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Gobierno del Estado de Mxico Secretara de Educacin, Cultura y
Bienestar Social
Subsecretara de Educacin Media Superior y Superior SUBDIRECCIN
ACADMICA
Tecnolgico de Estudios Superiores del Oriente del Estado de
Mxico
APUNTES DE FSICA I INGENIERIA INDUSTRIAL (NUEVO PLAN) ELABORO:
ING. VICENTE MARTEL GUZMAN
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TEMARIO TEMAS PAGINA.-4 UNIDAD 1 CINEMATICA DE LA PARTICULA Y
DEL CUERPO RIGIDO. 1.1.-Sistema internacional de unidades.
1.1.1.-conversin de unidades 1.2.-Movimiento rectilneo.
1.2.1.-Desplazamiento, velocidad y aceleracin. 1.2.2.-Movimiento
uniforme y uniformemente acelerado. 1.2.3.-Movimiento relativo.
1.2.4.-Cada libre de los cuerpos. 1.3.-Movimiento curvilneo.
1.3.1.-Componentes rectangulares de la velocidad y la aceleracin.
1.3.2.-Movimiento de proyectiles. 1.3.3.-Componentes tangencial y
normal de la velocidad y la aceleracin. 1.3.4.-Movimiento circular
uniforme y no uniforme. 1.4.- Movimiento de cuerpo rgido.
1.4.1.-traslacin y rotacin. PAGINA.-30 UNIDAD 2 CINETICA DE LA
PARTICULA Y DEL CUERPO RIGIDO. 2.1.-Leyes de Newton.
2.1.1.-Enunciados y esquemas de visualizacin. 2.1.2.-Diagramas de
cuerpo libre. 2.2.-Resolucin de ecuaciones. 2.2.1.-Fuerzas
constantes. 2.2.2.-Fuerzas de resistencia y fuerzas de friccin.
2.3.-Aplicaciones a movimiento rectilneo. 2.4.-Aplicaciones a
movimiento curvilneo. 2.5.-Momento de una fuerza. 2.5.1.-Centro de
masa y momento de inercia de un cuerpo rgido. 2.5.2.-Movimiento de
rotacin de un cuerpo rgido. UNIDAD 3 TRABAJO, ENERGIA CINTICA Y
CONSERVACIN DE ENERGA. PAGINA.- 53 3.1.-Concepto de trabajo.
3.1.1.-Calculo del trabajo para diferentes fuerzas. 3.2.-Teorema
del trabajo y la energa. 3.2.1.-Concepto de energa cintica.
3.2.2.-Aplicaciones. 3.3.-Potencia. 3.4.-Fuerzas conservativas y no
conservativas. 3.4.1.-Concepto de energa potencial.
3.4.2.-Aplicaciones. 3.5.-Teorema de conservacin de la energa
mecnica. 3.5.1.-Demostracin del teorema. 3.5.2.-Aplicaciones.
3.6.-Oscilaciones Armnicas.
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UNIDAD 4 INTRODUCCION A LA ESTATICA DE LA PARTICULA Y DEL CUERPO
RGIDO. PAGINA.- 88 4.1.-Fuerzas en el plano y en el espacio.
4.2.-Equilibrio de una partcula. 4.3.- Momento de una fuerza.
4.3.1.-Respecto a un punto. 4.3.2.-Respecto a un eje.
4.3.3.-Momento de un par. Pares equivalentes. Suma de pares.
4.4.-Reacciones en apoyos y conexiones. 4.5.-Equilibrio de cuerpos
rgidos. INTRODUCCION ESTOS APUNTES DE FSICA SE REALIZO CON LA
FINALIDAD DE PROPORCIONAR A LOS ALUMNOS DEL PRIMER SEMESTRE DE
INGENIERIA UN APOYO , Y UN RECURSO AUXILIAR EN EL APRENDIZAJE DE
ESTA MATERIA. TAMBIEN SE PRETENDE PROPICIAR EL ESTUDIO
INDEPENDIENTE, DE TAL MANERA QUE CON EL AUXILIO DE ESTOS
APUNTES.
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UNIDAD 1 CINEMATICA DE LA PARTICULA Y DEL CUERPO RIGIDO.
1.1.-Sistema internacional de unidades. 1.1.1.-Conversin de
unidades. OBJETIVO.- El alumno aplicar las leyes que explican el
movimiento de los cuerpos utilizando los modelos de la partcula y
cuerpo rgido en la solucin de problemas de ingeniera. En este
sistema, que ser de uso universal cuando los Estados Unidos
completen su conversin actual, las unidades bsicas son las de
longitud de masa y tiempo, y se les llama, respectivamente,
metro(m), kilogramo(kg) y segundo(s), las tres estan definidas
arbitriamente, la unidad de fuerza es una unidad derivada y se
llama newton(N). Se define como la fuerza que comunica una
aceleracin de 1 m/s. PREFIJOS DEL SISTEMA INTERNACIONAL DE
UNIDADES. Tab. 1.1 Los mltiplos y submltiplos de las unidades
fundamentales del SI pueden obtenerse mediante el uso de los
prefijos definidos en la tabla anterior: 1 km= 1000m 1mm= 0.0001m
1Mg = 1000kg 1g= 0.001kg. 1kN = 1000N. 1min= 60s 1h=
60min=3600s
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1ft=0.3048m 1mi=1.609km 1in=25.4mm 1lb=4.448 N 1.2.-Movimiento
rectilneo. 1.2.1.-Desplazamiento, velocidad y aceleracin.
1.2.2.-Movimiento uniforme y uniformemente acelerado Para iniciar
el estudio de este tema, se requiere primero conocer el
comportamiento del movimiento dado. Este es exactamente el objetivo
de esta materia(CINEMATICA), trataremos simplemente de la
descripcin de los movimientos, sin preocuparnos de sus causas o de
los cambios observados en tales movimientos. As en la cinemtica
decimos que un automvil se estara moviendo por ejemplo a 60 Km, que
a partir de un instante dado, su velocidad se aumento a hasta 80
Km. Y que recorri cierta distancia en determinado tiempo, que trato
de describir una curva y patina etc., pero no nos preocuparemos por
saber la causa de cada uno de estos hechos. El estudio de las
causas de los cambio de un movimiento dado es objeto de la dinmica,
y constituye el tema propio de la mecnica. Cuando observamos el
movimiento de un objeto, notamos que es bastante complejo, y
encontraramos dificultades para describirlo detalladamente. Se hace
necesario entonces, hacer algunas simplificaciones que nos
facilitan este estudio. As prcticamente analizaremos y estudiaremos
solo el movimiento de un cuerpo como si fuera una partcula. Decimos
que un cuerpo es una partcula cuando sus dimensiones son muy
pequeas en comparacin con las dems. De esto se desprende que un
mismo cuerpo puede, en ciertas situaciones, tratarse como una
partcula, mientras en otras, esto no es posible. Por ejemplo si un
automvil de 3m de longitud se desplaza 15m, no podemos considerar
como una partcula, en dicho movimiento, pero, si el mismo automvil
viaja de una ciudad a otra que esta a unos 200 Km., la longitud del
automvil ser despreciable comparada con la distancia recorrida y se
podr tratar como, una partcula. Otro ejemplo: a pesar de que
normalmente consideramos a la tierra como un cuerpo de grandes
dimensiones, esta podr tratarse como una partcula cuando estamos
analizando el movimiento alrededor del sol, pues el tamao del radio
de la tierra es despreciable frente a la distancia que hay de la
tierra al sol. MOVIMIENTO UNIFORME RECTILNEO Este movimiento, en
donde la palabra uniforme significa que el valor de la velocidad se
mantiene invariable. Para aclarar las ideas, supongamos que un
automvil viaja por una carretera plana y recta y que su medidor
indica siempre una velocidad de 40 km/h, como sabemos esto
significa que en I hora el automvil recorrer 40 Km, en dos horas 80
Km. y en tres horas 120 Km., observe que tenemos: 40 km/1h = 80
km/2 h= 120 lm/ 3h = constante = 40 km/ h.
