Atom vodika Atom vodika Quantum mechanics 1 - Lecture 11 Igor Lukaˇ cevi´ c UJJS, Dept. of Physics, Osijek 23. svibnja 2013. Igor Lukaˇ cevi´ c Atom vodika
Atom vodika
Atom vodikaQuantum mechanics 1 - Lecture 11
Igor Lukacevic
UJJS, Dept. of Physics, Osijek
23. svibnja 2013.
Igor Lukacevic Atom vodika
Atom vodika
Sadrzaj
1 Razdvajanje Schrodingerove jednadzbeSchrodingerova jednadzba u sfernim koordinatamaRazdvajanje varijabliKutna jednadzbaRadijalna jednadzba
2 Atom vodikaRadijalna valna funkcijaSpektar atoma vodika
3 Literatura
Igor Lukacevic Atom vodika
Atom vodika
Razdvajanje Schrodingerove jednadzbe
Sadrzaj
1 Razdvajanje Schrodingerove jednadzbeSchrodingerova jednadzba u sfernim koordinatamaRazdvajanje varijabliKutna jednadzbaRadijalna jednadzba
2 Atom vodikaRadijalna valna funkcijaSpektar atoma vodika
3 Literatura
Igor Lukacevic Atom vodika
Atom vodika
Razdvajanje Schrodingerove jednadzbe
Schrodingerova jednadzba u sfernim koordinatama
Igor Lukacevic Atom vodika
Atom vodika
Razdvajanje Schrodingerove jednadzbe
Schrodingerova jednadzba u sfernim koordinatama
Pitanja
1 Kako izgleda potencijal u kojem segiba elektron u atomu vodika?
2 O cemu on ovisi?
3 Koje bi bile tada prirodne koordinateza ovaj problem?
4 Sto je s vremenom?
Igor Lukacevic Atom vodika
Atom vodika
Razdvajanje Schrodingerove jednadzbe
Schrodingerova jednadzba u sfernim koordinatama
S.J. u Kartezijevim koordinatama
− ~2
2m
(∂2
∂x2+
∂2
∂y 2+
∂2
∂z2
)Ψ(x , y , z) + V (x , y , z)Ψ(x , y , z) = EΨ(x , y , z)
↓
S.J. u sfernim koordinatama
− ~2
2m
[1
r 2∂
∂r
(r 2∂
∂r
)+
1
r 2 sinϑ
∂
∂ϑ
(sinϑ
∂
∂ϑ
)+
1
r 2 sin2 ϑ
(∂2
∂ϕ2
)]Ψ(r , ϑ, ϕ) + V (r)Ψ(r , ϑ, ϕ) = EΨ(r , ϑ, ϕ)
Pitanje
Mozete li razdvojiti S.J. u sfernim koordinatama?
Igor Lukacevic Atom vodika
Atom vodika
Razdvajanje Schrodingerove jednadzbe
Razdvajanje varijabli
PretpostavkaΨ(r , ϑ, ϕ) = R(r)Y (ϑ, ϕ)
⇒{
1
R
d
dr
(r 2
dR
dr
)− 2mr 2
~2[V (r)− E ]
}︸ ︷︷ ︸
samo o r
=
= − 1
Y
{1
sinϑ
∂
∂ϑ
(sinϑ
∂Y
∂ϑ
)+
1
sin2 ϑ
∂2Y
∂ϕ2
}︸ ︷︷ ︸
samo o ϑ,ϕ
Igor Lukacevic Atom vodika
Atom vodika
Razdvajanje Schrodingerove jednadzbe
Razdvajanje varijabli
1
R
d
dr
(r 2
dR
dr
)− 2mr 2
~2[V (r)− E ] = l(l + 1)
− 1
Y
{1
sinϑ
∂
∂ϑ
(sinϑ
∂Y
∂ϑ
)+
1
sin2 ϑ
∂2Y
∂ϕ2
}= l(l + 1)
Igor Lukacevic Atom vodika
Atom vodika
Razdvajanje Schrodingerove jednadzbe
Kutna jednadzba
sinϑ∂
∂ϑ
(sinϑ
∂Y
∂ϑ
)+∂2Y
∂ϕ2= −l(l + 1) sin2 ϑY
Pitanje
Prepoznajete li ovu jednadzbu?
Hint: Malo je “zamaskirana”.
Igor Lukacevic Atom vodika
Atom vodika
Razdvajanje Schrodingerove jednadzbe
Kutna jednadzba
Sferni harmonici - rjesenja kutne jednadzbe [4,5]
Y ml (ϑ, ϕ) = Θm
l (ϑ)Φm(ϕ) = ε
√(2l + 1)
4π
(l − |m|)!
