Arti Capter 1 Transport Fenomena

Persamaan 1,1-2 dapat ditafsirkan dengan cara lain. Dalam lingkungan yang

bergerak di permukaan padat у = 0 cairan memperoleh sejumlah x-momentum. ini

cairan, pada gilirannya, menanamkan momentum ke lapisan yang berdekatan cairan, menyebabkan ia tetap

gerak dalam arah x. Oleh karena itu x-momentum sedang ditularkan melalui cairan dalam

yang у arah positif. Oleh karena itu ryx juga dapat diartikan sebagai fluks x-momentum

dalam arah у positif, di mana istilah "fluks" berarti "aliran per satuan luas." penafsiran ini

konsisten dengan gambaran molekul transportasi momentum dan kinetik

teori gas dan cairan. Hal ini juga selaras dengan perlakuan yang diberikan analog

kemudian untuk panas dan transportasi massal.

Gagasan dalam paragraf sebelumnya dapat diparafrasekan dengan mengatakan bahwa momentum

pergi "menurun" dari daerah kecepatan tinggi ke daerah rendah kecepatan-seperti kereta luncur

berjalan menurun dari daerah elevasi tinggi ke daerah elevasi rendah, atau cara

panas mengalir dari daerah suhu tinggi ke daerah suhu rendah. kecepatan,l

gradien sehingga dapat dianggap sebagai "motor penggerak" untuk transportasi momentum.

Dalam apa yang berikut kita kadang-kadang mengacu kepada hukum Newton dalam Pers. 1,1-2 dalam hal

kekuatan (yang menekankan sifat mekanik dari subjek) dan kadang-kadang dalam hal

transportasi momentum (yang menekankan analogi dengan panas dan transportasi massal).

Ini sudut pandang ganda harus membuktikan membantu dalam interpretasi fisik.

Seringkali dynamicists cairan menggunakan v simbol untuk mewakili viskositas dibagi dengan

kerapatan (massa per satuan volume) cairan, sehingga:

Kuantitas ini disebut viskositas kinematik.

Selanjutnya kita membuat beberapa komentar tentang unit dari jumlah kita telah mendefinisikan. jika

kita menggunakan simbol [=] berarti "memiliki satuan," kemudian dalam sistem SI rXJX [=] N/m2 = Pa,

vx [=] m / s, dan у [=] m, sehingga8

karena unit di kedua sisi persamaan. 1,1-2 harus setuju. Kami meringkas di atas dan juga

memberikan unit untuk c.g.s. sistem dan sistem Inggris pada Tabel 1,1-1. konversi

tabel dalam Lampiran F akan terbukti sangat berguna untuk memecahkan masalah numerik melibatkan

beragam sistem unit.

Viskositas cairan bervariasi banyak pesanan besarnya, dengan viskositas

udara pada 20 ° C menjadi 1,8 X 10 ~ 5 Pa • s dan gliserol menjadi sekitar 1 Pa • s, dengan silikon beberapa

minyak yang lebih kental. Pada Tabel 1.1-2,1.1-3, dan 1,1-4 data4 eksperimen

Viscosity and the Mechanisms of Momentum Transport

diberikan untuk cairan murni pada tekanan 1 atm. Perhatikan bahwa untuk gas pada kepadatan rendah, viskositas

meningkat dengan meningkatnya suhu, sedangkan untuk cairan viskositas biasanya menurun

dengan meningkatnya suhu. Dalam gas momentum diangkut oleh molekul dalam

penerbangan gratis antara tabrakan, tetapi dalam cairan transportasi berlangsung didominasi oleh

kebajikan dari gaya antarmolekul yang pasang molekul mengalami saat mereka angin mereka

jalan di sekitar kalangan tetangga mereka. Dalam § § 1,4 dan 1,5 kami berikan beberapa kinetik SD

argumen teori untuk menjelaskan ketergantungan suhu viskositas.

CONTOH 1,1-1

perhitungan

momentum Flux

Hitung тух mapan momentum fluks di lty/ft2 ketika pelat bawah kecepatan V pada Gambar.

1,1-1 adalah 1 ft / s dalam arah x positif, У pemisahan lempeng adalah 0,001 ft, dan viskositas fluida

ix adalah 0,7 cp.

SOLUSI

Karena тух yang diinginkan dalam satuan Inggris, kita harus mengubah viskositas ke dalam sistem unit.

Dengan demikian, memanfaatkan Lampiran F, kita menemukan / x = (0,7 cp) (2,0886 X 10 "5) = 1,46 X 10 ~ 5 lb, s/ft2.

Profil kecepatan linier sehingga

§ 1,2 PEMERATAAN HUKUM NEWTON'S OF VISKOSITAS

Pada bagian sebelumnya viskositas didefinisikan oleh Persamaan. 1,1-2, dalam hal sederhana

mapan geser aliran di mana vx adalah fungsi dari у saja, dan vy dan vz adalah nol.

Biasanya kita tertarik pada arus yang lebih rumit di mana tiga komponen kecepatan

mungkin tergantung pada semua tiga koordinat dan mungkin tepat waktu. Oleh karena itu kita harus

memiliki ekspresi yang lebih umum daripada persamaan. 1,1-2, tetapi harus menyederhanakan dengan Pers. 1,1-2 untuk

mapan geser aliran.

Generalisasi ini tidak sederhana, bahkan, butuh ahli matematika sekitar satu abad dan

setengah untuk melakukan hal ini. Hal ini tidak tepat bagi kita untuk memberikan semua rincian dari perkembangan ini di sini,

karena mereka dapat ditemukan di banyak dinamika fluida books.1 Sebaliknya kita menjelaskan secara singkat utama

ide-ide yang mengarah pada penemuan generalisasi yang diperlukan hukum Newton tentang viskositas.

Untuk melakukan hal ini kita mempertimbangkan pola aliran yang sangat umum, di mana kecepatan fluida dapat

berada di berbagai arah di berbagai tempat dan mungkin tergantung pada waktu t. kecepatan

komponen tersebut kemudian diberikan oleh

Dalam situasi seperti ini, akan ada komponen stres sembilan r / y (di mana / dan / dapat mengambil

x sebutan, y, dan z), bukan ryx komponen yang muncul dalam Pers. 1,1-2. kita

Oleh karena itu harus dimulai dengan mendefinisikan komponen stres.

