BAB II : LANDASAN TEORI 5 BAB II LANDASAN TEORI Pada bab ini akan dibahas beberapa teori aljabar linier yang mendukung dalam penurunan Teori Perron-Frobenius pada Bab III. Teori-teori yang akan dibahas berupa subruang invarian, proyektor, indeks matriks, dekomposisi core-nilpotent, serta norm dari vektor dan matriks. Teori tersebut merupakan teori yang mendukung mengenai properti dari nilai karakteristik, matriks Jordan, dan Cesaro Summable. Ketiga teori ini sangat erat kaitannya untuk mempelajari dan menurunkan Teori Perron-Frobenius. Untuk selanjutnya, notasi yang digunakan dalam penulisan tugas akhir ini merupakan notasi yang biasa digunakan dalam aljabar. 2.1 Subruang Invarian Subruang invarian ini akan digunakan untuk menjabarkan dekomposisi core- nilpotent pada Subbab 2.4. Namun, sebelum kita memasuki pada pembahasan mengenai subruang invarian, kita akan mendefinisikan dulu mengenai matriks perubahan basis secara singkat. Misalkan adalah operator linier pada V . Misalkan pula dan adalah dua basis bagi V , maka matriks perubahan basis dari ke diberikan oleh A B ' B B ' B [ ] [ ] 1 ' − = B A P A B P , dimana [ ] ' = BB P I Teori Perron-Frobenius untuk Matriks Stokastik Madona Yunita (10103035)
29
Embed
BAB II LANDASAN TEORI - · PDF filePada bab ini akan dibahas beberapa teori aljabar linier yang mendukung dalam ... teorema di Bab III. CBS ini melibatkan hasil kali dalam dan norm
This document is posted to help you gain knowledge. Please leave a comment to let me know what you think about it! Share it to your friends and learn new things together.
Transcript
BAB II : LANDASAN TEORI 5
BAB II
LANDASAN TEORI Pada bab ini akan dibahas beberapa teori aljabar linier yang mendukung dalam
penurunan Teori Perron-Frobenius pada Bab III. Teori-teori yang akan dibahas
berupa subruang invarian, proyektor, indeks matriks, dekomposisi core-nilpotent,
serta norm dari vektor dan matriks. Teori tersebut merupakan teori yang mendukung
mengenai properti dari nilai karakteristik, matriks Jordan, dan Cesaro Summable.
Ketiga teori ini sangat erat kaitannya untuk mempelajari dan menurunkan Teori
Perron-Frobenius. Untuk selanjutnya, notasi yang digunakan dalam penulisan tugas
akhir ini merupakan notasi yang biasa digunakan dalam aljabar.
2.1 Subruang Invarian
Subruang invarian ini akan digunakan untuk menjabarkan dekomposisi core-
nilpotent pada Subbab 2.4. Namun, sebelum kita memasuki pada pembahasan
mengenai subruang invarian, kita akan mendefinisikan dulu mengenai matriks
perubahan basis secara singkat. Misalkan adalah operator linier pada V .
Misalkan pula dan adalah dua basis bagi V , maka matriks perubahan
basis dari ke diberikan oleh
A
B 'B
B 'B
[ ] [ ]1'
−=B
A P AB
P , dimana [ ] '=
BBP I
Teori Perron-Frobenius untuk Matriks Stokastik Madona Yunita (10103035)
BAB II : LANDASAN TEORI
Jika adalah basis baku untuk , maka kolom ke- pada [S n j ]SA adalah
[ ]( ) ∗ ∗⎡ ⎤ ⎡ ⎤= = ⇒ =⎣ ⎦ ⎣ ⎦j j j SS SeA A A A A .
Dengan kata lain, koordinat matriks terhadap adalah sendiri. Jadi, kita
peroleh bahwa
A S A
[ ] [ ]1 1− −= =B S
A P A P P AP , (2.1)
dimana [ ] [ ] [ ] [ ]( ) ( )1 2 1 2x | x | | x x | x | | x= = =… …n nBS S S SP I .
Selanjutnya, untuk suatu operator linier T pada ruang vektor V dan χ ⊆V ,
( ) ( ){ }x | xχ χ=T T ∈ adalah himpunan semua hasil peta yang mungkin dari
vektor di χ dibawah transformasi T . Perhatikan bahwa ( ) ( )=V RT T . Jika χ
adalah subruang dari V , akibatnya ( )χT adalah subruang dari V dan biasanya
( )χT tidak berhubungan dengan χ . Namun, dalam kasus-kasus tertentu
( )χT bisa merupakan subruang dari χ .
