Stokes, dan Teorema Green
Program Studi Pendidikan Matematika STKIP PGRI SUMBAR
Created by: Rahima & Anny
142
TEOREMA DIVERGENSI, STOKES, DAN GREEN
Untuk memudahkan perhitungan seringkali dibutuhkan penyederhanaan
bentuk integral yang berdasarkan pada teorema tertentu. Ada tiga teorema
fundamental berkaitan dengan operasi diferensial dan integral yang telah
dijelaskan sebelumnya, yaitu:
Teorema Gauss, Teorema Stokes, dan Teorema Green
Teorema Gauss
Pada modul 5, telah dijelaskan bahwa untuk menghitung volume air yang
mengalir melewati pipa dapat menggunakan rumus integral permukaan.
Namun, ada perhitungan yang lebih mudah untuk menghitung volume air
tersebut, yaitu dengan menggunakan teorema Gauss.
Sudah dijelaskan sebelumnya pada modul integral permukaan, bahwa
volume total per detik dari fluida yang keluar dari permukaan tertutup S
adalah
Pada modul divergensi, merupakan volume per detik dari fluida yang
keluar dari sebuah elemen volume . Oleh karena itu, maka volume total
per detik dari fluida yang keluar dari semua elemen volume dalam
permukaan tertutup S adalah
Jadi,
Materi pokok pertemuan ke 13: 1. Teorema divergensi Gauss
URAIAN MATERI
Buku
Kerja 6 Teorema Divergensi, Teorema Stokes, dan Teorema Green
Program Studi Pendidikan Matematika STKIP PGRI SUMBAR
Created by: Rahima & Anny
143
Berikut definisi dari Teorema Gauss.
Definisi Teorema Gauss
Jika V adalah volume yang dibatasi oleh suatu permukaan tertutup S dan
sebuah fungsi vektor dengan turunan-turunan yang kontinu, maka
Dari rumus tersebut, integral permukaan dari sebuah vektor yang
mengelilingi sebuah permukaan tertutup sama dengan integral dari
divergensi dalam volume yang diselubungi oleh permukaan di atas. Jadi,
dalam mencari integral permukaan dapat juga digunakan Teorema Gauss.
Agar lebih memahami materi di atas, pelajari contoh soal di bawah ini!
Contoh 1
Hitunglah
di mana dan S adalah
permukaan kubus yang dibatasi oleh .
Penyelesaian
Menurut teorema divergensi
Maka,
CONTOH SOAL
0
1
1
1
Buku
Kerja 6 Teorema Divergensi, Teorema Stokes, dan Teorema Green
Program Studi Pendidikan Matematika STKIP PGRI SUMBAR
Created by: Rahima & Anny
144
Jadi
Contoh 2
Hitunglah
di mana S adalah suatu permukaan tertutup
Penyelesaian
Menurut teorema divergensi,
di mana V adalah volume benda yang dibatasi S.
Buku
Kerja 6 Teorema Divergensi, Teorema Stokes, dan Teorema Green
Program Studi Pendidikan Matematika STKIP PGRI SUMBAR
Created by: Rahima & Anny
145
Kerjakan latihan berikut ini dengan melengkapi bagian yang kosong!
Latihan 1
Hitung
untuk pada daerah
yang dibatasi oleh
Penyelesaian
Gambar daerah yang dimaksud adalah seperti di bawah ini
Menurut teorema divergensi
Maka
LATIHAN TERBIMBING
Buku
Kerja 6 Teorema Divergensi, Teorema Stokes, dan Teorema Green
Program Studi Pendidikan Matematika STKIP PGRI SUMBAR
Created by: Rahima & Anny
146
Latihan 2 Jika S adalah permukaan tertutup sebarang yang menutupi sebuah volume V
dan , maka buktikan bahwa
.
Penyelesaian
Menurut teorema divergensi
Maka,
Kerjakan latihan berikut di tempat kosong yang tersedia!
