Dernière mise à jour Cours Denis DEFAUCHY 05/12/2015 Résistance des matériaux 7 cours / 14 h Page 55 sur 90 A.VI. Les sollicitations Pour chacune des sollicitations étudiées dans ce paragraphe (traction-compression, cisaillement, torsion et flexion), la démarche d’analyse sera la même. Ainsi, nous proposerons : - La définition de la sollicitation étudiée - Le torseur des petits déplacements - Le torseur des déformations - Les contraintes - La relation entre contraintes et déformations - Les critères de dimensionnement des poutres A.VI.1 La traction-compression A.VI.1.a Définition Une poutre ou un tronçon de poutre est soumis à une sollicitation de traction-compression si et seulement si le torseur des efforts intérieurs en G se présente sous la forme : { }={ () 0 0 0 0 0 } ℬ Si () > 0, la poutre est soumise à de la traction. Si () < 0, la poutre est soumise à de la compression. A.VI.1.b Déplacements Dans le cas de la traction compression, le déplacement est longitudinal suivant : On note que la courbure de la ligne moyenne ne change pas. On peut donc exprimer le torseur des petits déplacements ainsi : {()} = { () () } ={ 0 () }
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A.VI. Les sollicitations · - Les critères de dimensionnement des poutres A.VI.1 La traction-compression A.VI.1.a Définition Une poutre ou un tronçon de poutre est soumis à une
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A.VI. Les sollicitations
Pour chacune des sollicitations étudiées dans ce paragraphe (traction-compression, cisaillement,
torsion et flexion), la démarche d’analyse sera la même.
Ainsi, nous proposerons :
- La définition de la sollicitation étudiée
- Le torseur des petits déplacements
- Le torseur des déformations
- Les contraintes
- La relation entre contraintes et déformations
- Les critères de dimensionnement des poutres
A.VI.1 La traction-compression
A.VI.1.a Définition
Une poutre ou un tronçon de poutre est soumis à une sollicitation de traction-compression si et
seulement si le torseur des efforts intérieurs en G se présente sous la forme :
{𝒯𝐶} = {𝑁(𝑥) 00 00 0
}
ℬ𝛴
𝐺
Si 𝑁(𝑥) > 0, la poutre est soumise à de la traction.
Si 𝑁(𝑥) < 0, la poutre est soumise à de la compression.
A.VI.1.b Déplacements
Dans le cas de la traction compression, le déplacement est longitudinal suivant 𝑥𝛴⃗⃗⃗⃗⃗ :
On note que la courbure de la ligne moyenne ne change pas.
On peut donc exprimer le torseur des petits déplacements ainsi :
{𝛿(𝑥)} = {𝜃(𝑥)
�⃗⃗⃗�(𝑥)}𝐺
= { 0⃗⃗𝑢(𝑥)𝑥𝛴⃗⃗⃗⃗⃗
}𝐺
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A.VI.1.c Déformations
A.VI.1.c.i Torseur des déformations
Du fait des déplacements identifiés, on peut exprimer le torseur des déformations ainsi :
{휀(𝑥)} = {�⃗�(𝑥)
휀⃗(𝑥)}𝐺
=
{
𝑑𝜃(𝑥)
𝑑𝑥
𝑑�⃗⃗⃗�(𝑥)
𝑑𝑥+ 𝑥𝛴⃗⃗⃗⃗⃗⋀𝜃(𝑥)
}
𝐺
= {0
𝑑𝑢(𝑥)
𝑑𝑥𝑥𝛴⃗⃗⃗⃗⃗}
𝐺
= {0
휀𝑥𝑥𝛴⃗⃗⃗⃗⃗}𝐺
휀𝑥 est appelée « déformation longitudinale » ou « allongement relatif », elle est constante le long de
la poutre.
