BAB IV. RUANG BAB IV. RUANG - - RUANG RUANG VEKTOR EUCLIDEAN VEKTOR EUCLIDEAN 4.1 4.1 Ruang Ruang Euclidean Euclidean Berdimensi Berdimensi n n
BAB IV. RUANGBAB IV. RUANG--RUANG RUANG VEKTOR EUCLIDEANVEKTOR EUCLIDEAN
4.1 4.1 RuangRuang Euclidean Euclidean BerdimensiBerdimensi nn
VektorVektor--vektorvektor didi RRnn
DefinisiDefinisi::JikaJika n n adalahadalah bilanganbilangan bulatbulat positifpositif, , makamaka nn--pasanganpasanganterurutterurut adalahadalah suatusuatu barisanbarisan n n buahbuah bilanganbilangan riilriil(a(a11,a,a2,2,...,a...,ann)). . HimpunanHimpunan daridari semuasemua nn--pasanganpasangan terurutterurutdisebutdisebut ruangruang--nn dandan dinotasikandinotasikan dengandengan RRnn..DuaDua vector vector didi RRnn adalahadalahsamasama jikajika uu11=v=v11 , u, u22=v=v22,.....,u,.....,unn=v=vnn . . JumlahJumlahdidefinisikandidefinisikan sebagaisebagai: : & & jikajika adalahadalah k k sskkalaralar, , makamaka perkalianperkalian sskkalaralardidefinisikandidefinisikanOperasiOperasi penjumlahanpenjumlahan & & perkalianperkalian sskkalaralar didi atasatas disebutdisebutoperasioperasi standarstandar padapada RRnn. . VektorVektor didi RRn n dinotasikandinotasikanoleholeh
1 2 1 2( , ,..., ) & ( , ,..., )n nu u u u v v v v= =
u v+1 1 2 2( , , , )n nu v u v u v u v+ = + + +
k u1 2( , , , )nku ku ku ku=
0
0 (0,0, ,0)=
SifatSifat--sifatsifat operasioperasi didi RRnn
k k dandan l l skalarskalar makamaka ::, , nu v w R∈
( )
( )
( ) 0 0
( ) ( ) ( )
( ) 0 0
( ) ( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
( ) 1.
a u v v u
b u u u
c u v w u v w
d u u u u
e k lu kl u
f k u v ku kv
g k l u ku lu
h u u
+ = +
+ = + =
+ + = + +
+ − = → − =
=
+ = +
+ = +
=
RuangRuang n n euclidianeuclidianDefinisiDefinisi::JikaJika adalahadalah vectorvector--vektorvektor didi RRnn, , makamaka Euclidean Inner ProductEuclidean Inner Product((hasilhasil kali kali dalamdalam Euclidean)Euclidean)didefinisikandidefinisikan oleholeh: :
RRnn disebutdisebut RuangRuang--nn Euclidean, Euclidean, apabilaapabiladilengkapidilengkapi dengandengan operasioperasi inner product inner product euclideaneuclidean
1 2 1 2( , ,..., ) & ( , ,..., )n nu u u u v v v v= =
.u v1 1 2 2. ... n nu v u v u v u v= + + +
TEOREMA:TEOREMA:
JikaJika dandan k , l k , l sebarangsebarang skalarskalar ::, , nu v w R∈
( )( ) ( )
a. b.
c.
d. 0, 0 0
u v v uu v w u w v w
k u v k u v
v v v v v
=
+ = +
=
≥ = ↔ =
i ii i i
i i
i i
Norm & Norm & JarakJarak didi RRnn EuclideanEuclidean
•• Norm Euclidean vector Norm Euclidean vector didefinisikandidefinisikan oleholeh::
•• JarakJarak Euclidean 2 Euclidean 2 titiktitik
•• PertidaksamaanPertidaksamaan CauchyCauchy--Schwarz :Schwarz :JikaJika verktorverktor--vektorvektor didi RRnn
makamaka::
1 2 1 2( , ,..., ) & ( , ,..., )n nu u u u v v v v= =
1, 2( ,..., )nu u u u=
12 22
1( . ) . . . nu u u u u= = + +
2 21 1( , ) ( ) ... ( )n nd u v u v u v u v= − = − + + −
1 2 1 2( , ,..., ) & ( , ,..., )n nu u u u v v v v= =
.u v u v≤
TeoremaTeorema ::JikaJika uu dandan vv vektorvektor--vektorvektor didi RRnn dandan k k skalarskalar ::
. 0
. 0 0
.