Latihan 1
Hitunglah
di mana F i j dan S adalah
LATIHAN MANDIRI
Buku
Kerja 6 Teorema Divergensi, Teorema Stokes, dan Teorema Green
Program Studi Pendidikan Matematika STKIP PGRI SUMBAR
Created by: Rahima & Anny
147
(a) permukaan balok yang dibatasi oleh
(b) permukaan daerah yang dibatasi oleh
Penyelesaian
Latihan 2
Hitung
di mana F i j dalam daerah pejal S yang
dibatasi oleh tabung parabol
dan bidang-bidang
.
Penyelesaian
Buku
Kerja 6 Teorema Divergensi, Teorema Stokes, dan Teorema Green
Program Studi Pendidikan Matematika STKIP PGRI SUMBAR
Created by: Rahima & Anny
148
Latihan 3
Buktikanlah bahwa
untuk suatu permukaan tertutup S.
Penyelesaian
Buku
Kerja 6 Teorema Divergensi, Teorema Stokes, dan Teorema Green
Program Studi Pendidikan Matematika STKIP PGRI SUMBAR
Created by: Rahima & Anny
149
Latihan 4
Buktikan
Penyelesaian
Buku
Kerja 6 Teorema Divergensi, Teorema Stokes, dan Teorema Green
Program Studi Pendidikan Matematika STKIP PGRI SUMBAR
Created by: Rahima & Anny
150
Latihan 5
Hitung
melalui seluruh permukaan S dari daerah yang dibatasi
oleh silinder , jika
Penyelesaian
Buku
Kerja 6 Teorema Divergensi, Teorema Stokes, dan Teorema Green
Program Studi Pendidikan Matematika STKIP PGRI SUMBAR
Created by: Rahima & Anny
151
Kunci Jawaban Latihan 1 : (a) 30, (b) 351/2
Latihan 2 : 4/3
Latihan 5 : 18
Kesimpulan Setelah mengerjakan soal-soal di atas buatlah kesimpulan
dari materi ini pada tempat kosong di bawah
Buku
Kerja 6 Teorema Divergensi, Teorema Stokes, dan Teorema Green
Program Studi Pendidikan Matematika STKIP PGRI SUMBAR
Created by: Rahima & Anny
152
Teorema Stokes
Coba Anda perhatikan gambar di
samping!
Apa yang Anda lihat?
Pada gambar tampak seorang ibu
dan bapak sedang mendorong
mobil. Jika mobil yang mereka
dorong tersebut bergerak, berarti
mereka telah melakukan usaha.
Sebelumnya, kita telah mempelajari
bahwa untuk menghitung besar usaha dapat kita gunakan perkalian titik atau
integral garis tergantung pada bentuk lintasan. Namun ada kalanya kita
kesulitan untuk menghitung besar usaha, misalnya pada bidang dimensi-3.
Perhitungan untuk mencari besar usaha akan lebih mudah dengan
menggunakan teorema Stokes.
Berikut definisi Teorema Stokes
Teorema Stokes
Misalkan S adalah permukaan berarah dalam ruang dengan batas-batasnya
adalah kurva C yang tertutup, dan misalkan adalah fungsi vektor
kontinu yang mempunyai turunan parsial pertama yang kontinu dalam
domain yang memuat S, maka
Dari rumus di atas dapat disimpulkan, integral garis dari sebuah vektor
yang mengelilingi sebuah kurva tertutup sederhana C sama dengan integral
permukaan dari curl melalui sebarang permukaan S dengan C sebagai
batasnya.
Materi pokok pertemuan ke 14: 2. Teorema Stokes
URAIAN MATERI
Buku
Kerja 6 Teorema Divergensi, Teorema Stokes, dan Teorema Green
Program Studi Pendidikan Matematika STKIP PGRI SUMBAR
Created by: Rahima & Anny
153
Agar lebih memahami materi di atas, pelajari contoh soal di bawah ini!
Contoh 1
Hitunglah
dengan menggunakan teorema Stokes jika
diketahui , dimana S adalah separuh dari
permukaan bola bagian atas dan C batasnya.