(l + |m|)!e imϕ Pm
l (cosϑ) ,
ε =
{(−1)m , m > 01 , m ≤ 0
Igor Lukacevic Atom vodika
Atom vodika
Razdvajanje Schrodingerove jednadzbe
Radijalna jednadzba
Pitanje
Na koji dio valne funkcije, Ψ(r , ϑ, ϕ) = R(r) · Y (ϑ, ϕ), ce utjecati sfernosimetricni potencijal oblika V = V (r)?
Igor Lukacevic Atom vodika
Atom vodika
Razdvajanje Schrodingerove jednadzbe
Radijalna jednadzba
d
dr
(r 2
dR
dr
)− 2mr 2
~2[V (r)− E ] R = l(l + 1)R
u(r) = rR(r)
− ~2
2m
d2u
dr 2+
[V +
~2
2m
l(l + 1)
r 2
]u = Eu
↓RADIJALNA JEDNADZBA
Pitanje
Sto mozete zakljuciti iz usporedbe radijalne jednadzbe sa Schrodingerovomjednadzbom?
Igor Lukacevic Atom vodika
Atom vodika
Razdvajanje Schrodingerove jednadzbe
Radijalna jednadzba
efektivni potencijal Veff = V +~2
2m
l(l + 1)
r 2︸ ︷︷ ︸↓
centrifugalni clan
Igor Lukacevic Atom vodika
Atom vodika
Razdvajanje Schrodingerove jednadzbe
Radijalna jednadzba
Primjer 1.
Promotrite beskonacno duboki sferni bunar
V (r) =
0 , r ≤ a
∞ , r > a.
Odredite valnu funkciju i dopustene energije.
Igor Lukacevic Atom vodika
Atom vodika
Razdvajanje Schrodingerove jednadzbe
Radijalna jednadzba
Primjer 1.
Promotrite beskonacno duboki sferni bunar
V (r) =
0 , r ≤ a
∞ , r > a.
Odredite valnu funkciju i dopustene energije.
izvan bunara: u = 0
unutar bunara: V = 0
⇒ d2u
dr 2=
[l(l + 1)
r 2− k2
]u , k =
√2mE
~
Igor Lukacevic Atom vodika
Atom vodika
Razdvajanje Schrodingerove jednadzbe
Radijalna jednadzba
Primjer 1.
Promotrite beskonacno duboki sferni bunar
V (r) =
0 , r ≤ a
∞ , r > a.
Odredite valnu funkciju i dopustene energije.
1 l = 0 ⇒d2u
dr 2= −k2u ⇒ u(r) = A sin(kr) + B cos(kr)
Pitanje
Kako cete odrediti A i B?
Igor Lukacevic Atom vodika
Atom vodika
Razdvajanje Schrodingerove jednadzbe
Radijalna jednadzba
Primjer 1.
Promotrite beskonacno duboki sferni bunar
V (r) =
0 , r ≤ a
∞ , r > a.
Odredite valnu funkciju i dopustene energije.
1 l = 0 ⇒d2u
dr 2= −k2u ⇒ u(r) = A sin(kr) + B cos(kr)
u(0) = 0 ⇒ B = 0
u(a) = 0 ⇒ ka = nπ ⇒ En0 =n2π2~2
2ma2, n ∈ N
Zadatak
Usporedite En0 s energijama u kvadratnom bunaru.
Igor Lukacevic Atom vodika
Atom vodika
Razdvajanje Schrodingerove jednadzbe
Radijalna jednadzba
Primjer 1.
Promotrite beskonacno duboki sferni bunar
V (r) =
0 , r ≤ a
∞ , r > a.
Odredite valnu funkciju i dopustene energije.
1 l = 0 ⇒d2u
dr 2= −k2u ⇒ u(r) = A sin(kr) + B cos(kr)
U.N. ⇒ A =
√2
a⇒ ψn00 = R(r)Ylm(ϑ, ϕ) =
u(r)
rY 0
0
=
√2
a
sin(nπr/a)
r· 1√
4π
=1√2πa
sin(nπr/a)
r
Igor Lukacevic Atom vodika
Atom vodika
Razdvajanje Schrodingerove jednadzbe
Radijalna jednadzba
Primjer 1.
Promotrite beskonacno duboki sferni bunar
V (r) =
0 , r ≤ a
∞ , r > a.
Odredite valnu funkciju i dopustene energije.
