AREA DELLA PARTE DI PIANO COMPRESA FRA DUE FUNZIONIartemate.altervista.org/dfile/5-Integrale4-DEFINITO-calcoloAreaFra2... · 2 1)Calcolo le coordinate A e B dei punti di intersezione

INTEGRALEDEFINITO:calcoloaree

AREADELLAPARTEDIPIANOAREADELLAPARTEDIPIANOCOMPRESAFRADUEFUNZIONICOMPRESAFRADUEFUNZIONI

•• Parabola e rettaParabola e retta•• Parabola e parabolaParabola e parabola

a b

y=f(x)

y=g(x)

Tratterem

o due casi

Prof.ssa Paola Barberis - agg 2017

2

1) Calcolo le coordinate A e B dei punti di intersezionefra le due funzioni f(x) e g(x) , risolvendo il sistemaNB: le ascisse a e b sono estremi di integrazione!

2) Rappresento graficamente le due funzioni (anche in modo approssimato)3) Calcolo AREA COMPRESA FRA f(x) e g(x) di estremi a e b

Procedimento

a b

y=f(x)

y=g(x)

AreaCompresa = [ f (x) ! g(x)]dxa

b

"INT.DEFINITO

fra a e b

Iy= f (x)

y= g(x)

!"#

Sia y=f(x) funzione “sopra”

Sia y=g(x) funzione “sotto”A

BCon ordinate superiori fra A e B

Con ordinate inferiori fra A e B

Funzione f_sopra

Funzione g_sotto-

AREADELLAPARTEDIPIANOCOMPRESAFRA

PARABOLAERETTA

RICORDA:Se a>0 la concavità èverso l’alto:Se a<0 la concavità èverso il basso:Formule vertice

y = ax2+ bx + c y = mx + q

RICORDA:q= intercetta con asse ym=coefficiente angolareSe m>0 retta crescente

Se m<0 retta decrescente

Se m=0 retta orizzontale y=q funzione costante

Caso A

V

xv = !b

2a

yv = !"

4aoppure sostituisco_ xv

#

$%%

&%%

4

1) Calcolo intersezioni fra parabola e rettay = !x

2+ 4 ; y = !x + 2

Iy= !x2 + 4

y= !x+ 2" !x2 + 4 = !x+ 2" x2 ! x! 2 = 0...." x = !1# x = 2

$%&

'&

2) Rappresento la parabola passante per A e B e conconcavità verso il basso . Vertice V= (0 ; 4 ) Rappresento la retta sapendo che passa per A e B

3) Calcolo l’area compresa di estremi a=-1 e b=2

A=(-1;+3)B= (+2; 0)

Area = ((!x2 + 4) ! (!x + 2)) " "!1

2

# dx = (!x2 + 4 + x ! 2) "!1

2

# dx =

(!x2 + x + 2) "!1

2

# dx = calcolo int egrale !x3

3+x2

2+ 2x

$

%&

'

()!1

+2

=

!8

3+4

2+ 4

*+,

-./! +

1

3+1

2! 2*

+,-./= !

8

3+ 2 + 4 !

1

3!1

2+ 2 = !

9

3+ 8 !

1

2

= !3+ 8 !1

2= 5 !

1

2=10 !12

=9

2Area = 9/2 u2

Ix = !1

y= !(!1) + 2 = +3

"#$

%x= 2

y= !2 + 2 = 0

"#$

(f sopra )-(g sotto)

conviene prima sommare…

A

B

1A)Areacompresafraparabolaeretta

svolgi tutti i passaggi!

-1 2

f

g

5

1) Calcolo intersezioni fra parabola e rettay= x

2! 6x ; y= !2x

Iy= x

2 ! 6x

y= !2x" x2 ! 6x = !2x" x2 ! 4x = 0...." x = 0 # x= 4

$%&

'&

2) Rappresento la parabola di Vertice V= (3 ; -9 ) e passante per A e B ( concavità verso alto!)Rappresento la retta sapendo che passa per A e B

3) Calcolo l’area compresa di estremi a=0 e b=4

Area = 32/3 u2

Ix = 0

y= !2x= 0

"#$

%x= 4

y= !2x= !8

"#$

(f_sopra) - (g_sotto)

2A)Areacompresafraparabolaeretta

svolgi tu tutti i passaggi

B= (+4; -8)

A=(0;0)A=(0;0)B= (+4; -8)

f

g

40

A = (!2x) ! (x2 ! 6x)"# $% &0

4

' dx = !2x ! x2 + 6x"# $% &0

4

' dx =

= !x2 + 4x"# $% &0

4

' dx = calcolo int egrale !x3

3+ 4

x2

2

"

#(

$

%)0

4

=

= !64

3+ 416

2

"

#($

%)! 0[ ] = !