Definisi 2.1 Untuk suatu operator linier T pada V , subruang Vχ ⊆ disebut
subruang invarian dibawah T jika ( )χ χ⊆T .
Subruang invarian untuk operator linier sangat penting karena subruang
tersebut menghasilkan koordinat matriks representasi dari yang sederhana.
Untuk membuktikan hal ini, kita misalkan bahwa
T
T
χ dan γ adalah subruang
invarian dibawah . Misalkan pula T { }1 2x , x , , x rBχ = … dan
{ }1 2y , y , , yγ = … qB masing-masing merupakan basis bagi χ dan γ yang
merupakan himpunan bagian dari { }1 2 1 2x , x , , x , y , y , , yrB = … … q , yaitu basis
bagi V . Koordinat matriks terhadap basis adalah B
Teori Perron-Frobenius untuk Matriks Stokastik Madona Yunita (10103035)
6
BAB II : LANDASAN TEORI
[ ] ( ) ( ) ( ) ( )( )1 1x x y y⎡ ⎤= ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦… …r qB B B B BT T T T T .
Karena setiap (x )jT berada pada χ , maka hanya buah vektor pertama pada
yang dapat merepresentasikan
r
B ( )x jT , sehingga untuk setiap 1, 2,....,j r=
( )1
x xr
j ij ii
T α=
=∑ dan ( )
1
x0
0
j
rjj B
T
α
α
⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟
⎡ ⎤ = ⎜ ⎟⎣ ⎦⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠
.
Karena setiap ( )y jT berada pada γ , maka hanya q buah vektor akhir pada
yang dapat merepresentasikan
B
( )y jT , sehingga untuk setiap 1, 2,....,=j q
( )1
y yβ=
=∑q
j ij ii
T dan ( )1
0
0y
β
β
⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟
⎡ ⎤ = ⎜ ⎟⎣ ⎦ ⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠
j B j
qj
T .
Jadi, kita peroleh
[ ]
11 1
1
11 1
1
0 0
0 00 0
0 0
α α
α αβ β
β β
×
×
⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎛ ⎞
= =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎝ ⎠⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠
… …
… …… …
… …
r
r rr r rB
q q
q qq
P 0T
0 Q q
,
dimana /χ
χ⎡ ⎤= ⎣ ⎦BP T dan /
γγ⎡ ⎤= ⎣ ⎦B
Q T .
Secara umum, pernyataan mengenai subruang invarian dan matriks representasi
tersebut diberikan oleh Teorema 2.2 berikut ini.
Teori Perron-Frobenius untuk Matriks Stokastik Madona Yunita (10103035)
7
BAB II : LANDASAN TEORI
Teorema 2.2 Misalkan adalah operator linier pada ruang vektor V
berdimensi . Misalkan pula
T
n , ,...,χ γ Z adalah subruang V dengan
dimensinya masing-masing adalah dan basisnya adalah
. Selanjutnya, misalkan
1 2, ,...., kr r r
, ,....,χ γB B BZ =∑ iir n dan ....χ γ= ∪ ∪ ∪BZB B B
adalah basis bagi V . Subruang , ,...,χ γ Z invarian dibawah T jika dan hanya
jika [ ]BT mempunyai bentuk matriks diagonal blok
[ ]
1 1
2 2
0 0
0 0
0 0
×
×
×
⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟== ⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠
……
…k k
r r
r r
B
r r
P
QT
R
dimana /χ
χ⎡ ⎤= ⎣ ⎦BP T , /
γγ⎡ ⎤= ⎣ ⎦B
Q T , dan [ ]/=B
R Tg
Z .
Akibat 2.3 Misalkan adalah matriks T n n× , maka
1 1
2 21
0 0
0 0
0 0
×
×−
×
⎛ ⎞⎜ ⎟⎜= ⎜⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠
……
…k k
r r
r r
r r
P
QD TD
R
⎟⎟ (2.2)
untuk suatu matriks nonsingular jika dan hanya jika D
( 1 2= … kD D D D ) dengan setiap kolom pada adalah span dari
subruang invarian dibawah T .
iD
Bukti. Berdasarkan persamaan (2.1), jika { }1 2, , , nB q q q= … adalah basis bagi
dan jika n ( 1 2= … nq q qQ ) adalah matriks yang memuat vektor di
pada setiap kolomnya, maka
B
[ ] 1−=B
T D TD . Bentuk persamaan (2.2) adalah
akibat langsung dari Teorema 2.2.
