6 BAB II TINJAUAN PUSTAKA Bab ini membahas teori-teori dasar yang digunakan sebagai landasan pembahasan pada bab selanjutnya. Pembahasan teori meliputi pengertian data secara umum dan data sirkular, ukuran pemusatan dan penyebaran data, regresi sirkular, regresi nonparametrik, dan regresi nonparametrik sirkular-linear berganda. 2.1 Data Data adalah nilai numerik hasil dari sebuah pengamatan ( observation) yang dalam penelitian diasumsikan sebagai variabel (Kitchens, 1998). Data diolah oleh peneliti dan kemudian diinterpretasikan sehingga dapat dimengerti oleh orang lain yang tidak secara langsung melakukan pengamatan atau pengumpulan fakta dari sebuah kejadian. 2.1.2 Ukuran Pemusatan Data Ukuran pemusatan data memberikan informasi tentang titik-titik di mana data pengamatan terpusat atau terkumpul dan dapat juga menjadi ciri khas dari kumpulan data pengamatan (Kitchens, 1998). A. Nilai tengah (mean) Jika adalah anggota suatu populasi terhingga berukuran , nilai tengah populasinya adalah
20
Embed
BAB II TINJAUAN PUSTAKA - sinta.unud.ac.id II.pdf · Ukuran pemusatan data memberikan informasi tentang titik-titik di mana ... sebagai jarak titik dari titik pusat pada sudut . ...
This document is posted to help you gain knowledge. Please leave a comment to let me know what you think about it! Share it to your friends and learn new things together.
Transcript
6
BAB II
TINJAUAN PUSTAKA
Bab ini membahas teori-teori dasar yang digunakan sebagai landasan
pembahasan pada bab selanjutnya. Pembahasan teori meliputi pengertian data
secara umum dan data sirkular, ukuran pemusatan dan penyebaran data, regresi
sirkular, regresi nonparametrik, dan regresi nonparametrik sirkular-linear
berganda.
2.1 Data
Data adalah nilai numerik hasil dari sebuah pengamatan (observation)
yang dalam penelitian diasumsikan sebagai variabel (Kitchens, 1998). Data diolah
oleh peneliti dan kemudian diinterpretasikan sehingga dapat dimengerti oleh
orang lain yang tidak secara langsung melakukan pengamatan atau pengumpulan
fakta dari sebuah kejadian.
2.1.2 Ukuran Pemusatan Data
Ukuran pemusatan data memberikan informasi tentang titik-titik di mana
data pengamatan terpusat atau terkumpul dan dapat juga menjadi ciri khas dari
kumpulan data pengamatan (Kitchens, 1998).
A. Nilai tengah (mean)
Jika adalah anggota suatu populasi terhingga berukuran ,
nilai tengah populasinya adalah
7
∑
. (2.1)
Sedangkan, jika adalah sampel berukuran , maka nilai tengah
sampelnya adalah
∑
(2.2)
B. Median
Median memiliki sifat membagi dua sama banyak kumpulan data yang
telah diurutkan sebelumnya. Jika banyak data ganjil, maka median adalah data
yang tepat berada di tengah yaitu pada amatan . Sedangkan, jika banyak
data genap, maka median berada di antara dua data yang berada di tengah yaitu
rata-rata dari pengamatan dan pengamatan .
C. Modus
Modus adalah suatu nilai amatan yang paling sering muncul dalam
melakukan penelitian. Nilai modus dalam penelitian mungkin saja akan lebih dari
satu. Penyajian data dalam bentuk grafik akan mempermudah dalam menentukan
nilai modus dari kumpulan data.
2.1.3 Ukuran Penyebaran Data
Ukuran penyebaran data merupakan suatu informasi yang diperoleh dalam
penelitian yang memberikan penjelasan seberapa jauh data-data yang diperoleh
menyebar dari titik pemusatannya (Kitchens, 1998). Ukuran penyebaran data yang
paling sering digunakan adalah ragam. Ragam (variance) memberikan informasi
8
rata-rata jarak kuadrat semua titik pengamatan terhadap titik pusat atau rataan.