2 l = 1, 2, 3, . . .[6]⇒
u(r) = Arjl (kr) + Brnl (kr)
jl (x) = (−x)l
(1
x
d
dx
)lsin x
x sferne Besselove funkcije
nl (x) = −(−x)l
(1
x
d
dx
)lcos x
x sferne Neumannove funkcije
Igor Lukacevic Atom vodika
Atom vodika
Razdvajanje Schrodingerove jednadzbe
Radijalna jednadzba
Primjer 1.
Igor Lukacevic Atom vodika
Atom vodika
Razdvajanje Schrodingerove jednadzbe
Radijalna jednadzba
Primjer 1.
Igor Lukacevic Atom vodika
Atom vodika
Razdvajanje Schrodingerove jednadzbe
Radijalna jednadzba
Primjer 1.
99K zasto cemo staviti B = 0?
Igor Lukacevic Atom vodika
Atom vodika
Razdvajanje Schrodingerove jednadzbe
Radijalna jednadzba
⇒ R(r) = Ajl (kr)
Pitanje
Sto dobijemo iz rubnog uvjeta?
Igor Lukacevic Atom vodika
Atom vodika
Razdvajanje Schrodingerove jednadzbe
Radijalna jednadzba
⇒ R(r) = Ajl (kr)
Rubni uvjet: R(a) = 0 ⇒ jl (ka) = 0 ⇒ k =1
aβnl
Igor Lukacevic Atom vodika
Atom vodika
Razdvajanje Schrodingerove jednadzbe
Radijalna jednadzba
⇒ R(r) = Ajl (kr)
Rubni uvjet: R(a) = 0 ⇒ jl (ka) = 0 ⇒ k =1
aβnl
Enl =~2
2ma2β2
nl
ψnlm(r , ϑ, ϕ) = Anl jl
(βnl r
a
)Y m
l (ϑ, ϕ)
Igor Lukacevic Atom vodika
Atom vodika
Atom vodika
Sadrzaj
1 Razdvajanje Schrodingerove jednadzbeSchrodingerova jednadzba u sfernim koordinatamaRazdvajanje varijabliKutna jednadzbaRadijalna jednadzba
2 Atom vodikaRadijalna valna funkcijaSpektar atoma vodika
3 Literatura
Igor Lukacevic Atom vodika
Atom vodika
Atom vodika
Radijalna valna funkcija
Potencijal
V (r) = − e2
4πε0
1
r
Radijalna jednadzba
− ~2
2m
d2u
dr 2+
[V +
~2
2m
l(l + 1)
r 2
]u = Eu
u(r) =?
Igor Lukacevic Atom vodika
Atom vodika
Atom vodika
Radijalna valna funkcija
κ =
√−2mE
~⇒ 1
κ2
d2u
dr 2=
[1− me2
2πε0~2κ1
(κr)+
l(l + 1)
(κr)2
]u
Supstitucija ρ = κr , ρ0 =me2
2πε0~2κ
⇒ d2u
dρ2=
[1− ρ0
ρ+
l(l + 1)
ρ2
]u , u = u(ρ)
Igor Lukacevic Atom vodika
Atom vodika
Atom vodika
Radijalna valna funkcija
Ideja: pogledajmo rjesenja u asimptotskim podrucjima!
1 ρ→∞
Pitanje
Koji clan dominira u radijalnoj jednadzbi?
Igor Lukacevic Atom vodika
Atom vodika
Atom vodika
Radijalna valna funkcija
Ideja: pogledajmo rjesenja u asimptotskim podrucjima!
1 ρ→∞
d2u
dρ2= u ⇒ u(ρ) = Ae−ρ +��HHBeρ︸︷︷︸
?
∼ Ae−ρ
Igor Lukacevic Atom vodika
Atom vodika
Atom vodika
Radijalna valna funkcija
Ideja: pogledajmo rjesenja u asimptotskim podrucjima!
1 ρ→∞
d2u
dρ2= u ⇒ u(ρ) = Ae−ρ +��HHBeρ︸︷︷︸
?
∼ Ae−ρ
2 ρ→ 0
Pitanje
Koji clan dominira u radijalnoj jednadzbi?
Igor Lukacevic Atom vodika
Atom vodika
Atom vodika
Radijalna valna funkcija
Ideja: pogledajmo rjesenja u asimptotskim podrucjima!
1 ρ→∞
d2u
dρ2= u ⇒ u(ρ) = Ae−ρ +��HHBeρ︸︷︷︸
?
∼ Ae−ρ
2 ρ→ 0
d2u
dρ2=
l(l + 1)
ρ2u ⇒ u(ρ) = Cρl+1 +��
�HHHDρ−l︸ ︷︷ ︸?
