Bab V Teori Efektif Energi Rendah dan Kosmologi Braneworld V.1 Pendahuluan Di dalam Bab IV telah dipelajari bahwa persamaan-persamaan induksi pada brane mengandung sebuah tensor Weyl terproyeksi yang membawa informasi medan- medan gravitasional pada bulk. Agar persamaan gravitasional pada brane menjadi tertutup, maka persamaan Einstein 5-dimensi pada bulk harus diselesaikan melalui informasi yang ada pada bulk. Secara prinsip, bagi pengamat yang terlokalisasi pada brane sangat sulit untuk mengetahui geometri bulk. Zen, dkk., (2006) telah mengkaji bahwa jika solusi vakum brane telah diketahui maka perturbasi terhadap solusi vakum dapat dipandang sebagai penambahan materi pada brane dan persamaan tensor Weyl terproyeksi dapat diselesaikan melalui pendekatan perturbatif. Bab ini bertujuan untuk mencari teori efektif energi rendah untuk sistem satu dan dua buah brane dengan menggunakan skema gradien ekspansi serta meninjau aspek kosmologi brane. Tanpa mengetahui geometri dari bulk, keberadaan tensor Weyl dapat diselesaikan secara aljabar melalui eleminasi langsung sehingga persamaan Einstein pada brane secara utuh ditentukan oleh besaran-besaran pada brane. Sehingga efek dari dimensi ekstra dalam teori efektif 4-dimensi dapat diamati secara langsung melalui persamaan-persamaan gravitasional pada brane yang diselesaikan untuk masing-masing orde ekspansi. Sistematika pembahasan pada bab ini adalah sebagai berikut: Sub Bab V.2 membahas model untuk sistem satu buah brane dan persamaan persamaan pada bulk diturunkan dari aksi melalui variasi terhadap metrik. Sub Bab V.3 diturunkan persamaan-persamaan efektif pada brane serta aplikasi kosmologi braneworld dalam model kosmologi FRW. Persamaan Friedmann termodifikasi diturunkan untuk orde-2 dan mengkonfirmasi hasilnya dengan solusi eksak yang diperoleh oleh Charmousis dan Dufaux (2002) serta Maeda, dkk., (2004). Sub Bab V.4 persamaan efektif 4-dimensi diperoleh untuk sistem dua buah brane. Dengan asumsi bahwa metrik pada masing-masing brane dihubungan secara konformal, penurunan persamaan medan gravitasional dapat diperoleh secara serempak. 89
26
Embed
Bab V Teori Efektif Energi Rendah dan Kosmologi Braneworlddigilib.itb.ac.id/files/disk1/549/jbptitbpp-gdl-ariantonim-27416-6... · Implikasi kosmologi dan dinamika radion dibahas
This document is posted to help you gain knowledge. Please leave a comment to let me know what you think about it! Share it to your friends and learn new things together.
Transcript
Bab V Teori Efektif Energi Rendah dan Kosmologi Braneworld
V.1 Pendahuluan
Di dalam Bab IV telah dipelajari bahwa persamaan-persamaan induksi pada brane
mengandung sebuah tensor Weyl terproyeksi yang membawa informasi medan-
medan gravitasional pada bulk. Agar persamaan gravitasional pada brane menjadi
tertutup, maka persamaan Einstein 5-dimensi pada bulk harus diselesaikan melalui
informasi yang ada pada bulk. Secara prinsip, bagi pengamat yang terlokalisasi
pada brane sangat sulit untuk mengetahui geometri bulk. Zen, dkk., (2006) telah
mengkaji bahwa jika solusi vakum brane telah diketahui maka perturbasi terhadap
solusi vakum dapat dipandang sebagai penambahan materi pada brane dan
persamaan tensor Weyl terproyeksi dapat diselesaikan melalui pendekatan
perturbatif. Bab ini bertujuan untuk mencari teori efektif energi rendah untuk
sistem satu dan dua buah brane dengan menggunakan skema gradien ekspansi
serta meninjau aspek kosmologi brane. Tanpa mengetahui geometri dari bulk,
keberadaan tensor Weyl dapat diselesaikan secara aljabar melalui eleminasi
langsung sehingga persamaan Einstein pada brane secara utuh ditentukan oleh
besaran-besaran pada brane. Sehingga efek dari dimensi ekstra dalam teori efektif
4-dimensi dapat diamati secara langsung melalui persamaan-persamaan
gravitasional pada brane yang diselesaikan untuk masing-masing orde ekspansi.
