BAB II STUDI LITERATUR - Rayvel Wakulu | Personal Blog · keakuratan penelitian data, sehingga rumus titik tengah adalah sebagai berikut: Titik Tengah Kelas = 2 1 (batas atas + batas

II-1

BAB II

STUDI LITERATUR

2.1. Distribusi Frekuensi

Distribusi frekuensi adalah pengelompokan data kedalam beberapa

kategori yang menunjukkan banyak data dalam setiap kategori dan setiap

data tidak dapat dimasukkan dua atau lebih kategori (Supranto, 1977).

Bagian-bagian dalam distribusi frekuensi adalah sebagai berikut:

1. Kelas

Kelompok nilai data atau variabel dari hasil pengukuran dan perhitungan

yang dibatasi dengan nilai terendah dan nilai tertinggi, kualitatif ataupun

kuantitatif mengenai karakteristik tertentu dari semua anggota kumpulan

yang lengkap.

2. Batas Kelas

Nilai-nilai yang membatasi kelas yang satu dengan kelas yang lainnya,

sehingga kelas tersebut dipisahkan oleh batasnya masing-masing yang

tertera dalam distribusi frekuensi. Batas kelas terdiri atas dua bagian, antara

lain:

a. Batas kelas bawah yaitu terdapat di deretan sebelah kiri setiap kelas

atau nilai yang berada di posisi awal kelas.

b. Batas kelas atas yaitu terdapat di deretan sebelah kanan setiap kelas

atau nilai yang berada di posisi akhir kelas.

II-2

3. Tepi Kelas

Batas kelas yang tidak memiliki lubang untuk angka tertentu antara kelas

yang satu dengan kelas yang lain, sehingga kelas tersebut akan memiliki

batas yang saling berhubungan. Tepi kelas terdiri dari dua bagian, antara

lain:

a. Tepi kelas bawah yaitu batas kelas bawah yang sebenarnya yang

berada di posisi awal kelas.

b. Tepi kelas atas yaitu batas kelas atas yang sebenarnya yang berada di

posisi akhir kelas.

Tepi kelas bergantung pada keakuratan pencatatan data, sehingga rumus

tepi kelas adalah sebagai berikut:

Tepi Bawah Kelas = Batas bawah kelas – 0,5

Tepi Atas Kelas = Batas atas kelas – 0,5

4. Titik Tengah Kelas

Angka atau nilai data yang tepat terletak ditengah suatu kelas yang

tertera dalam distribusi frekuensi. Titik tengah kelas bergantung pada

keakuratan penelitian data, sehingga rumus titik tengah adalah sebagai

berikut:

Titik Tengah Kelas = 21 (batas atas + batas bawah) kelas

5. Interval Kelas

Selang yang memisahkan kelas yang satu dengan kelas yang lain dengan

kelas adalah intervalnya.

II-3

6. Panjang Interval Kelas

Merupakan jarak dari sebuah kelas yang terletak antara tepi atas kelas

dan tepi bawah kelas.

7. Frekuensi Kelas

Banyaknya data yang termasuk kedalam kelas tertentu.

2.1.1 Penyusunan Distribusi Frekuensi

Data kuantitatif yang dikumpulkan dari lapangan (data mentah),

nilainya tidak selalu sama atau seragam tetapi bervariasi dari satu

pengamatan ke pengamatan yang lain, misalnya data hasil produksi, data

hasil penjualan, data tingkat konsumsi, dan lain-lain. Data hasil pengamatan

di lapangan mempunyai jumlah yang besar maka data mentah tersebut perlu

diolah dengan cara meringkas data tersebut dan didistribusikan ke dalam

kelas atau kategori (Supranto, 1977).

Tabel yang berisi susunan data yang terbagi ke dalam beberapa

frekuensi kelas disebut distribusi frekuensi atau tabel frekuensi. Penyajian

data dalam bentuk distribusi frekuensi maka akan memudahkan bagi pihak

yang berkepentingan terhadap data tersebut untuk melakukan analisis data,

dibandingkan jika data yang disajikan masih berupa data mentah dan dalam

jumlah yang banyak. Penyusunan suatu tabel adalah sebagai berikut:

1. Mengurutkan Data dari yang Terkecil Sampai yang Terbesar

Data yang diteliti dalam sebuah penelitian biasanya data mentah dan data

yang diberikan masih tidak teratur. Data yang tidak teratur tersebut sangat

menyulitkan untuk membuat sebuah distribusi frekuensinya, sehingga agar

memudahkan pembuatan data tersebut digunakan cara mengurutkan data

dari yang terkecil sampai dengan yang terbesar.

II-4

2. Menentukan Jangkauan dari Data (R)

Data yang ada memiliki nilai yang bermacam-macam data tersebut

setelah diurutkan dari yang terkecil sampai yang terbesar maka memiliki

nilai tersendiri. Nilai tersebut dari data yang telah tersusun hanya

menggunakan dua nilai yaitu data yang terkecil dan data yang terbesar,

sehingga rumus jangkauan adalah sebagai berikut:

Jangkauan = Data terbesar – data terkecil

3. Menentukan Banyaknya Kelas (k)

Banyaknya kelas sebaiknya paling banyak adalah 5 sampai dengan 20

kelas. Semakin besar jumlah data yang tersedia, semakin banyak kelas yang

harus digunakan. Jumlah kelas terlalu sedikit, maka mungkin akan

menyembunyikan ciri-ciri yang paling penting dari data karena adanya

pengelompokkan. Memiliki terlalu banyak kelas, maka akan timbul kelas

yang kosong dan distribusi itu tidak akan ada artinya. Jumlah kelas harus

ditetapkan dari banyaknya data yang tersedia dan keseragaman data. Sampel

yang terkecil memerlukan lebih sedikit kelas, sehingga mencari banyaknya

kelas digunakan rumus sebagai berikut:

3,31k + log n

Keterangan:

k : Banyaknya kelas.

n : Banyaknya data.

II-5

4. Menentukan Panjang Interval Kelas (i)

Interval kelas memiliki aturan umum untuk menetapkan panjang kelas

atau lebar kelas, bagilah selisih-selisih antara pengukuran terbesar dan

pengukuran terkecil dengan jumlah kelas yang diinginkan dan tambahkan

secukupnya pada hasil bagi sehingga mencapai angka yang cocok untuk

panjang kelas. Semua kelas, mungkin dengan pengecualian untuk kelas yang

terkecil dan yang terbesar, harus mempunyai lebar yang sama.

Memungkinkan untuk mengadakan perbandingan yang seragam terhadap

frekuensi kelas. Mencari panjang interval kelas digunakan rumus adalah

sebagai berikut:

kRi

Keterangan:

i : Panjang Interval Kelas.

R : Jangkauan.


Menentukan interval kelas memiliki beberapa aturan. Beberapa hal yang

perlu diperhatikan dalam interval, antara lain:

a. Banyaknya kelas sebaiknya antara 7 dan 15, paling banyak 20 (tidak

ada aturan umum yang menentukan jumlah kelas). Seorang bernama

H.A. Strugess pada tahum 1926 memiliki artikel dengan judul “the

choice of a class interval” dalam journal of the american statistical asosiation

mengemukanan suatu rumus untuk menentukan banyaknya kelas

adalah sebagai berikut:

k = 1 + 3,322 log n

Keterangan:


II-6

n : Banyaknya nilai observasi.

b. Kelas Interval tidak Perlu Sama

Pembuatan kelas interval sangat tergantung kepada tujuan. Misalnya

kalau hanya tertarik kepada rincian perusahaan yang mempunyai

modal antara 50–70 dan dibawah 50 serta 70 atau lebih, maka bentuk

tabel frekuensinya adalah sebagai berikut: Tabel 2.1. Kurang dari atau Lebih Besar dari

Batas Kelas Modal F

< 50 5

50 – 59 11

60 – 69 20

≥ 70 64

(Sumber : Statistik teori dan aplikasi, 1977)

Keterangan:

< : Kurang dari atau lebih kecil dari.

≥ : Sama atau lebih besar dari.

c. Datanya diskrit (= hasil pengumpulan data dari variabel diskrit), maka

pembuatan kelas intervalnya seperti terlihat dalam tabel berikut: Tabel 2.2. Karyawan Suatu Perusahaan menurut

Tingkat Upah Mingguan

Upah Mingguan (Rp) Banyaknya karyawan (F)

< 1.000 2.918

1.000 – 1.999 5.327

2.000 – 2.999 6.272

3.000 – 3.999 7.275

4.000 – 4.999 7.117

5.000 – 5.999 6.363

II-7

Tabel 2.2. Karyawan Suatu Perusahaan menurut

Tingkat Upah Mingguan (lanjutan)

Upah Mingguan (Rp) Banyaknya karyawan (F)

6.000 – 7.499 6.940

7.500 – 9.999 5.186

10.000 – 14.999 3.107

≥ 15.000


5. Menentukan Batas Kelas

Mulailah dengan kelas yang terendah sehingga pengukuran terendah

tercukup. Menambahkan kelas-kelas yang masih tinggal batas-batas kelas

harus dipilih sehingga suatu pengukuran tidak mungkin jatuh pada suatu

batas.

2.1.2 Frekuensi Relatif, Kumulatif, dan Grafik

Sering kali untuk keperluan analisis, selain dibuat tabel frekuensi juga

dibuat tabel frekuensi relatif dan kumulatif (untuk analisis tabel), kemudian

dibuat grafiknya (untuk analisis grafik). Grafik yang berupa gambar pada

umumnya lebih mudah diambil kesimpulannya secara cepat dari pada tabel.