Teori Perron-Frobenius untuk Matriks Stokastik Madona Yunita (10103035)
8
BAB II : LANDASAN TEORI
2.2 Proyektor
Pada subbab ini akan diuraikan beberapa sifat yang dimiliki oleh proyektor
yang diberikan oleh Teorema 2.4 berikut.
Teorema 2.4 Misalkan χ dan γ adalah ruang bagian komplementer dari V
sehingga untuk setiap v V∈ secara tunggal bisa dituliskan sebagai x y= +v
dimana x χ∈ dan y γ∈ . Operator linier tunggal didefinisikan sebagai
, yaitu proyektor pada
P
x=vP χ sepanjang γ , dan mempunyai sifat sebagai
berikut.
P
(a). adalah proyektor pada −I P γ sepanjang χ .
(b). ( ) ( ) χ= − =R NP I P dan ( ) ( ) γ− = =R NI P P .
(c). Jika atau , maka diberikan oleh nV = n P
[ ] [ ] 1| | −⎛ ⎞= ⎜ ⎟
⎝ ⎠
I 0P X Y X Y
0 0,
dimana setiap kolom dari dan , masing-masing menyatakan basis
dari
X Y
χ dan γ . Formula lain untuk dapat dilihat pada Teorema 2.9. P
Bukti. Untuk (a), kita peroleh bahwa x y y= + = +v Pv
)v
. Akibatnya
. Jadi, y (= − = −v vP I P −I P adalah proyektor pada γ sepanjang χ . Untuk
(b) merupakan akibat dari definisi proyektor itu sendiri. Formula pada (c)
diperoleh dengan memisalkan Bχ dan Bγ sebagai basis bagi χ dan γ , maka
{ }1 2 1 2x , x ,...., x , y , y ,...., yrB B Bχ γ −= ∪ = n r adalah basis bagi V . Matriks P
relatif terhadap basis adalah B
Teori Perron-Frobenius untuk Matriks Stokastik Madona Yunita (10103035)
9
BAB II : LANDASAN TEORI
[ ] [ ][ ][ ]
1 1
1
1
[ x ] | | [ x ] | [ y ] | | [ y ]
[x ] | | [x ] | [0] | | [0]
e | | e | 0 | | 0
−=
=
=
⎛ ⎞= ⎜ ⎟⎝ ⎠
… …
… …
… …
B r B B n rB
B r B B B
r
r
P P P P P
I 00 0
B
Jika adalah basis baku, maka S [ ] [ ]1−=B
P Q PS
Q , dimana
[ ] [ ] [ ]1 1[x ] | | [x ] | [y ] | | [y ] |−= = =… …S r S S n r SBSQ I X Y .
Akibatnya, [ ] [ ] [ ] [ ] 11 | | −− ⎛ ⎞= = ⎜ ⎟
⎝ ⎠r
S B
I 0P Q P Q X Y X Y
0 0.
2.3 Indeks Matriks
Pada subbab ini akan diuraikan beberapa teorema yang berhubungan dengan
indeks dari suatu matriks yang menunjang dalam pembahasan mengenai matriks
Jordan.
Definisi 2.5 Bilangan bulat nonnegatif terkecil k yang memenuhi
( ) ( )⊕ =k kR NA A n disebut indeks dari . A
Akibat 2.6 Indeks dari matriks adalah bilangan bulat bulat nonnegatif
terkecil , maka pernyataan berikut ini benar.
A
k
(a). ( ) ( )1+=k kR RA A
(b). ( ) ( )1+=k kN NA A
Indeks matriks ini erat kaitannya mengenai matriks nilpoten. Suatu matriks
disebut nilpoten jika ×n nN 0=kN untuk suatu bilangan bulat positif. k
( )Indeks = kN adalah bilangan bulat terkecil sehingga . ini 0=kN ( )Indeks N
Teori Perron-Frobenius untuk Matriks Stokastik Madona Yunita (10103035)
10
BAB II : LANDASAN TEORI
biasa disebut dengan indeks nilpotensi. Sebagai contoh, matriks
jika dipangkatkan maka akan diperoleh dan .
Jadi, Matriks N adalah matriks nilpoten dengan
0 1 00 0 10 0 0
⎛ ⎞⎜ ⎟= ⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠
N
2
0 0 10 0 00 0 0
⎛ ⎞⎜ ⎟= ⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠
N 3
0 0 00 0 00 0 0
⎛ ⎞⎜ ⎟= ⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠
N
( )indeks 3=N karena 3 0=N ,
tetapi . 2 0≠N
2.4 Dekomposisi Core-Nilpotent
Dengan teori dasar mengenai subruang invarian yang telah dibahas pada
Subbab 2.1, berikut ini adalah teorema yang menjelaskan mengenai salah satu
subruang yang invarian terhadap . Teorema ini akan digunakan untuk
pembuktian teorema selanjutnya mengenai dekomposisi core-nilpotent yang
diberikan pada Teorema 2.8.