Dalam Gambar. 1,2-1 ditunjukkan elemen berbentuk kubus volume kecil dalam medan aliran,

wajah masing-masing memiliki satuan luas. Pusat dari elemen volume pada posisi x, y, z. di

setiap instan waktu kita bisa mengiris elemen volume sedemikian rupa untuk menghilangkan setengah

cairan di dalamnya. Seperti terlihat dalam gambar, kita bisa memotong volume tegak lurus terhadap masing-masing

tiga koordinat arah secara bergantian. Kita kemudian dapat bertanya apa kekuatan harus diterapkan pada

permukaan (diarsir) gratis untuk menggantikan pasukan yang telah diberikan pada permukaan yang

oleh cairan yang telah dihapus. Akan ada dua kontribusi untuk memaksa: yang terkait

dengan tekanan, dan yang berhubungan dengan kekuatan kental.

Kekuatan tekanan akan selalu tegak lurus ke permukaan terbuka. Oleh karena itu dalam (a)

gaya per satuan luas pada permukaan berbayang akan menjadi vektor PBX-yaitu, tekanan (a

skalar) dikalikan dengan 8R vektor satuan dalam arah x. Demikian pula, gaya pada

permukaan berbayang di (b) akan pby, dan (c) gaya akan pbz. Pasukan tekanan akan

akan diberikan ketika cairan adalah stasioner serta bila dalam gerak.

Pasukan kental ikut bermain hanya ketika ada gradien kecepatan dalam

cairan. Pada umumnya mereka tidak tegak lurus terhadap elemen permukaan atau sejajar dengan itu,

melainkan di beberapa sudut ke permukaan (lihat Gambar. 1,2-1). Dalam (a) kita melihat gaya per satuan luas

тг diberikan pada daerah yang teduh, dan dalam (b) dan (c) kita melihat kekuatan per satuan luas ту dan TZ.

Masing-masing kekuatan (yang vektor) memiliki komponen (skalar), misalnya, memiliki тх

komponen Trt, IXY, dan TXZ. Oleh karena itu sekarang kita bisa meringkas gaya yang bekerja pada tiga

berbayang daerah pada Gambar. 1,2-1 pada Tabel 1,2-1. Tabulasi ini adalah ringkasan dari kekuatan per

satuan luas (menekankan) diberikan dalam cairan, baik oleh tekanan termodinamika dan

tegangan kental. Kadang-kadang kita akan merasa nyaman untuk memiliki simbol yang meliputi baik

jenis tekanan, dan jadi kita mendefinisikan stres molekul sebagai berikut

Berikut 8ц adalah delta Kronecker, yaitu 1 jika i = j dan nol jika i Ф j.

Sama seperti pada bagian sebelumnya, т {] (dan juga тг ()) dapat ditafsirkan dalam dua cara:

ттц = pdij + Ту = gaya dalam, arah pada satuan luas tegak lurus terhadap arah i,

mana dipahami bahwa cairan di wilayah x lebih rendah, yang mengerahkan

gaya pada fluida lebih besar x {

iTjj = p8jj + tjj = fluks y-momentum dalam i-arah yang positif yaitu, dari daerah

dari xx lebih rendah dengan yang lebih besar x-x

Kedua interpretasi yang digunakan dalam buku ini, yang pertama adalah sangat berguna dalam menggambarkan

kekuatan yang diberikan oleh fluida pada permukaan padat. Tegangan disebut tegangan normal, sedangkan jumlah yang tersisa,

disebut tegangan geser. Jumlah ini, yang memiliki dua subskrip terkait

dengan arah koordinat, yang disebut sebagai "tensor," sama seperti jumlah (seperti

sebagai kecepatan) yang memiliki satu subskrip terkait dengan arah koordinat disebut

vektor. Oleh karena itu kami akan mengacu т sebagai tensor stres kental (dengan komponen т,;)

dan TI sebagai tensor stres molekul (dengan komponen тг /;-). Ketika ada kesempatan untuk

kebingungan, pengubah "kental" dan "molekul" dapat dihilangkan. Sebuah diskusi tentang

vektor dan tensor dapat ditemukan di Lampiran A.

Pertanyaannya sekarang adalah: Bagaimana ini menekankan r /, terkait dengan gradien kecepatan

dalam

fluida? Dalam generalisasi Eq. 1,1-2, kami menempatkan beberapa pembatasan pada tekanan, sebagai berikut:

• Tegangan kental mungkin kombinasi linear dari semua gradien kecepatan:

Di sini jumlah 81 adalah "koefisien viskositas" The x1 kuantitas, x2, x3 di

derivatif menunjukkan koordinat Cartesian x, y, z, dan v1 v2, v3 adalah sama

sebagai vx, vy, vz.

• Kami menegaskan bahwa waktu turunan atau integral waktu tidak akan muncul dalam ekspresi.

(Untuk cairan viskoelastik, seperti dibahas dalam Bab 8, turunan waktu atau integral waktu

diperlukan untuk menggambarkan tanggapan elastis.)

• Kami tidak mengharapkan pasukan kental untuk hadir, jika cairan tersebut adalah dalam keadaan murni

rotasi. Persyaratan ini mengarah pada kebutuhan yang r,, menjadi kombinasi simetris

dari gradien kecepatan. Dengan ini dimaksudkan bahwa jika / dan; dipertukarkan, yang

kombinasi gradien kecepatan tetap tidak berubah. Hal ini dapat ditunjukkan bahwa

hanya kombinasi linear simetris gradien kecepatan adalah

Jika cairan yang isotropik-yaitu, ia tidak memiliki arah-kemudian disukai koefisien

di depan dua ekspresi dalam Pers. 1,2-4 harus skalar sehingga

Kami telah demikian mengurangi jumlah "koefisien viskositas" dari 81 untuk 2!

• Tentu saja, kami ingin Pers. 1,2-5 untuk menyederhanakan dengan Pers. 1,1-2 untuk situasi aliran pada Gambar.

