6 BAB II LANDASAN TEORI 2.1 Optimalisasi Optimalisasi adalah serangkaian proses untuk mendapatkan gugus kondisi yang diperlukan untuk mendapatkan hasil terbaik dalam situasi tertentu. Berdasarkan pendekatan normatif dapat diketahui bahwa optimasi mengindikasi penyelesaian terbaik suatu masalah yang disarankan pada tujuan maksimasi atau minimasi melalui fungsi tujuan (Nasendi dan Anwar, 2005). Optimalisasi merupakan persoalan menentukan nilai variabel-variabel suatu fungsi menjadi maksimum atau minimum dengan memperhatikan keterbatasan-keterbatasan yang ada. Keterbatasanbiasanya meliputi semua faktor produksi yang digunakan dalam proses produksi seperti tenaga kerja, uang dan material yang merupakan input dari suatu waktu dan uang. 2.2 Produksi Produksi adalah suatu proses pengubahan bahan baku menjadi produk jadi. Produk yang dihasilkan bisa berupa barang yaitu benda yang berwujud atau benda yang tidak berwujud sehingga produk yang dihasilkan dapat diterima dan dinikmati oleh konsumen. Produksi merupakan penciptaan atau penambahan faedah bentuk, waktu dan tempat atas faktor-faktor produksi sehingga lebih bermanfaat bagi pemenuhan kebutuhan manusia. Proses transformasi atau perubahan bentuk, faktor-faktor produksi tersebut disebut proses produksi.
34
Embed
BAB II LANDASAN TEORI - eprints.unisnu.ac.ideprints.unisnu.ac.id/1552/3/BAB II.pdf · BAB II LANDASAN TEORI 2.1 Optimalisasi Optimalisasi adalah serangkaian proses untuk mendapatkan
This document is posted to help you gain knowledge. Please leave a comment to let me know what you think about it! Share it to your friends and learn new things together.
Transcript
6
BAB II
LANDASAN TEORI
2.1 Optimalisasi
Optimalisasi adalah serangkaian proses untuk mendapatkan gugus kondisi
yang diperlukan untuk mendapatkan hasil terbaik dalam situasi tertentu.
Berdasarkan pendekatan normatif dapat diketahui bahwa optimasi mengindikasi
penyelesaian terbaik suatu masalah yang disarankan pada tujuan maksimasi atau
minimasi melalui fungsi tujuan (Nasendi dan Anwar, 2005).
Optimalisasi merupakan persoalan menentukan nilai variabel-variabel
suatu fungsi menjadi maksimum atau minimum dengan memperhatikan
keterbatasan-keterbatasan yang ada. Keterbatasanbiasanya meliputi semua faktor
produksi yang digunakan dalam proses produksi seperti tenaga kerja, uang dan
material yang merupakan input dari suatu waktu dan uang.
2.2 Produksi
Produksi adalah suatu proses pengubahan bahan baku menjadi produk jadi.
Produk yang dihasilkan bisa berupa barang yaitu benda yang berwujud atau
benda yang tidak berwujud sehingga produk yang dihasilkan dapat diterima dan
dinikmati oleh konsumen.
Produksi merupakan penciptaan atau penambahan faedah bentuk, waktu
dan tempat atas faktor-faktor produksi sehingga lebih bermanfaat bagi
pemenuhan kebutuhan manusia. Proses transformasi atau perubahan bentuk,
faktor-faktor produksi tersebut disebut proses produksi.
7
Produksi adalah pengubahan bahan-bahan dari sumber-sumber menjadi
hasil yang diinginkan oleh konsumen, hasil itu dapat berupa barang ataupun jasa.
Dengan demikian produksi merupakan konsep yang lebih luas dari pada
manufaktur (pengolahan), karena pengolahan hanyalah sebagai ”bentuk khusus”
dari produksi. Jadi dengan demikian pedagang besar, pengecer, dan lembaga-
lembaga yang meyediakan jasa juga berkepentingan dengan produksi (Daryanto,
2012: 41).
Istilah “produksi” sering berkaitan dengan istilah “produktivitas” namun
bukan berarti produktivitas merupakan fasilitas yang aktif. Produktivitas adalah
sebuah konsep yang menggambarkan hubungan antara hasil (jumlah barang atau
jasa yang diproduksi) dengan sumber (jumlah tenaga kerja, modal, tanah, energi,
dan sebagainya) untuk meghasilkan hasil tersebut.
