BAB 2
74
IIIPEMODELAN MATEMATIS SISTEM FISIKDeskripsi : Bab ini
memberikan gambaran tentang pemodelan matematis, fungsi alih,
diagram blok, grafik aliran sinyal yang berguna dalam pemodelan
sistem kendali Objektif : Memahami bab ini akan mempermudah pembaca
untuk memahami prinsip-prinsip pemodelan matematis sistem fisik
dari sistem kendali.
3.1 PendahuluanUntuk analisis dan desain sistem kendali, sistem
fisis harus dibuat model fisisnya. Model fisis ini harus dapat
menggambarkan karakteristik dinamis sistem tersebut secara memadai.
Dari model fisis ini dapat diturunkan model matematis. Model
matematis diartikan sebagai hubungan matematik yang menghubungkan
keluaran sistem dengan masukannya. Model matematis ini diperoleh
dari hukum-hukum fisis sistem yang bersangkutan seperti dinamika
sistem mekanis dimodelkan dengan hukum-hukum Newton, dinamika
sistem elektrik dimodelkan dengan hukum-hukum Kirchoff, ohm dll.
Model-model matematis digunakan untuk memperkirakan bagaimana
sistem akan memberikan tanggapan pada kondisi-kondisi spesifik yang
pasti tanpa menguji sistem fisik yang sebenarnya. Suatu sistem yang
memiliki model matematis sama tidak selalu menggambarkan model
fisis yang sama (misal: analogi sistem mekanis dengan sistem
elektrik). Beberapa contoh model matematis untuk sistem tradisional
satu input satu output (SISO) diantaranya :3.2 Model Matematis
3.2.1 Model Matematis Untuk Sistem Listrik
Contoh 3.1 : Tentukan persamaan dinamis untuk rangkaian listrik
R-L-C seri berikut ini :
Gambar 3.1 Rangkaian Listrik R-L-C seriJawab : Hukum Fisis :
Hukum Kirchoff .
Persamaan dinamis sistem/ persamaan differensial :
(3.1)
(3.2)
Contoh 3.2 : Tentukan persamaan dinamis untuk rangkaian listrik
R-L-C Paralel berikut ini
Gambar 3.2 Rangkaian Elektrik R-L-C Paralel Jawab :
Hukum Fisis : Hukum Kirchoff Persamaan dinamis sistem/ persamaan
differensial :
(3.3)
(3.4)
(3.5)
3.2.2 Model Matematis Untuk Sistem Mekanis
Contoh 3.3 : Tentukan persamaan dinamis untuk sistem gerak
mekanik gerobak
Gambar 3.3 Gerak Mekanis Gerobak Tipe 1Dimana
: Massa (kg) ,
: Percepatan ,
: Gaya
Jawab : Hukum Fisis : Hukum Gerak Newton II
(3.6)
dengan beberapa asumsi
-Pada saat sistem tidak bergerak dan gerobak digerakan dengan
kecepatan konstan -Input : dengan bersifat konstan
- Output: merupakan gerak relatif terhadap tanah
Persamaan dinamis sistem/ persamaan differensial :
(3.7)
(3.8)
Contoh 3.4 : Tentukan persamaan dinamis untuk sistem gerak
mekanik gerobak berikut ini :
Gambar 3.4 Gerak Mekanis Gerobak TipeDimana
: Massa (kg) ,
: Percepatan ,
: Gaya
Jawab : Hukum Fisis : Hukum Gerak Newton II
(3.9)dengan beberapa asumsi - Input :
- Output: merupakan gerak relatif terhadap tanah
Persamaan dinamis sistem/ persamaan differensial :
(3.10)
3.2.3 Model Matematis Untuk Sistem Ketinggian Air
Contoh 3.5 : Tentukan persamaan dinamis untuk untuk sistem
ketinggian air berikut ini :
Gambar 3.5 Sistem Ketinggian Air Tipe 1Jawab : dengan beberapa
asumsi
- Input :
- Output:
- Semua kondisi awal bernilai nol
Persamaan dinamis sistem/ persamaan differensial :
Untuk tangki 1 :
(3.11)
Dimana
(3.12)
Sehingga
(3.13)
Untuk tangki 2 :
(3.14)
Dimana
(3.15)
(3.16)
Sehingga
(3.17)
Dengan mengeliminasi diperoleh :
(3.18)Contoh 3.6 : Tentukan persamaan dinamis untuk sistem
ketinggian air berikut ini :
Gambar 3.6 Sistem Ketinggian Air Tipe 2Jawab :
Dengan beberapa asumsi
- Input :
- Output :
- Semua kondisi awal bernilai nol Persamaan dinamis sistem/
persamaan differensial :
Untuk tangki 1 :
(3.19)
dan
(3.20)
(3.21)
Untuk tangki 2 :
(3.22)
Dimana
(3.23)
(3.24)
Sehingga
(3.25)Dari persamaan (3.22) dan persamaan (3.25) diperoleh :
(3.26)3.3 Fungsi Alih
Dalam teori kendali, fungsi yang disebut fungsi alih seringkali
digunakan untuk mencirikan hubungan masukan dan keluaran dari
sistem linier parameter konstan. Konsep fungsi alih ini hanya
digunakan pada sistem linier parameter konstan. Fungsi alih sistem
linier parameter konstan didefinisikan sebagai perbandingan dari
transformasi Laplace keluaran dan transformasi Laplace masukan
dengan anggapan bahwa semua syarat awal adalah nol.
Sistem linier parameter konstan dinyatakan dengan persamaan
linier diferensial berikut :
(3.27)
Dimana adalah keluaran sistem dan adalah masukan sistem. Fungsi
alih dari sistem ini diperoleh dengan mencari transformasi Laplace
dari kedua persamaan (3.2) dengan asumsi semua kondisi awal
bernilai nol.
Fungsi alih :
(3.28)
Contoh 3.7 : Tentukan fungsi alih dari rangkaian listrik R-C
berikut ini :
Gambar 3.7 Rangkaian Listrik R-C Paralel
Jawab : Persamaan rangkaian :
(3.29)
(3.30)
(3.31)
Bentuk transformasi Laplace ( asumsi semua kondisi awal bernilai
nol) :
(3.32)
(3.33)
(3.34)
Fungsi alih :
(3.35)
(3.36)Contoh 3.8 : Tentukan fungsi alih dari sistem rotasi
mekanis berikut ini :
Gambar 3.8 Sistem Rotasi Mekanis
:Momen Putar masukan
:Penyimpangan sudut keluaran
: Gesekan
Jawab : Berdasarkan hukum Newton dan hukum Hooke, dalam keadaan
seimbang :
(3.37)
Transformasi Laplace untuk persamaan diferensial di atas adalah
:
(3.38)
Fungsi alih
(3.39)Contoh 3.9 : Tentukan fungsi alih dari sistem translasi
mekanis berikut ini :
Gambar 3.9 Gerak Mekanis GerobakDimana
: Massa (kg) ,
: Percepatan ,
: Gaya
Jawab :
Hukum Fisis : Hukum Gerak Newton II
(3.40)
dengan masukan sistem dan keluaran sistem yang merupakan gerak
relatif terhadap tanah. Persamaan dinamis sistem/ persamaan
differensial :
(3.41)
Transformasi Laplace untuk persamaan diferensial (3.41) adalah
:
(3.42)Fungsi Alih
(3.43)Contoh 3.10 : Tentukan fungsi alih dari sistem ketinggian
air berikut ini :
Gambar 3.10 Sistem Ketinggian Air
Jawab :
(3.44)Asumsi pada saat perubahan aliran masuk berubah dari
menjadi . Perubahan aliran masuk ini menyebabkan perubahan
ketinggian dari menjadi . Hal ini menyebabkan perubahan aliran
keluar dari menjadi sehingga persamaan sistem menjadi :
(3.45)Dimana
adalah kapasitansi dari tangki yang didefinisikan :
(3.46)Dalam keadaan mantap berlaku serta maka
(3.47)Dimana
(3.48)
(3.49)dimana
(3.50)
(3.51)Sehingga
(3.52)Karena dan maka
(3.53)atau
(3.54)Dengan asumsi sebagai masukan, sebagai keluaran dan asumsi
semua kondisi awal bernilai nol . Dengan menggunakan transformasi
Laplace diperoleh
(3.55)Fungsi alih :
(3.56)
3.4 Diagram Blok
Diagram blok suatu sistem adalah suatu penyajian bergambar dari
fungsi yang dilakukan oleh tiap komponen dan aliran sinyalnya.
