BAB II
PERHITUNGAN BUNGA DAN NILAI UANG1. Pendahuluan
Di dalam menyusun sebuah studi kelayakan bisnis, banyak hal yang
berhubungan dengan perhitungan bunga dan nilai uang. Perhitungan
bunga menyangkut dengan bunga pinjaman dari sumber dana yang
berasal dari luar usaha, seperti dari bank, perorangan, maupun
lembaga keuangan lainnya. Demikian pula dengan perhitungan nilai
uang, baik dalam bentuk present value maupun dalam bentuk future
value, pada umumnya tingkat bunga digunakan sebagai indikator.
Seseorang akan bersedia mengorbankan uangnya pada saat ini bila
tingkat bunga diperhitungkan sebagai kompensasi (time value of
money). Pada umumnya setiap orang lebih menghargai nilai uang Rp
1.000,- pada tahun ini bila dibanding dengan Rp 1.000,- pada tahun
yang akan datang. Keadaan yang disebut dengan time preference ini
berlaku pada seseorang maupun masyarakat secara keseluruhan.
Besarnya peranan bunga dan nilai uang dalam menyusun studi
kelayakan bisnis sengaja dibahas pada awal pembahasan buku ini dan
akan menjelaskan secara khusus mengenai perhitungan bunga dan nilai
uang.
2. Perhitungan Bunga
Bunga merupakan biaya modal. Besar kecilnya jumlah bunga yang
merupakan beban terhadap peminjam (debitor) sangat tergantung pada
waktu, jumlah pinjaman, dan tingkat bunga yang berlaku.
Dalam perhitungan mathematics of finance dikenal 3 bentuk sistem
perhitungan bunga, antara lain:
1. Simple interest (bunga biasa).
2. Compound interest (bunga majemuk) dan
3. Annuity (anuitas).
2.1 Bunga Biasa (Simple Interest)Besar kecilnya jumlah bunga
yang diterima kreditor tergantung pada besar kecilnya principal
(modal), interest rate (tingkat bunga), dan jangka waktu. Secara
matematis dapat dituliskan sebagai berikut:
B = f
(Pi.n).................................................................(2-1)
di mana : B = Bunga
P = Principal (modal)
i = Interest rate (tingkat bunga)
n = Jangka waktu
Contoh 1:
Apabila jumlah pinjaman sebesar Rp 5.000.000; dengan tingkat
bunga 18% per tahun. Untuk menentukan jumlah bunga selama 3 tahun,
2 bulan, maupun selama 40 had diselesaikan sebagai berikut:
(1) Bunga selama 3 tahun sesuai dengan rumus B = f (p.i.n.) =
5.000.000. x 18% x 3 = Rp 2.700.000,
(2) Bunga untuk 2 bulan = 5.000.000,- x 18% x 2/12 = Rp
150.000,(3) Bunga untuk 40 hari = 5.000.000. x 18% x 40/360 = Rp
100.000,
Untuk menghitung besarnya principal, interest rate, dan jangka
waktu dapat diselesaikan sebagai berikut:
P = .(2-2)
i = .(2-3)
n = .(2-4)
S = P + B atau S = P + (p.i.n.) B = S-P dan P = S B
di mana S = Jumlah penerimaan.
Contoh 2 :
Hitunglah nilai-nilai yang tidak diketahui dalam tabel berikut
ini :
No.Principal
(Modal)Interest Rate
(T. Bunga)Time
(waktu)Interest
(Bunga)Amount
(jumlah penerimaan)
1
2
36.000.000
?
7.000.00018%
20%
?2 tahun
?
50 hari?
250.000
??
5.250.000
7.145.833
1. B = P.i.n = 6.000.000 x 0,18 x 2 = RP. 2.160.000,-
S = P + B = 6.000.000 + 2.160.000 = Rp 8.160.000,-
2. P = S - B = 5.250.00 250.000 = Rp 5.000.000,-
n = 3. B = S P = 7.145.833 7.000.000 = Rp 145.833 i = 2.2 Bunga
Majemuk (Compound Interest)
Bunga majemuk biasanya dilakukan dalam waktu yang relatif
panjang dan dalam perhitungan bunga biasanya dilakukan lebih dari
satu periode. Dengan demikian, bunga majemuk adalah bunga yang
terus menjadi modal apabila tidak diambil pada waktunya.
Perhitungan bunga majemuk dilakukan secara reguler dengan interval
tertentu, seperti setiap bulan, setiap kuartal, setiap 6 bulan atau
setiap tahun. Tingkat bunga setiap interval adalah tingkat bunga
setahun dibagi dengan interval yang digunakan. Apabila tingkat
bunga setahun sebesar 1896 dan interval bunga majemuk selama 1
tahun, maka tingkat bunga setiap interval adalah sebesar 1896/1 =
1896 dan bila interval bunga setiap bulan maka besarnya tingkat
bunga setiap interval 1896/12 = 1,596.
Contoh 3:
Seseorang meminjamkan uang sebesar Rp 100.000; dengan tingkat
bunga 12% per tahun dan dimajemukkan setiap 6 bulan selama 2 tahun.
Jumlah pengembalian setelah 2 tahun dihitung sebagai berikut:
Diketahui: P = Rp 100.000,-, i = 12%/2 = 6% dan n = 2x2=4.
Modal...................................................................
Rp 100.000,- Bunga 6 bulan pertama 6% x 100.000....;....Rp6.000,-
+
Jumlah
Modal.....................................................Rp
106.000,-Bunga 6 bulan kedua 6k x
106.000.....................Rp6.360,-+Jumlah Modal
..............................................