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con este ejemplo tratamos de mostrar que cuando un cuerpo se
desplaza con movimiento uniforme, el cociente entre la distancia d
que dicho cuerpo recorre, y el tiempo t empleado para ello, es
constante, y el valor de esta constante representa la velocidad del
cuerpo, o en otros trminos, la distancia recorrer es proporcional
al tiempo empleado, entonces podemos escribir: v = d / t as, en el
movimiento de velocidad constante, para encontrar la distancia
recorrida por el mvil, basta multiplicar el valor de su velocidad
por el tiempo durante el cual se mueve. Hace mucho tiempo sabemos
que un automvil a 75 km/h, en 3 horas recorre una distancia de 225
km/h. Es importante observar que la formula d = v t puede emplearse
tambin para calcular d cuando la trayectoria es curva. Aprovechemos
ahora la oportunidad para aplicar esta formula, construyamos una
grafica velocidad x tiempo. Para una partcula que se mueve a
velocidad constante v, el grafico v x t tendra la forma que aparece
en la siguiente figura: Busquemos la informacin posible: en el
instante inicial t = 0, esto es, cuando comenzamos a contar el
tiempo( comienzo de la observacin del movimiento), el automvil
posea ya una velocidad v. A medida que tiempo pasa, el grafico
indica que la velocidad continua con el valor v, esto es, el cuerpo
esta movimiento uniforme. Pasado un tiempo t de movimiento, observe
que este producto corresponde al rea que se haya bajo el
grafico(rea sombreada), entonces, en un movimiento de velocidad
constante , podemos calcular d, a travs de la formula d = v t o
sea, determinando el rea que queda bajo el grafico, podr utilizarse
aun cuando el movimiento no sea uniforme.
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Ejemplo: Un automvil se mueve por una carretera de tal modo que
el grafico o grafica v x t es como la que se muestra a continuacin:
Pag.42 a.- describa el movimiento del automvil. Segn la grafica, el
movimiento se observo durante un tiempo total de 4 h, cuando se
inicio la medicion del tiempo( t = 0), el automvil ya estaba en
movimiento, a una velocidad de 10 km/h. Mantuvo esta velocidad
durante 1 hora, en el instante t = 1 hora , el automvil apret el
acelerador y aumento la velocidad bruscamente a 30 km/h , en
realidad no es posible un cambio instantneo en la velocidad , como
aqu se supone. Sin embargo si el cambio se hizo muy rpidamente, la
situacin real difiere muy poco de lo que aparece en la grafica y no
seria necesario tener en cuenta tal diferencia. A partir de este
instante, la grafica indica que el automvil mantiene su velocidad
de 30 km/h durante 2 horas, esto es, hasta el instante t = 3 h. En
este instante, el automovilista uso el freno y la velocidad
disminuyo rpidamente a 20 km/h, mantenindose esta velocidad durante
1 h ( hasta el instante t = 4 h). b.-cul fue la distancia recorrida
por el automvil durante el tiempo de observacin? Es evidente que el
automvil durante dicho movimiento no es uniforme, pues el valor de
su velocidad experimenta variaciones durante el recorrido. Por lo
tanto la formula d = vt no podra usarse para calcular d. Sin
embargo, es evidente que el movimiento puede dividirse en partes
que no variaron en velocidad, en cada una de las cuales se aplica
la ecuacin d =vt, asi donde t=0 hasta t=1 h, en que la velocidad se
mantuvo constante e igual a 10 km/h, tendramos una distancia
recorrida d1, dada por: d1= 10 km/h x 1 h luego d1= 10 km
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De modo anlogo, encontraremos las distancias d2, recorrida entre
t= 1h y t=3h y la distancia d3, recorrida entre t= 3h y t= 4 h: d2=
30km/h x 2h luego d2 = 60 km d3= 20km/h x 1 h luego d3= 20 km cada
una de estas distancias recorridas corresponde a cierta area que se
halla bajo la grafica v x t como puede verse en la grafica. La
distancia total buscada sera dada por: d = d10+ d2 0+d3 o d= 90 km.
Hasta ahora solo hemos considerado la grafica v x t. otra grafica
importante es d x .t en el movimiento uniforme, la ecuacin d = v t,
donde v= constante, indica que d t ( la ecuacin es del tipo Y = a
X), esto es , la distancia recorrida por un cuerpo que esta en
movimiento uniforme es directamente proporcional al tiempo del
movimiento. Entonces la grafica d x t, para el movimiento uniforme
es una recta que pasa por el origen, como se muestra en la figura:
Fig.iv-9 En el instante inicial tenemos d=0, y a medida que pasa el
tiempo, la distancia recorrida d, aumenta proporcionalmente a t.
hasta el instante t1, el cuerpo haba recorrido la distancia d1, y
hasta el instante t2, la distancia d2, mayor que d1. Dado que el
valor de v representa la constante de proporcionalidad entre d y t,
concluimos que la pendiente del grafico d x t ser igual al valor de
la velocidad del cuerpo, entonces, considerando los puntos A y B de
la figura anterior podemos escribir: V= d/ t v= d2-d1/t2-t1
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donde el d es la distancia recorrida durante el intervalo de
tiempo t. VELOCIDAD INSTANTNEA Y VELOCIDAD MEDIA. Supongamos que el
movimiento es variado de un automvil, que la aguja cambia
constantemente de posicin , indicando as una velocidad diferente en
cada instante. El valor de la velocidad del automvil , en un
instante dado, se denomina velocidad instantnea. Indicaremos la
manera de determinar matemticamente el valor de la velocidad en
determinado tiempo. Para esto, consideremos que un automvil pasa
por el punto A (ver la siguiente figura) Fig.iv-13 en el instante
t, a una velocidad instantnea v (lectura instantanea del medidor de
velocidad). Si dejamos correr un intervalo de tiempo t no muy
pequeo, el vehculo se desplazara hacia B, recorriendo una distancia
d. Si calculamos el cociente d/t , verificaremos que este valor no
coincide, en general con el valor de la velocidad instantnea. Por
lo tanto el cociente d/t nos da la velocidad instantnea slo cuando
el movimiento es uniforme. Ahora bien, supongase que, a partir del
punto a, dejmos transcurrir un intervalo de tiempo t, menor que el
de la vez anterior, verificaramos que con un valor menor t, el
cociente d/t estara ms prximo al valor de v. Considerando t cada
vez menor, d/t se aproximaran cada vez ms a v, y concluimos: si
vara el movimiento, podemos escribir que la velocidad instantnea es
dada por v= d/t con la restriccin de que t debe ser lo menor
posible (t debe tender a cero). Estas consideraciones se indican
matemticamente, de la siguiente manera: v = lim d/t v= dr/dt
v=ds/dt 0
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Cuando el movimiento es uniforme, la grafica d x t es rectilneo.