Dalam suatu diagram blok, semua variabel sistem saling dihubungkan
dengan menggunakan blok fungsional. Blok fungsional atau biasa
disebut blok adalah suatu simbol operasi matematik pada sinyal
masukan blok yang menghasilkan keluaran. Fungsi alih dari komponen
biasanya ditulis di dalam blok yang dihubungkan dengan anak panah
untuk menunjukkan arah aliran sinyal. Gambar 3.11 menunjukkan suatu
elemen diagram blok . Anak panah yang menuju ke blok menunjukkan
masukan dan anak panah yang meninggalkan blok menyatakan keluaran.
Anah panah semacam ini dianggap sebagai sinyal.
Gambar 3.11 Elemen Diagram Blok
Diagram blok mengandung informasi perilaku dinamik tetapi tidak
mengandung informasi mengenai konstruksi fisik dari sistem. Oleh
karena itu, beberapa sistem yang berbeda dan tidak mempuyai relasi
satu sama lain dapat dinyatakan dengan diagram blok yang sama.
Selain itu dalam suatu diagram blok sumber energi utamanya tidak
ditunjukkan secara eksplisit dan juga bahwa diagram blok suatu
sistem adalah tidak unik.
Detektor Kesalahan. Detektor kesalahan menghasilkan suatu sinyal
yang merupakan selisih antara sinyal masukan acuan dengan sinyal
umpan balik dari sistem kontrol. Penyajian diagram blok dari
detektor kesalahan ditunjukkan pada Gambar 3.12 berikut
Gambar 3.12 Diagram Blok Suatu Detektor KesalahanPerhatikan
bahwa lingkaran dengan tanda silang adalah simbol yang menunjukkan
suatu operasi penjumlahan. Tanda positif atau negatif pada setiap
anak panah menunjukkan operasi yang harus dikenakan pada sinyal
tersebut, ditmabahkan atau dikurangkan. Besaran-besaran yang
ditambahkan atau dikurangkan mempuyai dimensi dan satuan yang
sama
Diagram blok sistem lingkar tertutup. Gambar 3.13 menunjukkan
suatu contoh digram blok sistem lingkar tertutup. Keluaran
diumpan-balikkan ke titik penjumlahan untuk dibandingkan dengan
masukan acuan . Keluaran blok dalam hal ini diperoleh dengan
mengalikan fungsi alih dengan masukan blok .
Gambar 3.13 Diagram Blok Suatu Sistem Lingkar Tertutup
Setiap sistem kontrol linier dapat dinyatakan dengan suatu
digram blok yang terdiri dari beberapa blok, titik penjumlahan dan
titik cabang. Titik cabang adalah titik tempat sinyal keluaran blok
secara bersamaan menuju ke blok lain. Jika keluaran diumpan-balik
ke titik penjumlahan untuk dibandingkan dengan masukan, maka perlu
mengubah bentuk sinyal keluaran agar sama dengan bentuk sinyal
masukan. Peranan penting umpan balik adalah memodifikasi keluaran
sebelum dibandingkan dengan masukan. Pada Gambar 3.14 sinyal umpan
balik yang diumpan-balikkan ke titik penjumlahan untuk dibandingkan
dengan sinyal masukan adalah .
Gambar 3.14 Sistem Lingkar Tertutup Perbandingan antara sinyal
umpan-balik dengan sinyal kesalahan penggerak disebut fungsi alih
lingkar terbuka yang dinyatakan
(3.57)
Perbandingan antara keluaran dengan sinyal kesalahan penggerak
disebut fungsi alih umpan maju sehingga
(3.58)
Untuk sistem yang ditunjukkan pada Gambar 3.14, keluaran dan
masukan dihubungkan sebagai berikut :
(3.59)
(3.60)
(3.61)
Sehingga
(3.62)
Fungsi alih yang merelasikan dengan disebut fungsi alih lingkar
tertutup. Fungsi alih ini meghubungkan dinamika sistem lingkar
tertutup dengan dinamika elemen umpan maju dan elemen umpan balik.