2.3 Program Linier
Program linear merupakan teknik aplikasi dari matematika yang disusun
oleh George B. Dantzig di tahun 1947 pada saat memimpin Air Force Statistical
control’s Combat Analysis Branch di Pentagon. Pada saat Dantzig menganalisis
masalah perencanaan air force, dia menyadari dapat merumuskan sistem
ketidaksamaan linear, hal diatas merupakan awal pemberian nama untuk teknik
“program dalam struktur linear”, yang belakangan disederhanakan menjadi
program linear.
Menurut Sri Mulyono (2004) Program linear (Linear Programming yang
disingkat LP) merupakan salah satu teknik Operating Research yang digunakan
paling luas dan diketahui dengan baik. Program Linear merupakan metode
8
matematika dalam mengalokasikan sumber daya yang langka untuk mencapai
tujuan.
Definisi sederhana program linear adalah suatu teknik aplikasi matematika
dalam menentukan pemecahan masalah yang bertujuan untuk memaksimumkan
atau meminimumkan sesuatu yang dibatasi olehbatasan-batasan tertentu, dimana
hal ini dikenal juga sebagai teknik optmalisasi (Sukanto Reksohadiprodjo dan
Indriyo Gitosudarmo, 2009).
Berdasarkan definisi tersebut diatas, maka dalam program linear akan
melibatkan model yang mendeskripsikan tujuan dan model yang yang
mendeskripsikan batasan-batasannya. Adapun model yang dimaksud adalah
suatu fungsi yang berderajat satu, yaitu fungsi linear.
Terdapat karakteristik-karakteristik yang biasa digunakan dalam persoalan
program linear, yaitu (Tjutju Tarliah Dimyati dan Ahmad Dimyati, 1992:18-20):
1. Variabel keputusan
Variabel keputusan adalah variabel yang menguraikan secara lengkap
keputusan-keputusan yang akan dibuat.
2. Fungsi tujuan
Fungsi tujuan merupakan fungsi dari variabel keputusan yang akan
dimaksimumkan (untuk pendapatan atau keuntungan)atau
diminimumkan (untuk ongkos).
3. Pembatas atau fungsi kendala
Pembatas merupakan kendala yang dihadapi sehingga kita tidak bisa
menentukan harga-harga variabel keputusan secara sembarang.
9
4. Pembatas tanda
Pembatas tanda adalah pembatas yang menjelaskan apakah variabel
keputusannya diasumsikan hanya berharga nonnegatif atau variabel
keputusan tersebut boleh berharga positif, juga negatif (tidak terbatas
dalam tanda).
Secara umum menurut Sri Mulyono (2004) untuk menyelesaikan
pemrograman linier akan digunakan karasteristik-karasteristik sebagai berikut:
1. Variabel Keputusan (decision variables)
Variabel keputusan adalah variabel persoalan yang akan
mempengaruhi nilai tujuan yang akan dicapai. Maka dalam proses
pemodelan, penemuan variabel keputusan tersebut harus dilakukan
terlebih dahulu sebelum merumuskan fungsi tujuan dan kendala-
kendalanya.
2. Fungsi Tujuan (objective function)
Menyelesaikan model pemrograman linier, tujuan yang harus dicapai
harus diwujudkan ke dalam sebuah fungsi matematika linier yaitu,
fungsi tersebut dimaksimumkan atau diminimumkan terhadap
kendala-kendala yang ada.
3. Fungsi Kendala (constrains)
Fungsi pembatas atau sering disebut juga sebagai fungsi kendala.
Fungsi ini merupakan bentuk penyajian secara matematis pembatasan-
pembatasan kapasitas yang tersedia yang akan dialokasikan secara
10
optimal keberbagai kegiatan. Fungsi batasan juga merupakan
hubungan linier dari variabel-variabel keputusan, yang menunjukan
keterbatasan sumber daya atau pedoman yang dimiliki.
4. Pembentukan Model Matematika
Model matematika merupakan representasi kuantitatif tujuan dan
sumber daya yang membatasi sebagai fungsi variabel keputusan.
Model matematika permasalahan optimasi terdiri dari dua bagian
model, yaitu fungsi tujuan dan fungsi kendala/sumber daya yang
membatasi.
Data mengenai alokasi sumber daya sebuah proses produksi dapat
disajikan dalam bentuk tabel guna mempermudah dalam pembentukan model
matematikanya, seperti disajikan dalam Tabel 2.1 berikut ini :
Tabel 2.1 Data yang dibutuhkan untuk Model Pemrograman Linier
Meliputi Alokasi Sumber Daya untuk Aktivitas
Sumber Daya
Penggunaan Perunit Variabel
Keputusan Jumlah tiap
Sumber Daya
yang tersedia
Produksi (Aktivitas)
1 2 3 ... N
1 a11 a12 a13 ... a1n b1
2 a21 a22 a23 ... a2n b2
... ... ... ... ... ... ...