En caso contrario el grafico d x t es curvo y su aspecto puede ser
el mismo de la figura siguiente: iv-14 En la cual se representa la
distancia de un automvil al comienzo de la carretera, en funcin del
tiempo. De aqu se desprende que la distancia d vara con el tiempo y
que la velocidad no es constante puesto que la grafica no es
rectilnea. El valor de d alcanza su mximo y luego disminuye lo que
significa que el vehculo se detiene y despus vuelve. Nuestro
automvil no mantiene constante su velocidad y tiene un movimiento
variado. Si quisiramos saber el valor de su velocidad en un
instante dado T, podramos obtenerlo grficamente del siguiente modo(
ver la figura anterior), localizaramos el punto en la grafica
correspondiente al instante pedido(punto P en la figura); luego
trazaramos la tangente en la grafica en P; al escoger dos puntos
cualesquiera C y D sobre la tangente, calcularamos la pendiente de
esta tangente, esto es, obtendramos el cociente DE/CE( fig.
anterior), pues bien el valor obtenido para la pendiente de la
tangente sera el valor de la velocidad del vehculo en el instante
T. tenemos pues el un mtodo grfico para determinar la velocidad
instantnea de un cuerpo cuando establecemos la grafica d x t. V=
pendiente de la tangente en la grafica d x t. VELOCIDAD MEDIA
Siendo d la distancia recorrida por el cuerpo, en un movimiento
cualquiera, durante un tiempo t su velocidad media Vm, ser: Vm =
d/t Si suponemos que se ha hecho un viaje de 560km en 8h, la
velocidad media, en este viaje sera:
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Vm= d/t = 560km/8h= 70 km/h Podramos decir que: desarrollamos un
promedio de 70km/h, esto significa que durante el recorrido,
algunas veces se viajo a 70km/h, otras a una velocidad inferior a
70km/h. Ejemplo El vehculo se mueve en lnea recta de tal modo que
durante un breve tiempo su velocidad est definida por v =( 9t +
2t)ft/s, estando t en segundos. Calcule su posicin y aceleracin
cuando t= 3s. cuando t=0, s=0. pag 8
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Ejemplo: Un automvil recorre una distancia de 120 km y
desarrolla en los primeros 60 km, una velocidad constante de 40km/h
y, en los 60km/h, cul fue la velocidad promedio en el recorrido
total? La distancia total recorrida fue de d=120km, necesitamos
calcular el tiempo total del viaje. En la primera parte del
recorrido, se gasto un tiempo t1 de : T1= d1/v1 = 60km/40 km/h =
1.5 h. El teimpo gastado en la segunda parte fue: T2= d2/v2= 60km/
60km/h = 1 h De esta manera, el tiempo total del viaje fue: t = t1
+ t2 = 1.5h + 1 h = 2.5h la velocidad media del vehculo en el
recorrido total fue entonces: v = d/t = 120km/2.5h = 48 km/h.
MOVIMIENTO RECTILINEO UNIFORMEMENTE VARIADO. Hasta ahora hemos
encontrado, dos magnitudes relacionadas con el movimiento v y d,
muy importantes, ahora vamos a analizar la ACELERACIN, Siempre que
ocurre una variacin en la velocidad, decimos que el movimiento
presenta aceleracin . por lo tanto el concepto de aceleracin se
relaciona con los cambios de velocidad. Si un automvil se esta
desplazando en lnea recta y en movimiento uniforme, su velocidad no
esta variando y no presenta aceleracin. Consideremos por un
momento, que el movimiento es rectilneo, como se observa en la
siguiente figura:
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iv-17 En la figura anterior se representa la velocidad v1 del
cuerpo, en el instante t1 y despus de un intervalo de tiempo t, en
el instante t2, verificamos que la velocidad pas a un valor v2
diferente de v1. por lo tanto, el cuerpo ostenta una aceleracin
pues su velocidad sufri una variacin v= v2 v1, el valor de la
aceleracin del movimiento se define: a= v/t o a = v2 v1/ t2 t1 esto
es, la aceleracin es el cociente entre la variacin de la velocidad
y el tiempo empleado en experimentar esta variacin . luego la
aceleracin es una medida de rapidez con que la velocidad esta
variando: cuando decimos que un automvil tiene una gran aceleracin
, se quiere decir que su velocidad vara mucho en un intervalo de
tiempo corto. Supongamos que la figura anterior tuviramos v1 =
10m/s y v2 = 70 m/s. teniendo en cuenta que t=12s, la aceleracin
habra sido: a= v/t = 70 m/s - 10 m/s / 12s = 60 m/s/s este
resultado indica que en cada 1s, la velocidad del cuerpo aumenta
5m/s. generalmente estas unidades se expresan as:
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a= 5 m/s/s = 5 m/ s an si en la figura anterior el valor de v2
fuera menor que el de v1, tendramos que v
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La pendiente de esta grfica es v / t y representa, por lo tanto,
el valor de la aceleracin(constante) del movimiento. Como durante
el intervalo de tiempo t, la velocidad vari en v = V - Vo,
tendremos: a = V Vo/ t despejando tendremos : V = Vo + at con esta
formula nos permite calcular el valor de la velocidad v que el
cuerpo tendr en cualquier instante t, es la suma Vo con el producto
at, representado este producto el aumento que la velocidad
experimento durante el tiempo t. Hasta el instante t, el vehculo
habr recorrido una distancia d que podr determinarse si calculamos
el rea bajo el grfico de la figura anterior, tendremos : d = Vot +
at esta es en consecuencia la ecuacin que nos permite clacular la
aceleracin del movimiento es constante: v = Vo + at y d= Vot + at
son relaciones entre la velocidad y el tiempo y entre la distancia
y el tiempo o, como se dice generalmente ellas nos dan v y d en
funcin de t . Podemos obtener una relacin entre v y d ( que no
contenga t). til en muchos casos, si sacamos el valor t=( v-vo)/ a
en la primera ecuacin y lo sustituimos en la segunda. Efectuando
los clculos algebraicos, obtenemos: v = vo + 2 ad. Esta formula nos
permite calcular cul ser la velocidad y del cuerpo despus de haber
recorrido una distancia d, en movimiento uniformemente variado, sin
que se conozca el tiempo t transcurrido. En otras palabras, ella
nps da v en funcin de d. Si el cuerpo partiera de reposo, esto es,
si en el instante t=0 tuvieramos vo=0, las ecuaciones se
simplificaran hacindose: v= at d= at y v= 2 ad. Ejemplo: Un
automovilista fren en el instante en que llevaba una velocidad de
20m/s y observ que en 5 s, bajo a 10 m/s. suponiendo constante la
aceleracin producida por la frenada: a.-cul fue la aceleracin del
automvil?
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A= v/t= 10m/s 20m/s/5s=-2m/s b.-Cul era la velocidad del vehculo
3 s despus que el automovilista fren? Como la aceleracin del
vehculo es constante, tendremos: v= vo + at = 20m/s 2 m/s x 3s = 14
m/s c.-Cul sera la velocidad del vehculo despus de recorrer una
distancia d= 64 m, contada desde el instante en que el
automovilista aplic el freno? Se debe usar la relacin entre v y d,
ya que no se dio el tiempo transcurrido. Entonces: v = vo + 2 ad =
(20 m/s) - 2x(2 m/s) X 64m = 144 m/ s luego : v= 12m/s d.- cunto
tiempo habr transcurrido desde el comienzo de la frenada, hasta que
el vehculo par? La ecuacin v= vo + at nos dar este tiempo si
hacemos v=0. as 0 = 20m/s 2 m/s x t donde3 t= 10s e.- cual es la
distancia que recorrer el vehculo desde t=0 hasta parar? d = vot +
at = 20 m/s x 10s 1/2x 2 m/sx 10s = 100m
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CAIDA LIBRE Cuando soltamos una piedra desde cierta altura,
observamos que cae con velocidad creciente, esto es, que su
movimiento es acelerado ( ver figura siguiente). iv-20
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Pero si lanzamos la misma piedra hacia arriba, su velocidad va
disminuyendo hasta perderse en el punto ms alto o sea, que el
movimiento de subida es retardado. La cada de los cuerpos llam la
atencin de los antiguos filsofos quienes intentaron descubrir las
caractersticas de este este movimiento. El gran filsofo Aristteles
aproximadamente hace 300 aos a.d.c. estableci que al dejar caer
simultneamente dos cuerpos de diferente peso desde la misma altura,
el ms pesado llegara primero al suelo, esto es, que tendra mayor
velocidad durante su cada, en virtud de la enorme influencia del
pensamiento aristotlico durante la edad media , esta enseanza
perdur durante casi dos mil aos como un principio bsico de la
naturaleza. Refutaciones de peso en el campo de la fsica y la
astronoma, solamente surgieron con GalileoGalilei quien, a pesar de
que el principio fue orientado por su padre hacia el estudio de la
medicina, termin por convertirse en uno de los mayores fsicos de su
poca y el precursor de la gran evolucin de la evolucin de la fsica,
a partir del siglo XVII. Galileo lleg a la conclusin de que un
cuerpo pesado y el cuerpo liviano, deben de hacer iguales y llegar
al suelo simultneamente al dejarlos caer desde una misma altura.
