Ayudantia Tensor de Esfuerzo

Tensor de Esfuerzos

2015 Mecánica de Rocas I

Ayudante: Diego Acevedo C.

Profesor: Cristian Orrego B.

Teoríai. Esfuerzos principales

ii. Matriz de cosenos directores

iii. Tensor de esfuerzo

iv. Rotación de esfuerzos Tridimensional

Ejercicio N°1

Ejercicio N°2

2015 Mecánica de Rocas I 2

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Conceptos Básicos


“Independientemente del estado tensional en un punto, siempre es posible hacer pasar un

plano a través de él en que el esfuerzo de corte es nulo. El esfuerzo normal actuante en este

plano se denomina Esfuerzo Principal”. ( Fundamentos de geomecánica, DIMIN, USACH)

En un problema tridimensional , existen 3 planos con estas características, que son

ortogonales entre sí y sobre los cuales actúan los siguientes esfuerzos:

II semestre 2015 Mecánica de Rocas I 4


Las orientaciones que actúan los esfuerzos principales mayor y menor , son los

siguientes:σ₁

σ₃



El calculo del tensor de esfuerzo se realiza finalmente a

través de la matriz original y transpuesta de cosenos

directores junto a la matriz de esfuerzos principales

Para obtener los esfuerzos correspondiente en un plano inclinado, se debe

rotar el tensor de esfuerzo obteniendo los esfuerzos cortantes y normales

a ese plano. Para ello se realiza un nuevo sistema de coordenadas,

utilizando una nueva matriz de cosenos directores para la posterior

rotación del tensor.



Por lo tanto, a partir del tensor de esfuerzo, se obteniene el tensor de esfuerzo en

cualquier otra orientación a través de la siguiente expresión:

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Tensor de Esfuerzo


En una mina subterránea, se explota un macizo rocoso con

una densidad del orden de 2.7 (Ton/ m3). Se ha decidido

realizar 2 mediciones de esfuerzo, todas a una profundidad

de 800 (m), los resultados se muestran en la Tabla a

continuación. Se solicita a usted como Ingeniero(a)

Geomecánico, determinar en función de los resultados

obtenidos, la conveniencia de realizar un túnel con un rumbo

N-S.


Test N° σ₁ (Mpa) AZ(°) I₁(°) σ₂(Mpa) AZ(°)2 I₂(°) σ₃(Mpa) AZ(°)3 I₃(°)

1 55 80 -3 29 170 -1 21 260 -87

2 62 86 -1 30 176 -2.5 19 266 -89

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Test N° σ₁ AZ(°) I₁ σ₂ AZ(°) I₂ σ₃ AZ(°) I₃

1 55 80 -3 29 170 -1 21 260 -87

2 62 86 -1 30 176 -2.5 19 266 -89

55 0 0

0 29 0

0 0 21

Test N°1

AZ(°) ᵦᵟ

80 10 -3

170 -80 -1

260 -170 -87

σ₁₂₃ =

Si no es conocido el Tensor,

entonces primero se debe

identificar la matriz de esfuerzos

principales, el cual tiene todos sus

esfuerzos de corte nulos. Luego,

obtenemos los valores de ᵦ , los

cuales se representan como se

evidencia en la siguiente

diapositiva.


Y

xAZ=260°

AZ=170°

AZ=80°


Cos (-3) * Cos (-10) Cos (-3) * Sen (-10) Sen (-3)



Cosenos

Directores (L)

0.98 0.17 -0.05

0.17 -0.98 -0.02

-0.05 -0.01 -1.00

Con los valores de la proyección ᵦ y la inclinación , se genera la matriz de

Cosenos Directores. Su formulismo se presenta a continuación junto a los

resultados de la matriz para este ejercicio.


0.98 0.17 -0.05

0.17 -0.98 -0.01

-0.05 -0.02 -1.00

Transpuesta Cosenos Directores (LT)

55 0 0

0 29 0

0 0 21

0.98 0.17 -0.05

0.17 -0.98 -0.02

-0.05 -0.01 -1.00

0.98 0.17 -0.05

0.17 -0.98 -0.01

-0.05 -0.02 -1.00X Xσ XYZ =

σ XYZ =

54.13 4.43 -1.84

4.43 29.77 0.19

-1.84 0.19 21.10

Finalmente, para obtener el tensor, se debe multiplicar las siguientes matrices:

Matriz Transpuesta de Cosenos directores, Matriz de esfuerzos Principales y

Matriz de Cosenos directores.


