MTE3105 STATISTIK LATAR BELAKANG KAJIAN Pada 12 Mac 2013 yang lalu, Sekolah Kebangsaan Ulu Tiram telah mengadakan Ujian Formatif 1 untuk semua murid Tahap 2. Setelah analisa peperiksaan bagi ujian 1 dikeluarkan , kami dapati bahawa murid – murid tahun 5 mendapat markah yang agak rendah di dalam mata pelajaran Matematik. Hal ini amat membimbangkan memandang mereka akan menduduki Peperiksaan UPSR pada tahun berikutnya iaitu tahun 2014. Perkara ini telah mendapat perhatian daripada pihak pentadbir. Maka satu mesyuarat khas telah diadakan oleh Panitia Matematik untuk mengenal pasti dan menangani masalah tersebut. Dapatan dari post- mortem ujian 1 itu, di dapati murid lemah dalam menguasai Bidang Nombor dan Operasi. Beberapa permasalahan telah dikenal pasti, antaranya ialah: kekurangan latihan matematik di kalangan murid – murid tahun 5 kekerapan latihan sukan pada sebelah petang menyebabkan mereka tiada masa untuk mengulang kaji pelajaran. persediaan dan kesedaran mental yang kurang dalam menghadapi ujian formatif 1 ini. Lantaran daripada itu, untuk mengatasi masalah tersebut di samping meningkatkan prestasi murid – murid dalam mata pelajaran Matematik telah di cadangkan. Antara cadangan tersebut ialah: memperbanyakkan latihan latih tubi di dalam kelas, bekalan kerja rumah yang konsisten mengadakan kelas tambahan kepada murid yang lemah untuk setiap kelas. 1
This document is posted to help you gain knowledge. Please leave a comment to let me know what you think about it! Share it to your friends and learn new things together.
Transcript
MTE3105 STATISTIK
LATAR BELAKANG KAJIAN
Pada 12 Mac 2013 yang lalu, Sekolah Kebangsaan Ulu Tiram telah mengadakan
Ujian Formatif 1 untuk semua murid Tahap 2. Setelah analisa peperiksaan bagi ujian 1
dikeluarkan , kami dapati bahawa murid – murid tahun 5 mendapat markah yang agak
rendah di dalam mata pelajaran Matematik. Hal ini amat membimbangkan memandang
mereka akan menduduki Peperiksaan UPSR pada tahun berikutnya iaitu tahun 2014.
Perkara ini telah mendapat perhatian daripada pihak pentadbir. Maka satu mesyuarat khas
telah diadakan oleh Panitia Matematik untuk mengenal pasti dan menangani masalah
tersebut. Dapatan dari post-mortem ujian 1 itu, di dapati murid lemah dalam menguasai
Bidang Nombor dan Operasi.
Beberapa permasalahan telah dikenal pasti, antaranya ialah:
kekurangan latihan matematik di kalangan murid – murid tahun 5
kekerapan latihan sukan pada sebelah petang menyebabkan mereka tiada masa
untuk mengulang kaji pelajaran.
persediaan dan kesedaran mental yang kurang dalam menghadapi ujian formatif 1
ini.
Lantaran daripada itu, untuk mengatasi masalah tersebut di samping meningkatkan prestasi
murid – murid dalam mata pelajaran Matematik telah di cadangkan. Antara cadangan
tersebut ialah:
memperbanyakkan latihan latih tubi di dalam kelas,
bekalan kerja rumah yang konsisten
mengadakan kelas tambahan kepada murid yang lemah untuk setiap kelas.
PERSOALAN KAJIAN
Setelah mengenal pasti langkah penyelesaian bagi masalah tersebut di dapati cadangan
mengadakan kelas tambahan mendatangkan beberapa halangan dan kekangan. Kelas
tambahan yang akan dilaksanakan dipersetujui pada setiap hari Rabu bermula pukul 1:30
petang hingga pukul 2:30 petang.