Ejemplo una persona lanza una pelota hacia y la recoge cuando
vuelve al punto de partida. cunto tiempo estuvo la pelota en el
aire, sabiendo que alcanzo una altura de 20m. La solucin de este y
otros problemas semejantes se simplifica grandemente si observamos
que la pelota demora para subir el mismo tiempo que demora para
descender. Esto ocurre porque la aceleracin tiene el mismo valor en
la subida que en descenso y, en ambos casos, la velocidad es nula
en el punto mas alto. El movimiento de descenso es exactamente al
opuesto al de subida con la pelota que recupera la velocidad prdida
en la subida( despus al volver al punto de partida, ella tendr la
misma velocidad con que fue lanzada). Entonces, razonando slo con
el movimiento de descenso, tenemos vo= 0(la pelota parte del
reposo, pues su velocidad se anula en el punto mas alto) y la
distancia d= 20m de cada ser dada por : d = g t donde t es el
tiempo gastado en el descenso. As t = 2d/g = 2 x 20m/9.8 m/ s = 2s
el tiempo t es el tiempo estuvo la pelota en el aire fue de 2 x 2s=
4s.
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VECTOR VELOCIDAD Y VECTOR ACELERACIN Al estudiar los movimientos
curvilneos no podemos olvidar que la velocidad y la aceleracin son
magnitudes vectoriales y por ello analizaremos los vectores v y a.
Supongamos que una partcula describa una trayectoria curvilnea,
como se muestra en la figura siguiente: iv-27 Sabemos calcular el
mdulo de la velocidad de la partcula, que es dado por : v= lm d/t
t0 donde d es la distancia recorrida, a lo largo de la curva, en el
tiempo t. Para definir el vector v, es preciso indicar su direccin
y sentido. La direccin de v es tangente a la trayectoria en cada
punto de sta y su sentido es aqul en que la partcula se est
moviendo. Por lo tanto, conociendo el vector v en un instante dado
se conoce el valor de la velocidad instantnea, la direccin
instantnea del movimiento(tangente de trayectoria) y el sentido del
movimiento
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en ese instante. En la fig.anterior el vector v fue trazado en
varios puntos de la trayectoria . En la figura siguiente: iv-28
Representa una partcula que describe una curva y el mdulo de su
velocidad permanece constante. Imaginese un automvil que da una
curva y cuyo medidor de velocidad permanece invariable. Al variar
la direccin de la velocidad hay una aceleracin caracterstica as
como hay una aceleracin caracterstica cuando vara el mdulo de la
velocidad. En este orden de ideas podemos afirma que el movimiento
de la figura anterior es acelerado. Se define por la variacin de la
direccin del vector v, como aceleracin centrpeta, ac, porque ella
est siempre dirigida hacia el centro de la curva( centrpeta
significa que apunta hacia el centro). El vector ac es siempre
perpendicular al vector v y generalmente tambin se llama aceleracin
normal an(normal a la trayectoria). En la figura anterior se
representa a el vector ac en el instante en que la partcula pasa
por la posicin mostrada. Por lo tanto, siempre que vara la direccin
de la velocidad(trayectoria curva), habr una aceleracin centrpeta
de la partcula. En la figura siguiente:
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iv-29 Suponemos que el automvil entra en una curva con una
velocidad cuyo mdulo est creciendo y por lo tanto se originar una
aceleracin centrpeta ac, fuera de la aceleracin total del cuerpo
ser la resultante de aT y ac. Esto es: a = aT + ac obsrvese el
vector a en la figura, en conclusin tenemos: 1.- ac estar presente
siempre que vare la direccin del vector v. 2.-aT estar presente
siempre que vare el mdulo del vector v. Si un cuerpo se desplaza en
movimiento rectilneo uniforme, no tendr aceleracin centrpeta,
porque la direccin de la velocidad no vara , ni tampoco tendr
aceleracin tangencial, puesto que tampoco lo cambia el valor de la
velocidad, entonces en el movimiento rectilneo uniforme, la
aceleracin total es nula, no posee ningn tipo de aceleracin.
MOVIMIENTO CIRCULAR UNIFORME. Cuando una partcula describe una
trayectoria circular como la piedra que gira en la punta de una
cuerda, se dice que est en movimiento circular como se muestra en
la siguiente figura:
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iv-30 Si adems de esto, el mdulo de la velocidad de la partcula
permanece constante, el movimiento es circular uniforme. Conforme
se vio en el tema anterior a pesar de que el mdulo de la velocidad
no est variando, dicho movimiento presenta una aceleracin
centrpeta, pues la direccin de v esta variando continuamente, como
se observa en la figura anterior, solamente ser nula la aceleracin
tangencial de la partcula, pues el mdulo de la velocidad no vara.
Al describir su movimiento, la partcula gasta un tiempo T para
completar la vuelta, este tiempo T se llama perodo del movimiento.
Durante un perodo el espacio recorrido por la partcula es la
longitud de la circunferencia o se 2R, donde R es el radio de la
trayectoria. Por lo tanto, como el movimiento es uniforme, el valor
de la velocidad estar dado por : V = 2R/T En la figura siguiente:
Iv31
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Se muestra la partcula en un instante dado t1 y en el instante
t2 posterior. Se observa que durante el intervalo de tiempo t = t2
t1 la recta que va de la partcula al centro de la circunferencia
describe un ngulo o como se dice el radio R que acompaa a la
partcula en movimiento barre un cierto ngulo . Se define la
velocidad angular de la partcula, en su movimiento de rotacin,
siendo: = / t esto es es el cociente entre el ngulo descrito y el
intervalo de tiempo gastado es describir y el intervalo de
velocidad angular es muy semejante a la de la velocidad comn v, si
se considera slo el ngulo descrito en vez de la distancia
recorrida. Para que no surja confusin entre v y la velocidad v se
llama velocidad lineal. En la rotacin es ms acertado estudiar el
movimiento empleando la velocidad angular en vez de la velocidad
lineal de la partcula . analizando la figura siguiente: Iv32 Se
puede entender esta afirmacin, en esta figura se muestra un cuerpo
extenso que gira alrededor de un eje que pasa por 0, considerando
los dos puntos A y B del cuerpo, notamos que mientras gira, esos
puntos recorren distancias diferentes en el mismo tiempo, por lo
tanto las velocidades lineales de A y B son diferentes ( vB >
vA). Sin embargo, ambos describen el mismo angulo en el mismo
tiempo y por lo tanto, ambos tienen una misma velocidad angular (A
= B), en esta forma, la velocidad angular de un cuerpo extenso en
rotacin, es la misma para todos los puntos del cuerpo, en tanto que
las velocidades lineales de los puntos msa
-
24
apartados del eje de rotacin son mayores que las de los puntos
ms prximos al eje. De esta manera es preferible describir la
rotacin en trminos de y no en trminos de v. Segn la difinicin ,
deducimos que se trata de una medida de la velocidad de rotacin del
cuerpo. Si la velocidad angular es grande, la partcula debe
describir un ngulo grande en un intervalo de tiempo reducido;
entonces la partcula est girando rpidamente. En cuanto a la unidad
de , los ngulos pueden medirse en grados o en radianes como debi
observarlo en cursos anteriores, entonces la velocidad angular se
miden en grado/s, o rad/s. decir que una partcula est girando con
una velocidad angular = 1 rad/s, quiere decir que ella describe un
angulo de 57.3 en cada segundo. Si esperamos a que la partcula
completara una vuelta, el, ngulo descrito sera = 2rad y el tiempo
transcurrido sera igual al perodo del movimiento; esto es, t=T, asi
que la velocidad angular = /t, ser derivada de : = 2/T como la
velocidad lineal viene de : v= 2R/T = 2R/T concluimos que: v= R
observamos que esta formula slo es vlida si los ngulos han sido
medidos en radianes. Esta ecuacin establece una relacin entre v, y
el radio R de la trayectoria y nos demuestre que la figura
anterior, el valor de v ser tanto mayor cuanto mayor fuera R, esto
es, cuando ms alejada del eje de rotacin estuviera la partcula.