Penyelesaian
Batas C dari S adalah suatu lingkaran dengan persamaan
dan persamaan parameternya adalah dimana
. Berdasarkan teorema Stokes
. Maka
berdasarkan teorema Stokes
CONTOH SOAL
Buku
Kerja 6 Teorema Divergensi, Teorema Stokes, dan Teorema Green
Program Studi Pendidikan Matematika STKIP PGRI SUMBAR
Created by: Rahima & Anny
154
Jadi,
.
Contoh 2
Buktikan
Penyelesaian
Misalkan dalam teorema Stokes, di mana C sebuah vektor konstan.
Maka
Karena vektor C vektor konstan sebarang maka
Kerjakan latihan berikut ini dengan melengkapi bagian yang kosong!
Latihan 1
Gunakan teorema Stokes untuk menghitung
dengan
, dimana S adalah permukaan paraboloida
yang dibatasi oleh dan C sebagai batasnya
LATIHAN TERBIMBING
Buku
Kerja 6 Teorema Divergensi, Teorema Stokes, dan Teorema Green
Program Studi Pendidikan Matematika STKIP PGRI SUMBAR
Created by: Rahima & Anny
155
Penyelesaian
Batas C dari S adalah suatu lingkaran dengan persamaan
dan persamaan parameternya adalah dimana
. Berdasarkan teorema Stokes
.
Maka,
Latihan 2
Hitunglah
di mana dan C adalah perpotongan
bidang dengan silinder
Penyelesaian
Integral garis pada soal ini akan mudah dipecahkan dengan menggunakan
teorema Stokes, yaitu
.
Buku
Kerja 6 Teorema Divergensi, Teorema Stokes, dan Teorema Green
Program Studi Pendidikan Matematika STKIP PGRI SUMBAR
Created by: Rahima & Anny
156
Misalkan S adalah permukaan yang dibatasi oleh kurva C tersebut, maka
permukaan S terlihat pada gambar berikut
yaitu suatu permukaan dengan persamaan dan dibatasi oleh
silinder Vektor satuan normal n pada permukaan S adalah
Buku
Kerja 6 Teorema Divergensi, Teorema Stokes, dan Teorema Green
Program Studi Pendidikan Matematika STKIP PGRI SUMBAR
Created by: Rahima & Anny
157
Jadi
...
Latihan 3
Gunakan Teorema Stokes untuk menghitung
dengan
danC berupa kurva segitiga pada gambar berikut
Penyelesaian
Misalkan S berupa kurva dengan C sebagai batas terarahnya, yaitu
. Vektor satuan normal n pada permukaan S adalah
y
x
z
(1,0,0)
(0,1,0)
(0,0,2)
C
Buku
Kerja 6 Teorema Divergensi, Teorema Stokes, dan Teorema Green
Program Studi Pendidikan Matematika STKIP PGRI SUMBAR
Created by: Rahima & Anny
158
Jadi
Kerjakan latihan berikut di tempat kosong yang tersedia!
Latihan 1 Misalkan S bagian dari permukaan bola di bawah
bidang , dan misalkan . Gunakan teorema Stokes
untuk menghitung
Penyelesaian
LATIHAN MANDIRI
Buku
Kerja 6 Teorema Divergensi, Teorema Stokes, dan Teorema Green
Program Studi Pendidikan Matematika STKIP PGRI SUMBAR
Created by: Rahima & Anny
159
Latihan 2 Periksa kebenaran Teorema Stokes untuk jika S adalah
paraboloid dengan lingkaran sebagai
batasnya.
Penyelesaian
Buku
Kerja 6 Teorema Divergensi, Teorema Stokes, dan Teorema Green
Program Studi Pendidikan Matematika STKIP PGRI SUMBAR
Created by: Rahima & Anny
160
Latihan 3 Periksa kebenaran teorema Stokes untuk
di mana S adalah permukaan kubus di atas
bidang
Penyelesaian
Buku
Kerja 6 Teorema Divergensi, Teorema Stokes, dan Teorema Green
Program Studi Pendidikan Matematika STKIP PGRI SUMBAR
Created by: Rahima & Anny
161
Latihan 4 Periksalah kebenaran teorema Stokes untuk di mana S
adalah permukaan daerah yang dibatasi oleh
yang termasuk dalam bidang .
