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Afrique SCIENCE 04(1) (2008) 64 - 86ISSN 1813-548X
Analyse spectrale paramtrique et non-paramtrique du signal de
prcession libre en RMN
Salim BELAROUCI* et M'hamed KHELIF
Laboratoire de gnie biomdical, Facult des sciences de
l'ingnieur, Universit Abou Bekr Belkaid, Tlemcen, Algrie
_______________* Correspondance, courriel :
[email protected]
Rsum
Ce travail consiste dresser une tude comparative entre les
mthodes destimation spectrale non paramtrique bases essentiellement
sur la technique du priodogramme avec ses variantes et les mthodes
destimation spectrale paramtrique notamment la modlisation
autorgressive (AR), moyenne mobile (MA), et la modlisation hybride
autorgressive moyenne mobile (ARMA). Cette panoplie de mthodes est
applique lanalyse spectrale du signal de prcession libre (FID; Free
Induction Decay) dans les expriences de rsonance magntique nuclaire
(RMN). Dans cet article, nous montrons clairement les avantages des
mthodes paramtriques.
En ce sens quelles se caractrisent par une trs bonne rsolution
spectrale et une bonne stabilit statistique. Ces deux paramtres
sont indispensables pour estimer la constante de relaxation
spin-spin de lchantillon, ainsi que les dplacements chimiques. Les
rsultats obtenus par la modlisation ARMA sont meilleurs par rapport
ceux des modles AR en terme dordre de prdiction.
Mots-cls : Rsonance Magntique Nuclaire (RMN), Dcroissance Libre
de l'Induction Magntique (FID), Densit Spectrale de Puissance
(PSD), Autorgressive Moyenne Ajuste (ARMA), Critre d'Information
d'Akaike (AIC), Erreur Finale de Prdiction (FPE).
AbstractParametric and non-parametric spectral analysis of the
free induction
decay in NMR
This work consists in making a comparative study between the
nonparametric spectral estimate methods based primarily on the
periodogram technique with its alternatives,
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Afrique SCIENCE 04(1) (2008) 64 - 86
and parametric spectral estimate methods, in particular
Auto-Regressive modeling (AR), Moving Average (MA) and hybrid
modeling Auto-Regressive and Moving Average (ARMA) applied to the
spectral analysis of the informative signal within experimentations
of Nuclear Magnetic Resonance (NMR). The advantage of these methods
compared to the nonparametric methods is to allow a tradeoff
between two performances of spectral estimate: spectral resolution
and statistical stability. These two parameters are essential to
estimate the relaxation time spin-spin of the studied sample, as
well as its chemical shifts. The obtained results using ARMA
modeling are better in comparison to those of the AR models
especially in term of prediction order.
Keywords : Nuclear Magnetic Resonance (NMR), Free Induction
Decay (FID), Auto- Regressive with Moving Average (ARMA), Akaike
Information Criterion (AIC), Final Prediction Error (FPE).
1. Introduction
Le phnomne de la Rsonance Magntique Nuclaire (RMN) est exploit
en spectroscopie et en imagerie. Sous ces deux aspects, la RMN est
une mthode danalyse extrmement performante utilise pour les
investigations dans le cur de la matire. La signature de ces
investigations est appele signal de prcession libre ou Free
Induction Decay (FID) [1-4].Pour des expriences classiques de RMN,
le signal FID est analys par des mthodes non paramtriques : FFT
(Fast Fourier Transform), Priodogramme, Corrlogramme, etc., et par
des mthodes paramtriques : AR (Auto-Regressive modelling), ARMA
(Auto-Regressive with Moving Average) [5]. Ces mthodes ont pour but
d'estimer la densit spectrale de puissance du FID; plus prcisment
le dplacement chimique , la frquence de rsonance 0 et le temps de
relaxation spin-spin T2. Ces trois paramtres sont d'une importance
capitale pour l'identification de l'chantillon sous investigation
[4,6].
La reprsentation du signal RMN sous la forme de sa rpartition de
puissance en fonction de la frquence permet souvent d'extraire de
manire plus immdiate l'information utile. A la diffrence de
l'estimation spectrale non-paramtrique, qui ne faisait aucune
hypothse sur le signal observ x (n), si ce n'est les proprits de
stationnarit l'ordre 2, l'estimation spectrale paramtrique suppose
que ce signal suit un modle donn [7]. Ce modle comporte un certain
nombre de paramtres qui sont dtermins en fonction du signal
observ.