Dari persamaan (3.60) , diberikan oleh
(3.63)
Dari persamaan (3.63) ini terlihat bahwa keluaran sistem lingkar
tertutup bergantung pada fungsi alih lingkar tertutup dan sifat
dari masukan
Prosedur penggambaran diagram blok. Untuk menggambar diagram
blok suatu sistem, pertama kali tulis persamaan yang menggambarkan
perilaku dinamik tiap komponen, kemudian persamaan ini dirubah ke
dalam transformasi Laplace dengan asumsi semua syarat awal nol dan
gambarkan masing-masing persamaan dalam bentuk transformasi Laplace
ini dalam suatu blok. Akhirnya, susunan elemen-elemen ini menjadi
suatu diagram blok lengkap. Contoh 3.11 : Rangkaian RC yang
ditunjukkan pada Gambar 3.15 Persamaan untuk rangkaian ini adalah
:
(3.64)
(3.65)
Transformasi Laplace dari persamaan (3.64) dan (3.65) dengan
syarat awal nol diperoleh :
(3.66)
(3.67)
Gambar 3.15 Rangkaian RC
Gambar 3.16 Diagram Blok Dari Persamaan (3.66)
Gambar 3.17 Diagram Blok Dari Persamaan (3.67)
Gambar 3.18 Diagram Blok Rangkaian RC
Persamaan (3.66) menyatakan operasi penjumlahan sedangkan
diagram bloknya ditunjukkan pada Gambar 3.16. Persamaan (3.67)
dapat dinyatakan dengan blok diagram pada Gambar 3.17 dengan
mengabungkan dua elemen maka diperoleh diagram blok keseluruhan
sistem seperti yang ditunjukkan pada Gambar 3.18Penyederhanaan
diagram blok. Diagram blok kompleks yang melibatkan beberapa
lingkar berumpan-balik dapat disederhanakan dengan penyusunan
kembali selangkah demi selangkah dengan menggunakan aturan aljbar
diagram blok. Penyederhanaan diagram blok dengan cara penyusunan
kembali dan substitusi sangat meringankan tugas yang diperlukan
untuk analisis matematik berikutnya. Dalam menyederhanakan diagram
blok, beberapa hal yang perlu diingat adalah :
1. Hasil kali fungsi alih pada arah umpan maju harus tetap
sama
2. Hasil kali fungsi alih pada pengelilingan lingkar tertutup
harus tetap sama
Suatu aturan umum untuk menyederhanakan diagram blok adalah
memindahkan titik cabang dan titik penjumlahan, saling menukar
titik penjumlahan dan kemudian menyederhanakan lingkar umpan balik
di dalamnya. Beberapa aturan penyederhanaan diagram blok
diperlihatkan pada Tabel 3.1 berikut : Tabel 3.1 Beberapa Aturan
Penyederhanaan Diagram Blok
Contoh 3.12 : Sederhanakan diagram blok berikut ini
Jawab :
Didapatkan fungsi alih berikut :
(3.68)Contoh 3.13 : Gambarkan dan sederhanakan diagram blok dari
sistem ketinggian air berikut ini
Gambar 3.19 Sistem Ketinggian Air
Jawab :
Kemudian digabungkan menjadi :
Didapatkan fungsi alih berikut :
(3.69)
3.5Grafik Aliran Sinyal Grafik aliran sinyal. Grafik aliran
sinyal adalah suatu diagram yang menggambarkan seperangkat
persamaan linear diferensial simultan. Untuk menggunakan metoda
grafik aliran sinyal pada sistem kontrol terlebih dahulu harus
mentransformasi persamaan diferensial menjadi persamaan aljabar
dalam s. Grafik aliran sinyal terdiri dari suatu jaringan
cabang-cabang berarah yang menghubungkan simpul-simpul. Tiap simpul
menyatakan suatu variabel sistem dan tiap cabang yang menghubungkan
dua buah simpul berfungsi sebagai pengali sinyal. Grafik aliran
sinyal menggambarkan aliran sinyal dari suatu titik pada sistem ke
titik yang lain serta memberikan hubungan antara sinyal-sinyal
tersebut. Grafik aliran sinyal pada dasarnya mengandung informasi
yang sama seperti halnya diagram blok. Keunggulan penggunaan grafik
aliran sinyal dalam menggambarkan suatu sistem kontrol adalah
adanya rumus penguatan yang disebut rumus penguatan mason yang
memberikan hubungan antar variabel sistem tanpa memerlukan
penyederhaan grafik Definisi-definisi. Beberapa istilah yang perlu
didefinisikan dalam grafik aliran sinyal :
Simpul. Simpul adalah suatu titik yang menyatakan suatu variabel
atau sinyal
Transmitansi. Transmitansi adalah penguatan antara dua buah
simpul
Cabang. Cabang adalah segmen garis berarah yang menghubungkan
dua buah simpul Simpul Masukan. Simpul masukan adalah simpul yang
hanya mempuyai cabang mempuyai cabang berarah keluar. Simpul ini
melambangkan variabel bebas
Simpul Keluaran. Simpul keluaran adalah simpul yang hanya
mempuyai cabang berarah masuk. Simpul ini melambangkan variabel
yang bergantungan.
Simpul Campur. Simpul campur adalah simpul yang mempuyai baik
cabang berarah masuk maupun keluar
Lintasan. Lintasan adalah jalan yang dilewati oleh cabang-cabang
yang berhubungan pada arah yang ditunjukkan oleh anak panah
cabang
Lup. Lup adalan lintasan tertutup
Penguatan Lup. Penguatan lup adalah hasil kali
transmitansi-transmitansi cabang pada lup tersebut
Lup lup tidak bersentuhan. Lup-lup disebut tidak bersentuhanc
jika tidak mempuyai simpul bersama
Lintasan Maju. Lintasan maju adalah lintasan dari simpul masukan
ke simpul keluaran yang melewati setiap simpul hanya sekali.
Penguatan Lintasan Maju. Penguatan lintasan maju adalah hasil
kali transmitansi-transmitansi cabang lintasan maju Sifat-sifat
grafik aliran sinyal. Beberapa sifat penting grafik aliran sinyal
adalah sebagai berikut :
1. Cabang menunjukkan ketergantungan fungsional suatu sinyal
terhadap yang lain . Sinyal hanya lewat pada arah yang ditentukan
oleh anak panah cabang
2. Simpul menjumlah sinyal dari semua cabang masuk dan
mentransmisi hasil penjumlahan ini ke seluruh cabang ke luar
3. Simpul campur, yang mempuyai baik cabang masuk maupun cabang
keluar, dapat dianggap sebagai simpul keluaran dengan menambah satu
cabang ke luar yang mempuyai transmitansi satu.
4. Untuk setiap sistem, grafik aliran sinyalnya adalah tidak
unik. Beberapa grafik aliran yang berbeda dapat digambarkan untuk
suatu sistem dengan menuliskan persamaan-persamaan sistem dengan
cara yang berlainan
Aljabar grafik aliran sinyal. Grafik aliran sinyal suatu sistem
linier dapat digambarkan dengan menggunakan definisi-definisi yang
sudah diberikan sebelumnya. Dalam mengerjakannya, biasanya simpul
masukan di sebelah kiri dan simpul keluaran di sebelah kanan.
Variabel bebas dan bergantungan dari persamaan, masing-masing
menjadi simpul masukan dan simpul keluaran. Transmitansi cabang
dapat diperoleh dari koefesien-koefesien persamaan.Penyederhanaan
Diagram Blok dan Sinyal Flowgraph. Seringkali dijumpai diagram blok
maupun sinyal flowgraph dari suatu sistem masih terlalu rumit untuk
dianalisis secara langsung. Untuk memudahkan analisis, diagram blok
maupun sinyal flowgraph harus disederhanakan lebih dahulu.
Contoh-contoh dari penyederhanaan dapat dilihat berikut.1.
Rangkaian seri.
2. Rangkaian paralel
3. Pergeseran summing point di belakang blok.
4. Pergeseran summing point di muka blok.
5. Pergeseran pick-off point di belakang blok
6. Pergeseran pick-off point di muka blok
EMBED Visio.Drawing.11 7. Rangkaian umpan balik
Rumus penguatan mason untuk grafik aliran sinyal. Untuk
menghitung penguatan sistem lup tertutup secara keseluruhan (over
all transmittance) dari sebuah sinyal flowgraph dipakai dalil
Mason, sebagai berikut :
(3.70)
dengan
:Fungsi alih (transmittance) dari arah maju ke-n dimana n = 1,
2, 3,
( :Determinan dari flowgraph, ditentukan sebagai berikut
(3.71)
:Transmittance dari sebuah lintasan tertutup
:Jumlah transmittance dari sebuah lintasan tertutup .
:Perkalian transmittance dari dua lintasan tertutup yang tidak
saling menyinggung (( tidak mempunyai titik persekutuan).
:Jumlah semua perkalian transmittance dari dua lintasan tertutup
yang tidak saling menyinggung.
:Perkalian transmittance dari tiga lintasan tertutup yang tidak
saling menyinggung. dan seterusnya.
