BAB 2 LANDASAN TEORI - thesis.binus.ac.idthesis.binus.ac.id/Doc/Bab2NoPass/2007-3-00433-TI Bab 2.pdf · • Lalu, dengan menggunakan tabel bilangan acak/random, dapat ditentukan jam-jam

BAB 2

LANDASAN TEORI

2.1 Penentuan Waktu Pengamatan Secara Acak

Berulang kali telah disebutkan bahwa kunjungan-kunjungan untuk melakukan

pengamatan dilakukan dalam waktu-waktu yang ditentukan secara acak. Untuk

itu, biasanya satu hari kerja dibagi kedalam satu-satuan waktu yang besarnya

ditentukan oleh pengukur. Biasanya panjang satu-satuan waktu tidak terlalu

singkat dan juga tidak terlalu panjang. Berdasarkan satu-satuan waktu inilah, jam

kunjungan dapat ditentukan dengan menggunakan tabel acak/random.

Langkah-langkah yang harus dilakukan untuk menentukan waktu pengamatan

adalah:

• Menentukan panjang satu-satuan waktu pengamatan yang diinginkan

(artinya sekali pengamatan dilakukan selama selang waktu yang telah

ditentukan tersebut), misalnya 5 menit.

• Menghitung panjang satu-satuan waktu yang dibutuhkan selama satu hari

kerja. Jika satu hari kerja selama tujuh jam, artinya dalam sehari ada

waktusatuansatu _84560*7

−= . Artinya, jumlah kunjungan per hari

tidak boleh lebih dari 84 kali kunjungan.

• Penentuan jumlah kunjungan per hari yang diinginkan oleh pengukur.

Misalnya 36 kali kunjungan.

• Lalu, dengan menggunakan tabel bilangan acak/random, dapat ditentukan

jam-jam kunjungan. Cara melihat angka pada tabel bilangan acak/random

adalah dengan mengikuti dua-dua sampai 36 kali dan harus memenuhi

syarat bahwa pasangan-pasangan dua buah angka tersebut besarnya tidak

lebih dari 84 dan tidak boleh terjadi pengulangan.

• Misalkan angka yang didapat dari tabel bilangan acak/random adalah 39,

65,75,dst. Jika jam kerja dimulai pukul 8.00 dan berakhir pukul 16.00,

maka untuk mendapatkan waktu/jam pastinya adalah dengan cara 39 x 5

menit (panjang satu-satuan waktu yang telah ditentukan) = 195 menit (3

jam 15 menit). Maka, kunjungan pertama adalah pada pukul 8.00 + 3 jam

15 menit = pukul 11.15. Begitu seterusnya sampai selesai jumlah

pengamatan yang dibutuhkan.

2.2 Distribusi Probabilitas

Ada 2 jenis distribusi probabilitas yaitu:

• Continuous (untuk data variabel)

Apabila karakteristik yang diukur dapat membicarakan berbagai nilai

(ketepatan pengukuran proses), distribusi probabilitasnya disebut distribusi

probabilitas continuous (continuous probability distribution). Ada berbagai

bentuk distribusi probabilitas yang biasa digunakan, misalnya distribusi

probabilitas normal, distribusi probabilitas eksponensial, distribusi

probabilitas beta dan distribusi probabilitas weibull. Distribusi probabilitas ini

menemukan hal-hal yang berkaitan dengan kejadian-kejadian dari nilai-nilai

karakteristik yang sesungguhnya. Sedangkan distribusi probabilitas yang sama

adalah t, F dan Chi Square yang digunakan dalam analisis data tetapi tidak

membantu secara langsung dalam memprediksi probabilitas terjadinya nilai-

nilai yang sesungguhnya.

• Discrete (untuk data atribut)

Apabila karakteristik yang diukur hanya membicarakan nilai-nilai tertentu

(misalnya 0,1,2,3), distribusi probabilitasnya disebut dengan distribusi

probabilitas discrete (discrete probability distribution). Sebagai contoh,

distribusi untuk banyaknya kesalahan pada sampel yang berisi 5 unit

merupakan distribusi probabilitas discrete karena kesalahan hanya 0,1,2,3,4

atau 5. Distribusi probabilitas discrete ada 2 jenis yaitu distribusi poisson dan

binomial.