. (Ketaksamaan segitiga Cauchy Schwarz)
a u
b u u
c k u k u
d u v u v
≥
= ⇔ =
=
+ ≤ +
TeoremaTeorema ::
JikaJika vektorvektor--vektorvektor didi RRnn dandan k k skalarskalar ::, dan u v w
( )( )( ) ( )( ) ( ) ( )
a. d , 0
b. d , 0
c. d , d ,
d. d , d , d , ( disebut ketidaksamaan segitiga)
u v
u v u v
u v v u
u v u w w v
≥
= ⇔ =
=
≤ +
OrthogonalityOrthogonalityVektorVektor dandan didi RRnn disebutdisebut orthogonal orthogonal jikajika::
JikaJika orthogonal, orthogonal, makamaka ::
VektorVektor dapatdapat ditulisditulis: :
u v
1
21, 2 ,..., n
n
uu
u atau u u u u
u
⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎡ ⎤= = ⎣ ⎦⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦
1, 2( ,..., )nu u u u=
&u v2 2 2
u v u v+ = +
0u v• =
Euclidean Inner ProductEuclidean Inner Product dalamdalam matriksmatriks::
1 1
2 2
1
21 1 1
,
.
n n
T
n n n
n
u vu v
u v
u v
uu
u v v u v v u v u v
u
⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥= =⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦
⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥⎡ ⎤= = = + +⎣ ⎦ ⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦
…
JikaJika A A matriksmatriks n x n x n,n,uu dandan vv vektorvektor didi RRnn
makamaka::
( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )
*
*
TT T T T
T T T T T
T
T
u v v u v u v u u v
u Av v u v u v u u v
u v u vu v u v
= = = =
= = = =
∴ =
=
A A A A A
A A A A
A AA A
i i
i i
i ii i
ContohContoh ::
1 2 3 1 22 4 1 2 01 0 1 4 5
1 2 3 1 72 4 1 2 101 0 1 4 5
1 2 1 2 72 4 0 0 4
3 1 1 5 17.( 2) 10.0 5.5 11
T
T
u v
u
v
u vu v
− − −⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥= = =⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥−⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦
− −⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥= =⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥−⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦
− − −⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥= − =⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥−⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦= − + + =
=
A
A
A
AAii ( 1)( 7) 2.4 4( 1) 11
Tu v u v− − + + − =
=A Ai i
4.2 4.2 TransformasiTransformasi daridari RRnn keke RRmm
FungsiFungsi daridari RRnn R :R :contohcontoh : :
FungsiFungsi daridari RRnn RRmm
JikaJika m=m=nn,maka,maka f :f :RRnn RRnn, f , f disebutdisebut operator operator padapada RRnn
MisalMisal::
PersamaanPersamaan tersebuttersebut mendefinisikanmendefinisikan transformasitransformasi daridariRRnn RRmm yaituyaitu T: T: RRnn RRmm didefinisikandidefinisikan : :
2 2 21 2( ... )
1 2( , ,..., ) nx x xnf x x x e− + + +=
( )( ) ( )
1 1 1 2
2 2 1 2
1 2
1 2 1 2
( , , , )( , , , )
, , ,
, , , didapat unik , , ,
n
n
n n n
n nn n
w f x x xw f x x x
w f x x x
x x x R w w w R
=
=
=
∀ ∈ ∈
1 2 1 2( , , , ) ( , , , )n mT x x x w w w=
ContohContoh: : persamaanpersamaan : : mendefinisikanmendefinisikan
transformasitransformasi daridari RR22 RR33 , , makamakatransformasitransformasi dapatdapat pula pula didefinisikandidefinisikan::T : T : RR22 RR33 sbbsbb::
T(1,T(1,--2)=(1+(2)=(1+(--2),3.1.(2),3.1.(--2),12),122 --((--2)2)22 )=()=(--1,1,--6,6,--3)3)BilaBila persamaanpersamaan transformasitransformasi berbentukberbentuk linier, linier, disebutdisebut transformasitransformasi linier.linier.
