Bab 8 Elastis Dua Dimensi

7/25/2019 Bab 8 Elastis Dua Dimensi

1/14

BAB VIII. ELASTISITAS DUA DIMENSI

Teori elastisitas yang telah di bahas pada bab sebelumnya berhubungan dengan

kondisi tegangan dalam bodi elastisitas tiga dimensi. Kasus khusus tentang

permasalahan dua dimensi akan dibahas dalam bab ini. Pembahasan dibatasi pada

elemen segitiga karena integralnya dapat di evaluasi relative mudah. Matriks

elemen untuk elemen segiempat dan semua elemen berorder lebih akan dievaluasi

dengan teknik integral numeric pada bab X.

8.1 plane Stress dan plane Strain

Reduksi dari permasalahan tiga dimensi ke permasalahan dua dimensi dapat

terjadi melalui dua kondisi, yaitu kondisi plane stress dan kondisi plane strain.

8.1.1 Plane Stress

Kondisi plane stress dikatakan ada jika bidi elastic adalah sangat tipis dan tidak

ada pembebanan pada arah kordinat parallel terhadap ketebalan. Komponen-

komponen tegangan berhubungan dengan arah ketebalan, !!, , !"dan , !y adalah

sangat kecil sehingga diasumsikan sama dengan nol, jika ada pembebanan pada

permukaan "-y #gambar $.%&

'ubstitusikan harga-harga nol untuk !!, , !" dan , !y kedalam #(.%&

menunjukan komponen-komponen yang tidak nol adalah !!, , !" dan , !y.

)ector tegangan dapat ditulis sebagai

#$.%&

'ubstitusikan harga-harga tegangan nol kedalam hokum *ook + /01

+menggunakan #(.(& untuk /01 menunjukan bah2a

# $.3&


2/14

Regangan normal. !! adalah tidak nol, dan regangan ini dapat dihitung, jika ""

dan yydiketahui.

4ambar $.%. bodi tipis dalam kondisi plane stress

5ua regangan geser berhubungan dengan aksis-! juga sama dengan nol, sehingga

vector regangan adalah

#$.6&

)ector regangan total menjadi

#$.7&

'ementara

#$.8&

Matrik /51, yang menghubungkan + dan +untuk plane stress, diperoleh

dengan meghilangkan baris dan kolom tiga, lima, dan enam dari #(.(& dan

menginvers sisa matriks 6"6. *ubungan 9inal


3/14

#$.:&

8.1.2 Plane Strain

Kondisi plane strain terjadi jika sebuah bodi tidak bebas berekpansi pada arah

tegak lurus terhadap permukaan beban. ;ika kita asumsikan bah2a gaya-gaya

bekerja pada permukaan x-y, maka simpangan pada arah-z, adalah nol dan

simpangan udan v hanya sebagai 9ungsi " dan y saja. *al ini menyebabkan e !!, e"!,

dan ey!sama dengan nol.

'ubstitusikan harga-harga nol tersebut, maka vector regangan menjadi

#$.(&

#$.$&

5an

#$.


4/14

#$.%%&

Matriks /51 dapat diperoleh dari #:.$& dengan menghilangkan baris dan

kolom tiga, lima, enam.

#$.%3&

5imana

#$.%6&

8.2. Persamaan-Persamaan Simpangan

>da dua simpangan belum diketahui dalam permasalahan elastisitas dua dimensi,

yaitu udan v. 'impangan parallel terhadap aksis-!, 2 adalah nol jika kondisinya

plane strain dan sebagai 9ungsi u dan v jika kondisinya plane stress. 'impangan u

dan v di modelkan sebagai elemen kontinum dengan mende9enisikan komponnen

dua simpangan pada setiap titik nodal #gambar $.3&

Model paling sederhana unntuk u dan v adalah menggunakan variasi

linier unntuk setiap simpangan adalah elemen. 'impangan hori!ontal u didekati

dengan

#$.%6&

'edangkan komponen vertical v di2akili oleh


5/14

#$.%7&

4ambar $.3. simpangan-simpangan titik nodal untuk elemen segitiga linier elastic

5alam setiap persamaan, ?i,?j, dan ?k adalah 9ungsi-9ungsi interpolasi

dikembangkan dalam bab @@@ dan diberikan oleh #6.$&, #6.tau


6/14

#$.%(&

5imana /?1 adalah matriks 3": mengandung 9ungsi-9ungsi interpolasi dan

+A#e&mengandung simpangan-simpangan titik nodal elemen.

*ubungan tegangan-regangan tiga dimensi #(.%3& tereduksi menjadi

#$.%$&

Karena 2 adalah nol dan u dan v tidak merupakan 9ungsi !. substitusikan #$.%6&

kedalam #$.%$&, kemudian dide9erensialkan, diperoleh

#$.%


7/14

#$.3%&

Persamaan #$.3%& mende9enisikan matriks gradient 6":, /B1 untuk elemen

segitiga. ;umlah baris melampui dimensi dari permasalahan karena memang ada

tiga komponnen simpangan yang belum diketahui dalam permasalahan dua

dimensi.

