4 BAB 2 LANDASAN TEORI Dalam bab ini akan diberikan beberapa materi yang akan diperlukan di dalam pembahasan, seperti: matriks secara umum; matriks yang dipartisi; matriks tereduksi dan taktereduksi; matriks primitif; nilai eigen, vektor eigen, dan diagonalisasi matriks; teorema Perron-Frobenius; serta model populasi Leslie. 2.1 Matriks Matriks adalah susunan bilangan atau fungsi yang diletakkan atas baris dan kolom serta diapit oleh dua kurung siku. Bilangan atau fungsi tersebut disebut entri atau elemen matriks. Lambang matriks dilambangkan dengan huruf besar, sedangkan entri (elemen) dilambangkan dengan huruf kecil. Definisi 2.1. Sebuah matriks adalah susunan segi empat siku-siku dari bilangan-bilangan. Bilangan-bilangan dalam susunan tersebut dinamakan entri dalam matriks. (Anton, 2004) Dalam matriks dikenal ukuran matriks yang disebut ordo, yaitu banyak baris × banyak kolom (tanda × bukan menyatakan perkalian, tetapi hanya sebagai tanda pemisah). Secara umum sebuah matriks dapat ditulis: =[ 11 21 ⋮ 1 12 22 ⋮ 2 ⋯ ⋯ ⋱ ⋯ 1 2 ⋮ ] atau repository.unisba.ac.id
This document is posted to help you gain knowledge. Please leave a comment to let me know what you think about it! Share it to your friends and learn new things together.
Transcript
4
BAB 2
LANDASAN TEORI
Dalam bab ini akan diberikan beberapa materi yang akan diperlukan di dalam
pembahasan, seperti: matriks secara umum; matriks yang dipartisi; matriks
tereduksi dan taktereduksi; matriks primitif; nilai eigen, vektor eigen, dan
diagonalisasi matriks; teorema Perron-Frobenius; serta model populasi Leslie.
2.1 Matriks
Matriks adalah susunan bilangan atau fungsi yang diletakkan atas baris dan
kolom serta diapit oleh dua kurung siku. Bilangan atau fungsi tersebut disebut entri
atau elemen matriks. Lambang matriks dilambangkan dengan huruf besar,
sedangkan entri (elemen) dilambangkan dengan huruf kecil.
Definisi 2.1. Sebuah matriks adalah susunan segi empat siku-siku dari
bilangan-bilangan. Bilangan-bilangan dalam susunan tersebut dinamakan entri
dalam matriks. (Anton, 2004)
Dalam matriks dikenal ukuran matriks yang disebut ordo, yaitu banyak baris
× banyak kolom (tanda × bukan menyatakan perkalian, tetapi hanya sebagai tanda
pemisah).
Secara umum sebuah matriks dapat ditulis:
𝐴 = [
𝑎11
𝑎21
⋮𝑎𝑚1
𝑎12
𝑎22
⋮𝑎𝑚2
⋯⋯⋱⋯
𝑎1𝑛
𝑎2𝑛
⋮𝑎𝑚𝑛
] atau
repository.unisba.ac.id
5
penulisan yang lebih singkat 𝐴 = [𝑎𝑖𝑗] dengan 𝑖 = 1, 2,… , 𝑛 dan 𝑗 = 1, 2,… , 𝑚.
Indeks pertama (𝑖) menyatakan baris ke-𝑖 dan indeks kedua (𝑗) menyatakan kolom
ke-𝑗.
Dua matriks disebut sama, jika ordonya sama dan entri yang seletak bernilai
sama, matriks 𝐴 dan 𝐵 sama dapat ditulis 𝐴 = 𝐵.
Definisi 2.2. Misalkan 𝑉 adalah suatu himpunan tak kosong dari objek-objek
sebarang, dengan dua operasinya didefinisikan, yaitu penjumlahan dan perkalian
dengan skalar (bilangan). Operasi penjumlahan dapat diartikan sebagai suatu
aturan yang mengasosiasikan setiap pasang objek 𝐮 dan 𝐯 pada 𝑉 dengan suatu
objek 𝐮 + 𝐯, yaitu disebut jumlah dari 𝐮 dan 𝐯. Operasi perkalian skalar, dapat
diartikan sebagai suatu aturan yang mengasosiasikan setiap skalar 𝑘 dan setiap
objek 𝐮 pada 𝑉 dengan suatu objek 𝑘𝐮, yang disebut kelipatan skalar dari 𝐮 oleh
𝑘. Jika aksioma-aksioma berikut dipenuhi oleh semua objek 𝐮, 𝐯, 𝐰 pada 𝑉 dan
semua skalar 𝑘 dan 𝑙, maka kita menyebut 𝑉 sebagai ruang vektor dan objek-objek
pada 𝑉disebut sebagai vektor. (Anton, 2004)
Definisi tersebut terdiri dari 10 aksioma.
