BAB 6. INTEGRASI VEKTOR
BAB 6. INTEGRASI VEKTOR PENDAHULUAN Pada bab ini terdapat 4
sub-bab yg perlu diperhatikan Ke-4 sub-bab itu merupakan dasar dari
Integrasi Vektor Empat sub-bab yg harus dipelajari meliputi : 1.
Integral biasa vektor integral tak-tentu dan tertentu 2. Integral
Garis (Kurva) integral suatu lintasan 3. Integral Permukaan
integral luas bidang datar 4. Integral Volume integral isi bidang
tertutup6.1. INTEGRAL BIASA Bila A adalah gaya F pada sebuah
partikel yg bergerak sepanjang C maka integral garis ini menyatakan
usaha yg dilakukan oleh gaya. 6.2. INTEGRAL GARIS 6.3. INTEGRAL
PERMUKAAN Integral-integral permukaan (luas) lainnya Untuk
menghitung integral permukaan (luas) akan lebih mudah86.4. INTEGRAL
VOLUME Karena B merupakan balok yg melingkupi benda ruang G, maka
integral volume : Contoh soal Integrasi Vektor Jawaban contoh soal
Integrasi Vektor 4. B = 2xz i x j + y2 k dan x = 0 , y = 0 , z = 4
dan z = x2 Latihan soal/PR BAB.7. MATRIKS (Matrices) Pendahuluan
Matriks merupakan sederetan bilangan berbentuk persegi panjang yg
diapit oleh sepasang kurung siku dan memenuhi aturan2 tertentu yg
diberikan oleh operasi ini. Sebagai contohnya : a. 2 3 7 b. 1 3 1 .
1 1 5 2 1 4 . 4 7 6 . Matriks a dapat dipandang sebagai matriks
koefisien dari per- . samaan linier : 2x + 3y + 7z = 0 dan x y + 5z
= 0 . bisa juga sebagai matriks lengkap persamaan linier tak- .
homogen : 2x + 3y = 7 dan x y = 5 17Matriks b, dapat dianggap
baris2nya sebagai koordinat titik (1,3,1) dan (4,7,6). Matriks a11
a12 a13 .. a1n . a21 a22 a23 . a2n . disebut matriks berordo m x n.
. am1 am2 am3 amn
bilangan/fungsi aij disebut elemen, contohnya : a12, a23 dst.
dalam penulisan subscript ganda, subscript pertama : baris dan .
subscript kedua : kolom. Jadi semua elemen pada baris kedua .
mempunyai 2 sebagai subscript pertama dan semua elemen pd . kolom
kelima mempunyai 5 subscript kedua, dst. Dalam menunjukkan sebuah
matriks kadang dipakai sepasang tanda kurung ( ), garis tegak ganda
| |, tapi umumnya digunakan kurung siku ganda [ ] 7.1. Matriks
Bujur sangkar Bila m = n, (1,1) adalah bujur sangkar dan akan
disebut matriks bujur sangkar berordo n atau sebuah matriks
bujursangkat n. Dalam suatu matriks bujur sangkar, elemen a11, a22,
amn disebut elemen diagonal. Jumlah elemen2 diagonal matriks bujur
sangkar A disebut trace A. Matriks Sama Dua matriks A = [aij] dan B
= [bij] disebut sama, A = B, jika dan hanya jika keduanya berordo
sama serta setiap elemen yg seletak sama, yaitu jika dan hanya jika
: aij = bij dimana i = 1, 2, 3,m dan j = 1, 2, 3,.n. Jadi dua
matriks dikatakan sama jika dan hanya jika yg satu merupakan
duplikat yg lainnya. Matriks Nol Matriks yg semua elemennya nol
disebut matriks nol. Jadi A = 07.2. Jumlah dan Selisih Matriks Jika
A = [aij] dan B = [bij] ,dua buah matriks m x n, maka jumlah atau
selisih, A B didefinisikan sebagai matriks C = [cij], m x n, dengan
tiap elemen C adalah jumlah atau selisih elemen A dan elemen B yg
seletak. Jadi A B = [aij bij]. Contoh : A = 2 2 3 B = 2 3 1 . 2 1 4