Sebuah data dalam bentuk grafik itulah yang menyebabnya maka sering kali

data disajikan dalam bentuk grafik (Supranto, 1977). Dasarnya, bentuk tabel

frekuensi relatif dan kumulatif adalah sebagai berikut:

II-8

Tabel 2.3. Frekuensi Relatif dan Kumulatif

X f rf kf kf

1x 1f nf1 1f ki ffff ......21

2x 2f nf 2 21 ff ki fff ......2

. . . . .

. . . . .

ix if nf i ifff ...21 ki ff ...

. . . . .

. . . . .

kx kf nf k ki ffff ......21 kf

Jml

k

ii nf

1 1

nf i


Jumlah pengukuran yang masuk dalam suatu kelas tertentu, dengan

kelas i, disebut frekuensi kelas dan ditentukan oleh simbol if . Frekuensi

kelas diberikan dalam kolom kelima dari tabel 2.3. Kolom terakhir dari tabel

menyajikan dari jumlah keseluruhan pengukuran yang masuk dalam setiap

kelas. Data ini disebut frekuensi relatif kelas. Data di atas n menunjukkan

jumlah seluruh pengukuran, misalnya dengan n=25 maka frekuensi relatif

untuk kelas ke-i adalah if dibagi dengan n, dengan rumus sebagai berikut:

II-9

Frekuensi Relatif = nf i

Penyusunan tabel yang disajikan dapat dinyatakan secara grafik

dalam bentuk suatu histogram frekuensi, seperti dalam gambar 2.1. Grafik

dalam suatu histogram frekuensi, persegi panjang didirikan diatas setiap

interval kelas, tingginya sebanding dengan pengukuran (frekuensi kelas)

yang masuk dalam setiap interval kelas pada histogram frekuensi.

Histogram frekuensi adalah himpunan batang persegi panjang yang

alasnya disumbu datar, lebarnya sama dengan panjang selang kelas, dan

luasnya sebanding dengan frekuensi kelas (Sumartojo, 1993).

0

2

4

6

8

10

12

14

68,5 79,5 90,5 101,5 112,5 123,5Lingkar Pinggang

Frek

uens

i

Gambar 2.1 Grafik Histogram

(Sumber: Statistik Teori dan Aplikasi, 1977)

Seiring lebih mudah untuk untuk mengubah histogram frekuensi

dengan menggambarkan frekuensi relatif kelas daripada frekuensi kelas.

Sebuah histogram frekuensi relatif disajukan dalam gambar 2.2. Para ahli

II-10

statistik jarang membuat pembedaan antara histogram frekuensi dan

histogram frekuensi relatif dan mengacu kedua-duanya sebagai suatu

histogram frekuensi atau hanya sebagai histogram. Nilai-nilai frekuensi dan

frekuensi relatif bersangkutan ditandai sepanjang sumbu-sumbu vertikal dari

grafik, maka histogram frekuensi dan frekuensi relatif adalah sama

(bandingkan gambar 2.1 dan gambar 2.2).

0,25

2,254,25

6,258,25

10,2512,25

14,25

68,5 79,5 90,5 102 113 124Lingkar Pinggang

Frek

uens

i

Gambar 2.2 Grafik Histogram Frekuensi Relatif


Grafik poligon atau poligon frekuensi adalah himpunan ruas garis

yang menghubungkan titik tengah ujung batang histogram dan dihubungkan

dengan ruas garis dari titik tengah dan berujung ke sumbu datar (Sumartojo,

1993).

II-11

0

2

4

6

8

10

12

14

74 85 96 107 118 129

Lingkar Pinggang

Gambar 2.3 Grafik Poligon


Grafik dapat dibuat analisis, khususnya dalam masalah pemerataan

pendapat, dikenakan suatu kurva yang disebut kurva lorenz (lorenz curve).

Kurva lorenz ini pada dasarnya juga merupakan kurva dari frekuensi

kumulatif. Data yang kemudian apabila sumbu tegak (vertical axis)

menunjukkan angka-angka kumulatif mengenai frekuensi, maka sumbu

mendatar (horizontal axis) menunjukkan kumulatif lingkar pinggang.

II-12

05

101520253035

74 85 96 107 118 129Lingkar Pinggang

Frek

uens

i

F.KumKurang Dari(<)F.Kum LebihDari (>)

Gambar 2.4 Grafik Ogif


2.2. Ukuran Pemusatan

Definisi ukuran pemusatan adalah nilai tunggal yang mewakili suatu

kumpulan data dan menunjukan karakteristik dari data. Ukuran pemusatan

menunjukan pusat dari nilai data sembarang ukuran yang menunjukkan

pusat segugus data yang telah diurutkan dari yang terkecil sampai terbesar

atau sebaliknya dari terbesar sampai terkecil, serta data yang belum

diurutkan disebut ukuran lokasi pusat atau ukuran pemusatan (Yohana,

2007).

Memperoleh gambaran yang lebih jelas tentang sekumpulan data, baik

sampel maupun populasi, diperlukan ukuran-ukuran yang merupakan wakil

dari kumpulan data tersebut. Terdapat 3 macam ukuran yang biasa

digunakan orang dalam perhitungan. Pertama adalah ukuran pemusatan

(gejala pusat), kedua adalah ukuran letak dan yang ketiga adalah ukuran

II-13

simpangan (dispersi). Pembahasan ukuran pemusatan dapat dikelompokan

dalam dua bagian, yaitu:

1. Rata–rata (hitung, ukur, dan harmonik), median, modus data yang belum

berkelompok dan data yang sudah berkelompok.

2. Ukuran peletakan harus memiliki kuartil, desil, dan persentil untuk data

yang belum berkelompok dan sudah berkelompok.

1.2.1 Rata-rata Hitung

Rata–rata hitung adalah nilai yang di peroleh dengan menjumlahkan

semua nilai data dan membaginya dengan jumlah data, dengan demikian

rata–rata hitung menunjukan pusat nilai data dan merupakan nilai yang

dapat mewakili dari keterputusan data (Supranto, 1977). Memudahkan

pembahasan mengenai rata–rata hitung ini dibagi dalam tiga bagian, yaitu:

1. Rata–Rata Hitung Data yang Belum Berkelompok

Rata–rata hitung data yang belum berkelompok adalah nilai rata–rata

dari sekumpulan data yang di peroleh dengan cara menjumlahkan semua

nilai data dan membaginya dengan jumlah data (Walpole, 1995). Rumus

rata–rata hitung data belum berkelompok adalah sebagai berikut:

nX

X

Keterangan:

X : Nilai rata–rata hitung dari seluruh nilai pengamatan.

∑ X : jumlah nilai setiap data pengamatan.

n : Jumlah data pengamatan dalam sempel atau populasi.

II-14

2. Rata–Rata Hitung Data Berkelompok

Rata–rata hitung data berkelompok adalah nilai rata–rata dari data yang

berkelompok. Pengertian berkelompok disini adalah data dikelompokan

dalam bentuk distribusi frekuensi (Yohana, 2007).

Pengelompokan data dalam distribusi frekuensi akan mempermudah

pemahaman karena data yang berbeda dalam suatu kelas akan memiliki

karakteristik yang sama yang dicerminkan oleh nilai tengah kelasnya. Data di

dapat dengan cara menjumlahkan dahulu nilai dari titik tengah kelas dan

dikalikan dengan frekuensi kelas lalu dibagi dengan jumlah frekuensi data.

Rumus rata–rata hitung dengan data berkelompok adalah sebagai berikut:

nXf

X i .

Keterangan:

X : Nilai rata-rata dari data kelompok.

F : Frekuensi dari tiap kelas.

Xi : Nilai tengah dari tiap kelas.

∑ FXi : Jumlah dari seluruh hasil perkalian antara frekuensi dan nilai

tengah dari tiap kelas.

n : Jumlah data pengamatan dalam sampel atau populasi.

Metode Pengkodean didapat dengan cara mengambil titik tengah kelas

yang bernilai nol ditambah dengan interval kelas lalu dikalikan dengan

jumlah kode titik tengah kelas dikali dengan frekuensi kelas lalu dibagi

dengan jumlah frekuensi data. Metode tersebut apabila dituliskan kedalam

bentuk rumus adalah sebagai berikut:

II-15

inF

XX a .

Keterangan:

X : Rata-rata sampel.

aX : Frekuensi yang paling besar.

F : Frekuensi.

µ : Kode frekuensi pada kelas besar.

n : Jumlah frekuensi data sample atau populasi.

i : Panjang interval kelas.

3. Rata–Rata Hitung Tertimbang

Rata–rata hitung yang telah dijelaskan di atas, data yang dianggap

memiliki bobot yang sama, pada kenyataan cukup banyak data yang

memiliki bobot yang berbeda walaupun nilainya sama. Rumus rata–rata

hitung bertimbang adalah sebagai berikut:

wX.w)(

Xw

keterangan:

X w : Rata rata hitung tertimbang.

X : Nilai data pengamatan.

W : Nilai bobot atau timbangan dari suatu data.

2.2.2 Rata-Rata Ukur (Geometrik Mean)

Rata-rata ukur digunakan untuk menggambarkan keseluruhan data,

khususnya bila data tersebut mempunyai ciri tertentu, yaitu banyak nilai

data yang satu sama lain saling berkelipatan sehingga perbandingan tiap dua

II-16

data yang berurutan tetap atau hampir tetap. Kegunaan rata-rata ukur antara

lain menghitung rata-rata terhadap persentase atau rasio perubahan suatu

gejala pada data tertentu (Walpole, 1995).