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2. Analyse spectrale non paramtrique du signal FID
2-1. Formalisme thorique du priodogramme
Lhypothse de stationnarit du second ordre au moins et dergodicit
du signal FID nous permet dcrire la relation suivante [7] :
( ) ( ) ( ) pi detxtxT
fP fjT
TT
2*
21lim
+
+
= (1)o :P(f) : densit spectrale de puissance estimerx(t) :
enregistrement temporel du signal FIDT : dure dobservationNous
pouvons aussi introduire le spectre complexe de la ralisation
tronque du processus x(t) comme suit :
( ) ( ) dtetxfX ftjT
TT
pi22
+
= (2)Dont le carr donne :
( ) ( ) ( ) dudveevxuxT
fXT
fvjfujT
T
T
TT
pipi 22*22 2
121 +
+
+
= (3)Lesprance mathmatique de cette expression nous donne :
( ) ( )dudvevurT
fXT
E vufjT
Txx
T
TT
+
+
= pi222 )(2121 (4)En effectuant alors le changement de variable
suivant :
=
=
vvvu
'
( ) ( ) ( ) pi
pi deTrdeTrT
fXT
E fjT
xx
Tfj
xxT2
2
0
2
0
222 2)(2)(2
121
=
+
=
++= (5)Aprs ces changements de variables et les transformations
adquates, nous obtenons finalement lexpression suivante :
( ) +
=
TT
fjxxT deT
rfXT
E2
2
222 2
1)(21
pi (6)
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( )
=
TxxT IT
rTFfXT
E 42
2 21)(
21
(7)
I4T indique l'intervalle dintgration ([ 2T +2T ] )En vertu du
thorme de Plancherel, lexpression prcdente prend la forme
ci-dessous :
( ) ( )
=
TT IT
TFfPfXT
E 42
2 21*
21 (8)
Lorsque T tend vers l'infini, le deuxime terme du produit de
convolution tend vers (f), d'o
( ) ( )fPfXT
E TT =
+
222
1lim (9)
En considrant alors le cas numrique, o l'observation du signal x
(t) se rsume N valeurs chantillonnes la priode Te, la densit
spectrale de puissance peut tre dtermine par lestimateur suivant
:
( ) ( )21
0
21 =
=
N
n
fnTje
eper
eenTxNT
fP pi (10)
Cet estimateur de la densit spectrale de puissance du signal
x(nTe) est appel priodogramme.
2-2. Applications
Le signal FID utilis pour cette application est caractris par :-
Frquences doffsets (dplacements chimiques) respectives de 200, 590,
600, 610 et 1000 Hz,- Constantes de relaxation transversales
respectives de T2 = 0.2, 0.28, 0.16, 0.28 et 0.33 s,- Dune dure
dacquisition de 1.02375 s,- Dun nombre de points de N = 4096.La
frquence dchantillonnage est de 4 kHz.Ce FID est perturb par un
bruit blanc gaussien [8,9] de valeur moyenne nulle et de variance
unitaire (SNR =23.52 dB).
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(a) (b)
Figure 1 : Reprsentation temporelle (a), spectre norm du signal
FID utilis (b)
Le priodogramme de ce FID obtenu avec normalisation par rapport
au pic maximal est donn par la Figure 2.
0 200 400 600 800 1000 12000
0.2
0.4
0.6
0.8
1
Frquence , Hz
Mag
nitu
de
Figure 2 : Priodogramme normalis du signal FID.
Dans ce travail nous dterminerons le dplacement chimique, la
constante de relaxation spin-spin T2 et la densit lectronique
autour du noyau considr. Ces paramtres peuvent tre dduits partir de
:
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0 0.5 1-20
-10
0
10
20
Temps, s
Am
plitu
de
0 500 10000
0.2
0.4
0.6
0.8
1
Frquence , Hz
Spec
tre nor
m
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la position des pics de rsonance la largeur mi-hauteur de chaque
pic. lamplitude de chaque pic
Le Tableau 1 regroupe ces diffrents paramtres :
Tableau 1 : Paramtres spectraux du signal FID.