-1 2 - 3 maka . A + B = 2+2 2+3 3+1 4 5 4 . 2+( 1) 1+2 4+( 3) = 1 3
1 A B = 2 2 2 3 3 1 0 1 2 . 2 ( 1) 1 2 4 ( 3) = 3 1 7 Dua matriks
berordo sama disebut bersesuaian untuk penjumlah- an atau
pengurangan Dua matriks berordo berbeda tidak dapat dijumlahkan
atau dikurangkan. Contohnya : pada matriks a dan b di atas, tidak
dapat dijumlahkan atau dikurangkan. Jumlah dari k buah matris A
adalah suatu matriks yg berordo sama dengan A dan besar tiap
elemennya adalah k kali elemen A yg seletak. Contoh : A = 1 2 . 2 3
maka . 3 A = A 3 = A + A + A = 1 2 + 1 2 + 1 2 3 6 . 2 3 2 3 2 3 =
6 9 5 A = 5 10 . 10 15 Dengan asumsi bahwa matriks A, B dan C
adalah bersesuaian untuk penjumlahan, dapat dinyatakan : 1. A + B =
B + A Hukum Komutatif 2. A + (B + C) = (A + B) + C Hukum Asosiatif
3. k (A + B) = kA + kB = (A + B) k 4. Terdapat suatu matriks D
sedemikian sehingga A + D = B Hukum2 ini merupakan hasil dari hukum
aljabar elementer yg mengatur penjumlahan bilangan dan polinom.
7.3. PERKALIAN MATRIKS Bila matriks A = [ a11 a12 a13 a1m ] yg
berordo 1 x m dan matriks B = b11 . b21 . . . bm1 yg berordo m x 1.
Maka hasil kali AB = C [a11 b11 + a12 b21 + a12 b31 + + a1m bm1] yg
berordo 1 x 1 Perhatikan bahwa operasinya adalah elemen baris
dikalikan elemen kolom yg sepadan lalu hasilnya dijumlahkan. Contoh
: A = a11 a12 B = b11 b12 . a21 a22 b21 b22 a31 a32 maka A B = a11
a12 b11 b12 . a21 a22 b21 b22 = . a31 a32 .A B = a11 a12 b11 b12 .
a21 a22 b21 b22 = . a31 a32 . a11 b11 + a12 b21 a11 b12 + a12 b22 .
a21 b11 + a22 b21 a21 b12 + a22 b22 . a31 b11 + a32 b21 a31 b12 +
a32 b22 Hasil kali AB terdefinisi atau A bersesuaian terhadap B utk
perkalian, hanya jika banyaknya kolom A sama dengan baris B. Bila A
bersesuaian terhadap B utk perkalian, maka B tidak perlu
bersesuaian terhadap A utk perkalian. Dengan anggapan bahwa A, B, C
bersesuaian utk jumlah dan hasil kali yg ditunjukkan, ada beberapa
ketentuan : 5. A(B + C) = AB + AC Hukum Distributif 1 6. (A + B) C
= AC + BC Hukum Distributif 2 7. A(B+C) = (AB)C Hukum Asosiatif
7.4. Hasil-kali Matriks dengan Partisi Dalam sembarang partisi
demikian diperlukan bahwa kolom2 A dan baris2 B dipartisi secara
eksak dengan cara yg sama; tetapi Contoh soal Matriks 1. Bila
matriks A = 1 2 1 0 dan B = 3 4 1 2 . . 4 0 2 2 1 5 1 3 . 2 -5 2 1
2 -2 3 -2 . Tentukan a. A + B . b. A B 2. Jika diberikan matriks P
= 1 2 dan Q = -3 -2 . 3 4 1 -5 . 5 6 4 3 . Hitunglah R sedemikian
rupa sehingga P + Q R = 0 ? 3. a. Bila matriks K = [ 2 3 -1 ] dan L
= 4 . 5 . 6 . Tentukan K L ? .3b. Bila matriks K = [ 2 3 -1 ] dan L
= 4 . 5 . 6 . Tentukan LK ? 3c. Bila matriks M = [ 3 2 1 ] dan N =
4 -6 9 6 . 0 -7 10 7 . 5 8 -11 -8 . Tentukan MN ? 3d. Bila matriks
O = 2 3 4 dan P = 1 . 1 5 6 2 . 3 . Tentukan OP ? 3e. Bila matriks
Q = 1 2 1 dan R = 3 -4 . 4 0 2 1 5 -2 2 Tentukan QR ? . 4. Bila
matriks A = 1 -1 1 dan B = 1 2 3 . -3 2 -1 2 4 6 -2 1 0 1 2 3
Tentukan AB dan BA ? 5a. Bila matriks S = 2 1 0 dan T = 1 1 1 0 . 3
2 0 2 1 1 0 1 0 1 2 3 1 2 Tentukan ST dengan metode parsial ? 5b.
