BAB 2 LANDASAN TEORI - thesis.binus.ac.idthesis.binus.ac.id/Doc/Bab2NoPass/2007-2-00520-SK_Bab 2.pdf · Teknologi motor dc pada saat ini terdiri dari bermacam-macam jenis, ... dengan

BAB 2

LANDASAN TEORI

2.1 Teori-teori Dasar / Umum

Teori – teori dasar / umum yang akan dibahas dalam bab 2 ini adalah teori

matlab dan teori motor DC yang diterapkan dalam penelitian ini.

2.1.1 MATLAB (Matrix Laboratory)

MATLAB singkatan dari MATRIK LABORATORY. Aplikasi matlab

banyak digunakan dalam bidang yang membutuhkan perhitungan matematika

yang rumit, dimana seluruh operasi perhitungan dalam matlab berupa operasi

matrik. Matlab dapat menampilkan hasil perhitungan dalam bentuk plot grafik

dan dapat juga dirancang mengunakan GUI ( Graphical User Interface ) yang

kita rancang. Pada software MATLAB terdapat beberapa bagian penting yang

digunakan dalam menjalankan program yaitu :

• Command window digunakan untuk mengetik fungsi yang diinginkan,

• command history berfungsi agar fungsi yang telah digunakan sebelumnya

dapat digunakan kembali, dan

• workspace digunakan untuk membuat variabel yang ada dalam MATLAB.

MATLAB dapat juga digunakan untuk melakukan pemrograman dengan

menggunakan m-file, dimana cara kerja dari m-file itu sendiri sama dengan jika

mengetik langsung pada command window.

2.1.2 Motor DC

Motor DC atau motor arus searah adalah salah satu penggerak utama

yang sering digunakan dalam dunia industri. Motor DC lebih sering digunakan

oleh orang dari pada motor ac karena karakteristik dari motor ac adalah non

linier karena ada phase pada motor ac sehingga lebih sulit dalam hal analistis

(Kuo, Benjamin C., 1995, ppl-124).

Teknologi motor dc pada saat ini terdiri dari bermacam-macam jenis,

maka untuk dapat mengendalikan motor dc dengan baik, perlu diketahui

persamaan matematika dan cara kerjanya dari motor dc itu sendiri. Pada sub bab

ini akan dibahas tentang pengenalan motor dc, cara kerja dari motor dc dan

persamaan matematik dari motor dc.

2.1.2.1 Cara Kerja Motor DC

Pada dasarnya motor dc merupakan sebuah transducer yang

bekerja sebagai aktuator atau alat yang merespon suatu energi listrik

menjadi energi mekanik, dimana kekuatan dari gaya putarnya disebut

dengan torsi. Torsi yang dihasilkan berbanding lurus dengan besarnya

arus pada kumparan dan berbanding lurus dengan besarnya fluks pada

medan magnetik. Hubungan antara torsi yang dihasilkan, fluks bernilai

konstan dan arus adalah sebagai berikut :

T = K. Ф . ia ........................................2.1

Keterangan :

T = torsi yang diberikan oleh motor (NM).

ia = arus armature (ampere).

K = Konstanta proportional motor

Ф = fluks magnetic (webers)

2.1.2.2 Persamaan Matematika Motor DC

Motor dc sering digunakan pada sistem kendali, untuk tujuan

analitik, dimana diperlukan model matematis motor dc dalam

penggunaan aplikasi pada sistem kendali.

Gambar 2.1 Model motor dc yang dieksitasi terpisah

Keterangan :

Ra = tahanan armature (Ohm).

La = induktansi armature (Henry).

Va = Tegangan armature (Volt).

ia = arus armature (Ampere).

if = arus medan magnet (Ampere).

eb = gaya gerak listrik balik (Volt).

θ = perpindahan sudut dari poros motor (Radian).

Tm = torsi yang diberikan oleh motor (N.M).