:Kofaktor dari Tn (Determinan dari flowgraph yang tertinggal
setelah arah maju (forward path) yang menghasilkan Tn dihilangkan,
termasuk lintasan tertutup yang menyinggungnya.Contoh 3.14 :
Tentukan C(s) dari diagram blok berikut ini :
Jawab :
Untuk menentukan dalam sistem masukan banyak dilakukan dengan
cara superposisi yaitu membuat satu masukan aktif untuk satu saat
tertentu, sedang yang lain dibuat sama dengan 0. Dari contoh ini,
maka Diasumsikan hanya ada dan maka
Diperoleh
(3.72)
(3.73) Asumsikan hanya ada dan maka
(3.74)
(3.75)
(3.76)
(3.77)
(3.78)Contoh 3.15 : Tentukan fungsi alih untuk gambar
berikut.
Jawab :
(3.79)
(3.80)
(3.81)
(3.82)
(3.83)
(3.84)
(3.85)
(3.86)
(3.87)
(3.88)
(3.89)
(3.90)
(3.91)
(3.92)
(3.93)
(3.94)
(3.95)
(3.96)
(3.97)
3.6 Rangkuman Deskripsi matematik dari karakteristik dinamik
suatu sistem disebut model matematik. Langkah pertama dan analis
dalam analisis suatu sistem dinamik adalah menurunkan modelnya.
Model dapat disajikan dalam beberapa bentuk yang berbeda,
bergantung pada sistem dan keliling yang ditinjau. Fungsi alih
adalah suatu ekspresi yang merelasikan keluaran dan masukan suatu
sistem linier parameter konstan dalam bentuk parameter sistem dan
merupakan sifat dari sistem itu sendiri, tidak bergantung pada
fungsi masukan atau penggerak. Fungsi alih mencakup satuan-satuan
yang diperlukan untuk merelasikan masukan dengan keluaran meskipun
demikian fungsi alih tidak memberikan informasi mengenai struktur
fisik dari sistem. Diagram blok suatu sistem adalah suatu penyajian
bergambar dari fungsi yang dilakukan oleh tiap komponen dan aliran
sinyalnya. Diagram semcam ini melukiskan hubungan timbal balik yang
ada antara berbagai komponen. Berbeda dengan penyajian matematis
yang bersifat abstrak belaka, diagram blok mempuyai keunggulan
dalam menunjukkan aliran sinyal yang lebih nyata pada sistem yang
sebenarnya.
Grafik aliran sinyal adalah suatu diagram yang menggambarkan
seperangkat persamaan diferensial linier simultan. Penerapan grafik
aliran sinyal biasanya adalah pada penggambaran diagram sistem.
Rumus penguatan Mason dapat digunakan untuk menentukan hubungan
antara suatu masukan dan suatu keluaran. Rumus penguatan Mason
sangat berguna terutama dalam menyederhanakan diagram sistem yang
besar dan kompleks dalam satu langkah tanpa memerlukan
penyederhanaan selangkah demi selangkah. 3.7 Contoh Soal dan
Jawab
Soal A-3-1. Tentukan persamaan dinamis untuk sistem mekanik
berikut
Gambar 3.20 Sistem MekanisJawab :
Hukum Fisis : Hukum Newton
Persamaan dinamis sistem/ persamaan differensial :
(3.98)
(3.99)
Soal A-3-2. Tentukan persamaan dinamis untuk sistem rangkaian
listrik berikut ini :
Gambar 3.21 Sistem Rangkaian Listrik R-L-CJawab : Hukum Fisis :
Hukum Kirchoff
Persamaan dinamis sistem/ persamaan differensial :
(3.100)
(3.101)
(3.102)
(3.103)Soal A-3-3. Tentukan persamaan dinamis untuk sistem
ketinggian air berikut
Gambar 3.22 Sistem Ketinggian Air Dua Masukan Jawab :
Persamaan dinamis sistem :
(3.104)
(3.105)
(3.106)
(3.107)Eliminasi persamaan (3.104) ke persamaan (3.105)
diperoleh :
(3.108)Eliminasi dan pada persamaan (3.106) dengan menggunakan
persamaan (3.105) dan (3.107)
(3.109)Soal A-3-4. Tentukan persamaan dinamis untuk sistem
mekanis berikut :
Gambar 3.23 Sistem Mekanis KombinasiJawab :
Persamaan dinamis sistem :
(3.110)
(3.111)
(3.112)Soal A-3-5. Untuk rangkaian motor DC berikut
Gambar 3.24 Rangkaian Motor DCJawab :
Persamaan tegangan untuk rangkaian armature :
(3.113)
Persamaan torsi untuk rangkaian armature :
(3.114)diperoleh persamaan kecepatan motor :
(3.115)dan juga diperoleh persamaan posisi motor :
(3.116)
Soal A-3-6. Untuk sistem mekanik berikut
Gambar 3.25 Sistem Mekanis Horizontal
Tentukan fungsi alih dari rangkaian mekanik diatas dengan
sebagai keluaran dan sebagai masukan . Asumsi semua kondisi awal
bernilai nol dengan , dan
Jawab :
Persamaan linear diferensial dari sisem mekanik :
(3.117)
(3.118)
(3.119)
(3.120)Dengan mencari transformasi Laplace kedua ruas persamaan
tersebut diperoleh :
(3.121)Dengan substitusi nilai-nilai yang diketahui dan syarat
awal sama dengan nol diperoleh :
(3.122)Fungsi alih
(3.123)Soal A-3-7. Untuk rangkaian listrik berikut
Gambar 3.26 Sistem Rangkaianc Listrik R-L-CTentukan fungsi alih
dari rangkaian listrik diatas dengan sebagai keluaran dan sebagai
masukan serta simulasikan fungsi alih yang didapatkan dengan
menggunakan Matlab. Asumsi semua kondisi awal bernilai nol dengan ,
dan
Jawab :
Persamaan linear diferensial dari rangkaian listrik :
(3.124)
(3.125)Dengan kondisi awal dan
(3.126)
Dengan mencari transformasi Laplace kedua ruas persamaan
tersebut diperoleh :
(3.127)
(3.128)
dari persamaan (3.128) diperoleh :
(3.129)
Persamaan (3.129) disubstitusi ke persamaan (3.128) diperoleh
:
(3.130)
(3.131)
Dengan substitusi nilai-nilai yang diketahui dan syarat awal
sama dengan nol diperoleh :
(3.132)Fungsi alih
(3.133)Soal A-3-8. Untuk sistem pengaturan ketinggian air dengan
sistem lingkar tertutup sebagai berikut ini :
Tentukan fungsi alih dari sistem ketinggian air diatas dengan
sebagai keluaran dan sebagai masukan serta simulasikan fungsi alih
yang didapatkan dengan menggunakan Matlab. Asumsi semua kondisi
awal bernilai nol
Jawab : Persamaan linear diferensial dari sistem ketinggian air
:
(3.134)
(3.135)Dimana
dan
(3.136)Sehingga diperoleh :
(3.137)Dengan mencari transformasi Laplace kedua ruas persamaan
tersebut diperoleh :
(3.138)Dengan substitusi nilai-nilai yang diketahui dan syarat
awal sama dengan nol diperoleh fungsi alih lingkar terbuka :
(3.139)Adapun untuk fungsi alih lingkar tertutup diperoleh
(3.140)
(3.141)
(3.142)Dimana
: konstanta pengukuran
: penguat konstan dari alat pengukuran
:konstanta kendali valve
:Sinyal referensi
Sehingga diperoleh fungsi alih lingkar tertutup :
(3.143)Soal A-3-9. Untuk sistem mekanik berikut ini :
Gambar 3.27 Sistem Mekanis
Tentukan fungsi alih dari sistem mekanik diatas dengan sebagai
keluaran dan sebagai masukan serta simulasikan fungsi alih yang
didapatkan dengan menggunakan Matlab. Asumsi semua kondisi awal
bernilai nol dengan dan .Jawab :
Persamaan linear diferensial dari sistem mekanik :
(3.144)
(3.145)Dengan mencari transformasi Laplace kedua ruas persamaan
tersebut diperoleh :
(3.146)
(3.147)Eliminasi pada kedua persamaan diperoleh :
(3.148)atau
(3.149)
Dengan substitusi nilai-nilai yang diketahui dan syarat awal
sama dengan nol diperoleh :
(3.150)Soal A-3-10. Untuk rangkaian motor DC berikut
Gambar 3.28 Sistem Rangkaian Motor DCTentukan fungsi alih dari
sistem rangkaian motor DC diatas dengan sebagai keluaran dan
sebagai masukan serta simulasikan fungsi alih yang didapatkan
dengan menggunakan Matlab. Dengan beberapa asumsi sebagai berikut
:
1. Semua kondisi awal bernilai nol
2. Hubungan fluks magnetik antara stator dan rotor dinyatakan
dengan persamaan :
(3.151)3. Torsi mekanik motor dinyatakan dengan persamaan :
(3.152)4. Nilai dan merupakan suatu konstanta
Jawab : Persamaan linear diferensial dari sistem rangkaian motor
DC adalah :
(3.153)
(3.154)
(3.155)Subsitusi persamaan (3.155) ke persamaan (3.154)
diperoleh :
(3.156)Dengan mencari transformasi Laplace diperoleh :
(3.157)Dengan substitusi nilai-nilai yang diketahui dan syarat
awal sama dengan nol diperoleh :
(3.158)
(3.159)Soal A-3-11. Untuk rangkaian listrik berikut ini :
Gambar 3.29 Sistem Rangkaian Listrik R-L-CTentukan :
a. Persamaan linear diferensial untuk rangkaian listrik
diatas
b. Buat diagram blok untuk rangkaian listrik diatas.c. Tentukan
fungsi alih dari rangkaian listrik diatas dengan reduksi diagram
blok pada soal b.