64

3+ 32 = + =

!64 + 96

3=32

3

prima sommare…

3A)Areacompresafraparabolaeretta

6

1) Calcolo intersezioni fra parabola e retta

y= x2! 3 ; y= x! 3

3) Calcolo l’area compresa di estremi a=0 e b=1

A=(0;-3)B=(1;-2)

Area = ((x ! 3) ! (x2 ! 3)) "0

1

# dx = (x ! 3! x2 + 3) "0

1

# dx =

(x ! x2 ) "0

1

# dx = calcolo int egrale =x2

2!x3

3

$

%&

'

()0

1

=

1

2!1

3

*+,

-./! 0 ! 0( ) =

3! 26

=1

6Area = 1/6 u2

Ix = 0

y= 0 ! 3 = !3

"#$

%x= 1

y=1! 3 = !2

"#$

(f sopra) - (g-sotto)

prima sommare…

10

A

B

I

y= x2 ! 3

y= x! 3" x2 ! 3 = x! 3" x

2 ! x= 0" x(x!1) = 0"x= 0

x =1

#

$%

&%

2) Rappresento la parabola di Vertice=(0;-3) [ricorda che la parabola pura ha sempre V=( 0; c) ]

che passa per A e B e concavità verso l’altoRappresento la retta che passa per A e B

AREADELLAPARTEDIPIANOCOMPRESAFRA2PARABOLE

y = ax2+ bx + c

RICORDA:Se a>0 la concavità è verso l’alto:

Se a<0 la concavità è verso il basso:

Per trovare il vertice:

Caso B

V = !b

2a; sostituisco_ xv

"#$

%&'oppure V = !

b

2a;!(b

2 ! 4ac)4a

"#$

%&'

8

1) Calcolo intersezioni fra le parabolef : y = !x

2+ 4 g : y = x

2! 2x

3) Calcolo l’area compresa di estremi a=-1 e b=2

Area = ((!x2 + 4) ! (x2 ! 2x)) "!1

2

# dx = (!x2 + 4 ! x2 + 2x) "!1

2

# dx =

(!2x2 + 2x + 4) "!1

2

# dx = calcolo int egrale = !2x

3

3+2x

2

2+ 4x

$

%&

'

()!1

+2

=

!16

3+8

2+ 8

*+,

-./! +

2

3+1! 4*

+,-./= !

16

3+ 4 + 8 !

2

3!1+ 4 = !

18

3+15 = !6 +15 = +9

Area = 9 u2

Ix = !1

y = !(!1)2 + 4 = +5

"#$

%x = 2

y = !(2)2 + 4 = 0

"#$

(f sopra) - (g sotto)

prima sommare…

1B)Areacompresafra2parabole

2-1

A

B

Iy = !x2 + 4

y = x2 ! 2x" !x2 + 4 = x2 ! 2x" 2x

2 ! 2x + 4 = 0...." x = !1# x = 2

$%&

'& f

g

A=(-1;+5)B= (+2; 0)

2) Grafico: Rappresento le parabole anche in modoapprossimato facendole passare per A e B.La funzione sopra è quella con concavità verso il basso!!!NB:per grafo preciso i vertici sono Vf=(0;4) Vg=(1;-1)

9

1) Calcolo intersezioni fra le 2 paraboley = !x

2+ 2x + 4 y = x

2! 4x + 4

3) Calcolo l’area compresa fra a=0 e b=3

A=(0;4)B= (3; 1)

Area = ((!x2 + 2x + 4) ! (x2 ! 4x + 4)) "0

3

# dx = (!x2 + 2x + 4 ! x2 + 4x ! 4) "0

3

# dx =

(!2x2 + 6x) "0

3

# dx = calcolo int egrale = !2x

3

3+6x

2

2

$

%&

'

()0

+3

=

!54

3+54

2

*+,

-./! 0( ) = !18 + 27 = +9 Area = 9 u2

Ix = 0

y = !(0)2 + 2(0) + 4 = +4

"#$

%x = 3

y = !(3)2 + 2(3) + 4 = 1

"#$

(f sopra) - (g sotto)

2B)Areacompresafra2parabole

30

A

B

Iy = !x2 + 2x + 4

y = x2 ! 4x + 4" !x2 + 2x + 4 = x2 ! 4x + 4" 2x

2+ 6x = 0...." x = 0 # x = 3

$%&

'&

2) Grafico: rappresento le parabole anche in modoapprossimato facendole passare per A e B.La funzione sopra è quella con concavità verso il basso!!!NB: i vertici sono Vf=(1;5) Vg=(2;0)

f

g

10

1) Calcolo intersezioni fra le parabole

y = !x2+ 4 y = x

2! 4x + 4

3) Calcolo l’area compresa di estremi a=0 e b=2

A=(0;+4)B= (+2; 0)

Area = ((!x2 + 4) ! (x2 ! 4x + 4)) "0

2

# dx = (!x2 + 4 ! x2 + 4x ! 4) "0

2

# dx =

(!2x2 + 4x) "0

2

# dx = calcolo int egrale = !2x

3

3+4x

2

2

$

%&

'

()0

+2

=

!16

3+8

2

*+,

-./! 0( ) = !

16

3+ 4 =

!16 + 243

=8

3 Area = 8/3 u2

Ix = 0

y = !(0)2 + 4 = +4

"#$

%x = 2

y = !(2)2 + 4 = 0

"#$

(f sopra) - (g sotto)

prima sommare…

3B)Areacompresafra2parabole

20

A

B

Iy = !x2 + 4

y = x2 ! 4x + 4" !x2 + 4 = x2 ! 4x + 4" 2x

2 ! 4x = 0...." x = 0 # x = 2

$%&

'& f

g2) Grafico: rappresento le parabole anche in modoapprossimato facendole passare per A e B.La funzione sopra è quella con concavità verso il basso!!!NB: i vertici sono Vf=(1;5) Vg=(2;0)