Beberapa distribusi probabilitas yang sering digunakan yaitu:

1. Distribusi Seragam

12)(var

2

0,)(

,1)(

2abians

abmean

bXabaXXF

bxaab

xf

x

−=

+=

≤≤−−

=

≤≤−

=

2. Distribusi Eksponensial Negatif

Distribusi probabilitas normal dan eksponensial memiliki bentuk yang

berbeda. Pada distribusi probabilitas eksponensial, daerah yang berada di

bawah rata-rata lebih besar daripada yang berada di atas rata-rata. Kurva

eksponensial juga digunakan dalam penjelasan distribusi kegagalan waktu

yang kompleks. Yang sangat menarik dari distribusi eksponensial adalah

deviasi standar sama dengan rata-rata.

2

1var

10,1)(

0,0,)(

µ

µ

µµµ

µ

=

=

>−=

>>=−

−

ians

mean

XeXFxexf

Xx

x

3. Distribusi Erlang dan Gamma

Jika parameter bentuk α adalah sebuah integer positif, distribusi ini disebut

Erlang. Jika tidak, nilai-nilai noninteger dari α mendefinisikan distribusi

gamma yang umum. Distribusi gamma adalah penjumlahan α independen dan

merupakan eksponensial yang didistribusikan secara identik dengan mean

1/µ..

4. Distribusi Normal

Pada distribusi ini, nilai Fx(X) tidak memiliki bentuk tertutup. Oleh karena

itulah, tabel normal biasanya diberikan untuk kasus standar dengan mean nol

dan deviasi standar 1. Konversi dari setiap variabel acak normal x ke normal

standar dilakukan dengan menggunakan rumus σµ−

=xz . Konversi ini

memungkinkan penggunaan tabel normal standar dengan setiap variabel acak

normal. Distribusi ini sering digunakan untuk melakukan perkiraan atau

prediksi. Prediksi tersebut menghendaki adanya 2 perkiraan yaitu perkiraan µ

adalah x dan perkiraan σ adalah s dan sebuah tabel. Ciri-ciri distribusi normal

adalah:

• Kurvanya mempunyai puncak tunggal

• Kurvanya berbentuk seperti lonceng

• Rata-rata terletak di tengah distribusi dan distribusinya simetris di

sekitar garis tegak lurus yang ditarik melalui rata-rata

• Kedua ekor kurva memanjang tak terbatas dan tak pernah memotong

sumbu horisontal

5. Distribusi Lognormal

Sebuah variabel acak x dikatakan mengikuti fungsi kepadatan lognormal jika,

dan hanya jika, Ln x mengikuti distribusi normal dengan mean µ dan varians

σ².

6. Distribusi Weibull

Fungsi kepadatan Weibull serupa dengan fungsi gamma untuk berbagai

parameter α. Untuk α = 1, fungsi kepadatan Weibull menjadi fungsi

eksponensial negatif. Distribusi ini mempunyai formula:

βγαβγαβ )(1)( −−−−= XeXy

Di mana:

α = parameter skala

β = parameter bentuk

γ = parameter lokasi

kurva distribusi Weibull ini akan bervariasi tergantung pada nilai-nilai

numerik parameter-parameternya. Yang terpenting adalah parameter bentuk β

yang menunjukkan model kurva. Dalam praktik, β bervariasi dari sekitar 1/3

sampai 5. Sementara itu, skala parameter α berkaitan dengan puncak kurva.

Apabila α berubah, maka kurva akan menjadi lebih datar atau lebih

memuncak. Sedangkan parameter lokasi γ adalah nilai terkecil yang paling

mungkin untuk X. Nilai ini sering diasumsikan dengan 0, karena akan

menyederhanakan persamaan tersebut.