Jawab :
a. Persamaan linear diferensial rangkaian listrik diatas :
Untuk loop 1 :
(3.160)Untuk loop 2 :
(3.161)
(3.162) Dengan mencari transformasi Laplace diperoleh :
(3.163)
(3.164)
(3.165)b. Diagram blok untuk rangkaian listrik diatas.
c. Fungsi alih dari rangkaian listrik diperoleh :
(3.166)
(3.167)Soal A-3-12. Tentukan fungsi alih dari rangkaian di bawah
ini
Jawab :
Langkah 1 :
Langkah 2 :
Langkah 3 :
Fungsi alih :
(3.168)Soal A-3-13. Reduksi diagram blok di bawah ini :
Jawab :
Langkah 1 :
Langkah 2 :
Langkah 3 :
Langkah 4 :
Soal A-3-14. Reduksi diagram blok berikut ini
Jawab : Langkah 1 :
Langkah 2 :
Langkah 3 :
Langkah 4 :
Langkah 5:
Langkah 6:
Soal A-3-15. Reduksi diagram blok berikut ini
Jawab : Langkah 1 :
Langkah 2 :
Langkah 3 :
Langkah 4 :
Soal A-3-16. Untuk sistem berikut ini :
Dengan menggunakan formula Mason tentukan fungsi alih dari
diagram blok diatas Jawab :
Diagram blok dirubah menjadi :
Lintasan maju :
(3.169)
(3.170)Bati lintasan :
(3.171)
(3.172)
(3.173)
(3.174)
(3.175)Fungsi alih :
(3.176)
(3.177)Soal A-3-17. Untuk rangkaian listrik berikut ini
Gambar 3.30 Sistem Rangkaian ListrikDengan menggunakan formula
Mason tentukan fungsi alih dari rangkaian diatas
Jawab :
Pada rangkaian listrik berlaku persamaan berikut :
(3.178)
(3.179)
(3.180)
(3.181)Dari persamaan (3.178) s/d (3.181) diperoleh diagram
berikut :
Lintasan maju
(3.182)Bati lintasan
(3.183)
(3.184)
(3.185)
(3.186)
(3.187)
(3.188)Fungsi alih :
(3.189)Soal A-3-18. Untuk sistem berikut ini :
Dengan menggunakan formula Mason tentukan fungsi alih dari
sistem tersebut.
Jawab :
Lintasan maju :
(3.190)
(3.191)
(3.192)Bati Lintasan :
(3.193)
(3.194)
(3.195)
(3.196)
(3.197)
(3.198)
(3.199)
(3.200)
(3.201)
(3.202)
(3.203)Fungsi alih :
(3.204)
(3.205)
Dimana
(3.206)Soal A-3-19. Untuk sistem berikut ini :
Tentukan fungsi alih dari sistem tersebut dengan menggunakan
:
a. Grafik aliran sinyal b. Formula Mason
Jawab :
a. Grafik aliran sinyal Langkah 1 :
Dari langkah 1 didapatkan :
(3.207)
(3.208)
(3.209)Langkah 2 :
Langkah 3 :
Langkah 4 :
Didapatkan fungsi alih :
(3.210)
(3.211)b. Formula Mason
Lintasan maju :
(3.212)
(3.213)Bati Lintasan :
(3.214)
(3.215)
(3.216)
(3.217)
(3.218)
(3.219)
(3.220)
(3.221)
(3.222)
(3.223)
(3.224)
(3.225)Diperoleh
(3.226)Soal A-3-20. Untuk diagram blok berikut ini :
Tentukan fungsi alih dari rangkaian diatas dengan menggunakan
Signal Flow GraphJawab : Langkah 1 :
Langkah 2 :
Langkah 3:
Langkah 5:
Fungsi alih :
(3.227)3.8Soal Soal
Soal B-3-1. Tentukan persamaan dinamis untuk sistem-sistem
mekanik berikut ini :
Soal B-3-2. Tentukan persamaan dinamis untuk sistem-sistem
listrik berikut ini :
Soal B-3-3. Tentukan persamaan dinamis untuk sistem-sistem
ketinggian air berikut ini :
Soal B-3-4. Tentukan fungsi alih untuk sistem-sistem rangkaian
listrik berikut ini :
Soal B-3-5. Tentukan fungsi alih untuk sistem-sistem mekanik
berikut ini :
Soal B-3-6. Tentukan fungsi alih untuk sistem-sistem ketinggian
air berikut ini :
Soal B-3-7. Tentukan fungsi alih untuk sistem-sistem berikut ini
dengan menggunakan metoda grafik aliran sinyal :
Soal B-3-8. Tentukan fungsi alih untuk sistem-sistem berikut ini
dengan menggunakan formula Mason :
EMBED Visio.Drawing.11
EMBED Visio.Drawing.11 Soal B-3-9. Untuk sistem pengendalian
motor DC dengan menggunakan stator berikut ini :
Tentukan : a. Persamaan diferensial motor DC tersebut
b. Fungsi alih motor DC
c. Blok diagram motor DC d. Penyederhanaan blok diagram motor DC
dengan menggunakan metoda grafik aliran sinyal
e. Fungsi alih motor DC dengan menggunakan formula Mason
Soal B-3-10. Untuk sistem mekanik berikut :
Asumsi : sebagai keluaran dan sebagai masukan Tentukan :
a. Persamaan diferensial sistem mekanik tersebut
b. Fungsi alih sistem mekanik
c. Blok diagram sistem mekanik
d. Penyederhanaan blok diagram sistem mekanik dengan menggunakan
metoda grafik aliran sinyal
e. Fungsi alih sistem mekanik dengan menggunakan formula
Mason
3.9 Studi Kasus 1. Cari masing-masing 1 buah sistem kendali
elektrik, sistem kendali mekanik, sistem kendali ketinggian air dan
sistem kendali termal beserta parameter-parameternya serta :
a. Tentukan model matematis setiap sistem
b. Tentukan persamaan linear diferensial dari setiap sistem
c. Tentukan fungsi alih dari model matematis setiap sistem
d. Tentukan solusi persamaan linear diferensial dari setiap
sistem dengan menggunakan transformasi Laplace dan metoda