Rp112.360,-Bunga 6 bulan ketiga 6% x 112.360
...................Rp6.741,6+Jumlah Modal
...................................................Rp 119.101,6
Bunga 6 bulan keempat 6% x 119.101,6.............Rp7.146,1+
Jumlah Modal setelah 2 tahun ...........................Rp
126.247,7
Sejalan dengan perhitungan di atas, formula yang digunakan dalam
perhitungan bunga majemuk pada prinsipnya dapat dilakukan sebagai
berikut:
S = P (1 + i)n
(2-6)
S= S (1+i)-n atau P =
(2,7)
i =
(2-8) n =
(2-9)
di mana: S = Jumlah penerimaan P = Present value
n = periode waktu
i = tingkat bunga per periode waktu
Nilai (1+i)n disebut dengan compounding factor, yaitu suatu
bilangan yang digunakan untuk menilai nilai uang pada masa yang
akan datang (future value). Nilai (1+i)-n disebut dengan discount
factor, yaitu suatu bilangan untuk menilai nilai uang dalam bentuk
present value (nilai sekarang). Besar kecilnya jumlah uang di masa
yang akan datang maupun jumlah uang pada saat ini tergantung pada
besar kecilnya tingkat bunga dan jangka waktu yang digunakan.
Contoh 4: Seorang investor meminjam uang sebesar Rp 5.000.000;
selama 8 tahun dengan tingkat bunga 1896 per tahun dan dimajemukkan
setiap 6 bulan. Jumlah pengembalian setelah 8 tahun dapat
diselesaikan sebagai berikut:
Diketahui: i = 18%/2 = 9% n = 16 (2x8)
p = 5.000.000,
S = P (1+i)n.................................. (2-6) = 5.000.000
(1+0,09)16
= 5.000.000 (3,97030588) = Rp 19.851.529,5
Catatan:Untuk nilai (l+ir nilainya dapat dilihat dalam Lampiran
1 pada n = 16 dan i = 996. Ringkasan dari soal di atas sebagaimana
dalam diagram berikut.Diagram 2-1
Angka 0 s.d. 8 menunjukkan lamanya pinjaman dengan tingkat bunga
1896 per tahun dan dimajemukkan setiap 6 bulan sekali, dengan
demikian 1 tahun dua kali, selama 8 tahun = 2 x 8 = 16 dan i =
18%/2 = 9%.
Besarnya nilai dalam bentuk present value dari jumlah penerimaan
tersebut dihitung sebagai berikut:
P = S
(l+i)-.......................................................(2-7)
= 19.851.529,5 (1+0,09)-18= 19.851.529,5 (0,25186976)
= Rp 5.000.000,Nilai discount factor (1+i)-n dapat dilihat dalam
Lampiran 2 pada n = 16 dan i=9%. Untuk menentukan tingkat bunga
pinjaman, apabila present value sebesar Rp 5.000.000; dan future
value Rp 19.851.529,5 selama 8 tahun dan dimajemukkan setiap 6
bulan, maka besarnya tingkat bunga setahun dihitung sebagai
berikut:
i =
(2-8)
i =
atau
(1-i)16 = Dalam Lampiran 1 pada n =16 nilainya 3,97030688 pada
kolom tersebut dapat dilihat interest rate (i)-- 996 dan untuk
tingkat bunga setahun (nominal rate) diperhitungkan 2 x 996 = 1896
(karena dimajemukkan dalam satu tahun 2 kali). Untuk menghitung
besarnya n atau jangka waktu pinjaman dihitung sebagai berikut:
n =
(2-9)
n= n=
Perlu diperhatikan bahwa tingkat bunga yang sama akan memberikan
hasil yang berbeda, apabila frekuensi bunga majemuk yang dilakukan
dalam satu tahun juga berbeda, seperti contoh berikut:
Contoh 5: Apabila Bank A menerima tingkat bunga deposito sebesar
18% per tahun dan dimajemukkan setiap bulan. Bank B juga menerima
tingkat bunga deposito sebesar 18% per tahun dan dimajemukkan
setiap 6 bulan. Perbedaan ini dapat dilihat melalui perhitungan
bunga efektif dari masing-masing bank dengan cara sebagai
berikut:
Effective rate yang didasarkan pada Bank A:
F =
(1+j/m)m............................................................
(2-10)
= (1+0,18/12)12 1
= (1+0,015)12- 1
= 1,1956182 1
= 0,1956182 = 19,56%
Effective rate yang didasarkan pada Bank B:
F =
(l+jhn)m............................................................
(2-10)
= (1+0,18/L)2 - 1
= (1+0,09)Z - 1
= 1,1881 - 1
= 0,1881 = 18,81%
Di mana:F = Effective rate
m = Frekuensi bunga majemuk dalam 1 (satu) tahun. Hasil
perhitungan menunjukkan tingkat bunga efektif yang diberikan bank A
lebih besar dari tingkat bunga efektif yang diberikan oleh Bank B
sebesar 0,75%.
2.3 Anuitas (Annuity)
Annuity adalah suatu rangkaian pembayaran dengan jumlah yang
sama ` besar pada setiap interval pembayaran. Besar kecilnya jumlah
pembayaran pada setiap interval tergantung pada jumlah pinjaman,
jangka waktu, dan tingkat bunga. Tingkat bunga pada setiap interval
tergantung pada interval ; bunga majemuk yang dilakukan, bisa
terjadi pada setiap bulan, setiap kuartal, setiap 6 bulan, maupun
setiap tahun. Dilihat dari bentuknya, annuity ini dapat dibagi atas
dua bagian, yaitu:
1. Simple Annuity 2. Complex Annuity
2.3.1 Anuitas Biasa (Simple Annuity)
Simple annuity adalah sebuah anuitas yang mempunyai interval
yang sama antara waktu pembayaran dengan waktu dibunga majemukan.