1,1-1. Untuk itu Persamaan aliran dasar. 1,2-5 disederhanakan menjadi , dan

karenanya

skalar konstan A harus sama dengan negatif dari viskositas

• Akhirnya, dengan kesepakatan bersama antara dynamicists cairan yang paling skalar konstan

В diatur sama dengan , di mana к disebut viskositas dilatational. Alasan untuk

В menulis dengan cara ini adalah bahwa hal itu diketahui dari teori kinetik yang к identik

nol untuk gas monoatomik di kepadatan rendah.

Dengan demikian generalisasi yang diperlukan untuk hukum Newton tentang viskositas dalam Pers. 1,1-2 kemudian

set sembilan hubungan (enam menjadi independen):

Berikut , dan saya dan; dapat mengambil, nilai 1 2,3. Hubungan-hubungan untuk tegangan dalam Fluida Newtonian yang terkait dengan nama-nama Navier, Poisson, dan Stokes.2 Jika diinginkan, ini set hubungan dapat ditulis lebih singkat dalam notasi vektor-tensor

Lampiran A sebagai

di mana adalah tensor unit dengan komponen adalah gradien kecepatan tensor dengan

komponen adalah "transpos" dari tensor gradien kecepatan dengan komponen

adalah perbedaan vektor kecepatan.

Kesimpulan penting adalah bahwa kita memiliki generalisasi Eq. 1,1-2, dan generalisasi ini

melibatkan bukan hanya satu tapi dua coefficients3 karakteristik cairan: viskositas / л

dan к viskositas dilatational. Biasanya, dalam memecahkan masalah dinamika fluida, tidak

diperlukan untuk mengetahui к. Jika cairan adalah gas, kita sering menganggap itu untuk bertindak sebagai ideal

monoatomic gas, yang к sama dengan nol. Jika cairan adalah cairan, kita sering mengasumsikan

bahwa itu adalah inkompresibel, dan pada Bab 3 kita menunjukkan bahwa untuk cairan mampat

(V • v) = 0, dan oleh karena itu к mengandung istilah dibuang pula. Viskositas dilational

penting dalam menggambarkan penyerapan suara di poliatomik gases4 dan dalam menggambarkan

cairan dinamika cairan yang mengandung gas bubbles.5

Persamaan 1,2-7 (atau 1,2-6) adalah persamaan yang penting dan salah satu yang akan kita gunakan sering.

Oleh karena itu ditulis sepenuhnya dalam Cartesian (x, y, z), silinder (г, 0, z), dan bola

(Г, 0, ф) koordinat pada Tabel B.I. Entri dalam tabel ini untuk koordinat lengkung yang

diperoleh dengan metode yang diuraikan dalam § § A.6 dan A.7. Hal ini menunjukkan bahwa awal siswa

tidak menyibukkan diri dengan rincian dari derivasi tersebut, melainkan berkonsentrasi

untuk menggunakan hasil tabulasi. Bab 2 dan 3 akan memberikan latihan yang cukup dalam melakukan

ini.

Dalam koordinat lengkung komponen stres memiliki arti yang sama seperti dalam Cartesian

koordinat. Misalnya, тп di koordinat silinder, yang akan dihadapi

dalam Bab 2, dapat diartikan sebagai: (i) kekuatan kental dalam arah z pada satuan luas

tegak lurus terhadap arah r, atau (ii) fluks kental z-momentum di r positif

arah. Gambar 1,2-2 menggambarkan beberapa elemen permukaan yang khas dan stres-komponen tensor

yang muncul dalam dinamika fluida.

Tegangan geser biasanya mudah untuk memvisualisasikan, namun tekanan yang normal dapat menyebabkan

masalah konseptual. Misalnya, TZZ adalah gaya per satuan luas dalam arah z pada

pesawat tegak lurus terhadap arah z. Untuk aliran fluida mampat dalam

konvergen saluran Gambar. 1,2-3, kita tahu secara intuitif bahwa vz meningkat dengan penurunan

z, maka, menurut Persamaan. 1,2-6, ada stres nol rzz = - 2JX {DVZ / dz) bertindak

dalam cairan.

Perhatikan pada Konvensi Masuk untuk Tensor Stres Kami telah menekankan sehubungan

dengan Persamaan. 1,1-2 (dan dalam generalisasi dalam bagian ini) bahwa ryx adalah kekuatan positif di

x arah pada bidang tegak lurus terhadap arah у, dan bahwa ini adalah gaya yang diberikan

oleh cairan di wilayah tersebut у lebih rendah pada cairan y lebih besar. Dalam cairan yang paling

dinamika dan buku elastisitas, kata-kata "lebih rendah" dan "lebih besar" dipertukarkan dan

Persamaan. 1,1-2 ditulis sebagai ryx = + / JL (dvx / dy). Keuntungan dari konvensi tanda yang digunakan dalam

buku ini adalah: (a) Konvensi tanda yang digunakan dalam hukum Newton viskositas konsisten

dengan yang digunakan dalam hukum Fourier tentang konduksi panas dan hukum Fick tentang difusi, (b)

menandatangani konvensi untuk тХ] adalah sama dengan momentum untuk fluks konvektif PVV (lihat

§ 1.7 dan Tabel 19,2-2), (c) dalam Pers. 1,2-2, istilah dan memiliki tanda yang sama ditempelkan,

dan istilah p dan keduanya positif dalam kompresi (sesuai dengan kesamaan

penggunaan dalam termodinamika), (d) semua persyaratan dalam produksi entropi dalam Pers. 24,1-5 memiliki

tanda yang sama. Jelas konvensi tanda di Pers. 1,1-2 dan 1,2-6 adalah sewenang-wenang, dan baik

Konvensi tanda dapat digunakan, asalkan arti fisik konvensi tanda

jelas dipahami.

§ 1.3 Tekanan dan Ketergantungan Suhu Viskositas 21

aliran

vz (r)

Gambar. 1,2-3 Aliran dalam saluran konvergen adalah contoh dari situasi

di mana tekanan yang normal tidak nol. Karena vz adalah fungsi dari

r dan z, komponen normal stres adalah nol.