1 1 2
2 1 22 2
3 1 2
3w x xw x x
w x x
= +=
= −
2 21 2 1 2 1 2 1 2( , ) ( ,3 , )T x x x x x x x x= + −
PersamaanPersamaan transformasitransformasi diatasdiatas dapatdapatdinyatakandinyatakan dalamdalam bentukbentuk matriksmatriks sbbsbb::
MatriksMatriks disebutdisebut matriksmatriks standarstandaruntukuntuk transformasitransformasi linier T.linier T.T T disebutdisebut multiplication by A.multiplication by A.
1 11 1 1
2 21 2 2
1
n
n
n m mn n
w a a xw a a x
w a a x
w Ax
⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥=⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦
=
ijA a⎡ ⎤= ⎣ ⎦
BeberapaBeberapa NotasiNotasi PentingPenting::
* T: * T: RRnn RRmm ,,dinotasikandinotasikan TTAA: : RRnn RRmm artinyaartinyaTerkadangTerkadang matriksmatriks A A ditulisditulis ::sehinggasehingga transformasitransformasi dapatdapat ditulisditulis : :
•• KomposisiKomposisi daridari TransformasiTransformasi Linier:Linier:TTAA: : RRnn RRkk & T& TBB: : RRkk RRmm adalahadalah transformasitransformasilinier, linier, makamaka ::
( )AT x Ax=
[ ]AT
[ ]AT x A x=
( )( ) ( )( )( )( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )
( ) & ( ) ( ( ))
transformasi linier, karena :
adalah multiplication by BA
n k k mA A B A
B A B A
B A B A B
B A
x R T x R T x R T T x R
T T x T T x
T T x T T x T Ax B Ax BA x
T T
∀ ∈ ∃ ∈ ∀ ∈ ∃ ∈
∴ = →
= = = =
∴
i
i
i
GeometriGeometri Operator Linier Operator Linier TTAA: : RRnn RRnn
nn-- tupletuple terurutterurut dapatdapat dipandangdipandangsebagaisebagai suatusuatu titiktitik atauatau vector vector didi RRnn
1 2( , ,..., )na a a
( )T x
x ( )T xx
0Transformasi nol : T (x)=0x=0
Transformasi Identitas : ( )IT x I x x= =
Operator Operator RefleksiRefleksi terhadapterhadap sumbusumbu Y Y didi RR22
( , )x y( , )x y−
( )T x x
x
y 1
2
1
2
00 1
1 00 1
1 0Matriks standar refleksi sb Y:
0 1
w x x yw y x y
w xw y
= − = − += = +
↓
−⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎛ ⎞=⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠⎝ ⎠⎝ ⎠
−⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠
1
2
3
Refleksi terhadap bidang XY :1 0 00 1 00 0 1
w xw yw z
= ⎛ ⎞⎜ ⎟= ⎜ ⎟⎜ ⎟= − −⎝ ⎠
( , , )x y z
( , , )x y z−
Operator Operator ProyeksiProyeksi padapada sumbusumbu X :X :
Operator Operator ProyeksiProyeksi Orthogonal Orthogonal padapada bidangbidang XZ :XZ :
x
x
y
( , )x y
( ,0)xw
1
2
Persamaan transformasi :
01 0
Matriks transformasi :0 0
w xw==
⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠
1
2
3
Persamaan transformasi :
0
Matriks transformasi :1 0 00 0 00 0 1
w xww z
===
⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠
x
( , , )x y z
y
x
z
w
( ,0, )x z
Operator Operator rotasirotasi didi RR22 sebesarsebesar
θ
θ
1x
2x1 2( , )w w w=
1 2( , )x x x=r
r
θ φ 1 2
1
2
cos , sincos( ) cos cos sin sinsin( ) sin cos cos sin
x r x rw r r rw r r r
φ φθ φ θ φ θ φθ φ θ φ θ φ
= == + = −= + = +
1 1 2 1 1
2 22 1 2
cos cos sinsin cos sin cos
w x x sin w xw xw x x
θ θ θ θθ θ θ θ