Penyelesaian
Buku
Kerja 6 Teorema Divergensi, Teorema Stokes, dan Teorema Green
Program Studi Pendidikan Matematika STKIP PGRI SUMBAR
Created by: Rahima & Anny
162
Buku
Kerja 6 Teorema Divergensi, Teorema Stokes, dan Teorema Green
Program Studi Pendidikan Matematika STKIP PGRI SUMBAR
Created by: Rahima & Anny
163
Kunci Jawaban Latihan 1: -
Latihan 2 :
Latihan 3 : - 4
Latihan 4 : 32/3
Kesimpulan Setelah mengerjakan soal-soal di atas buatlah kesimpulan
dari materi ini pada tempat kosong di bawah
Buku
Kerja 6 Teorema Divergensi, Teorema Stokes, dan Teorema Green
Program Studi Pendidikan Matematika STKIP PGRI SUMBAR
Created by: Rahima & Anny
164
TEOREMA GREEN
Pada materi sebelumnya, kita telah mengenal
teorema Stokes. Teorema Stokes berlaku
untuk permukaan-permukaan S dalam ruang
yang memiliki kurva C sebagai batasnya.
Sedangkan, teorema Green berlaku pada
daerah tertutup dalam bidang xy yang
dibatasi oleh kurva tertutup C. Istilahnya,
teorema Green dalam bidang adalah hal
khusus dari teorema Stokes.
Jadi, tambah satu cara lagi untuk mencari besar usaha. Yaitu, dengan
menggunakan teorema Green dalam bidang.
Nah, berikut definisi Teorema Green.
Definisi Teorema Green
Jika R adalah suatu daerah tertutup dalam bidang yang dibatasi oleh
sebuah kurva tertutup sederhana C, M dan N adalah fungsi-fungsi kontinu
dari dan yang memiliki turunan-turunan kontinu dalam R, maka
Jika menyatakan medan gaya yang bekerja pada sebuah partikel dimana
, maka
adalah usaha yang dilakukan dalam
menggerakkan partikel tersebut mengelilingi suatu lintasan tertutup C. Yaitu
Dengan menggunakan teorema Green, maka usaha yang dilakukan adalah
Materi pokok pertemuan ke 15: 3. Teorema Green
URAIAN MATERI
Buku
Kerja 6 Teorema Divergensi, Teorema Stokes, dan Teorema Green
Program Studi Pendidikan Matematika STKIP PGRI SUMBAR
Created by: Rahima & Anny
165
Jadi, selain perhitungan dengan menggunakan integral garis, menentukan
besar usaha yang dilakukan juga dapat dihitung dengan menggunakan
teorema Green.
Agar lebih memahami materi di atas, pelajari contoh soal di bawah ini!
Contoh 1 Buktikanlah teorema Green dalam bidang jika C adalah sebuah kurva
tertutup yang memiliki sifat bahwa setiap garis lurus yang sejajar sumbu
koordinat memotong C paling banyak pada dua titik
Penyelesaian
Misalkan persamaan kurva AEB dan AFB berturut-turut adalah
dan Jika R adalah daerah yang dibatasi oleh C, diperoleh
Sehingga diperoleh
CONTOH SOAL
Buku
Kerja 6 Teorema Divergensi, Teorema Stokes, dan Teorema Green
Program Studi Pendidikan Matematika STKIP PGRI SUMBAR
Created by: Rahima & Anny
166
Dengan cara yang sama, misalkan persamaan-persamaan kurva EAF dan EBF
berturut-turut adalah dan Maka
Sehingga diperoleh
Jumlahkan (1) dan (2) maka didapat
Contoh 2
Periksa teorema Green pada bidang untuk
dimana C adalah kurva tertutup dari daerah yang dibatasi oleh dan
Penyelesaian
Kurva-kurva bidang tersebut berpotongan di (0, 0) dan (1,1). Arah positif
dalam menjalani C ditunjukkan pada gambar
Buku
Kerja 6 Teorema Divergensi, Teorema Stokes, dan Teorema Green
Program Studi Pendidikan Matematika STKIP PGRI SUMBAR
Created by: Rahima & Anny
167
Sepanjang integral garisnya sama dengan
Sepanjang integral garisnya sama dengan
Maka integral garis yang diinginkan = 7/6 – 17/15 = 1/30
Dengan menggunakan teorema Green
Dengan demikian selesailah pemeriksaan teorema Green.