M am1 am2 am3 ... Amn Bm
Kontribusi Perunit
Variabel terhadap
Z c1 c2 c3 ... Cn
Sumber data:Jumarin, 2012.
11
Secara umum, model linear programming dapat dinyatakan sebagai
berikut:
1. Fungsi Tujuan
Memakasimumkan atau meminimumkan :
Z =c1x1 + c2x2 + ... + cnxn
2. Memenuhi syarat kendala :
a11x1 + a12x2 + ... + a1nxn(=, ≤, ≥) b1
a21x1 + a22x2 + … + a2nxn(=, ≤, ≥)b2
…
am1x1 + am2x2 + … + amnxn(=, ≤, ≥)bm
x1, x2, …, xn ≥ 0
Fungsi pembatas bisa berbentuk persamaan (=) atau pertidaksamaan (≤
atau ≥).
Fungsi pembatas disebut juga sebagai konstrain. Konstanta (baik
sebagai koefisien maupun nilai kanan) dalam fungsi pembatas maupun
pada tujuan dikatakan sebagai parameter model.
Simbol x1, x2, ..., xn (xi) menunjukkan variabel keputusan. Jumlah
variabel keputusan (xi) oleh karenanya tergantung dari jumlah kegiatan
atau aktivitas yang dilakukan untuk mencapai tujuan. Simbol
c1,c2,...,cn merupakan kontribusi masing-masing variabel keputusan
terhadap tujuan, disebut juga koefisien fungsi tujuan pada
modelmatematiknya.Simbol a11, ...,a1n,...,amn merupakan penggunaan
per unit variabel keputusan akan sumber daya yang
12
membatasi, atau disebut juga sebagai koefisien fungsi kendala pada
model matematiknya.
Simbol b1,b2,...,bm menunjukkan jumlah masing-masing sumber daya
yang ada. Jumlah fungsi kendala akan tergantung dari banyaknya
sumber daya yang terbatas.Pertidaksamaan terakhir (x1, x2, …, xn≥ 0)
menunjukkan batasan non negatif (Wahyuni, 2008:124-125).
Asumsi dasar yang menjadi ciri khas dari model linear programming
menurut(Tjutju Tarliah Dimyati dan Ahmad Dimyati, 1992:26-27) adalah :
1. Asumsi kesebandingan (proportionality)
a. Konstribusi setiap variabel keputusan terhadap fungsi tujuan adalah
sebanding dengan nilai variabel keputusan.
b. Kontribusi suatu variabel keputusan terhadap ruas kiri dari setiap
pembatas juga sebanding dengan nilai variabel keputusan itu.
2. Asumsi penambahan (additivity)
a. Konstribusi setiap variabel keputusan terhadap fungsi tujuan
bersifat tidak bergantung pada nilai dari variabel keputusan yang
lain.
b. Kontribusi suatu variabel keputusan terhadap ruas kiri dari setiap
pembatas bersifat tidak bergantung pada nilai dari variabel
keputusan yang lain.
3. Asumsi pembagian (divisibility)
Dalam persoalan linear programming, variabel keputusan boleh
diasumsikan berupa bilangan pecahan.
13
4. Asumsi kepastian (certainty/deterministic)
Setiap parameter, yaitu koefesien fungsu tujuan, ruas kanan, dan
koefesien teknologis, diasumsikan dapat diketahui secara pasti.
2.4 Metode Simpleks
2.4.1. Pengertian Metode Simpleks
Metode simpleks pertama kali diperkenalkan oleh George B. Dantzig
pada tahun 1947 dan telah diperbaiki oleh para ahli lain. Metode ini
menyelesaikan masalah program linear melalui perhitungan-ulang (iterasi)
dimana langkah-langkah perhitungan yang sama diulang berkali-kali sampai
solusi optimal dicapai.
Metode Simpleks merupakan suatu algoritma yang digunakan untuk
pemecahan berbagai masalah linier rogramming (LP). Pemecahan masalah
dengan menggunakan metode ini sangat mengguntungkan bagi pengguna karena
tidak hanya fungsi tujuan dan nilai optimum dari variable dapat kita ketahui tapi
kita juga dapat memberikan interpretasi ekonomi dan melakukan analisis
sensitivitas. Metode simplex lebih efisien serta dilengkapi dengan suatu “test
criteria” yang bisa memberitahukan kapan hitungan harus dihentikan dan kapan
harus dilanjutkan sampai diperoleh suatu “optimal solution” (maximum profit,
maximum revenue, minimum cost, etc). Pada umumnya dipergunakan table-
tabel, dari table pertama yang memberikan pemecahan terakhir yang
memberikan pemecahan dasar permulaan yang fisibel (initial basic feasible
solution) sampai pada pemecahan terakhir yang memberikan optimal solution.
