4 BAB II KAJIAN TEORI Analisis kekonvergenan pada barisan fungsi, apakah barisan fungsi itu? Apakah berbeda dengan barisan pada umumnya? Tentunya sebelum membahas mengenai barisan fungsi, apa saja jenis kekonvergenannya, dan bagaimana sifat-sifat dari barisan fungsi yang konvergen, terlebih dahulu harus memahami hal yang berkaitan dengan barisan fungsi seperti barisan, jenis-jenis fungsi, dan tentunya materi-materi yang akan mendukung untuk memahami sifat-sifat dari barisan fungsi. Pada bab ini akan diuraikan materi- materi berupa definisi dan teorema yang akan dijadikan sebagai acuan untuk membahas mengenai barisan fungsi, antara lain himpunan terbatas, supremum infimum, sifat Archimedes, barisan, fungsi kontinu, diferensial, partisi dan integral Riemann. A. Himpunan Terbatas, Supremum Infimum dan Sifat Archimedes Sebelum membahas mengenai barisan ada beberapa materi yang harus dipahami dan nantinya akan mempermudah dalam memahami barisan, diantaranya mengenai himpunan terbatas, supremum infimum dan sifat Archimedes (Archimedean properties). Di bawah ini terdapat definisi yang disampaikan oleh ahli mengenai himpunan terbatas, supremum infimum dan sifat Archimedes.
24
Embed
BAB II KAJIAN TEORI - eprints.uny.ac.ideprints.uny.ac.id/44989/2/BAB II.pdf · C. Kekontinuan Fungsi ... terlebih dahulu mengenai cluster point dan limit dari suatu fungsi. Di ...
This document is posted to help you gain knowledge. Please leave a comment to let me know what you think about it! Share it to your friends and learn new things together.
Transcript
4
BAB II
KAJIAN TEORI
Analisis kekonvergenan pada barisan fungsi, apakah barisan fungsi itu?
Apakah berbeda dengan barisan pada umumnya? Tentunya sebelum
membahas mengenai barisan fungsi, apa saja jenis kekonvergenannya, dan
bagaimana sifat-sifat dari barisan fungsi yang konvergen, terlebih dahulu
harus memahami hal yang berkaitan dengan barisan fungsi seperti barisan,
jenis-jenis fungsi, dan tentunya materi-materi yang akan mendukung untuk
memahami sifat-sifat dari barisan fungsi. Pada bab ini akan diuraikan materi-
materi berupa definisi dan teorema yang akan dijadikan sebagai acuan untuk
membahas mengenai barisan fungsi, antara lain himpunan terbatas, supremum
infimum, sifat Archimedes, barisan, fungsi kontinu, diferensial, partisi dan
integral Riemann.
A. Himpunan Terbatas, Supremum Infimum dan Sifat Archimedes
Sebelum membahas mengenai barisan ada beberapa materi yang harus
dipahami dan nantinya akan mempermudah dalam memahami barisan,
diantaranya mengenai himpunan terbatas, supremum infimum dan sifat
Archimedes (Archimedean properties). Di bawah ini terdapat definisi yang
disampaikan oleh ahli mengenai himpunan terbatas, supremum infimum dan
sifat Archimedes.
5
1. Himpunan Terbatas
Definisi 2.1: (Bartle & Sherbert, 2000: 35)
Andaikan suatu himpunan tak kosong subset dari .
1) dikatakan terbatas atas jika ada bilangan sedemikian
sehingga untuk setiap . Bilangan disebut juga
sebagai batas atas dari
2) dikatakan terbatas bawah jika ada bilangan sedemikian
sehingga untuk setiap . Bilangan disebut juga
sebagai batas bawah dari
3) dikatakan terbatas jika terbatas atas dan terbatas bawah.
Untuk lebih mudah memahami diberikan contoh,
Contoh 2.1 :
misalkan himpunan {
}.
{
}
Nilai maksimum dari adalah , untuk sebarang bilangan riil maka
ada bilangan yang lebih besar dari . Jadi, terbatas atas. Nilai
minimum dari tidak dapat didefinisikan karena nilai
merupakan himpunan semua bilangan asli, akan tetapi nilai
himpunan tersebut akan selalu lebih besar dari bilangan (
). Hal ini menyebabkan memiliki batas bawah, maka
terbatas bawah. Jadi, merupakan himpunan yang terbatas.
6
2. Supermum dan Infimum
Misal adalah himpunan tak kosong subset dari
1) Supremum
Definisi 2.2 : (Bartle & Sherbert, 2000: 35)
Andaikan merupakan himpunan tak kosong yang terbatas atas,
maka bilangan dikatakan sebagai supremum (batas atas terkecil)
dari , jika memenuhi :
i. adalah batas atas dari , dan
ii. Jika adalah batas atas yang lainnya dari , maka .