Podemos decir que la aceleracin de una partcula que gira alrededor
de un punto como se observa en la siguiente figura
-
25
Iv33 El movimiento uniforme de la partcula no posee aceleracin
tangencial, pues el mdulo de la velocidad no vara, sin embargo como
la direccin del vector v vara continuamente, la partcula posee una
aceleracin centrpeta ac, en la figura anterior se indica que los
vectores v y ac en cuatro posiciones diferentes de la
partcula(observe que ac apunta siempre hacia el centro de la
circunferencia ), podemos decir que el valor de ac en el movimiento
circular es dado por : ac = v/R entonces, tenemos ac v y ac 1/R.
Ejemplo. Una persona est situada en el ecuador terrestre; al
considerar el movimiento de rotacin de la tierra esa persona estar
en movimiento circular alrededor del centro de la tierra( ver
figura siguiente) Iv34
-
26
a.-cul es la velocidad angular de la persona? Ella da una vuelta
comp.`leta alrededor del eje de la tierra 24 h es decir que el
perodo de rotacin es T = 24 h, luego: = 2 / T = 2rad/24h = rad/12h
esta sera la velocidad angular en cualquier punto de la tierra,
pues todos giran en un ngulo de 2rad en 24h . b.- cul es el valor
de la velocidad lineal de la persona en el ecuador?. La longitud
del ecuador de la tierra es de 40000 km., por lo tanto, la persona
recorre esta distancia en 24 hr.entonces: V= 40000/24h= 1.66 x 10
km/h. El valor v podra tambin encontrarse a partir de v= R =
rad/12hx6.37x10=1.66 x 10 km/h. c.-cul es el valor de la aceleracin
centrpeta de la persona en el ecuador? El valor de ac, ser ac= v/R,
conviene expresar v en m/s y R en m, para que la respuesta se de en
m/s, tenemos: V= 1.66 x 10 km/h= 463m/s R=6.37 x 10km= 6.37 x
10x10m. As: ac = v/ R = (463m/s)/6.37x 10x10 de donde ac= 0.034
m/s. a pesar del valor de v, resulta un valor pequeo para ac, por
cuanto el radio de trayectoria es muy grande ( radio de la tierra).
COMPOSICIN DE VELOCIDADES Cuando un avin vuela a 500lm/h y no hay
aire, esa ser la velocidad del avin, un observador en la tierra
medira exactamente dicha velocidad. Pero si comienza a soplar
viento a cierta velocidad la situacin se modifica. En este caso, el
avin tendra dos movimientos simultaneos: el que en relacin con el
aire, le proporcionan sus motores y otro debido al movimiento del
propio aire que impulsa al avin. Situaciones como esta, que denotan
simultneamente dos o mas velocidades en relacin con el observador,
se presentan
-
27
frecuentemente. Imagnese ahora un barco arrastrado por la
corriente de un ro o a una persona que camina en un autobs que est
en movimiento. Ambos casos son semejantes al del avin en
movimiento. La pregunta bsica en situaciones como stas es la
siguiente: para el observador cul es la velocidad con que se mueve
el cuerpo que recibe varias velocidades? teniendo en cuenta que la
velocidad es una magnitud vectorial, para el observador sera
correcto pensar que el cuerpo se mueve con una velocidad igual a la
resultante de las diversas velocidades que lo impulsan. Por lo
tanto, para hallar la velocidad del avin en relacin a la tierra,
basta sumar vectorialmente la velocidad del avin en el aire con la
velocidad del aire con relacin a la tierra. Esta composicin de
velocidades podr hacerse usando cualquiera de los mtodos ya
estudiados. Para hacer un anlisis ms detallado, consideremos el
caso del barco que se mueve en un ro con una velocidad vB. Para una
persona que estuviera en la orilla, esta sera la velocidad con que
el barco se mueve en la orilla, esta sera la velocidad con que el
barco se mueve si no hubiese corriente o en otras palabras, la
velocidad del barco con relacin al agua, si vc es la velocidad de
la corriente, la velocidad del barco con relacin a la tierra sera
en cualquier caso. Suma vectorial V = VB + Vc En esta forma, si el
barco est en posicin perpendicular a la orilla y va cruzar el ro,
seguira la trayectoria mostrada en la figura siguiente : Iv35 Y el
valor de su velocidad ser: V = vB + vc Si el barco estuviera
navegando ro abajo su velocidad seria :
-
28
V = vB + vc Es decir que sumando el valor de la velocidad del
barco con el de la velocidad de la corriente llegara a su destino
ms pronto que si no hubiera habido corriente.( ver figura
siguiente). Iv36 Si el barco estuviera navegando ro arriba( ver la
siguiente figura). Iv36b
-
29
Tendremos v = VB - Vc que en este caso la velocidad del barco
estara reducida por la corriente y el barco demorara ms tiempo para
subir que para bajar. Ejemplo Suponga que la figura siguiente: Iv35
La velocidad del barco sea vB = 4m/s y que la velocidad de la
corriente sea vc= 2 m/s,suponiendo que el ro tenga un ancho de
L=100m: a.-cunto tiempo gastar el barco para atravesar el ro? El
tiempo de la travesa estara determinado slo por vB, no habiendo
influencia de vc, entonces: T= L/vB = 100m/4m/s= 25s Si no hubiese
corriente, el barco demorara tambin 25s para atravesar el ro.
b.-cul es la distancia, rio abajo, que recorrer el barco arrastrado
por la corriente? El movimiento ro abajo no es efectuado por vB,
sino que se determina por vc, como el barco se mueve durante 25s,
ser arratstrado por el ro durante este tiempo con una velocidad de
vc=2m/s, entonces la distancia pedida ser: d = vct= 2m/s x 25s = 50
m. ejercicios
-
30
UNIDAD 2 CINETICA DE LA PARTICULA Y DEL CUERPO RIGIDO.
2.1.-Leyes de Newton. 2.1.1.-Enunciados y esquemas de visualizacin.
