Matematika Teknik 1 s. johanes, dtm sv ugm 73 2013 BAB VI. INTEGRAL TAK TENTU (ANTI TURUNAN) (Pertemuan ke 11 & 12) PENDAHULUAN Diskripsi singkat Pada bab ini dibahas tentang integral tak tentu, integrasi parsial dan beberapa metode integrasi lainnya yaitu integrasi fungsi trigonometri, integral dengan menggunakan substitusi (aljabar, trigonomerti), integral fungsi pecah rasional, integral fungsi irasional. Manfaat Materi yang disampaikan di sini, masih merupakan dasar perhitungan integral. Yang dibicarakan masih terbatas pada cara memecahkan persoalan-persoalan integral, dengan berbagai metode integrasi yang diberikan. Untuk selanjutnya, setelah menerapkan batas-batas integrasi, materi ini digunakan dalam banyak hal, yaitu di Mata kuliah Matematika II. Relevansi Integral dalam prakteknya banyak digunakan di berbagai bidang. Setelah integral tak tentu ini dipahami, penggunaan selanjutnya misalnya untuk menghitung luas bidang datar, menentukan titik berat, momen inersia, volume dan lainnya. Di bidang fisika, termodinamika, hitung integral ini juga sangat diperlukan, Learning Outcomes Mahasiswa dapat mengenal, mamahami dan menyelesaikan persoalan integral tak tentu ini dengan baik, serta dapat menerapkannya di bidang lain.
20
Embed
BAB VI. INTEGRAL TAK TENTU (ANTI TURUNAN) · PDF fileMatematika Teknik 1 s. johanes, dtm sv ugm 74 2013 PENYAJIAN Kita sebut F suatu anti turunan dari f pada selang interval I, jika
This document is posted to help you gain knowledge. Please leave a comment to let me know what you think about it! Share it to your friends and learn new things together.
Transcript
Matematika Teknik 1
s. johanes, dtm sv ugm 73
2013
BAB VI. INTEGRAL TAK TENTU (ANTI TURUNAN) (Pertemuan ke 11 & 12)
PENDAHULUAN
Diskripsi singkat
Pada bab ini dibahas tentang integral tak tentu, integrasi parsial dan beberapa metode
integrasi lainnya yaitu integrasi fungsi trigonometri, integral dengan menggunakan substitusi
(aljabar, trigonomerti), integral fungsi pecah rasional, integral fungsi irasional.
Manfaat
Materi yang disampaikan di sini, masih merupakan dasar perhitungan integral. Yang
dibicarakan masih terbatas pada cara memecahkan persoalan-persoalan integral, dengan berbagai
metode integrasi yang diberikan. Untuk selanjutnya, setelah menerapkan batas-batas integrasi,
materi ini digunakan dalam banyak hal, yaitu di Mata kuliah Matematika II.
Relevansi
Integral dalam prakteknya banyak digunakan di berbagai bidang. Setelah integral tak tentu
ini dipahami, penggunaan selanjutnya misalnya untuk menghitung luas bidang datar, menentukan
titik berat, momen inersia, volume dan lainnya. Di bidang fisika, termodinamika, hitung integral ini
juga sangat diperlukan,
Learning Outcomes
Mahasiswa dapat mengenal, mamahami dan menyelesaikan persoalan integral tak tentu
ini dengan baik, serta dapat menerapkannya di bidang lain.
Matematika Teknik 1
s. johanes, dtm sv ugm 74
2013
PENYAJIAN
Kita sebut F suatu anti turunan dari f pada selang interval I, jika pada interval I,
yakni jika untuk semua x dalam interval I. maka:
Contoh: carilah suatu anti turunan dari fungsi pada selang (- , ) ?
Penyelesaian: dicari suatu fungsi F yang memenuhi , untuk semua x riil.
Fungsi F yang memenuhi adalah: , , . Secara umum
dinyatakan: , dengan c = konstanta.
Famili tersebut di atas disebut anti turunan.