7. Distribusi Beta

Variabel acak beta hanya didefinisikan dalam kisaran (0,1) saja. Transformasi

di sepanjang kisaran (a,b) dapat diberlakukan dengan menggunakan hubungan

.)( xabay −+= Distribusi ini bersifat serba guna yang dapat memiliki

berbagai bentuk. Setiap kegiatan diasumsikan memberikan tiga kemungkinan

waktu penyelesaian, yaitu:

• Optimistic time (a) adalah waktu terpendek untuk menyelesaikan

kegiatan. Probabilitas waktu penyelesaian lebih pendek dari waktu ini

sangat kecil.

• Most Likely Time (m) adalah waktu yang paling mungkin untuk

menyelesaikan kegiatan. Jika kegiatan macam ini berulang kali terjadi,

ini merupakan waktu yang paling sering terjadi.

• Pessimistic time (b) adalah waktu terlama untuk menyelesaikan

kegiatan. Probabilitas waktu penyelesaian lebih panjang dari waktu ini

sangat kecil.

Ciri-ciri distribusi beta adalah bermodus (berpuncak) tunggal, kontinu dan

dapat berbentuk simetrik maupun condong ke kiri atau ke kanan.

8. Distribusi Segitiga

Distribusi segitiga didefinisikan setelah ketiga parameter a, b, c (a ≤ b ≤ c)

diketahui. Hal ini membuat distribusi ini terutama berguna sebagai

aproksimasi awal dari situasi di mana data yang andal tidak tersedia.

9. Distribusi Poisson

Distribusi Poisson menggambarkan variabel acak diskrit. Oleh karena itu, kita

menggunakan p(x) dan Px(X) sebagai pengganti f(x) dan Fx(X) yang

digunakan dalam distribusi kontinu. Distribusi ini digunakan dalam model

antrian untuk menjabarkan jumlah pemunculan (kedatangan atau

keberangkatan) dalam satu periode waktu tertentu, di mana λ akan mewakili

jumlah pemunculan per unit waktu. Distribusi ini juga digunakan dalam

menghitung probabilitas yang berkaitan dengan prosedur pengambilan

sampel.

2.3 Antrian

2.3.1 Teori Antrian

Antrian adalah kejadian yang sering dijumpai dalam kehidupan sehari-

hari. Antrian dapat dilihat dalam berbagi situasi yang terjadi sehari-hari,

seperti :

• Kendaraan yang menunggu pada traffic light

• Pelanggan menunggu pada checkout cashier di supermarket

• Pasien yang menunggu di suatu klinik kesehatan

• Pesawat terbang menunggu untuk take off di pelabuhan udara

• Kapal laut menunggu untuk merapat ke dermaga

• Mesin industri yang menunggu perbaikan dari montir ahli

• Program software menunggu untuk diproses pada computer

• Tumpukan surat yang menunggu untuk diketik sekretaris, dll.

Analisis antrian pertama kali diperkenalkan oleh A.K. Erlang (1913)

yang mempelajari fluktuasi permintaan fasilitas telepon dan keterlambatan

pelayanannya. Analisis antrian memberikan informasi probabilitas yang

dinamakan Operating Characteristics, yang dapat membantu pengambil

keputusan dalam merancang fasilitas pelayanan antrian untuk mengatasi

permintaan pelayanan yang fluktuatif secara random dan menjaga

keseimbangan antara biaya pelayanan dan biaya menunggu.

Tujuan sebenarnya dari teori antrian adalah meneliti kegiatan dari

fasilitas pelayanan dalam rangkaian kondisi random dari suatu sistem

antrian yang terjadi. Untuk itu, pengukuran yang logis akan ditinjau dari 2

bagian yaitu:

• Berapa lama para pelanggan harus menunggu, yang dalam hal ini

dapat diuraikan melalui waktu rata-rata yang dibutuhkan oleh

pelanggan untuk menunggu hingga mendapatkan pelayanan.?

• Berapa persenkah dari waktu yang disediakan untuk memberikan

pelayanan itu fasilitas pelayanan dalam kondisi menganggur?