Dilihat dari tanggal pembayarannya, anuitas ini dapat dibagi atas 3
bagian, yaitu:
1) Ordinary annuity 2) Annuity due
3) Deferred Annuity 2.3.1.1 Ordinary Annuity
Ordinary annuity adalah sebuah anuitas yang diperhitungkan pada
setiap akhir interval seperti akhir bulan, akhir kuartal, akhir
setiap 6 bulan, maupun pada akhir setiap tahun. Untuk menghitung
present value, future value maupun jumlah anuitas dapat dilakukan
dengan formula sebagai berikut:
An = R di ganti tambah 1+i (2-11)
Sn = R ..(2-12)
R = An ..(2-13)
R = Sn di ganti pangkat minus n..(2-14)
di mana: An = Present value (nilai sekarang)
Sn= Future value (jumlah pembayaran)
R= Annuity (cicilan/angsuran)
i = Tingkat bunga setiap interval
n = Jumlah interval pembayaran
a) Present value merupakan nilai sekarang dari sebuah anuitas
dan identik dengan nilai awal dari penanaman modal. Apabila jumlah
penerimaan sebesar Rp 100.000,- dan bunga sebesar Rp 20.000; maka
present value Rp 100.000 - Rp 20.000 = Rp 80.000,-. Contoh dalam
pertutungan ordinary annuity adalah seperti berikut:
Contoh 6:Sebuah perusahaan mencicil pinjaman sebesar Rp 50.000;
pada setiap akhir bulan selama 6 bulan dengan suku bunga
diperhitungkan sebesar 18% per tahun. Berapakah besarnya present
value?
Dari soal di atas bila disederhanakan, terlihat seperti dalam
diagram 2-2 berikut : Diketahui R = 50.00,- , i = = 0,015 dan n =
6
An = R ..(2-11)
An = 50.000 An = 50.000An = Rp 284.859,37
Untuk mendapatkan nilai discount factor dari anuitas di atas,
dapat dilihat pada Lampiran 3 pada n = 6 dan i = 1,596 atau dapat
dihitung dengan menggunakan kalkulator. Jadwal pelunasan dari
kredit tersebut sebagaimana dalam Tabel II-1 berikut.
Tabel II-1
Jadwal Pelunasan kredit selama 6 bulan (Rp)
Secara umum nilai present value (An), juga dapat dihitung dengan
menggunakan sistem perhitungan dari bunga majemuk (compound
interest method) seperti terlihat dalam Diagram 2-3 berikut:
b) Annuity dad present value
Annuity dari sebuah present value sebenarnya sama dengan jumlah
angsuran pada setiap interval. Jumlah angsuran pada setiap interval
dari sejumlah pinjaman tergantung pada besar kecilnya tingkat bunga
dan jangka waktu yang digunakan.
Contoh 7: Seorang investor merencanakan membangun proyek
perumahan mewah untuk dijual secara cicilan kepada nasabah. Biaya
pembangunan diperhitungkan sebesar Rp 12.000.000,-. Berapa besar
nilai cicilan yang dibebankan pada para nasabah, bila tingkat bunga
setahun diperhitungkan sebesar 15% dan dimajemukan pada sedap bulan
selama 3 tahun?
Diketahui: An = 12.000.000,
i = dan n = 3 x 12 = 36
R = An ..(2-13)
= 12.000.000
= 12.000.000 (0,03466533)
= Rp 415.984,-
Nilai discount factor, lihat Lampiran 4 pada n = 36 dan i =
1,25%.
c) Jumlah penerimaan (future amount)
Jumlah penerimaan dari serangkaian pembayaran bukanlah berarti
kumulatif dari jumlah pembayaran pada setiap interval, akan- tetapi
diperhitungkan bunga secara bunga majemuk (compound interest) dari
sejumlah uang yang dicicil.Jumlah pembayaran pada interval pertama,
diperhitungkan bunga pada akhir interval kedua, sehingga jumlah
penerimaan pada akhir interval kedua adalah sebesar 2 kali setoran
ditambah dengan bunga pada setoran pertama. Berdasarkan pada contoh
7 di atas, bila jumlah cicilan pada setiap akhir bulan sebesar Rp
415.984, dengan tingkat bunga 15% per tahun dan dimajemukkan pada
setiap bulan selama 3 tahun. Jumlah penerimaan investor dihitung
sebagai berikut:
Sn = R ..(2-12)
= 415.984 = 415.984 (45,11550550) = Rp 18.767.328,-
Berdasarkan pada hasil perhitungan di atas, jumlah pembayaran
pada akhir interval sebesar Rp 18.767.328,- tetapi bila dilihat
dari pengeluaran nasabah hanya sebesar:
36 x Rp 415.984 = Rp 14.975.424,
Ini berarti, besarnya bunga yang merupakan beban selama 3 tahun
Rp 14.975.424 - Rp 12.000.000 = Rp 2.975.424,-. Di pihak lain bunga
efektif yang diterima investor diperhitungkan sebesar:
18.767.328 - 12.000.000 = Rp 6.767.328,
Berdasarkan pada uraian ini, bunga yang akan dibayar oleh
nasabah hanya sebesar Rp 2.975.424,- dan bunga yang diterima oleh
investor sebesar Rp 6.767.328,- dengan adanya perhitungan ini kedua
belah pihak merasa tidak dirugikan.
d) Tingkat bunga
Untuk menghitung besarnya tingkat bunga, apabila present value
yang diketahui dapat diselesaikan dengan menggunakan Lampiran 3 dan
untuk jumlah penerimaan dipergunakan Lampiran 5. Bila present value
yang diketahui:
..(2-15)
Bila jumlah penerimaan yang diketahui :
..(2-16)
Contoh 8: Apabila diketahui jumlah present value sebesar Rp
969.482; dengan anuitas Rp 150.000,- pada setiap akhir kuartal
selama 2 tahun. Untuk menentukan besarnya tingkat bunga pada setiap
kuartal maupun setiap tahun dapat diselesaikan sebagai berikut:
Diketahui: An = Rp 969.482,- n = 2x4 = 8
R = RP 150.000,
..(2-15)
Nilai discount factor untuk {1-(l+i)-n/i} dapat dilihat dalam
Lampiran 3 pada n=8 di mana nilainya 6,463212760. Dengan demikian
pada kolom tersebut i= S% dan tingkat bunga setahun (nominal rate)
4x5=20% (dimajemukkan 4 x setahun). Apabila nilai i tidak tersedia
dalam lampiran, nilai i dapat dihitung dengan menggunakan sistem
interpolasi seperti contoh berikut:
Contoh 9: Seorang pengusaha menyetor uang pada bank sebesar Rp
445.000; dan diambil kembali secara cicilan sedap akhir 6 bulan
sebesar Rp 50.000; dalam waktu 5 tahun. Berapakah besarnya interest
rate dan nominal rate?