Rata-rata ukur mempunyai beberapa cara untuk melakukan

perhitungan sehingga akan memperoleh hasil yang baik. Perhitungan rata-

rata ukur dibagi menjadi 3, yaitu:

1. Rata-rata ukur untuk data tidak berdistribusi, digunakan untuk

menentukan tiap gejala yang terjadi dalam bentuk persentase dan

banyaknya data atau dengan kata lain masih dalam data yang mentah

dan baru akan diolah. Rumus untuk rata-rata untuk data tidak

terdistribusi adalah sebagai berikut:

100..... 21 nnXXXRU

Keterangan:

X : Titik tengah tiap kelas.

2. Rata-rata ukur untuk data berdistribusi, diperoleh dengan cara

menentukan rata-rata dengan titik tengah dan frekuensinya telah

diketahui, sehingga mempermudah untuk proses pengolahan data. Rata-

rata ukur distribusi apabila dituliskan dalam bentuk rumus adalah

sebagai berikut:

nxF

LogRUlog.

Keterangan:

F : Frekuensi data.

X : Titik tengah tiap kelas.

n : Jumlah frekuensi data.

II-17

3. Rata-rata ukur sebagai pengukuran tingkat pertumbuhan, digunakan

untuk menghitung tingkat pertumbuhan manusia mulai dari kelahiran

hingga kematian, dapat menggunakan penghitungan rata-rata ukur. Data

yang diukur dalam pengukuran tersebut digunakan untuk menentukan

pertumbuhan dan kematian yang terjadi sehingga dapat diteliti sensus

penduduknya.

2.2.3 Rata-Rata Harmonik (Harmonik Mean)

Cara lain yang dipakai untuk menentukan ukuran pemusatan data

adalah dengan rata-rata harmonik, khususnya bila suatu kelompok data

mempunyai ciri-ciri tertentu yang merupakan bilangan pecahan atau

bilangan dalam harmonik. Rata-rata harmonik ialah proses mencari nilai

rata-rata dengan cara menjumlahkan data dibagi dengan jumlah satu

persetiap data (Walpole, 1995). Rata-rata harmonik data tunggal ialah proses

perhitungan untuk mencari rata-rata dengan cara banyaknya data dibagi

dengan 1 per nilai tiap data atau harga tiap data. Perhitungan rata-rata

harmonik dengan data tunggal adalah sebagai berikut:

nXn

XX111

21

Keterangan:

X : Harga atau nilai tiap data.

n : Banyaknya data.

2.2.4 Median

Median termasuk dengan nilai median adalah nilai yang berada

ditengah–tengah data setelah data di urutkan. Kegunaan median adalah

II-18

untuk menutupi kelemahan rata–rata hitung dimana rata–rata hitung sering

memiliki data-data yang berbeda secara ekstrem. Pengertian median secara

lengkap adalah median adalah titik tengah dari semua nilai yang telah

diurutkan dari nilai terkecil sampai yang terbesar atau sebaliknya dari yang

besar sampai yang terkecil (Supranto, 1977). Median ini dibagi menjadi dua

data, yaitu:

1. Data Belum Berkelompok

Median dengan data belum berkelompok dapat di bagi menjadi dua

yaitu jumlah datanya (n) ganjil dan jumlah datanya genap. Langkah untuk

mencari median adalah sebagai berikut:

a. Tentukan letak median dengan cara jumlah n di tambah 1 lalu di

bagi 2 dengan cara ( n + 1 ) / 2.

b. Urutkan data dari yang terkecil sampai terbesar atau sebaliknya.

c. Tentukan nilai median, untuk data n yang ganjil nilai median adalah

data yang terletak ditengah sedangkan untuk jumlah data yang

genap nilai median adalah dua data yang terletak di tengah di

jumlahkan lalu di bagi 2.

2. Data Sudah Berkelompok

Pengertian median dengan data sudah berkelompok adalah sama dengan

median data belum berkelompok yaitu nilai yang letaknya ada di tengah data

sehingga data berada setengahnya diatas dan setengahnya di bawah.

Membedakan median dengan data berkelompok median data tidak

berkelompok adalah karakteristik masing-masing data tidak dapat di

identifikasi lagi yang dapat di ketahui hanya karakter dari kelas atau

intervalnya. Langkah untuk menentukan median dengan data berkelompok


II-19

a. Tentukan letak kelas dimana nilai, median berada letakan median

adalah n /2 dimana n adalah jumlah frekuensi.

b. Lakukan interpolasi di kelas median berada untuk mendapatkan

nilai median rumus interpolasi adalah sebagai berikut:

i.f

FK -n 21

L Md

Keterangan:

Md : Nilai median.

L : Batas bawah atau tepi kelas dimana median berada.

FK : Frekuensi komulatif sebelum kelas median berada.

f : Frekuensi dimana kelas median berada.

i : Besarnya interval kelas (jarak antara batas atas kelas dengan

batas bawah kelas).

2.2.5 Modus

Modus dari suatu kelompok nilai adalah nilai dari kelompok tersebut

yang mempunyai frekuensi tertinggi. Nilai yang paling banyak terjadi di

dalam suatu kelompok nilai untuk lebih mudah disingkat dengan mod

(Supranto, 1977).

Suatu distribusi tidak mempunyai mod, mungkin mempunyai dua

mod atau lebih. Distribusi disebut unimodal, kalau mempunyai satu mod,

sedangkan bimodal mempunyai dua mod atau multimodal apabila mempunyai

lebih dari dua mod.

Terdapat dua cara mencari dan menghitung modus baik untuk data

yang belum berkelompok maupun untuk data yang sudah berkelompok,

yaitu:

II-20

1. Data yang belum berkelompok maka modus adalah nilai yang paling

sering muncul atau frekuensi yang paling banyak .

2. Data yang sudah berkelompok maka modus di cari dan di tentukan

dengan rumus sebagai berikut:

i.d d

d L Mo21

1

Keterangan:

Mo : Nilai Modus.

L : Batas bawah atau kelas dimana modus berada.

1d : Selisih frekuensi kelas modus dengan kelas sebelumnya

2d : Selisih frekuensi kelas modus dengan kelas sesudahnya.

i : Besarnya interval kelas.

2.2.6 Kuartil

Kuartil adalah ukuran letak yang membagi data yang telah di urutkan

atau data yang berkelompok menjadi 4 bagian yang sama besar masing

masing 25% (Supranto, 1977). Kuartil dibagi menjadi 3 buah kuartil yaitu

kuartil 1, kuartil 2, dan kuartik 3. Kuartil 1 membagi data atas dua bagian

dengan 25% dibawahnya. Kuartil 2 menbagi data atas dua bagian dengan

50% dibawahnya. Kuartil 3 membagi data atas dua bagian dengan 75%

dibawahnya. Letak bagian pertama dari kuartil pada suatu data disebut

kuartil 1 atau 1K bagian kedua di sebut:

II-21

Tabel 2.4. Kuartil Ukuran Letak

Ukuran Letak

Rumus Ukuran Letak

Data Tidak

Berkelompok Data Berkelompok

Kuartil ( 1K ) (1 ( n + 1 ) /4) 1 n / 4

Kuartil ( 2K ) (2 ( n + 1 ) /4) 2 n / 4

Kuartil ( 3K ) (3 ( n + 1 ) /4) 3 n / 4

(Sumber: Statistik teori dan aplikasi, 1977)

Menghitung Kuartil untuk data berkelompok pada dasarnya sama

dengan menghitung data tidak berkelompok, Perbedaanya hanya pada

mencari nilai Kuartil yang menggunakan Rumus interpolasi. Langkah

mencari kuartil untuk data berkelompok adalah sebagai berikut:

a. Tentukan letak data kuartil dengan rumus yang telah dijelaskan di atas.

b. Hitung nilai kuartil dengan menggunakan rumus interpolasi sebagai

berikut.

Kuartil untuk data berkelompok adalah sebagai berikut:

CiF

FKni

LNK .)

4(

Keterangan:

NK : Nilai kuartil ke–i dimana i = 1,2,3.

L : Tepi kelas dimana kuartil berada.

n : Jumlah data atau frekuensi total.

ni4 : Rumus mencari letak kuartil.

II-22

FK : Frekuensi komulatif sebelum kelas kuartil.

F : Frekuensi pada kelas kuartil.

Ci : Interval kelas kuartil.

2.2.7 Desil

Kelompok data dimana n ≥ 10 tentukan 9 nilai yang membagi

kelompok data tersebut menjadi 10 bagian yang sama misalnya 1D , 2D , .....

9D , artinya setiap bagian mempunyai jumlah observasi yang sama,

sedemikian rupa sehingga 10% observasi nilainya sama atau lebih kecil dari

1D , 20% nilainya sama dengan atau lebih kecil dari 2D dan seterusnya. Nilai

tersebut dinamakan desil pertama, desil ke dua dan seterusnya sampai desil

ke sembilan. Kelompok data tersebut nilainya sudah diurutkan nilai dari

yang terkecil (= 1X ) sampai yang terbesar (= nX ).