Sistematika pembahasan pada bab ini adalah sebagai berikut: Sub Bab V.2
membahas model untuk sistem satu buah brane dan persamaan persamaan pada
bulk diturunkan dari aksi melalui variasi terhadap metrik. Sub Bab V.3 diturunkan
persamaan-persamaan efektif pada brane serta aplikasi kosmologi braneworld
dalam model kosmologi FRW. Persamaan Friedmann termodifikasi diturunkan
untuk orde-2 dan mengkonfirmasi hasilnya dengan solusi eksak yang diperoleh
oleh Charmousis dan Dufaux (2002) serta Maeda, dkk., (2004). Sub Bab V.4
persamaan efektif 4-dimensi diperoleh untuk sistem dua buah brane. Dengan
asumsi bahwa metrik pada masing-masing brane dihubungan secara konformal,
penurunan persamaan medan gravitasional dapat diperoleh secara serempak.
89
Implikasi kosmologi dan dinamika radion dibahas pada Sub Bab V.5. Sub Bab
V.6 merangkum hasil-hasil yang diperoleh.
V.2 Sistem Satu Buah 3-brane
V.2.1 Model
Model satu buah 3-brane dengan tegangan σ dan dimasukan dalam ruang-waktu
AdS5 yang memiliki sebuah skala kurvatur bulk l, dapat digambarkan melalui aksi
berikut
( )5 42 2
1 122 matS d x g R d x h L
lσ
κ⎛ ⎞= − + + −⎜ ⎟⎝ ⎠∫ ∫ − , (V.1)
di mana R dan berturut-turut adalah skalar Ricci dan konstanta gravitasional
dalam 5-dimensi. Diasumsikan pula ada simetri Z2 dalam ruang-waktu AdS5 dan
brane ditempakan di y = 0 dalam sistem koordinat yang diberikan oleh persamaan
(V.2). Medan-medan materi, Lmat, adalah terlokalisasi pada brane. Metrik induksi
Untuk sistem dua buah brane adalah mungkin mengeleminasi kuantitas non lokal, ( )μνχ ± , di dalam persamaan (V.78) sehingga diperoleh persamaan Einstein lokal
pada masing-masing brane. Hal ini dapat dilakukan jika hubungan antara ( )μνχ + dan
( )μνχ − diketahui. Dengan menggunakan persamaan evolusi dari tensor Weyl
terproyeksi (IV.75) untuk orde-1 dan persamaan (V.79), tensor Weyl terproyeksi
adalah dihubungan secara konformal, ( )(1) 2 ( )(1)E Eν ν
μ μ− − += Ω . (V.81)
Berikut ini diturunkan persamaan Einstein pada masing-masing brane dalam
bentuk tertutup.
V.4.2 Teori Efektif pada Brane
Dengan menggunakan persamaan (A.10) pada lampiran A, persamaan Einstein
pada brane yang memiliki tegangan negatif dapat dinyatakan dalam ungkapan
kuantitas-kuantitas pada brane yang memilki tegangan positif,
( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )2G G D D h D D αμν μν μ ν μν α− + + + + + += − Ω − Ω
Ω
( ) ( ) ( ) ( ) ( )2
4 14
D D h D D αμ ν μν α+ + + + +⎛ ⎞+ Ω Ω − Ω⎜ ⎟Ω ⎝ ⎠
Ω , (V.82)
103
Persamaan (V.81) bersama-sama dengan persamaan (V.29) untuk kasus dua brane,
suku non lokal ( )μνχ ± dihubungakan secara konformal sebagai berikut
( ) 2 ( )μν μνχ χ− − += Ω . (V.83)
Eleminasi ( )μνχ ± pada persamaan (V.78) mengimplikasikan bahwa
Jadi evolusi dari materi pada brane yang memilki tegangan negatif
diparameterisasi oleh jarak wajar antara kedua brane. Jika φ adalah besar (jarak
antara brane menjadi besar) materi pada brane yang memilki tegangan negatif
menjadi lenyap . Sebaliknya, jika jarak antara brane menjadi kecil, maka
materi pada brane yang memilki tegangan negatif, nilainya tidak nol.