Jika adalah anggota suatu populasi terhingga berukuran , maka
ragam populasinya adalah
∑
(2.3)
Sedangkan, jika adalah anggota suatu sampel berukuran , maka
ragam sampelnya adalah
∑
(2.4)
2.2 Data dan Statistika Sirkular
Data sirkular adalah data yang nilai-nilainya berulang secara periodik
dengan responnya bukan skalar tetapi angular atau berarah sehingga dikategorikan
sebagai data berarah (Jammalamadaka dan SenGupta, 2001). Pengukuran data
sirkular biasanya dalam satuan derajat sampai atau dalam satuan radian
dari 0 radian sampai radian.
Dua alat yang sering digunakan untuk membantu dalam pemilihan arah
pada proses pengukuran data sirkular adalah kompas dan jam. Dalam melakukan
pengukuran, arah utara pada kompas dan pukul 00.00 pada jam biasanya disebut
arah atau 0 radian. Arah migrasi hewan, arah terbang burung, atau arah angin
dihitung dengan bantuan kompas. Waktu kejadian kasus kecelakaan, waktu
kejadian kasus kriminal, waktu datangnya pasien dalam 24 jam di sebuah rumah
sakit dihitung dalam jam.
9
Berbeda dengan data pada umumnya yang hanya memiliki satu dimensi
pengukuran, data sirkular memiliki dua dimensi pengukuran yaitu jika
pengamatan digambarkan pada koordinat kartesius dapat dinyatakan sebagai
nilai atau pada koordinat polar dapat dinyatakan sebagai nilai dengan
sebagai jarak titik dari titik pusat pada sudut .
Gambar 2.1 Hubungan Koordinat Kartesius dengan Koordinat Polar
(Nurhab, 2014)
Pada Gambar 2.1. perubahan koordinat polar menjadi koordinat kartesius dapat
menggunakan persamaan trigonometri berikut
dan . (2.5)
Perbedaan lainnya dengan data pada umumnya adalah data sirkular tidak
memiliki nilai minimum dan maksimum karena data awal sama dengan data akhir
yaitu radian sama dengan radian. Nilai pengamatan pada sudut akan
memiliki nilai yang sama dengan pengamatan yang terletak pada sudut
untuk bilangan bulat positif, karena dalam analisis sirkular yang diperhatikan
adalah arah bukan besaran vektor yaitu setiap titik pengamatan pada keliling
lingkaran menyatakan sebuah arah. Pada Gambar 2.1, sebuah pengamatan
menyatakan arah yang dibuat vektor terhadap sumbu positif atau
menyatakan arah yang dibuat vektor terhadap sumbu positif. Koordinat
kartesius amatan tersebut adalah dan koordinat polarnya
x
y
P
𝜃
r
10
adalah . Karena yang diperhatikan adalah arah, maka jarak setiap amatan
dari titik pusat dibuat sama dengan 1 . Sehingga diambil vektor-vektor
tersebut menjadi vektor unit yaitu vektor dengan panjang satuan .
Representasi data sirkular dalam arah yang dipengaruhi sudut tentu tidak
selalu unik yaitu nilai angularnya bergantung pada pemilihan arah acuan dan
arah rotasi apakah searah dengan arah perputaran jarum jam (clockwise) atau
berlawanan arah perputaran jarum jam (counter-clockwise) (Jammalamadaka dan
SenGupta, 2001). Pemilihan arah utara sebagai arah acuan mengakibatkan arah
perputaran positif yaitu searah dengan arah perputaran jarum jam, sedangkan
pemilihan arah timur sebagai arah acuan mengakibatkan arah perputaran
positif yaitu berlawanan arah perputaran jarum jam. Pada Gambar 2.2, arah
adalah jika arah acuannya adalah arah utara dan arah rotasinya searah
perputaran jarum jam, atau jika arah acuannya adalah arah timur dan arah
rotasinya berlawanan arah perputaran jarum jam.