Nilai supremum dari suatu himpunan biasanya dinotasikan
dengan .
2) Infimum
Definisi 2.3 : (Bartle & Sherbert, 2000: 36)
Andaikan merupakan himpunan tak kosong yang terbatas bawah,
maka bilangan dikatakan sebagai infimum (batas bawah
terbesar) dari , jika memenuhi :
i. adalah batas bawah dari , dan
ii. Jika adalah batas bawah yang lainnya dari , maka .
Nilai infimum dari suatu himpunan biasanya dinotasikan dengan
.
7
Contoh 2.2 :
Misalkan {
}. Nilai minimum dari himpunan tersebut
adalah dan ada bilangan riil yang lebih kecil dari maka himpunan
memiliki batas bawah. Bilangan 0 merupakan batas bawah karena
untuk semua elemen himpunan tidak ada yang lebih kecil dari .
Bilangan juga batas bawah terbesar dari himpunan tersebut karena
untuk batas bawah yang lainnya lebih kecil dari atau dengan kata
lain . Himpunan tidak memiliki nilai maksimum akan tetapi
himpunan memiliki batas atas karena nilai dari anggota himpunan
kurang dari atau dengan kata lain bilangan merupakan batas atas
dari himpunan . Bilangan juga merupakan batas atas terkecil dari
himpunan , hal ini terlihat dari tidak ada bilangan riil yang lebih kecil
dari yang merupakan batas atas dari himpunan dan bukan anggota
dari himpunan Atau dengan kata lain .
3. Sifat Archimedes
Sifat Archimedes (Archimedean Property) digunakan untuk
menunjukkan bahwa himpunan bilangan asli tidak terbatas atas pada
himpunan bilangan riil . Atau dengan kata lain untuk setiap bilangan
riil ada bilangan asli (yang bergantung pada ), sedemikian
sehingga . Di bawah ini akan dijelaskan mengenai sifat
Archimedes dan akibatnya.
8
Sifat Archimedes. (Bartle & Sherbert, 2000; 40)
Jika , maka ada sedemikian sehingga .
Bukti
Andai pernyataan di atas bernilai salah maka untuk semua
. Hal tersebut juga mengatakan bahwa merupakan batas atas
dari . merupakan himpunan tak kosong mempunyai suatu
supremum yaitu . merupakan supremum dari , dengan
megurangkan nilai dengan 1 maka selalu lebih kecil dari .
bukan batas atas dari , maka ada dengan .
Tambahkan kedua ruas dengan , didapatkan , karena
maka bukan batas atas dari . Faktanya merupakan
supremum dari , terjadi kotradiksi maka pengandaian harus
dinegasikan. Terbukti Jika , maka ada sedemikan
sehingga .
Akibat 2.4 : (Bartle & Sherbert, 2000: 40)
Jika {
}, maka .
Bukti
merupakan himpunan tak kosong dan terbatas bawah oleh ,
himpunan memiliki infimum dan misal , maka . Sifat
Archimedes mengatakan, untuk setiap maka ada
9
sedemikian sehingga
atau dengan kata lain
. Dari
pernyataan-pernyataan tersebut diperoleh
Nilai yang memenuhi adalah .
Akibat 2.5 : (Bartle & Sherbert, 2000: 40)
Jika , maka ada sedemikian sehingga
.
Bukti
Nilai dari {
} dan , maka bukan batas bawah
dari himpunan tersebut. Maka ada sedemikian sehingga
B. Barisan
Barisan fungsi, kata pertama dari kata benda tersebut adalah barisan.
Tentunya sebelum mengenal barisan fungsi terlebih dahulu harus
mengenal barisan. Apa itu barisan? Untuk memudahkan pemahaman
mengenai barisan, di bawah ini terdapat definisi dari beberapa ahli
mengenai barisan
Definisi 2.6 : (Bartle & Sherbert, 2000: 53)
Barisan bilangan riil (barisan pada ) adalah fungsi yang
didefinisikan pada himpunan bilangan asli { } dimana range
termuat dalam himpunan bilangan riil .
10
Jika adalah barisan, nilai dari pada dinotasikan dengan
. Nilai disebut dengan elemen dari barisan. Suatu barisan dinotasikan
dengan { }, dengan adalah bilangan ke- dari { } dan dituliskan
. Contoh sederhana dari barisan bilangan riil adalah
{ } {
} {
}.
Telah dijelaskan pada bagian di atas mengenai suatu barisan, selain
itu barisan juga memiliki sifat-sifat, tentunya perlu dipahami juga karakter
dari suatu barisan jika kita ingin mengenal barisan fungsi. Apakah barisan
tersebut konvergen atau divergen? Apa itu barisan monoton dan
subbarisan? Ada beberapa definisi yang telah dijelaskan oleh para ahli
mengenai hal tersebut, diantaranya sebagai berikut.