= − −⎫ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎛ ⎞⇒ =⎬ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟= + ⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎭
θ
Operator Operator rotasirotasi didi RR33
rotasirotasi berlawananberlawanan araharah jarumjarum jam jam mengelilingimengelilingisumbusumbu X X positifpositif sebesarsebesar θ
x
y
x
z
w
1
2
3
1 0 0cos sin 0 cos sinsin cos 0 sin cos
w xw y zw y z
θ θ θ θθ θ θ θ
= ⎛ ⎞⎜ ⎟= − −⎜ ⎟⎜ ⎟= + ⎝ ⎠
RotasiRotasi berlawananberlawanan araharah jarumjarum jam jam mengelilingimengelilingisumbusumbu Y Y sebesarsebesar θθ
x
y
x
z
w
1
2
3
cos sin cos 0 sin0 1 0
sin cos sin 0 cos
w x zw y
w x z
θ θ
θ θ θ θ
= + ⎛ ⎞⎜ ⎟= ⎜ ⎟⎜ ⎟= − + −⎝ ⎠
θ
Operator Operator DilatasiDilatasi & & KontraksiKontraksi
KontraksiKontraksi dengandengan faktorfaktor k (o k (o << k k <<1), 1),
DilatasiDilatasi dengandengan faktorfaktor k ( k k ( k >> 1)1)
UntukUntuk RR33
1
2
0matriks standar
0w kx kw ky k
= ⎛ ⎞⇒ = ⎜ ⎟= ⎝ ⎠
( )T x k x=y
x
( , )x y
( , )kx kyx
w
y
x
( , )x y
( , )kx kyx
w1
2
0matriks standar
0w kx kw ky k
= ⎛ ⎞⇒ ⎜ ⎟= ⎝ ⎠
0 00 00 0
kk
k
⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠
KomposisiKomposisi daridari TransformasiTransformasi LinierLinier
disebutdisebut komposisikomposisi daridari
Operator Operator PencerminanPencerminan terhadapterhadap TitikTitik AsalAsal ::
MisalMisal padapada RR22 ,,
: , : adalah transformasi linier n k k m nA BT R R T R R x R→ → ∀ ∈
( ) ( ( )), transformasi linier n mA B Ax T x T T x R R→ → →
:B A B AT dengan T T T•
( )( )B A B A
B A A B
T T T TT T T T
=
≠
ii i
( )1 0
( ) , matriks transformasi T0 1
T x x−⎛ ⎞
= − = ⎜ ⎟−⎝ ⎠
Komposisi 3 atau Lebih Transformasi LinierKomposisi 3 atau Lebih Transformasi Linier
MatriksMatriks standarstandar ::
( )( ) ( )( )( )1 2 3
3 2 1 3 2 1
: , : , :n k k l l mT R R T R R T R R
T T T x T T T x
→ → →
• • =
( ) ( )( )( )( ) ( )( )( )
3 2 1 3 2 1
3 2 1 3 2 1 C B A CBA
T T T T T T
T T T T T T dan T T T T
• • =
• • = • • =
SifatSifat--sifatsifat transformasitransformasi linier T: linier T: RR22 RR33
DefinisiDefinisi::SuatuSuatu transformasitransformasi linier T linier T daridari RR22 RR33
disebutdisebut satusatu-- satusatu jikajika T T memetakanmemetakan vektorvektor--vektorvektor ((titiktitik--titiktitik) yang ) yang berbedaberbeda didi RR22 keke vektorvektor--vektorvektor ((titiktitik--titiktitik) yang ) yang berbedaberbeda didi RR33 ..
2 3
3 2
satu ( ) dan hanya ada satu ( )
x R w R T x ww R x R w T x
∀ ∈ ∃ ∈ → =
∀ ∈ ∈ ∋ =
MisalMisal , , AnxnAnxn matriksmatriks invertible: invertible: sifatsifat--sifatsifat TTAA : : * A * A dapatdapat dibalikdibalik ((mempunyaimempunyai inversinvers) ) * * * * tepattepat mempunyaimempunyai satusatu solusisolusi, , jikajika sistimsistim
konsistenkonsisten..TeoremaTeorema ::
JikaJika AAnxnnxn dandan TTAA : : RRnn RRnn adalahadalah perkalianperkalian dengandengan A ,A ,makamaka pernyataanpernyataan berikutberikut ekivalenekivalen ::* A * A dapatdapat dibalikdibalik* * DaerahDaerah hasilhasil daridari TTAA adalahadalah RRnn
* T* TAA adalahadalah satusatu--satusatu..