Sehingga dapat dibayangkan bahwa bila pelanggan membutuhkan waktu

menunggu yang cukup lama maka akan diperoleh angka persentase

menganggur yang kecil, yang berarti sama sekali tidak ada waktu

menganggur pada pelayanan tersebut.

Proses antrian dimulai saat pelanggan-pelanggan yang memerlukan

pelayanan mulai datang. Mereka berasal dari suatu populasi yang disebut

Sumber Masukan. Sumber masukan dari suatu sistem antrian dapat terdiri

atas suatu populasi orang, barang, komponen atau kertas kerja yang datang

pada sistem untuk dilayani. Proses antrian sendiri merupakan suatu proses

yang berhubungan dengan kedatangan pelanggan pada suatu fasilitas

pelayanan, menunggu dalam baris antrian jika belum dapat dilayani,

dilayani dan akhirnya meninggalkan fasilitas tersebut sesudah dilayani.

Sebuah sistem antrian adalah suatu himpunan pelanggan, pelayan dan

suatu aturan yang mengatur pelayanan kepada pelanggan. Sedangkan

keadaan sistem menunjuk pada jumlah pelanggan yang berada dalam suatu

fasilitas pelayanan, termasuk dalam antriannya. Salah satu populasi adalah

jumlah pelanggan yang datang pada fasilitas pelayanan. Besarnya populasi

merupakan jumlah pelanggan yang memerlukan pelayanan.

Dalam proses antrian, banyaknya populasi dibedakan menjadi 2 yaitu

populasi terbatas (finite) dan populasi tidak terbatas (unfinite). Populasi

terbatas dapat ditemukan pada suatu perusahaan yang mempunyai sejumlah

mesin yang memerlukan perawatan atau perbaikan pada periode tertentu.

Populasi yang tidak terbatas merupakan pelanggan yang tidak terhingga

contohnya dapat dilihat pada suatu supermarket yang setiap hari melayani

pelanggan yang datang secara random dan tidak dapat ditentukan dengan

pasti.

2.3.2 Komponen Proses Antrian

Dalam sistem antrian, ada 5 komponen dasar yang harus diperhatikan

agar penyedia fasilitas pelayanan dapat melayani para pelanggan yang

berdatangan, yaitu:

• Bentuk kedatangan pelanggan (pola kedatangan)

Cara dengan mana individu-individu dari populasi memasuki

sistem disebut pola kedatangan (arrival pattern). Individu-individu

mungkin datang dengan tingkat kedatangan (arrival rate) yang

konstan ataupun acak/random (yaitu berapa banyak individu-individu

per periode waktu). Bentuk kedatangan para pelanggan biasanya

diperhitungkan melalui waktu antar kedatangan, yaitu waktu antara

kedatangan dua pelanggan yang berurutan pada suatu fasilitas

pelayanan. Bentuk ini dapat bergantung maupun tidak pada jumlah

pelanggan yang berada dalam sistem.

Distribusi probabilitas yang sering digunakan adalah distribusi

Poisson, di mana kedatangan bersifat bebas, tidak terpengaruh oleh

kedatangan sebelum ataupun sesudahnya. Asumsi distribusi Poisson

menunjukkan bahwa kedatangan pelanggan sifatnya acak dan

mempunyai rata-rata kedatangan sebesar lamda (λ). Bila pola

kedatangan individu-individu mengikuti suatu distribusi Poisson,

maka waktu antarkedatangan atau interarrival time (yaitu waktu antar

kedatangan setiap individu) adalah random dan mengikuti suatu

distribusi eksponensial.

• Bentuk fasilitas pelayanan

Bentuk pelayanan ditentukan oleh waktu pelayanan, yaitu waktu

yang dibutuhkan untuk melayani pelanggan pada fasilitas pelayanan.

Besaran ini dapat bergantung pada jumlah pelanggan yang telah

berada di dalam fasilitas pelayanan ataupun tidak bergantung pada

keadaan tersebut.

Pelayanan dapat dilakukan dengan satu atau lebih fasilitas

pelayanan yang masing-masing dapat mempunyai satu atau lebih

saluran atau tempat pelayanan yang disebut dengan servers. Apabila

terdapat lebih dari satu fasilitas pelayanan maka pelanggan dapat

menerima pelayanan melalui suatu urutan tertentu atau fase tertentu.