1. Barisan Konvergen
Definisi 2.7: (Bartle & Sherbert, 2000: 54)
Barisan { } pada kovergen ke atau merupakan
limit dari { }, jika untuk setiap terdapat suatu bilangan asli
sedemikian sehingga untuk semua , memenuhi .
Jika nilai limit barisan untuk ( ), maka
barisan tersebut konvergen dan sebaliknya jika barisan tidak
mempunyai limit, maka barisan tersebut divergen.
Contoh 2.3 :
Suatu barisan bilangan riil dengan rumus { } {
}. Barisan
{ } {
} konvergen menuju , karena jika diberikan ada
11
sedemikian sehingga untuk semua nilai |
|
.
2. Barisan Divergen
Definisi 2.8 : (Kosmala, 2004 : 81)
Suatu barisan { } divergen ke jika dan hanya jika untuk
sebarang , ada sedemikian sehingga untuk
semua . Atau dapat dituliskan . Misal { }
suatu barisan dengan rumus { } {
}, menurut sifat Archimedes
untuk sebarang , ada sedemikian sehingga ,
sedangkan nilai
maka nilai
untuk semua
yang artinya barisan { } divergen.
Teorema 2.9 : (Kosmala, 2004 : 83)
Misal { } adalah sebuah barisan, dengan . Barisan { }
divergen ke jika dan hanya jika barisan {
} konvergen ke .
Bukti :
1) Misal { } adalah sebuah barisan, dengan . Jika { }
divergen ke maka barisan {
} konvergen ke
{ } divergen ke jika dan hanya jika untuk setiap , ada
sedemikian sehingga untuk semua . Ambil
sebarang
. Barisan { } divergen ke maka
12
|
| |
|
|
|
Terbukti {
} konvergen ke .
2) Misal { } adalah sebuah barisan, dengan . Jika barisan
{
} konvergen ke maka { } divergen ke .
Barisan {
} konvergen ke , jika diberikan ada
sedemikian sehingga untuk semua berlaku
|
|
Nilai
, dimana
untuk semua maka divergen
ke .
Teorema 2.10 : (Kosmala, 2004 : 82)
Jika suatu barisan { } divergen ke dan untuk semua
, maka barisan { } sudah pasti divergen ke .
13
Bukti
Andai { } konvergen ke maka , untuk semua .
Nilai untuk semua , artinya { } konvergen
menuju . Terjadi kontradiksi maka pengandaian harus dinegasikan,
yaitu { } divergen menuju .
3. Subbarisan
Definisi 2.11 : (Bartle & Sherbert, 2000: 75 )
Misal { } adalah barisan bilangan riil dan
adalah barisan bilangan asli yang naik tegas. { } dimana
{
}
Maka dikatakan sebagai subbarisan dari . Contoh subbarisan dari
barisan ,
{
}
Pilih untuk bernilai genap, maka didapat barisan baru
{
}
Barisan merupakan subbarisan dari , dimana , ,
.
14
Teorema 2.12 : (Bartle & Sherbert, 2000: 76)
Jika barisan bilangan real { } konvergen ke bilangan real maka
setiap subbarisan { } dari juga konvergen ke
Bukti
Jika diberikan maka ada sedemikian sehingga jika
maka . Karena adalah
barisan naik dari bilangan asli maka . Di samping itu, jika
maka kita juga mempunyai maka | | .
Atau dengan kata lain subbarisan { } konvergen ke .
Teorema 2.13 : (Bartle & Sherbert, 2000: 76)
Jika { } merupakan barisan bilangan real. Pernyataan-
pernyataan berikut saling ekuivalen
(i) Barisan { } tidak konvergen ke
(ii) Ada suatu sedemikian sehingga untuk setiap , ada
sedemikian sehingga dan | |
(iii) Ada dan suatu subbarisan { } dari sedemikian
sehingga | |
Bukti
(i) (ii) Jika { } tidak konvergen ke , maka untuk beberapa
tidak memungkinkan ditemukan suatu bilangan asli sedemikian
15
sehingga untuk semua syarat memenuhi . Oleh
karena itu, untuk setiap tidak benar untuk semua
pertidaksamaan terpenuhi. Atau dengan kata lain, untuk
setiap ada bilangan asli sedemikian sehingga |
| .
(ii) (iii) Diberikan seperti pada kondisi (ii) dan diberikan
sedemikian sehingga dan | | . Kemudian diberikan
sedemikian sehingga dan | | . Dengan
cara yang sama didapatkan subbarisan { } dari sedemikian
sehingga | | untuk semua .