J = momen inersia (S2/Rad)

B = koefisien gesekan viskos

Untuk fluks yang konstan, tegangan induksi eb berbanding lurus

dengan kecepatan sudut dθ/dt sesuai dengan persamaan dibawah ini :

eb(t) = )(tdtdKbθ dilaplace menjadi : Eb(s) = Kb.s.θ(s) ………….2.2

Persaman diferensial rangkaian kumparan magnet adalah :

Va(t) = )()(

)( tedt

tdiltiR b

aaaa ++ dilaplace menjadi :

Va(s) = (La.s + Ra)Ia(s) +eb(S) …..................................................2.3

Arus armature magnet menghasilkan torsi yang bekerja terhadap

inersia dan gesekan maka persamaanya menjadi :

T = KaIa = dtdB

dtdJ θθ

+2

2

dilaplace menjadi : KaIa(s) = (J s2 + B s)θ(s)

….2.4

Asumsikan syarat awal = 0 dan persamaan transformasi laplace 2.2 ,

2.3 , dan 2.4 dimana Va (s) adalah input dan θ (s) adalah output,

sehingga blok diagram untuk motor dc dapat digambarkan sebagai

berikut :

Gambar 2.2 Blok diagram motor dc

Persamaan matematika dari motor dc (dalam transformasi

laplace) yang diturunkan dari gambar 2.2 yaitu :

=)()(sVs

a

θ baaaaa

a

kkBRBLJsRJLssk

.)( 2 ++++…………………2.5

Persamaan diatas merupakan pengontrolan motor DC dengan

kumparan magnet pada motor yang searah dengan pengontrolan

armature magnet motor DC. Jika kumparan magnet berputar, maka

tegangan akan sebanding dengan kecepatan induksi dari kumparan

magnet. Kecepatan armature magnet motor DC dikontrol oleh

tegangan kumparan magnet. Arus armature akan menghasilkan torsi

yang bekerja terhadap inersia dan gesekan. Armature magnet motor

DC merupakan sistem umpan balik. Induktansi dalam kumparan

magnet biasanya kecil dan dapat diabaikan sehingga fungsi alih dapat

menjadi :

)1()()(

+=

sTsK

sEs

m

m

a

θ……………………………………..2.6

Dimana :

Km = konstanta penguatan motor

Tm = konstanta waktu motor

2.2 Teori-teori Khusus yang Berhubungan dengan Topik Yang Dibahas

Teori – teori khusus yang berhubungan dengan topik yang akan dibahas

adalah Metode PID Controller Auto-Tuning menggunakan konsep Multiple

Integrations.

2.2.1 Jenis – jenis Sistem Kontrol

Jenis – jenis sistem kontrol terdiri dari 2 macam sistem kontrol yaitu

sistem kontrol terbuka (open-loop) dan sistem kontrol tertutup (closed-loop).

1. Sistem kontrol terbuka (open-loop)

Sistem kontrol terbuka adalah sistem yang tidak memiliki umpan balik.

Sistem ini terdiri dari 2 bagian kontrol dan proses yang ingin dikendalikan.

Suatu sinyal masukan diberikan ke sistem kontrol dimana keluarannya bertindak

sebagai sinyal penggerak dimana sinyal penggerak ini yang kemudian

mengendalikan proses yang akan dikendalikan sehingga menghasilkan output

yang diinginkan. Contoh pengendali dapat berupa op-amp atau transistor.

Gamabar 2.3 Sistem kontrol terbuka (open-loop)

2. Sistem kontrol tertutup (closed-loop)

Sistem kontrol tertutup (closed-loop) adalah sistem kontrol yang memiliki

umpan balik, output yang dihasilkan dan sinyal input dimasukan kedalam sistem

akan diselisih dimana hasil selisih dari sinyal output dengan sinyal input

tersebutlah yang disebut dengan umpan balik. Sinyal error yang dihasilkan

merupakan hasil dari selisih antara sinyal output dengan sinyal input atau

masukan.

Gamabar 2.4 Sistem kontrol tertutup (closed-loop)

2.2.2 Kontroler

Kontroler digunakan sebagai komponen penambah pada suatu sistem

untuk mendapatkan sinyal keluaran plant sesuai dengan sinyal setting. Salah

satu kontroler adalah kontroler PID yaitu suatu sistem kontrol umpan balik atau

sistem pengendali loop tertutup yang digunakan untuk memperkecil error

dengan cara membandingkan error yang diinginkan dengan error yang

dihasilkan. PID ( proportional-integral-derivative ) merupakan kombinasi

kontroler proposional, integral dan diferensial.