, : n nn n AA T R R× →
konsisten Ax w w= ∀
Ax w=
InversInvers daridari OperasiOperasi LinierLinier
JikaJika operasioperasi linier linier satusatu--satusatumakamaka A invertible.A invertible.
, , inversinvers TTAA jugajuga operasioperasi linierlinier
: n nAT R R→
1 : n nAT R R− →
1
1 1
1 1
1
( ( )) ( )
( ( )) ( )A AA
AA A
T T x T A x AA x I x x
T T x T Ax A Ax I x x
−
− −
− −
−
= = = =
= = = =
1 1
1 1
atau
A IA AA
A IA A A
T T T T
T T T T− −
− −
• = =
• = =
ContohContoh: :
JawabJawab ::
2 21 1 2 2 1 2: , 2 , 3 4 adalah transf 1-1T R R w x x w x x→ = + = +
11 2( , )?T w w−
[ ]1 1
2 2
2 1 2 1,
3 4 3 4w x
Tw x⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎡ ⎤ ⎡ ⎤
= =⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦⎣ ⎦ ⎣ ⎦
[ ] 114 1
5 53 2
5 5T T −−
⎡ ⎤−⎢ ⎥⎡ ⎤ = =⎣ ⎦ ⎢ ⎥−⎣ ⎦
1 21 11
2 2 1 2
4 1 4 15 5 5 53 32 2
5 5 5 5
w ww wT
w w w w−
⎡ ⎤ ⎡ ⎤− −⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎡ ⎤ = =⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦− −⎣ ⎦ ⎣ ⎦
11 2 1 2 1 2
4 1 3 2( , ) ,5 5 5 5
T w w w w w w− ⎛ ⎞∴ = − − +⎜ ⎟⎝ ⎠
SifatSifat--sifatsifat kelinierankelinieran ::
TeoremaTeorema : : JikaJika
: linier, n mT R R→ ⇔
( )
, dan c skalar berlaku : a. ( ) ( ) ( ) b. c = c ( )
nu v RT u v T u T vT u T u
∀ ∈+ = +
[ ] ( ) ( )1
1 2
: transf linier, basis standar , maka :
( )
n n
nn
n
T R Re e R
T T e T e T e
→
= ⎡ ⎤⎣ ⎦
SecaraSecara umumumum ::
1 2
1 0 00 1 0
, ,..., basis standar di ... ... ...0 0 1
nne e e R
⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥= = =⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ [ ]1 2( ) ( ) ... ( )nA T e T e T e=
[ ]1 1
2 21 2Jika , ( ) ( ) ... ( )
.... ....n
n
n n
x xx x
x R A x T e T e T e
x x
⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥= ∈ =⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦
1 1
1 1
1 1
( ) ... ( )( ) ... ( )( ... )( )
n n
n n
n n
Ax x T e x T eAx T x e T x eAx T x e x eAx T x
= + += + += + +
=
ContohContoh : : proyeksiproyeksi bid XY bid XY 3 2( : )T R R→
11 1 2 3 1
22 1 2 3 2
3
2 3 2 1 35 4 5 4 1
xw x x x w
xw x x x w
x
⎡ ⎤= − + + −⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎢ ⎥⇒ =⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥= + + ⎣ ⎦⎣ ⎦ ⎢ ⎥⎣ ⎦
1 2 3
1 0 02 1 3
( ) 0 , ( ) 1 , ( ) 05 4 1
0 0 1
2 1 35 4 1
T e T T e T T e T
T
⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤−⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥= = = = = = →⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠
−⎡ ⎤= ⎢ ⎥⎣ ⎦
1 1
2 2
3 3
1 0 02 1 3
0 1 05 4 1
0 0 0
x xx x x x
x x
⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤−⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥= → = ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦
A T