Teorema : kelinieran dari
Andaikan f dan g mempunyai anti turunan (integral tak tentu) dan andaikan k adalah
suatu konstanta, maka:
i.
ii.
integrant
Tanda integral
(notasi dari Leibniz)
Gambar 6-1
Gambar 6-2
x
y
Matematika Teknik 1
s. johanes, dtm sv ugm 75
2013
Contoh, carilah integral berikut:
6.1. Rumus-rumus interal tak tentu.
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.
16.
17.
18.
19.
20.
Matematika Teknik 1
s. johanes, dtm sv ugm 76
2013
Carilah integral tak tentu berikut:
1.
2.
3. ? subtitusikan , maka , atau
4. , substitusikan , , , maka:
5. , substitusikan ,
6. , substitusikan , , , maka:
7. , substitusikan & , , atau
maka:
, A & B dicari dulu
8. , dicari hasil baginya terlebih dahulu, sebagai berikut:
Matematika Teknik 1
s. johanes, dtm sv ugm 77
2013
, maka:
9. , substitusikan , , atau
10.
11.
Matematika Teknik 1
s. johanes, dtm sv ugm 78
2013
12. , komponen penyebut ditulis menjadi bentuk lain sebagai berikut:
, maka:
, substitusikan , , atau , maka:
13. , jika akar dari penyebut integran diturunkan maka
, selanjutnya pembilang dari integran,
ditulis dalam bentuk turunan dari penyebut integran, maka;
, atau , sehingga
14. , substitusikan , , atau , maka:
15. , jika penyebut integran diturunkan maka:
, selanjutnya pembilang dari integran,
ditulis dalam bentuk turunan dari penyebut integran, maka:
atau , sehingga
Contoh 12
Matematika Teknik 1
s. johanes, dtm sv ugm 79
2013
16. , substitusikan ,
, atau , maka:
6.2. Integrasi parsial
Jika diturunkan, maka : , atau
Persamaan di atas diintegralkan, maka menjadi:
, atau menjadi
Contoh
1.
Penyelesaian: jika diturunkan, maka hasilnya adalah sebagai berikut
, atau
Dengan mensubtitusikan persamaan terakhir ke dalam soal, maka diperoleh :
Dengan menerapkan Persamaan Integral parsial, maka
Persamaan Integral parsial :
Matematika Teknik 1
s. johanes, dtm sv ugm 80
2013
2.
Penyelesaian: jika diturunkan, maka hasilnya adalah sebagai berikut
, atau
Dengan mensubtitusikan persamaan terakhir ke dalam soal, maka diperoleh :
Dengan menerapkan Persamaan Integral parsial, maka
Jika diturunkan , , maka
Dengan mensubtitusikan lagi ke persamaan terakhir, maka:
kemudian diterapkan lagi Persamaan Integral parsial, maka:
, atau
Suku terakhir dibawa ke ruas kiri, maka:
, atau
, atau
6.3. Metode Integrasi
A. Integrasi Fungsi Trigonometri
1. Bentuk , dengan m dan n bulat positif.
a. m = ganjil dan n = genap
Matematika Teknik 1
s. johanes, dtm sv ugm 81
2013
Contoh:
b. m = genap dan n = ganjil
Contoh:
c. m = genap dan n = genap
Contoh:
Matematika Teknik 1
s. johanes, dtm sv ugm 82
2013
2. Bentuk atau
Sifat:
a. m = ganjil, n = ganjil, sama bila m = ganjil, n = genap
Maka:
b. m = genap, n = genap
Maka:
c. m = genap, n = ganjil
Maka:
Matematika Teknik 1
s. johanes, dtm sv ugm 83
2013
Contoh:
1.
2.
3.