2.2.2.1 Kontroler Proportional

Keluaran kontroler proposional adalah perkalian antara konstanta

proposional dengan nilai error-nya. Perubahan yang terjadi pada sinyal

masukan akan menyebabkan sistem secara langsung mengubah

keluarannya sebesar konstanta pengalinya.

U(t) = Kp e(t)....................................................2.7

Pada diagram blok kontroler proposional menggambarkan bahwa error

merupakan selisih antara besaran yang diatur dengan besaran sebenarnya

yang mempengaruhi kontroler untuk mengeluarkan output yang

diinginkan.

Gambar 2.5 Diagram blok kontroler proporsional

Sumber: http://www.elektroindonesia.com/elektro/tutor12.html

Efek kontroler proposional pada suatu sistem adalah sebagai

berikut :

Bila nilai Kp kecil maka menghasilkan respon sistem yang lambat.

Bila nilai Kp besar maka sistem bekerja tidak stabil.

Bila nilai Kp dinaikan maka respon sistem akan cepat mencapai

keadaan stabil.

2.2.2.2 Kontroler Integral

Respon integral akan meningkat secara kontinu terus menerus

kecuali error-nya adalah sama dengan 0 (nol), agar steady-state error

menjadi 0 (nol). Steady-state error adalah perbedaan akhir diantara

analog input atau variabel proses dan setpoint. Kejadian ini disebut hasil

akhir penyelesaian dari integral dimana integral terhadap kontroler,

tanpa kontroler tersebut harus menghilangkan signal error. Output dari

kontroller integral sangat dipengaruhi oleh perubahan yang

sebanding dengan nilai sinyal error dimana output ini merupakan

penjumlahan yang terus menerus dari perubahan masukannya. Jika

signal error tidak mengalami perubahan maka keluaran akan menjaga

agar keadaan seperti sebelum terjadinya perubahan masukan.

Keluaran kontroler integral adalah perkalian antara nilai error yang

diintegralkan dengan batasan 0 sampai t dengan konstanta integral.

U(t) = Ki t∫0 e(t) dt...........................................2.8

Fungsi alih dari kontroler integral adalah:

U(s) / E(s) = Ki / s..............................................2.9

Pada diagram blok kontroler integral menunjukan hubungan antara nilai

error dengan output, kontroler integral membantu menaikan respon

sehingga menghasilkan output yang diinginkan.

Gambar 2.6 Blok diagram kontroler Integral

Sumber: http://www.elektroindonesia.com/elektro/tutor12.html

Efek kontroler integral pada suatu sistem adalah sebagai berikut :

kontroler integral memperlambat respon karena output-nya

membutuhkan selang waktu.

Bila nilai sinyal error sama dengan nol, maka keluaran kontroler

tetap seperti sebelumnya tetapi jika nilai sinyal error tidak sama

dengan nol, maka output akan menghasilkan nilai yang dipengaruhi

oleh nilai error dan konstanta integral.

Bila nilai Ki besar, maka akan mempercepat hilangnya offset.

2.2.2.3 Kontroler Diferensial

Komponen derivatif menyebabkan output menjadi menurun jika

variable prosesnya meningkat dengan cepat. Respon derivatif adalah

proporsional terhadap perubahan dari input analog atau variabel proses.

Dengan meningkatkan time derivative (Td) maka akan menyebabkan

kontrol sistem untuk beraksi lebih kuat dalam mengubah error dan

meningkatkan kecepatan dari respon kontrol sistem secara keseluruhan.

Kebanyakan sistem kontrol praktis menggunakan nilai time derivative

(Td) yang sangat kecil karena respon derivatif adalah sangat sensitif

terhadap noise dalam sinyal variabel proses. Jika sensor sinyal umpan

balik adalah noise atau jika laju perubahan adalah sangat kecil maka

respon derivatif dapat membuat kontrol sistem menjadi tidak stabil.

Jika sinyal input tidak mengalami perubahan maka keluaran

kontrolernya juga tidak akan mengalami perubahan sedangkan jika

signal inputan-nya mengalami perubahan secara mendadak dan menaik (

berbentuk fungsi step ) maka akan menghasilkan output berbentuk

impuls tetapi jika sinyal inputan-nya berubah naik secara perlahan (

fungsi ramp ) maka outputnya akan berbentuk fungsi step yang besar

magnitudenya yang dipengaruhi oleh kecepatan naik dari fungsi ramp

dan faktor konstanta differensialnya Td.