A.VI.1.c.ii Déformation d’une poutre
En considérant une poutre de longueur initiale 𝐿0 encastrée en 𝑥 = 0, on a :
𝑑𝑢 = 휀𝑥𝑑𝑥
∫ 𝑑𝑢𝐿0
0
= ∫ 휀𝑥𝑑𝑥𝐿0
0
𝑢(𝐿0) − 𝑢(0) = ∆𝐿 − 0 = ∆𝐿 = 휀𝑥𝐿0
Soit :
휀𝑥 =∆𝐿
𝐿0
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A.VI.1.d Contraintes
A.VI.1.d.i Contrainte locale
Connaissant la déformation et en utilisant la loi de Hooke, on a :
𝐶(𝑀, 𝑥𝛴⃗⃗⃗⃗⃗) = 𝐸휀𝑥𝑥𝛴⃗⃗⃗⃗⃗ = 𝜎𝑥𝑥𝑥𝛴⃗⃗⃗⃗⃗
𝜎𝑥𝑥 = 𝐸휀𝑥
𝜎𝑥𝑥 est donc constante.
A.VI.1.d.ii Relation Contrainte/Sollicitation
On peut mettre en relation la contrainte locale avec les composantes du torseur de cohésion en
rappelant la relation établie précédemment :
𝑁 = ∫𝜎𝑥𝑥𝛴
𝑑𝑆
Soit :
𝑁 = ∫𝜎𝑥𝑥𝛴
𝑑𝑆 = 𝑆𝜎𝑥𝑥
𝜎𝑥𝑥 =𝑁
𝑆
La section variant très peu, on assimile la section courante S à la section initiale avant déformation 𝑆0.
𝜎𝑥𝑥 =𝑁
𝑆0
A.VI.1.d.iii Répartition des contraintes dans une section
La contrainte normale en traction-compression est constante sur la section :
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A.VI.1.e Relation Déformation-Sollicitation
On a établi les relations suivantes :
𝜎𝑥𝑥 = 𝐸휀𝑥 ; 𝜎𝑥𝑥 =𝑁
𝑆0 ; 휀𝑥 =
∆𝐿
𝐿0
On en déduit la relation souvent utilisée :
∆𝐿 = 휀𝑥𝐿0 =𝜎𝑥𝑥𝐿0𝐸
=𝑁𝐿0𝐸𝑆0
∆𝐿 = 𝑁𝐿0𝐸𝑆0
On note lus généralement, pour une poutre de longueur L et de section S :
∆𝐿 = 𝑁𝐿
𝐸𝑆
Pour toute section d’abscisse initiale x, on a :
∆𝐿(𝑥) = 𝑁𝑥
𝐸𝑆
A.VI.1.f Dimensionnement d’une poutre à la Traction-Compression
A.VI.1.f.i Dimensionnement à la contrainte limite
Afin de rester dans le domaine élastique, la matière doit respecter la condition suivante :
𝜎𝑚𝑎𝑥 < 𝑅𝑝𝐸
𝑁
𝑆< 𝑅𝑝𝐸
A.VI.1.f.ii Dimensionnement au déplacement
On a :
∆𝐿 = 𝑁𝐿
𝐸𝑆< ∆𝐿𝑚𝑎𝑥
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A.VI.1.g Remarque – Structures treillis
Les structures treillis sont des ensembles de barres liées entre elles par des rotules en 3D, pivots en
plan. Si des actions extérieures s’appliquent sur les liaisons, chacune des barres n’est soumise qu’à de
la traction compression. Il est alors plus simple d’étudier l’équilibre de nœuds (liaisons) plutôt que de
chacune des pièces prise séparément.
Exemple :
Attention, lors d’une étude statique classique, il faut veiller à ne pas compter deux fois l’action F, on
doit choisir si elle s’applique sur la pièce 1, la pièce 2, ou sur une pièce fictive 3 correspondant à un axe
sur lequel seraient fixées les pièces 1 et 2.
On sait que chaque pièce est soumise à de la traction compression. Pour le prouver
- On isole par exemple la pièce 1 et on considère que l’effort s’applique sur cette pièce. On
regroupe l’action de 2 sur 1 avec F, deux forces dont la somme a un moment nul en A, ce qui
revient à 1 effort en A. La pièce 1 est donc soumise à deux forces, l’un en O et l’autre en A. La
seconde pièce est soumise elle aussi à 2 glisseurs.