A
Teorema 2.7 Misalkan ( )indeks=k A , maka ( )kR A dan adalah
subruang invarian terhadap .
( kN A )A
Bukti. ( invarian terhadap karena A ( )( ) ( ) (1+= =k kR R RA A A A)kR A )k
)
dan
invarian terhadap karena ( kN A A
( )( ) ( ) ( )( )
( )( ) ( )
1
1 1
x x untuk suatu
x 0 x
.
+
+ +
∈ ⇒ = ∈ =
⇒ = = ⇒ ∈
⇒ ⊆
k k
k k k
k k
N w w N
w N
N N
A A A A A
A A A
A A A
kN
Teorema 2.8 Jika ×n nA adalah matriks singular dengan indeks dimana k
( )rank =k rA , maka terdapat matriks nonsingular Q sehingga
Teori Perron-Frobenius untuk Matriks Stokastik Madona Yunita (10103035)
11
BAB II : LANDASAN TEORI
1 ×− ⎡ ⎤= ⎢ ⎥⎣ ⎦
r rC 0Q AQ
0 N
dimana adalah matriks nonsingular dan adalah matriks nilpoten
dengan indeks k . Dengan kata lain, serupa dengan matriks blok diagonal
yang memuat matriks nonsingular core dan matriks nilpoten. Matriks blok
diagonal tersebut dinamakan dekomposisi core-nilpotent dari .
×r rC N
A
2 2×
A
Bukti. Misal ( )|=Q X Y dimana kolom dari ×n rX dan × −n n rY merupakan basis
dari ( )kR A dan . Karena ( kN A ) ( )kR A dan ( )kN A merupakan subruang
invarian terhadap berdasarkan Teorema 2.7, maka dari Akibat 2.3, kita
peroleh bentuk
A
[ ]1 ×− ⎡ ⎤= = ⎢ ⎥
⎣ ⎦r r
B
C 0Q AQ A
0 N dengan dan
.
/ ( )⎡= ⎣ kR XA
C A ⎤⎦
/ ( )⎡ ⎤= ⎣ ⎦kN YA
N A
Untuk menunjukkan bahwa nilpoten, misalkan N 1− ⎛ ⎞= ⎜ ⎟⎝ ⎠
UQV
, dan tulis
( )1 |−⎡ ⎤ ⎡⎛ ⎞= = =⎢ ⎥ ⎢⎜ ⎟⎝ ⎠⎣ ⎦ ⎣
k kk k
k k
C 0 UA X 0UQ A Q A X YV0 N VA X 0
⎤⎥⎦
.
Akibatnya, dan 0=kN 1− ⎡ ⎤= ⎢ ⎥⎣ ⎦
kk C 0
Q A Q0 0
. Karena berukuran dan kC r r×
( ) ( ) ( )1rank rank rank−= = =k kr A Q A Q kC . Hal ini menunjukkan bahwa
nonsingular akibatnya C juga nonsingular.
kC
Teorema 2.9 Misal ×n nA mempunyai indeks dengan k ( )rank =k rA .
Misalkan pula 1 ×− ⎡ ⎤= ⎢ ⎥⎣ ⎦
r rC 0Q AQ
0 N dengan ( )|×= n rQ X Y dan 1− ×⎛ ⎞= ⎜ ⎟
⎝ ⎠n rUQ
V
adalah dekomosisi core-nilpotent, maka
Teori Perron-Frobenius untuk Matriks Stokastik Madona Yunita (10103035)
12
BAB II : LANDASAN TEORI
(a). adalah proyektor pada 1−⎡ ⎤=⎢ ⎥
⎣ ⎦rI 0
Q Q0 0
XU ( )kR A sepanjang
. ( )kN A
(b). adalah proyektor pada sepanjang 1−
−
⎡ ⎤=⎢ ⎥
⎣ ⎦n r
0 0Q Q
0 IYV )( kN A
( )kR A .
