Professor: Carlos Alberto de Albuquerque Blog: http://professorcarlosaa.blogspot.com.br/ Email: [email protected] CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL I
Professor: Carlos Alberto de Albuquerque
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CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL I
AULA
QUATORZE
DERIVADAS SUCESSIVAS
DERIVADAS SUCESSIVAS
Exemplo:
Encontre a derivada segunda de:
.183 2 xxxf
.6
86
''
'
xf
xxf
SOLUÇÃO
DERIVADAS SUCESSIVAS
Exercício 1
Encontre a segunda derivada de
Solução
.xtgxf
DERIVADAS SUCESSIVAS
Exercício 2
Encontre a segunda derivada de
Solução
.12 xxf
DERIVADAS SUCESSIVAS
DERIVADAS SUCESSIVAS
DERIVADAS SUCESSIVAS
Exercício 3
Encontre as derivadas sucessivas de
Solução
2
x
exf
DERIVADAS SUCESSIVAS
Exercício 4
Encontre as derivadas sucessivas de
Solução
.xsenxf
DERIVAÇÃO IMPLÍCITA
Função na forma Implícita
Consideremos a equação F(x, y) = 0 (1).
Dizemos que a função y = f(x) é definida
implicitamente pela equação (1) se, ao
substituirmos y por f(x) em (1), esta equação se
transforma numa identidade.
DERIVAÇÃO IMPLÍCITA
Exemplo:
A equação
.12
012
1
2
2
xy
funçãoaenteimplicitamdefinieyx
00,012
1
12,
2
2
identidadeaobtemosyx
equaçãonaxydosubstituinfatoDe
DERIVAÇÃO IMPLÍCITA
Para encontrar a função
implícita, basta isolar uma
variável na equação.
O resultado é a forma implícita.
Exemplo
DERIVAÇÃO IMPLÍCITA
Nem sempre é possível encontrar a forma
explícita de uma função definida implicitamente.
Por exemplo, como explicitar uma função y = f(x)
definida pela equação:
O método da derivação implícita permite
encontrar a derivada de uma função assim
definida, sem a necessidade de explicitá-la.
?0ln234 yxyy
DERIVAÇÃO IMPLÍCITA
A DERIVADA DE UMA FUNÇÃO NA FORMA
IMPLÍCITA
Suponhamos que F(x, y) = 0 define
implicitamente uma função derivável y = f(x).
Os exemplos que seguem mostram que usando
a regra da cadeia, podemos determinar y’ sem
explicitar y.
EXEMPLO
Sabendo que y = f(x) é uma derivável definida
implicitamente pela equação
determinar y’.
,422 yx
DERIVAÇÃO IMPLÍCITA
Exercício 5
Sabendo que y = f(x) é definida pela equação
determinar y’.
,22 32 yxyxy
Solução
DERIVAÇÃO IMPLÍCITA
Exercício 6
Sabendo que y = f(x) é definida pela equação
determinar y’.
,022 ysenxyx
SOLUÇÃO
DERIVAÇÃO IMPLÍCITA
Exercício 7
Determinar a equação da reta tangente à curva
no ponto (-1, 0).
,012
12 yx
SOLUÇÃO
DERIVADA DE UMA FUNÇÃO NA FORMA PARAMÉTRICA
FUNÇÃO NA FORMA PARAMÉTRICA
Sejam
duas funções da mesma variável t, t ϵ [a, b].
Então, a cada valor de t correspondem dois valores x
e y.
Considerando estes valores como coordenadas de
um ponto P, podemos dizer que a cada valor de t
corresponde um ponto bem determinado do plano xy.
1
tyy
txx
DERIVADA DE UMA FUNÇÃO NA FORMA PARAMÉTRICA
Se as funções x = x(t) e y = y(t) são contínuas,
quando t varia de a até b, o ponto P(x(t), y(t))
descreve uma curva no plano.
As equações (1) são
chamadas equações
paramétricas da
curva e t é chamado
parâmetro.
DERIVADA DE UMA FUNÇÃO NA FORMA PARAMÉTRICA
Vamos supor, agora, que a função x = x(t)
admite uma função inversa t = t(x).
Nesse caso, podemos escrever y = y[t(x)] e
dizemos que as equações (1) definem y como
função x na forma paramétrica.
Eliminando o parâmetro t nas equações (1),
podemos obter a função y = y(x) na forma
analítica usual.
DERIVADA DE UMA FUNÇÃO NA FORMA PARAMÉTRICA
Exemplo 1: As equações
Definem uma função y(x) na forma paramétrica.
De fato, a função x = 2t + 1 é inversível, e sua
inversa é dada por
34
12
ty
tx
.12
1 xt
DERIVADA DE UMA FUNÇÃO NA FORMA PARAMÉTRICA
Substituindo este valor na equação y = 4t + 3,
obtemos a equação cartesiana da função y(x),
que é dada por:
.12312
14
xxy
DERIVADA DE UMA FUNÇÃO NA FORMA PARAMÉTRICA
Exemplo 2: As equações
onde a é uma constante positiva,
representam uma circunferência
de centro na origem e raio a. t
representa o ângulo formado
pelo eixo do x e a reta que liga o
centro ao ponto P.
,2,0,
cos
ttsenay
tax
DERIVADA DE UMA FUNÇÃO NA FORMA PARAMÉTRICA
DERIVADA DE UMA FUNÇÃO NA FORMA PARAMÉTRICA
DERIVADA DE UMA FUNÇÃO NA FORMA
PARAMÉTRICA
Seja y uma função de x definida pelas equações
paramétricas
Temos:
.,, battyy
txx
.'