Diketahui: An = Rp 445.000,-, R = Rp 50.000,- dan n = 2 x 5 = 10
(setiap 6 bulan).
..(2-15)
Apabila dilihat dalam Lampiran 3 untuk nilai i = 8,9 pada n = 10
nilainya tidak tersedia, yang mendekati nilai tersebut adalah
8,98258501 pada i = 2% dan 8,75206393 pada i = 2,596. Dengan
demikian nilai i dapat ditulis sebagai berikut:
296 < i < 2,596
Untuk mengetahui nilai i secara pasti dapat dilakukan dengan cam
interpolasi yang dihitung sebagai berikut:
Tingkat bungaDiscount Factor
Persamaan
2%
x
2,5%8,98258501
8,90000000
8,75206393(1)
(2)
(3)
x - 2,596 = - (0,5%) x - 2,596 = - 0,003208713193 x = 0,025 -
0,003208713
x = 0,02177 = 2,18%
nominal rate = 2 x 2,18% = 4,36% e) Menentukan jangka waktu
Untuk menentukan jangka waktu dari sebuah anuitas, sama halnya
dengan cara menentukan tingkat bunga. Apabila present value,
tingkat bunga, dan jumlah anuitas dapat diketahui maka jangka waktu
dari suatu pinjaman dapat diselesaikan dengan menggunakan formula
(2-16) atau formula (2-17).
Contoh 10:Seorang pegawai negeri menerima uang dari bank sebesar
Rp 1.653.298; dari hasil setoran' sebesar Rp 50.000; pada akhir
setiap kuartal dengan tingkat bunga 2096 setahun. Berapa lama
pegawai tersebut telah melakukan setoran untuk mendapatkan sejumlah
uang tersebut?
Diketahui : Sn Rp 1.653.298,- i = dan R = Rp 50.000,- n = ?
..(2-16)
Dalam Lampiran 5 pada I = 5% nilainya 33,065960 terdapat pada
n=20. Dengan demikian lamanya pegawai tersebut telah melakukan
penyetoran adalah 20 kuartal atau 20: 4 = 5 tahun.Apabila pada
tingkat bunga sebesar 5% tidak tersedia nilai 33,065960, carilah
nilai i yang mendekati nilai hitung, sehingga n berada antara kedua
nilai. Untuk mendapatkan nilai n secara pasti pergunakan metode
interpolasi.
2.3.1.2 Annuity Due
Annuity due adalah sebuah anuitas yang pembayarannya dilakukan
pada setiap awal interval. Awal interval pertama merupakan
perhitungan bunga yang pertama dan awal interval kedua merupakan
perhitungan bunga yang kedua dan seterusnya.Formula yang digunakan
dalam perhitungan annuity due tidak jauh berbeda dengan formula
yang ada dalam ordinary annuity. Dalam annuity due hanya
ditambahkan satu compounding factor (l+i), baik untuk present value
maupun future value.Pertambahan satu compounding factor pada
annuity due adalah sebagai akibat pembayaran yang dilakukan pada
awal setiap interval, maka nilai yang dihitung dengan menggunakan
annuity due selalu lebih besar bila dibanding dengan ordinary
annuity.
a) Perhitungan present value
Untuk menghitung present value dari sebuah annuity due dapat
dilakukan dengan menggunakan formula sebagai berikut:
An (ad) = R ..(2-17)
Atau
An (ad) = R ..(2-18)
Atau
An (ad) = R ..(2-19)
Contoh 11:Sebuah perusahaan yang bergerak dalam alat-alat
bangunan ingin memperoleh uang secara kontinu sebesar Rp
1.500.000,- dari bank pada setiap awal Kuartal selama satu tahun.
Berapa jumlah dana yang harus disetor pada bank apabila tingkat
bunga dipefiitungkan sebesar 18% per tahun?
Diketahui: R = Rp 1.500.000; i= 4 = 4,5% dan n=4
An (ad) = R ..(2-17)
An (ad) = 1.500.000
An (ad) = 1.500.000 (3,58752577) (1,045) An (ad) = R
An(ad) = Rp 5.623.447,-Pergunakan Lampiran 3 untuk mendapatkan
nilai discount factor annuity pada i= 4,5% dan n=4 dan Lampiran 1
untuk compounding factor dari bunga majemuk.
Atau
An (ad) = R ..(2-18)
An(ad) = 1.500.000 (2,74896444 + 1)
An(ad) = 1.500.000 (3,74896444)
An(ad) = Rp 5.623.447,
Atau
An (ad) = R ..(2-19)
An (ad) = 1.500.000 An(ad) = 1.500.000 (2,74896444) + 1.500.000
An(ad) = 4.123.447 + 1.500.000;
An(ad) = Rp 5.623.447,
b) Jumlah pembayaran (future amount)Formula yang digunakan untuk
menghitung jumlah pembayaran dalam annuity due dilakukan sebagai
berikut:
Sn (ad) = R ..(2-20)
Atau
Sn (ad) = R ..(2-21)
Atau
Sn (ad) = R ..(2-22)
Contoh 12:Bank Pembangunan Daerah di sebuah kota baru-baru ini
memberikan fasilitas penjualan kendaraan beroda dua secara kredit
pada guru-guru sekolah dasar. Tingkat bunga diperhitungkan sebesar
1296 per tahun dan cicilan dilakukan setiap awal bulan sebesar Rp
70.000,- selama 3 tahun. Berapakah besarnya jumlah pembayaran?
Diketahui : R = Rp 70.000,- ; i = dan n = 12 x 3 = 36
Sn (ad) = R ..(2-20)
= 70.000
= 70.000 (43,67688)(1,01)
= Rp 3.045.535,-Nilai compounding factor untuk anuitas dapat
dilihat pada Lampiran 5 pada i=196 dan n=36.