Juga, karena vr tergantung pada r dan z, komponen normal-stres

tidak sama dengan nol. Pada dinding, namun,

tegangan normal semua lenyap untuk cairan dijelaskan oleh Eq. 1,2-7 disediakan

bahwa kerapatan konstan (lihat Contoh Soal dan 3,1-1 3C.2).

§ 13 TEKANAN DAN SUHU KETERGANTUNGAN

DARI vISKOSITAS

Data ekstensif tentang viskositas gas murni dan cairan tersedia dalam berbagai ilmu

dan rekayasa handbooks.1 Ketika data eksperimen yang kurang dan tidak ada waktu

untuk mendapatkan mereka, viskositas dapat diperkirakan dengan metode empiris, memanfaatkan lainnya

Data pada substansi yang diberikan. Kami hadir di sini korelasi yang sesuai-negara, yang memfasilitasi

seperti estimasi dan menggambarkan kecenderungan umum dari viskositas dengan suhu dan

Tekanan untuk cairan biasa. Prinsip negara yang sesuai, yang memiliki suara

dasar ilmiah, 2 banyak digunakan untuk menghubungkan persamaan-of-negara dan termodinamika

Data. Diskusi prinsip ini dapat ditemukan dalam buku teks pada kimia fisik dan

termodinamika.

Plot pada Gambar. 1,3-1 memberikan pandangan global dari tekanan dan ketergantungan temperatur

viskositas. Viskositas berkurang diplot terhadap suhu Tr berkurang

= T / Tc untuk berbagai nilai dari tekanan berkurang pr = p / pc. A "mengurangi" kuantitas adalah salah satu

yang telah dibuat berdimensi dengan membaginya dengan jumlah yang sesuai pada kritis

titik. Grafik menunjukkan bahwa viskositas gas mendekati batas (yang low-density

limit) sebagai tekanan menjadi lebih kecil, karena sebagian besar gas, batas ini hampir tercapai pada 1 atm

tekanan. Viskositas gas pada kepadatan rendah meningkat dengan meningkatnya temperatur,

sedangkan viskositas cairan berkurang dengan meningkatnya suhu.

Nilai-nilai eksperimental dari viskositas kritis / xf jarang tersedia. Namun, fic

dapat diperkirakan dalam salah satu cara berikut: (i) jika nilai viskositas diketahui pada

diberikan mengurangi tekanan dan temperatur, sebaiknya pada kondisi dekat dengan mereka

maka dapat dihitung dari , atau (ii) jika kritis pvt data yang tersedia,

kemudian dapat diperkirakan dari hubungan-hubungan empiris:

Berikut fic dalam micropoises, pc di atm, Tc di K, dan Vc di cm3/g-mole. Sebuah tabulasi kritis

viscosities3 dihitung dengan metode (i) diberikan dalam Lampiran E.

Gambar 1,3-1 juga dapat digunakan untuk estimasi kasar viskositas campuran. untuk

N-komponen campuran, penggunaan terbuat dari properties4 "pseudocritical" didefinisikan sebagai

Artinya, seseorang menggunakan grafik persis seperti untuk cairan murni, tetapi dengan sifat pseudocritical

bukan sifat kritis. Prosedur empiris bekerja cukup baik kecuali ada zat kimia yang berbeda dalam campuran atau sifat kritis

komponen sangat berbeda.

Ada banyak varian pada metode di atas, serta sejumlah empiricisms lainnya.

Ini dapat ditemukan dalam kompilasi luas Reid, Prausnitz, dan Poling.5

CONTOH 1,3-1 Perkiraan viskositas N2 pada 50 ° C dan 854 atm, mengingat M = 28,0 g / g-mol, pc = 33,5 atm, dan

Tc = 126,2 K.

Estimasi Viskositas

dari SOLUSI Properti Kritis

Menggunakan Persamaan. 1.3-lb, kita mendapatkan

MOLEKULER TEORI VISKOSITAS THE

DARI GAS PADA KEPADATAN RENDAH

Untuk mendapatkan apresiasi yang lebih baik dari konsep transportasi momentum molekuler, kita kaji

mekanisme transportasi dari sudut pandang teori kinetik dasar

gas.

Kami menganggap gas murni terdiri dari kaku, nonattracting molekul bola berdiameter

d dan massa m, dan kerapatan jumlah (jumlah molekul per satuan volume) adalah

diambil untuk menjadi n. Konsentrasi molekul gas dianggap menjadi cukup kecil

bahwa jarak rata-rata antara molekul yang banyak kali d diameter mereka. Dalam sebuah

gas itu adalah known1 bahwa, pada keseimbangan, kecepatan molekul secara acak diarahkan dan

memiliki magnitudo rata yang diberikan oleh (lihat Soal 1C.1)

di mana к adalah konstanta Boltzmann (lihat Lampiran F). Frekuensi molekul

Pemboman per satuan luas pada satu sisi setiap permukaan stasioner terkena gas adalah

Jarak rata-rata dilalui oleh molekul antara tabrakan beruntun adalah mean

jalan bebas , diberikan oleh

Secara rata-rata, molekul mencapai pesawat akan mengalami tabrakan terakhir mereka

pada jarak dari pesawat, di mana diberikan sangat kasar oleh

Konsep jalan bebas rata-rata yang intuitif yang sangat menarik, tetapi bermakna hanya

ketika Л yang besar dibandingkan dengan berbagai gaya antarmolekul. Konsep ini sesuai

untuk model yang kaku-bola molekul dipertimbangkan di sini.