klasik
e. Buat diagram blok dari model setiap sistem
f. Buat grafik aliran sinyal dari model setiap sistemg. Tentukan
fungsi alih setiap sistem dengan menggunakan formula Mason
h. Simulasikan 1.c s/d 1.d untuk setiap kasus dengan menggunakan
Matlab
2 Buat laporan hasil studi kasus yang dilakukan
3. Buat materi presentasi studi kasus yang dilakukan dengan
menggunakan Microsoft Power Point atau Macromedia Flash
4. Presetasikan hasil studi kasus yang dengan jadwal yang
ditentukan kemudian
5. Kriterai penilaian :
Nilaia-bc-de-fg-h234
90 s/d 100
80 s/d 89
70 s/d 79
60 s/d 69
50 s/d 59
40 s/d 49
30 s/d 39
< 29
Catatan : Model sistem kendali yang dicari tidak boleh sama
dengan model tugas yang sebelumnya. Jika ada yang sama maka tugas
dalam bab ini dianggap gagal
EMBED Visio.Drawing.11
_1329216087.vsdL2
R
L1
C
eo(t)
i2(t)
i1(t)
e(t)
_1330370042.unknown
_1331406587.unknown
_1331407175.unknown
_1331407449.unknown
_1331407626.unknown
_1331407671.unknown
_1331407694.unknown
_1331407727.unknown
_1331407757.unknown
_1331407772.unknown
_1331407746.unknown
_1331407714.unknown
_1331407692.unknown
_1331407649.unknown
_1331407661.unknown
_1331407636.unknown
_1331407500.unknown
_1331407535.unknown
_1331407553.unknown
_1331407513.unknown
_1331407480.unknown
_1331407491.unknown
_1331407461.unknown
_1331407319.unknown
_1331407366.unknown
_1331407419.unknown
_1331407431.unknown
_1331407377.unknown
_1331407345.unknown
_1331407355.unknown
_1331407335.unknown
_1331407273.unknown
_1331407298.unknown
_1331407309.unknown
_1331407288.unknown
_1331407208.unknown
_1331407234.unknown
_1331407262.unknown
_1331407188.unknown
_1331406953.unknown
_1331407055.unknown
_1331407122.unknown
_1331407151.unknown
_1331407164.unknown
_1331407139.unknown
_1331407084.unknown
_1331407101.unknown
_1331407069.unknown
_1331407000.unknown
_1331407025.unknown
_1331407041.unknown
_1331407010.unknown
_1331406976.unknown
_1331406988.unknown
_1331406968.unknown
_1331406780.unknown
_1331406861.unknown
_1331406897.unknown
_1331406911.unknown
_1331406872.unknown
_1331406805.unknown
_1331406846.unknown
_1331406793.unknown
_1331406728.unknown
_1331406755.unknown
_1331406767.unknown
_1331406740.unknown
_1331406700.unknown
_1331406708.unknown
_1331406648.unknown
_1331035906.unknown
_1331406419.unknown
_1331406517.unknown
_1331406555.unknown
_1331406570.unknown
_1331406529.unknown
_1331406444.unknown
_1331406505.unknown
_1331406432.unknown
_1331036126.unknown
_1331037855.unknown
_1331037933.unknown
_1331406390.unknown
_1331406406.unknown
_1331038390.unknown
_1331406132.unknown
_1331038402.unknown
_1331038082.unknown
_1331037888.unknown
_1331037899.unknown
_1331037865.unknown
_1331037813.unknown
_1331037816.unknown
_1331036254.unknown
_1331036069.unknown
_1331036093.unknown
_1331036110.unknown
_1331036078.unknown
_1331035956.unknown
_1331036056.unknown
_1331035943.unknown
_1330509552.unknown
_1331035713.unknown
_1331035794.unknown
_1331035828.unknown
_1331035895.unknown
_1331035817.unknown
_1331035736.unknown
_1331035749.unknown
_1331035724.unknown
_1330795635.unknown
_1330795832.unknown
_1331028528.unknown
_1331035681.unknown
_1331028527.unknown
_1330795815.unknown
_1330540580.unknown
_1330795622.unknown
_1330509655.unknown
_1330509691.unknown
_1330509709.unknown
_1330509667.unknown
_1330509639.unknown
_1330456877.unknown
_1330456936.unknown
_1330504271.unknown
_1330509536.unknown
_1330504192.unknown
_1330456971.unknown
_1330456905.unknown
_1330456932.unknown
_1330456934.unknown
_1330456918.unknown
_1330456891.unknown
_1330371512.unknown
_1330456849.unknown
_1330456861.unknown
_1330447280.unknown
_1330447297.unknown
_1330371522.unknown
_1330370066.unknown
_1330371497.unknown
_1330370056.unknown
_1329409502.vsdI1(s)
I1(s)-I2(s)
Ei(s)
C1(s)
R1
_1329543476.vsdG1
G3
G4
G2
H2
H1
H3
R(s)
C(s)
+
+
+
+
-
-
_1329543748.vsd+
-
R2
R1
R1
C
A
B
ei
eo
_1329544023.vsd+
-
L
R
i
v
Input voltage
B
J
Shaft angel
_1329544148.vsd
_1329544172.vsd
_1329544212.vsd
_1329544240.vsdh1
h2
h3
_1329544259.vsd
_1329544184.vsd
_1329544159.vsd
_1329544047.vsdm
m
K
B1
B2
f(t)
y(t)
_1329544105.vsdM
m
k1
k2
b
x1
x2
x3
_1329544120.vsd+
-
if(t)
Rf
Lf
ia(t)=ia
(t)
Tm,Jm,Bm, m, m
_1329544134.vsdM2 = 1 kg
M1 = 1 kg
K1= 1N/m
K2= 1N/m
_1329544059.vsdm2
m1
_1329544036.vsdM1
b1
b2
xi
xo
_1329543805.vsdG1(s)
G2(s)
F(s)
+
+
+
+
R(s)
Y(s)
_1329543844.vsdT12
T23
T34
x1
x2
x3
x4
_1329543947.vsdx1
x2
x3
x4
x5
x6
T12
T23