∼ Cρl+1
Igor Lukacevic Atom vodika
Atom vodika
Atom vodika
Radijalna valna funkcija
Pretpostavimo u(ρ) = ρl+1e−ρv(ρ)
[2]=⇒ ρ
d2v
dρ2+ 2(l + 1− ρ)
du
dρ+ [ρ0 − 2(l + 1)] v = 0
v(ρ) =?
Igor Lukacevic Atom vodika
Atom vodika
Atom vodika
Radijalna valna funkcija
Pretpostavimo u(ρ) = ρl+1e−ρv(ρ)
[2]=⇒ ρ
d2v
dρ2+ 2(l + 1− ρ)
du
dρ+ [ρ0 − 2(l + 1)] v = 0
v(ρ) =?
Pretpostavimo v(ρ) =∞∑
j=0
ajρj ⇒ aj =?
[2]=⇒
∞∑j=0
j(j + 1)aj+1ρj + 2(l + 1)
∞∑j=0
(j + 1)aj+1ρj
−2∞∑
j=0
jajρj + [ρ0 − 2(l + 1)]
∞∑j=0
ajρj = 0
=⇒ j(j + 1)aj+1 + 2(l + 1)(j + 1)aj+1 − 2jaj + [ρ0 − 2(l + 1)] aj = 0
Igor Lukacevic Atom vodika
Atom vodika
Atom vodika
Radijalna valna funkcija
⇒ rekurzivna formula
aj+1 =
[2(j + l + 1)− ρ0
(j + 1)(j + 2l + 2)
]aj
a0 = A → a1 → a2 → · · ·
Pitanje
Kako biste odredili A?
Igor Lukacevic Atom vodika
Atom vodika
Atom vodika
Radijalna valna funkcija
⇒ rekurzivna formula
aj+1 =
[2(j + l + 1)− ρ0
(j + 1)(j + 2l + 2)
]aj
a0 = A → a1 → a2 → · · ·
potrazimo aj kada j →∞
Pitanje
Koji clanovi dominiraju u v(ρ) kada j →∞?
Igor Lukacevic Atom vodika
Atom vodika
Atom vodika
Radijalna valna funkcija
⇒ rekurzivna formula
aj+1 =
[2(j + l + 1)− ρ0
(j + 1)(j + 2l + 2)
]aj
a0 = A → a1 → a2 → · · ·
potrazimo aj kada j →∞[2]⇒ aj ≈
2j
j!A
pretpostavimo da je to “egzaktan” rezultat
⇒ v(ρ) = A∞∑
j=0
(2ρ)j
j!= Ae2ρ
⇒ u(ρ) = Aρl+1eρ
Pitanje
Kako se ponasa u(ρ) kadaρ→∞?
Igor Lukacevic Atom vodika
Atom vodika
Atom vodika
Radijalna valna funkcija
⇒ rekurzivna formula
aj+1 =
[2(j + l + 1)− ρ0
(j + 1)(j + 2l + 2)
]aj
a0 = A → a1 → a2 → · · ·
potrazimo aj kada j →∞[2]⇒ aj ≈
2j
j!A
pretpostavimo da je to “egzaktan” rezultat
⇒ v(ρ) = A∞∑
j=0
(2ρ)j
j!= Ae2ρ
⇒ u(ρ) = Aρl+1eρ
Pitanje
Da li je to “pozeljno”ponasanje funkcije u(ρ)?Imate li ideju kako rijesitiovaj problem?
Igor Lukacevic Atom vodika
Atom vodika
Atom vodika
Radijalna valna funkcija
⇒ rekurzivna formula
aj+1 =
[2(j + l + 1)− ρ0
(j + 1)(j + 2l + 2)
]aj
a0 = A → a1 → a2 → · · ·
potrazimo aj kada j →∞[2]⇒ aj ≈
2j
j!A
pretpostavimo da je to “egzaktan” rezultat
⇒ v(ρ) = A∞∑
j=0
(2ρ)j
j!= Ae2ρ
⇒ u(ρ) = Aρl+1eρ
Rjesenje
Red mora biti konacan.
Igor Lukacevic Atom vodika
Atom vodika
Atom vodika
Radijalna valna funkcija
⇒ ∃ jmax , tdj . ajmax+1 = 0 ⇒ 2 (jmax + l + 1)︸ ︷︷ ︸n
−ρ0 = 0 ⇒ 2n = ρ0
Igor Lukacevic Atom vodika
Atom vodika
Atom vodika
Radijalna valna funkcija
⇒ ∃ jmax , tdj . ajmax+1 = 0 ⇒ 2 (jmax + l + 1)︸ ︷︷ ︸n
−ρ0 = 0 ⇒ 2n = ρ0
Sjetimo se
E = −~2κ2
2m= − me4
8π2ε20~2ρ20⇒ E En
Igor Lukacevic Atom vodika
Atom vodika
Atom vodika
Radijalna valna funkcija
Dopustene energije eektrona u atomu vodika
En = −
[m
2~2
(e2
4πε0
)2]
1
n2=
E1
n2
n = 1, 2, 3, . . . glavni kvantni broj
Zadatak
Usporedite ovu formulu s Bohrovom formulom za energije elektrona u atomu.