Pic1 Pic2 Pic3 Pic4 Pic5Magnitude (v2/Hz) 1 0.0918 0.2309 0.0842
0.4285Largeur mi-hauteur (Hz) 1.75 1.3200 2.4500 1.4500
1.200Position des pics (Hz) 200 950 600 610 1000
2-3. Proprits du priodogramme
Le priodogramme constitue un estimateur de la densit spectrale
de puissance du processus x(nTe). Les qualits requises de
lestimateur peuvent sexprimer en fonction du biais (moment dordre
1) et de la variance (moment dordre 2) [7,10].
2-3-1. Biais
Le biais de cet estimateur mesure la diffrence entre la moyenne
des ralisations et la vraie valeur du paramtre estimer. Calculons
alors lesprance du priodogramme P per (f) .
( )[ ] ( ) 2sin
sin*
=
fNfNNfPfPE perpi
pi (11)
Sur la base de cette quation il apparat clairement que
lestimation de la densit spectrale de puissance P(f) du processus
x(nTe) est biais. Lorsque N tend vers l'infini ce filtre tend vers
(f), le priodogramme est donc asymptotiquement sans biais.
2-3-2. Variance
La moyenne est un critre de performance de lestimateur, mais il
est insuffisant. En effet, si pour cet estimateur le biais est nul
mais que les fluctuations de lestime autour de sa moyenne sont
importantes ; alors lestimateur est peu prcis. Pour juger de
limportance de ces fluctuations, nous faisons appel la variance.
Sous certaines conditions le calcul de la variance nous donne :
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( )[ ] ( )
+=2
22sin1varfN
fNNfPfPper pipi (12)
Cette variance peut diminuer par une dcomposition de
lenregistrement x(nTe) de longueur N en un ensemble de L segments
de largeur K. Pour chaque segment, nous associons une fentre de
pondration dans le but davoir un bon compromis entre le biais et la
variance, ce principe reprsente la base de lestimateur de
Welch.
2-4. Estimateur de Welch [7,8,10,11]
Cette technique consiste estimer la Densit Spectrale de
Puissance (DSP) du FID par moyennage des L priodogrammes partiels
propres chaque segment modifi par la fentre de pondration (t).
Figure 3 : Principe de lestimateur de Welch.
La densit spectrale de puissance PWelch(f) , en considrant
lalgorithme de Welch, est obtenue par :
( ) ( )fPL
fP lL
lwelch
=
=
1
0
1 (13)
avec : ( ) ( ) ( )2
21
0
1 nfjK
nl enlKnxK
fP pi
=
+= (14)o Pl(f) est le priodogramme de chaque segment.Lobjectif
de cette tude est damliorer la qualit de lestimation de Welch en
agissant sur le type et la taille de la fentre dapodisation, ainsi
que lintrt de cette mthode vis--vis de linfluence du bruit sur le
signal FID.
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2-4-1. Effet du type de la fentre de troncature
Dans cette partie le signal FID est segment successivement par
les fentres dapodisation Boxcar, Bartlett, Blackman, Hamming,
Hanning, Kaiser et Chebyshev, de dure 0.2557 (segment de 1024
points). Ltude comparative sera axe sur les valeurs damplitude de
chacun des pics pour les deux variantes du priodogramme. Nous
regroupons alors les rsultats des simulations sur le Tableau 2.
Tableau 2 : Magnitudes des DSP pour diffrentes fentres
dapodisation.