8. Matri-Matris Elemen

Matriks kekakuan elemen diberikan oleh #(.6=&

#$.33&

5imana /B1 dide9enisikan dengan #$.3%& dan /51 dengan #$.:& atau #$.%3&. @ntegral

ini siap dievaluasi karena /B1 dan /51 terdiri dari ungkapan-ungkapan konstan.

*asilnya adalah

#$.36&

5imana t adalah tebal elemen dan A adalah luasan elemen. *asil kali matriks

/B1T/51/B1 dapat dilakukan dengan computer. *arga t digunakan dalam #$.36&

adalah tebal sesungguhnya untuk kondisiplane stressdan sama dengan satu untuk

kondisiplane strain

)ector gaya elemen di berikan dalam #(.6%& setelah mengabaikan gaya

bodi, C dan tegangan permukaan p!. sedangkan dua komponen yang lain eksis

dalam permasalahan dua dimensi. *asil persamaan adalah

#$.37&

5imana /?1 dide9inisikan oleh #$.%(&


8/14

@ntegral pertama dalam #$.37& mudah dievaluasi karena matriks-

matriksnya hanya mengandung koe9isien-koe9isien konstan. *asil integral adalah

#$.38&

Perkalian matriks relative mudah dievaluasi, tetapi prosedur terbaik adalah

dilakukan dengan computer. 0atatan perkalian bah2a /B1T /51 juga terjadi dalam

/k#e&1, #$.36&, sehinga ini dapat di evaluasi dalam 5D-loop yang sama.

@ntegral volume melibatkan gaya-gaya bodi adalah mudah dievaluasi jika

9ungsi-9ungsi interpolasi diganti dengan eEuivalen koordinat luasannya. @ntegral

gaya bodi adalah

#$.3:&

@ntegral #$.37& yang melibatkan tegangan permukaan p"dan pyharus diintegrasi

sepanjang sisi elemen. 0atatan bah2a dF tdl3, sehingga integral menjadi


9/14

#$.3(&

5imana G adalah panjang sisi. @ntegral #$.3(& mempunnyai tiga harga sisi yang

berbeda, yang meliputi sisi ij, jk, ik. >sumsikan bah2a tegangan-tegangan

permukaan bekerja pada sisi ij, #$.3(& menjadi

#$.3$&

>kan tetapi,Nkadalah nol sepanjang sisi ij. 5engan menggunakan 9akta ini dan

substitusikan koordinat luasan untuk 9ungsi-9ungsi interpolasi, menghasilkan

#$.3


10/14

#$.6=&

Masing-masing untuk sisijkdanik.

Perlu diperhatikan bah2a p" dan pyadalah positi9 jika diarahkan pada

arah-arah koordinat positi9. >rah-arah positi9 ditunjukan dalam gambar $.6

4ambar $.6. >rah-arah tegangan permukaan positi9.

!"nt"# il$strasi

*itunglah matriks kekakuan elemen dan vector gaya termal untuk elemen plane

stress ditunjukan dalam gambar $.7. elemen mengalami kenaikan temperature

%=o0.

Matriks kekakuan elemen diberikan oleh #$.36& sebagai /k#e&1 t>/B1T

/51 /B1. 4radien matriks /B1 adalah


11/14

4ambar $.7. Hlemen elastic segitiga

5imana > #6& #3& I 3 6 cm3dan

'ubstitusi memberikan

*ukum *ooke dalam matriks /51, #$.:& adalah


12/14

Hvaluasi /k#e&1 dapat dimulai dengan mengevaluasi /B1T/51 karena

perkalian ini juga terjadi saat mengevaluasi vector gaya termal.

)ector gaya termal diberikan oleh #$.38& adalah + ft(e)

/B1T/51+Tt> .

vector regangan adalah


13/14

4unaka perkalian /B1T/51 sebelumnya, di peroleh

8.%. Tegangan- Tegangan Elemen

*asil yang di perlukan dalam permasalahan elastisitas adalah komponen-

komponen tegangan bekerja pada bodi. Komponen-komponen tegangan dalam

suatu elemen dapat dihitung, sekali simpangan-simpangan titik nodal elemen

diketahui. Komponen-komponen tegangan diberikan oleh #(.67& menggunakanvector-vektor +,+, +T seperti di de9enisikan pada a2al bab ini.

!"nt"# Il$strasi

*itunglah komponen-komponen tegangan untuk elemen dalam gambar $.7 jika

simpangan titik nodal adalah

Komponen-komponen tegangan diberikan oleh + /51/B1+A#e&-+T.

5engan menggunakan /B1,/51, dan +T pada contoh ilustrasi yang berhubungan

dengan gambar $.7, di peroleh


14/14

5an

Komponen-komponen tegangan adalah

Komponen-komponen tegangan adalah konstan dalam elemen linier.

*arga ini diasumsikan pada titik pusat elemen segitiga. *arga-harga yang konstan

ini merupakan kelemahan dari elemen linier.

Bab 8 Elastis Dua Dimensi

Documents