Bab 3 barisan dan deret

BAB 3

BARISAN DAN DERETPenerbit Erlangga

Kompetensi Dasar

• Mengidentifikasi pola, barisan, dan deretbilangan.

• Menerapkan konsep barisan dan deretaritmetika.

• Menerapkan konsep barisan dan deret geometri.

A. POLA BILANGAN, BARISAN

BILANGAN, DAN NOTASI SIGMA1. Pola dan Barisan Bilangan

▫ Barisan bilangan adalah susunan anggota suatuhimpunan bilangan yang diurutkan berdasarkan pola(aturan) tertentu.

▫ Sekumpulan bilangan yang sering ditemui kadangmengikuti pola tertentu. Misalnya, Barisan bilangan asli: 1, 2, 3, 4, 5, . . .

Barisan bilangan genap: 2, 4, 6, 8, 10, . . .

Barisan bilangan ganjil: 1, 3, 5, 7, 9, . . .

▫ Anggota barisan bilangan disebut suku barisan yang dinyatakan sebagai berikut.

U1, U2, U3, . . . , Un

2. Notasi Sigma

Untuk menuliskan jumlah dari suku-sukubarisan bilangan dapat digunakan notasi sigma atau notasi penjumlahan sebagai berikut.

Huruf Yunani sigma ( Σ ) digunakan untukmendefinisikan penjumlahan, dengan k disebut indeks penjumlahan.

• Sifat-sifat notasi sigma

B. Barisan dan Deret Aritmetika

1. Barisan Aritmetika• Jika terdapat suatu pola (aturan) tertentu antara suku-suku pada

barisan, yaitu selisih antara kedua suku yang berurutan selalu tetap(konstan), maka barisan bilangan itu disebut barisan aritmetika.

• Jika suku pertama (U1) dinyatakan dengan a, selisih ( beda) antaradua suku berurutan diberi notasi b, dan suku barisan ke-n dilambangkan dengan Un, maka bentuk umum barisan aritmetikaadalah sebagai berikut.

▫ U1 = a = a + 0 · b = a + (1 – 1) b

▫ U2 = U1 + b = a + b = a + 1 · b = a + (2 – 1) b

▫ U3 = U2 + b = (a + b) + b = a + 2 · b = a + (3 – 1) b

▫ U4 = U3 + b = (a + 2b) + b = a + 3 · b = a + (4 – 1) b

• Rumus suku ke-n barisan aritmetika

dimana b = Un – Un–1, dengan b sebuah konstantayang tidak bergantung pada n.

Contoh

2. Deret Aritmetika

Seperti yang telah dijelaskan di depan bahwapenjumlahan berurut suku-suku dari suatubarisan disebut deret.

• Contoh:

▫ 2 + 4 + 6 + 8 + . . . .

▫ 3 + 7 + 11 + 15 + . . . .

• Rumus jumlah n suku pertama dari deretaritmetika dapat dinyatakan sebagai berikut :

Atau

dengan Sn : jumlah n suku pertama

Un : suku ke-n

a : suku pertama

b : beda

n : banyak suku

Contoh

C. Barisan dan Deret Geometri

1. Barisan Geometri

Barisan geometri adalah suatu barisan bilanganyang setiap suku berikutnya diperoleh denganmengalikan suatu bilangan yang besarnya tetap(r = rasio). Apabila diketahui barisan bilangan:

U1, U2, U3, U4,…,Un

Nilai r diperoleh dari

Rumus suku ke-n barisan geometri

• dengan, Un : suku ke-n

a : U1 = suku pertama

r : rasio antara dua suku yang berurutan

n : banyak suku

Contoh

2. Deret Geometri ( Deret Ukur)

Penjumlahan suku-suku dari barisan geometriyang berurutan disebut deret geometri. Sepertipada deret aritmetika, deret geometri jugadinyatakan dengan Sn, yaitu:

Sn = U1 + U2 + U3 + U4 + . . . + Un

Sn = a + ar + ar2 + ar3 + . . . + arn – 1

Rumus jumlah suku ke-n barisan

geometri• untuk r < 1, berlaku:

• atau, untuk r > 1, berlaku:

• dimana, Sn : jumlah n suku pertama.

Contoh

3. Deret Geometri Tak Hingga

Deret geometri tak hingga adalah deret geometriyang banyak suku-sukunya tak hingga. Deretgeometri tak hingga terdiri dari 2 jenis, yaitukonvergen dan divergen.

Jika deret geometri tak hingga dengan –1 < r < 1, maka jumlah deret geometri tak hingga tersebut mempunyai limit jumlah ( konvergen).

Rumus jumlah deret geometri tak

hingga

denganS∞ : jumlah deret geometri tak hinggaa : suku pertamar : rasio

Jika r ≤ –1 atau r ≥ 1, maka deret geometri tak hingganya akandivergen, yaitu jumlah suku-sukunya tidak terbatas atau tidakmenuju suatu bilangan tertentu. Hal ini terjadi karena perbedaannilai rasionya (r).

Contoh