Bentuk pelayanan dapat konstan dari waktu ke waktu. Rerata

pelayanan (mean server rate) diberi simbol µ merupakan jumlah

pelanggan yang dapat dilayani dalam satuan waktu, sedangkan rerata

waktu yang digunakan untuk melayani setiap pelanggan diberi simbol

1/µ unit (satuan).

• Jumlah pelayan atau banyaknya tempat service

• Kapasitas fasilitas pelayanan untuk menampung para pelanggan

Kapasitas sistem adalah jumlah maksimum pelanggan, mencakup

yang sedang dilayani dan yang berada dalam antrian, yang dapat

ditampung oleh fasilitas pelayanan pada saat yang sama. Sebuah

sistem yang tidak membatasi jumlah pelanggan di dalam fasilitas

pelayanannya dikatakan memiliki kapasitas tak terhingga, sedangkan

suatu sistem yang membatasi jumlah pelanggan yang ada di dalam

fasilitas pelayanannya dikatakan memiliki kapasitas yang terbatas.

• Disiplin antrian yang mengatur pelayanan kepada para pelanggan

sejak pelanggan itu datang sampai pelanggan tersebut meninggalkan

tempat pelayanan.

Inti dari analisis antrian adalah antri itu sendiri. Timbulnya antrian

tergantung dari sifat kedatangan dan proses pelayanan. Penentu antrian lain

yang penting adalah disiplin antri. Disiplin antrian adalah aturan dalam

mana para pelanggan dilayani, atau disiplin pelayanan yang memuat urutan

para pelanggan menerima layanan. Aturan pelayanan menurut urutan

kedatangan ini dapat didasarkan pada :

1. Pertama Masuk Pertama Keluar (FIFO)

FIFO (First In First Out) merupakan suatu peraturan di mana yang

akan dilayani terlebih dahulu adalah pelanggan yang datang terlebih

dahulu. FIFO ini sering juga disebut FCFS (First Come First Served).

Contohnya dapat dilihat pada antrian di loket-loket penjualan karcis

kereta api.

2. Yang Terakhir Masuk, Pertama Keluar (LIFO)

LIFO (Last In First Out) merupakan antrian di mana yang datang

paling akhir adalah yang dilayani paling awal atau terlebih dahulu.

LIFO ini sering juga disebut LCFS (Last Come First Served).

Contohnya adalah pada sistem bongkar muat di dalam truk, di mana

barang yang masuk terakhir justru akan keluar terlebih dahulu.

3. Pelayanan dalam Urutan Acak (SIRO)

SIRO (Service In Random Order) adalah pelayanan yang dilakukan

secara acak. Sering juga dikenal sebagai RSS (Random Selection For

Serviced). Contohnya adalah pada arisan, di mana pelayanan

dilakukan berdasarkan undian (random).

4. Pelayanan Berdasarkan Prioritas (PRI)

Adalah sebuah bentuk pelayanan di mana pelayanan yang dilakukan

didasarkan pada prioritas khusus. Contohnya, dalam suatu pesta di

mana tamu-tamu yang dikategorikan VIP akan dilayani terlebih

dahulu.

2.3.3 SISTEM DAN STRUKTUR ANTRIAN

2.3.3.1 Sistem-sistem antrian

Pada umumnya, sistem antrian dapat diklasifikasikan menjadi

sistem yang berbeda-beda di mana teori antrian dan simulasi sering

diterapkan secara luas. Klasifikasi menurut Hillier dan Lieberman

adalah:

• Sistem pelayanan komersial

Merupakan aplikasi yang sangat luas dari model-model antrian

seperti restoran, cafeteria, toko-toko, butik, supermarket, dll.

• Sistem pelayanan bisnis-industri

Mencakup lini produksi, sistem material handling, sistem

penggudangan dan sistem-sistem informasi komputer.