Memandangkan murid – murid yang bakal terpilih untuk mengikuti kelas tambahan itu nanti
menggunakan kenderaan van sekolah dan bas sekolah yang mengikut jadual waktu
persekolahan, maka pengangkutan menjadi isu utama.
1
MTE3105 STATISTIK
1. Bagaimanakah pengangkutan balik mereka ?
2. Kesediaan pihak penjaga untuk menunggu anak jagaan mereka hingga pukul 2:30
petang.
3. Berapakah jarak yang paling jauh dan dekat tempat tinggal mereka dengan
sekolah ?
4. Risiko yang mereka akan hadapi sekiranya pulang menggunakan kenderaan awam
atau berjalan kaki
Dengan menyelesaikan persoalan – persoalan tersebut, kami akan memastikan murid –
murid tersebut dapat menghadiri kelas tambahan yang di adakan tanpa menghadapi
masalah pengangkutan. Jarak tempat tinggal mereka perlulah diambil kira dalam pemilihan
mereka untuk menyertai kelas tambahan ini.
KAEDAH KAJIAN
Seramai 15 orang murid di dalam setiap kelas tahun 5 dipilih untuk mengikuti kelas
tambahan tersebut berdasarkan Keputusan Ujian Formatif 1 yang paling rendah. Untuk
memastikan mereka akan hadir ke kelas tambahan ini, kajian terhadap jarak dari rumah ke
sekolah di ambil kira. Data tersebut diperoleh daripada Aplikasi Sistem Maklumat Murid
berdasarkan alamat tempat tinggal mereka.
Surat kebenaran ibu bapa dan Surat Pemberitahuan Kelas Tambahan dikeluarkan dan
diberikan kepada ibu bapa. Didapati semua murid yang terpilih bersetuju untuk menyertai
kelas tambahan tersebut tetapi sebilangan ibu bapa tidak dapat menyelesaikan masalah
pengangkutan anak mereka. Maka satu kajian terpaksa kami jalankan bagi mengenal pasti
jarak antara rumah ke sekolah bagi kami menyediakan kenderaan yang boleh digunakan
untuk menghantar pulang murid – murid.
Kajian terhadap jarak ini di harap dapat mengurangkan risiko murid untuk tidak hadir ke
kelas tambahan ini nanti.
2
MTE3105 STATISTIK
MAKLUMAT JARAK RUMAH MURID KE SEKOLAH DALAM KILOMETER
Berikut merupakan data senarai nama murid yang terlibat di dalam kelas tambahan berserta
Untuk mencari min sampel, formula berikut kami gunakan:
x=∑ xn
Min bagi sampel 1 adalah seperti berikut:
x1=5415
=3.6
Min bagi sampel 2 adalah seperti berikut:
x2=5215
=3.47
Min bagi sampel 3 adalah seperti berikut:
x3=4115
=2.73
6
MTE3105 STATISTIK
Penganggar bagi min populasi (µ), formula berikut kami gunakan:
μ=∑ xN
μ=14745
=3.27
Min sampel x merupakan penganggar terbaik kepada min populasi 𝜇 kerana penganggar yang saksama, konsisten dan paling cekap. Untuk itu, kami telah menetapkan tiga kumpulan sampel seperti berikut:
Sampel 1 Jarak dari rumah ke sekolah dalam unit KM bagi murid 5 Permata
Sampel 2 Jarak dari rumah ke sekolah dalam unit KM bagi murid 5 Delima
Sampel 3 Jarak dari rumah ke sekolah dalam unit KM bagi murid 5 Berlian
Mencari Varian Sampel dan Sisihan Piawai Sampel
Varian Sampel
σ 2=∑ (x−x❑)2
N
σ 2=212.7645
=4.73
Sisihan Piawai
σ=√σ2
σ=√4.73=2.18
Ralat Maksima
Andaian dilakukan mengikut Teorem Had memusat, sekiranya n > 30, maka datanya
bertaburan secara normal. Oleh itu, sifir Z di gunakan kerana sifir Z adalah penganggar
normal. Maka formula yang di gunakan ialah
E=E=z α2
σ√ N
¿1.96 2.18√45
7
MTE3105 STATISTIK
¿1.96 2.186.71
¿1.96(0.32)
¿0.63
Selang Keyakinan 95% bagi min populasi
Selang keyakinan 95% bagi min populasi yang kami kaji ialah
μ−E<μ<μ+E
¿3.27±1.96 2.18√45
¿3.27±1.96 2.186.71
¿3.27±1.96(0.32)
¿3.27±0.63
¿(2.64 ,3.9)
2.64<μ<3.91
Nilai Data Terkecil
Nilai data terkecil x jika hanya 5% daripada nilai tertinggi sahaja maka formula di bawah
digunakan.