OBJETIVO.- El alumno aplicara las leyes de Newton en la solucin de
problemas de ingeniera. Aproximadamente hace tres siglos, Isaac
Newton, basado en sus propias observaciones y las de otros formul
tres principios que son fundamentales en las soluciones a las
preguntas, de cmo se produce un movimiento que parmetros
intervienen en el movimiento, y en la solucin de otros problemas
relacionados con los movimientos que se llaman leyes del
Movimiento, estas fuern establecidas de idealizaciones y
abstracciones propias de los procesos cientficos en la descripcin
de la naturaleza, estas son las leyes de Newton: PRIMERA LEY DE
NEWTON, CONCEPTO DE FUERZA. La primera de ley de Newton establece:
En ausencia de una fuerza, un cuerpo en reposos permanece en reposo
y un cuerpo en movimiento contina movindose en lnea recta y una
velocidad constante. Se nota perfectamente, en este enunciado, la
presencia de una palabra importante: fuerza. Todos nosotros tenemos
una idea del significado de fuerza. Si, con nuestro esfuerza
muscular, empujamos o arrastramos un objeto, le estamos comunicando
una fuerza; un resorte en el cual colgamos un objeto, ejerce una
fuerza sobre ste, el aire comprimido en un neumtico ejerce fuerza
sobre el tren, etc. la unidad escogida convencionalmente entre los
fsicos es el peso de un cuerpo patrn denominado kilogramo,
considerado en un lugar a 45 de latitud y al nivel de mar. La
restriccin exigida para el lugar es necesaria porque el peso de un
cuerpo vara ligeramente con la altura y latitud de los lugares
considerados, esta unidad se llama kilogramo- fuerza y su smbolo es
kgf. Tambin se usa, en la medicin de fuerza, una unidad denominada
newton, nombre dado en homenaje a Newton. 1 kgf = 9.8 N. VECTOR
FUERZA-EQUILIBRIO DE UNA PARTICULA. Si alguien le dice que ejerci
una fuerza sobre un cuerpo y slo la da el valor o modulo de la
fuerza, no alcanzar a saber todo sobre la fuerza ejercida, para una
especificacin completa de una fuerza dada, estas tres
caractersticas son inherentes al concepto de fuerza. As, la fuerza
ejercida sobre un cuerpo podr representarse por un vector como se
muestra en la siguiente figura:
-
31
Fig.v-7 Por lo pronto, para que las fuerzas puedan ser
consideradas como magnitudes vectoriales es necesario verificar si
ellas se suman del mismo modo que los desplazamientos, es decir si
obedecen las reglas de suma de vectores. La experiencia muestra que
esto es verdadero pues, como lo muestra la siguiente figura: V8 Si
dos fuerzas F1 y F2 estuvieron actuando sobre una aprticula se
puede concluir que tales fuerzas pueden sustituirse por una fuerza
nica la resultante R, que se obtiene precisamente por la regla del
paralelogramo, en otras palabras, la experiencia demuestra que la
fuerza R de la figura anterior ,al actuar sola es equivalente a las
fuerzas F1 y F2 cuando actan en conjunto, ellas podrn reemplazarse
por su resultante, que se sacar mediante la suma vectorial
siguiente: R = F1 + F2 +F3+..o R = F Una fuerza R, al actuar sola,
produce en la partcula el mismo efecto y la misma modificacin en su
movimiento igual a la del sistema de fuerzas que est representado,
si ocurre que la resultante R es nula, es decir no existe fuerza
alguna que acte sobre la partcula(1. Ley de newton),la que est
en
-
32
reposo continuar en ese estado, y la que est en movimiento
continuar su movimiento rectilneo uniforme. Cuando una partcula est
en reposo o en movimiento rectilneo uniforme decimos que est en
equilibrio. Entonces es evidente que si queremos tener una partcula
en equilibrio, como se muestra en la siguiente figura: V9 Debemos
hacer que la resultante de las fuerzas que actuan sobre la partcula
sea nula. Esto es una consecuencia directa de la 1. Ley de Newton ,
analticamente, esta condicin de equilibrio se expresa de la manera
siguiente: R=0 F=0 Consideremos un sistema de fuerzas en dos
dimensiones, como el que se muestra en la figura anterior y
trazando los ejes Ox y Oy , sabemos que la componente de la
resultante en la direccin Ox y Rx, ser dada por la suma algebraica
de las proyecciones de los vectores sumados sobre este eje ser: Rx
= F1x + F2x + F3x +.. Rx = Fx Del mismo modo tendremos para Ry Ry =
F1y + F2y + F3y +.. Ry = Fy
-
33
Si queremos tener la condicion en que una partcula est en
equilibrio, como R=0, deberemos tener Rx=0 y Ry=0, entonces, la
condicin de equilibrio de la partcula puede expresarse por las
relaciones: Fx=0 y Fy=0 recprocamente, si tenemos una partcula en
equilibrio podemos afirma que las fuerzas actuantes tienen tales
valores y direcciones que R=0, o que se han cumplido las dos
ecuaciones dadas, este hecho nos permite disponer de dos ecuaciones
para las fuerzas que actan sobre la partcula y dterminar las dos
incgnitas del problema. Ejemplo 1 El bloque de la figura siguiente
V10 Pesa 50 kgf y est sujeto al punto O, unido a las cuerdas
oA(atada a la pared) y OB(atada al techo). Determinar las tensiones
de las cuerdas OA y OB sabiendo que el conjunto est en equilibrio.
Cuando una cuerda o un cabo est estirado por la accin de esfuerzos
aplicados en sus extremidades ,decimos que est en tensin o
compresin, el valor de la tensin en la cuerda representa el valor
de la fuerza que la estira o del esfuerzo que hace para sostener
algn peso, en la anterior la cuerda OA tira del punto O hacia la
izquierda y esta fuerza se representa por una tensin T en dicha
figura, en esta misma figura mostramos la tensin T ejercida por OB
sobre O, por otra parte, acta en O el peso de 50kgf hacia abajo,
como la partcula O est en equilibrio concluimos que la resultante
de las fuerzas que actan sobre ella es nula o si consideramos los
ejes Ox y Oy sabemos que: Fx =0 Fy =0
-
34
descomponiendo las fuerzas sobre Ox y Oy, obtenemos las dos
ecuaciones siguientes Fx =0 T2cos30 T1 = 0 Fy =0 T2 seno30-50kgf=0
es muy interesante que observemos que la primera ecuacin nos
muestra que la fuerza T1 tira el punto O hacia la izquierda, pero
es equilibrada por la componente de T2 en direccin Ox(T2 cos30), la
segunda ecuacin nos muestra que es la componente T2 seno30 la que
est equilibrando al peso del cuerpo suspendido. Al resolver el
sistema de ecuaciones encontramos que: T1= 86.6 kgf. Y T2= 100kgf.
Ejemplo 2 En la figura siguiente:
-
35
Un cuerpo cuyo p4eso es 10 kgf est sujeto al eje de una polea
mvil(el eje es mvil), esto es , puede subir o bajar libremente),la
otra polea es fija(el eje esta fijo en el techo)cul es el valor de
la fuerza Fque debemos ejercer para sostener el peso en
equilibrio?. Podemos verificar experimentalmente que para
equilibrar el peso de un objeto con una polea fija, deber ejercer,
en la cuerda que pasa por la polea, una fuerza igual al peso del
objeto, generalmente una polea fija no altera el avlor de la fuerza
aplicada y slo modifica su direccin o su sentido, entonces, la
fuerza que acta en el hilo AB tiene el mismo valor de la fuerza
aplicada por la mano de la persona, as, en la polea mvil tenemos
dos fuerzas que equilibran el peso suspendido: las tensiones en los
hilos AB y CD, estando ste sujeto al techo. Por simetra, estas
fuerzas deben tener el mismo valor F y para que exista equilibrio
debemos tener: 2F = 100kgf de donde F = 50 kgf. TERCERA LEY DE
NEWTON Siempre que aparece una fuerza hay una interacin de dos
cuerpos y la fuerza es solamente un aspecto de dicha interaccin, si
observamos que cuando un cuerpo ejerce una fuerza sobre otro el
segundo ejerce sobre el primero una fuerza que tiene la misma
direccin, el mismo mdulo y sentido contrario a la primera, es
imposible, por consiguiente, la existencia de una fuerza nica,
aislada, las dos fuerzas que aparecen en cada interacin de dos
cuerpos se llama accin y reaccin, pero no debe suponer que exista
una diferencia en su naturaleza o que una sea obligatoriamente la
causa y que la otra sea el efecto. Cualquiera de ellas podra
considerarse indistintamente como la accin o la reaccin, esta
propiedad fue estudiada por Newton, quien a raz de esto enunci su
tercera ley : Para cada accin existe una reaccin igual y opuesta.