Pic2 Pic3 Pic4 Pic5Mag
(v2/Hz)%
derreurMag
(v2/Hz)%
derreurMag
(v2/Hz)%
derreurMag
(v2/Hz)%
derreurBoxcar 0.0815 11.22 0.1978 14.34 0.0620 26.37 0.3228
24.67Bartlett 0.0606 33.99 0.2249 2.60 0.0570 32.30 0.3197
25.39Blackman 0.0684 25.49 0.2492 7.93 0.0696 17.34 0.3173
25.95Hamming 0.0658 28.32 0.2304 0.20 0.0625 25.77 0.3193
25.48Hanning 0.0644 29.85 0.2380 3.07 0.0646 23.28 0.3185
25.67Kaiser 0.0654 28.76 0.2380 3.07 0.0646 23.28 0.3185
25.67Chebyshev 0.0760 17.21 0.2002 13.30 0.0718 14.49 0.3080
27.89
La largeur mi-hauteur de chaque pic de rsonance reprsente un
paramtre fondamental pour la dtermination des constantes de
relaxation spin-spin qui sont lies directement la rsolution
spectrale. Dun autre cot, cette rsolution est influence par le degr
de troncature du signal lchelle temporelle, c'est--dire que plus la
taille de la fentre est minimale, mauvaise est la rsolution
spectrale. Notre objectif est damliorer ce paramtre partir du choix
du type de la fentre danalyse, nous constatons que la fentre de
Chebyshev (k) donne de bons rsultats moyennant un choix judicieux
de la constante , constante dondulation de la bande darrt (Stop
Band Ripple) donne dans lexpression suivante :
(k) = FFT-1 [Cos (n Cos-1[ Cos ( k / n)]) / Cosh(n Cosh-1())],
k=0n-1 (15)Pour grand (de lordre de 50 dB), cette fentre donne de
bons rsultats sur la magnitude. Le pic 3 atteint une valeur de
0.232 (Tableau 2) correspond une erreur de 0.4 %. Par contre,
lerreur sur la largeur mi-hauteur est de 67.5 %.Pour petit, (de
lordre de 16 dB), lerreur sur la largeur mi-hauteur diminue pour
atteindre 40 %. Alors il faut trouver un bon compromis pour la
valeur du paramtre pour minimiser ces erreurs.
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0 0.1 0.20
0.2
0.4
0.6
0.8
1
Temps (s)
Cheb(t
)
0 50-150
-100
-50
0
Frquence (Hz)
CHE
B (f)
(a) (b)
Figure 4 : Reprsentations temporelle (a) et spectrale (b) de la
fentre Chebyshev caractrise par une constante =100 dB.
585 590 595 600 605 610 6150
0.05
0.1
0.15
0.2
0.25
Frquence , Hz
Magn
itude
B=50B=20B=16
Figure 5 : Influence du sur la rsolution spectrale.
Une autre remarque sur la reprsentation spectrale pour une
constante petite, est la dformation de la ligne de base du spectre
(Figure 6).
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0 100 200 300 400 500 600 700 800 900 10000.04
0.045
0.05
0.055
0.06
Frquence , Hz
Magn
itude
Figure 6 : Variation de la ligne de base du spectre pour =10
dB.
2-4-2. Effet de la dure de la fentre de troncature
Un autre aspect de cette tude concerne le temps de calcul qui
est li au recouvrement entre fentres ainsi que leurs dures. Mais
cette performance du temps de calcul se fera au dtriment de la
qualit des spectres.Le recouvrement entre fentres est un paramtre
essentiel pour la qualit du spectre. Les diffrentes simulations que
nous avons menes nous montrent quun recouvrement de 50 % (moiti de
la fentre) donne de meilleurs rsultats. A titre dexemple pour la
fentre Hamming, faisons une comparaison entre lestimateur de Welch
obtenu prcdemment sans recouvrement (0 %), et celui obtenu avec un
recouvrement de (50 %). Les diffrents rsultats pour les raies de
rsonance qui nous intressent sont regroups dans le Tableau 3.
Tableau 3 : Magnitudes des DSP avec et sans recouvrement des
fentres dapodisation.
Reco
uvr-e
men
t Pic2 Pic3 Pic4 Pic5
Mag(v2/Hz)
% derreur
Mag (v2/Hz)
% derreur
Mag (v2/Hz)
% derreur
Mag (v2/Hz)
% derreur
0 % 0.0658 28.32 0.2304 0.20 0.0625 25.77 0.3193 25.48
50 % 0.0720 21.57 0.2200 4.30 0.0698 17.10 0.3648 13.14
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Pour illustrer leffet de la largeur de la fentre dapodisation
sur le temps de calcul et la qualit spectrale, nous avons effectu
un ensemble de mesures des temps CPU ncessaire pour estimer la DSP
par cette mthode pour trois largeurs respectives ; 512, 1024, 2048
(Tableau 4).
Tableau 4 : Temps CPU pour diffrentes valeurs de largeur de la
fentre Hanning.
Largeur (points) 512 1024 2048
Temps CPU(s) 0.047 0.063 0.078
2-5. Etude de lestimateur de Welch en prsence du bruit
Dans cette nous avons choisi deux types de bruit additifs
simuls, lun est blanc gaussien et lautre color de variance unitaire
et de valeur moyenne nulle. Pour ces deux bruits, le rapport signal
sur bruit SNR est de 23.52 dBLa fentre danalyse choisie est de type
Hanning de dure de 0.25575 sLes densits spectrales de puissance du
FID calcules partir des deux mthodes pour les deux types de bruits
additifs sont regroupes dans les Figures 7 et 8.