T32
T34
T25
T43
T45
T56
T54
_1329543989.vsdr
y
l
G1
G2
G3
G4
G5
-F1
-- l
_1329544003.vsdr
y
l
G1
G2
G3
G4
G5
-F1
-F2
_1329543966.vsdr
y
l
l
G1
G2
G3
G4
-F1
-F2
-F3
_1329543923.vsdx1
x2
x3
x4
x5
T12
T23
T32
T34
T24
T43
T45
_1329543825.vsdG1(s)
F1(s)
G2(s)
G3(s)
G4(s)
F2(s)
F2(s)
+
+
+
-
-
-
R(s)
Y(s)
_1329543783.vsdG1(s)
G2(s)
G4(s)
G3(s)
G5(s)
+
+
-
+
R(s)
Y(s)
_1329543795.vsd
G1(s)
G2(s)
F1(s)
F2(s)
F3(s)
F4(s)
R(s)
Y(s)
+
+
+
+
+
-
_1329543764.vsd+
-
ei
e0
R1
R2
e
C
i1
i3
i2
_1329543617.vsdm
K
u
B
y
_1329543681.vsdR1
R2
C2
+
+
-
-
u(t)
y(t)
C1
_1329543708.vsdR1
C1
R2
C2
ei
eo
_1329543724.vsd+
-
+
-
R1
R3
R2
R4
R5
R6
C1
C2
Ei(s)
Eo(s)
E(s)
Z1
Z2
_1329543694.vsd+
-
u(t)
+
-
y(t)
C1
C2
R2
R1
_1329543650.vsdL1
L2
L3
R1
R3
R2
v1(t)
v3(t)
v2(t)
+
+
+
-
-
-
C1
C2
_1329543668.vsdR1
R2
C
+
+
-
-
u(t)
y(t)
_1329543635.vsdv2(t)
v1(t)
R1
R2
C1
C2
L
+
+
-
-
_1329543542.vsdm
k
No Friction
x (output)
u(t)(input force)
_1329543574.vsdm
k1
No Friction
x (output)
u(t)(input force)
k2
_1329543596.vsdO
y
x
y
x
G
x
M
u
l
l
_1329543558.vsdM1
M2
K1
K2
U1
U2
b1
y1
y2
_1329543518.vsdG1
R
+
-
H3
C(s)
_1329543528.vsdR(s)
C(s)
_1329543501.vsdG1
G2
H3
R
C(s)
+
+
-
-
_1329447897.vsdR
H1
C
G2+G3
_1329499708.vsdH1
C
R
_1329505153.vsdRs
G1
G2
G3
G4
G5
H2
H4
H3
G6
Ys
_1329543425.vsd
G4 G2 G5 G3
H2(G4+G5)
I(s)
O(s)
_1329543440.vsd1
5
3
6
4
G1
G2
G4
G3
G5
G6
H3
H2
_1329507026.vsdG2
G4
G4
G4
H2
G5
O(s)
I(s)
o
I
N
G3
_1329509593.vsdG5
G4
I(s)
O(s)
G3
G2
G4
G4
H2
_1329500804.vsdG1
G4
G2
H1
H2
G2
C
R
_1329502771.vsdR2
R1
R4
R3
V
i1(t)
+
i2(t)
-
v1
v2
_1329500092.vsdC
R
G2+G3
H1
_1329454196.vsdC
G2+G3
H2
R
_1329498815.vsd2
1
R
C
G1G4
G2+G3
H1
H2
2
1
_1329499181.vsd2
1
2
1
R
C
G1G4(G2+G3)
H1
H2
_1329495615.vsdC
R
H2
_1329449756.vsd=
G4
G1
G1G4
_1329450158.vsdG2+G3
=
G2
G3
_1329449386.vsdG4
G1
G2
G3
H1
H2
R
C
_1329414625.vsdG1
G2
C(s)
X(s)
R(s)
_1329425304.vsdG1G4
G2+G3
H1
H2
R
C
2
1
_1329447544.vsdR
H1
C
_1329447820.vsdR
H1
C
G2G3
_1329426066.vsdH2
G1G4(G2+G3)
H1
1
2
C
2
1
R
_1329415020.vsdR(s)
C(s)
G1
G2
_1329415190.vsdR(s)
C(s)
G1G2+G2+1
_1329414997.vsdR(s)
C(s)
G1+ 1
G2
_1329412445.vsdC1(s)
Ei(s)
I2(s)
Eo(s)
1C2(s)
I1(s)-I2(s)
C1(s)
R1
1C1(s)
C2(s)
_1329413079.vsdEo(s)
Ei(s)
R1C2S
_1329413904.vsdEi(s)
Eo(s)
_1329412783.vsdEi(s)
Eo(s)
1C2(s)
C1(s)
R1
R1
1C1(s)
C1(s)
C2(s)
_1329410038.vsdI2(s)
Eo(s)
1C2(s)
_1329411823.vsdI2(s)
Eo(s)
1C2(s)
1C1(s)
I1(s)-I2(s)
Ei(s)
C1(s)
R1
_1329409897.vsdI2(s)
I1(s)-I2(s)
1C1(s)
_1329321447.vsdQ2(s)
H2(s)
Q1(s)
1C2S
_1329324403.vsd+
R1
L
-
C
R2
Vo
I1
I2
V
+
-
_1329398471.vsdR2
v(t)
i1(t)
+
R1
L
C
-
i2(t)
iL(t)
vc(t)
+
-
_1329407275.vsdRf
Lf
Vf(t)
+
-
(t)
ia(t) = Ia
Tm.Jm.Bm.m.m
_1329409300.vsdR1
i1
R2
C1
C2
eo
e1
i2
_1329399492.vsd
P(s)
R(s)
Kv
Ka
Kf
Q1(s)
Y(s)
E(s)
Valve
System
_1329394217.vsdC
R
_1329396154.vsdim
en
Rm
Lm
em
T
m
Fixed field
_1329329993.vsdQ + q1
R2
R1
C1
_1329321563.vsdQ(s)
Q2(s)
_1329322168.vsdG1(s)
CD(s)
D(s)
G2(s)
_1329322950.vsdB2
B1
M1
k2
xb
k1
xa
M2
B3
_1329321964.vsdCR(s)
Q1(s)
R(s)
G1(s)G2(s)
_1329321505.vsdQ(s)
Q1(s)
1C1S
Q2(s)
1C2S
1R1
1R2
R2C1S
_1329321533.vsdR2C1S
Q(s)
Q2(s)
_1329321475.vsd
1R2
1R1
H1(s)
Q(s)
1C1S
Q2(s)
H2(s)
Q1(s)
1C2S
_1329242799.vsdI(s)
E0(s)
Ei(s)
1R
1Cs
_1329309282.vsdC
R
_1329311090.vsdQ1(s)
H2(s)
H1(s)
1R1
_1329311404.vsdQ2(s)
H2(s)
1R2
_1329309522.vsdQ + q1
R2
R1
C1
Tank 2
C2
Q + q2
Q + q
Tank 1
_1329249352.vsdC
R
G1
G2
G3
H1
H2G1
_1329308128.vsdC
R
G3
H2G1
_1329248437.vsdG2
C
R
G1
G3
H1
H2
_1329235279.vsdQ0=Q + q0
Qi=Q + qi
_1329242733.vsdE0(s)
1R
Ei(s)
I(s)
_1329242774.vsd
1Cs
I(s)
E0(s)
_1329236098.vsdR
c
ei
eo
i
_1329230237.vsdR2
R1
q1
C1
Tank 2
C2
R2
Q + q2
Q + q
_1329234608.vsdTank 1
R2
R1
Q + q1
C1
Tank 2
C2
Q + q2
Q + q
_1329224845.vsdb
m
y
k
u
output
input
_1328843277.unknown
_1329116742.unknown
_1329133106.unknown
_1329143870.unknown
_1329145204.unknown
_1329145367.unknown
_1329145651.unknown
_1329152459.unknown
_1329157109.unknown
_1329157130.unknown
_1329152975.unknown
_1329145692.unknown
_1329145741.unknown
_1329146065.unknown
_1329145700.unknown
_1329145672.unknown
_1329145418.unknown
_1329145524.unknown
_1329145389.unknown
_1329145311.unknown
_1329145336.unknown
_1329145281.unknown
_1329144627.unknown
_1329145174.unknown
_1329144804.unknown
_1329144951.unknown
_1329144469.unknown
_1329144561.unknown
_1329144339.unknown
_1329133408.unknown
_1329133571.unknown
_1329133694.unknown
_1329133536.unknown
_1329133331.unknown
_1329133362.unknown