Gambar 2.2. Arah Acuan dan Arah Rotasi Pengamatan
Dalam analisis regresi sirkular-linear, perbedaan pemilihan arah acuan
tidak memengaruhi koefisien determinasi dan statistik lima serangkai yaitu
r P
Utara
Timur
11
statistik minimum, kuartil bawah, median, kuartil atas, dan statistik maksimum
dari sisaannya, tetapi memengaruhi hasil dugaan parameter persamaan regresi
sirkular-linear. Sedangkan perbedaan pemilihan arah rotasi tidak berpengaruh
terhadap persamaan regresi sirkular-linear yang dibentuk (Nurussadad, 2011).
Representasi data sirkular dalam bentuk grafis menjadi hal yang sangat
penting dan bentuknya tentu akan berbeda dengan representasi grafis data pada
umumnya. Bentuk grafis yang biasa digunakan dalam analisis data sirkular adalah
Gambar 2.3. Diagram Pancar (a), Histogram Siklik (b), dan Diagram Mawar (c)
(Nurhab, 2014)
2.2.1 Ukuran Pemusatan Data Sirkular
Mengalisis data sirkular menggunakan dua fungsi trigonometri yaitu
fungsi sinus dan fungsi cosinus . Sehingga cara menghitung ukuran pemusatan
dan ukuran penyebaran data sirkular akan berbeda dengan cara menghitung
ukuran pemusatan dan ukuran penyebaran pada umumnya.
A. Arah rata-rata sirkular
Menurut Jammalamadaka dan SenGupta (2001), menentukan arah rata-
rata data sirkular menggunakan metode yang digunakan pada statistika linear
dapat menghasilkan arah rata-rata yang tidak sesuai dengan pusat dari data
(a) (b) (c)
12
pengamatan yang diperoleh. Sebagai contoh penelitian tentang arah migrasi
burung. Misalkan dua burung terbang ke arah dan ke arah dan dipilih
arah acuan nol derajat yaitu arah utara dan arah rotasi searah dengan arah
perputaran jarum jam seperti yang ditunjukkan pada gambar berikut:
Gambar 2.4. Arah Rata-rata Sirkular dengan Statistika Linear untuk Dua Buah
Pengamatan.
Pada Gambar 2.4, dengan menggunakan statistika linear diperoleh arah
rata-rata yaitu yang menuju ke arah selatan, meskipun arah terbang kedua
burung tersebut lebih terkonsentrasi ke arah utara. Jika dimisalkan lagi terdapat
empat burung yang bermigrasi masing-masing ke arah , dan
dengan arah acuan dan arah rotasi yang sama, maka dengan statistika linear
diperoleh arah rata-rata yaitu yang menuju ke arah selatan seperti yang
ditunjukkan pada gambar berikut:
Gambar 2.5. Arah Rata-rata Sirkular dengan Statistika Linear untuk Empat Buah
Pengamatan.
13
Pada Gambar 2.5, dengan menggunakan statistika linear diperoleh arah
rata-rata yaitu yang menuju ke arah selatan meskipun data semakin
terkonsentrasi ke arah utara. Berdasarkan contoh tersebut, dapat ditunjukkan
bahwa metode yang digunakan untuk mencari nilai rata-rata statistika linear tidak
cukup baik untuk diterapkan pada data sirkular. Keragaman data sampel yang
sangat bergantung pada nilai rata-rata tentu juga akan sangat dipengaruhi nilainya.