• Sistem pelayanan transportasi

• Sistem pelayanan sosial

Merupakan sistem-sistem pelayanan yang dikelola oleh kantor-

kantor dan jawatan-jawatan lokal maupun nasional seperti

kantor tenaga kerja, kantor registrasi SIM dan STNK, kantor

pos, rumah sakit, puskesmas, dll.

2.3.3.2 Struktur Dasar Proses Antrian

Banyaknya saluran (channel) dalam proses antrian adalah jumlah

pelayanan pararel yang tersedia/jumlah jalur untuk memasuki sistem

pelayanan/jumlah fasilitas pelayanan, sedangkan banyaknya tahap

(phase) menunjukkan jumlah pelayanan berurutan yang harus dilalui

oleh setiap kedatangan.

Proses antrian pada umumnya dikelompokkan ke dalam 4

struktur dasar menurut sifat-sifat fasilitas pelayanannya, yaitu:

• Satu Saluran Satu Tahap (Single Channel – Single Phase)

Struktur antrian ini adalah struktur yang paling sederhana.

Single Channel artinya hanya ada satu jalur untuk memasuki

sistem pelayanan (ada satu fasilitas pelayanan), Single Phase

menunjukkan bahwa hanya ada satu station pelayanan atau

sekumpulan tunggal operasi yang dilaksanakan, setelah

menerima pelayanan, individu-individu keluar dari sistem.

Contoh struktur ini adalah seorang tukang cukur, pembelian

tiket kereta api yang dilayani oleh 1 loket, seorang pelayan

toko.

Gambar 2.1 Gambar Struktur Dasar Antrian Single Channel –

Single Phase

• Banyak Saluran Satu Tahap (Multi Channel – Single Phase)

Sistem Multi Channel – Single Phase terjadi bila ada 2 atau

lebih fasilitas pelayanan yang dialiri oleh antrian tunggal.

Contohnya adalah pembelian tiket yang dilayani oleh lebih dari

satu loket pelayanan, pelayanan pemotongan rambut oleh

beberapa tukang potong, dll.

Gambar 2.2 Gambar Struktur Dasar Antrian Multi Channel –

Single Phase

• Satu Saluran Banyak Tahap (Single Channel – Multi Phase)

Multi Phase menunjukkan adanya dua atau lebih pelayanan

yang dilaksanakan secara berurutan. Contohnya lini produksi

massa, pencucian mobil, tukang cat mobil, dll.

Gambar 2.3 Gambar Struktur Dasar Antrian Single Channel –

Multi Phase

• Banyak Saluran Banyak Tahap (Multi Channel – Multi Phase)

Setiap sistem ini mempunyai beberapa fasilitas pelayanan pada

setiap tahap, sehingga lebih dari satu individu dapat dilayani

pada suatu waktu. Contohnya, proses registrasi para mahasiswa

di universitas, pelayanan kepada pasien di rumah sakit dari

pendaftaran, diagnosa, penyembuhan sampai pembayaran.

Gambar 2.4 Gambar Struktur Dasar Antrian Multi Channel –

Multi Phase

2.3.4 Notasi Kendall

Dalam mengelompokkan model-model antrian yang berbeda-beda akan

digunakan suatu notasi yang disebut Kendall’s Notation. Notasi ini sering

digunakan karena beberapa alasan yaitu karena notasi merupakan alat yang

efisien untuk mengidentifikasi model-model antrian dan asumsi-asumsi

yang harus dipenuhi. Selain itu, hampir semua buku (literature) yang

membahas teori antrian menggunakan notasi ini. Kendall’s Notation :

(a/b/c):(d/e/f)

Di mana:

a = distribusi kedatangan (arrival distribution)

b = distribusi tingkat pelayanan (distribusi keberangkatan atau waktu

pelayanan)

untuk a dan b, M menunjukkan distribusi Poisson

Ek menunjukkan distribusi Erlang

D menunjukkan konstanta atau deterministik atau konstan

c = banyaknya atau jumlah pelayanan pararel dalam sistem

d = disiplin antri pelayanan, seperti FCFS, LCFS, prioritas atau random

e = jumlah maksimum pengantri dalam sistem

f = jumlah sumber kedatangan (jumlah pelanggan yang ingin memasuki

sistem sebagai sumber)

untuk notasi e dan f, hanya ada 2 kemungkinan yaitu terbatas (F) dan tidak

terbatas (I)