Untuk menentukan viskositas gas dalam hal parameter model molekul, kita

mempertimbangkan perilaku gas ketika mengalir sejajar dengan bidang xz-dengan kecepatan yang

gradien dvx / dy (lihat Gambar. 1,4-1). Kami berasumsi bahwa Pers. 1,4-1 sampai 4 tetap berlaku di nonequilibrium ini

Situasi, asalkan semua kecepatan molekul dihitung relatif terhadap

kecepatan rata-rata v di wilayah di mana molekul diberikan memiliki tabrakan yang terakhir. itu

fluks ^-momentum di setiap bidang у konstan ditemukan dengan mengasumsikan x-momentum

dari molekul yang melintasi ke arah у positif dan mengurangkan x-momentum

orang-orang yang menyeberang di arah yang berlawanan, sebagai berikut:

Dalam menulis persamaan ini, kita telah mengasumsikan bahwa semua molekul memiliki perwakilan kecepatan

dari wilayah di mana mereka terakhir bertabrakan dan bahwa profil kecepatan vx (y) pada dasarnya

linier untuk jarak beberapa berarti jalan bebas. Dalam pandangan dari asumsi yang terakhir,

selanjutnya kita dapat menulis

Dengan menggabungkan Persamaan. 1,4-2, 5, dan 6 kita untuk fluks bersih x-momentum di у positif

Arah

This has the same form as Newton's law of viscosity given in Eq. 1.1-2. Comparing thetwo equations gives an equation for the viscosity

Ini ekspresi untuk viskositas diperoleh dengan Maxwell2 pada tahun 1860. The kuantitas

disebut bagian tabrakan silang (lihat Gambar. 1,4-2).

Penurunan di atas, yang memberikan gambaran kualitatif yang benar momentum

mentransfer dalam gas pada kepadatan rendah, membuat jelas mengapa kita ingin memperkenalkan istilah

"momentum fluks" untuk dalam § 1.1.

Prediksi Eq. 1,4-9 bahwa adalah independen dari tekanan setuju dengan eksperimental

Data sampai sekitar 10 atm pada suhu di atas suhu kritis (lihat Gambar. 1,3-1).

Ketergantungan suhu diprediksi kurang memuaskan, data untuk berbagai gas menunjukkan

bahwa meningkat lebih cepat daripada . UNTUK lebih menggambarkan ketergantungan suhu

dari , perlu untuk menggantikan model yang kaku-bola oleh salah satu yang menggambarkan

menarik dan menjijikkan kekuatan lebih akurat. Hal ini juga diperlukan untuk meninggalkan mean

bebas jalur teori dan menggunakan persamaan Boltzmann untuk mendapatkan distribusi kecepatan molekul

dalam sistem nonequilibrium lebih akurat. Relegating rincian untuk Lampiran

D, kami hadir di sini results.3 '4 utama

Sebuah teori kinetik gas monoatomik ketat pada kepadatan rendah dikembangkan awal

abad kedua puluh oleh Chapman di Inggris dan secara independen oleh Enskog di Swedia.

Teori Chapman-Enskog memberikan ekspresi untuk sifat transportasi dalam hal

energi potensial antarmolekul <p (r), di mana r adalah jarak antara sepasang molekul

mengalami tabrakan. Kekuatan antarmolekul kemudian diberikan oleh . itu

bentuk fungsional yang tepat dari <p (r) tidak diketahui, namun, untuk molekul nonpolar yang memuaskan

Ekspresi empiris adalah Lennard-Jones (6-12) potential6 diberikan oleh

di mana adalah diameter karakteristik dari molekul, sering disebut diameter tabrakan

dan E adalah energi karakteristik, sebenarnya energi maksimum tarik-menarik antara

sepasang molekul. Fungsi ini, ditunjukkan pada Gambar. 1,4-3, pameran fitur karakteristik

dari gaya antarmolekul: lemah atraksi di pemisahan besar dan tolakan kuat di

kecil perpisahan. Nilai-nilai parameter dan e dikenal untuk berbagai zat, sebuah

Daftar sebagian diberikan dalam Tabel EI, dan daftar yang lebih lengkap tersedia elsewhere.4 Ketika

dan E tidak dikenal, mereka dapat diperkirakan dari sifat cairan pada kritis

Titik (c), cairan pada titik didih normal (b), atau padat pada titik leleh (m),

dengan cara hubungan empiris berikut

Berikut E / K dan Г berada di K, adalah dalam satuan Angstrom , Vis di cm3/g-mole, dan

pc dalam atmosfer.

Viskositas gas monoatomik murni M berat molekul dapat ditulis dalam

hal Lennard-Jones parameter sebagai

Dalam bentuk kedua dari persamaan ini, jika T [=] К dan [=] A, maka [=] g / cm • s. The berdimensi

kuantitas adalah fungsi perlahan bervariasi dari suhu berdimensi

кТ / e, dari urutan besarnya persatuan, diberikan dalam Tabel E.2. Hal ini disebut tabrakan "terpisahkan

untuk viskositas / 'karena account untuk rincian jalan bahwa molekul

mengambil selama tabrakan biner. Jika gas itu terdiri dari bola kaku diameter (bukan

molekul nyata dengan kekuatan menarik dan menjijikkan), maka akan persis

kesatuan. Oleh karena itu fungsi dapat ditafsirkan sebagai menggambarkan deviasi dari rigidsphere

perilaku.

Meskipun Eq. 1,4-14 adalah hasil dari teori kinetik gas monoatomik, telah

ditemukan sangat baik untuk gas poliatomik juga. Alasan untuk ini adalah bahwa, dalam

persamaan kekekalan momentum untuk tabrakan antara molekul poliatomik,

pusat koordinat massa yang lebih penting daripada koordinat internal yang

[lihat § 0.3 (fr)]. Ketergantungan suhu diprediksi oleh Persamaan. 1,4-14 menunjukkan kesesuaian

dengan yang ditemukan dari garis low-density dalam korelasi empiris dari Gambar. 1,3-1. itu

viskositas gas pada kepadatan rendah meningkat dengan suhu, kira-kira sebagai 0,6-1,0

kekuatan temperatur absolut, dan independen dari tekanan.

Untuk menghitung viskositas dari campuran gas, perpanjangan multikomponen dari

Chapman-Enskog teori dapat used.4 '5 Atau, seseorang dapat menggunakan berikut ini sangat

memuaskan semiempirical rumus:

Berikut N adalah jumlah spesies kimia dalam campuran, xa adalah fraksi mol spesies

adalah viskositas dari spesies murni pada suhu dan tekanan sistem, dan Ma

berat molekul spesies. Persamaan 1,4-16 telah ditunjukkan untuk mereproduksi diukur

nilai viskositas campuran dalam suatu deviasi rata-rata sekitar 2%. itu

ketergantungan viskositas campuran pada komposisi sangat nonlinear untuk beberapa campuran,

khususnya campuran gas ringan dan berat (lihat Soal 1 A.2).