Bukti. Karena ( )kR A dan ( )kN A adalah subruang komplememter dan karena
kolom dan masing-masing merupakan basis untuk subruang X Y ( )kR A dan
, maka berdasarkan Teorema 2.4(c) diperoleh
merupakan proyektor pada
( kN A )
=[ ] [ ] 1 1| | − −⎛ ⎞ ⎛ ⎞= =⎜ ⎟ ⎜ ⎟
⎝ ⎠ ⎝ ⎠rI 0 I 0
P X Y X Y Q Q XU0 0 0 0
( )kR A sepanjang ( )kN A . Selanjutnya,
merupakan proyektor
pada sepanjang
[ ] [ ] 1 1| | − −
−
⎛ ⎞⎛ ⎞− = = =⎜ ⎟⎜ ⎟
⎝ ⎠ ⎝ ⎠n r
0 00 0I P X Y X Y Q Q YV
0 I0 I
( kN A ) ( )kR A .
2.5 Norm dari Vektor dan Matriks
Ukuran panjang dari suatu vektor disebut dengan norm. Untuk dimensi n , kita
definsikan norm- dari suatu vektor pada Definisi 2.10 berikut ini. p
Definisi 2.10 Untuk , norm- dari vektor 1≥p p x∈ n didefinisikan dengan
( )1/
1x
== ∑
pn pip i
x
Untuk , kita mengenalnya dengan istilah Euclidean norm di . 2=p n
Teori Perron-Frobenius untuk Matriks Stokastik Madona Yunita (10103035)
13
BAB II : LANDASAN TEORI
Pada teorema berikut ini, kita akan melihat pembutikan dari Pertidaksamaan
Cauchy-Bunyakovskii-Schwarz (CBS) untuk kondisi dimana hanya persamaan
yang muncul dalam CBS tersebut (Teorema 2.11). Hal ini dibutuhkan karena
mendukung Teorema 2.12 yang akan bermanfaat dalam pembuktian salah satu
teorema di Bab III. CBS ini melibatkan hasil kali dalam dan norm.
Teorema 2.11 Misalkan , x, y Cn∈ x 0≠ , x,y x y= jika dan hanya jika
dimana y a= xx, yx, x
a = .
Bukti. Jika maka y a= x 2x,y x x ya= = . Sebaliknya, jika
x,y x y= maka
2 22 2
2 2
2
2
x y x,y 0, karena x,y y,x x,y maka
x y x,y y,x x,y0 y,y y,x ,dengan
x,xx
y, x y x, x y x y, x y x y
− = =
−= = −
= − − + − = − − = −
a a
a a a a a a
=
maka x y 0 y xa a− = ⇒ =
Teorema 2.12 Misalkan , vektor tak nol, x, y Cn∈ x y x y+ = + jika dan
hanya jika atau y a= x yx a= , untuk suatu . 0a >
Bukti. ( Misalkan , )⇒ x, y Cn∈
( ) ( )
( )
2 2
x y x y
x y x y
x x,y y,x y x 2 x y y
x 2Re x,y y x 2 x y y
+ = +
+ = +
+ + + = + +
+ + = + +
Teori Perron-Frobenius untuk Matriks Stokastik Madona Yunita (10103035)
14
BAB II : LANDASAN TEORI
maka, ( )Re x,y x y= . Kita tahu bahwa ( )Re x,y x,y≤ , maka
( )x y Re x,y x,y x y= ≤ ≤ , maka x,y x y= . Dari Teorema 2.14
kita peroleh jika x,y x y= , maka y ax= , dimana x, yx, x
a = .
Selanjutnya, cukup dibuktikan bahwa bilangan real positif. Dengan
mensubtitusikan kedalam persamaan
a
y a= x x y x y+ = + , maka
( )( )( )
( )( )
22
2
1 1
1 1
1 1 1 2
1 2Re 1 2
Re
a a
a a
a a a a
a aa a aa
a a
+ = +
+ = +
+ + = + +
+ + = + +
=
Jadi, adalah bilangan real dan a ( )Re 0a a a= = ≥ . Karena dan y a= x y 0≠
maka akibatnya . 0a ≠ 0a >
( )⇐ Misal , maka y a= x
x y x x (1 )x (1 ) x , karena 0 maka
1 x x
x x
x y
a a a a
a
a
+ = + = + = + >
= +
= +
= +
Secara umum, misalkan , vektor tak nol, 1 2 px , x ,...., x C∈ n
1 1
x x= =
=∑ ∑p p
i ii i
jika
dan hanya jika untuk suatu { }1,2,....,∈i s x xπ=j j i dengan dan ≠i j 0π >j
untuk 1, 2,....,=j s .