100 120 140 160 180 200 220 240 260 280 3000
0.01
0.02
0.03
0.04
Frquence , Hz
Magn
itude
PriodogrammeWelch
Figure 7 : Densit spectrale de puissance du FID perturb par un
bruit blanc gaussien calcule par les deux mthodes destimation.
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100 120 140 160 180 200 220 240 260 280 3000
0.01
0.02
0.03
0.04
0.05
0.06
Frquence , Hz
Mag
nitu
dePriodogrammeWelch
Figure 8 : Densit spectrale de puissance du FID perturb par un
bruit color calcule par les deux mthodes destimation.
Ces figures nous montre clairement que le spectre obtenu par le
priodogramme prsente de nombreuses discontinuits et une ligne de
base prsentant plusieurs massifs et ce malgr un bruit gaussien de
faible variance. Par contre le spectre obtenu par lestimateur de
Welch est plus liss au prix dune ligne de base fortement dforme.
Pour la Figure 7, o nous avons pris en compte un bruit blanc
gaussien, le contour spectral et la ligne de base sont nettement
bons par rapport au priodogramme classique.
En somme lestimateur de Welch prsente l'avantage d'tre faible
variance grce l'opration du moyennage des spectres locaux. Cet
avantage ce traduit sur le plan frquentiel par un trs bon lissage
des contours spectraux. Linconvnient majeur de cette mthode est la
dgradation de la rsolution spectrale. Contrairement au priodogramme
qui est trs affect par une instabilit statistique, mais il dlivre
une bonne rsolution spectrale.
3. Analyse spectrale paramtrique du signal FID
3-1. Modle auto-rgressif (AR)
Dans ce type de modlisation, le signal FID x (n) est suppos tre
prdictible en fonction d'un certain nombre de ses valeurs
antrieures.
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Figure 9 : Prdiction de x (n) partir de {x (n-1) x (n-k)}.
Il peut donc s'crire sous la forme suivante :
( ) ( ) ( )neinxanx ki
i += =1
(16)
Les coefficients ( ) kiia ..1= , constituent les paramtres du
modle et ( )ne reprsente un bruit blanc non-corrl avec ( )nx ayant
une variance 2 qui reprsente l'erreur de prdiction. La transforme
en z de lquation (16) donne :
( ) ( )zEzazX iki
i =
=
1
1 (17)
Daprs ce modle, le signal ( )nx peut tre vu comme le rsultat du
passage d'un bruit blanc ( )ne de variance 2 travers un filtre de
fonction de transfert ( )zH .
Figure 10 : Principe de prdiction AR.
Avec : ( )
ik
ii za
zH
=
=
1
1
1
Les paramtres ( ) kiia ..1= permettent destimer la densit
spectrale de puissance ( )fPar selon lexpression suivante [7,12]
:
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H(z)e(n) x(n)
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( ) 22
1
2
1 fijk
ii
ar
eafP
pi
=
=
(18)
Les coefficients ( ) kiia ..1= sont dtermins partir dun critre
de minimisation d'erreur quadratique donn par lexpression suivante
:
( )[ ] ( ) ( )( )[ ]22 1 kTka AnXnxEneE =o ( ) ( ) ( ) ( )( )[
]Tk knxnxnxnX = ......,.........2,11
et [ ]Tkk aaaA ,....., 21=En annulant la drive de cette
expression par rapport Ak, on obtient la solution :
akkk rRA
1= (19)
avec :
( ) ( ) ( )( ) ( )
( )( ) ( ) ( )
=
01.11...
..011.10
**
*
rrkrr
rrkrrr
Rk : Matrice dautocorrlation
( )( )
( )
=
kr
rr
r ak .21
: Vecteur dautocorrlation
Pour cette valeur de Ak la variance minimale de lexcitation est
donne par :
( ) kTakak ArrE = 0 (20)En crivant (19) et (20) sous une forme
matricielle unique, il vient :
( )
=
010 ak
kka
k
Tak E
ARrrr (21)
Cette quation prsente la forme avant de lquation de Yule-Walker.