Keluaran kontroler diferensial adalah perkalian antara nilai error

yang di-diferensialkan dengan konstanta diferensial.

U(t) = Kd . Td . (de(t)/ dt)..............................2.10

Fungsi alih dari kontroler diferensial adalah

U(s) / E(s) = Kd (Td . s).................................2.11

Pada diagram blok kontroler diferensial yang menggambarkan hubungan

antara sinyal error dengan keluaran kontroler.

Gambar 2.7 Blok diagram kontroler Diferensial

Sumber: http://www.elektroindonesia.com/elektro/tutor12.html

Efek Kontroler differensial pada suatu sistem adalah sebagai berikut :

Kontroler differensial tidak akan menghasilkan keluaran bila tidak

ada masukannya yang berupa sinyal error

Keluaran yang dihasilkan Kontroler differensial tergantung pada

nilai Td dan perubahan nilai error, jika error berubah terhadap

waktu.

2.2.2.4 Kontroler PID

Suatu metode sistem pengatur umpan balik ( feedback ) yang

digunakan pada komponen kontroler standar di industri yang dapat

bekerja secara otomatis. Komponen dengan sistem PID ( proportional-

integral-derivative ) dinamakan kontroler PID.

Kontroler PID ( proportional-integral-derivative ) digunakan

dalam sebuah sistem dengan loop tertutup yang dimana melibatkan

umpan balik dari output sistem guna mencapai respon yang diinginkan.

Sistem PID dapat mengontrol variabel inputan sistem dengan

memanipulasi variabel output sistem sehingga diperoleh variabel input

baru agar menghasilkan output yang sesuai.

Contoh dapat dilihat dari blok diagram dibawah :

Gambar 2.8 Blok diagram sistem kontrol closed-loop

Blok diagram diatas merupakan sistem kontrol closed loop

dimana kontroler bekerja sebagai penggerak plant ( objek fisik yang

digerakkan dalam sistem ) dan mengontrol sifat plant. Sistem PID (

proportional-integral-derivative ) sebagai kontroler akan bekerja untuk

menggerakkan plant sebagaimana ia seharusnya menghasilkan respon

yang diinginkan. Yang dikontrol oleh sistem PID adalah variabel output

sistem yaitu Y. Agar diperoleh variabel Y yang sesuai maka sistem PID

akan memanipulasi variabel input R. Variabel yang dimanipulasi (R

baru) merupakan hasil komputasi dari variabel R, Y (feedback) dan

sinyal error (e). Sinyal error ini dihasilkan oleh output Y yang dibawa

dalam komponen feedback untuk dikirim ke PID kontroler sehingga

dapat dijadikan pengukuran error output. Dari variabel manipulasi

inilah, diperoleh output yang sesuai dengan error yang minimum.

Keadaan sistem jika digambarkan ke dalam grafik :

Gambar 2.9 Grafik Keadaan sistem

Steady state error : merupakan variabel kemiringan dari nilai actual

state (keadaan sebenarnya).

Rise time : waktu naik yang diperlukan oleh respon untuk mencapai

lebih dari nilai biasa yang didapat.

Rise time : waktu naik yang diperlukan oleh respon untuk mencapai

lebih dari nilai biasa yang didapat.

Waktu rise time diperoleh dari respon untuk naik dari 10% menjadi 90%

dari nilai akhir.

Settling time : waktu yang diperlukan oleh respon untuk mencapai

setengah nilai akhir saat pertama.

Overshoot : nilai puncak respon diukur dari satuan yang menunjukkan

kestabilan relatif dari sistem.

Keluaran PID kontroler merupakan penjumlahan dari kontroler

proportional-integral-derivative, dengan menggubah konstanta

proportional-integral-derivative yang akan memberikan pengaruh

terhadap respon sistem secara keseluruhan.