Pitanje
Koliko iznosi E1?
Igor Lukacevic Atom vodika
Atom vodika
Atom vodika
Radijalna valna funkcija
Bohrov radijus
κ =
(me2
4πε0~2
)1
n=
1
an⇒ a =
4πε0~2
me2= 0.529 · 10−10 m
Igor Lukacevic Atom vodika
Atom vodika
Atom vodika
Radijalna valna funkcija
Ukupna valna funkcija
Ψnlm(r , ϑ, ϕ) = Rnl (r) · Y ml (ϑ, ϕ)
Radijalna valna funkcija [7]
Rnl (r) =1
rρl+1e−ρv(ρ)
Sferni harmonici
Y ml (ϑ, ϕ) = ε
√(2l + 1)
4π
(l − |m|)!
(l + |m|)!e imϕ Pm
l (cosϑ)
Igor Lukacevic Atom vodika
Atom vodika
Atom vodika
Radijalna valna funkcija
Primjer 2.
Kako izgleda valna funckija osnovnog stanja n = 1, l = 0,m = 0?
Igor Lukacevic Atom vodika
Atom vodika
Atom vodika
Radijalna valna funkcija
Primjer 2.
Kako izgleda valna funckija osnovnog stanja n = 1, l = 0,m = 0?
Ψ100(r , ϑ, ϕ) = R10(r) · Y 00 (ϑ, ϕ)
jmax = n − l − 1 = 1− 0− 1 = 0 ⇒ v(ρ) = a0
ρ = κr =r
an=
r
a
⇒ R10(r) =a0
ae−
ra
Pitanje
Kako biste odredili a0?
Igor Lukacevic Atom vodika
Atom vodika
Atom vodika
Radijalna valna funkcija
Primjer 2.
Kako izgleda valna funckija osnovnog stanja n = 1, l = 0,m = 0?
Ψ100(r , ϑ, ϕ) = R10(r) · Y 00 (ϑ, ϕ)
jmax = n − l − 1 = 1− 0− 1 = 0 ⇒ v(ρ) = a0
ρ = κr =r
an=
r
a
⇒ R10(r) =a0
ae−
ra
Pitanje
Kako biste odredili a0? U.N. ⇒ a0 =2√a
Igor Lukacevic Atom vodika
Atom vodika
Atom vodika
Radijalna valna funkcija
Primjer 2.
Kako izgleda valna funckija osnovnog stanja n = 1, l = 0,m = 0?
Ψ100(r , ϑ, ϕ) = R10(r) · Y 00 (ϑ, ϕ)
jmax = n − l − 1 = 1− 0− 1 = 0 ⇒ v(ρ) = a0
ρ = κr =r
an=
r
a
⇒ R10(r) =a0
ae−
ra
Y 00 =
1√4π
⇒ Ψ100(r , ϑ ϕ) =1√πa3
e−ra
Igor Lukacevic Atom vodika
Atom vodika
Atom vodika
Radijalna valna funkcija
Primjer 3.
Odredite radijalnu valnu funkciju za prvo pobudeno stanje.
Igor Lukacevic Atom vodika
Atom vodika
Atom vodika
Radijalna valna funkcija
Primjer 3.
Odredite radijalnu valnu funkciju za prvo pobudeno stanje.
n = jmax + l + 1 = 2
l = 0 (jmax = 1) m = 0
l = 1 (jmax = 0)
m = 1m = 0m = −1
4 stanja
Igor Lukacevic Atom vodika
Atom vodika
Atom vodika
Radijalna valna funkcija
Primjer 3.
Odredite radijalnu valnu funkciju za prvo pobudeno stanje.
n = jmax + l + 1 = 2
l = 0 (jmax = 1) m = 0
l = 1 (jmax = 0)
m = 1m = 0m = −1
4 stanja
1
l = 0
jmax = 0 ⇒ a1 = −a0
jmax = 1 ⇒ a2 = 0
⇒ v(ρ) = a0(1− ρ)
⇒ R20(r) =a0
2a
(1− r
2a
)e−
r2a
Igor Lukacevic Atom vodika
Atom vodika
Atom vodika
Radijalna valna funkcija
Primjer 3.