Teori Perron-Frobenius untuk Matriks Stokastik Madona Yunita (10103035)
15
BAB II : LANDASAN TEORI
Definsi 2.13 Unit p-sphere didefinisikan sebagai { }x / x 1p pS = = , untuk
. 1, 2,p = ∞
Sebagai contoh, unit 31-,2-, dan - di∞ ℜsphere adalah oktahedron, bola, dan
kubus secara berturut-turut. Kita bisa perhatikan bahwa oktahedron akan
termuat didalam bola dan kedua-duanya akan termuat didalam kubus.
Setelah kita mengenal norm vektor, selanjutnya kita akan membahas mengenai
norm matriks. Norm matriks ini digunakan untuk membantu dalam pembuktian
beberapa teorema di Bab III. Misalkan 2 1
4 2−⎡ ⎤
= ⎢ ⎥−⎣ ⎦A . Dengan menguraikan
elemen dari menjadi empat elemen dari suatu vektor, norm Euclidean pada
, maka kita bisa menuliskan
A4
( ) ( )1/ 22 22 22 1 4 2⎡ ⎤ 5= − + + + − =⎣ ⎦A .
Ini merupakan salah satu cara sederhana untuk mendefinisikan norm matriks
dan hal ini biasa disebut dengan norm Frobenius. Norm Frobenius dari matriks
ini didefinisikan oleh ×∈ m nA2
,=∑ ij
i jA a . Secara umum, norm matriks
merupakan suatu fungsi yang memenuhi sifat-sifat seperti yang ada pada
definisi berikut ini.
Definsi 2.14 Norm matriks adalah suatu fungsi ∗ dari himpunan matriks
kompleks ke bilangan real yang memenuhi sifat-sifat berikut ini.
(a). 0 0≥ = ⇔danA A 0=A
(b). untuk setiap konstanta α α α=A A
(c). + ≤ +A B A B
(d). ≤AB A B
Teori Perron-Frobenius untuk Matriks Stokastik Madona Yunita (10103035)
16
BAB II : LANDASAN TEORI
Norm Frobenius memenuhi Definisi 2.14 diatas. Selain itu, kita bisa
mendefinisikan norm matriks selain norm Frobenius dengan cara norm matriks
tersebut dibangkitkan (induced) dari vektor seperti pada teorema berikut ini.
Teorema 2.15 Vektor x∈ p , ,=p m n membangkitkan norm matriks pada
dengan mendefinisikan ×m n
x 1max x
==A A , untuk ×∈ m nA dan 1x ×∈ n .
Hal ini dikenal dengan norm matriks induced.
Bukti. Karena x 1
max x=
A memenuhi Definisi 2.14, maka x 1
max x=
A adalah
norm matriks dari . A
Toerema 2.16 Norm matriks yang dibangkitkan dari vektor norm-1 dan norm-
didefinisikan sebagai berikut. ∞
(a). 1
1 1x 1max x max
== = =∑ ijj i
a nilai absolut jumlah kolom terbesarA A .
(b). x 1max x max
∞∞ ∞== = =∑ ijj i
a nilai absolut jumlah baris terbesarA A .
Bukti (a) . Untuk setiap dengan x1
x 1= , pertidaksamaan segitiga
menghasilkan
1x x
maks maks .
∗= = ≤ =
⎛ ⎞⎛ ⎞≤ =⎜ ⎟⎜ ⎟
⎝ ⎠⎝ ⎠
∑ ∑∑ ∑∑ ∑ ∑
∑ ∑ ∑
i ij j ij j j iji i j i j j i
j ij ijj jj i i
a x a x x a
x a a
A A
Teori Perron-Frobenius untuk Matriks Stokastik Madona Yunita (10103035)
17
BAB II : LANDASAN TEORI
Bentuk persamaan diatas dapat diperoleh karena jika ∗kA adalah kolom dengan
jumlah absolut terbesar, tulis x = ke dan perhatikan bahwa 1
1=ke dan
1 1maks∗= = ∑k k j i
e aA A ij .
Bukti (b). Untuk setiap dengan x x 1∞= ,
i ix maks maks maks
∞= ≤ ≤∑ ∑ ∑ij j ij j ijij j
a x a x aAj
.
Bentuk persamaan diatas dapat diperoleh karena jika ∗kA adalah baris dengan
jumlah absolut terbesar dan jika adalah vektor dimana x
x , untuk setiap 1, jika 0 maka
1, jika 0 x maks
∗
∗
⎧ = ≤≥⎧ ⎪= ⎨ ⎨− <⎩ = =⎪⎩
∑ ∑∑ ∑
i ij j ijj jkjj
kjk kj i ijj j
a x a iax
a a a
A
A,
maka x∞=1 dan x maks x maks∗∞
= = ∑i i i ijjaA A .