Dengan Notasi Kendall tersebut, ada empat model yang paling sering

muncul yaitu:

• Model 1: M/M/1/FCFS/I/I

Probabilitas n pengantri dalam sistem

,...2,1,0__1/_dim,)1( =≤=−= ndanRanaRRP nn µλ

Probabilitas k atau lebih pengantri dalam sistem

kkn RP =≥

Rata-rata banyaknya pengantri dalam sistem

∑∞

= −==

0 1n RRnPnL

Rata-rata banyaknya pengantri yang sedang antri/dalam antrian

RRLq −

=1

2

Rata-rata waktu menunggu dalam sistem (antri + pelayanan)

λµ −=

1W

Rata-rata waktu antri

)( λµµλ−

=qW

Proporsi waktu nganggur pelayan (tidak ada pengantri)

RIatauPa −= 1__

• Model 2: M/M/S/FCFS/I/I

Proporsi waktu nganggur pelayan (tidak ada pengantri)

∑−

= −+

=1

0 )/1(!)/(

!)/(

1c

n

cno

ccn

P

µλµλµλ


cnjikaPn

P o

n

n ≤= _,!

)/( µλ

cnjikaPcc

P ocn

n

n >= − _,!

)/( µλ


2)/1(!/)/(µλ

µλµλcc

cPLc

oq −=


µλ

+= qLL


λq

q

LW =


µ1

+= qWW

• Model 3: M/M/1/FCFS/I/F


nQnP )/(

)/(1)/(1

1 µλµλµλ

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−−

= +


[ ] ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−−

−+−=

−

Q

QQ

qQQL

)/(1)/1()/)(1()/(1)/(

12

µλµλµλµλµλ


[ ][ ] ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−−

−+−= +

−

1

12

)/(1)/(1)/)(1()/(1)/( Q

QQ

qQQL

µλµλµλµλµλ

• Model 4: M/M/S/FCFS/F/I

Model ini hampir sama dengan model 2, bedanya model ini memiliki

sumber populasi yang terbatas. Contohnya, sejumlah mesin-mesin dalam

suatu departemen produksi yang rusak atau memerlukan penyesuaian

atau sejumlah pasien dalam suatu rumah sakit yang memerlukan tipe-

tipe perawatan tertentu. Contoh ini merupakan sistem yang mempunyai

jumlah individu terbatas yang memerlukan pelayanan. Karena formula

antrian dengan populasi terbatas sulit untuk dipecahkan, maka

dibutuhkan tabel-tabel antrian terbatas. Oleh karena itu, ada beberapa

variabel yang perlu diketahui yaitu:

U = waktu rata-rata antar kedatangan per unit

T = waktu rata-rata pelayanan per unit

H = jumlah rata-rata yang sedang dilayani

J = jumlah rata-rata unit yang sedang beroperasi

N = jumlah unit dalam populasi

M = jumlah channel pelayanan

X = Faktor Pelayanan/proporsi waktu pelayanan yang diperlukan

D = probabilitas bahwa suatu kedatangan harus menunggu

F = faktor efisiensi menunggu dalam garis (antrian)

Faktor Pelayanan/proporsi waktu pelayanan yang diperlukan (X)

UTTX+

=


)1( FNWq −=


HWJNW q +=−=


q

qq WN

UTWL

−

+=

)(


TWN

UTWL

q

q +−

+=

)(

Jumlah rata-rata yang sedang dilayani (H)

FNXH =

Jumlah rata-rata unit yang sedang beroperasi (J)