Untuk meringkas, Pers. 1.4-14,15, dan 16 adalah formula berguna untuk viskositas komputasi

gas nonpolar dan campuran gas pada kepadatan rendah dari nilai-nilai tabulasi dari antarmolekul yang

kekuatan parameter dan s / к. Mereka tidak akan memberikan hasil yang dapat diandalkan untuk gas terdiri

molekul polar atau sangat memanjang karena sudut-tergantung medan gaya yang

ada di antara molekul tersebut. Untuk uap kutub, seperti H2O, NH3, CHOH, dan NOC1,

modifikasi sudut-tergantung dari Persamaan. 1,4-10 telah memberikan results.8 baik untuk cahaya

gas H2 dan Dia di bawah ini tentang 100K, efek kuantum harus diperhitungkan account.9

Empiricisms banyak tambahan yang tersedia untuk memperkirakan viskositas gas dan

gas campuran. Sebuah referensi standar bahwa Reid, Prausnitz, dan Poling

Hitung viskositas CO2 pada 200, 300, dan 800 К dan 1 atm.

SOLUSI

Gunakan Persamaan. 1,4-14. Dari Tabel EI, kita menemukan Lennard-Jones parameter untuk CO2 menjadi е / к =

190 К dan о-= 3,996 A. berat molekul CO2 adalah 44.01. Pergantian dari M dan ke

Persamaan. 1,4-14 memberikan

Data eksperimental ditunjukkan dalam kolom terakhir untuk perbandingan. Perjanjian yang baik adalah menjadi

diharapkan, karena Lennard-Jones parameter Tabel EI berasal dari data viskositas.

Perkirakan viskositas campuran gas berikut pada 1 atm dan 293 К dari data yang diberikan pada

murni komponen pada tekanan dan temperatur yang sama:

§ TEORI 1,5 MOLEKULER DARI VISKOSITAS DARI CAIRAN

Sebuah teori kinetik ketat dari sifat transportasi cairan monoatomik dikembangkan

oleh Kirkwood dan со workers.1 Namun teori ini tidak menyebabkan mudah digunakan

hasil. Sebuah teori yang lebih tua, yang dikembangkan oleh Eyring2 dan rekan kerja, meskipun kurang baik

didasarkan secara teoritis, tidak memberikan gambaran kualitatif mekanisme momentum

transportasi dalam cairan dan memungkinkan estimasi kasar viskositas dari fisik lainnya

properti. Kami membahas teori ini singkat.

Dalam cairan murni pada sisanya molekul individu terus bergerak. Namun,

karena kemasan dekat, gerakan sebagian besar terbatas pada getaran setiap molekul

dalam kandang'' "dibentuk oleh tetangga terdekat. kandang ini diwakili oleh energi

penghalang ketinggian , di mana adalah energi bebas molar aktivasi untuk

melarikan diri dari kandang dalam cairan stasioner (lihat Gambar. 1,5-1). Menurut Eyring, cairan

saat istirahat terus mengalami penyusunan ulang, di mana satu molekul pada suatu waktu lolos

dari "sangkar" yang menjadi "lubang," berdampingan dan bahwa molekul sehingga bergerak dalam masing-masing arah koordinat di melompat dari panjang pada frekuensi v per molekul. frekuensi

diberikan oleh persamaan laju

Di mana к dan h adalah konstanta Boltzmann dan Planck, N adalah bilangan Avogadro,

dan R = NK adalah konstanta gas (lihat Lampiran F).

Dalam cairan yang mengalir dalam arah x dengan kecepatan gradien dvx / dy, frekuensi

penyusunan ulang molekul meningkat. Efeknya dapat dijelaskan dengan mempertimbangkan

hambatan potensial energi sebagai terdistorsi bawah ryx tegangan (lihat Gambar. 1,5-1),

sehingga

di mana V adalah volume satu mol cairan, dan ± (a / 8) (ryxV / 2) adalah sebuah pendekatan untuk

kerja yang dilakukan pada molekul ketika mereka bergerak ke atas penghalang energi, bergerak dengan

tegangan geser diterapkan (tanda plus) atau terhadap tegangan geser diterapkan (tanda minus). kita

sekarang mendefinisikan + v sebagai frekuensi melompat ke depan dan v_ sebagai frekuensi mundur

melompat. Kemudian dari Pers. 1,5-1 dan 1,5-2 kita menemukan bahwa

Kecepatan bersih dengan molekul dalam lapisan Suatu slip depan orang-orang di lapisan В (Gambar

1,5-1) hanya jarak tempuh per melompat (a) kali frekuensi bersih melompat ke depan

; ini memberikan

Profil kecepatan dapat dianggap linear atas jarak yang sangat kecil antara 8

lapisan A dan B, sehingga

Ini memprediksi hubungan nonlinier antara tegangan geser (fluks momentum) dan kecepatan

gradien-yaitu, non-Newtonian aliran. Perilaku nonlinier tersebut dibahas lebih lanjut

dalam Bab 8.

Situasi yang biasa, bagaimanapun, adalah bahwa . Kemudian kita dapat menggunakan Taylor

seri dan mempertahankan hanya satu istilah. persamaan

1.5-6 kemudian dari bentuk Pers. 1,1-2, dengan viskositas yang diberikan oleh

Faktor dapat diambil untuk menjadi kesatuan, penyederhanaan ini tidak melibatkan kehilangan akurasi,

sejak biasanya ditentukan secara empiris untuk membuat persamaan setuju dengan eksperimental

Data viskositas.

Telah ditemukan bahwa energi bebas aktivasi, , ditentukan oleh Persamaan pas. 1.5-7

eksperimental data viskositas versus suhu, hampir konstan untuk diberikan

cairan dan hanya berkaitan dengan energi internal penguapan pada didih normal

titik, sebagai berikut

Energi penguapan pada titik didih normal dapat diperkirakan secara kasar dari

Trouton ini aturan

Persamaan 1,5-9 dan 11 berada dalam perjanjian dengan panjang digunakan dan tampaknya sukses

empirisme . Teori ini, meskipun hanya perkiraan di alam, tidak memberikan

penurunan diamati viskositas dengan suhu, tetapi kesalahan sebanyak 30% adalah

umum ketika Pers. 1,5-9 dan 11 digunakan. Mereka tidak boleh digunakan untuk waktu yang lama ramping

molekul, seperti n-C2oH42.