2.6 Properti dari Nilai Karakteristik
Misalkan 1 2 3, , ,..., sλ λ λ λ adalah nilai-nilai karakteristik yang berbeda dari
sebarang matriks . Himpunan nxnA { }1 2 3( ) , , ,...,σ λ λ λ λ= sA disebut spektrum
dari , yaitu himpunan semua nilai karakteristik dari . Selain itu, kita
mengenal istilah yang disebut dengan spectral radius
A A
( )( )ρ A dari matriks ,
yaitu
A
(1
( ) max )ρ λ≤ ≤
= ii sA . Spectral radius ini merupakan lingkaran terkecil dalam
bidang kompleks yang memuat semua nilai karakteristik dari matriks . A
Misalkan , maka kita mempunyai beberapa istilah lain seperti nilai
karakteristik simple dan nilai karakteristik semisimple. Jika
( )λ σ∈ A
( )ma 1λ = maka λ
disebut dengan nilai karateristik simple. Nilai karakteristik yang memenuhi
Teori Perron-Frobenius untuk Matriks Stokastik Madona Yunita (10103035)
18
BAB II : LANDASAN TEORI
( ) ( )λ λ=ma mg disebut dengan nilai karateristik semisimple. Selanjutnya,
berikut ini diberikan definisi indeks dari suatu nilai karakteristik.
Definisi 2.17 Indeks nilai karakteristik λ dari matriks ∈ nxnA didefinisikan
sebagai indeks dari matriks ( )λ−A I yang memenuhi sifat pada Akibat 2.6.
Dengan kata lain, ( )λindeks adalah bilangan asli terkecil sehingga
pernyataan berikut ekivalen.
k
(a). ( )( ) ( )( )1λ λ +− = −k kR RA I A I
(b). ( )( ) ( )( )1λ λ +− = −k kN NA I A I
Teorema 2.18 Misalkan ∈ nxnA , maka ( )ρ ≤A A , untuk setiap norm
matriks.
Bukti. Misalkan adalah sebarang pasangan karakteristik dari maka ( , xλ ) A
[ ]x | x | ..... | x 0=nxn
X ≠ dan λ =X AX mengakibatkan
λ λ= = ≤X X AX A X . Jadi λ ≤ A untuk setiap , artinya ( )λ σ∈ A
( )ρ ≤A A .
Teorema 2.19 Misalkan ∈ nxnA , maka untuk setiap norm matriks berlaku
( ) 1limρ→∞
=kk
kA A .
Bukti. Perhatikan bahwa ( ) ( )ρ ρ= ≤k kA A Ak (berdasarkan Teorema 2.18).
Kita peroleh ( ) 1ρ ≤
kkA A . Sekarang perhatikan bahwa
untuk setiap
( )( )( )/ 1ρ ρ ε+ <A A
0ε > maka
Teori Perron-Frobenius untuk Matriks Stokastik Madona Yunita (10103035)
19
BAB II : LANDASAN TEORI
( ) ( )( )lim 0 lim 0
ρ ε ρ ε→∞ →∞
⎛ ⎞= ⇒ =⎜ ⎟⎜ ⎟+ +⎝ ⎠
k k
kk k
AAA A
.
Akibatnya terdapat bilangan bulat positif sehingga N ( )( )/ 1ρ ε+ <kkA A
untuk setiap , maka k N≥ ( )( )1/ρ ε< +
kkA A untuk setiap k dan N≥
( ) ( )1/ρ ρ≤ <
kkA A A ε+ untuk . Karena pertidaksamaan ini berlaku
untuk setiap
k N≥
0ε > , maka ( )1lim ρ→∞
=kk
kA A .
Teorema 2.20 Misalkan ×∈ n nA dan misalkan A menyatakan matriks
dengan elemennya adalah ija . Untuk matriks , ×∈ n nB C , definisikan ≤B C ,
yaitu untuk setiap i dan . Jika <ij ijb c j ≤A B maka ( ) ( ) ( )ρ ρ ρ≤ ≤A A B .