(1) Jika 𝐮 dan 𝐯 adalah objek-objek pada 𝑉, maka 𝐮 + 𝐯 berada pada 𝑉.
(2) 𝐮 + 𝐯 = 𝐯 + 𝐮
(3) 𝐮 + (𝐯 + 𝐰) = (𝐮 + 𝐯) + 𝐰
(4) Di dalam 𝑉 terdapat suatu objek 𝟎, yang disebut vektor nol untuk 𝑉,
sedemikian rupa sehingga 0 + 𝐮 = 𝐮 + 0 = 𝐮 untuk semua 𝐮 pada 𝑉.
repository.unisba.ac.id
6
(5) Untuk setiap 𝐮 pada 𝑉, terdapat suatu objek – 𝐮 pada 𝑉, yang disebut
sebagai negatif dari 𝐮, sedemikian rupa sehingga 𝐮 + (−𝐮) =
(−𝐮) + 𝐮 = 𝟎
(6) Jika 𝑘 adalah skalar sebarang dan 𝐮 adalah objek sebarang pada 𝑉,
maka 𝑘𝐮 terdapat pada 𝑉.
(7) 𝑘(𝐮 + 𝐯) = 𝑘𝐮 + 𝑘𝐯
(8) (𝑘 + 𝐼)𝐮 = 𝑘𝐮 + 𝑙𝐮
(9) 𝑘(𝑙𝐮) = (𝑘𝑙)(𝐮)
(10) 𝑙𝐮 = 𝐮
Skalar dapat berupa bilangan real atau bilangan kompleks, tergantung pada
aplikasinya. Ruang vektor dengan skalar-skalarnya adalah bilangan kompleks
disebut ruang vektor kompleks, dan ruang vektor dengan skalar-skalarnya
merupakan bilangan real disebut ruang vektor real.
Definisi dari suatu ruang vektor tidak menyebutkan sifat dari vektor maupun
operasinya. Objek apa saja dapat menjadi suatu vektor dan operasi penjumlahan
dan perkalian skalar kemungkinan tidak memiliki hubungan atau kemiripan apapun
dengan operasi-operasi vektor standar pada ℝ𝑛. Satu-satunya syarat adalah
terpenuhinya kesepuluh aksioma ruang vektor.
Definisi 2.3. Subhimpunan 𝑊 dari sebuah ruang vektor 𝑉 dinamakan
subruang 𝑉 jika 𝑊 itu sendiri adalah ruang vektor di bawah penambahan dan
perkalian skalar yang didefinisikan pada 𝑉. (Anton, 2004)
Umumnya, dibuktikan kesepuluh aksioma ruang vektor untuk
memperlihatkan bahwa himpunan 𝑊 dengan penambahan dan perkalian skalar
repository.unisba.ac.id
7
membentuk sebuah vektor. Akan tetapi, jika 𝑊 adalah bagian dari himpunan 𝑉
yang lebih besar, yang dikenal sebagai ruang vektor, aksioma-aksioma tertentu
tidak perlu dibuktikan untuk 𝑊 karena aksioma-aksioma tersebut diwarisi dari 𝑉.
Misalnya, tidak perlu untuk memeriksa bahwa 𝐮 + 𝐯 = 𝐯 + 𝐮 (Aksioma 2) untuk
𝑊 karena ini berlaku untuk semua vektor pada 𝑉 dan sebagai konsekuensinya akan
berlaku juga untuk semua vektor pada 𝑊. Aksioma-aksioma lain yang diwarisi oleh
𝑊 dan 𝑉 adalah aksioma 3, 7, 8, 9, dan 10. Jadi, untuk memperlihatkan bahwa
himpunan 𝑊 adalah subruang dari ruang vektor 𝑉, hanya perlu dibuktikan Aksioma
1, 4, 5, dan 6.
Definisi 2.4. Jika 𝑆 = {𝐯𝟏, 𝐯𝟐, … , 𝐯𝐧} adalah himpunan vektor, maka
persamaan vektor
𝑘1𝐯𝟏 + 𝑘2𝐯𝟐 + ⋯+ 𝑘𝑛𝐯𝐧 = 0
Mempunyai paling sedikit satu pemecahan, yakni
𝑘1 = 0, 𝑘2 = 0, … 𝑘𝑛 = 0
(Anton, 2004)
Jika ini adalah satu-satunya pemecahan, maka 𝑆 dinamakan himpunan bebas
linear. Jika ada pemecahan lain, maka 𝑆 dinamakan himpunan tak-bebas linear.