En otras palabras podramos decir: si un cuerpo A ejerce una fuerza
sobre un cuerpo B, ste ejerce sobre A una fuerza del mismo mdulo,
de la misma direccin y sentido contrario. Para ilustrar la ley de
accin y reaccin, consideremos algunos ejemplos muy comunes en
nuestra vida diaria: 1.-si una persona empuja con su dedo
verticalmente hacia abajo, la superficie de una mesa, con una
fuerza F la superficie de la mesa, con una fuerza F,la superficie
de la mesa empujar su dedo con una fuerza F hacia arriba, la fuerza
F se denominara reaccin normal de la mesa. 2.-si un gancho est en
una pared y una persona lo tira con una fuerza F, sentir que su
brazo lo estn tirando con una fuerza F hacia la pared.
2.1.2.-Diagramas de cuerpo libre.
-
36
Es la representacin mediante vectores a las fuerzas que
intervienen en un sistema equilibrado. Por ejemplo para representar
o ilustrar a la primera de Newton o tercera de Newton.
2.2.-Resolucin de ecuaciones. 2.2.1.-Fuerzas constantes.
2.2.2.-Fuerzas de resistencia y fuerzas de friccin. Al empujar un
objeto con una fuerza pequea, muchas veces no se mueve, esto hecho
es muy corriente y se puede concluir que si no sale del reposo, es
porque la resultante de las fuerzas que actan sobre l es nula.
Aparentemente, nuestro empujn es la nica fuerza que acta sobre l,
pero es la nica fuerza no podra producir el resultado que
observamos y nos vemos obligados a afirma que la superficie donde
el objeto se apoya debe ejercer una fuerza igual y opuesta a
nuestro empujn, entonces decimos que la fuerza se debe al roce,
podramos empujar el objeto ms fuertemente y producir la salida de
la posicin de reposo, durante el movimiento, si dejamos de empujar
el objeto vuelve al reposo, lo que nos muestra que la fuerza de
roce continuaba actuando en sentido contrario al movimiento, pues
si as no fuese, sin que acte una fuerza sobre el aparato, debera
continuar el movimiento con velocidad constante. Et trmino roce,
sin embargo, se refiere a fuerzas reales que se oponen a las
fuerzas aplicada, para entender mas claramente las caractersticas
de las fuerzas de roce, observamos lo que sucede cuando intentamos
mover una caja sobre una superficie horizontal. Al principio la
caja esta quieta, luego una fuerza horizontal acta sobre ella y
cuando se empieza a empujar la caja sigue detenida porque el suelo
ejerce una sobre ella una fuerza de roce que equilibrada el empujn,
al aumentarse ligeramente el empujn la fuerza de roce crece y la
caja permanece quieta, por lo tanto la fuerza es variable y cuando
la caja est quieta es igual al empujn, finalmente con un mayor
esfuerzo, la caja comienza a moverse, lo que indica que el esfuerzo
sobrepas la fuerza de roce, entonces la fuerza de roce crece hasta
un valor mximo que no sobrepasa. Se observa que para mantener el
movimiento uniforme despus de iniciado, debemos aplicar una fuerza
un menor que aqulla con que se inici el movimiento. Entonces, como
es necesario aplicar cierta fuerza para que se mantenga uniforme el
movimiento concluimos que las fuerzas de roce se manifiestan
incluso durante el proceso de movimiento. Las fuerzas de roce que
actan cuando el cuerpo est quieto se llaman fuerzas de roce esttico
fe,la mayor fuerza de roce esttico o la fuerza de roce esttico
mxima feMAX es aquella que acta en el instante en que el movimiento
est casi empezando. Si empujamos el cuerpo con una fuerza un poco
mayor que el roce mximo, el movimiento se llama fuerza de roce
cintico fc, siendo posible concluir segn el ejemplo citado que sta
es un poco menor que la fuerza de roce esttica mximo. Para dos
superficies cualesquiera, se demuestra experimentalmente que la
fuerza de roce esttica mxima entre ellas es prcticamente
independiente del rea de contacto y es proporcional a la fuerza
normal que tiende a juntar las dos superficies;es decir, cuando
mayor es la compresin del cuerpo sobre la superficie, mayor ser
feMAX, entonces,
-
37
siendo N el valor de la reaccin normal de la superficie sobre el
bloque(que de acuerdo a la 3 ley de Newton , es igual a la
compresin citada), tenemos FeMAX N feMAX = eN Siendo la constante
de proporcionalidad e denominada coeficiente de roce estatico. Las
mismas verificaciones pueden efectuarse experimentalmente para el
roce cintico, se observa que las fuerzas de roce cintico son
prcticamente independiente de la velocidad. Si fc es la fuerza de
roce cintico y N es la fuerza normal, podemos escribir. fc = cN
donde c se llama coeficiente de roce cintico: ec son relaciones
entre dos magnitudes de la misma especie y decimos que son
constantes sin dimensin. Usualmente para un par de superficies
dadas, e >c. Los valores tanto de e como de c dependen de la
naturaleza de ambas superficies en contacto, siendo mayores cuando
las superficies son speras y menores cuando las superficies son
pulidas. La lubricacin disminuye los valores de e y cpara dos
superficies dadas. Cuando un objeto bajo la accin de una fuerza
horizontal, se mueve sobre un plano horizontal, la fuerza normal
que lo comprime contra el plano es su peso, ver la figura
siguiente: V17 FeMAX = eP fc=cP
-
38
Ejemplo. Ver la siguiente figura: V18 El bloque de la figura
anterior pesa 20kgf. Los coeficientes de roce entre las superficies
valen e = 0.40 c=0.20 a.- ejerciendo sobre el bloque de la figura
anterior una fuerza F de 5 kgf, verifiquemos que permanecen en
reposo.cul es la fuerza de roce esttico fe que est actuando sobre
el bloque? Como el bloque permaneci en equilibrio, conclumos que fe
anul a la fuerza F y por lo tanto tenemos fe= 5 kgf. b.-cul debe
ser el valor mnimo de F para que el bloque salga del reposo? La
fuerza de roce estatico mximo vale feMAX =eN y como en este caso
N=P=20 kgf, tenemos. FeMAX = eN = 0.40 X 20kgf de donde feMAX =
8kgf Para que se inicie el movimiento debemos vencer la fuerza
feMAX. Por lo tanto debemos ejercer la fuerza F de 8kgf( o un poco
un poco mayor de 8 kgf) c.-una vez que se inici el movimiento.cul
debe ser el valor de F para mantener el bloque en movimiento
uniforme? Durante el movimiento, est actuando la fuerza de roce
cintico que vale Fc=cN = 0.20 x 20kgf =4 kgf. Por lo tanto, para
que el movimiento sea rectilneo y uniforme, la fuerza F deber ser
exactamente igual y contraria a fc(1. Ley de Newton), esto es, la
fuerza debe ser de 4 kgf. Ejemplo
-
39
Un bloque se coloca sobre un plano de inclinacin variable , ver
figura siguiente: V19 Si se hace crecer continuamente a partir de
cero, se verifica que para cierto valor de , en bloque que estaba
en reposo comienza a descender. Demostrar que el valor en que esto
sucede es tal que tg = e. Las fuerzas que actan sobre el bloque
son: su peso P, la reaccin normal N del plano y la fuerza de roce
esttico fe, hagamos pasar los ejes Ox y Oy representados en la
figura por el bloque y proyectamos las fuerzas sobre estos ejes.