U(t)= [ Kp . e(t)] + [ ( Kp / Ti ).( t∫0 e(t) dt) ] + [Kp . Td . (de(t)/ dt)]

.....................................................................................................2.12

Maka fungsi alih dari pengendalian ini adalah

U(s) / E(s) = Kp .[ 1+ ( 1 / Ti . s) + (Td . s) ]........................2.13

PID kontroler terdiri dari 3 jenis cara pengaturan yang saling

dikombinasikan, yaitu kontroler P (Proportional) , kontroler D

(Derivative), dan kontroler I (Integral). Masing-masing memiliki

parameter tertentu yang harus diset untuk dapat beroperasi dengan baik,

yang disebut sebagai konstanta.

Diketahui konstanta Kp, Kd dan Ki yaitu :

Kp berguna untuk mengurangi rise time tetapi kelemahannya sistem

masih memiliki steady state error.

Ki berguna untuk menghilangkan steady state error tetapi membuat

respon transient menjadi kurang bagus.

Kd berguna untuk menambah efek kestabilan dari sistem.,

mengurangi overshoot, dan memperbaiki respon transient.

Efek (karakteristik) dari perubahan parameter

pada masing-masing kontroler

Parameter Rise Time OvershootSettling

Time Steady State Error

Proporsional Berkurang BertambahSedikit

perubahan Berkurang

Integral Berkurang Bertambah Bertambah Hilang

Tabel 2.1 Efek perubahan kontroller PID

2.2.3 Automatic - Tuning

Auto–tuning adalah sebuah metode dimana kontrolernya aktif secara

otomatis atas permintaan dari user. Biasanya user akan menekan tombol atau

mengirimkan instruksi ke kontroler untuk mengaktifkan fungsi auto-tuning.

Prosedur tuning otomatis terdiri dari 5 step yaitu

1. Mengaktifkan mode auto – tuning.

2. Pembangkitan proses gangguan.

Derivative Sedikit

perubahan Berkurang Berkurang Sedikit perubahan

3. Evaluasi dari respon gangguan.

4. Perhitungan pada parameter kontroler.

5. Memperbarui parameter kontroler.

2.3 Metode Auto-Tuning dengan Magnitude Optimum Multiple Integration

Prosedur tuning untuk kontoler PID adalah dapat diberikan dengan

pendekatan fungsi alih yaitu :

sTdeln

n

mmr

PRp esasasasbsbsb

KsG −

++++++++

=...1...1

)( 221

22 ......................................................2.14

Dimana KPR adalah proses steady-state dan a1 sampai an dan b1 sampai bm adalah

parameter yang merespon dari proses fungsi alih dimana m ≤ n, dan Tdel

merepresentasikan proses time delay. Parameter b1 sampai bm merupakan koefisien

numerator (pembilang) dan parameter a1 sampai an merupakan koefisien

denumerator (penyebut) dari persamaan fungsi alih sistem.

Fungsi alih dari Kontroler PID adalah :

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛++== d

i

sTsT

KsEsUsGc 11)()()( .......................................................................2.15

Dimana U dan E adalah transformasi laplace pada kontroler output dan kontrol

error (e=w-y). Secara berurutan, parameter kontroler K (penguatan proporsional)

,Ti (konstanta waktu integral) ,Td (konstanta waktu derivatif).

Konfigurasi Kontroler PID dalam closed-loop dengan plant dimana D adalah

gangguan.

Gambar 2.10 Konfigurasi PID kontroler dalam kontrol closed-loop

Proses tuning diatas dilakukan untuk memperoleh sebuah kontroler yang dapat

memberikan respon magnitude frekuensi dalam proses closed-loop yang setingkat

dengan plant. Syarat yang diperlukan dapat diekspresikan oleh persamaan berikut :

1)()(1

)()()()()( ≈

+==

ωωωω

ωωω

jGjGjGjG

jWjYjG

CP

CPCL ……………………………… 2.16

Persamaan diatas dapat dikatakan sebagai persamaan optimasi magnitude ( MO )

yang dapat memberikan respon untuk berbagai model proses kelas tinggi.