Rumus–rumus yang di pakai dalam desil pada dasarnya juga sama

dengan rumus dalam mencari kuartil yang berbeda hanya pembagiannya

yaitu desil dibagi 10. Rumus–rumus untuk desil adalah sebagai berikut: Tabel 2.5. Desil Ukuran Letak

Ukuran Letak

Rumus Ukuran Letak

Data Tidak


Desil 1 ( 1D ) ( 1 ( N + 1 ) / 10 ) 1 N / 10

Desil 2 ( 2D ) ( 2 ( N + 1 ) / 10 ) 2 N / 10

II-23

Tabel 2.5. Desil Ukuran Letak (Lanjutan)

Ukuran Letak

Rumus Ukuran Letak

Data Tidak


Desil 3 ( 3D ) ( 3 ( N + 1 ) / 10 ) 3 N / 10

. . .

Desil 9 ( 9D ) ( 9 ( N + 1 ) / 10 ) 9 N / 10


Desil untuk data berkelompok adalah sebagai berikut:

CiF

FKniLND .)10/.(

Keterangan:

ND : Nilai desil ke–i dimana i = 1, 2, 3, ....., 9.

L : Tepi kelas dimana letak desil berada.


(i.n / 10 ) : Rumus mencari data desil.

FK : Frekuensi komulatif sebelum kelas desil.

F : Frekuensi pada kelas desil.

Ci : Interval kelas desil.

2.2.8 Persentil

Persentil adalah kelompok data dimana n ≥ 100, tentukan 99 nilai, 1P ,

2P , ...., 99P yang disebut persentil pertama, kedua dan ke-99, yang membagi

kelompok data tersebut menjadi 100 bagian masing–masing bagian dengan

II-24

jumlah observasi yang sama, sedemikian rupa, sehingga 1% dari observasi

mempunyai nilai yang sama atau lebih kecil dari 1P 2% observasi

mempunyai nilai yang sama atau lebih kecil dari 2P dan seterusnya. Rumus-

rumus untuk persentil adalah sebagai berikut:

Tabel 2.6. Persentil Ukuran Letak

Ukuran Letak

Rumus Ukuran Letak

Data Tidak


Persentil 1 ( 1P ) ( 1 ( N+1) /100) 1 N / 100

Persentil 2 ( 2P ) ( 2 ( N+1) /100) 2 N / 100

Persentil 3 ( 3P ) ( 3 ( N+1) /100) 3 N / 100

. . .

Persentil 99 ( 99P ) ( 99 ( N+1) /100) 99 N / 100


persentil data yang tidak berkelompok:

NP = NPB + { (LP – LPB) / ( LPA- LPB) x (NPA - NPB) }

Keterangan:

NP : Nilai persentil.

NPB : Nilai persentil yang berada dibawah letak persentil.

LP : Letak persentil.

LPB : Letak data persentil yang berada dibawah letak persentil.

LPA : Letak data persentil yang berada diatas letak persentil.

NPA : Nilai persentil yang berada diatas letak persentil.

II-25

Persentil untuk data berkelompok:

CiF

FKniLNP .)100/.(

Keterangan:

NP : Nilai persentil ke–i dimana i = 1,2,3.....9.

L : Tepi kelas dimana letak persentil berada.


(i.n / 10 ) : Rumus mencari data persentil.

FK : Frekuensi komulatif sebelum kelas persentil.

F : Frekuensi pada kelas persentil.

Ci : Interval kelas persentil.

2.3. Ukuran Penyebaran

Ukuran penyebaran digunakan untuk memberikan kejelasan

informasi karena terjadinya nilai dari rata-rata mempunyai perbedaan nilai

rata-rata yang ekstrim antara nilai tertinggi dengan nilai terendah (Yohana,

2007).

Ukuran penyebaran digunakan untuk menunjukan seberapa besar

persebaran data yang terjadi pada data dengan melihat selisih dari data

terbesar dan data terkecil.

Ukuran penyebaran terdapat kuartil, simpangan rata-rata, varians dan

ukuran-ukuran yang lain. Ukuran penyebaran terdiri dari ukuran

penempatan. Ukuran penempatan merupakan ukuran letak sebagai

pengembangan dari beberapa penyajian data yang berbentuk tabel, grafis,

dan diagram. Analisa dalam memutuskan ukuran apa yang tepat digunakan

untuk sekelompok data tertentu, dimana sebuah ukuran saja tidak mampu

menjelaskan sekelompok data maupun distribusi frekuensinya. Salah satu

II-26

contoh dari ukuran penyebaran adalah pemakaian ukuran penyebaran pada

kegiatan di bidang ekonomi.

Ukuran Penyebaran Untuk Data Tunggal

Pencarian ukuran penyebaran pada data tunggal maka dilakukan

dengan mencari nilai range, deviasi, rata–rata dan varians serta deviasi

standar (Yohana, 2007).

1. Range (Jarak)

Ukuran paling sederhana dari ukuran penyebaran adalah nilai range atau

jarak yang dirumuskan dengan selisih atau perbedaan dari nilai terbesar dan

nilai terkecil dari suatu kelompok data, baik populasi maupun sampelnya.

Rumus dari range atau jarak adalah sebagai berikut:

Terkecil Nilai -Terbesar Nilai )Jarak ( Range

Catatan:

Semakin kecil nilai range maka semakin baik karena data mendekati pada

nilai pusatnya (nilai rata–ratanya), demikian sebaliknya.

2. Deviasi Rata–Rata

Ukuran pada range atau jarak, kesimpulan ditarik dari nilai tertinggi

terendah saja, dengan kata lain data lainnya baik populasi maupun sampel

terabaikan. Deviasi agar dapat melihat pengaruh data lainnya maka

diperlukan deviasi rata-rata yang mengukur besarnya variasi atau selisih dari

setiap nilai pada populasi atau sampel dari rata rata–rata hitungnya. Deviasi

rata-rata dapat didefinisikan rata–rata hitung dari nilai mutlak deviasi antara

data pengamatan dengan rata-rata hitungnya. Rumus deviasi rata-rata data

tunggal adalah sebagai berikut:

II-27

n

X - X MD

Keterangan:

MD : Deviasi rata-rata.

X : Nilai setiap data pengamatan.

X : Nilai rata-rata hitung dari seluruh nilai pengamatan.

N : Jumlah data dalam sampel atau populasi.

: Lambang nilai mutlak.

Catatan:

Nilai atau angka mutlak dipakai karena jumlah dari selisih nilai data

dengan nilai hitung rata-rata adalah sama dengan nol, oleh karenanya

digunakan angka mutlak.

3. Varians dan Standar Deviasi Populasi

Varians dan standar deviasi merupakan dua buah ukuran yang paling

sering digunakan untuk mengetahui ukuran penyebaran seperangkat data.

Varians adalah kuadrat dari standar deviasi sebaliknya standar deviasi

adalah akar (pangkat dua) dari varians. Varians dapat dibedakan menjadi

varians sampel dan varians populasi. Rumus varians populasi data tunggal


nx

dimana n

-x 2

Rumus standar deviasi populasi data tunggal adalah sebagai berikut:

2

Keterangan : 2 : Varians populasi (dibaca tho).

X : Nilai setiap data atau pengamatan dalam populasi.

II-28

µ : Nilai rata-rata hitung dalam populasi.

n : Jumlah total data dalam populasi.

2 : Standar deviasi populasi.

4. Varians dan Standar Deviasi Sampel

Sampel adalah bagian dari populasi yang digunakan jika perangkat

datanya besar. Jumlah data atau populasi kecil ( ≤ 30) maka usahakan semua

data masuk dalam perhitungan dengan kata lain digunakan varians dan

standar deviasi populasi dan jika datanya besar ( ≥ 30) maka digunakan

varians dan standar deviasi sampel. Rumus varians sampel data tunggal


1-n

)X - (X2 S

Rumus standar deviasi sampel data tunggal adalah sebagai berikut:

2SS

Keterangan : 2S : Variasi sampel.




2S : Standar deviasi sampel.

2.3.2 Ukuran Penyebaran untuk Data Berkelompok

Pencarian ukuran penyebaran pada data berkelompok maka

dilakukan dengan mencari nilai range, deviasi, rata–rata dan varians serta

deviasi standar.

II-29

1. Range (Jarak)

Ukuran paling sederhana dari ukuran penyebaran adalah nilai range atau

jarak yang dirumuskan dengan selisih atau perbedaan dari nilai terbesar dan

nilai terkecil dari suatu kelompok data, baik populasi maupun sampelnya.

Rumus dari range atau jarak untuk data berkelompok adalah sebagai berikut:

terbawahkelasbawah Batas - tertinggikelas atas Batas )Jarak ( Range

2. Deviasi Rata–Rata

Ukuran pada range atau jarak, kesimpulan ditarik dari nilai tertinggi atau

terendah saja, dengan kata lain data lainnya baik populasi maupun sampel

terabaikan. Data agar dapat melihat pengaruh data lainnya maka diperlukan

deviasi rata–rata yang mengukur besarnya variasi atau selisih dari setiap

nilai pada populasi atau sampel dari rata rata–rata hitungnya. Deviasi rata-

rata dapat didefinisikan rata–rata hitung dari nilai mutlak deviasi antara data

pengamatan dengan rata-rata hitungnya. Rumus deviasi rata–rata data

berkelompok adalah sebagai berikut:

nX f

X dimana n

X - Xf MD

Keterangan:

MD : Deviasi rata-rata.

f : Jumlah frekuensi setiap kelas.

X : Nilai setiap data pengamatan.

X : Nilai rata-rata hitung dari seluruh nilai pengamatan.