Contoh 3 Perlihatkan bahwa jika suatu daerah S pada bidang mempunyai batas C ,
dengan C adalah kurva tertutup sederhana, maka luas S diberikan oleh
Penyelesaian
Misalkan
dan terapkan teorema Green
Buku
Kerja 6 Teorema Divergensi, Teorema Stokes, dan Teorema Green
Program Studi Pendidikan Matematika STKIP PGRI SUMBAR
Created by: Rahima & Anny
168
Kerjakan latihan berikut ini dengan melengkapi bagian yang kosong!
Latihan 1
Hitunglah
di mana C adalah suatu bujur
sangkar dengan titik sudut (0, 0), (0,2), (2,2), (2,0)
Penyelesaian
Gambar daerah yang dimaksud adalah sebagai berikut
Berdasarkan teorema Green
Maka
Jadi,
LATIHAN TERBIMBING
(2,2) (0,2)
(0,0) (2,0)
Buku
Kerja 6 Teorema Divergensi, Teorema Stokes, dan Teorema Green
Program Studi Pendidikan Matematika STKIP PGRI SUMBAR
Created by: Rahima & Anny
169
Latihan 2 Gunakan hasil contoh 3 untuk mencari luas yang dilingkupi oleh elips dengan
persamaan parameter
Penyelesaian
Latihan 3
Hitunglah
di sekeliling suatu segitiga
pada bidang dengan titik sudut (0,0), (3,0), (3,2) yang dijalani berlawanan
arah dengan jarum jam.
Penyelesaian
Gambar daerah yang dimaksud adalah sebagai berikut
Berdasarkan teorema Green
Maka
x
y
Buku
Kerja 6 Teorema Divergensi, Teorema Stokes, dan Teorema Green
Program Studi Pendidikan Matematika STKIP PGRI SUMBAR
Created by: Rahima & Anny
170
Jadi,
Kerjakan latihan berikut di tempat kosong yang tersedia!
Latihan 1 Hitunglah integral garis pada soal latihan 3(terbimbing) di sekeliling suatu
lingkaran berjari-jari 4 dan berpusat di (0,0)
Penyelesaian
LATIHAN MANDIRI
Buku
Kerja 6 Teorema Divergensi, Teorema Stokes, dan Teorema Green
Program Studi Pendidikan Matematika STKIP PGRI SUMBAR
Created by: Rahima & Anny
171
Latihan 2
Hitunglah
mengelilingi batas daerah yang
didefinisikan oleh dan (a) secara langsung, (b) menggunakan
teorema Green
Penyelesaian
Buku
Kerja 6 Teorema Divergensi, Teorema Stokes, dan Teorema Green
Program Studi Pendidikan Matematika STKIP PGRI SUMBAR
Created by: Rahima & Anny
172
Latihan 3
Hitunglah
sepanjang jajar genjang yang
memiliki titik-titik sudut di (0,0), (2,0), (3,1), dan (1,1).
Penyelesaian
Buku
Kerja 6 Teorema Divergensi, Teorema Stokes, dan Teorema Green
Program Studi Pendidikan Matematika STKIP PGRI SUMBAR
Created by: Rahima & Anny
173
Kunci Jawaban Latihan 1 : 64
Latihan 2 :128/5
Latihan 3 : -6
Kesimpulan Setelah mengerjakan soal-soal di atas buatlah kesimpulan