( ) 0λ − →
107
Dengan metrik FRW, persamaan medan 4-dimesi (V.99) dan (V.100) dapat
diperoleh sebagai berikut:
( )( )( ) ( ) ( )22 22
( )0
1 4 3 4 1 4 33
2 1 3 3H
l lκ κ
ρ λ −− Ψ − Γ −Ψ − ΓΨΨ + Ψ + = −
−Ψ, (V.109)
( )22 4 3
26
H Hl
κρ
− Γ+ = , (V.110)
( ) ( )(2 2
22 (0
1 14 1 3
H Hlκ ρ −Ψ Ψ
+ − = − −ΨΨ Ψ −Ψ Ψ ))λ . (V.111)
Persamaan (V.109) dan (V.110) berturut-turut adalah persamaan dinamika untuk
Ψ dan H dan persamaan (V.111) adalah persamaan Friedmann. Persamaan
(V.110) tidak mengandung suku tambahan yang menggambarkan pengaruh dari
brane yang memilki tegangan negatif dan medan skalar. Sedangkan persamaan
(V.109) mengandung suku tambahan pada ruas kanan persamaannya yang
menunjukan ketidaklinearan persamaan. Berikut ini dikaji solusi-solusi khusus
dari persamaan-persamaan tersebut.
V.5.1 Dinamika Radion
Pertama tinjau kasus Γ = 0 (konstanta kosmologi). Hukum kekekalan (V.106)
menghasilkan 0 konstanρ ρ= = , dan persamaan (V.110) menjadi
22
0223
H Hlκ ρ+ = , (V.112)
Solusi trivial dari persamaan ini diberikan oleh parameter Hubble konstan, 2 2
0( / 3 )H lκ= ρ tetapi ini bukan solusi umum (lihat pasal V.5.4). Untuk solusi
trivial menghasilkan evolusi faktor skala dalam bentuk eksponensial:
2
0 exp3
a a tl
κ ρ⎛ ⎞
= ⎜⎜⎝ ⎠
0 ⎟⎟. (V.113)
Persamaan (V.111) dapat diselesaikan secara aljabar dan menghasilkan solusi 2
2( )
0 0 0 01 exp3
A tl
κρ ρ ρ λ
−
−⎡ ⎤⎛ ⎞⎢Ψ = − ±⎜ ⎟⎜ ⎟⎢ ⎥⎝ ⎠⎣ ⎦
⎥ , (V.114)
108
di mana A adalah konstanta integrasi. Dengan memilih kontanta integrasi
( )1/ 2( )0 0/A ρ λ −= maka
22
00( )
0
1 exp 13
tl
ρ κ ρλ
−
−
⎡ ⎤⎛ ⎞⎢ ⎥Ψ = − ±⎜ ⎟⎜ ⎟⎢ ⎥⎝ ⎠⎣ ⎦
, (V.115)
Solusi persamaan (V.114) menentukan jarak wajar antara kedua brane
2 (( ) 0
00
( ) ln exp3
td t le l A tl
φ κ λρρ
−)⎡ ⎤⎛ ⎞⎢ ⎥= = ±⎜ ⎟⎜ ⎟⎢ ⎥⎝ ⎠⎣ ⎦
, (V.116)
Untuk t → + ∞ maka d → + ∞ dan juga diperoleh sebuah solusi
( )1 ( )0 02
0
3 ln 1 / , 0clt t A dλ ρ
κ ρ± − −⎡ ⎤= = =⎢ ⎥⎣ ⎦
∓ . (V.117)
Solusi persamaan (V.114) tidak memiliki singularitas ketika brane bertumbukan
dan dapat diteruskan untuk daerah di mana Ini dapat
diinterpretasikan sebagai suatu perubahan kedudukan kedua brane sepanjang
sumbu-y: untuk perubahan kedudukan (
0d = ( ) 0.d t <
( ) ( ),σ σ+ − ) berhubungan dengan
dan untuk arah sebaliknya (
( ) 0d t >
( ) 0d t < ( ) ( ),σ σ− + ). Kanno, dkk., (2003)
memperkenalkan skenario kosmologi BAB (Born-Again-Braneworld) bahwa
tanda dari tegangan brane dapat berubah setelah tumbukan, ( ) ( )σ σ− ↔ + . Dari
pembahasan di atas mekanisma ini muncul secara alamiah. Misalnya untuk kasus
( )12ld 0= − −Ψ ≤ , (V.118)
berhubungan dengan perluasan domain Ψ yaitu [ , 0]Ψ∈ −∞ . Berikut ditinjau
evolusi dari jarak wajar untuk ( ) 0d t < untuk masing-masing tanda yang
diberikan oleh solusi persamaan (V.115).