Untuk mendapatkan parameter PI dan PID kontroler berdasarkan kriteria MO, hal

pertama yang harus dilakukan adalah dengan mendirikan waktu delay dalam

persamaan 2.14 kedalam Taylor series :

.!3

)(!2

)(1

32

⋅⋅⋅+−+−=− deldeldel

sT sTsTsTe DEL ……………..……………………2.17

Fungsi alih dalam sistem open-loop dapat diekspresikan sebagai berikut, dimana

parameter ci dan di adalah fungsi-fungsi dari fungsi alih :

⋅⋅⋅++++⋅⋅⋅++++

= 43

32

210

33

2210)()(

scscscscsdsdsdd

sGsG PC …………………………………...2.18

Dimana parameter ci dan di pada 2.18 dapat dihitung dari 2.14 dan 2.15 serta 2.17

dan 2.18

...........................................................2.19

.........................................................2.20

.........................................................2.21

.........................................................2.22

.........................................................2.23

...........................................................2.24

..........................................................................................................2.25

......................................................................................2.26

.............................................2.27

......2.28

....................................2.29

.

..............................2.30

atau dapat disimpulkan dengan persamaan di bawah ini :

∑ ∑+

=

+

=−−+ −=−

12

0

12

01212 )1(

21)1(

n

i

n

ini

iini

i cccd …………………………...………………2.31

Untuk mendapatkan 3 parameter PID (K,Ti dan Td), dari ketiga persamaan

(n=0...2) dalam persamaan 2.31 maka :

02

20

1001 =+−c

cdcd ...........................................................................................2.32

02

21

2012300321 =+−++−−c

cccdcdcdcd ........................................................2.33

02

22

3104143250052341 =+−+−−−++c

cccccdcdcdcdcdcd ..........................2.34

ketika persamaan 2.25 – 2.30 dimasukan kepersamaan 2.32, 2.33, 2.34 maka

persamaannya menjadi :

( )deliPR

i

TbaTKT

K−+−

=112

...............................................................................2.35

( ) ( )

( ) 22

1

2

11221111

3

11

2

2211331211

22

)(2

622

aaT

baTbabaTbaTKK

Tba

TbabaTbababaKK

Tdel

deldeldPR

deldeldelPR

i

−+⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−−−−−++−

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+−+−−−−+−

= ......

................2.36

( )( )

( ) ( )

( )( )

( ) ( )

( )( )

( ) ( )

( )( ) ( )

( ) ( )

( )( ) ( ) ⎟

⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+−+−−−−+−

−−

+

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+−+−−−−+−

−+−+−−+−

−

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+−+−−−−+−

−+−+−−

+

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+−+−−−−+−

−−+−+−+−

−

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+−+−−−−+−

−+−+−+−−+−−=

!322

22

!322

!5!4!3

!322

2

!322

!322

2

3

11

2

2211331221

42

231

3

11

2

2211331221

5

11

4

221111

3

3

11

2

2211331221

3312212211

2

3

11

2

2211331221

44132231331221

3

11

2

2211331221

551423324144132231

deldeldeliPR

i

deldeldeliPR

deli

deli

del

deldeldeliPR

idel

deldeldeliPR

idel

deldeldeliPR

iPRd

Tba

TbabaTbababaTKK

aaaaT

Tba

TbabaTbababaTKK

TbaT

TbababaT

T

Tba

TbabaTbababaTKK

bababababaTT

Tba

TbabaTbababaTKK

bababababababaTT

Tba

TbabaTbababaTKK

bababababababababaTKKT

.........

................2.37

Hasil dari persamaan 2.35, 2.36, 2.37 didapatkan persamaan parameter

kontroler PID yang diekspresikan kedalam suatu proses :

⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

+−−+

−+−++

−−++−

⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

+−+

+−−+−+

+−+−

=

211

311

22113

2132

1121121

3

11

2

22112133

122121121

31

)(3

)()(2

6)(

2

)(

2

delddel

deldelPR

deldel

del

TbaTT

baTbaTb

bbabaaaba

K

Tba

T

babaaTba

baaababaa

K…......………..……………….2.38

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

+−−

+−++−−

⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

+−+

+−−+−+

+−+−

=

)(2

)(

6)(

2

)(

2

11

2

1122112

1

3

11

22211

2133

122121121

31

deld

deldel

deldel

del

i

TbaT

TbaTbabaa

Tba

T

babaaTba

baaababaa

T ...…………………………….2.39

),,( 5151 deld TbbaafT ⋅⋅⋅⋅⋅⋅= …........………………………………………….2.40

Untuk menggunakan metode ini kedalam sebuah aplikasi, diperlukan identifikasi

parameter-parameter KPR, a1, a2, a3, a4, a5, b1, b2, b3, b4, b5, dan Tdel dari fungsi alih.