N : Jumlah data dalam sampel atau populasi.

: Lambang nilai mutlak.

II-30

Catatan:

Nilai atau angka mutlak dipakai karena jumlah dari selisih nilai data

dengan nilai hitung rata-rata adalah sama dengan nol, oleh karenanya

digunakan angka mutlak.

3. Varians dan Standar Deviasi Data Berkelompok

Varians dan deviasi standar untuk data berkelompok pada dasarnya sama

dengan varians dan deviasi pada data tunggal, perbedaan hanya pada

perkalian yang dilakukan dengan frekuensi kelas. Rumus varians sampel data

berkelompok adalah sebagai berikut:

1-n

)X - (X f 22 S

Rumus standar deviasi sampel data berkelompok adalah sebagai berikut:

2SS

Keterangan: 2S : Variasi sampel.




2S : Standar deviasi sampel.

2.3.3 Ukuran Penyebaran Lainnya

Ukuran untuk pencarian ukuran penyebaran lainnya maka dilakukan

dengan mencari nilai range inter kuartil dan deviasi kuartil (Supranto, 1977).

II-31

1. Range Inter Kuartil

Kuartil dinyatakan sebagai ukuran letak yang membagi data yang telah

diurutkan atau data berkelompok menjadi 4 bagian sama rata dengan

masing-masing 25%.

Kuartil 1 (K1) membatasi daerah data dibawahnya sebesar 25% dan

daerah diatasnya sebesar 75% sedangkan kuartil 3 (K3) sebaliknya membatasi

data diatasnya 25% dan membatasi data dibawahnya 75%. Ukuran range

inter kuartilnya ialah K3 dikurangi K1 adalah sebagai berikut:

13 K K ilInterkuart Range

2. Deviasi Kuartil

Deviasi kuartil dirumuskan sebagai setengah dari selisih range inter

kuartil sehingga rumus deviasi kuartil adalah sebagai berikut :

2K K

(DK) kuartil Deviasi 13

2.3.4 Ukuran Kemencengan, Keruncingan, dan Angka Baku

Ukuran untuk melihat seberapa nilai kemencengan dan keruncingan

dari data perhitungan ukuran penyebaran maka digunakan ukuran

kemencengan dan ukuran keruncingan (Yohana,2007).

1. Ukuran Kecondongan (Skewness)

Ukuran kecondongan atau skewness untuk melihat seberapa

kecondongan data jika dibuat dalam bentuk kurva. Kecondongan terjadi jika

Mo. Md X Jenis kecondongan ada dua, pertama condong positif dimana

kurva condong ke kiri dengan nilai Mo Md X . Kecondongan yang kedua

adalah condong negatif dimana kurva condong kekanan dengan nilai

Mo Md X . Rumus kecondongan adalah sebagai berikut:

II-32

Mo - Sk

Keterangan:

Sk : Koefisien kecondongan.

: Nilai rata–rata hitung.

Md : Nilai median.

Mo : Nilai modus.

: Standar deviasi.

2. Ukuran Keruncingan (Kurtosis)

Ukuran keruncingan atau kurtosis untuk melihat berapa runcingnya data

jika dibuat dalam kurva. Kurtosis adalah derajat keruncingan suatu distribusi

(biasanya diukur relatif terhadap distribusi normal). Kurva yang lebih

runcing dari distribusi normal dinamakan leptokurtik, yang lebih datar

platikurtik dan distribusi normal disebut mesokurtik. Kurtosis dihitung dari

momen keempat terhadap mean. Distribusi normal memiliki kurtosis = 3,

sementara distribusi yang leptokurtik biasanya kurtosisnya > 3 dan

platikurtik <>. Rumus keruncingan adalah sebagai berikut:

x

ix

NK

1

44 )(1)(

Keterangan:

K : Keruncingan atau kurtosis.

N : Jumlah data.

σ : Standar deviasi.

x : Nilai data.

µ : Rata-rata hitung.

II-33

3. Angka Baku (Z-Score)

Angka baku adalah ukuran penyimpangan data dari rata-rata populasi. z

dapat bernilai nol (0), positif (+), atau negatif (-). Angka baku memiliki

beberapa nilai, yaitu:

a. z nol (0) adalah data bernilai sama dengan rata-rata populasi.

b. z positif (+) adalah data bernilai di atas rata-rata populasi.

c. z negative(-) adalah data bernilai di bawah rata-rata populasi.

Rumus angka baku adalah sebagai berikut:

Sxz

Keterangan:

z : Angka baku.

x : Nilai data.

: Rata-rata populasi.

S : Simpangan baku populasi.

2.4. Probabillitas

Dalam teori peluang mempelajari gejala acak yang sebagian awal dari

gejala tertentu atau deterministic dengan cara memperhatikan hasil suatu

percobaan. Hasil percobaan ini tidak selalu memberikan hasil yang sama,

dengan mengumpulkan semua hasil yang mungkin dari percobaan itu. Hasil

tersebut berfungsi sebagai himpunan semesta (S). Himpunan bagian dari S

akan menyatakan hasil yang mungkin muncul dan dapat ingin tahu

kemungkinan dan peluang kejadian.

Probabilitas, peluang atau kebolehjadian adalah cara untuk

mengungkapkan pengetahuan atau kepercayaan bahwa suatu kejadian akan

II-34

berlaku atau telah terjadi. Konsep ini telah dirumuskan dengan lebih ketat

dalam matematika, dan kemudian digunakan secara lebih luas dalam tidak

hanya dalam matematika atau statistika, tapi juga keuangan, sains dan

filsafat.

Probabilitas suatu kejadian adalah angka yang menunjukkan

kemungkinan terjadinya suatu kejadian, nilainya di antara 0 dan 1. Kejadian

yang mempunyai nilai probabilitas 1 adalah kejadian yang pasti terjadi, dan

tentu tidak akan mengejutkan sama sekali. Misalnya matahari yang masih

terbit di timur sampai sekarang, sedangkan suatu kejadian yang mempunyai

nilai probabilitas 0 adalah kejadian yang mustahil atau tidak mungkin terjadi.

Misalnya seekor kambing melahirkan seekor sapi.

Probabilitas suatu kejadian A terjadi dilambangkan dengan notasi

P(A), p(A), atau Pr(A). Probabilitas sebaliknya, probabilitas [bukan A] atau

komplemen A, atau probabilitas suatu kejadian A tidak akan terjadi, adalah

1-P(A).

2.4.1 Definisi Istilah

Probabilitas adalah suatu ukuran kuantitatif dari suatu ketidak

pastian, merupakan suatu angka yang membawa kekuatan keyakinan atas

suatu kejadian dari suatu peristiwa yang tidak pasti. Dibawah ini beberapa

istilah dalam probabilitas, yaitu:

a. Himpunan (set) adalah suatu kumpulan elemen.

b. Himpunan semesta (universal set) adalah suatu himpunan yang berisi apa

saja dalam suatu konteks tertentu.

c. Himpunan kosong (empty set) adalah suatu himpunan yang tidak

memiliki elemen.

II-35

d. Komplemen A ( A ) adalah suatu himpunan yang berisi semua elemen di

dalam himpunan semesta yang bukan anggota himpunan A.

e. Irisan (intersection) A dan B, (A∩B) adalah suatu himpunan yang berisi

semua elemen yang menjadi anggota himpunan A dan B.

f. Gabungan (union) A dan B, (A U B) adalah suatu himpunan yang berisi

semua elemen yang menjadi anggota A atau B.

g. Eksperimen (experiment) adalah suatu proses yang menyebabkan satu dari

beberapa kemugkinan berhasil.

h. Outcome adalah hasil dari sebuah eksperimen.

i. Ruang sampel (sample space) adalah seluruh kemungkinan outcome dari

suatu eksperimen.

j. Peristiwa (event) adalah bagian atau kumpulan outcome dari sebuah

eksperimen.

Kemungkinan peristiwa A adalah ukuran relatif A dihubungkan

dengan ukuran ruang ssampel, S. Kemungkinan peristiwa A adalah sebagai

berikut:

||||)(

SAAP

Ruang sampel yang jumlahnya terbatas atau finite adalah sebagai

berikut:

)()()(

snAnAP

2.4.2 Peran Probabilitas

Ketidakpastian (uncertainty) meliputi seluruh aspek-aspek kegiatan

manusia. Probabilitas adalah salah satu alat yang sangat penting karena

II-36

probabilitas banyak digunakan untuk menaksir derajat ketidakpastian dan

oleh karenanya mengurangi risiko (Yohana, 2007).

Orang yang belum pernah mendapatkan pengajaran secara formal

tentang topik ini tentu sudah mengenal probabilitas ini karena konsep ini

meliputi hampir semua aspek kehidupan. Tanpa disadari baik secara

langsung ataupun tidak langsung selalu berhadapan dengan probabilitas.

Banyak keputusan yang dihasilkan untuk mengetahui sebuah peluang

dalam pekerjaan berdasarkan perhitungan probabilitas. Misalnya, Ketika

ingin menghadapi ujian. Mengetahui topik yang akan keluar dalam sebuah

ujian yang ingin dikerjakan, sehingga dapat lebih mudah memfokuskan

sistem belajar dan kemudian dapat lebih mengonsentrasikan belajar pada

topik-topik tersebut.

Dunia usaha, probabilitas berperan penting dalam pengambilan

keputusan, sebagai contoh, pemilik toko sepatu tentu akan memesan sepatu

dengan ukuran tertentu yang ia yakini akan dapat terjual dengan cepat.