Untuk solusi ”negatif”, jika 0t− = maka . Kemudian jarak wajar antara
brane memiliki domain pada seluruh sumbu riil
d → −∞
[ ,d ]∈ −∞ ∞ untuk dan
faktor skala tidak pernah lenyap. Sedangkan untuk solusi ”positif”
[0, ]t∈ +∞
( )a t
( )0
0
, lnt d l λρ
−+ → −∞ = < 0 , (V.119)
109
Gambar V.2 Jarak wajar antara dua buah brane untuk Γ = 0, tanpa pengaruh
radiasi gelap. Warna merah adalah kurva untuk log(0.25(exp(0.4 t)-1)) dan kurva warna biru untuk log(0.25(exp(0.4 t)-1)).
Dalam hal ini dua buah brane dipisahkan pada jarak berhingga dan faktor skala
eksponensial (V.113) pada brane yang memiliki tegangan positif cenderung
menuju nol (alam semesta memiliki singularitas t ). Situasi ini
diperlihatkan pada Gambar V.2. Konstanta-konstanta ditetapkan sebagai berikut :
dan .
+ → −∞
( )1/ 2( )0 0/ 0.25,A ρ λ −= = 2 ( ) 1/ 2
0( / 3 ) 0.1lκ λ − = .4
Γ
2 1/ 20( / 3 ) 0lκ ρ =
Berikutnya tinjau untuk faktor skala pada brane yang memiliki tegangan positif
yang digambarkan oleh sebuah fungsi pangkat . Dari persamaan (V.110)
dan hukum kekekalan, solusi untuk indek pangkatnya adalah , Γ ≠ 0,
dan sebuah kendala untuk nilai awal adalah
0ma a t=
2 / 3m =
( )2
30 2
43 9
al
κ ρ 0Γ=
Γ. (V.120)
Sehingga evolusi untuk faktor skala dan parameter Hubble diberikan oleh
110
2 / 3 10
2( ) ,3
a t a t H tΓ= −=Γ
. (V.121)
Persamaan-persamaan evolusi ini terkait dengan jarak wajar yang diberikan oleh
2 ( )02 / 3
1
3 /3 2( ) ln ,3 2 3
ld t l A t t
κ λ −Γ
⎛ ⎞Γ⎜ ⎟= Γ⎜ ⎟Γ −⎝ ⎠
∓ ≠ , (V.122)
2( )
2 02( ) ln ln ,
3 3d t l A t t
lκ λ −
⎛ ⎞= Γ⎜ ⎟⎜ ⎟
⎝ ⎠∓ = , (V.123)
Gambar V.3 Jarak wajar antara dua buah brane untuk Γ = 4/3, Γ = 2/3 dan Γ =
1/3. Kurva warna merah, biru, hitam, kuning dan hijau masing-masing untuk kurva: log(0.2(t0.5+t)), log(0.1(t2-t)), log(0.1(t2+t)), log(0.1(t-log(t))) dan log(0.1(t+log(t))).
di mana 1A dan 2A adalah konstanta integrasi. Dari ungkapan ini dapat ditentukan
waktu terjadi tumbukan, , antara kedua brane. Dalam hal ini diperoleh .
Berarti bahwa faktor skala adalah regular pada saat terjadi tumbukan dan bagi
pengamat yang berada pada brane yang memiliki tegangan positif tumbukan ini
tidak diamati, karena tidak ada pengaruh evolusi dari faktor skala. Pada saat t = 0
ct 0ct ≠
111
adalah singular, jarak antara kedua brane cenderung menuju −∞ dan faktor skala
menuju nol (singularitas). Jika konstanta integrasi 1A dipilih sebagai berikut
2 ( )0
1
3 /3 2
lA
κ λ −Γ=
3Γ −
, (V.124)
maka diperoleh
(2
22 / 3( )0
3 2 313
l t tκ λ
)−Γ−
Γ −⎛ ⎞Ψ = − ⎜ ⎟Γ⎝ ⎠∓ , (V.125)
Dapat dilihat bahwa untuk t (late times) maka →∞ 1Ψ → dan solusinya
mendekati solusi relativitas umum. Situasi ini ditunjukan pada Gambar V.3.