Ada, di samping itu, rumus empiris yang tersedia untuk memprediksi viskositas

cairan dan campuran cair. Untuk kimia, fisika dan teknik kimia

buku teks harus consulted.4

CONTOH 1,5-1

Estimasi

Viskositas dari Murni

cair

Perkirakan viskositas benzena cair,, QH6 pada 20 ° C (293.2K).

SOLUSI

Gunakan Persamaan. 1,5-11 dengan informasi berikut:

Karena informasi ini diberikan dalam c.g.s. unit, kita menggunakan nilai-nilai bilangan Avogadro dan

Planck yang konstan dalam set yang sama dari unit. Mengganti ke dalam Pers. 1,5-11 memberikan:

§ 1,6 VISKOSITAS DARI HUKUMAN DAN emulsi

Sampai saat ini kita telah membahas cairan yang terdiri dari homogen tunggal

fase. Kita sekarang mengalihkan perhatian kita sebentar untuk dua-fase sistem. Uraian lengkap

sistem tersebut, tentu saja, sangat kompleks, tetapi sering berguna untuk mengganti suspensi

atau emulsi dengan sistem satu fase hipotetis, yang kemudian kami jelaskan oleh hukum Newton tentang viskositas (Persamaan 1,1-2 atau 1,2-7) dengan dua modifikasi: (i) viskositas / л adalah

digantikan oleh viskositas ixeif yang efektif / dan (ii) komponen kecepatan dan stres yang kemudian

didefinisikan ulang (dengan tidak ada perubahan simbol) sebagai jumlah rata-rata selama analog volume

besar sehubungan dengan jarak interparticle dan kecil sehubungan dengan dimensi

dari sistem aliran. Ini semacam teori yang memuaskan seperti yang selama aliran yang terlibat

mantap, dalam waktu-tergantung arus, telah ditunjukkan bahwa hukum Newton tentang viskositas

sistem tidak pantas, dan fase dua-harus dianggap sebagai viskoelastik materials.1

Kontribusi besar pertama terhadap teori viskositas suspensi bola adalah

bahwa dari Einstein.2 Dia dianggap sebagai suspensi bola kaku, sehingga encer bahwa gerakan

dari satu bidang tidak mempengaruhi aliran fluida di lingkungan lain

sphere. Kemudian cukup untuk menganalisis hanya gerakan fluida di sekitar bola tunggal,

dan efek dari bola individu aditif. Persamaan Einstein adalah

di mana adalah viskositas dari media menangguhkan, dan ф adalah fraksi volume

bola. Hasil perintis Einstein telah dimodifikasi dalam berbagai cara, beberapa

yang sekarang kita jelaskan.

Untuk encer suspensi partikel dari berbagai bentuk konstanta § harus diganti dengan

koefisien yang berbeda tergantung pada bentuk tertentu. Suspensi memanjang atau

partikel fleksibel menunjukkan non-Newtonian viscosity.3 '4 '5 '6

Untuk suspensi terkonsentrasi bola (yaitu, ф lebih besar dari 0,05) partikel interaksi

menjadi cukup. Ekspresi semiempirical telah banyak dikembangkan,

salah satu dari yang paling sederhana yang merupakan persamaan Mooney

di mana ф0 adalah konstanta empiris antara sekitar 0,74 dan 0,52, nilai-nilai yang sesuai

dengan nilai-nilai ф untuk kemasan dan kemasan terdekat kubik, masing-masing.

Pendekatan lain untuk suspensi terkonsentrasi bola adalah "sel teori / 'di

mana yang meneliti energi disipasi dalam "aliran squeezing" antara lingkungan.

Sebagai contoh dari jenis teori kita mengutip equatio Graham

di mana di mana adalah fraksi volume yang sesuai

dengan eksperimen ditentukan paling dekat pengepakan bola. ungkapan ini

disederhanakan menjadi persamaan Einstein untuk ф -> 0 dan Frankel-Acrivos equation9 saat

Untuk suspensi terkonsentrasi partikel nonspherical, yang Krieger-Dougherty equation10

dapat digunakan:

Parameter A dan yang akan digunakan dalam persamaan ini adalah tabulated11 dalam Tabel 1,6-1 untuk

suspensi dari beberapa bahan.

Non-Newtonian perilaku diamati untuk suspensi terkonsentrasi, bahkan ketika

partikel adalah spherical.11 ini berarti bahwa viskositas tergantung pada kecepatan

gradien dan mungkin berbeda di geser daripada dalam aliran elongational. Oleh karena itu,

persamaan seperti persamaan. 1,6-2 harus digunakan dengan hati-hati.

Untuk emulsi atau suspensi tetesan kecil, di mana bahan ditangguhkan dapat mengalami

sirkulasi internal tapi masih mempertahankan bentuk bola, viskositas yang efektif dapat

jauh kurang dari itu untuk suspensi bola yang solid. Viskositas emulsi encer

kemudian dijelaskan oleh persamaan Taylor

di mana adalah viskositas fase bubar. Ini harus, bagaimanapun, perlu dicatat bahwa

aktif permukaan kontaminan, sering hadir bahkan di cairan dengan hati-hati dimurnikan, secara

efektif dapat

menghentikan sirkulasi internal, tetesan kemudian berperilaku sebagai bola yang kaku.