Qui permet de dterminer le vecteur Ak partir de la matrice
dauto-corrlation Rk et de lnergie d'erreur de prdiction avant akE .
Cependant, le cot en temps de calcul est de lordre de
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k3. Il est possible de rsoudre cette quation avec un temps de
calcul rduit proportionnel k2 en utilisant l'algorithme de Levinson
[7,10].
3-2. Modle moyenne mobile (MA)
Le signal ( )nx peut s'crire comme une combinaison linaire
d'chantillons dcorrls entre eux, ce qui peut se formaliser comme
une combinaison linaire d'chantillons dun bruit blanc ( )ne :
( ) ( )inebnx mi
i = =0
(22)
Le signal ( )nx peut donc tre vu comme le rsultat du passage
d'un bruit blanc ( )ne travers un filtre de fonction de transfert (
)zH .
Figure 11 : Principe de la modlisation MA.
avec :
( ) imi
i zbzH
=
=0
(23)
La densit spectrale de puissance du signal x(n) s'crit alors [7]
:
( ) 22
2
0
pifijm
iima ebfP
=
= (24)Les m coefficients bi du modle MA peuvent tre dtermins
partir de lalgorithme de Durbin [7,10].
3-3. Modle auto-rgressif moyenne mobile (ARMA)
Ce modle est obtenu par la combinaison des modles AR et MA o le
signal x(n) peut s'crire en fonction de k valeurs passes et de m
chantillons d'un bruit blanc dcorrl [7,12,13].
( ) ( ) ( )inebinxanx mi
i
k
ii +=
== 01(25)
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H(z)e(n) x(n)
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Le signal ( )nx peut donc tre vu comme le rsultat du passage
d'un bruit blanc ( )ne travers deux filtres de fonctions de
transferts respectives ( )zH1 et ( )zH 2 ;
( ) ( ) ( )zHzHZbzaza
ZbzH i
m
ii
ik
ii
ik
ii
im
ii
210
11
0
1
1
1=
=
=
=
=
=
=
(26)
Le premier filtre est identifi au moyen de l'algorithme de
Levinson tandis que le deuxime est identifiable de manire approche
au moyen de l'algorithme de Durbin.La densit spectrale de puissance
du signal x(n) partir de ce modle s'crit alors [7,10] :
( ) 22
2
1
2
0
1
pi
pi
fijk
ii
fijm
ii
arma
ea
ebfP
=
=
= (27)
Dans cette partie notre travail consiste estimer la densit
spectrale de puissance du signal FID ayant les cinq pics de
rsonance dcrite prcdemment, par la modlisation autorgressive AR.
Initialement, lordre de prdiction nest pas dfini. Une approche
simpliste consiste considrer un ordre plus lev pour obtenir un
modle meilleur [12]. Une premire rgle base sur lexprience est que,
si nous avons N chantillons du signal, lordre ne devrait pas
dpasser N/3 [7].Une solution plus labore est base sur le fait quon
part de lhypothse que lexcitation est un bruit blanc. Une fois les
coefficients du modle dtermin, nous pouvons calculer cette
excitation par :
( ) ( ) ( )inxanxne ki
i = =1
Ensuite, nous faisons un test de blancheur [7] sur e(n). Si le
test nest pas russi, nous augmentons lordre.Afin dvaluer linfluence
de lordre de prdiction sur la qualit des spectres, considrons des
valeurs arbitrairement choisis (k=5, 6, 7 et 8), les densits
spectrales de puissance ainsi obtenues sont illustres sur la Figure
12.Pour des ordres 5 et 6, les spectres obtenus sont compltement
dforms ; tandis que ceux correspondant aux ordres 7 et 8
reprsentent bien des Lorentziennes affectes par une dgradation
considrable de la rsolution spectrale (disparition des deux pics de
rsonance autour de 600Hz). Alors une bonne estimation paramtrique
de la DSP du signal FID ne peut pas tre effectue partir des ordres
de faibles valeurs.
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Figure 12 : Densits spectrales de puissance obtenues par un
model AR dordre 5 (a), 6 (b), 7(c) et 8 (d).
Dans la pratique, plusieurs critres ont ts dvelopps pour la
dtermination de lordre de prdiction, ces critres sont bass sur des
considrations statistiques. Les plus connus sont :
3-3-1. Critre de lerreur finale de prdiction (FPE)
Il est donn par lexpression suivante :
( )
++=
112
kNkNkFPE k (28)
o 2k reprsente la variance empirique de lexcitation e(n) pour un
ordre de prdiction k [7,12].