= X̄+E
= X̄ + Z0.95
(
S|N )
= 3.27 + 0.1711 ( 2.174√45
¿
= 3.27 + 0.1711 ( 0.324¿
= 3.325
8
MTE3105 STATISTIK
Analisa Jarak Rumah Murid ke Sekolah (Kilometer)
Masalah jarak tempat tinggal murid di kumpulkan mengikut jarak. Dari data yang
dikeluarkan, kami dapat mengetahui jumlah murid mengikut jarak yang telah di tetapkan.
Lokasi tempat tinggal murid juga dapat di ketahui dengan lebih jelas.
Berikut adalah sampel bagi jarak dan bilang murid :
JARAK JUMLAH MURID
1.0 - 1.9 km 11 orang
2.0 - 2.9 km 11 orang
3.0 - 3.9 km
5 orang
4.0 - 4.9 km 5 orang
5.0 - 5.9 km 6 orang
6.0 - 6.9 km 4 orang
8.0 - 8.9 km 2 orang
10.0 - 10.9 km 1 orang
Penggangar titik dan selang bagi min populasi
Penganggar titik
Penganggar titik ialah statistik yang diambil daripada sampel dan digunakan untuk
parameter populasi. Walau bagaimanapun, penganggar titik ini hanya baik sebagai
9
Populasi : Murid Tahun 5 SK Ulu Tiram
Sampel : 45 orang
MTE3105 STATISTIK
perwakilan sampelnya sahaja. Jika sampel rawak yang lain diambil daripada populasi,
penganggar titik yang diterbitkan daripada sampel tersebut adalah barlainan.
Maklumat data di atas adalah mengikut formula yang kami gunakan menggunakan perisian
Microsoft Excel seperti jadual di sebelah.
µ = min jarak rumah dengan sekolah bagi populasi
x = min jarak rumah dengan sekolah bagi sampel
10
MTE3105 STATISTIK
∴ min sampel , x adalah penganggar titik bagi min populasi μ
Penganggar selang
Disebabkan oleh variasi di dalam sampel statistik, penganggaran parameter populasi
dengan selang penganggaran biasanya lebih digemari daripada menggunakan
penganggaran titik. Penganggaran selang digunakan untuk menganggar had atas dan had
bawah sesuatu selang yang dijangka akan mengandungi nilai parameter populasi.
Sekiranya (1 - α ) 100% daripada selang-selang yang dianggar mengandungi nilai
parameter populasi, maka setiap selang ini adalah selang keyakinan (1 - α ) 100% bagi
parameter populasi tersebut. Maka, 1 - α adalah probabiliti sesuatu selang keyakinan
mengandungi nilai parameter dan ini dirujuk sebagai asas keyakinan.
Dengan itu, daripada sampel rawak bersaiz n yang dipilih daripada populasi di mana
variansnya diketahui, selang keyakinan (1 - α ) 100% bagi μboleh dikira seperti berikut.
x± z α2
σ√N
- z α2
z α2
Rajah: Skor Z untuk selang keyakinan di dalam hubungannya dengan α
11
α2
α2
0.5 - α2
1-α keyakinan
MTE3105 STATISTIK
Menurut kajian,
Varians bagi sampel,s²
s2=∑ (x−x)2
ƩN
s2=212.7645
s2=4.28
Sisihan piawai bagi sampel,s
s=√∑( x−x)2
Ʃ N
s=√4.28=2.174
Dalam kajian ini, varians populasi σ ² tidak diketahui. Oleh itu, s² boleh digunakan sebagai
penganggar titik dalam keadaan ini. Menyusun semua formula tersebut untuk
menyelesaikan nilai μ memberikan
Selang keyakinan bagi μ = x−z α2
s√ N
Selang keyakinan 95% bagi μ
= 3.27 ± z0.0252.174√45
= 3.27 ±1.96 (0.324)
= 3.27 ± 0.635
= (2.635 , 3.905)
95% daripada min sampel berada dalam lingkungan di antara 2.635 dan 3.905.