'
tx
ty
dx
dy
DERIVADA DE UMA FUNÇÃO NA FORMA PARAMÉTRICA
Exemplo: Calcular a derivada
da função y(x) definida na forma paramétrica
pelas equações:
dx
dy
.34
12
ty
tx
SOLUÇÃO
.22
4
'
'
:
tx
ty
dx
dy
Temos
DERIVADA DE UMA FUNÇÃO NA FORMA PARAMÉTRICA
Exercício 8: Calcular a derivada
da função y(x) definida na forma paramétrica
pelas equações:
dx
dy
.69
13
2 tty
tx
SOLUÇÃO
DERIVADA DE UMA FUNÇÃO NA FORMA PARAMÉTRICA
Exercício 9: Calcular a derivada
em função de x, da função y(x) definida na forma
paramétrica pelas equações:
,dx
dy
.69
13
2 tty
tx
SOLUÇÃO
DERIVADA DE UMA FUNÇÃO NA FORMA PARAMÉTRICA
Exercício 10: Calcular a derivada
da função y(x) definida na forma paramétrica
pelas equações:
dx
dy
.2
0,4
cos4
3
3
ttseny
tx
DERIVADA DE UMA FUNÇÃO NA FORMA PARAMÉTRICA
SOLUÇÃO
DERIVADA DE UMA FUNÇÃO NA FORMA PARAMÉTRICA
Exercício 11: Determinar a equação da reta
tangente à circunferência
.2,2,422 Ppontonoyx
SOLUÇÃO
DEFERENCIAL
ACRÉSCIMOS
Seja y = f(x) uma função.
Podemos sempre considerar uma variação da
variável independente x.
Se x varia de x1 a x2, definimos o acréscimos de
x, denotada por Δx, como:
.12 xxx
DEFERENCIAL
A variação de x origina uma correspondente
variação de y, denotada por Δy, dada por:
1112 xfxxfyouxfxfy
DEFERENCIAL
DIFERENCIAL
Sejam y = f(x) uma função derivável e Δx um
acréscimo de x. Definimos:
a) a diferencial da variável independente x,
denotada por dx, como dx = Δx;
b) a diferencial da variável dependente y,
denotada por dy, como dy = f ´(x)•Δx.
DEFERENCIAL
De acordo com a definição anterior, podemos
escrever
Assim, a notação dy/dx, já usada para f ´(x),
pode agora ser considerada um quociente
entre duas diferenciais.
.'' xfdx
dyoudxxfdy
DEFERENCIAL
INTERPRETAÇÃO GEOMÉTRICA
Consideremos a Figura,
que representa o gráfico
de uma função y = f(x)
derivável.
O acréscimo Δx que
define a diferencial dx está
geometricamente representado pela medida do
segmento PM [P(x1, f(x1)) e M(x2, f(x1))].
DEFERENCIAL
INTERPRETAÇÃO GEOMÉTRICA
O acréscimo Δy está
representado pela medida
do segmento MQ.
A reta t é tangente à curva
no ponto P. Essa reta
corta a reta x = x2 no
Ponto R, formando o triângulo retângulo PMR. A
inclinação desta reta t é dada por f `(x1) ou tg α.
DEFERENCIAL
INTERPRETAÇÃO GEOMÉTRICA
Observando o triângulo
PMR, escrevemos;
.
,
,'
,' 1
dxPM
quejáMRdyqueconcluímos
dx
dyxfquedefatooUsando
PM
MRtgxf
DEFERENCIAL
INTERPRETAÇÃO GEOMÉTRICA
Observamos que, quando
Δx torna-se muito
pequeno, o mesmo ocorre
com a diferença Δy – dy.
Então temos que Δy ≈ dy,
desde que Δx seja um
valor pequeno.
DEFERENCIAL
Exemplo 1:
.01,0
3,562 2
xe
xparayacréscimoocalculexxySe
.0602,0
53632501,3601,32
301,3
301,03
22
11
y
y
ffy
ffyxfxxfy
definiçãoaUsando
DEFERENCIAL
Exemplo 2:
.001,0
2,46 2
xe
xparadyeyacréscimoocalculexySe
.024006,0
4264001,26
2001,2
2001,02
22
11
y
y
ffy
ffyxfxxfy
definiçãoaUsando
DEFERENCIAL
Exemplo 2:
.001,0
2,46 2
xe
xparadyeyacréscimoocalculexySe
.001,0
000006,0
.024,0
001,0212
12'
xparaquemenorvalorumusássemosse
menorseriadyydiferençaA
xxxxfdy
definiçãoaUsando
DEFERENCIAL
Exemplo 3: Calcule, usando diferenciais, um
valor aproximado para .5,653
.5,164
:,65
.3
xex
fazemosexatacúbicaraíztemNÃOComo
xxffazerVamos
03125,0163
5,1
3
1'
.5,1,
3
2
dx
x
dydxxfdyComo
dxquetemosdxxComo
DEFERENCIAL
403125,0:
,
xxfescreverpodemos
ydyfazendoexfxxfyComo
03125,4
:,
xxf
temosxxfIsolando
03125,45,653
Então
DEFERENCIAL
Exemplo 4:
Obtenha um valor aproximado para o volume
de uma fina coroa cilíndrica de altura 12 m, raio
interior 7 m e espessura 0,05 m. Qual o erro
decorrente se resolvermos usando diferenciais?
SOLUÇÃO
SOLUÇÃO
FIM
DA AULA
QUATORZE