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80
0 500 10000
0.2
0.4
0.6
0.8
1
Frquence , Hz
Mag
nitu
de
0 500 10000
0.2
0.4
0.6
0.8
1
Frquence , Hz
Mag
nitu
de
0 500 10000
0.2
0.4
0.6
0.8
1
Frquence , Hz
Magn
itude
0 500 10000
0.2
0.4
0.6
0.8
1
Frquence , Hz
Magn
itude
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3-3-2. Critre dinformation dAkaike (AIC)
Ce critre est caractris par lquation suivante :
( ) ( ) ( )12ln 2 ++= kNkAIC k (29)Sur la base de ces deux
critres nous dterminons lordre du modle AR du signal FID de
dimension N=4096 points, partir des deux courbes ( ) ( )kfkFPE =
et
( ) ( )kfkAIC = pour k variant de 0 300 (Figure 13). En fait, en
vertu du critre empirique prcdent, le nombre k devrait prendre la
valeur de 1365 (N/3), avec les premires simulations, nous nous
sommes rendus compte quil fallait baisser considrablement cette
valeur pour atteindre 300.
0 100 200 300-30
-20
-10
0
10
20(a)
Ordre k
FPE(k
), dB
0 100 200 300-1.5
-1
-0.5
0
0.5
1x 104 (b)
Ordre k
AIC(k
)
0 100 200 300-30
-20
-10
0
10
20
Ordre k
Varia
nce
de l'e
xciat
ion,
dB
(c)
Figure 13 : Optimisation de lordre de prdiction par le critre
FPE (a), AIC (b), volution de lerreur de prdiction (c).
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Pour les premires valeurs de k comprises entre 0 et 9, les deux
critres nous donnent une erreur de prdiction rapidement
dcroissante. Le FPE et le AIC varient lentement jusquau point k=300
en passant par un minimum de valeur k = 90. Ce point est dfini
comme tant lordre optimal de prdiction. Pour cette valeur, la
densit spectrale de puissance est reprsente sur la Figure 14.
Figure 14 : Densit spectrale de puissance obtenue par un modle
AR dordre de 90.
Cette allure montre clairement que le spectre obtenu partir des
deux critres empiriques est toujours affect par une dgradation de
rsolution spectrale, en effet les raies spectrales situes 590 et
610 Hz ne sont pas discernables. Ainsi lordre qui permet de
reprsenter la DSP dune faon convenable se trouve dans lintervalle
ayant une erreur de prdiction proche de celle de lordre optimal
trouv (k = 90). Aprs plusieurs tests, nous avons constats que la
rsolution spectrale est amliore au voisinage dun ordre de prdiction
k=270 (Figure 15). Cependant, cet ordre est trop lev ce qui
augmente considrablement le temps de calcul.
La ncessite daugmenter lordre de prdiction pour lestimation
paramtrique de ce type de FID est lune des limitations des modles
AR, dont la structure est uniquement ples [7]. Pour cette raison
lutilisation des structures mixtes ples et zros ARMA est
indispensable. Lavantage de cette mthode rside dans le fait que le
modle obtenu dpend de manire linaire dun pass fini, plus un terme
entirement nouveau, non corrl avec le pass appele souvent
innovation.
Salim BELAROUCI et M'hamed KHELIF
0 200 400 600 800 1000 12000
0.2
0.4
0.6
0.8
1
Frquence , Hz
Magn
itude
550 600 6500
0.02
0.04
0.06
0.08
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Figure 15 : Densit spectrale de puissance obtenue par un modle
AR dordre de 270.
Pour dterminer lordre du prdicteur ARMA, nous avons suivi la mme
dmarche que la modlisation AR, mais cette fois-ci nous changeons
les valeurs du couple dordre k et m. Aprs plusieurs essais
numriques nous avons constat que lordre du modle autorgressif
moyenne mobile ncessaire pour lestimation de la DSP du FID est le
couple de valeurs k=19, m=8 (Figure 16).
Figure 16 : Densit spectrale de puissance obtenue par un modle
ARMA dordre (m=8, k=19).