Dalam selang keyakinan 95%, aras keyakinannya ialah 95% atau 0.95. Kenyataan
kebarangkalian yang ditunjukkan memberitahu kita terdapat 0.95 kebarangkalian min
populasi adalah di dalam selang ini. Jika 45 selang seperti itu dibentuk dengan mengambil
sampel rawak daripada populasi, lebih kurang 40 daripada selang tersebut melibatkan min
12
MTE3105 STATISTIK
populasi dan lima daripadanya bukan. Kebarangkalian memberitahu kita kebolehjadian
selang tertentu adalah satu yang termasuk di dalam min populasi.
Kami telah memilih aras keyakinan 95% untuk menyelesaikan masalah selang keyakinan.
Sebab kami memilih keyakinan yang tinggi (95% ) dan bukan keyakinan yang rendah seperti
80% dan 85% adalah atas penimbangan lebar selangnya. Aras keyakinan rendah
berkemungkinan memberikan selang yang sempit dan ini akan menjejaskan ketepatan
selang itu. Bagi selang dengan 100% keyakinan adalah terlalu luas dan tidak bermakna.
Selepas pengiraan selang keyakinan 95% , kumpulan kami boleh membuat kesimpulan
bahawa semakin aras keyakinan meningkat, selang semakin luas apabila saiz sampel dan
sisihan piawai tetap kekal.
13
MTE3105 STATISTIK
Hipotesis Menggunakan ANOVASatu kajian telah dijalankan untuk mengetahui sama ada terdapat perbezaan min jarak
tempat tinggal murid ke sekolah antara murid-murid di 3 buah kelas iaitu kelas 5 Permata, 5
Delima dan 5 Berlian. Setiap kelas mengandungi 15 sampel jarak dalam kilometer. Ujian
hipotesis ini dijalankan dengan menggunakan aras keertian 0.05.
Ujian Analisis Varians (ANOVA)Analisis Varians (ANOVA) adalah satu kaedah untuk menguji samada terdapat perbezaan di
antara min-min untuk lebih daripada dua populasi .ANOVA juga digunakan untuk
membandingkan min bagi satu kumpulan atau lebih berdasarkan satu pemboleh ubah tidak
bersandar (faktor/rawatan).
Terdapat beberapa andaian yang penting di sebalik analisis varians.
Semua populasi kajian bagi tiga buah kelas ( 5 Permata, 5 Delima dan 5 Berlian)
bertabur secara normal dengan varians seragam.
Semua sampel jarak daripada rumah ke sekolah dari tiga kelas diambil secara
rawak.
Pemilihan sampel yang diambil dari tiga kelas adalah secara rawak.
ANOVA adalah dikira dengan tiga jenis variasi iaitu jumlah variasi, variasi antara kumpulan
dan variasi dalam kumpulan.Ujian Hipotesis digunakan bagi menguji sama ada untuk
menerima atau menolak kesahihan /kebenaran kajian tersebut.
Langkah 1: Nyatakan H o dan H a
Ho : Tidak terdapat perbezaan yang bererti diantara min jarak rumah ke sekolah 5
Permata, 5 Delima dan 5 Berlian pada ∝ = 0.05
H a : Sekurang-kurangnya dua daripada min jarak rumah ke sekolah sekolah 5
Permata, 5 Delima dan 5 Berlian mempunyai perbezaan yang bererti pada ∝ = 0.05
( tidak semua min adalah sama )
14
MTE3105 STATISTIK
Hipotesis nul menyatakan bahawa min populasi bagi murid-murid dari tiga buah kelas
tersebut adalah sama manakala hipotesis altenatif menyatakan jika hanya satu sahaja min
populasi adalah berbeza dari yang lain, hipotesis nul akan ditolak.