Odredite radijalnu valnu funkciju za prvo pobudeno stanje.
n = jmax + l + 1 = 2
l = 0 (jmax = 1) m = 0
l = 1 (jmax = 0)
m = 1m = 0m = −1
4 stanja
2
l = 1 jmax = 0 ⇒ v(ρ) = a0
⇒ R21(r) =a0
4a2re−
r2a
Igor Lukacevic Atom vodika
Atom vodika
Atom vodika
Radijalna valna funkcija
Pitanje
1 Koliko ima mogucih vrijednosti l za svaki n?
(Hint: n = jmax + l + 1)
2 Koliko ima mogucih vrijednosti m za svaki l?
3 Kolika je onda degeneracija stanja elektrona u atomu vodika?
Igor Lukacevic Atom vodika
Atom vodika
Atom vodika
Radijalna valna funkcija
Pitanje
1 Koliko ima mogucih vrijednosti l za svaki n?
(Hint: n = jmax + l + 1)
2 Koliko ima mogucih vrijednosti m za svaki l?
3 Kolika je onda degeneracija stanja elektrona u atomu vodika?
1 l = 0, 1, 2, . . . , n − 1 n
2 m = −l , . . . , 0, . . . , l 2l + 1
3 d(n) =∑n−1
l=0 (2l + 1) = n2
Igor Lukacevic Atom vodika
Atom vodika
Atom vodika
Radijalna valna funkcija
Degeneracija stanja elektrona u atomu vodika
d(n) = n2
n l =
0 m = 0 d(n) = 1
1 m =
10−1
d(n) = 3
...
n − 1 m =
n − 1...−(n − 1)
d(n) = 2n − 1
Igor Lukacevic Atom vodika
Atom vodika
Atom vodika
Radijalna valna funkcija
v(ρ) = L2l+1n−l−1(2ρ)
Pridruzeni Laguerreovi polinomi
Lpq−p(x) = (−1)p
(d
dx
)p
Lq(x)
Igor Lukacevic Atom vodika
Atom vodika
Atom vodika
Radijalna valna funkcija
v(ρ) = L2l+1n−l−1(2ρ)
Pridruzeni Laguerreovi polinomi
Lpq−p(x) = (−1)p
(d
dx
)p
Lq(x)
Igor Lukacevic Atom vodika
Atom vodika
Atom vodika
Radijalna valna funkcija
Laguerrovi polinomi (slika)
Lq(x) = ex
(d
dx
)q (e−x xq)
Igor Lukacevic Atom vodika
Atom vodika
Atom vodika
Radijalna valna funkcija
Laguerrovi polinomi (slika)
Lq(x) = ex
(d
dx
)q (e−x xq)
Igor Lukacevic Atom vodika
Atom vodika
Atom vodika
Radijalna valna funkcija
Valna funkcija elektrona u atomu vodika [8-11]
Ψnlm(r , ϑ, ϕ) =
√(2
na
)3(n − l − 1)!
2n [(n + l)!]3e− r
na
(2r
na
)l
L2l+1n−l−1
(2r
na
)Y m
l (ϑ, ϕ)
Igor Lukacevic Atom vodika
Atom vodika
Atom vodika
Radijalna valna funkcija
Primjer 4.
a) Izracunajte 〈r〉 i 〈r 2〉 za elektron u osnovnom stanju atoma vodika.
b) Izracunajte 〈x〉 i 〈x2〉 za elektron u osnovnom stanju atoma vodika.
c) Izracunajte 〈x2〉 za elektron u stanju atoma vodika odredenog s n = 2,l = 1, m = 1.
Igor Lukacevic Atom vodika
Atom vodika
Atom vodika
Radijalna valna funkcija
Primjer 4.
a) Izracunajte 〈r〉 i 〈r 2〉 za elektron u osnovnom stanju atoma vodika.
b) Izracunajte 〈x〉 i 〈x2〉 za elektron u osnovnom stanju atoma vodika.
c) Izracunajte 〈x2〉 za elektron u stanju atoma vodika odredenog s n = 2,l = 1, m = 1.
a)
ψ =1√a3π
e−ra ⇒ 〈r n〉 =
1
a3π
∫r ne−
2ra · r 2 sinϑdrdϑdϕ
=4
a3
∫ ∞0
r n+2e−2ra dr
〈r〉 =4
a3
∫ ∞0
r 3e−2ra dr =
3
2a
〈r 2〉 =4
a3
∫ ∞0
r 4e−2ra dr = 3a2
Igor Lukacevic Atom vodika
Atom vodika
Atom vodika
Radijalna valna funkcija
Primjer 4.
a) Izracunajte 〈r〉 i 〈r 2〉 za elektron u osnovnom stanju atoma vodika.
b) Izracunajte 〈x〉 i 〈x2〉 za elektron u osnovnom stanju atoma vodika.
c) Izracunajte 〈x2〉 za elektron u stanju atoma vodika odredenog s n = 2,l = 1, m = 1.
