Aula 7 - Professor Luciano Nóbrega · PDF file2 IDENTIDADES TRIGONOMÉTRICAS Uma identidade trigonométrica é uma equação envolvendo funções...

1

MATEMÁTICA II

Aula 7Identidades Trigonométricas

Professor Luciano Nóbrega

2º Bimestre

2

IDENTIDADES TRIGONOMÉTRICAS

Uma identidade trigonométrica é uma equação envolvendo funções trigonométricas que é verdadeira para todos os valores das variáveis envolvidas. Estas identidades são úteis sempre que expressões envolvendo funções trigonométricas devam ser simplificadas. EXEMPLO:Considere a igualdade sen x . sec x = tg x , demonstre que ela é verdadeira.SOLUÇÃO:sen x . sec x sen x . (1/cos x) sen x/cos x = tg x

1 – Demonstre as seguintes identidades trigonométricas:

a) cos x . tg x . cossec x =1

b) tg x . cos x = sen x

c) (1 + senx).(1 − senx) = cos2 x

d)

TESTANDO OS CONHECIMENTOS

e) 1 + tg2 x = sec2x

f) 1 + cotg2x = cossec2 x

3

TRANSFORMAÇÕES TRIGONOMÉTRICAS

Para embasarmos melhor esse assunto, vejamos um tópico da Geometria Analítica:

Distancia entre dois pontos

Qual a distância entre os pontos:

a) A e B?

A(3, 2)

x

y

B(7, 2)

C(7, 5)

b) B e C?

c) A e C?

4

TRANSFORMAÇÕES TRIGONOMÉTRICAS

Generalizando:

A(xA, yA)

x

y B(xB, yB)

Sempre é possível pegarmos um ponto C, de tal maneira que o triângulo ABC seja um triângulo retângulo.

C(xC, yC)

Pelo Teorema de Pitágoras:

(dAB)² = (dAC)² + (dBC)² (dAB)² = (xC – xA)² + (yB – yC)²

(dAB)² = (xB – xA)² + (yB – yA)²

dAB = √(xB – xA)² + (yB – yA)²

=C(xB, yA)

5

TRANSFORMAÇÕES TRIGONOMÉTRICAS

Agora sim! Observe a figura abaixo:Calculando a distância entre os ponto P e Q, temos:

dAB = √(xB – xA)² + (yB – yA)²

Aplicando a Lei dos cossenos no triângulo OPQ, temos:

Igualando os dois resultados, temos:

Portanto:

6

TRANSFORMAÇÕES TRIGONOMÉTRICAS

Com a fórmula do cosseno da diferença, podemos determinar:a) cos (a + b)

b) cos (a – π/2)

e) sen (a + b)

Considere a – b = x

Por enquanto, admita como verdadeira essas expressões e depois vamos demonstrá-las.c) cos (a + π/2 )

d) sen (a – b)

7

RESUMO:

Temos as quatro fórmulas:

“Minha Terra tem palmeiras onde canta o sabiá,

Seno A, cosseno B, seno B, cosseno A.”

Observe que no seno, conservamos o sinal, enquanto no cosseno, o sinal central é invertido.

Demonstre que e

Determine tg(a + b) e tg(a – b).

8

TRANSFORMAÇÕES TRIGONOMÉTRICAS

FÓRMULAS DO ARCO DUPLODetermine:a) sen (2a)

b) cos (2a)

c) Utilizando a Relação Fundamental da trigonometria determine outras duas respostas para cos (2a)

d) tg (2a)

9

TRANSFORMAÇÕES TRIGONOMÉTRICAS

FÓRMULAS DO ARCO METADEDetermine:a) sen (a/2)

b) cos (a/2)

10

1 – Verifique a veracidade das igualdades a seguir.

TESTANDO OS CONHECIMENTOS

2 – (UFSP) Calcule o valor da expressão:

Gabarito:2) 2

11

3 – (FGV) Determine a função trigonométrica equivalente a

TESTANDO OS CONHECIMENTOS

4 – (PUC) Determine a igualdade da expressão:

Gabarito:3) tgx4) 2.cossecx

12

4 – Prove que 2tg(x)/1 + tg2

(x) é idêntica a sen 2x

TESTANDO OS CONHECIMENTOS

4 – Calcule seno, cosseno e tangente de:

a) 15º

b) 75º

c) 105º

d) 165º

e) 195º

f) 255º

g) 285º

h) 345º

Sendo assim, já sabemos calcular os valores de 15º em 15º graus.

Vá correndo acessar...Você só paga R$ 5,00(Brincadeirinha... É de graça!)