)1( XNFJ −=

2.3.5 Minimasi Biaya

Kebanyakan analisis masalah antrian akhirnya sampai pada pertanyaan

bagaimana merancang fasilitas pelayanan atau berapa tingkat pelayanan

yang seharusnya disediakan. Jika variabel keputusannya adalah tingkat

pelayanan, maka model harus mengidentifikasi hubungan antara tingkat

pelayanan dengan parameter dan variabel-variabel yang relevan. Kriteria

evaluasi keputusan dari model ini adalah total expected cost, yang

merupakan jumlah dari dua biaya yang berlainan yaitu biaya pelayanan dan

biaya menunggu. Jadi jelas bahwa tingkat pelayanan yang disarankan adalah

yang menyebabkan total expected cost terendah. Namun, tidak berarti

analisis ini dapat menentukan biaya total terendah secara tepat sebab

operating characteristics yang diperoleh hanya merupakan angka rata-rata

sehingga tidak pasti. Dengan demikian, analisis antrian bukan suatu teknik

optimasi melainkan hanya penyedia informasi.

Umumnya terdapat hubungan terbalik antara tingkat pelayanan dan

waktu menunggu. Walaupun biaya menunggu mungkin dapat dikurangi

dengan menambah fasilitas pelayanan, tetapi hal ini akan menaikkan biaya

penyediaan pelayanan. Biaya pelayanan dapat mencakup biaya tetap

investasi awal dalam peralatan atau fasilitas, biaya pemasangan dan latihan

bagi karyawan, biaya-biaya variabel seperti gaji karyawan dan pengeluaran

tambahan untuk pemeliharaan. Selain itu, jika tingkat pelayanan bertambah,

waktu menganggur pelayan diperkirakan juga bertambah yang berarti suatu

kenaikan dalam opportunity cost karena tidak mengalokasikan pelayan ke

kegiatan produktif yang lain.

Ternyata, dalam keadaan sebenarnya sulit menyatakan secara eksplisit

biaya menunggu per unit waktu. Biaya menunggu dapat diduga secara

sederhana sebagai biaya kehilangan keuntungan bagi pengusaha, atau biaya

turunnya produktivitas bagi pekerja, biaya kehilangan penjualan, biaya

kehilangan langganan, tingkat persediaan yang berlebihan, kehilangan

kontrak, kemacetan sistem atau kehilangan kepercayaan dalam manajemen.

Dalam kasus-kasus tertentu, seperti bila individu yang menunggu berasal

dari sistem internal (misal, persediaan atau karyawan) biaya menunggu

dapat langsung diukur. Tetapi dalam kasus-kasus lain, biaya menunggu

dapat menjadi sangat sulit ditentukan (misal biaya langganan yang

menunggu).

Rumus Total Expected Cost of Service per periode waktu →

)( sCE adalah ss ScCE =)( .

Di mana :

S = jumlah server (fasilitas pelayanan)

sc = biaya pelayanan/biaya menambah jumlah server yang digunakan

(biaya pelayanan per satuan waktu per fasilitas pelayanan)

Rumus Total Expected Waiting Cost per periode waktu → )( wCE adalah

wtw cnCE =)( .

Di mana :

tn = jumlah pelanggan/individu yang mengantri dalam antrian yang

diharapkan/dalam sistem.

wc = biaya menunggu per satuan waktu per fasilitas pelayanan

Rumus Total Expected Cost per periode waktu yang digunakan adalah:

wtswst cnScCECECE +=+= )()()(

Apabila Total Expected Cost of Service, Total Expected Waiting Cost

dan Total Expected Cost digambarkan dalam satu buah grafik, maka ketiga

biaya tersebut akan membentuk grafik seperti grafik ordering, carrying dan

total costs yang merupakan fungsi dari jumlah order (grafik inventory)

seperti di bawah ini :

Gambar 2.5 Grafik Ordering Cost, Carrying Cost dan Total Costs sebagai Fungsi

Dari Jumlah Order (Grafik Inventory)

BAB 2 LANDASAN TEORI - thesis.binus.ac.idthesis.binus.ac.id/Doc/Bab2NoPass/2007-3-00433-TI Bab 2.pdf · • Lalu, dengan menggunakan tabel bilangan acak/random, dapat ditentukan jam-jam

Documents