- Soit on imagine une troisième pièce « Axe », sur laquelle il y a l’action de 1 sur l’axe, de 2 sur
l’axe, et de F. Alors, chaque barre n’est soumise qu’aux actions de cet axe d’un côté, et de la
rotule de l’autre.
𝟏 𝑂 �⃗�
�⃗�
�⃗⃗⃗�
𝐵
𝟐
𝐴
ℎ
𝑙
𝐿
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Ensuite, il suffit d’isoler en statique le nœud A, ou encore d’isoler un axe fictif sur lequel on a 3 efforts
de direction connue, dont un est entièrement défini.
𝛼 est défini à l’aide des longueurs données. Les efforts �⃗�1→𝐴𝑥𝑒 et �⃗�2→𝐴𝑥𝑒 sont en réalité les efforts des
pièces l’une sur l’autre :
�⃗�1→𝐴𝑥𝑒 = �⃗�1→2
�⃗�2→𝐴𝑥𝑒 = �⃗�2→1
On a donc les relations :
tan𝛼 =𝐹
𝐹1→2
sin 𝛼 =𝐹
𝐹2→1
𝑭𝟐→𝑨𝒙𝒆⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗
𝟏
�⃗⃗⃗�
𝟐
𝐴 𝑭𝟏→𝑨𝒙𝒆⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗
𝜶
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A.VI.2 Le cisaillement
Nous nous limiterons au cisaillement suivant 𝑦𝛴⃗⃗⃗⃗⃗, les résultats étant analogues suivant 𝑧𝛴⃗⃗ ⃗⃗ .
A.VI.2.a Définition
Une poutre ou un tronçon de poutre est soumis à une sollicitation de cisaillement suivant 𝑦𝛴⃗⃗⃗⃗⃗ si et
seulement si le torseur des efforts intérieurs en G se présente sous la forme :
{𝒯𝐶} = {0 0
𝑇𝑦(𝑥) 0
0 0
}
ℬ𝛴
𝐺
Le cisaillement s’obtient par application de 2 efforts opposés extrêmement rapprochés :
Le torseur associé au cisaillement n’est valable qu’entre les deux efforts.
Le cisaillement parfait seul n’existe pas en réalité. L’écart entre les 2 efforts induit l’apparition d’un
moment fléchissant suivant 𝑧𝛴⃗⃗ ⃗⃗ .
Les clavettes et goupilles peuvent être soumises au cisaillement par exemple.
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A.VI.2.b Déplacements
Dans le cas du cisaillement suivant 𝑦𝛴⃗⃗⃗⃗⃗, on observe un glissement des différentes sections suivant 𝑦𝛴⃗⃗⃗⃗⃗.
On peut donc exprimer le torseur des petits déplacements ainsi :
{𝛿(𝑥)} = {𝜃(𝑥)
�⃗⃗⃗�(𝑥)}𝐺
= { 0⃗⃗𝑣(𝑥)𝑦𝛴⃗⃗⃗⃗⃗
}𝐺
A.VI.2.c Déformations
A.VI.2.c.i Torseur des déformations
Du fait des déplacements identifiés, on peut exprimer le torseur des déformations ainsi :
{휀(𝑥)} = {�⃗�(𝑥)
휀⃗(𝑥)}𝐺
= {0
𝑑𝑣(𝑥)
𝑑𝑥𝑦𝛴⃗⃗⃗⃗⃗}
𝐺
= {0⃗⃗
휀𝑦𝑦𝛴⃗⃗⃗⃗⃗}𝐺
휀𝑦 est appelé « angle de glissement », il est constant le long de la poutre.