2.1.1 Matriks yang Dipartisi
Jika 𝐴 = [𝑎𝑖𝑗] adalah matriks 𝑚 × 𝑛 dan kemudian mencoret beberapa baris
atau kolom, diperoleh submatriks dari 𝐴.
repository.unisba.ac.id
8
Misalkan:
𝐴 = [1
−23
240
3−35
453].
Jika menghilangkan baris kedua dan kolom ketiga, diperoleh submatriks
[13 20
4−3
].
Matriks dapat dibagi menjadi submatriks dengan menggambar garis
horizontal antara baris dan garis vertikal antara kolom. Partisi dapat dilakukan
dalam berbagai cara.
Misalkan:
𝐴 =
[ 𝑎11
𝑎21
− −𝑎31
𝑎41
𝑎12
𝑎22
− −𝑎32
𝑎42
𝑎13
𝑎23
− −𝑎33
𝑎43
|||||
𝑎14
𝑎24
− −𝑎34
𝑎44
𝑎15
𝑎25
− −𝑎35
𝑎45 ]
dipartisi menjadi
𝐴 = [𝐴11 𝐴12
𝐴21 𝐴22].
Dapat ditulis juga menjadi
𝐴 =
[ 𝑎11
𝑎21
− −𝑎31
𝑎41
𝑎12
𝑎22
− −𝑎32
𝑎42
|||||
𝑎13
𝑎23
− −𝑎33
𝑎43
𝑎14
𝑎24
− −𝑎34
𝑎44
|||||
𝑎15
𝑎25
− −𝑎35
𝑎45 ]
= [�̂�11 �̂�12 �̂�13
�̂�21 �̂�22 �̂�23
].
(Kollman dan Hill, 2000)
repository.unisba.ac.id
9
2.1.2 Matriks Tereduksi dan Tak Tereduksi
Definisi 2.5. Matriks 𝐴 berukuran 𝑛 × 𝑛 dikatakan tereduksi jika memenuhi:
(a) 𝑛 = 1 dan 𝐴 = 0; atau
(b) 𝑛 ≥ 2, terdapat matriks permutasi 𝐾 ∈ 𝑀𝑛, dan terdapat beberapa
bilangan bulat 𝑟 dengan 1 ≤ 𝑟 ≤ 𝑛 − 1, sehingga
𝐾𝑇𝐴𝐾 = [𝐵 𝐶0 𝐷
]
dimana 𝐵 ∈ 𝑀𝑟, 𝐷 ∈ 𝑀𝑛−𝑟, 𝐶 ∈ 𝑀𝑟,𝑛−𝑟, dan 0 ∈ 𝑀𝑛−𝑟, r matriks nol.
(Horn dan Johnson, 1985)
Suatu matriks dikatakan tak tereduksi jika matriks tersebut tidak tereduksi.
Teorema 2.1. Misalkan matriks 𝐴 berukuran 𝑛 𝑥 𝑛 dan 𝐴 ≥ 0. Maka 𝐴
taktereduksi jika dan hanya jika (𝐼 + 𝐴)𝑛−1 > 0.
Bukti Teorema (2.1) dapat dilihat di (Horn dan Johnson, 1985)
2.2 Nilai Eigen dan Vektor Eigen
Nilai Eigen (𝜆) adalah nilai karakteristik dari suatu matriks berukuran 𝑛 ×
𝑛.
Definisi 2.6. Jika 𝐴 adalah sebuah matriks 𝑛 × 𝑛, maka sebuah vektor taknol
𝐱 pada ℝ𝑛 disebut vektor eigen dari 𝐴 jika 𝐴𝒙 adalah sebuah kelipatan skalar dari
𝐱; jelasnya,
𝐴𝐱 = 𝜆𝐱
repository.unisba.ac.id
10
Untuk skalar sebarang 𝜆. Skalar 𝜆 disebut nilai eigen dari 𝐴, dan 𝐱 disebut sebagai
vektor eigen dari 𝐴 yang terkait dengan 𝜆. (Anton, 2004)
Nilai eigen dan vektor eigen mempunyai tafsiran geometrik yang bermanfaat
dalam ℝ2dan ℝ3. Jika 𝜆 adalah nilai eigen dari 𝐴 yang bersesuaian dengan 𝐱, maka
𝐴𝐱 = 𝜆𝐱, sehingga perkalian oleh 𝐴 akan memperbesar 𝐱, atau membalik arah 𝐱