Langkah 2: Tentukan statistik ujian yang digunakan.Ujian ANOVA adalah sesuai untuk menyelesaikan masalah kajiaan ini.Ujian ANOVA juga
digunakan untuk menguji hipotesis varian.Penyediaan jadual ANOVA penting untuk
memudahkan pembacaan data-data tersebut. Berikut di bawah adalah merupakan jadual
ANOVA .
Ujian ANOVA Menggunakan Microsoft Excel
Kami juga menggunakan perisian Microsoft Excel untuk menjalankan ujian ANOVA. Ia
merupakan rujukan dan jawapan bagi kami dalam menjalankan ujian ANOVA secara
manual. Dengan penggunaan ujian ANOVA menggunakan perisian Microsoft Excel ianya
lebih mudah, cepat dan jawapan yang diperoleh juga lebih tepat berbanding penggunaan
secara manual.
Langkah 1 : Mengisikan data-data yang hendak diuji seperti berikut:
15
MTE3105 STATISTIK
Langkah 2 :
Di bawah tab “Data”, memilih “Data Analysis”
Memilih “ ANOVA : Single Factor ”
Langkah 3 :
Dalam jadual berikut, mengisi atau memilih data-data yang perlu
Dalam “Input Range” , mengisi atau “highlight” data yang perlu diuji. Dalam kajian
kami, kami hendak menguji jarak rumah ke sekolah murid 5 Permata, 5 Delima dan 5
Berlian..
Dalam “Grouped by” , memilih “column” kerana kumpulan sampel terdapat dalam
ruangan jadual.
Menanda “Alpha” pula, mengisi aras keertian kami iaitu 0.05
Di bawah “Output Option” menanda “Output Range” dan menaip “G9” , jadual
ANOVA akan keluar pada cell G9.
16
Data
MTE3105 STATISTIK
Langkah 4:
Jadual ANOVA dikeluarkan pada cell G9.
Untuk menunjukkan data yang lebih jelas adalah seperti di bawah.
Analisa Kajian
Selepas menjalankan kajian ini, kami lebih memahami tentang kegunaan ujian statistik
dalam kehidupan seharian. Kami telah mengaitkan ujian statistik dengan pencapaian dan
prestasi bagi murid-murid tahun 6 dalam mata pelajaran Matematik. Melalui min, kami dapat
lebih memahami dan mengetahui perbezaan pencapaian semua murid-murid tahun 6 dan
mengambil langkah seterusnya untuk mengekalkan prestasi yang normal ataupun
mengelakkan berlakunya kemerosotan dalam pencapaian matematik.. Oleh yang demikian,
setiap murid akan berminat untuk mengetahui keputusan ujian yang telah dijalankan bagi
memulakan langkah pencapaian yang lebih baik.
17
MTE3105 STATISTIK
Anova: Single Factor
SUMMARY
Groups CountSum Average Variance
5 Permata 15 54 3.6 6.4
5 Delima 15 523.46666666
74.69523809
5
5 Berlian 15 412.73333333
34.10238095
2
ANOVASource of Variation SS df MS F P-value F crit
Between Groups6.53333333
3 23.26666666
70.64483785
10.5298636
43.21994229
3
Within Groups212.766666
7 425.06587301
6
Total 219.3 44
Fkiraan = 0.6448
F sifir = 3.2199
Kesimpulannya, Fkiraan < F sifir . Oleh yang demikian Ho diterima, tidak terdapat perbezaan
yang bererti di antara min jarak rumah ke sekolah semua sampel pada α = 0.05.
18
MTE3105 STATISTIK
Ujian ANOVA untuk menguji hipotesis varian.
Langkah 1 : Mengira jumlah sampel dan jumlah kuasa dua sampel bagi setiap kumpulan.