Igor Lukacevic Atom vodika
Atom vodika
Atom vodika
Radijalna valna funkcija
Primjer 4.
a) Izracunajte 〈r〉 i 〈r 2〉 za elektron u osnovnom stanju atoma vodika.
b) Izracunajte 〈x〉 i 〈x2〉 za elektron u osnovnom stanju atoma vodika.
c) Izracunajte 〈x2〉 za elektron u stanju atoma vodika odredenog s n = 2,l = 1, m = 1.
b)
〈x〉 DZ= 0
〈x2〉 DZ=
1
3〈r 2〉 = a2
Igor Lukacevic Atom vodika
Atom vodika
Atom vodika
Radijalna valna funkcija
Primjer 4.
a) Izracunajte 〈r〉 i 〈r 2〉 za elektron u osnovnom stanju atoma vodika.
b) Izracunajte 〈x〉 i 〈x2〉 za elektron u osnovnom stanju atoma vodika.
c) Izracunajte 〈x2〉 za elektron u stanju atoma vodika odredenog s n = 2,l = 1, m = 1.
c)
ψ211 = R21 · Y 11 = − 1√
πa
1
8a2re−
r2a sinϑe iϕ
〈x2〉 =1
πa
1
(8a2)2
∫ (r 2e−
ra sin2 ϑ
)(r sinϑ cosϕ)2︸ ︷︷ ︸
x2
r 2 sinϑdrdϑdϕ
= 12a2
Igor Lukacevic Atom vodika
Atom vodika
Atom vodika
Radijalna valna funkcija
Primjer 4.
a) Izracunajte 〈r〉 i 〈r 2〉 za elektron u osnovnom stanju atoma vodika.
b) Izracunajte 〈x〉 i 〈x2〉 za elektron u osnovnom stanju atoma vodika.
c) Izracunajte 〈x2〉 za elektron u stanju atoma vodika odredenog s n = 2,l = 1, m = 1.
Igor Lukacevic Atom vodika
Atom vodika
Atom vodika
Spektar atoma vodika
Igor Lukacevic Atom vodika
Atom vodika
Atom vodika
Spektar atoma vodika
Eγ = Ep − Ek = E1
(1
n2p− 1
n2k
)Eγ = hν
c = λν
⇒
1
λ= R
(1
n2k
− 1
n2p
)
R =m
4πc~3
(e2
4πε0
)2
= 1.097 · 107 m−1
Igor Lukacevic Atom vodika
Atom vodika
Atom vodika
Spektar atoma vodika
99K Pogledajte ref. [12].
Igor Lukacevic Atom vodika
Atom vodika
Atom vodika
Spektar atoma vodika
Primjer 5.
Promotrite Suncev sustav kao analog atoma vodika.
a) Koji je izraz za potencijalnu energiju?
b) Koliko iznosi “Bohrov radijus” za ovaj sustav?
c) Napisite gravitacijsku “Bohrovu formulu”, te izjednacavajuci En sklasicnom energijom planeta u kruznoj orbiti oko Sunca radijusa r0,pokazite da je n =
√r0/ag . Iz toga procijenite kvantni broj Zemlje.
d) Pretpostavite da je Zemlja nacinila prijelaz u susjedno nize stanje (n − 1).Kolika energija ce se otpustiti pri tom prijelazu? Kolika bi bila valnaduljina emitiranog “fotona”?
Igor Lukacevic Atom vodika
Atom vodika
Atom vodika
Spektar atoma vodika
Primjer 5.
Promotrite Suncev sustav kao analog atoma vodika.
a) Koji je izraz za potencijalnu energiju?
b) Koliko iznosi “Bohrov radijus” za ovaj sustav?
c) Napisite gravitacijsku “Bohrovu formulu”, te izjednacavajuci En sklasicnom energijom planeta u kruznoj orbiti oko Sunca radijusa r0,pokazite da je n =
√r0/ag . Iz toga procijenite kvantni broj Zemlje.
d) Pretpostavite da je Zemlja nacinila prijelaz u susjedno nize stanje (n − 1).Kolika energija ce se otpustiti pri tom prijelazu? Kolika bi bila valnaduljina emitiranog “fotona”?
a) V (r) = −GMm
r⇒ e2
4πε0! GMm
Igor Lukacevic Atom vodika
Atom vodika
Atom vodika
Spektar atoma vodika
Primjer 5.