Bila matriks U = 1 0 0 1 dan V = 1 0 0 . 0 1 0 2 0 1 0 0 0 1 3 0 0
1 . 3 1 2 Tentukan UV dengan metode parsial ? Jawaban contoh soal
Bab 7. Matriks 1. 1 2 1 0 3 4 1 2 4 6 2 2 . . . 4 0 2 2 + 1 5 1 3 =
5 5 3 5 . . 2 -5 2 1 2 -2 3 -2 4 -7 5 -2 1 2 1 0 3 4 1 2 -2 -2 0 -2
. . . 4 0 2 2 1 5 1 3 = 3 -5 1 -1 . . 2 -5 2 1 2 -2 3 -2 0 -3 -1 3
2. P + Q R = 0 1 2 -3 -2 a b 0 0 . . 3 4 + 1 -5 c d = 0 0 . . 5 6 4
3 e f 0 0 1 3 a = 0 2 2 b = 0 3 + 1 c = 0 . a = - 2 b = 0 c = 4 . 4
5 d = 0 5 + 4 e = 0 6 + 3 f = 0 . d = - 1 e = 9 f = 9 Jadi R = -2 0
. 4 -1 . 9 9 3a. KL = [ 2 3 -1] 4 . 5 = [ 2(4) + 3(5) +(-1)(6) ] =
[ 17 ] . 6 3b. LK = 4 [ 2 3 -1 ] = 4(2) 4(3) 4(-1) = 8 12 -4 . 5
4(2) 5(3) 5(-1) 10 15 -5 . 6 6(2) 6(3) 6(-1) 12 18 -6 3c. MN = [ 3
2 1 ] 4 -6 9 6 . 0 -7 10 7 = . . 5 8 -11 -8 = [3(4) + 2(0) + 1(5)
3(-6) + 2(-7) + 1(8) 3(9) + 2(10) + 1(-11) 3(6) + 2(7)+1(-8) ] . =
[ 17 -24 36 18 ] . 3d. OP = 2 3 4 1 2(1) + 3(2) + 4(3) 20 . 1 5 6 2
= 1(1) + 5(2) + 6(3) = 29 . . 3 3e. QR = 1 2 1 3 -4 1(3) + 2(1) +
1(-2) 1(-4) + 2(5) + 1(2) . 4 0 2 1 5 = 4(3) + 0(1) + 2(-2) 4(-4) +
0(5) + 2(2) -2 2 . = 3 8 . 8 -12 4. EF = 1 -1 1 1 2 3 . . -3 2 -1 2
4 6 = -2 1 0 1 2 3 . = 1(1)+(-1)(2)+1(1) 1(2)+(-1)(4)+1(2)
1(3)+(-1)(6)+1(3) . -3(1)+2(2)+(-1)(1) (-3)(2)+2(4)+(-1)(2)
(-3)(3)+2(6)+(-1)(3) (-2)(1)+1(2)+(0)(1) (-2)(2)+(1)(4)+(0)(2)
(-2)(3)+1(6)+(0)(3) . = 0 0 0 0 . 0 0 0 0 . 0 0 0 0 FE = 1 2 3 1 -1
1 . . 2 4 6 -3 2 -1 = 1 2 3 -2 1 0 . = 1(1)+(2)(-3)+3(-2)
1(-1)+(2)(2)+3(1) 1(1)+(2)(-1)+3(0) . 2(1)+4(-3)+(6)(-2)
(2)(-1)+4(2)+(6)(1) (2)(1)+4(-1)+(6)(0) (1)(1)+2(-3)+(3)(-2)
(1)(-1)+(2)(2)+(3)(1) (1)(1)+2(-1)+(3)(0) . = -11 6 -1 . -22 12 -2
. -11 6 -1 Jadi EF FE 5a. ST dengan metode Partisi : 2 1 0 1 1 1 0
S11 T11 + S12T21 S11T12 + S12T22 . 3 2 0 2 1 1 0 S21T11 + S22T21
S21T12 + S22T22 1 0 1 2 3 1 2 2 1 1 1 1 + 0 [ 2 3 1] 2 1 + 0 [ 2 ]
. 3 2 2 1 1 0 3 2 0 . . . [1 0] 1 1 1 + [ 1 ] [2 3 1] [1 0] 0 + [ 1
] [ 2 ] . 2 1 1 0 4 3 3 + 0 0 0 0 + 0 . 7 5 5 0 0 0 0 0 . . [ 1 1 1
