BAB 2. PROGRAM LINEAR 2.1. Pengertian Program Linear Pemrograman Linier disingkat PL merupakan metode matematik dalam mengalokasikan sumber daya yang terbatas untuk mencapai suatu tujuan seperti memaksimumkan keuntungan dan meminimumkan biaya. PL banyak diterapkan dalam masalah ekonomi, industri, militer, sosial dan lain-lain. PL berkaitan dengan penjelasan suatu kasus dalam dunia nyata sebagai suatu model matematik yang terdiri dari sebuah fungsi tujuan linier dengan beberapa kendala linier. a. Formulasi Permasalahan Urutan pertama dalam penyelesaian adalah mempelajari sistem relevan dan mengembangkan pernyataan permasalahan yang dipertimbangakan dengan jelas. Sistem dalam pernyataan ini termasuk pernyataan tujuan, sumber daya yang membatasi, alternatif keputusan yang mungkin (kegiatan atau aktivitas), batasan waktu pengambilan keputusan, hubungan antara bagian yang dipelajari dan bagian lain dalam perusahaan, dan lain-lain. Penetapan tujuan yang tepat merupakan aspek yang sangat penting dalam formulasi masalah. Untuk membentuk tujuan optimalisasi, diperlukan identifikasi anggota manajemen yang benar-benar akan melakukan pengambilan keputusan dan mendiskusikan pemikiran mereka tentang tujuan yang ingin dicapai. b. Pembentukan model matematik Tahap berikutnya yang harus dilakukan setelah memahami permasalahan optimasi adalah membuat model yang sesuai untuk analisis. Pendekatan konvensional riset operasional untuk pemodelan adalah membangun model matematik yang menggambarkan inti permasalahan. Kasus dari bentuk cerita diterjemahkan ke model matematik. Model matematik merupakan representasi kuantitatif tujuan dan sumber daya yang membatasi sebagai fungsi variabel keputusan. Model matematika
15
Embed
BAB 2. PROGRAM LINEAR - staffsite.stimata.ac.idstaffsite.stimata.ac.id/assets/uploads/files/download/cba78-bab2... · fungsi tujuan linier dengan beberapa kendala linier. ... Model
This document is posted to help you gain knowledge. Please leave a comment to let me know what you think about it! Share it to your friends and learn new things together.
Transcript
BAB 2. PROGRAM LINEAR
2.1. Pengertian Program Linear
Pemrograman Linier disingkat PL merupakan metode matematik dalam
mengalokasikan sumber daya yang terbatas untuk mencapai suatu tujuan seperti
memaksimumkan keuntungan dan meminimumkan biaya. PL banyak diterapkan dalam
masalah ekonomi, industri, militer, sosial dan lain-lain. PL berkaitan dengan penjelasan
suatu kasus dalam dunia nyata sebagai suatu model matematik yang terdiri dari sebuah
fungsi tujuan linier dengan beberapa kendala linier.
a. Formulasi Permasalahan
Urutan pertama dalam penyelesaian adalah mempelajari sistem relevan dan
mengembangkan pernyataan permasalahan yang dipertimbangakan dengan jelas.
Sistem dalam pernyataan ini termasuk pernyataan tujuan, sumber daya yang
membatasi, alternatif keputusan yang mungkin (kegiatan atau aktivitas), batasan waktu
pengambilan keputusan, hubungan antara bagian yang dipelajari dan bagian lain dalam
perusahaan, dan lain-lain.
Penetapan tujuan yang tepat merupakan aspek yang sangat penting dalam formulasi
masalah. Untuk membentuk tujuan optimalisasi, diperlukan identifikasi anggota
manajemen yang benar-benar akan melakukan pengambilan keputusan dan
mendiskusikan pemikiran mereka tentang tujuan yang ingin dicapai.
b. Pembentukan model matematik
Tahap berikutnya yang harus dilakukan setelah memahami permasalahan optimasi
adalah membuat model yang sesuai untuk analisis. Pendekatan konvensional riset
operasional untuk pemodelan adalah membangun model matematik yang
menggambarkan inti permasalahan. Kasus dari bentuk cerita diterjemahkan ke model
matematik. Model matematik merupakan representasi kuantitatif tujuan dan sumber
daya yang membatasi sebagai fungsi variabel keputusan. Model matematika
permasalahan optimal terdiri dari dua bagian. Bagian pertama memodelkan tujuan
optimasi. Model matematik tujuan selalu menggunakan bentuk persamaan. Bentuk
persamaan digunakan karena kita ingin mendapatkan solusi optimum pada satu titik.