Parameter-parameter tersebut diperoleh dari hasil pengukuran pada keadaan asli.

Masalah utama yang akan dihadapi yaitu didapatkannya hasil pengukuran yang

sama dengan yang digunakan pada keadaan sebenarnya. Untuk menghindari

masalah tersebut, digunakan solusi dengan metode multiple integrations. metode ini

dapat diekspresikan dengan mengintegralkan proses open-loop model step-response

(y(t)), setelah memasukkan step-change ΔU pada proses input. Proses integrasi

ditunjukkan pada saat proses mulai memasuki proses closed-loop dengan waktu

interval t = [t0,t1]. Proses integrasi model step-respon (y(t)) merupakan integrasi

awal yang menghasilkan suatu luas daerah integrasi (An) yang dimana dapat

direpresentasikan sebagai daerah fungsi yn(t). Selanjutnya dilakukan proses

integrasi terhadap daerah An dan diperoleh daerah integrasi berikutnya yaitu An+1

dengan fungsi yn+1(t) yang akan mengalami proses integrasi kembali. Dalam proses

multiple integrations, daerah integrasi yang diperoleh adalah dari daerah A1 sampai

A5. Dalam persamaan matematik, integrasi ini dapat diekspresikan sebagai berikut:

( ) ( )delPR TbaKyA +−=∞= 1111 ………………………………………………2.41

( ) 11

2

12222 !2aA

TbTabKyA del

delPR +⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡+−−=∞= …………………………….2.42

( ) 2112

31

2

23333 !32aAaA

TbTbTbaKyA deldel

delPR −+⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡+−+−=∞= ……………2.43

( ) 312213

41

32

2

24444 !4!32aAaAaA

TbTbTbTabKyA deldeldel

delPR +−+⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡+−−−−=∞=

……..2.44

( ) 41322314

51

42

33

2

34455 !5!4!32aAaAaAaA

TbTbTbTbTbaKyA deldeldeldel

delPR −+−+⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡+−+−+−=∞=

……………..2.45

atau dapat disimpulkan dengan persamaan di bawah ini :

( ) ( ) ( ) ( ) iki

kk

i

k

i

ki

delkkk

kPRkK aA

ibT

baKyA −

+−

==

−+−

+ ∑∑ −+⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−+−=∞=

11

11

111 )1(!

11 …...2.46

dari persamaan diatas maka didapatkan daerah fungsi dari )()( 51 tyty − :

Uytyty

Δ−

=)0()()(0 ……………………………………………………………..2.47

[ ] ττ dyKtyt

oPR∫ −=0

1 )()( …………………………………………………….....2.48

( ) ( )( )∫ −=t

dyAty0

112 ττ …………………………………………………………2.49

( ) ( )( )∫ −=t

dyAty0

223 ττ …….…………………………….....................……….2.50

( ) ( )( )∫ −=t

dyAty0

334 ττ ……..……………………………………...................2.51

( ) ( )( )∫ −=t

dyAty0

445 ττ …….……………………………………..................2.52

atau dapat disimpulkan dengan persamaan di bawah ini :

[ ]∫ −− −=t

kkk dyAty0

11 )()( ττ ………………………………….............…….…2.53

Berikut merupakan grafik representasi dari luas daerah A1 sampai A3 berdasarkan

persamaan-persamaan diatas :

Gambar 2.11 Area integrasi A1 sampai A5

Dengan memasukkan persamaan 2.41, 2.42, 2.43, 2.44 dan 2.45 yang

didapatkan dari proses open-loop step response kedalam persamaan 2.38,

2.39 dan 2.40,maka didapatkan hasil sebagai berikut :

512

3

5243

AAAAAAA

Td−−

= …………………………………………………...2.54

( )21321

3

2 ATKAAAA

KdPR −−

= ………………………………………..2.55

12

3

ATAA

Td

i −= …......………………………………………………..2.56