] + [ 2 3 1 ] [ 0 ] + [ 2 ] . 4 3 3 0 . . 7 5 5 0 . . 4 3 3 0 . = 7
5 5 0 . [ 3 4 2 ] [ 2 ] 3 4 2 2 5b.. UV dengan metode Partisi 1 0 0
1 1 0 0 . . . 0 1 0 2 0 1 0 0 0 1 3 0 0 1 [ U11V11 U12V21 ] . 3 1 2
. 1 0 0 1 0 0 + 1 1 0 0 3 1 2 . 0 1 0 0 1 0 2 [ 3 2 1] = 0 1 0 6 2
4 . 0 0 1 0 0 1 3 0 0 1 9 3 6 . 4 1 2 . 6 3 4 . 9 3 7 SOAL
LATIHAN/PR Bab 7. MATRIKS 1. A = 1 2 -3 , B = 3 -1 2 dan C = 4 1 2
. 5 0 2 4 2 5 0 3 2 . . Hitunglah : a. A + B = ? dan A C = ? . b. D
bila A B + C = 0 ? 2. P = 1 3 2 Q = 1 4 1 0 R = 2 1 -1 -2 . 2 1 -3
2 1 1 1 3 -1 -1 -1 . 4 -3 -1 1 -2 1 2 2 -5 -1 0 . Buktikan bahwa :
PQ = PR 3. K = 1 0 0 0 0 0 L = 1 0 0 0 0 0 . 0 2 0 0 0 0 0 1 0 0 0
0 . 0 0 3 0 0 0 0 0 1 0 0 0 . 0 0 0 4 0 0 0 0 0 3 0 0 . 0 0 0 0 5 0
0 0 0 0 2 0 . 0 0 0 0 0 6 0 0 0 0 0 3 . Hitunglah KL dengan metode
Parsial ? BAB 8. JENIS-JENIS MATRIKS Pendahuluan Matriks dapat
dibagi atas beberapa jenis, dalam SAP dibedakan atas 8(delapan)
jenis Ada delapan jenis matriks yg perlu dipelajari dalam kuliah
Matriks yaitu yg akan dijelaskan secara singkat di bawah. . 8.1
MATRIKS SATUAN - Matriks bujur-sangkar A yg elemen2nya aij = 0 utk
i j di- . sebut segitiga atas . - Matriks bujur sangkar A yg
elemen2ny aij = 0 utk i < j disebut . segitiga bawah . - Matriks
diagonal . a11 a12 a13 a1n a11 0 0 0 . . 0 a22 a23 a2n a21 a22 0 0
. 0 0 a33 .a3n a31 a32 a33 0 . . ,,,. . . . . . . . . 0 0 0 0 0 ann
an1 an2 an3 ann . . a11 0 0 . 0 . 0 a22 0 . 0 . 0 0 a33 . 0 =
matriks diagonal = diag (a11, a22, a33, ..ann ) . . .. .. . . 0 0 0
ann - Bila dalam matriks diagonal D, a11 = a22 = .= ann = k, D
disebut matriks skalar. - Bila k = 1 matriks itu disebut matriks
satuan atau matriks identitas, ditunjukkan oleh In. Misalnya : I2 =
1 0 I3 = 1 0 0 . 0 1 0 1 0 . 0 0 1 8.2 MATRIKS BUJUR SANGKAR KHUSUS
Bila A dan B matriks bujur sangkar sedemikian sehingga AB = BA,
maka A dan B disebut komutatif atau dapat saling dipertukarkan.