A.VI.2.c.ii Déformation d’une poutre
En considérant une poutre de longueur 𝐿 encastrée en 𝑥 = 0, on a :
𝑑𝑣 = 휀𝑦𝑑𝑥
∫ 𝑑𝑣𝐿
0
= ∫ 휀𝑦𝑑𝑥𝐿
0
𝑣(𝐿) − 𝑣(0) = 𝑉 = 휀𝑦𝐿
Soit :
휀𝑦 =𝑉
𝐿
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A.VI.2.d Contraintes
A.VI.2.d.i Contrainte locale
Connaissant la déformation et en utilisant la loi de Hooke en cisaillement, on a :
𝐶(𝑀, 𝑥𝛴⃗⃗⃗⃗⃗) = 𝐺휀𝑦𝑦𝛴⃗⃗⃗⃗⃗ = 𝜎𝑥𝑦𝑦𝛴⃗⃗⃗⃗⃗
𝜎𝑥𝑦 = 𝐺휀𝑦
A.VI.2.d.ii Relation Contrainte/Sollicitation
On peut mettre en relation la contrainte locale avec les composantes du torseur de cohésion en
rappelant la relation établie précédemment :
𝑇𝑦 = ∫𝜎𝑥𝑦𝛴
𝑑𝑆
En supposant que la contrainte tangentielle est constante sur la section, hypothèse discutable mais
prise au premier abord, on obtient :
𝑇𝑦 = ∫𝜎𝑥𝑦𝛴
𝑑𝑆
Soit :
𝑇𝑦 = ∫𝜎𝑥𝑦𝛴
𝑑𝑆 = 𝜎𝑥𝑦𝑆
𝜎𝑥𝑦 =𝑇𝑦
𝑆 ; 𝜎𝑥𝑦 𝑠𝑢𝑝𝑝𝑜𝑠é 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡𝑎𝑛𝑡𝑒
A.VI.2.d.iii Répartition des contraintes dans une section
La contrainte tangentielle de cisaillement est constante sur la section :
A.VI.2.e Relation Déformation-Sollicitation
On a établi les relations suivantes :
𝜎𝑥𝑦 = 𝐺휀𝑦 ; 𝜎𝑥𝑦 =𝑇𝑦
𝑆 ; 휀𝑦 =
𝑉
𝐿
On en déduit la relation :
𝑇𝑦
𝑆= 𝐺
𝑉
𝐿
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𝑉 = 𝑇𝑦𝐿
𝐺𝑆 ; 𝑁𝑜𝑛 𝑢𝑡𝑖𝑙𝑖𝑠é 𝑒𝑛 𝑝𝑟𝑎𝑡𝑖𝑞𝑢𝑒
Attention toutefois, cette relation est très peu utilisée car :
- L’hypothèse de répartition uniforme de 𝜎𝑥𝑦 sur la section est discutable.
- En cas de cisaillement, celui-ci étant réalisé sur des longueurs très courtes, cette déformation
est très faible.
- En cas de flexion simple (avec effort tranchant), sur une longueur conséquente donc, on
étudiera la déformation en flexion, très grande devant cette déformation en cisaillement qui
sera donc négligée
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A.VI.2.f Dimensionnement d’une poutre au cisaillement
Afin de rester dans le domaine élastique, la matière doit respecter la condition suivante :
𝜏𝑚𝑎𝑥 < 𝑅𝑝𝐺
𝑇𝑦
𝑆< 𝑅𝑝𝐺
A.VI.3 La torsion
Les résultats de ce paragraphe ne sont valables que pour les poutres cylindriques de révolution. Les
sections non circulaires ne respectent pas les hypothèses de ce chapitre.
A.VI.3.a Définition
Une poutre ou un tronçon de poutre est soumis à une sollicitation de torsion si et seulement si le
torseur des efforts intérieurs en G se présente sous la forme :
{𝒯𝐶} = {0 𝑀𝑡(𝑠)0 00 0
}
ℬ𝛴
𝐺
A.VI.3.b Déplacements
On considère un barreau cylindrique de longueur 𝐿 encastré à l’une de ses extrémités et soumis à un
moment porté par son axe à l’autre extrémité. Si l’on dessine sur la poutre une grille parfaite avant
déformation, on remarque après déformation la structure suivante :
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On remarque que
- chaque génératrice du cylindre rectiligne avant déformation devient une portion d’hélice. En
effet, chaque section à l’abscisse 𝑥 tourne d’un angle 𝜃𝑥(𝑥) autour de l’axe du barreau et cette
rotation est proportionnelle à la distance avec la section encastrée :
𝜃𝑥(𝑥) = 𝑘𝑥
- la distance entre deux sections droites données reste sensiblement constante. Il n’y a pas de
déformation longitudinale.