Promotrite Suncev sustav kao analog atoma vodika.
a) Koji je izraz za potencijalnu energiju?
b) Koliko iznosi “Bohrov radijus” za ovaj sustav?
c) Napisite gravitacijsku “Bohrovu formulu”, te izjednacavajuci En sklasicnom energijom planeta u kruznoj orbiti oko Sunca radijusa r0,pokazite da je n =
√r0/ag . Iz toga procijenite kvantni broj Zemlje.
d) Pretpostavite da je Zemlja nacinila prijelaz u susjedno nize stanje (n − 1).Kolika energija ce se otpustiti pri tom prijelazu? Kolika bi bila valnaduljina emitiranog “fotona”?
b)
aBohr =
(4πε0
e2
)~2
m⇒ ag =
~2
GMm2= 2.34 · 10−138 m
Igor Lukacevic Atom vodika
Atom vodika
Atom vodika
Spektar atoma vodika
Primjer 5.
Promotrite Suncev sustav kao analog atoma vodika.
a) Koji je izraz za potencijalnu energiju?
b) Koliko iznosi “Bohrov radijus” za ovaj sustav?
c) Napisite gravitacijsku “Bohrovu formulu”, te izjednacavajuci En sklasicnom energijom planeta u kruznoj orbiti oko Sunca radijusa r0,pokazite da je n =
√r0/ag . Iz toga procijenite kvantni broj Zemlje.
d) Pretpostavite da je Zemlja nacinila prijelaz u susjedno nize stanje (n − 1).Kolika energija ce se otpustiti pri tom prijelazu? Kolika bi bila valnaduljina emitiranog “fotona”?
c)
En = −[ m
2~2(GMm)2
] 1
n2
Ekl =1
2mv 2 − G
Mm
r0, FG = Fcf ⇒
mv 2
2= G
Mm
2r0⇒ Ekl = −G
Mm
2r0
En = Ekl ⇒ n =
√r0ag≈ 2.53 · 1074
Igor Lukacevic Atom vodika
Atom vodika
Atom vodika
Spektar atoma vodika
Primjer 5.
Promotrite Suncev sustav kao analog atoma vodika.
a) Koji je izraz za potencijalnu energiju?
b) Koliko iznosi “Bohrov radijus” za ovaj sustav?
c) Napisite gravitacijsku “Bohrovu formulu”, te izjednacavajuci En sklasicnom energijom planeta u kruznoj orbiti oko Sunca radijusa r0,pokazite da je n =
√r0/ag . Iz toga procijenite kvantni broj Zemlje.
d) Pretpostavite da je Zemlja nacinila prijelaz u susjedno nize stanje (n − 1).Kolika energija ce se otpustiti pri tom prijelazu? Kolika bi bila valnaduljina emitiranog “fotona”?
d)
∆E = −[
G 2m2m3
2~2
] [1
(n + 1)2− 1
n2
]︸ ︷︷ ︸
≈−2/n3
≈ G 2m2m3
~2n3
≈ 2.09 · 10−41 J = 1.3 · 10−22 eV
⇒ λ ≈ 9.52 · 1015 m ≈ 1 gs
Igor Lukacevic Atom vodika
Atom vodika
Literatura
Sadrzaj
1 Razdvajanje Schrodingerove jednadzbeSchrodingerova jednadzba u sfernim koordinatamaRazdvajanje varijabliKutna jednadzbaRadijalna jednadzba
2 Atom vodikaRadijalna valna funkcijaSpektar atoma vodika
3 Literatura
Igor Lukacevic Atom vodika
Atom vodika
Literatura
Literatura
1 R. L. Liboff, Introductory Quantum Mechanics, Addison Wesley, SanFrancisco, 2003.
2 D. J. Griffiths, Introduction to Quantum Mechanics, 2nd ed., PearsonEducation, Inc., Upper Saddle River, NJ, 2005.
3 L. I. Schiff, Quantum Mechanics, McGraw-Hill Book Company, New York,1949.
4 Aplet - Kompleksni sferni harmonici
5 Aplet - Sferni harmonici
6 M. Abramowitz, I. A. Stegun, eds., Handbook of Mathematical Functionswith Formulas, Graphs, and Mathematical Tables, New York, 1972.
7 Aplet - Radijalna valna funkcija
8 Aplet - H orbitali 1
9 Aplet - H orbitali 2
10 Aplet - H orbitali 3
11 Aplet - H orbitali 4
12 Aplet - Posebne funkcije Aplet - Spektar vodika
Igor Lukacevic Atom vodika