Atau
Sn (ad) = R ..(2-21)
= 70.000 = 70.000 (43,50765)
= Rp 3.045.535,-
Atau
Sn (ad) = R ..(2-22)
= 70.000 = 70.000 (44,50765) - 70.000 = Rp
3.045.535,-Berdasarkan pada hasil perhitungan di atas, jumlah
pembayaran setelah 3 tahun adalah sejumlah Rp 3.045.535; lebih
besar bila dihitung dengan menggunakan metode ordinary annuity
sebesar Rp 30.153,-. Perbedaan ini disebabkan oleh perhitungan
bunga yang dilakukan pada setiap awal interval. Perlu juga
diketahui, jumlah yang dibayar secara nyata oleh para pembeli
kendaraan hanya sebesar.
36 bulan x Rp 70.000; = Rp 2.520.000,-
Berdasarkan pada hasil perhitungan ini, para nasabah merasa
tidak berkeberatan dalam membeli kendaraan dengan cara cicilan dan
sebaliknya pihak kreditor merasa tidak dirugikan karena bunga
dihitung secara compound interest dari hasil cicilan para nasabah.
Jumlah bunga yang diterima kreditor adalah sebesar Rp 916.934, dan
sebaliknya bunga yang akan dibayar oleh nasabah hanya sebesar Rp
391.400,-.
c) Hubungan antara present value dengan future amount Hubungan
antara present value dengan future value dari sebuah annuity due
sama halnya dengan hubungan yang terdapat dalam perhitungan bunga
majemuk.Present value merupakan modal dasar dan future value
merupakan penjabaran dari bunga majemuk. Dalam perhitungan bunga
majemuk, jumlah penerimaan dihitung dengan formula S = P( l+i)n dan
present value dihitung dengan formula P = S(l+i)-n. Sejalan dengan
formula bunga majemuk, annuity due Sn(ad) merupakan future value
dan An(ad) merupakan present value. Dengan demikian formula yang
digunakan dalam hubungan ini adalah sebagai berikut: A(ad)= Sn (ad)
( l+i)-".............................(2-23)
S(ad) = An(ad) (l+i)"
.............................(2-24) Apabila diketahui nilai
present value dari annuity due, jumlah penerimaan pada akhir
interval dapat diketahui tanpa menghitung besarnya anuitas pada
setiap interval dan hubungan ini tidak dapat diterapkan pada
ordinary annuity maupun bentuk annuity lainnya seperti deferred,
annuity.
d) Anuitas, jangka waktu, dan tingkat bunga
Penentuan anuitas dalam sebuah annuity due dapat dihitung
apabila nilai present value atau future value (jumlah penerimaan)
dari transaksi pinjaman diketahui, di samping tingkat bunga dan
lamanya pinjaman. Apabila diketahui nilai present value, untuk
menghitung besarnya anuitas dapat digunakan formula (2-25) dan
apabila jumlah penerimaan yang diketahui gunakan formula (226).
Annuity adalah cicilan yang harus dikembalikan oleh debitor, baik
setiap bulan, kuartal, maupun setiap tahun tergantung pada Untuk
mengetahui lamanya penyetoran, lihat Lampiran 3 pada i=1,5%, di
mana untuk nilai 19 tidak tersedia. Nilai yang mendekati 19 pada
i=1,596 pada n=22 dengan nilai 18,62082437 dan pada n= 23 nilainya
19,33086145. Dengan demikian untuk mengembalikan kredit sebesar Rp
10 juta membutuhkan waktu selama 22 bulan lebih atau dapat ditulis
sebagai berikut:
22 bulan . < n < 23 bulan
Untuk mengetahui pengembalian secara pasti dapat digunakan
metode irtterpolasi seperti yang telah diuraikan sebelumnya dan
dengan jalan yang sama dalam menentukan tingkat bunga.
Apabila present value yang diketahui, dapat digunakan Lampiran 3
dalam penyelesaian masalah dan apabila future value yang diketahui,
pergunakan Lampiran 5 untuk penyelesaiannya. Pergunakan jumlah n
untuk mencari nilai hitung dan apabila nilai tabel telah sesuai
dengan nilai hitung lihat pada kolom tersebut tingkat bunga yang
dicari.
Apabila nilai hitung tidak tersedia dalam Lampiran 3 atau
Lampiran 5 dengan menggunakan n tertentu, pergunakan metode
interpolasi dalam menentukan besarnya tingkat bunga yang
sebenarnya. Perlu diketahui bahwa nilai i yang dicari merupakan
tingkat bunga pada interval tersebut dan apabila ingin diketahui
besarnya tingkat bunga setahun (nominal rate) harus dikalikan
dengan interval yang digunakan.
Apabila interval bunga majemuk diperhitungkan setiap bulan, ini
berarti tingkat bunga setahun adalah sebesar 12 kali dari i cari;
apabila interval yang digunakan dalam kuartal, tingkat bunga
setahun adalah sebesar 4 kali i cari; dan apabila interval bunga
majemuk dalam tahun, ini berarti nominal rate sama dengan tingkat
bunga interval.
2.3.1.3 Deferred Annuity
Seperti yang telah diuraikan sebelumnya, deferred annuity adalah
suatu series (anuitas) yang pembayarannya dilakukan pada akhir
setiap interval. Perbedaan antara ordinary annuity dengan deferred
annuity terletak dalam hal penanaman modal, di mana dalam
perhitungan deferred annuity ada masa tenggang waktu (grace period)
yang tidak diperhitungkan bunga.
Contoh 14:Pemerintah Jepang memberikan pinjaman pada negara
Republik Indonesia sebesar 10 miliar nupiah pada tanggal 1 Januari
1990. Dengan persetujuan betsama antara kedua pemerintah, b,:nganya
mulai diperhitungkan pada akhir tahun 1995. Dengan demikian, sejak
tanggal 1 Januari 1990 s.d. 1 Januari 1995 adalah merupakan
tenggang waktu yang tidak dipefiitu7gkan bunga, persoalan demikian
dalam mathematic of finance disebut dengan deferred annuity. Untuk
menentukan nilai present value dan future value (jumlah penerimaan)
dihitung dengan menggunakan formula sebagai berikut:
An (da) = R ..(2-23)
Sn (da) = R
..(2-24)
t = tenggang waktu yang tidak dihitung bunga
Contoh 15: Seorang petani membuka usaha dalam bidang peternakan
dan untuk membiayai usaha tersebut ia meminjam uang pada bank
dengan tingkat bunga 1296 per tahun dan dimajemukkan sedap kuartal.