3. Bentuk :
a)
b)
c)
Contoh:
A. Integral dengan menggunakan substitusi
1. Substitusi Fungsi Aljabar
Matematika Teknik 1
s. johanes, dtm sv ugm 84
2013
a. Bila inttegran memuat bentuk (a+bx) dengan pangkat pecahan: , maka
menggunakan substitusi:
Contoh:
1. , substitusi: → →
2. , subst.: → → →
b. Bila inttegran memuat bentuk , mengunakan substitusi:
Contoh:
, subst: → → →
, maka:
Matematika Teknik 1
s. johanes, dtm sv ugm 85
2013
2. Substitusi Fungsi Trigonometri
Bila integran memuat bentuk:
a. , dengan substitusi
b. , dengan substitusi
c. , dengan substitusi
Contoh:
1. , substitusi: →
2. , substitusi: →
3. , substitusi: →
5
5
u 4x
Gambar 6-3
Matematika Teknik 1
s. johanes, dtm sv ugm 86
2013
B. Integral Fungsi Pecah Rasional
1. Fungsi Aljabar
, dimana f(x) dan g(x) berbentuk polinomial
, n = bulat positif
a. Bila f(x) berpangkat lebih tinggi daripada pangkat g(x)
Maka:
Contoh: , berarti dan
b. Bila f(x) berpangkat lebih rendah daripada pangkat g(x)
Andaikan
Dengan
dan A1, A2, A3, . . . .An harus dicari.
Contoh:
Mengambil harga-harga untuk x:
x = 1 → 9 = -2A → A = 9/2
x = 2 → 11 = -B → B = -11
x = 3 → 13 = 2C → C = 13/2
Identitas
Koefisien x2: A + B + C = 0
X+3
2
Gambar 6-4
Matematika Teknik 1
s. johanes, dtm sv ugm 87
2013
Koefisien x1: -5A – 4B – 3C = 2
Koefisien x0: 6A + 3B + 2C = 7
Bila g(x) memuat faktor linier berulang
A, B1, B2, ….,, Bp, C1, C2, C3, ... ., Cq dicari.
Contoh:
x = -2 → 75 = 25 A → A = 3
x = 3 → -20 = 5 B → B = -4
A + C = 3 → C = 0
Bila g(x) memuat faktor kuadratis
Contoh:
Matematika Teknik 1
s. johanes, dtm sv ugm 88
2013
1 = A + C
1 = B + D
1 = 2A + C
2 = 2B + D
2. Fungsi Pecah Rasional
Menggunakan substitusi: → →
Contoh:
substitusi: → →
,
A = 0
B = 1
C = 1
D = 0
x/2
u
1
Gambar 6-5
Matematika Teknik 1
s. johanes, dtm sv ugm 89
2013
C. Integral Fungsi Irasional
1. Bentuk , substitusi:
Contoh:
, Misal: → →
→
2. Bentuk , menggunakan substitusi:
Contoh:
, misal: → →
Matematika Teknik 1
s. johanes, dtm sv ugm 90
2013
3. Bentuk , menggunakan substitusi:
atau
Bentuk: → menggunakan trigonometri
Contoh:
, menggunakan substitusi:
→
→
Matematika Teknik 1
s. johanes, dtm sv ugm 91
2013
Tugas pertemuan ke 11. Selesaikan integral berikut.
1.
2.
Latihan untuk pertemuan ke 11. Selesaikan integral berikut.
1.
2.
Petunjuk.
1. Untuk menjawab soal , misalkan , maka dan .
jawabnya:
2. Untuk menjawab soal , gunakan rumus integrasi parsiil. Jawabnya:
Soal-soal
Cari integral tak tentu berikut :
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.
16.
17.
18.
19.
20.
21.
22.
23.
Matematika Teknik 1
s. johanes, dtm sv ugm 92
2013
24.
25.
26.
27.
28.
29.
30.
PENUTUP
Tes formatif dan kunci tes formatif
Tentukan integral berikut:
1. , kunci jawaban:
2. , kunci jawaban:
3. , kunci jawaban:
4. , kunci jawaban:
Petunjuk penilaian dan umpan balik
Penilaian hasil tugas, latihan dan ujian debiri skor (nilai) antara 0 sampai dengan 100.
Kesahan hasil akhir bukanlan merupakan kesalahan yang fatal, kalaupun dikurangi skornya, hanya
sedikit saja (atau bahkan tak perlu dikurangi), tetapi kesalahan proses itu yang perlu pengurangan
nilai .
Tindak lanjut
Bagi mahasiswa yang skornya kurang dari 50, wajib mempelajari lagi uraian di depan, dan