Menentukan arah rata-rata untuk data sirkular dilakukan dengan
memperlakukan data sirkular dalam vektor unit dan menggunakan arah dari
vektor resultannya (Jammalamadaka dan SenGupta, 2001). Arah rata-rata sirkular
diperoleh dari
, (2.6)
, (2.7)
dengan adalah fungsi cosinus dan fungsi sinus yang diperoleh dari
∑ (2.8)
∑ (2.9)
dengan adalah pengamatan ke- dan panjang vektor resultan diperoleh dari
‖ ‖ √
. (2.10)
14
Vektor resultan dari vektor unit diperoleh dengan menjumlahkan
semua komponen arahnya
. (2.11)
Balikan kuadran tertentu (invers quadrant-specific) tangen dari arah rata-
rata sirkular diberikan untuk segala kemungkinan nilai fungsi dan yaitu
{
(
)
(
)
(
)
(2.12)
B. Median data sirkular
Mardia (1972) dalam Otieno (2002) menyatakan bahwa median sampel
dari data sampel sirkular adalah titik pada keliling lingkaran yang
memiliki sifat :
1. Diameter dengan adalah anti-median membagi lingkaran menjadi
dua bagian, yang setiap bagiannya memiliki jumlah pengamatan sama
banyak.
2. Sebagian besar data pengamatan berada disekitar titik dibandingkan di
titik .
Jika 𝐶𝑛 > dan 𝑆𝑛 ≥
Jika 𝐶𝑛 dan 𝑆𝑛 >
Jika 𝐶𝑛 <
Jika 𝐶𝑛 ≥ dan 𝑆𝑛 <
Jika 𝐶𝑛 dan 𝑆𝑛
15
Gambar 2.6. Median Sirkular untuk Data Genap dan Data Ganjil
(Otieno, 2002)
Jika banyak data adalah genap, maka median sampel sirkular berada di
antara dua pengamatan yang berdekatan dengan . Sedangkan jika banyak data
adalah ganjil, maka median sampel sirkular adalah sebuah titik data pengamatan.
Proses menentukan median pada data sirkular tidak bisa disamakan dengan proses
penentuan median pada data linear yaitu prosedur pengurutan data dari data
amatan terkecil sampai data amatan terbesar tidak bisa diterapkan pada penentuan
median data sirkular (Otieno, 2002). Sebagai contoh, penelitian terhadap arah
terbang tujuh ekor burung yaitu ke arah , , , , , , dan
seperti yang ditunjukkan pada gambar berikut:
Gambar 2.7. Median Sirkular dan Median Linear
Pada Gambar 2.7., dengan memilih arah acuan nol derajat yaitu arah utara, arah
rotasi searah dengan arah perputaran jarum jam dan dengan menggunakan
prosedur yang diperkenalkan Mardia (1972) dalam Otieno (2002) diperoleh
𝑃
𝑃
𝑄
16
median sirkular pada arah . Sedangkan, jika digunakan prosedur pengurutan
data yang digunakan pada data linear, maka diperoleh median sirkular pada arah
. Tentu saja tidak sama dengan . Shepherd dan Fisher (1982) dalam
Otieno (2002) mengemukakan bahwa bantuan grafik akan sangat membantu
menentukan median sirkular.
C. Modus data sirkular
Modus data sirkular akan mudah ditentukan dengan bantuan grafik. Nilai
modus akan muncul pada data yang terkonsentrasi di keliling lingkaran pada
sudut atau arah tertentu. Seperti data pada umumnya, data sirkular mungkin saja
memiliki nilai modus lebih dari satu.
2.2.2 Ukuran Penyebaran Data Sirkular
Mardia (1976) dalam Nurhab (2014) mendefinisikan ragam sampel
sirkular sebagai
(2.13)
dengan adalah panjang vektor resultan dan adalah panjang rata-rata dari
vektor resultan dengan . Nilai ragam yang semakin kecil menandakan
data semakin terkonsentrasi menuju suatu titik tertentu.
2.3 Regresi Sirkular
Variabel dalam suatu regresi terdiri dari variabel prediktor (independent
variable) dan variabel respons (dependent variable). Menganalisis data sirkular
17
dengan analisis regresi jika dilihat dari jenis variabelnya akan membentuk tiga