Pinjaman tersebut harus dikembalikan secara cicilan mulai pada
akhir kuartal ketiga sebesar Rp 400.000; selama S kali angsuran.
Berapa besar jumlah pinjaman?
Diketahui : R = Rp 400,- (dalam ribuan), i = , n = 5 dan t = 2An
(da) = R ..(2-23)
= R
= 400 (4,5797033) (0,94259591)
= 1726,72 = Rp 1.726.720,-
Jumlah present value dari deferred annuity, sebenarnya sama
dengan jumlah present value dari ordinary annuity yang dikalikan
dengan nilai discount factor dari masa tenggang waktu.
An = R ..(2-11)
A3= 400 = 400 (4,57970733) = 1831,88
An(da) = An x discount factor t An(da) = 1831,88 (1+0,03)-2=
1831,88 (0,94259591)
= 1726,72 = Rp 1.726.720,
Untuk memahami differed annuity secara jelas dapat terlihat
dalam diagram 2.4 berikut :
Nilai present value dad deferred annuity juga sama dengan jumlah
present value secara keseluruhan dikurangi dengan nilai present
value dari tenggang waktu:
An(da) = A7 - A2
An(da) = R - R
= 400 - R = 400 (6,230283) - 400 (1,91346966) = 2492,11 -
765,39
= 1.726,72 = Rp 1.726.720,_
Ringkasan dari perhitungan di atas seperti terlihat dalam
Diagram 2-5 berikut :
Seperti terlihat dalam diagram di atas, nilai A7 adalah sebesar
Rp 2.492,11; dan nilai AZ sebesar Rp 765,39,- jumlah present value
dari deferred annuity adalah sebesar Rp 1.726,72,-. Besaran dari
deferred annuity ikuti contoh berikut:
Contoh 16: Seorang pengusaha merencanakan membangun sebuah
pabrik untuk pengolahan hasil-hasil pertanian. Berdasarkan pada
hasil penelitian sementara, pabrik ini membutuhkan dana investasi
sebesar 20 juta rupiah yaitu untuk pengadaan fixed asset budget.
Dari jumlah investasi tersebut direncanakan 25% dari jumlah
investasi disediakan oleh investor dan sisanya sebesar 15 juta
rupiah diusahakan melalui kredit dari lembaga perbankan dengan
tingkat bunga sebesar 15% per tahun. Perlu diketahui pembangunan
konstruksi dari pabrik tersebut membutuhkan waktu selama 2 tahun
dan berdasarkan pada keadaan ini, investor menginginkan
pengembalian pinjaman mulai pada akhir tahun ketiga. Berdasarkan
pada persoalan di atas, berapa besar jumlah cicilan yang dilakukan
pada setiap tahun selama 4 tahun?
Diketahui: An = 15.000.000,-, i = 15% , n = 4 dan h = 2
R = ?R = An(da) (1+i)t ..(2-30)
= 205.000.000 (1+0,15)2= 20.000.000 (0,35026535) (1,3225) = Rp
9.264.519,
Untuk mendapatkan nilai discount factor R, lihat Lampiran 4 pada
i =15% dan n-4. Untuk nilai (1+0,15)2 lihat Lampiran 1 pada i=15%
dan n=2.
Jumlah cicilan yang dilakukan pada setiap akhir tahun adalah
sebesar Rp 9.264.519,- selama 4 tahun dan cicilan mulai dilakukan
pada akhir tahun ketiga (grace period 2 tahun). Dilihat dari jumlah
penerimaan dari sebuah deferred annuity sama halnya dengan jumlah
penerimaan dengan menggunakan perhitungan ordinary annuity.
Demikian pula dalam perhitungan tingkat bunga dan jangka waktu
pinjaman sama dengan annuity sebelumnya.
2.3.2 Anuitas Kompleks (Complex Annuity)
Anuitas kompleks adalah merupakan sebuah rentetan pembayartn dan
sebuah pinjaman dengan jumlah yang sama pada setiap interval.
Perbedaan antara anuitas kompleks dengan anuitas biasa (simple
annuity), terletak pada sistem perhitungan bunga majemuk pada
setiap interval pembayaran. Di dalam anuitas biasa, perhitungan
bunga majemuk dengan interval pembayaran mempunyai interval yang
sama, sedangkan dalam anuitas kompleks antara interval pembayaran
dengan interval bunga majemuk mempunyai interval yang berbeda:
Apabila interval pembayaran dilakukan pada setiap bulan, mungkin
dibunga majemukan pada setiap kuartal atau sebaliknya apabila
interval pembayaran dilakukan pada setiap kuartal, perhitungan
bunga niajemuk dilakukan pada setiap bulan.
Untuk jelasnya perbedaan antara complex annuity dengan simple
annuity dapat dilihat dalam Diagram 2-6 dan 2-7 berikut : Seperti
terlihat dalam Diagram 2-6, dalam sistem complex annuity pembayaran
dari sebuah anuitas dilakukan pada setiap bulan dan dimajemukkan
setiap kuartal. Dalam Diagram 2-7, antara pembayaran dan dibunga
majemukan mempunyai interval yang sama yaitu masing-masing pada
setiap kuartal (3 bulan). Jika dilihat dari tanggal pembayaran,
complex annuity juga dapat dibagi atas tlga bagian, antara
lain:
1) Complex Ordinary Annuity 2) Complex Due Annuity3) Complex
Deferred Annuity 2.3.2.1Complex Ordinary Annuity
Pembayaran anuitas dalam perhitungan complex ordinary annuity
dilakukan pada akhir sedap interval, di mana besar kecilnya anuitas
tergantung pada besar kecilnya pinjaman (principal), tingkat bunga,
jangka waktu, dan frekuensi bunga majemuk dalam satu tahun. Untuk
menentukan present value, jumlah penerimaan dan anuitas dari
serentetan transaksi, sedikit berbeda dengan cara yang telah
dikemukakan dalam simple annuity, namun demikian pada prinsipnya
perhitungan ini tidak jauh berbeda.