Finalement, on observe uniquement une rotation des sections autour de l’axe 𝑥𝛴⃗⃗⃗⃗⃗ :
On peut donc exprimer le torseur des petits déplacements ainsi :
{𝛿(𝑥)} = {𝜃(𝑥)
�⃗⃗⃗�(𝑥)}𝐺
= {𝜃𝑥𝑥𝛴⃗⃗⃗⃗⃗0}𝐺
A.VI.3.c Déformations
A.VI.3.c.i Torseur des déformations
Du fait des déplacements identifiés, on peut exprimer le torseur des déformations ainsi :
{휀(𝑥)} = {�⃗�(𝑥)
휀⃗(𝑥)}𝐺
=
{
𝑑𝜃(𝑥)
𝑑𝑥
𝑑�⃗⃗⃗�(𝑥)
𝑑𝑥+ 𝑥𝛴⃗⃗⃗⃗⃗⋀𝜃(𝑥)
}
𝐺
= {𝑑𝜃𝑥(𝑥)
𝑑𝑥𝑥𝛴⃗⃗⃗⃗⃗
0
}
𝐺
= {𝛾𝑥𝑥𝛴⃗⃗⃗⃗⃗0}𝐺
𝛾𝑥 est appelé « angle unitaire de torsion », il est constant le long de la poutre.
--------------------
Soit la portion de poutre de longueur dx suivante :
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- 𝑃0 et 𝑃1 : Points de la poutre avant déformation.
- 𝑃0′ et 𝑃1
′ : Points 𝑃0 et 𝑃1 issus de la déformation de la poutre avant la section en x.
- 𝑃1′′ : Point 𝑃1
′ après déformation du tronçon entre 𝑥 et 𝑥 + 𝑑𝑥.
--------------------
On peut alors exprimer le torseur des déformations au point 𝑃0 d’une section tel que 𝐺𝑃0⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ = 𝑦𝑦𝛴⃗⃗⃗⃗⃗ +
𝑧𝑧𝛴⃗⃗ ⃗⃗ :
{휀(𝑥)} = {
𝑑𝜃𝑥(𝑥)
𝑑𝑥𝑥𝛴⃗⃗⃗⃗⃗
−𝑧𝑑𝜃𝑥(𝑥)
𝑑𝑥𝑦𝛴⃗⃗⃗⃗⃗ + 𝑦
𝑑𝜃𝑥(𝑥)
𝑑𝑥𝑧𝛴⃗⃗ ⃗⃗
}
𝑃0
= {𝛾𝑥𝑥𝛴⃗⃗⃗⃗⃗
휀𝑦𝑦𝛴⃗⃗⃗⃗⃗ + 휀𝑧𝑧𝛴⃗⃗ ⃗⃗}𝑃0
La déformation linéaire en 𝑃0 est orthogonale à 𝐺𝑃0⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ : 𝐺𝑃0⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ . 휀⃗(𝑥) = −𝑧𝑦𝑑𝜃𝑥(𝑥)
𝑑𝑥+ 𝑦𝑧
𝑑𝜃𝑥(𝑥)
𝑑𝑥= 0
A.VI.3.c.ii Déformation d’une poutre
La rotation relative de deux sections droites d’abscisses 0 et 𝐿 peut être déterminée à l’aide de 𝛾𝑥 :
𝑑𝜃𝑥(𝑥) = 𝛾𝑥 𝑑𝑥
∫ 𝑑𝜃𝑥(𝑥)𝐿
0
= ∫ 𝛾𝑥 𝑑𝑥𝐿
0
𝜃𝑥(𝐿) − 𝜃𝑥(0) = ∆𝜃 − 0 = ∆𝜃 = 𝐿𝛾𝑥
Soit :
∆𝜃 = 𝐿𝛾𝑥
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𝛾𝑥 =∆𝜃
𝐿
A.VI.3.d Contraintes
A.VI.3.d.i Contrainte locale
Connaissant la déformation et en utilisant la loi de Hooke en cisaillement, on a :