Bila A dan B sedemikian sehingga AB = BA,maka matriks A dan B
disebut anti-komutatif Matriks A dengan sifat Ak+1 = A dengan k
bulat positif, disebut periodik Bila k bilangan bulat positif
terkecil utk mana Ak+1 = A. maka A disebut berperiode k Bila k = 1
sehingga A2 = A maka A disebut idempoten Matriks A utk mana Ap=0
dengan p bilangan bulat positif disebut nilpoten Bila p bilangan
bulat positif terkecil utk mana Ap = 0 maka A disebut nilpoten
berindex p 8.4 TRANSPOSE MATRIKSMatriks berordo m x m yg diperoleh
dari penukaran baris dengan kolom matriks A, m x m disebut tanspose
dari A dan dinyatakan oleh A. Misalnya : . A = 1 2 3 A = 1 4 . 4 5
6 2 5 . . 3 6 Perhatikan bahwa elemen aij pada baris ke i dan kolom
ke j dari A berada pada baris ke j dan kolom ke i dari A. Bila A
dan B masing2 transpose dari A dan B, dan jika k suatu skalar maka
: a. (A) = A b. (kA) = kA c. (A + B) = A + B d. (AB) = B A8.3
MATRIKS BALIKAN (Matriks Invers) Bila A dan B matriks bujur sangkar
sedemikian sehingga AB = BA = I maka B disebut invers (balikan)
dari A, B = A-1 . Matriks B juga mempunyai invers, yaitu A, ditulis
A = B-1 Misal : . 1 2 3 6 -2 -3 1 0 0 . 1 3 3 -1 1 0 = 0 1 0 = I .
1 2 4 -1 0 1 0 0 1 Jika A and B matriks bujur sangkar berordo sama
dengan invers masing2 A-1 dan B -1 maka (AB)-1 = B-1 A-1 Sebuah
matriks sedemikian sehingga A2 = I disebuat involuntari. Jadi
matriks involuntari adalah balikannya sendiri. Misalnya matriks
satuan. 8.5 MATRIKS SIMETRI Matriks A sedemikian sehingga A = A
disebut simetri. Jadi suatu matriks bujur sangkar A = [aij ] adalah
simetri asalkan aij = aji untuk semua i dan j. Misalnya : . A = 1 2
3 . 2 4 -5 . 3 -5 6 adalah simetri dan juga kA untuk sembarang
skalar k.Jika A matriks bujur sangkar berordo n maka A + A adalah
simetri Matriks bujur sangkar A sedemikian sehingga A = A disebut
simetri miring. Jadi suatu matriks bujur sangkar A adalah simetri
miring aij = aji untuk semua nilai i dan j. Dan elemen2 diagonal
nol. Misalnya : . A = 0 -2 3 . 2 0 4 . -3 -4 0 adalah simetri
miring dan juga kA utk sebarang k.8.6 KONYUGAT SUATU MATRIKS 3.