Fungsi tujuan yang akan dioptimalkan hanya satu. Bukan berarti bahwa permasalahan
optimasi hanya dihadapkan pada satu tujuan. Tujuan dari suatu usaha bisa lebih dari
satu. Tetapi pada bagian ini kita hanya akan tertarik dengan permasalahan optimal
dengan satu tujuan.
Bagian kedua merupakan model matematik yang merepresentasikan sumber daya
yang membatasi. Fungsi pembatas bisa berbentuk persamaan (=) atau pertidaksamaan
(≤ atau ≥). Fungsi pembatas disebut juga sebagai konstrain. Konstanta (baik sebagai
koefisien maupun nilai kanan) dalam fungsi pembatas maupun pada tujuan dikatakan
sebagai parameter model. Model matematika mempunyai beberapa keuntungan
dibandingkan pendeskripsian permasalahan secara verbal. Salah satu keuntungan yang
paling jelas adalah model matematik menggambarkan permasalahan secara lebih
ringkas. Hal ini cenderung membuat struktur keseluruhan permasalahan lebih mudah
dipahami, dan membantu mengungkapkan relasi sebab akibat penting. Model
matematik juga memfasilitasi yang berhubungan dengan permasalahan dan
keseluruhannya dan mempertimbangkan semua keterhubungannya secara simultan.
Terakhir, model matematik membentuk jembatan ke penggunaan teknik matematik dan
komputer kemampuan tinggi untuk menganalisis permasalahan.
Di sisi lain, model matematik mempunyai kelemahan. Tidak semua karakteristik
sistem dapat dengan mudah dimodelkan menggunakan fungsi matematik. Meskipun
dapat dimodelkan dengan fungsi matematik, kadang-kadang penyelesaiannya sulit
diperoleh karena kompleksitas fungsi dan teknik yangdibutuhkan.
c. Bentuk umum pemrograman linier adalah sebagai berikut :
1. Fungsi tujuan :
Maksimumkan atau minimumkan z = c1x1 + c2x2 + ... + cnxn
2. Sumber daya yang membatasi :
a11x1 + a12x2 + ... + a1nxn = /≤ / ≥ b1
a21x1 + a22x2 + … + a2nxn = /≤/ ≥ b2
…
am1x1 + am2x2 + … + amnxn = /≤ / ≥ bm
x1, x2, …, xn ≥ 0
Simbol x1, x2, ..., xn (xi) menunjukkan variabel keputusan. Jumlah variabel keputusan
(xi) tergantung dari jumlah kegiatan atau aktivitas yang dilakukan untuk mencapai
tujuan. Simbol c1,c2,...,cn merupakan kontribusi masing-masing variabel keputusan
terhadap tujuan, disebut juga koefisien fungsi tujuan pada model matematiknya. Simbol
a11, ...,a1n,...,amn merupakan penggunaan per unit variabel keputusan akan sumber daya
yang membatasi, atau disebut juga sebagai koefisien fungsi kendala pada model
matematiknya. Simbol b1,b2,...,bm menunjukkan jumlah masing-masing sumber daya
yang ada. Jumlah fungsi kendala akan tergantung dari banyaknya sumber daya yang
terbatas.
Pertidaksamaan terakhir (x1, x2, …, xn ≥ 0) menunjukkan batasan non negatif.
Membuat model matematik dari suatu permasalahan bukan hanya menuntut
kemampuan matematik tapi juga menuntut seni permodelan. Menggunakan seni akan
membuat permodelan lebih mudah dan menarik.
Kasus pemrograman linier sangat beragam. Dalam setiap kasus, hal yang penting
adalah memahami setiap kasus dan memahami konsep permodelannya. Meskipun
fungsi tujuan misalnya hanya mempunyai kemungkinan bentuk maksimisasi atau
minimisasi, keputusan untuk memilih salah satunya bukan pekerjaan mudah. Tujuan
pada suatu kasus bisa menjadi batasan pada kasus yang lain. Harus hati-hati dalam
menentukan tujuan, koefisien fungsi tujuan, batasan dan koefisien pada fungsi
pembatas.