Salim BELAROUCI et M'hamed KHELIF
0 200 400 600 800 1000 12000
0.2
0.4
0.6
0.8
1
Frquence , Hz
Magn
itude
560 580 600 620 6400
0.1
0.2
0.3
Frquence , Hz
Magn
itude
0 200 400 600 800 1000 12000
0.2
0.4
0.6
0.8
1
Magn
itude
Frquence , Hz
560 580 600 620 6400
0.1
0.2
0.3
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Grce cette simulation nous constatons que lestimation de la
densit spectrale de puissance obtenue partir de la modlisation ARMA
ncessite un ordre trs rduit par rapport la modlisation AR. En
effet, lutilisation du formeur ARMA nous a permis de passer de 270
19 ples. Cette rduction du nombre de ple se traduit par un gain
important du temps de calcul.
Afin de mettre en vidence lapport du modle ARMA au profit de
lestimation spectrale du FID, la densit spectrale de puissance
obtenue est compare celles des mthodes non-paramtriques
(priodogramme et estimateur de Welch) comme illustr sur la Figure
17. En fait, cet apport regroupe les deux performances principales
destimation ; savoir la rsolution spectrale et la stabilit
statistique (trs bon compromis entre biais et variance). En effet,
la Figure 17 montre clairement la slectivit du pic de rsonance
autour de 200Hz par un modle ARMA (ordre AR : 19, ordre MA : 8) par
rapport aux autres mthodes non-paramtriques utilises.
140 160 180 200 220 240 2600
0.005
0.01
0.015
0.02
0.025
0.03
0.035
0.04
mag
nitud
e
frquence(Hz)
Welch ARMA Priodogramme
Figure 17 : DSP du FID perturb par un bruit gaussien de variance
unitaire obtenue par les trois techniques destimation autour du pic
de rsonance de 200Hz (chelle agrandie).
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Sur une lchelle rduite, nous pouvons confirmer que le spectre
obtenu par le modle AMRA nest pas influenc par le bruit Gaussien
aditif (SNR : 23,52 dB) par rapport celui obtenu par le
priodogramme, et est dot dune stabilit statistique comparable celle
de lestimateur de Welch. Cette stabilit statistique se traduit par
un lissage de lenveloppe spectrale.
4. Conclusion
Lidentification de lchantillon partir du phnomne de rsonance
magntique nuclaire exige certaines qualits destimation notamment la
stabilit statistique et la rsolution spectrale, cette tude a
consist tudier lefficacit des deux classes destimation spectrale.
Dans la premire classe nous avons constat que le priodogramme
prsente lavantage dtre trs performant en termes de rsolution
spectrale lorsque le signal est observ sur une longue plage de
stationnarit, mais il est trs affect par une instabilit
statistique.
Afin damliorer la stabilit statistique nous utilisons sa deuxime
version qui est celle de Welch, cette technique dlivre un bon
compromis entre le biais et la variance, mais elle dgrade la
rsolution spectrale, pour cela nous avons agit sur le choix de la
fentre danalyse, et nous avons constat que celle de Chebyshev donne
de bon rsultat moyennant un choix judicieux de sa constante
dondulation de la bande darrt. Dans la deuxime classe qui est
lestimation spectrale paramtrique qui se base sur la modlisation
AR, MA, et ARMA, nous avons constat que ces techniques groupent
conjointement les deux performances destimation savoir la stabilit
statistique, et al rsolution spectrale.
La modlisation AR pour cette application ncessite un ordre
relativement lev ce qui influe considrablement sur le temps de
calcul, par contre la technique ARMA et grce sa structure mixte en
ples et zros permet davoir une bonne estimation de la densit
spectrale de puissance avec un ordre combin de faible valeur.
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Rfrences
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Nationale Suprieure de
Techniques Avances ENSTA (2003). [8] - M. Khlif, "Contribution
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doctorat dtat, universit de Tlemcen, Algrie (2003). [9] - B.
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(1993-1995).[10] - Jacques Max et Jean-Louis Lacoume, Mthodes et
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"Estimation Prdiction", Editions Technip (2000).[13] - F. Taulelle,
C. Carlotti, V. Munch, G. Fink, P. Bodart, J. P. Amoureux, P.
Koehl,
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signal pour la RMN du solide", Mthodes, Applications, Perspectives,
Evreux (2000).
Salim BELAROUCI et M'hamed KHELIF
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