Pemimpin usaha penerbit buku pun akan menentukan judul-judul dan hasil

karya pengarang tertentu yang dia yakin akan disukai oleh konsumen.

2.4.3 Konsep Dasar Probabilitas

Probabilitas atau dalam bahasa Indonesia sering diartikan

kemungkinan adalah konsep dasar yang biasanya dipelajari pada awal-awal

perkualiahan statistik, dalam postingan kali ini, penulis akan menggunakan

kata probabilitas.

Probabilitas adalah peluang terjadinya sebuah peristiwa. Biasanya

probabilitas dinyatakan dalam pecahan seperti ½, ¾, ¼ ataupun dalam

bentuk decimal seperti 0,50, 0,75, ataupun 0,25. Rentangan probabilitas antara

II-37

0 sampai dengan 1. Mengatakan probabilitas sebuah peristiwa adalah 0,

maka peristiwa tersebut tidak mungkin terjadi. Mengatakan bahwa

probabilitas sebuah peristiwa adalah 1 maka peristiwa tersebut pasti terjadi.

Dua hal yang harus dipahami dalam konsep probabilitas adalah

mutually exclusive dan collectively exhaustive. Mutually exclusive adalah

peristiwa yang terjadi terpisah satu sama lain. Ketika melempar uang logam,

maka hanya ada satu sisi yang memiliki kemungkinan untuk muncul.

Kemungkinan munculnya sisi belakang atau sisi depan disebut mutually

exclusive. Perbedaan tersebut akan tetapi jika ada lebih dari satu

kemungkinan untuk munculnya sebuah peristiwa maka hal itu disebut

collectively exhaustic (Supranto, 1977).

Probabilitas setidaknya sering kali menggunakan sampel daripada

menggunakan populasi biaya mahal kalau harus seluruh populasi, tidak

mungkin mengamati semua populasi, menguji semua populasi cenderung

mempebesar kesalahan dan pengujian atau eksperimen kadangkala destruktif.

Dalam probabilitas terdapat pula penyimpangan antara lain:

1. Kekeliruan atau Gross Error atau Blunder

Terjadi karena kebingungan atau kekurang telitian pengamat. Kesalahan

jenis ini tidak bisa dimasukkan dalam hitung perataan dan harus dibuang.

2. Kesalahan Sistematis

Kesalahan akibat perbedaan standar peralatan. Disebabkan mengikuti

hukum hukum fisika, kesalahan semacam ini dapat dimodelkan, diprediksi,

atau dieliminir dengan metoda pengukuran tertentu.

II-38

3. Kesalahan Acak (Random Errors)

Kesalahan yang masih tersisa setelah kesalahan sistematik dihilangkan.

Biasanya muncul karena ketidaksempurnaan alat sempurna atau indera

manusia.

2.4.4 Aturan-Aturan Pokok Probabilitas

Probabilitas atau peluang dasarnya sebuah cara untuk

mengungkapkan pengetahuan atau kepercayaan bahwa suatu kejadian akan

berlaku atau telah terjadi. Aturan-aturan dalam probabilitas, yaitu:

Aturan satu 1:

Untuk setiap peristiwa,probabilitas P(A) adalah

0 ≤ P (A) ≤ 1

Nilai 0 dan 1, semakin besar probabilitas, semakin besar keyakinan

akan terjadinya suatu peristiwa yang dipertanyakan. Probabilitas 0,95

menyatakan keyakinan yang sangat tinggi karena peristiwa itu akan terjadi.

Probabilitas 0,80 menyatakan keyakinan yang tinggi bahwa peristiwa itu

akan terjadi. Probabilitas 0,50 menyatakan kemungkinan itu akan terjadi

sama dengan kemungkinan peristiwa itu terjadi. Suatu probabilitas apabila

angka itu 0,20 menunjukan itu peristiwa sangat mungkin terjadi, sedangkan

jika itu menetapkan probabilitas 0,05 maka peristiwa itu akan terjadi, dan

seterusnya.

Aturan 2:

P(A) = 1 – p (A)

II-39

Contoh 1:

Probabilitas mengambil kartu As dari sebuah bungkus kartu bridge

adalah 4/52, maka probabilitas kartu yang terambil bukan kartu As

adalah 48/52.

Contoh 2:

Anggaplah pak Suto seorang petani buah semangka (S) dan melon (M)

sedangkan memperkirakan bahwa hasil panen semangka tahun ini

akan berhasil dengan baik adalah 0,65. Tentu saja pak Suto menyadari

bahwa hasil panen yang jelek tahun ini adalah 0,35 (1 – 0,65).

Contoh 1:

Menghitung probabilitas pristiwa bahwa kartu yang ditarik As atau

Spade AG. Menghitung bahwa probabilitas peristiwa terambilnya

sebuah kartu As adalah 4/52, probabilitas terambilnya sebuah kartu

Spade adalah 13/52 dan Spade adalah 1/52, maka probabilitas

terambilnya sebuah kartu adala As atau Spade sesuai dengan aturan

2.5 adalah:

P(As B Spade) = P(As)+P(Spade)-P(As Spade)

= 4/52 + 13/52 – 1/52 = 16/52

Probabilitas memiliki beberapa kriteria yang menunjukkan suatu

peristiwa sebuah data. Probabilitas juga dapat dibuat data dengan sampel

atau populasi, sehingga di bawah ini langkah-langkah agar probabilitas

dapat sukses, yaitu:

Aturan 3:

)()()(( BAPBPAPBAP

II-40

1. Rata–Rata Hitung Probabilitas

Rata–rata hitung, merupakan nilai yang dianggap mewakili nilai-nilai

dalam probabilitas dan juga merupakan juga nilai harapan (expected value)

yang dilambangkan dengan notasi E (x). Nilai rata–rata hitung dalm

probabilitas juaga nerupakan nilai rata-rata tertimbang karena seluruh

kemungkinan diberi bobot berupa probabilitasnya masing–masing. Rumus

dari rata–rata hitung adalah sebagai berikut:

µ= E (x) = ∑ (x) . P (x)

Keterangan:

µ : Nilai rata–rata hitung distribusi probabilitas.

E(X) : Nilai harapan (expected value).

X : Aktifitas atau kejadian.

P(x) : Probabilitas suatu aktifitas atau kejadian.

2. Varians dan Standar Deviasi Probabilitas

Rumus untuk varians dan standar deviasi dalam probabilitas adalah

sebagai berikut:

Varians : σ² = ∑( X – µ) ². P ( x)

Standar deviasi : σ = 2

Keterangan:

σ² : Varians.

σ : Standar deviasi.

x : Nilai aktifitas kejadian.

µ : Nilai rata rata hitung distribusi probabilitas.

P (x) : Probabilitas aktifitas atau kejadian x.

II-41

3. Distribusi Probabilitas Binomial

Distribusi probabilitas adalah salah satu jenis distribusi probabilitas

diskret yang sederhana dan cukup banyak digunakan. Distribusi binomial

adalah distribusi untuk proses bernoulli (penemu binomial). Proses bernoulli

sendiri adalah suatu proses atau kegiatan yang mempunyai ciri-ciri sebagai

berikut:

a. Aktifitas atau percobaan berlangsung n kali, tiap aktivitas atau

eksperimen berlangsung dalam cara dan kondisi yang sama.

b. Aktivitas atau eksperimen hanya ada dua peristiwa yang mungkin

terjadi. Dua peristiwa tersebut adalah saling lepas dan independen

satu sama lain, misalnya dalam percobaan melempar mata uang

maka hasilnya akan adalah jika tidak keluar gambar (G) maka akan

keluar Angka (A). Kedua peristiwa tersebut biasa disebut sebagai

peristiwa sukses dan peristiwa gagal. Probabilitas peristiwa sukses

dinotasikan dengan P dan probabilitas peristiwa gagal dinotasikan

dengan q.

c. Probabilitas sukses dan probabilitas gagal dari suatu percobaan atau

aktivitas ke percobaan lain adalah konstan sehingga P + q = n!.

Rumus untuk ditribusi binomial adalah sebagai berikut:

)!(!)(rn

nrP

Keterangan:

P(r): Nilai probabilitas binomial.

P : Pobabilitas sukses dalam suatu aktifitas atau percobaan.

II-42

r : Banyaknya sukses untuk keseluruhan percobaan.

n : Jumlah total aktifitas atau percobaan.

q : Probabilitas gagal yang diperoleh dengan q = 1-p.

! : Notasi faktorial.

Data di atas dapat disebut juga sebagai permutasi. Kombinasi adalah

pengaturan sejumlah berhingga objek yang dipilih tanpa

memperhatikan urutannya. Rumus kombinasi adalah sebagai

berikut:

)!(!!

rnrnCrn

Keterangan:

C : Kombinasi

n : Jumlah total aktifitas atau pecobaan.

r : Banyaknya sukses untuk keseluruhan percobaan.

2.5. Distribusi Hipergeometrik

Distribusi Hipergeometrik adalah salah satu jenis distribusi variabel

random diskrit yang digunakan untuk mencari probabilitas sukses pada

situasi-situasi adalah sebagai berikut (Yohana, 2007):

1. Terdapat n penyempelan dari N populasi.

2. Hanya tedapat dua peristiwa yaitu peristiwa sukses atau peristiwa gagal.

3. Jumlah sukses total adalah S.

4. Sampel yang telah diambil tidak dikembalikan (dengan kata lain

penyampelan satu dengan yang lain adalah dependen atau saling

bergantung).