Untuk suspensi encer bola dibebankan, Eq. 1,6-1 dapat digantikan oleh Smoluchowski

Equation

di mana D adalah konstanta dielektrik cairan menangguhkan, Ke konduktivitas listrik spesifik

suspensi, £ potensi elektrokinetik dari partikel, dan R partikel

radius. Biaya permukaan yang tidak biasa di suspensi stabil. Lainnya, kurang baik

dipahami, kekuatan permukaan juga penting dan sering menyebabkan partikel untuk membentuk

longgar aggregates.4 Di sini sekali lagi, non-Newtonian perilaku ditemui

§ 1,7 TRANSPORT MOMENTUM konvektif

Sejauh ini kita telah membahas transportasi molekul momentum, dan ini menyebabkan satu set

jumlah , yang memberikan fluks /-momentum melintasi tegak lurus ke permukaan /

arah. Kami kemudian menceritakan untuk gradien kecepatan dan tekanan, dan kami

menemukan bahwa hubungan ini melibatkan dua materi JJL parameter dan к. Kami telah melihat dalam § § 1.4

dan 1,5 bagaimana viskositas muncul dari pertimbangan gerakan acak dari molekul

dalam cairan-yaitu, gerak molekuler acak sehubungan dengan gerakan massal

dari cairan. Selanjutnya, dalam 1C.3 Masalah kita menunjukkan bagaimana kontribusi tekanan

untuk

muncul dari gerakan molekul acak.

Momentum bisa, di samping itu, akan diangkut oleh aliran sebagian besar cairan, dan ini

Proses ini disebut transpor konvektif. Untuk membahas hal ini kita menggunakan Gambar. 1,7-1 dan memfokuskan perhatian kita

pada daerah berbentuk kubus dalam ruang di mana cairan mengalir. Di pusat

kubus (terletak pada x, y, z) vektor kecepatan fluida adalah v Sama seperti dalam § 1.2 kita mempertimbangkan

tiga pesawat tegak lurus saling (pesawat diarsir) melalui titik x, y, z, dan

kita bertanya berapa banyak momentum yang mengalir melalui masing-masing. Masing-masing pesawat adalah

diambil untuk memiliki satuan luas.

Laju volume aliran seluruh satuan luas yang diarsir dalam (a) adalah vx. Cairan ini membawa

dengan itu momentum pv per satuan volume. Oleh karena itu fluks momentum melintasi berbayang

daerah adalah perhatikan bahwa ini adalah fluks momentum dari daerah x lebih rendah ke daerah

x yang lebih besar. Demikian fluks momentum melintasi daerah yang diarsir pada (b) adalah , dan

momentum fluks di seluruh daerah yang diarsir pada (c) adalah vzpv.

Ketiga vektor menggambarkan fluks momentum melintasi

tiga bidang tegak lurus terhadap sumbu masing-masing. Masing-masing vektor memiliki x-f y-, dan

z-komponen. Komponen-komponen ini dapat diatur seperti yang ditunjukkan pada Tabel 1,7-1. kuantitas

adalah fluks konvektif dari y-momentum melintasi tegak lurus permukaan ke arah x.

Ini harus dibandingkan dengan kuantitas yang merupakan fluks molekul

y-momentum melintasi tegak lurus permukaan ke arah x. Konvensi tanda untuk

kedua mode transportasi adalah sama.

Pengumpulan sembilan komponen skalar yang diberikan dalam Tabel 1,7-1 dapat direpresentasikan sebagai

Karena setiap komponen pw memiliki dua subskrip, masing-masing terkait dengan arah koordinat,

pw adalah tensor (orde kedua), hal itu disebut tensor momentum-fluks konvektif.

Tabel 1,7-1 untuk komponen tensor momentum fluks konvektif harus dibandingkan

dengan Tabel 1,2-1 untuk komponen tensor momentum fluks molekul.

Selanjutnya kita bertanya apa fluks momentum konvektif akan melalui elemen permukaan

Orientasi yang diberikan oleh unit vektor normal n (lihat Gambar. 1,7-2). Jika cairan adalah

mengalir melalui permukaan dS dengan kecepatan v, maka tingkat volume mengalir melalui

permukaan, dari sisi minus sisi positifnya, adalah (n • v) dS. Oleh karena itu laju aliran

momentum di seluruh permukaan (n • \) pvdS, dan fluks momentum konvektif adalah

(n • v) pv. Menurut aturan untuk vektor-tensor notasi yang diberikan dalam Lampiran A, hal ini dapat

juga ditulis sebagai [n • PVV]-yaitu, dot product dari vektor normal satuan n dengan

konvektif momentum fluks tensor pw. Jika kita biarkan n menjadi berturut vektor satuan menunjuk

di x, y, dan z arah kita mendapatkan entri dalam kolom kedua

Tabel 1,7-1.

Demikian pula, fluks momentum total molekul melalui permukaan orientasi n adalah

diberikan oleh Hal ini dimengerti bahwa ini adalah fluks dari sisi minus

sisi positifnya dari permukaan. Kuantitas ini juga dapat diartikan sebagai kekuatan per unit

daerah yang diberikan oleh bahan minus pada bahan ditambah seluruh permukaan. Sebuah geometris

interpretasi [n • тг] diberikan dalam 1D.2 Soal.

Dalam bab ini kita mendefinisikan transportasi molekul momentum dalam § 1.2, dan dalam hal ini

bagian ini kita telah menggambarkan transportasi konvektif dari momentum. Dalam menyiapkan

momentum shell

saldo dalam Bab 2 dan dalam mendirikan keseimbangan momentum umum

Bab 3, kita akan menemukan itu berguna untuk menentukan fluks momentum gabungan, yang jumlahnya

dari fluks momentum molekuler dan fluks momentum konvektif:

Perlu diingat bahwa kontribusi tidak mengandung kecepatan, hanya tekanan; kombinasi

PVV mengandung kepadatan dan produk dari komponen kecepatan, dan kontribusi

mengandung viskositas dan, untuk fluida Newtonian, linear dalam kecepatan

gradien. Semua kuantitas tensor orde kedua.

Sebagian besar waktu kita akan berhadapan dengan komponen dari jumlah ini. misalnya

komponen yang ф

dan seterusnya, sejalan dengan entri dalam Tabel 1,2-1 dan 1,7-1. Yang penting untuk diingat

adalah bahwa

fluks gabungan t /-momentum melintasi tegak lurus permukaan x

arah oleh mekanisme molekuler dan konvektif.

Indeks kedua memberikan komponen momentum diangkut dan yang pertama

Indeks memberikan arah transportasi.

Berbagai simbol dan nomenklatur yang digunakan untuk fluks momentum yang

diberikan dalam Tabel 1,7-2. Konvensi tanda yang sama digunakan untuk semua fluks.