Konyugat jumlah dua matriks adalah jumlah konyugatnya, yaitu 8.7
MATRIKS HERMITE 8.8 MATRIKS JUMLAH LANGSUNG Tetapkan A1, A2, , As
masing2 adalah matriks bujur sangkar berordo m1, m2, ,ms. A = A1 0
. 0 . 0 A2 0 = diag (A1, A2, As) . .. . 0 0 As dari matriks
diagonal disebut jumlah langsung dari As. Contohnya : tetapkan A1 =
1 2 dan A2 = 1 2 -1 . 3 4 2 0 3 . 4 1 -2 Jumlah langsung A1, A2, A3
adalah diagonal (A1, A2, A3) = . = 2 0 0 0 0 0 . 0 1 2 0 0 0 . 0 3
4 0 0 0 . 0 0 0 1 2 -1 . 0 0 0 2 0 3 . 0 0 0 4 1 -2 Contoh soal
Jenis Matriks 1. Buktikan bahwa matriks A = 2 -2 -4 . -1 3 4 adalah
idempoten ? . 1 -2 -3 2. Bila B = 1 1 3 . 5 2 6 buktikan bahwa
matriks B nilpoten berordo 3 . -2 -1 -3 3. Diketahui matriks P = 2
3 6 dan Q = 4 5 . 5 4 -1 2 3 . 1 0 . Tentukan : a. PQ . b. PQ
(transpose P dikali transpose Q) ? 4. Jika K = 1 2i - i dan L = 2
2i i . 3 2 + 3i 2 2 3i . Hitunglah : Jawaban contoh soal Jenis2
Matriks 1. 2 -2 -4 2 -2 -4 . . -1 3 4 -1 3 4 = . . 1 -2 -3 1 -2 -3
2(2)+(-2)(-1)+(-4)(1) 2(-2)+(-2)(3)(-4)(-2) 2(-4)+(-2)(4)+(-4)(-3)
. -1(2)+3(-1)+4(1) -1(-2)+3(3)+4(-2) -1(-4) +3(4)+4(-3) .
1(2)+(-2)(-1)+(-3)(1) 1(-2+(-2)(3)+(-3)(-2) 1(-4)+(-2)(4)+(-3)(-3)
. = 2 -2 -4 . -1 3 4 . 1 -2 -3 2. B2 = B B = 1 1 3 1 1 3 . 5 2 6 5
2 6 . -2 -1 -3 -2 -1 -3 . = 1(1)+1(5)+3(-2) 1(1)+1(2)+3(-1)
1(3)+1(6)+3(-3) . 5(1)+2(5)+6(-2) 5(1)+2(2)+6(-1) 5(3)+2(6)+6(-3) .
(-2)(1)+(-1)(5)+(-3)(-2) (-2)(1)+(-1)(2)+(-3)(-1)
(-2)(3)+(-1)(6)+(-3)(-3) . = 0 0 0 . 3 3 9 . -1 -1 -3 B3 = B2 B = 0
0 0 1 1 3 . 3 3 9 5 2 6 . -1 -1 -3 -2 -1 -3 . = 0 0 0 .
3(1)+3(5)+9(2) 3(1)+3(2)+(9)(1) 3(3)+3(6)+9(-3) .
(-1)(1)+(-1)(3)+(-3)(-2) (-1)(1)+(-1)(2)+(-3)(-1)
(-1)(3)+(-1)(6)+(-3)(-3) = 0 0 0 . 0 0 0 . 0 0 0 . 3a. PQ = 2 3 6 4
5 2(4)+3(2)+6(1) 2(5)+3(3)+6(0) . 5 4 -1 2 3 = 5(4)+4(2)+(-1)(1)
5(5)+4(3)+(-1)(0) . 1 0 . = 20 19 . 27 21 3b. P Q = . SOAL
LATIHAN/PR JENIS2 MATRIKS 1. Buktikan bahwa matriks P = 2 -3 -5 .
-1 4 5 . 1 -3 -4 adalah idempoten ? 2. Bila matriks Q = 1 -2 -6 . .
-3 2 9 . . 2 0 -3 buktikan bahwa matriks Q nilpoten ? 3. Buktikan
bahwa matriks A = 1 2 3 . 2 5 7 . -2 -4 -5 adalah balikan (invers)
. dari matriks B = 3 -2 -1 . -4 1 -1 . 2 0 1 4. Buktikan bahwa
matriks D, adalah matriks Hermite ? . D = 1 1+i 2+3i . 1- i 2 -i .
2-3i i 0 BAB 9. DETERMINAN MATRIKS BUJUR SANGKAR