_1329133150.unknown
_1329123456.unknown
_1329132883.unknown
_1329132984.unknown
_1329133044.unknown
_1329132934.unknown
_1329132765.unknown
_1329132785.unknown
_1329132675.unknown
_1329117374.unknown
_1329117503.unknown
_1329117523.unknown
_1329123225.unknown
_1329117390.unknown
_1329116911.unknown
_1329117075.unknown
_1329117283.unknown
_1329116784.unknown
_1328857541.unknown
_1329105018.unknown
_1329107433.unknown
_1329115903.unknown
_1329116668.unknown
_1329116701.unknown
_1329116633.unknown
_1329115948.unknown
_1329115988.unknown
_1329116043.unknown
_1329115930.unknown
_1329114577.unknown
_1329114655.unknown
_1329115210.unknown
_1329115811.unknown
_1329114624.unknown
_1329109214.unknown
_1329114536.unknown
_1329107604.unknown
_1329107244.unknown
_1329107317.unknown
_1329107412.unknown
_1329107274.unknown
_1329107162.unknown
_1329107203.unknown
_1329105039.unknown
_1329083096.unknown
_1329083513.unknown
_1329104659.unknown
_1329104720.unknown
_1329083648.unknown
_1329083330.unknown
_1329083420.unknown
_1329083207.unknown
_1329082765.unknown
_1329082918.unknown
_1329082942.unknown
_1329082863.unknown
_1329082489.unknown
_1329082509.unknown
_1328858781.unknown
_1328853796.unknown
_1328854429.unknown
_1328857259.unknown
_1328857352.unknown
_1328857419.unknown
_1328857293.unknown
_1328855411.unknown
_1328856151.unknown
_1328856988.unknown
_1328857177.unknown
_1328856080.unknown
_1328855385.unknown
_1328854084.unknown
_1328854179.unknown
_1328853927.unknown
_1328845847.unknown
_1328853423.unknown
_1328853691.unknown
_1328846314.unknown
_1328845469.unknown
_1328845523.unknown
_1328845417.unknown
_1308642581.vsdProcess
G
x
2
x
1
x
2
_1328595090.unknown
_1328677570.unknown
_1328840911.unknown
_1328842668.unknown
_1328842920.unknown
_1328842432.unknown
_1328755744.unknown
_1328756504.unknown
_1328756908.unknown
_1328756987.unknown
_1328757126.unknown
_1328809978.unknown
_1328757031.unknown
_1328756956.unknown
_1328756676.unknown
_1328756726.unknown
_1328755980.unknown
_1328756098.unknown
_1328755779.unknown
_1328755338.unknown
_1328755468.unknown
_1328755622.unknown
_1328755360.unknown
_1328677985.unknown
_1328678050.unknown
_1328677736.unknown
_1328676410.unknown
_1328676520.unknown
_1328677282.unknown
_1328677467.unknown
_1328676557.unknown
_1328677278.unknown
_1328676432.unknown
_1328641254.unknown
_1328595413.unknown
_1328594091.unknown
_1328594704.unknown
_1328595024.unknown
_1328595073.unknown
_1328594774.unknown
_1328594427.unknown
_1328594463.unknown
_1328594273.unknown
_1308643085.vsdProcess
+1
1
G
x
x
1
2
_1317357203.unknown
_1328584658.unknown
_1328432770.unknown
_1308643086.vsdProcess
x
1
G
x
2
1
G
x
1
_1308642754.vsd G
G
x
x
1
1
2
_1308642910.vsdProcess
x
1
x
2
_1308642925.vsdG
1
1
H
x
1
x
2
_1308642935.vsd
x
1
x
2
_1308642847.vsdProcess
G
+
e
x
2
H
x
1
_1308642648.vsdProcess
x
1
x
2
G
G
x
2
_1308641674.vsdProcess
G
1
x
1
x
2
G
G
2
_1308642100.vsdG
1
1
3
x
x
1
x
2
_1308642270.vsd x
1
G
x
2
1
3
x
1
G
_1308642494.vsd x
1
G
x
2
1
-1
_1308642508.vsd x
1
G
x
2
1
1
G
-
_1308642444.vsdProcess
x
1
x
2
G
x
1
_1308642231.vsdProcess
x
1
x
2
3
x
+
G
1
G
_1308642252.vsd x
1
G
x
2
1
1
3
x
_1308642187.vsdProcess
x
1
x
2
G
3
x
+
_1308641931.vsd G
x
2
x
1
G
2
1
_1308642037.vsdProcess
x
1
x
2
G
G
3
x
+
_1308642084.vsd G
x
2
1
3
x
G
x
1
_1308641987.vsdProcess
G
+
e
x
1
x
2
_1308641878.vsdProcess
x
1
x
2
G
2
G
1
_1308641916.vsdG
1
1
1
x
1
x
2
G
G
2
_1308641762.vsd G
G
1
2
x
1
x
2
_1303732192.vsd
R1
R2
C1
C2
i1
i2
_1308641282.vsd-
+
R(s)
E(s)
G(s)
C(s)
H(s)
B(s)
_1308641493.vsdProcess
G
1
G
2
x
2
x
1
_1308641542.vsdG
1
G
2
x
2
x
1
_1308641443.vsdProcess
G
G
1
2
x
1
x
2
_1308640586.vsdFungsi Alih G(s)
_1308641091.vsd-
+
R(s)
E(s)
G(s)
C(s)
Titik Penjumlahan
Titik Percabangan
_1308640389.vsd-
+
a
b
a - b
_1301854740.unknown
_1302061038.unknown
_1302113954.unknown
_1302492834.unknown
_1302492950.unknown
_1302493027.unknown
_1302492917.unknown
_1302492791.unknown
_1302113744.unknown
_1302059751.unknown
_1302060781.unknown
_1301856685.unknown
_1283369176.unknown
_1301854711.unknown
_1261190195.unknown
_1278162915.unknown
_1278650849.unknown
_1278650894.unknown
_1272971261.unknown
_1272971573.unknown
_1272972089.unknown
_1272970230.unknown
_1129562919.vsd
_1260730903.unknown
_1260760850.unknown
_1260846784.unknown
_1260730917.unknown
_1260730433.unknown
_1197684446.vsdm
f(t)
y(t)
B
K
_1129562911.vsd
_1129562914.vsd
_1129562780.vsd