Distribusi Hipergeometrik timbul bila contoh-contoh dari suatu

populasi berhingga (yang terdiri atas dua jenis elemen, misalnya, baik dan

II-43

buruk) sedang diperiksa. Distribusi ini merupakan distribusi yang mendasari

banyak cara pengambilan sample yang digunakan sehubungan dengan

diterimanya sampling dan pengendalian mutu (Alfredo, 1987).

Misalkan dalam sebuah populasi berukuran N terdapat D buah

termasuk kategori A. Sebuah sampel acak berukuran n diambil dari populasi

itu. Berapa peluang terdapat x buah termasuk kategori A dari sampel

tersebut?

Pernyataan diatas dijawab dengan distribusi hypergeometrik, dan

rumus dari distribusi hipergeometrik adalah sebagai berikut:

N

n

DNxn

DxxP

)(

Keterangan:

x : 1, 2, …, n

Definisi dari distribusi hipergeometrik adalah bila dalam populasi N

benda, k benda diantaranya diberi label berhasil dan N-k benda lainnya

diberi label gagal. Nilai sebaran peluang bagi peubah acak hipergeometrik X,

yang menyatakan banyaknya keberhasilan dalam contoh acak berukuran n,


N

n

kNxn

kxknNxh

),,;(

II-44

Keterangan:

x : Peubah acak dimana, x : 0, 1, 2, ..., k

N : Populasi.

n : Sampel.

k : Nilai keberhasilan.

Bila ada populasi berukuran N, diambil sampel sebanyak n, dalam

populasi tersebut ada sejumlah a komponen yang rusak. Mula–mula diambil

satu sampel, maka kemungkinan mendapat komponen yang rusak adalah

na . Komponen itu tidak dikembalikan ke populasi, maka kemungkinan

untuk mendapat komponen yang rusak adalah sebagai berikut:

11

Na

jika komponen yang terambil pertama rusak.

11

Na

jika komponen yang terambil pertama tidak rusak.

Terlihat bahwa pengambilan ke-2 bergantung pada hasil pengamatan

ke-1. Komponen oleh karenanya dikatakan bahwa pengambilan sampel tidak

independent atau dependent. Keadaan ini tidak memenuhi asumsi distribusi

binomial yang mengharuskan pengambilan sampel yang independent,

keadaan diatas tidak dapat diperhitungkan sebagai distribusi binomial, maka

digunakan distribusi hipergeometrik. Percobaan hipergeometrik bercirikan

tiga sifat adalah sebagai berikut:

1. Suatu contoh acak berukuran n diambil dari populasi yang berukuran N.

2. K dari N benda diklasifikasikan sebagai berhasil dan N-k benda

diklasifikasikan sebagai gagal.

3. Memecahkan masalah penarikan contoh tanpa pemulihan.

II-45

Banyaknya keberhasilan x dalam suatu percobaan hipergeometrik

disebut peubah acak hipergeometrik. Distribusi peluang bagi peubah acak

hipergeometrik disebut distribusi hipergeometrik.

2.5.1 Nilai Tengah dan Ragam Distribusi Hipergeometrik

Menentukan nilai tengah (µ) dan ragam (σ²) bagi distribusi

hipergeometrik, dituliskan:

Nkn.

Nk

Nkn

NnN 1...1

2

Nilai n relatif lebih kecil dibandingkan N, maka peluang pada setiap

pengambilan akan berubah kecil sekali. Nilai n sehingga praktis dapat

dikatakan bahwa dihadapkan dengan percobaan binomial, maka dapat

menghampiri distribusi hipergeometrik dengan menggunakan distribusi

binomial dengan NkP . Nilai tengah dan ragamnya dapat dihampiri

dengan melalui rumus nilai tengah dan ragam diatas (Supranto, 1977).

2.5.2 Perbedaan Distribusi Hipergeometrik dengan Distribusi Binomial

Distribusi hipergeometrik dan distribusi binomial merupakan

distribusi peluang diskret yang digunakan untuk mencari peluang suatu

kejadian yang jumlah datanya diketahui. Perbedaan antara keduanya antara

lain:

II-46

1. Perbedaan Pertama dengan Sebuah Pengambilan, yaitu:

a. Perbedaan pada distribusi binomial misalkan pada percobaan

pengambilan kartu dilakukan pemulihan.

b. Perbedaan pada distribusi hipergeometrik misalkan pada percobaan

pengambilan kartu dilakukan tanpa pemulihan.

2. Perbedaan Kedua dengan Ulangan dan Pengulangan, yaitu:

a. Perbedaan pada distribusi binomial ulangan-ulangannya bersifat

bebas antara satu sama lain.

b. Perbedaan pada distribusi hipergeometrik setiap ulangan

bergantung dari hasil ulangan sebelumnya (bersifat peluang

bersyarat).

3. Perbedaan Ketiga dengan Menggunakan Rumus, yaitu:

a. Perbedaan untuk distribusi binomial rumus yang digunakan:

b (x ; n , p) = nx .p x .q xn

x : 0,1,2,…,n.

b. Perbedaan untuk distribusi hipergeometrik rumus yang digunakan:

N

n

kNxn

kxknNxh

),,;(

x : 0,1,2,…,k

4. Perbedaan Keempat dengan Nilai Tengah dan Variasinya, yaitu:

a. Perbedaan untuk distribusi binomial nilai tengah dan variansnya

adalah:

µ = n p s σ² = n p q

b. Perbedaan untuk distribusi hipergeometrik nilai tengah dan

variansnya adalah:

II-47

Nkn.

Nk

Nkn

NnN 1...1

2

2.6. Distribusi Normal

Distribusi normal disebut pula distribusi Gauss, adalah distribusi

probabilitas yang paling banyak digunakan dalam berbagai analisis statistika.

Distribusi normal baku adalah distribusi normal yang memiliki rata-rata nol

dan simpangan baku satu. Distribusi ini juga dijuluki kurva lonceng (bell curve)

karena grafik fungsi kepekatan probabilitasnya mirip dengan bentuk

lonceng.

Distribusi normal memodelkan fenomena kuantitatif pada ilmu alam

maupun ilmu sosial. Beragam skor pengujian psikologi dan fenomena fisika

seperti jumlah foton dapat dihitung melalui pendekatan dengan mengikuti

distribusi normal. Distribusi normal banyak digunakan dalam berbagai

bidang statistika, misalnya distribusi sampling rata-rata akan mendekati

normal, meski distribusi populasi yang diambil tidak berdistribusi normal.

Distribusi normal juga banyak digunakan dalam berbagai distribusi dalam

statistika, dan kebanyakan pengujian hipotesis mengasumsikan normalitas

suatu data.

Distribusi normal pertama kali diperkenalkan oleh Abraham de

Moivre dalam artikelnya pada tahun 1733 sebagai pendekatan distribusi

binomial untuk n besar. Karya tersebut dikembangkan lebih lanjut oleh Pierre

Simon de Laplace, dan dikenal sebagai teorema Moivre-Laplace. Laplace

menggunakan distribusi normal untuk analisis galat suatu eksperimen.

Metode kuadrat terkecil diperkenalkan oleh Legendre pada tahun 1805.

II-48

Gauss mengklaim telah menggunakan metode tersebut sejak tahun 1794

dengan mengasumsikan galatnya memiliki distribusi normal.

Istilah kurva lonceng diperkenalkan oleh Jouffret pada tahun 1872

untuk distribusi normal bivariat. Sementara itu istilah distribusi normal secara

terpisah diperkenalkan oleh Charles S. Peirce, Francis Galton, dan Wilhelm

Lexis sepenulisr tahun 1875. Terminologi ini secara tidak sengaja memiki

nama yang sama (http://id.wikipedia.org/wiki/Distribusi_normal).

Tahun tersebut juga 1733, De Moivre menemukan persamaan

matematika untuk kurva normal yang menjadi dasar dalam banyak teori

statistika induktif. Yaitu, sebuah perubah acak X dengan rata–rata µ dan

varians 2 mempunyai fungsi densitas sebagai berikut:

Rumus tersebut sehingga, dengan demikian µ dan 2 yang di ketahui,

maka seluruh kurva normal dapat di ketahui sebagai berikut:

Gambar 2.5 Kurva Normal

(Sumber: Statistika Industri 1, 1997)

II-49

Kurva normal mempunyai bentuk seperti lonceng dan simetris

terhadap rata–rata (µ). Untuk keperluan probabilitas, luas kurva normal

disamakan dengan satu satuan (100%). Mencari luas daerah pada suatu

kurva normal dengan menggunakan tabel:

P (0 ≤ z ≤a) : nilai tabel a

Gambar 2.6 Kurva Normal Nilai A

P (z ≥ a) : 0.5 – nilai tabel a

Gambar 2.7 Kurva Normal Dibawah Nilai A

II-50

P (z ≥ -a) : 0.5 + nilai tabel –a

Gambar 2.8 Kurva Normal Nilai Di atas A

P (z ≤ a) : nilai tabel a + 0.5

Gambar 2.9 Kurva Normal Di atas A

P (a1 ≤ z ≤ a2) : nilai tabel a2 – nilai tabel a1

Gambar 2.10 Kurva Normal Antara A2 dan A1

II-51

P (a1 ≤ z ≤ a2) : nilai tabel a2 + nilai tabel a1 )

Gambar 2.11 Kurva Normal Antara A2 dan A1

(Sumber: www.snapdrive.net/files/622773/Modul%20Dist.%20Normal.pdf)