Bukti. Ketaksamaan segitiga memberikan ≤ kkA A untuk setiap bilangan
bulat positif. Selanjutnya,
k
≤A B mengakibatkan ≤k kA B . Dengan
menggunakan Teorema 2.19, maka
( ) ( ) ( )
1/1/ 1/
1/ 1/1/lim lim lim
ρ ρ ρ
∞ ∞∞
∞ ∞ ∞
∞ ∞∞ ∞
→∞ →∞ →∞
= ≤ ≤
⇒ ≤ ≤
⇒ ≤ ≤
⇒ ≤ ≤
kk k k
kk kkk k
k kk k kk
k k k
A A A B
A A B
A A A
A A B
2.7 Matriks Jordan
Bentuk Jordan dari ∈ nxnA diperoleh dengan menggunakan dekomposisi
core-nilpotent yang akan diuraikan berikut ini. Misalkan, ( )1λ σ∈ A dan
, maka terdapat matriks nonsingular sehingga ( )1indeks λ = k1 1X
Teori Perron-Frobenius untuk Matriks Stokastik Madona Yunita (10103035)
20
BAB II : LANDASAN TEORI
( )1
111 1
1
λ− ⎛ ⎞− = ⎜ ⎟
⎝ ⎠
L 0X A I X
0 C, (2.3)
dimana adalah matriks nilpoten dengan indeks dan adalah matriks
nonsingular. Hal ini tidak menjadi masalah andaikan pada blok diagonal
pertama adalah ataupun pada (2.3). Untuk kasus ini, kita posisikan blok
nilpoten berada pada pada blok diagonal pertama. Berdasarkan hasil dari
matriks nilpoten maka terdapat matriks nonsingular sehingga
1L 1k 1C
1L 1C
1Y
( )( )
( )1
1
1 1
2 111 1
1
0 00 0
0 0
λλ
λ
−
⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟= ⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠
……
… t
NN
Y L Y
N
yang merupakan matriks blok diagonal yang memiliki sifat-sifat sebagai
berikut.
(a). Setiap blok di ( )1 1λN mempunyai bentuk . ( )1
0 1
10
λ∗
⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥=⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦
N
(b). Terdapat ( ) ( )( )1 1dim dim λ= = −t NL A 1I buah blok pada ( )1 1λN .
(c). Banyaknya blok berukuran ×i i dengan bentuk ( )1λ∗N dalam ( )1 1λN
adalah ( ) ( ) ( ) ( )1 1 1 1 12 1λ λ λ−= − +i i i iv r r r λ+
⎟
dimana
. ( ) ( )( )1 1λ λ= − iir rank A I
Selanjutnya, adalah matriks nonsingular dan 11 1
⎛ ⎞= ⎜
⎝ ⎠
Y 0Q X
0 I
( ) ( )111 1 1
1
λλ− ⎛ ⎞
− = ⎜⎝ ⎠
NQ A I Q
0 C ⎟0
atau ekivalen dengan
Teori Perron-Frobenius untuk Matriks Stokastik Madona Yunita (10103035)
21
BAB II : LANDASAN TEORI
( ) ( )1 1 111 1
1 1 1
λ λ λλ
− +⎛ ⎞ ⎛= =⎜ ⎟ ⎜+⎝ ⎠ ⎝
AN I 0 J
Q Q0 C I 0 A
⎞⎟⎠
0
1
. (2.4)
Matriks ( ) ( )1 1λ λ λ= +J N I pada (2.4) mempunyai bentuk blok diagonal
( )
( )( )
( )1
1 1
2 11
1
0 00 0
0 0
λλ
λ
λ
⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟= ⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠
……
… t
JJ
J
J
dengan ( ) ( )1 1 1λ λ λ∗ ∗= +J N I .
Matriks ( )1λJ disebut dengan segmen Jordan yang berkorespondensi dengan
nilai karakteristik 1λ dan setiap blok ( )1λ∗J yang termuat di ( )1λJ disebut
dengan blok Jordan yang berkorespondensi dengan nilai karakteristik 1λ .
Struktur segmen Jordan ini diturunkan dari struktur Jordan yang
berkorespondensi dengan matriks nilpoten . 1L
Setiap blok Jordan mempunyai bentuk
( ) ( )
1
1 1 1
1
1
1
λ
λ λ λ
λ
∗ ∗
⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟= + =⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠
J N I .
Terdapat ( ) ( )( )1 1dim dim λ= = −t NL A 1I buah blok Jordan pada segmen
( )1λJ . Banyaknya blok Jordan ( )1λ∗J berukuran ×i i dalam ( )1λJ adalah
( ) ( ) ( ) ( )1 1 1 1 12 1λ λ λ− += − +i i i iv r r r λ dimana ( ) ( )( )1 1λ λ= − iir rank A I .
Nilai karakteristik yang berbeda untuk adalah A ( ) { }1 2, ,....,σ λ λ λ= sA , maka
nilai karakteristik yang berbeda untuk 1λ−A I adalah