V.5.2 Pengaruh Radiasi Gelap
Secara umum persamaan (V.110) adalah persamaan diferensial orde dua untuk
factor skala:
( ) ( )2 2 2
2 302 4 3
3
d aa
dt lκ ρ − Γ= − Γ . (V.112)
Integrasi pertama terhadap waktu menghasilkan
( )2 20
4 32
0
233
d adt
lla C
κ ρ
κ ρ− Γ
=+
, (V.113)
di mana C adalah konstanta integrasi sebagai suku radiasi gelap yang membawa
informasi pengaruh bulk pada brane. Persamaan (V.113) menghasilkan persamaan
Friedmann 2
243
CHl a
κ ρ= + , (V.114)
Berikut ini ditinjau untuk berbagai nilai dari indeks barotropikΓ :
• 0Γ = . Solusi dari persamaan (V.113) adalah
( )( )
22 0
0 22 0
0 0
1 3exp 22 3
2 exp 23
lCa t tl
t tl
κ ρ
κ ρκ ρ
⎛ ⎞= − −⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎛ ⎞⎝ ⎠ −⎜ ⎟⎜ ⎟
⎝ ⎠
, (V.115)
• 4 / 3Γ = .
112
( )( )
22 0
00
12 ,3 2
a C t t Hl t t
κ ρ= + − =
−, (V.116)
Jadi untuk kasus materi radiasi, radiasi gelap tidak berpengaruh pada
parameter Hubble dari brane yang memilki tegangan positif.
• 2 / 3Γ = .
( ) ( )2 22 02 0 0
0 2 20
3 ,3 3
t tlCa t t Hl l
κ ρ κ ρκ ρ
−= − − =
a. (V.117)
• 1 Γ =
1/ 3 2 1/ 31 22
a Cβ β − C= + + , (V.118)
di mana
( )42
2 300 8
3t t C
lκ ρβ⎛ ⎞
= −⎜ ⎟⎝ ⎠
−
( ) ( )8 42 2
4 230 00 03 9 16
3 3t t C t t
l lκ ρ κ ρ⎛ ⎞ ⎛ ⎞
+ − −⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠
− . (V.119)
Persamaan (V.111) dapat digunakan untuk mencari solusi numerik dari medan Ψ
dengan bentuk sebagai berikut
( )2 2 2 ( )
0 03 4
(1 ) (1 )3 4 1 3
CHla l aκ ρ κ λ −
Γ
− Ψ Ψ Ψ −Ψ− + − =
Ψ Ψ Ψ −Ψ Ψ
2
<
, (V.120)
dengan H dan a ditentukan dari persamaan (V.113).
V.6 Rangkuman
Pada bab ini telah diperoleh persamaan-persamaan gravitasional energi rendah
pada brane untuk sistem satu buah brane dan dua buah brane. Persamaan-
persamaan evolusi bulk diselesaikan secara iteratif dengan mengekspansi
persamaan-persamaan yang relevan dalam parameter ekspansi ,
dengan l adalah skala kurvatur bulk dan L adalah skala kurvatur brane. Ekspansi
orde-0 menghasilkan ketertalaan antara tegangan brane dan konstanta kosmologi
bulk. Persamaan relativitas umum dengan suku-suku koreksi diperoleh untuk
ekspansi orde-1 dan seterusnya. Untuk sistem satu buah brane, terdapat suku non
lokal
2( / ) 1l Lε = <
μντ dan dua buah parameter bebas yang berhubungan dengan derajat
113
kebebasan bulk. Disamping itu pula, persamaan medan gravitasional menjadi
tertutup, yaitu dapat ditentukan melalui besaran-besaran pada brane.
Aspek kosmologi untuk masing-masing konfigurasi menghasilkan persamaan
Friedmaan termodifikasi oleh keberadaan tensor Weyl terproyeksi yang
diinterpretasikan sebagai radiasi gelap dalam model kosmologi FRW. Ditinjau
pula sebuah skenario kosmologi di mana dua buah brane bergerak dan
bertumbukan di dalam ruang-waktu bulk 5-dimensi. Materi pada brane yang
memiliki tegangan positif digambarkan oleh fluida ideal dan pada brane yang
memiliki tegangan negatif adalah konstanta kosmologi bergantung waktu.
Diperoleh solusi-solusi khusus untuk faktor skala pada brane yang memiliki
tegangan positif dan radion yang menentukan jarak wajar antara kedua brane.
Dari solusi analitik juga menunjukkan bahwa evolusi dari faktor skala adalah
berbeda untuk latar belakang materi dengan indeks barotropik berbeda.