a. Present value
Formula yang digunakan dalam perhitungan present value dari
complex ordinary annuity adalah sebagaimana dalam formula
berikut:
Anc (Oa) = R (2-30)
Di mana, c = perbandingan antara frekuensi bunga majemuk dalam
satu tahun dengan frekuensi pembayaran dalam satu tahun. Sebagai
ilustrasi, untuk mendapatkan besaran nilai n, c, dan nc dalam
formula di atas, dapat diikuti dalam Tabel 2-2 berikut: Tabel 2-2
Perhitungan Besaran Nilai n, c, dan nc dalam Perhitungan Complex
Annuity
Contoh 17:Seorang petani merencanakan meminjam uang pada bank
untuk membiayai rencana perluasan usaha dalam subsektor perikanan.
Berdasarkan pada perkiraan dan perhitungan benefit, ia mampu
mengembalikan pinjaman sebesar Rp 76.015,- pada setiap akhir
kuartal selama 2 tahun dengan tingkat bunga pinjaman sebesar 18%
per tahun dan dimajemukkan pada setiap bulan. Berdasarkan pada
kemampuan petani tersebut, berapa besar jumlah kredit yang bisa ia
pinjam? Diketahui: R = Rp 76.015,-, n = 2x4 = 8 (per kuartal)
c = 12/4 = 3
nc = 3x8 = 24 dan i = 18%/12 = 1,5%Anc (Oa) = R (2-30)
= R
= 76.015 (20,03040533)(0,32838278) = Rp 500:000;
Pergunakan Lampiran 3 untuk discount factor yang berpangkat -nc
dan untuk nilai [i/{(l+i)`-1 }] pergunakan Lampiran 6 atau dengan
menggunakan nilai Lampiran 4 dilcurangkan dengan tingkat bunga yang
digunakan. Untuk menghitung besaran present value dalam complex
ordinary annuity juga dapat diselesaikan dengan menggunakan rumus
simple ordinary annuity dengan cara menyamakan antara interval
bunga majemuk dengan interval pembayaran.Kembali pada contoh di
atas, di mana interval pembayaran dilakukan pada setiap 3 bulan dan
interval bunga majemukan pada setiap bulan. Untuk menyamakan
interval pembayaran dengan interval bunga majemuk dapat dilakukan
sebagai berikut:
B = R (2-31)
= 76.015 = 24.962,02
B = Cicilan per bulan.
Kembali pada contoh 17, jangka waktu pinjaman selama 2 tahun
dengan cicilan yang dilakukan pada setiap kuartal dan diadakan
perubahan dengan menggunakan formula (2-31) untuk menyamakan
interval bunga majemuk dengan interval pembayaran. Dengan adanya
perubahan ini, present value (jumlah pinjaman) dapat dihitung
dengan menggunakan formula simple ordinary annuity dengan cara
sebagai berikut:
A24= B .(2-11)
= 24.962,02
= 24.962,02 (20,03040533)
= Rp 500.000,-
b. Jumlah penerimaan
Jumlah penerimaan (Snc) dalam complex ordinary annuity dapat
dihitung, apabila present value atau anuitas dari sebuah pinjaman
diketahui. Formula yang digunakan adalah sebagai berikut:Snc (oa) =
R (2-32)
Nilai compounding factor perpangkat nc dapat dilihat dalam
Lampiran 4 dengan asumsi nc=n. Perubahan perhitungan dari complex
ordinary annuity menjadi simple ordinary annuity dapat dilakukan
dengan jalan yang sama seperti yang dijelaskan sebelumnya.Untuk
mengubah nilai A. dan S.. dalam complex ordinary annuity juga dapat
digunakan formula sebagai berikut:Sn = R (2-33)An = R (2-34)
Nilai r merupakan tingkat bunga pada setiap pembayaran dalam
simple ordinary annuity dan nilai i merupakan tingkat bunga dalam
complex ordinary annuity. Dengan, demikian, r tidak sama dengan i
bila dilihat dari jangka waktu yang digunakan.Kembali pada contoh
17 sebelumnya, tingkat bunga majemuk dilakukan pada setiap bulan
dan diubah menjadi 3 bulan untuk menyamakan interval bunga majemuk
dengan interval pembayaran. Ini berarti r adalah merupakan
perubahan i dari setiap bulan menjadi setiap 3 bulan (kuartal).
Perubahan ini dapat dilakukan dari i per bulan (1,5%) menjadi i
setiap 3 bulan dengan menggunakan compound interest (1+i)n atau
(1+1,5%)3 dengan cara sebagai berikut:
1 + r = (1+1,596)3 atau r = (1+1,5%)3 - 1 = 1,0456784 - 1 =
4,56784%
Berdasarkan pada perubahan ini, future value, present value dari
contoh 17 dapat diselesaikan dengan cara sebagai berikut:
Snc (Oa) = R = R .(2-35)
dan
Anc (Oa) = R = R .(2-36)
Snc (Oa) = R = R .(2-37)
Snc (Oa) = 76.015
= 76.015 (9,40276148)
= Rp 714.750,-
Present value
Anc (Oa) = R = R .(2-36)
= R = 76.015
= 76.015 (6,577643043)
= Rp 500.000,-
atau
Anc (Oa) = 76.015
= 76.015
= 76.015 (6,577640197)
= Rp 500.000,-
Dalam perhitungan pertama, i per bulan adalah 18%/12 = 1,5% dan
interval pembayaran setiap 3 bulan selama 2 tahun, berarti n=8.