2.2. Model Perogram Linear
Pada Model Program Linear ada 2 Metode yang dipakai yaitu : Metode Grafik dan
Metode matematik. Metode grafik hanya bisa digunakan untuk menyelesaikan
permasalahan dimana hanya terdapat dua variabel keputusan. Untuk menyelesaikan
permasalahan tersebut, langkah pertama yang harus dilakukan adalah memformulasikan
permasalahan yang ada ke dalam bentuk Linear Programming (LP). Langkah-langkah
dalam formulasi permasalahan adalah :
1. Pahamilah secara menyeluruh permasalahan manajerial yang dihadapi.
2. Identifikasikan tujuan dan kendalanya
3. Definisikan variabel keputusannya
4. Gunakan variabel keputusan untuk merumuskan fungsi tujuan dan fungsi kendala
secara matematis.
Sebagai contoh dalam memformulasikan permasalahan, berikut ini akan dibahas
perusahaan Furniture yang akan membuat meja dan kursi. Keuntungan yang diperoleh
dari satu unit meja adalah Rp 70.000,- sedangkian keuntungan yang diperoleh dari satu
unit kursi adalah Rp. 50.000,-. Namun untuk meraih keuntungan tersebut Perusahaan
menghadapi kendala keterbatasan jam kerja. Untuk pembuatan 1 unit meja memerlukan
4 jam kerja. Untuk pembuatan 1 unit kursi membutuhkan 3 jam kerja. Untuk pengecatan
1 unit meja dibutuhkan 2 jam kerja, dan untuk pengecatan 1 unit kursi dibutuhkan 1 jam
kerja. Jumlah jam kerja yang tersedia untuk pembuatan meja dan kursi adalah 240 jam
per minggu sedang jumlah jam kerja untuk pengecatan adalah 100 jam per minggu.
Berapa jumlah meja dan kursi yang sebaiknya diproduksi agar keuntungan perusahaan
maksimum ?
Dari kasus di atas dapat diketahui bahwa tujuan perusahaan adalah
memaksimumkan profit. Sedangkan kendala perusahaan tersebut adalah terbatasnya
waktu yang tersedia untuk pembuatan dan pengecatan. Apabila permasalahan tersebut
diringkas dalam satu tabel akan tampak sebagai berikut:
TABEL 2.1 Informasi Permasalahan Perusahaan Furniture
Jam kerja per unit
Waktu tersedia per minggu
(jam)
Meja Kursi
Pembuatan 4 3 240
Pengecatan 2 1 100
Kebutuhan per unit Rp. 70.000,- Rp. 50.000,-
Mengingat produk yang akan dihasilkan adalah meja dan kursi, maka dalam rangka
memaksimumkan profit, perusahaan harus memutuskan berapa jumlah meja dan kursi
yang sebaiknya diproduksi. Dengan demikian dalam kasus ini, yang merupakan variabel
keputusan adalah meja (X1) dan kursi (X2). Setelah kita mendefinisikan variabel
keputusan, maka langkah selanjutnya adalah menuliskan secara matematis fungsi tujuan
dan fungsi kendala.
1. Fungsi Tujuan
Tujuan perusahaan adalah maksimisasi keuntungan, sehingga kita dapat menuliskan
fungsi tujuan sebagai berikut : P = (Rp. 70.000 x jumlah meja + Rp. 50.000 x jumlah kursi)
yang diproduksi atau secara matematis dapat dituliskan :
Maksimumkan Z = 70.000 X1 + 50.000 X2
2. Fungsi kendala
Berkaitan dengan sumber daya yang digunakan, perusahaan tidak bisa
memperkirakan secara tepat kebutuhan sumber daya yang digunakan untuk mencapai
keuntungan tertentu. Biasanya perusahaan menyediakan sumber daya tertentu yang
merupakan kebutuhan minimum atau maksimum. Kondisi seperti ini secara matematis
diungkapkan dengan pertidaksamaan. Kendala yang pertama adalah waktu yang
tersedia di departemen pembuatan. Total waktu yang diperlukan untuk pembuatan X1
(meja) dimana untuk membuat satu unit meja diperlukan waktu 4 jam kerja dan untuk
pembuatan X2 (kursi) diperlukan waktu 3 jam kerja. Total waktu pembuatan yang
tersedia adalah 240 jam.
Kendala : Waktu pembuatan
1 unit meja memerlukan 4 jam untuk pembuatan -> 4 X1
1 unit kursi memerlukan 3 jam untuk pembuatan -> 3 X2
Total waktu yang tersedia per minggu untuk pembuatan -> 240 Jam