BIL SAMPEL
KAJIAN JARAK (KM) ANTARA RUMAH MURID TAHUN 5 KE SEKOLAH
5 Permata 5 Delima 5 Berlian
(𝑥1) (𝑥2) (𝑥3)
1 4 16 5 25 3 9
2 4 16 5 25 2 4
3 6 36 2 4 1 1
4 2 4 1 1 1 1
5 3 9 6 36 8 64
6 10 100 8 64 2 4
7 6 36 2 4 2 4
8 2 4 1 1 2 4
9 4 16 3 9 5 25
10 1 1 4 16 1 1
11 2 4 1 1 3 9
12 1 1 3 9 2 4
13 2 4 1 1 5 25
14 1 1 5 25 1 1
15 6 36 5 25 4 16
∑x 54 284 52 246 41 172
Jumlah skor ∑x = ∑x1 + ∑x2 + ∑x3
= 54 + 52 + 41
= 147
19
x x22 x32
MTE3105 STATISTIK
Jumlah kuasa dua skor ∑x 2 = ∑x12 + ∑x2
2 + ∑x3
2
= 284 + 246 + 172
= 702
BIL SAMPEL
KAJIAN JARAK (KM) ANTARA RUMAH MURID TAHUN 5 KE SEKOLAH5 Permata 5 Delima 5 Berlian
(𝑥1) (𝑥2) (𝑥3)
∑x 54 284 52 246 41 172
3.6 3.466666667 2.733333333
Langkah 2 : Mengira jumlah kuasa dua antara kumpulan (between groups sum of square)
SSB, di mana N ialah jumlah responden dalam setiap kumpulan
SSB = (∑ x1)2
N 1
+ (∑ x2)2
N 2
+ (∑ x3 )2
N 3
- ¿¿
= (54)2
15 + (52)2
15 + (41)2
15 - (147)2
45
= (194.4 + 180.2667 + 112.0667 ) – 480.2
= 486.7334 – 480.2
= 6.533333333
Langkah 3: Mengira jumlah kuasa dua min, SST dengan menggunakan formula di bawah.
SST = ∑ x2 - ¿¿
= ∑ 702 - ¿¿
= 702 - 480.2
= 221.8
20
x12 x22 x32
MTE3105 STATISTIK
Langkah 4 : Mengira nilai kuasa dua dalam kumpulan (within group mean square) SSW
dengan menggunakan formula di bawah.
SSW = SST – SSB
= 221.8 – 6.533333333
= 212.7666667
Langkah 5 : Menentukan darjah kebebasan. Terdapat dua darjah kebebasan dalam ujian
ANOVA iaitu n1 dan n2.
df = n1,n2
= (k – 1) , (N – k)
= (3 – 1) , (45 – 3)
= 2, 42
Di mana :
k = Bil kelas
N = Jumlah responden
n1 dan n2 mewakili dua darjah kebebasan yang selaras dengan nilai anggaran variansnya. N1 dinamakan sebagai numerator manakala n2 denominator.
Langkah 6 : Mengira nilai F-kiraan dengan menggunakan formula di bawah.
F-kiraan = Nilai min kuasadua bagi SSB(MS bagi SSB)
Nilai min kuasadua bagi SSW (MS bagi SSW )
MS bagi SSB = SSB(k−1)
= 6.53342
= 3.266666667
MS bagi SSW = SSW
(N−k )
21
MTE3105 STATISTIK
= 215.266642
= 5.065873016
Oleh itu, nilai F-kiraan = 3.35.12
= 0.644837851
Langkah 7 :
Berdasarkan Jadual Nilai Kritikal Bagi Taburan F (Rujuk Lampiran ),
nilai F-kritikal (df = 2, 42, p < 0.05) diperoleh. Nilai F-kritikal dibaca dengan berpandu kepada
n1 = 2 dan n2 = 42 dalam Jadual Taburan F tersebut.
F-kritikal (df = 2,42, p < 0.05) = 3.219942293
Data-data yang telah dikira diisi dalam jadual ANOVA berikut.