Terdapat pula beberapa bentuk kurva normal, dibandingkan dalam 2

kurva yang berbeda. Bentuk kurva yang berbeda adalah sebagai berikut:

1. Dua kurva berbeda dalam rata–rata dan simpangan baku.

2. Dua kurva dengan simpangan baku berbeda tapi rata–rata sama.

3. Dua kurva normal baik rata–rata maupun simpangan baku berbeda.

Kurva Normal dengan µ1 ≤ µ2 dan 1 ≤ 2

Gambar 2.12 Kurva Normal Nilai yang Berdekatan

II-52

Kurva Normal dengan µ1 ≤ µ2 dan 1 ≤ 2

Gambar 2.13 Kurva Normal Nilai yang Berdempetan


Pengolahan data agar mempermudah pencarian suatu distribusi

normal dibunakan rumus untuk dua kurva. Rumus dua kurva dibagi

menjadi 3, yaitu:

1. Rumus untuk data lebih dari menggunakan rumus, yaitu:

))((1)(

)(

ZxZPxaP

XZxxaP i

2. Rumus untuk data kurang dari menggunakan rumus, yaitu:

)(()(

)(

ZxZPxaP

XZxxaP i

3. Rumus untuk data antara menggunakan rumus, yaitu:

P (Za < x < Zb) = P (Za < - < Zb)

II-53

2.6.1 Ciri-Ciri Distribusi Normal

Abad ke-18 Karl Gauss mengemukakan bahwa variabel-variabel

dalam ilmu sosial maupun ilmu pengetahuan alam banyak yang memiliki

distribusi dengan ciri-ciri adalah sebagai berikut:

1. Kurvanya mempunyai puncak tunggal.

2. Kurvanya berbentuk seperti lonceng.

3. Rata-rata terletak ditengah distribusi dan distribusinya simetris di

sepenulisr garis tegak lurus yang ditarik melalui rata-rata.

4. Kedua ekor kurva memanjang tak terbatas dan tak pernah memotong

sumbu horizontal.

Distribusi normal karena begitu banyaknya variabel yang memiliki

distribusi dengan ciri-ciri seperti di atas maka distribusi yang demikian itu

dinamakan distribusi normal (Sri Mulyono, 1990). Berkaitan dengan sifat

yang berlaku untuk sebuah fungsi densitas, dalam Distribusi Normal berlaku

pula rumus sebagai berikut:

.

II-54

2.6.2 Luas Dibawah Kurva Normal

Sebuah kurva normal, sangat penting artinya dalam menghitung

peluang, sebab luas daerah yang ada dalam kurva tersebut menunjukkan

besarnya peluang.

Misalnya, suatu peubah acak X, mempunyai harga masing – masing X

= a, dan X = b, ingin di cari P (a < X < b). Rumus luas dibawah kurva normal


Dinyatakan oleh luas daerah yang diarsir:

P(a < X < b) : luas daerah yang diarsir

Gambar 2.14 Kurva Perubahan Acak


Kepentingan praktis, rumus di atas sudah disusun dalam sebuah

daftar, sehingga memudahkan para praktisi. Daftar yang di maksud adalah

daftar distribusi normal standar (baku). Distribusi normal standar adalah

II-55

distribusi normal dengan rata–rata µ dan simpangan baku , ini diperoleh

dari transformasi adalah sebagai berikut:

Keterangan:

Z : Standar Normal.

µ : Rata–rata Populasi.

X : Rata–rata Sampel.

: Standar Deviasi.

Sehingga fungsi densitasnya berbentuk:

Catatan:

Untuk z dalam daerah - < z < .

Setelah diperoleh distribusi normal baku maka di cari luas daerah

dibawah kurva normal baku tersebut. Caranya adalah Hitung z hingga 2

desimal adalah sebagai berikut:

1. Gambarkan kurvanya, sebuah kurva harus mengikuti data yang telah

didapat dan hasil perhitungannya.

2. Letakkan harga z pada gambar datar, lalu tarik garis vertikal hingga

memotong kurva.

II-56

3. Luas daerah yang tertera dalam daftar, adalah luas daerah antara garis ini

dengan garis tegak di titik nol.

4 Daftar distribusi normal baku, cari harga z pada kolom paling kiri hanya

1 desimal, dan desimal keduanya di cari pada baris paling atas.

a. Daftar dari z di kolom kiri, maju kekanan dan dari z baris atas turun

ke bawah, maka di dapat bilangan yang merupakan luas daerah

yang di cari. Bilangan yang di dapat, di tulis dalam bentuk 0,.... (4

angka di belakang 0).

b. Daftar dari z ke kolom kanan, maju kekiri dan dari z baris atas turun

ke bawah, maka di dapat bilangan yang merupakan luas daerah

yang di cari. Bilangan yang di dapat, di tulis dalam bentuk -0,.... (4

angka di belakang 0).

Luas seluruh kurva adalah 1, dan kurva simetris di m = 0, maka luas

garis tegak pada titik nol ke kiri ataupun kekanan adalah 0.5.

Luas untuk mencari kembali z, jika luasnya di ketahui, maka

dilakukan langkah sebaliknya. Misalnya, jika luas = 0.4931, maka dalam

badan daftar di cari 4931, lalu menuju ke pinggir sampai pada kolom z, di

dapat 2.4 dan menuju ke atas samapai batas z, dan di dapat 6. Jadi harga z =

2.46 (Mutaqim, 1997).

2.6.3 Pendekatan Distibusi Binomial ke Distribusi Normal

Antara distribusi binomial dan distribusi normal terdapat hubungan

tertentu. Jika untuk fenomena yang terdistribusi binomial berlaku kondisi

sebagai berikut:

1. Ukuran N cukup besar.

2. Jumlah suatu distribusi mempunyai n ≥ 30 dan n,p ≥ 5 atau n ( 1 – p ) ≥ 5

maka penyelesaian probabilitas dapat menggunakan pendekatan

II-57

distribusi binomial ke distribusi normal dengan terlebih dahulu mencari

nilai µ dan , yaitu:

Keterangan:

p : Probabilitas sukses.

q : Probabilitas gagal.

Jika x merupakan variabel diskrit sekaligus variabel kontinyu maka

perlu di adakan koreksi dengan menambah atau menguarangi dengan 0.5.

Pendekatan normal terhadap binomial sangat memudahkan dalam

perhitungan (Mutaqim, 1997).

2.6.4 Uji Distribusi Normal

Keperluan analisis selanjutnya, dalam statistika, ternyata model

distribusi harus di ketahui bentuknya terlebih dahulu. Teori menaksir dan uji

hipotesis misalnya, perhitungan dilakukan berdasarkan asumsi bahwa

populasi berdistribusi normal. Asumsi ini tidak dipenuhi, artinya ternyata

populasi berdistribusi normal, maka kesimpulan berdasarkan teori itu tidak

berlaku. Karenanya, sebelum teori itu berlanjut lebih jauh di gunakan dan

kesimpulan di ambil, terlebih dahulu di selidiki apakah asumsi normal itu di

penuhi atau tidak (Mutaqim, 1997). Distribusi normal ada beberapa cara

pengujiannya adalah sebagai berikut:

II-58

1. Uji Secara Parametrik

Keperluan pengujian, harus di lakukan perhitungan frekuensi teoritik Ei

dan frekuensi hasil pengamatan Oi, selanjutnya statistik 2x di hitung

berdasarkan rumus:

Keterangan:

H0 : Populasi berasal dari distribusi normal.

H1 : Populasi bukan berasal dari distribusi normal.

Kriteria uji:

Tolak Ho jika 2 hit ≥ 2 (1–α) (k–3).

dk = k–3.

Dengan taraf kepercayaan α.

2. Uji Liliefors (Non Parametrik)

Uji Liliefors adalah uji normalitas secara non parametrik. Misalkan ada

suatu sampel acak dengan hasil pengamatan 1X , 2X , ..., nX . Prosedur

pengujiannya adalah sebagai berikut:

a. Pengamatan 1X , 2X , ..., nX di jadikan bilangan baku 1Z , 2Z , ..., nZ

dengan rumus S

XXZ i 1 .

c. Bilangan baku ini, di hitung frekuensi kumulatif F (zi)= P (Z ≤ Zi).

d. Ho sampel berasal dari populasi berdistribusi normal. Hi sampel

bukan berasal dari populasi berdistribusi normal.

II-59

e. Hitung proporsi 1Z , 2Z , … nZ yang lebih kecil atau sama dengan Zi.

Jika proporsi ini dinyatakan oleh S (Zi), maka

Zin

ZZbanyaknyaZZS n

i

,...,,

)( 21 .

f. Hitung selisih F (zi)–S (zi) kemudian tentukan harga mutlaknya.

g. Ambil harga mutlak terbesar di antara harga–harga mutlak lainnya.

Sebutlah harga terbesar ini sebagai Lo.

Menerima atau menolak hipotesis, bandingkan Lo dengan nilai kritis L

dalam daftar uji Lilliefors untuk taraf nyata L yang di pilih (Mutaqim, 1997).

Kriteria uji:

Tolak Ho jika Lo > L daftar untuk hal lain, Ho di terima.

BAB II STUDI LITERATUR - Rayvel Wakulu | Personal Blog · keakuratan penelitian data, sehingga rumus titik tengah adalah sebagai berikut: Titik Tengah Kelas = 2 1 (batas atas + batas

Documents