Aula quatorze precalculo2016 aluno

Professor: Carlos Alberto de Albuquerque

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PRÉ-CÁLCULO

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AULA

QUATORZE

FUNÇÕES POLINOMIAIS

Uma função polinomial é qualquer função da

forma

n é o grau da função polinomial.

O domínio de uma função polinomial, a não ser

que seja especificado o contrário, é R.

.0,: 01

1

1

n

n

n

n

n aaxaxaxaxf



Funções de Potências Inteiras.

Se f tem grau n e todos os coeficientes, exceto

an, são zero, então f(x) = axn.

Logo, se n=1, o gráfico da função é uma reta

que passa pela origem.

Se n = 2, o gráfico da função é uma parábola

com vértice na origem.

Se n é um inteiro ímpar, a função é ímpar.

Se n é um inteiro par, a função é par.


Exercício 1: Faça o gráfico de

SOLUÇÃO

.3xxf



SOLUÇÃO

.4xxf



SOLUÇÃO

.5xxf



SOLUÇÃO

.6xxf



SOLUÇÃO

.7xxf



SOLUÇÃO

.8xxf


Zeros de Polinômios

Se f(c) = 0, c é dito um zero do polinômio f(x).

Divisão de Polinômios

Se um polinômio g(x) é um fator de outro

polinômio f(x), então, f(x) é dito ser divisível por

g(x).

Exemplo: 113 xpordivisíveléx


Se um polinômio não é divisível por outro, é

possível aplicar a técnica de divisão longa

para encontrar um quociente e um resto,

como no exemplo abaixo:

Exemplo: Encontre o quociente e o resto para:

12/22 224 xxxx


SOLUÇÃO

Arranje o dividendo e o divisor em potências

decrescentes da variável.

Insira termos com coeficientes zero e use o

procedimento da divisão longa.

Então, temos:



Ou r(x) =0 (f(x) é divisível por g(x)), ou o grau de

r(x) é menor que o grau de g(x).

Então, se o grau de g(x) é 1, significa que o grau

de r(x) é 0 e o resto é um polinômio constante r.


Exercício 7

Encontre o quociente e o resto para

.4/975 23 xxxx

SOLUÇÃO


Divisão sintética - Algoritmo de Briot-Ruffini

Algoritmo de Briot-Ruffini, por vezes

denominado apenas como regra de Ruffini, é um

método de resolução de frações polinomiais,

criado por Paolo Ruffini.

Esse algoritmo consiste em efetuar a divisão

fazendo cálculos apenas com coeficientes e só

serve para divisões de um polinômio por um

binômio.

http://pt.wikipedia.org/wiki/Resolu%C3%A7%C3%A3o

http://pt.wikipedia.org/wiki/Polin%C3%B4mio

http://pt.wikipedia.org/wiki/Paolo_Ruffini

http://pt.wikipedia.org/wiki/Algoritmo


Exemplo :

Use a divisão sintética para encontrar o

quociente e o resto de:

.4/975 23 xxxx

SOLUÇÃO

Aqui temos c = 4.

A 1ª linha fica, então

Agora escreva o primeiro coeficiente do

dividendo na 3ª linha.

97514




Exercício 8

.

1432 23

xD

xPencontre

xxDexxxPSendo

SOLUÇÃO


Teorema do Resto

Quando o polinômio é dividido por x – c, o resto

é f(c).

No exemplo anterior, temos f(4) = 3, que é o

resto.


Exercício 9

Verifique a validade do Teorema do Resto para

o exercício 8.

Solução


Teorema do Fator

Um polinômio f(x) tem fator x – c, se, e

somente se, f(c) = 0.

Assim, x – c é um fator de um polinômio se, e

somente se, c é um zero do polinômio.




Teorema Fundamental da Álgebra

Todo polinômio de grau positivo com

coeficientes complexos admite pelo menos um

zero complexo.


Corolários do Teorema Fundamental

1) Todo polinômio de grau n positivo tem uma

fatoração da forma:

onde os rj não são necessariamente distintos.

Se na fatoração x – rj ocorre m vezes, rj é

chamado um zero de multiplicidade m.

Contudo, não é necessariamente possível

encontrar a fatoração usando métodos

algébricos exatos.

nn rxrxrxaxP 21


2) Um polinômio de grau n admite, no máximo,

n zeros complexos.


Demais Teoremas sobre zeros

1) Se P(x) é um polinômio com coeficientes

reais, e se z é um zero complexo de P(x), então

o complexo conjugado é também um zero

de P(x).

Ou seja, zeros complexos de polinômios com

coeficientes reais ocorrem em pares de

complexos conjugados.

z


2) Qualquer polinômio de grau n > 0 com

coeficientes reais admite uma fatoração

completa usando fatores lineares e

quadráticos, multiplicados pelo primeiro

coeficiente do polinômio.

No entanto, não é necessariamente possível

encontrar a fatoração usando métodos

algébricos exatos.


3) Se é um polinômio

com coeficientes inteiros e r = p/q é um zero

racional de P(x) com numerador e denominador

não fatoráveis simultaneamente, então p deve

ser um fator do termo a0 e q deve ser um fator

do primeiro coeficiente an.

01

1

1 axaxaxaxP n

n

n

n


Exemplo 1

Encontre um polinômio de menor grau com

coeficientes reais e zeros 2 e 1 – 3i.

SOLUÇÃO

Pelo teorema do fator, c é um zero de um

polinômio somente se x – c é um fator.

Pelo teorema sobre zeros de polinômios

com coeficientes reais, se 1 – 3i é um zero

deste polinômio, então 1 + 3i também é.

Logo, o polinômio pode ser escrito como:


Simplificando, tem-se:

ixixxaxP 31312


Simplificando, tem-se:

ixixxaxP 31312


Exemplo 2

Liste os possíveis racionais que são zeros de:

.853 2 xx

SOLUÇÃO

De acordo com o teorema sobre zeros

racionais de polinômios com coeficientes

inteiros, os possíveis zeros racionais são:

Observe que os verdadeiros zeros são:

3

8,

3

2,

3

1,8,4,2,1

3,1

8,4,2,1

3

80

deFatores

deFatores

adeFatores

adeFatores

q

p

n

3

81 e


Teoremas Usados Para Localizar Zeros

Ou seja:

bfcfaf




Resolvendo equações polinomiais e

fazendo gráficos de polinômios:

As seguintes afirmações são equivalentes:

1. c é um zero de P(x).

2. c é uma solução da equação P(x) = 0.

3. x – c é um fator de P(x).

4. Para c real, o gráfico de y = P(x) tem um

intercepto x em c.



Exemplo: Esboce o gráfico de y = 2x(x – 3)(x + 2)

SOLUÇÃO


Exercício 10

Encontre a regra para uma função linear,

dados f(10) = 25.000 e f(25) =10.000

Exercício 11

Exercício 12

Exercício 13

Exercício 14

Exercício 15

Exercício 16

Exercício 17

Exercício 18

FIM

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