Test N°2

62 0 0

0 30 0

0 0 19

1.00 0.07 -0.02

0.07 -1.00 -0.04

-0.02 0.00 -1.00

61.83 2.23 -0.84

2.23 30.10 1.25

-0.84 1.25 19.07

1.00 0.07 -0.02

0.07 -1.00 0.00

-0.02 -0.04 -1.00

AZ(°) ᵦᵟ

86 4 -1

176 -86 -2.5

266 -176 -89

σ₁₂₃ =

σ XYZ =

Cosenos

Directores (L)

Transpuesta

C.D (LT)

Promedio de σXYZ =57.98 3.33 -1.34

3.33 29.94 0.72

-1.34 0.72 20.09

Se realiza el mismo procedimiento que el Test N°1. Los resultados son los siguientes:

OJO!!! , El calculo del promedio se hace cuando

ya se han obtenido los demás tensores.

NO SE PROMEDIAN LOS DATOS NI OTRAS

MATRICES. SOLO TENSORES DE ESFUERZOS !!!


La razón P/Q es conocida como anisotropía de esfuerzos, a menor anisotropía se

espera una mejor redistribución de esfuerzos entorno al túnel y en consecuencia

que se minimice la sobre-excavación . Por lo anteriormente expuesto, se

recomienda orientar el túnel con un Rumbo E-W

P =σ₁ 58.03

Q=σ₃ 20.04

Razón 2.90

P=σ₁ 29.99

Q=σ₃ 20.03

Razón 1.50

σ xz =

σ yz =

57.98 -1.34

-1.34 20.09

29.94 0.72

0.72 20.09

Túnel N-S, Sección Transversal E-W

Túnel E-W, Sección Transversal N-S

σ XYZ =

57.98 3.33 -1.34

3.33 29.94 0.72

-1.34 0.72 20.09

Como resultado de una campaña de mediciones de esfuerzorealizada en una subterránea, mediante la técnica de HollowInclusion , se ha obtenido esfuerzos principales promedio el que sedetalla a continuación. La direcciones se han especificado comoazimut e inclinación, considerando que la inclinación sobre lahorizontal se considera positiva.

a) Determinar el tensor de esfuerzos referenciado a los ejescartesianos.

b) En el sector de interés existe una falla de mala calidadgeotécnica caracterizada por un dip 60° y dipdir de 150°, lacual podría condicionar futuros diseños mineros en el sector.Por lo cual, se requiere estimar el estado de esfuerzos sobre lafalla, determinando el esfuerzo normal actuante y su respectivacomponente de corte total.



σ₁ (Mpa) AZ(°) I₁ σ₂ (Mpa) AZ(°) I₂ σ₃ (Mpa) AZ(°) I₃

36.52 191.08 -3.91 31.78 281.39 -4.61 21.33 60.9 -83.95

Respuesta

a)36.52 0 0

0 31.78 0

0 0 21.33

AZ(°) ᵦᵟ

191.08 -101.08 -3.91

281.39 -191.39 -4.61

60.9 29.1 -83.95

-0.19 -0.98 -0.07

-0.98 0.20 -0.08

0.09 0.05 -0.99

31.87 0.84 1.02

0.84 36.30 0.85

1.02 0.85 21.47

σ₁₂₃ =

Cosenos

Directores (L)

σ XYZ =


b) Dip= 60° DipDir= 150° Rumbo N 60 E

Se realiza un sistema auxiliar de coordenadas, para poder obtener el nuevo tensor.

Para ello, se hacen los siguientes pasos:

Variables ᵦ ᵟx´ 30 0

y´ -60 -60

Z´ -60 30

0.87 0.50 0.00

0.25 -0.43 -0.87

0.43 -0.75 0.50

33.70 -2.30 -1.37

-2.30 24.91 5.74

-1.37 5.74 31.02

σ XÝ´Z ´=

Cosenos

Directores (L)

σ XÝ´Z ´=

0.87 0.50 0.00

0.25 -0.43 -0.87

0.43 -0.75 0.50

0.87 0.25 0.43

0.50 -0.43 -0.75

0.00 -0.87 0.50

31.87 0.84 1.02

0.84 36.30 0.85

1.02 0.85 21.47X X


XÁZ=60°

AZ= 150° Y´

Z´


Perfil

Y´

Z´

X´

Z

X´

Y´

60°

Isométrica

Z´


σ n =σ z´ = 31,02 mpa

La componente de corte total y normal del plano de falla se obtienen de

la siguiente manera:

En este caso, los cortante a evaluar son z´x´ y zý´ , los cuales son -1.37

y 5.74 Mpa , respectivamente. Utilizando la fórmula presentada

anteriormente, entonces la componente de corte total es igual a 5.9 Mpa.

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