(iii) (i) Jika { } memiliki subbarisan { } memenuhi
kondisi poin (iii). Maka tidak dapat konvergen ke , menurut
teorema 2.12 Jika konvergen menuju maka subbarisan juga
konvergen menuju Hal ini tidak mungkin terjadi, karena tidak ada
kondisi yang memenuhi.
4. Barisan Cauchy
Definisi 2.14 : (Bartle & Sherbert, 2000: 81)
Suatu barisan bilangan riil disebut Barisan Cauchy jika untuk setiap
ada bilangan asli sedemikian sehingga untuk semua bilangan
asli maka kondisi memenuhi .
16
Contoh 2.14 :
Suatu barisan { } {
}. Jika diberikan
, menurut sifat
archimedes maka ada bilangan asli
sedemikian sehingga untuk
kita mempunyai
dan
. Maka untuk nilai
diperoleh
|
|
Terbukti {
} merupakan barisan Cauchy
C. Kekontinuan Fungsi
Fungsi kontinu merupakan suatu konsep yang akan sering digunakan
dalam bahasan kita selanjutnya, baik dalam diferensial, integral maupun
dalam mengidentifikasi sifat-sifat dari barisan fungsi. Oleh karena itu, kita
perlu memahami apa yang dimaksud kekontinuan dari suatu fungsi. Akan
tetapi sebelum membicarakan mengenai fungsi kontinu, akan dikenalkan
terlebih dahulu mengenai cluster point dan limit dari suatu fungsi. Di
bawah ini terdapat definisi dari ahli mengenai cluster point, limit fungsi
dan fungsi kontinu.
Definisi 2.15 : (Bartle & Sherbert, 2000: 97)
Misalkan . Titik adalah cluster point dari jika untuk
setiap ada sedikitnya satu titik , sedemikian sehingga
.
17
Definisi 2.16 : (Bartle & Sherbert, 2000: 98)
Misalkan , dan merupakan cluster point dari . Untuk suatu
fungsi , suatu bilangan riil dikatakan limit dari fungsi di ,
jika diberikan ada sedemikian sehingga jika dan
, maka .
Definisi 2.17 : (Bartle & Sherbert, 2000: 120)
Misalkan , dan . Fungsi kontinu pada jika
diberikan sebarang , ada sedemikian sehingga jika adalah
sembarang titik pada yang memenuhi , maka
. Kondisi tersebut mirip dengan definisi limit (definisi 2.16)
sedemikian sehingga fungsi kontinu dapat didefinisikan merupakan
fungsi kontinu di jika dan hanya jika
. Jika
fungsi tidak kontinu pada , maka diskontinu pada .
Contoh 2.5 :
Misalkan suatu fungsi dengan rumus pada . Jika diberikan
ada sedemikian sehingga jika , maka
dan kita pilih sedemikian sehingga . Fungsi
kontinu pada ,
D. Diferensial
Definisi 2.18 : (Kosmala, 2004: 184)
Suatu fungsi dengan , adalah titik akumulasi dari ,
dan . Derrivatif dari pada didefinisikan
18
Jika limitnya ada maka dapat dikatakan terdiferensial pada .
Definisi 2.19 : (Varbeg and Purcell, 2010: 163)
Turunan fungsi adalah fungsi lain (dibaca “ aksen”) yang nilainya
pada sembarang bilangan adalah
Asalkan nilai limitnya ada
Contoh 2.6 :.
Suatu fungsi , terdefinisi dengan . Nilai dari
adalah
Nilai dari , karena merupakan nilai yang
berhingga maka dapat dikatakan terdiferensial pada .
Teorema 2.20 : (Brannan, 2006: 212)
Misal fungsi terdefinisi pada interval terbuka , dan Jika
terdiferensial di , maka juga kontinu di
Bukti
Fungsi terdiferensial di , maka
19
Dari persamaan di atas diperoleh
{ }
{
}
{ }
{ }
{ }
Nilai limit untuk sama dengan nilai atau dengan kata lain
fungsi kontinu di .
Teorema 2.21 : (Goldberg, 1976: 200)
Misal adalah fungsi kontinu bernilai riil pada interval tertutup dan
terbatas . Jika nilai maksimum dari terdapat pada titik , dimana
, dan jika ada maka .
Bukti
Andai nilai . Jika maka
Untuk dimana merupakan bilangan positif. Pilih
maka sedemikian sehingga nilai dari
20
atau . Terjadi kontradiksi dimana nilai maksimum
dari fungsi berada pada titik .
Jika maka
Untuk dimana merupakan bilangan positif. Pilih
maka sedemikian sehingga nilai dari
atau . Terjadi kontradiksi dimana nilai maksimum
dari fungsi berada pada titik .
Nilai dari tidak mungkin lebih besar atau lebih kecil dari , jadi nilai