Dalam perhitungan kedua, i dihitung setiap 3 bulan berarti r =
{(l+i)' -1) di mana interval pembayarannya setiap kuartal terdiri
dari 3 bulan, beruti n selama 2 tahun = 8. Dengan demikian i/bulan
= 1,596, i perkuartal= 4,5678496 dan i per tahun = 19,5618296, di
mana nominal rate = 18%. Perlu diperhatikan, kenaikan i yang
dihitung dalam interval kumulatif adalah sebagai akibat dad
effectif rate.
c. Anuitas, jangka waktu, dan tingkat bunga
Penentuan anuitas dalam complex ordinary annuity sama halnya
dengan perhitungan simple ordinary annuity. Apabila present value
yang diketahui, pergunakan formulasi (2-25) dan apabila
jumlah penerimaan yang diketahui pergunakan formula '(2-26).
Demikian pula dalam menentukan jangka waktu pinjaman dan tingkat
bunga dapat diikuti prosedur dari perhitungan anuitas biasa (simple
annuity) dan apabila nilai n dan i tidak tersedia dalam daftar
lampiran, selesaikan dengan menggunakan metode interpolasi. 2.3.2.2
Complex Annuity Due
Complex annuity due adalah pembayaran yang dilakukan pada ' .
setiap awal interval. Pefiedaan antara simple annuity due dengan
complex annuity due juga terletak pada interval bunga, di mana
dalam complex annuity due frekuensi bunga majemuk tidak sama dengan
frekuensi pembayaran di dalam satu tahun. Oleh karena itu, dalam
perhitungan nilai, baik present value maupun future value harus
dikalikan dengan discount factor [i/{1-(l+i)}] sebagai kompensasi.
Formula yang digunakan untuk perhitungan adalah sebagai berikut:Anc
(ad) = R = R .(2-37)
Anc (ad) = R = R .(2-38)
Untuk menghitung tingkat bunga, jangka waktu, dan anuitasnya
sama dengan cara menghitung pada complex ordinary annuity.
2.3.2.3Complex Deferred AnnuitySistem pembayaran anuitas yang
dilakukan dalam complex deferred annuity juga dilakukan pada setiap
akhir interval, seperti akhir bulan, akhir kuartal, akhir setiap 6
bulan, maupun akhir tahun. Perbedaan antara anuitas ini dengan
complex annuitas sebelumnya terletak pada tenggang waktu yang tidak
diperhitungkan bunga. Contoh 18:Seorang mahasiswa meminjam uang
pada bank sebesar Rp 800.000; dalam rangka menutupi biaya
kuliahnya. la berjanji akan mengembalikan pinjaman tersebut secara
cicilan selama 5 tahun dan pengembalian pinjaman dilakukan setelah
3 tahun dari meminjam. Bunga diperhitungkan sebesar 12% per tahun
dan dimajemukkan setiap 6 bulan sekali. Berapakah besarnya
pembayaran yang harus dikembalikan pada setiap akhir tahun?
Diketahui: A. = RP 800.000,- n = 5 dan c = 2/1 = 2 (dibunga
majemukan dua kali dalam setahun dan pembayaran setiap tahun) dan
nc = 2 x 5 = 10, t = 2 (dilakukan pembayaran pertama 3 tahun dari
meminjam, ini berarti 1 tahun terakhir telah diperhitungkan bunga
karena dalam complex deferred annuity pembayaran dilakukan pada
akhir interval. i = 12%/2 = 6% (karena dimajemukkan dua kali
setahun). Formula dalam complex deferred annuity untuk A. dan S.
adalah sebagai berikut:
Anc (da) = R = R (2-39)
Snc (da) = R = R
.(2-40)
Jumlah pembayaran setiap tahun dari contoh di atas dapat
dihitung sebagai berikut :
R = Anc (da) .
= 800.000 . . (1+0,06)2.2
= 800.000 (0,13586795)(2,06)(1,262477)
= Rp 282.682,-
Untuk menghitung jumlah penerimaan atau jumlah pembayaran dari
sebuah annuity dapat diselesaikan dengan menggunakan formula (2-38)
dan untuk menghitung present value pergunakan formula (239). Untuk
menghitung tingkat bunga dan jangka waktu dari sebuah complex
deferred annuity sama halnya dengan menggunakan anuitas biasa.
Apabila nilai i dan n tidak tersedia dalam daftar lampiran, dapat
diselesaikan dengan menggunakan metode interpolasi. Sebagai
kesimpulan: interval pembayaran dan bunga majemuk dalam complex
annuity mempunyai interval yang berbeda. Apabila complex annuity
diubah menjadi simple annuity, dapat dilakukan dengan cara
menyamakan interval pembayaran dengan interval bunga majemuk.
Bermacam-macam cara dalam perhitungan keuangan yang telah
"disajikan dalam bab ini bertujuan untuk menambah wawasan dari para
mahasiswa maupun pembaca lainnya dalam menyusun studi kelayakan
bisnis. Perhitungan keuangan yang disajikan, baik dalam bentuk
bunga biasa, bunga majemuk, dan anuitas yang telah disajikan ini
erat hubungannya dengan kebijaksanaan keuangan dalam menyusun suatu
gagasan usaha/proyek yang direncanakan. Diharapkan dengan adanya
pengetahuan dalam mathematics of finance yang sering disebut dengan
business mathematic, banyak hal yang dapat dibantu dalam
memperkirakan tentang posisi usaha/proyek yang akan diusulkan
sehingga hasil dari studi kelayakan bisnis yang akan disusun
memberikan hasil yang maksimal.
3. Ringkasan-
Perhitungan bunga dan nilai uang dapat dilakukan dengan
menggunakan perhitungan simple interest (bunga biasa), compound
interest (bunga majemuk), dan annuity (anuitas). Dilihat dari
sifatnya, annuity dapat digolongkan atas dua bagian yaitu simple
annuity dan complex annuity. Simple annuity dilihat dari tanggal
pembayaran dad sebuah annuity, dan dapat dibagi atas ordinary
annuity, annuity due, dan deferred annuity. Complex annuity dapat
dibagi atas complex ordinary annuity, complex annuity due, dan
complex deferred.