Yang lebih menarik ialah bahwa semua informasi yang diperlukan (test criteria,
14
nilai variabel-variabel, nilai fungsi tujuan) akan terdapat pada setiap tabel, selain
daripada itu nilai fungsi tujuan dari suatu tabel akan lebih besar/kecil atau sama
dengan tabel sebelumnya (Harsuko Riniwati, 2015).
Metode simpleks (sering disebut dengan algoritma simpleks) adalah
prosedur matematika berulang untuk menyelesaikan soal pemrograman linier
dengan cara menguji titik sudut daerah yang memenuhi kendala-kendala
sehingga ditemukan sudut ektrim yaitu titik sudut yang akan memaksimumkan
atau meminimumkan fungsi tujuan (Siswanto, 2007).
Metode simpleks adalah suatu prosedur ulang yang bergerak dari satu
jawab layak basis ke jawab berikutnya sedemikian rupa sehingga harga fungsi
tujuan terus menaik (dalam permasalahan maksimisasi). Proses ini akan
berkelanjutan sampai dicapainya jawab optimal (jika ada) yang memberi harga
maksimum (P. Siagian, 2006:85).
Metode simpleks digunakan untuk memecahkan masalah pada
pemrograman linier yang terdiri dari tiga variabel atau lebih, sehingga tidak bisa
diselesaikan dengan menggunakan metode grafik karena terlalu rumit
untukdiselesaikan. Pengertian metode simpleks menurut Heizer Jay dan Rander
Barry (2005 : 674) (Tri Harjiyanto,2004) mengemukakan bahwa : “The simplex
method is actually an algorithm (or a set of instructions) with wich we examine
corner point in a methodical fashion until we arrive at the best solution highest
profit or lowest cost”. Artinya : “Metode simpleks merupakan suatu algoritma
(atau serangkaian perintah) yang digunakan untuk menguji titik sudut dalam
suatu cara tertentu sehingga sampai pada solusi terbaik dengan keuntungan yang
15
paling tinggi atau biaya yang paling rendah”.
Ada beberapa hal yang harus diperhatikan bahwa kendala yang terdapat
dalam fungsi kendala model program linear dapat dibedakan dengan tanda
hubungan matematis berupa :
1. Fungsi kendala dengan pertidaksamaan ≤ dalam bentuk umum, diubah
menjadi persamaan (=) dengan menambahkan satu variabel slack.
2. Fungsi kendala dengan pertidaksamaan ≥ dalam bentuk umum, diubah
menjadi persamaan (=) dengan mengurangkan satu variabel surplus.
3. Fungsi kendala dengan persamaan dalam bentuk umum, ditambahkan
satuartificial variabel (variabel buatan).
2.4.2. Penyelesaian dengan Metode Simpleks
Langkah-langkah penyelesaian dengan metode simpleks adalah sebagai
berikut (P. Siagian, 2006) :
1. Mengubah fungsi tujuan dan batasan
Semua fungsi tujuan dan batasan diubah ke bentuk persamaan
(standar),dengan cara fungsi tujuan diubah menjadi fungsi implisit, yaitu
fungsi tujuan digeser ke kiri dan menambah variabel penolong (slack) pada
fungsi kendala.
Contoh :
Z = 3X1 + 5X2 diubah menjadi Z - 3X1 - 5X2= 0
Pada bentuk standar, semua batasan mempunyai tanda ≤. Ketidaksamaan
ini harus diubah menjadi kesamaan. Caranya dengan menambah slack
variable. Variable slack ini adalah Xn+1, Xn+2, ....Xn+m. Karena tingkat
16
atau hasil kegiatan-kegiatan yang ada di awali oleh X1 dan X2, maka
variable slack dimulai dari X3, X4 dan seterusnya.
2X1 ≤ 8 menjadi 2X1 + X3 = 8
3X2 ≤ 15 menjadi 3X2 + X4 = 15
6X1 + 5X2 ≤ 15 menjadi 6X1 + 5X2 + X5 = 30
Berdasarkan perubahan persamaan-persamaan di atas dapat disusun
formulasi yang diubah, sebagai berikut :
Fungsi tujuan : Maksimumkan Z - 3X1 - 5X2
Batasan-batasan : 2X1 + x3 = 8
3X2 + x4 = 15
6X1 + 5x2 + x5 = 30
2. Menyusun persamaan-persamaan ke dalam tabel simpleks
Setelah formulasi diubah kemudian disusun ke dalam tabel, dalam bentuk
simbol seperti tampak pada tabel 2.2, sedangkan untuk contoh seperti