Para un ngulo un poco menor que , el cuerpo estar todava en
equilibrio y como el movimiento se est casi iniciando, la fuerza fe
habr alcanzado su valor mximo feMAX, entonces, como el sistema est
en equilibrio, podemos escribir: Fx = 0 eN Psen = 0 esta ecuacin
nos dice que la fuerza de roce est equilibrado la componente Psen,
del peso. Tambin Fy = 0 N - Psen =0 Observe que, en este caso,la
reaccin norma no es igual al peso del cuerpo, pues N=Pcos Entonces
eN = P sen y N = P cos Luego: e = tg
-
40
En conclusin, el bloque, independientemente de su peso, comienza
a descender en el plano inclinado cuando el ngulo de inclinacin es
tal que su tangente es prcticamente igual al coeficiente de roce
esttico entre el bloque y el plano. . 2.4.-Aplicaciones a
movimiento curvilneo. Anteriomente se analiz la cinemtica del
movimiento circular uniforme, esto es, aunque el vector velocidad
tuviera mdulo constante, su direccin est variando constantemente,
pues la trayectoria es circular. Esta variacin en la direccin del
vector velocidad implica la aparicin de una aceleracin que se
denomina aceleracin que se denomina aceleracin normal, aN o
centripeta ac, cuya direccin en cada punto, es la del radio de la
trayectoria y apuntando siempre de la curva siguiente: vi-17 Su
mdulo: ac = v/R donde v representa el valor de la velocidad del
cuerpo y R es el radio de la circunferencia que el mvil describe.
Para que el cuerpo tenga aceleracin centrpeta, es necesario que
acte sobre l una fuerza que produzca esta aceleracin, esta fuerza,
responsable de la aceleracin. Esta fuerza, responsable de la
aceleracin centrpeta Fc. Por la 2. Ley de Newton, sabemos que una
fuerza tiene la misma direccin y sentido que la aceleracin que
produce. Entonces Fc, tal como ac, tiene direccin radial y apunta
al centro de la trayectoria, ver figura b:
-
41
vi-18 Siendo m la masa del cuerpo en movimiento, el mdulo de Fc
es : Fc=mac o Fc= m v/R Entonces, en todo movimiento circular acta
sobre el cuerpo una fuerza con las caractersticas dadas arriba. Es
esta fuerza centrpeta la que obliga al cuerpo a cambiar
continuamente la direccin de su velocidad dando origen a l a
aceleracin centrpeta. La fuerza centrpeta podr ser ejercida sobre
el cuerpo por medio de una cuerda estirada o a travs de la atraccin
gravitacional entre la tierra y el cuerpo(en l caso de satlites
artificiales) o podr ejercerse por un campo magntico sobre una
partcula cargada, como se ver cuando se estudie electromagnetismo.
Si esta fuerza dejase de actuar sobre el cuerpo, su velocidad
permanecera constante en direccin y el movimiento pasara a ser
rectilneo. Probablemente ya noto esto cuando una piedra que gira
sujeta a un hilo, se sigue moviendo segn la tangente de la curva al
romperse el filo v-19
-
42
Es importante reconocer en cada problema, que fuerzas
representan la fuerza centrpeta que actan sobre el cuerpo, esto es
qu fuerzas son responsable por el cambio de direccin de la
velocidad. Para ello analicemos algunos ejemplos : Suponga que un
cuerpo gira sobre una mesa horizontal lisa, sujeto a un clavo por
medio de un hilo(ver figura). vi-20 Sobre el cuerpo actan la tensin
T del hilo la reaccin N de la mesa y el peso mg del cuerpo. Como N
y mg son verticales, no tienen componentes en la direccin radial,
de modo que la resultante de las fuerzas en esa direccin se
representan por la tensin T. esta representa por lo tanto, la
fuerza centrpeta la tensin ser determinada por la relacin: T =
mv/R
-
43
Si la masa del cuerpo es de 0.5 kg. Su velocidad de 5 m/s y el
radio de la trayectoria de 1m, la tensin en el hilo ser:
T=0.5kg(5m/s)/1m= 12.5N El hilo estar ejerciendo constantemente
sobre el cuerpo una fuerza de 12.5N, perpendicular a su velocidad.
Ejemplo Consideremos un cuerpo que gira en la cara interna de un
aro vertical, de forma circular, la siguiente figura: vi-21 Muestra
el cuerpo cuya masa es m, en varias posiciones, durante su
movimiento. En cualquiera caso, actan sobre el cuerpo su peso mg y
la reaccin normal N del aro(estamos suponiendo despreciable el
roce), consideramos siempre el sentido hacia dentro como positivo,
en el punto (1), mg y n son ambas verticales y del mismo sentido.
Luego la resultante en la direccin del radio(normal a la
trayectoria) es N +mg, esta representa por la fuerza centrpeta en
el punto (1).tendramos entonces para este punto: N + mg= Fc o N +
mg = mv/R
-
44
En los punto (2) y (5) la fuerza centrpeta se represnta slo por
la reaccin normal N, ya que en estos puntos el peso del cuerpo no
tienen componente radial. Tendramos entonces en (2) y (5): N = m
v/R Donde v representa la velocidad del cuerpo en estos puntos. En
el punto (3), la resultante(fuerza centrpeta) es Fc = N mg, de
donde concluimos que: N mg = mv/R Donde v es la velocidad del
cuerpo en el punto (3), creemos que al entender bien estos
ejemplos, podr recocerse siempre la fuerza o las fuerzas que
representan la fuerza centrpeta, esto es aquellas fuerzas que son
responsables por el cambio en la direccin de la velocidad del
cuerpo.ud. est de acuerdo que en la posicin(4) la fuerza centrpeta
se representa por N-mgcos?. 2.5.-Momento de una fuerza. Que es el
momento? Sabemos que las fuerzas transfieren energa y momento
lineal , tofos hemos tratado en alguna ocasin de abrir con cierta
prisa una puesta pesada y sabemos, intuitivamente, la forma en que
las fuerzas transfieren momento angular. Si se aplica una fuerza
moderada F1 a la puerta de un almacen, ver figura 9.17
-
45
Como siempre, en la orilla opuesta a sus goznes, la puerta
acelera rpidamente y se puede pasar de inmediato. Si equvocamente,
se aplica una fuerza F2 cerca de los goznes, la experiencia es
dolorosa, aunque la fuerza F se aplique en el lado correcto de la
puerta, no esperamos que suceda algo, excepto comprimir la puerta
contra sus goznes, la estrategia es ejercer la fuerza en direccin
perpendicular a la puerta, a la distancia mxima de los gones. El
momento es el producto de la componente perpendicular de la fuerza
por la distancia, y es lo que hace que la puerta gire y nos deje el
paso libre.la fomula que no da esto es: M = Fx d f.- fuerza
aplicada en N d.- distancia en m. Ejemplo: Un pndulo est formado
por una bola de masa M=0.50 kg. Colgada de una varilla de longitud
l= 0.5m y cuya masa es despreciable, cuando el pndulo forma un
ngulo con la vertical, cul es el momento que se ejerce alrededor de
punto de pivoteo?
30
Diagrama de cuerpo libre: O
Mg
-
46
M= l Mg seno = 0.50x0.50 x 9.8 x seno30 = 1.2 N.m 2.5.1.-Centro
de masa y momento de inercia de un cuerpo rgido. Centro de gravedad
y centro de masa. Si alguien nos pide mantener en equilibrio un
palo de golf horizontal sobre un dedo, ya sabemos qu hacer. El palo
no estar en equilibrio si el dedo se coloca en el centro, as que
recorremos el dedo hacia el extremo ms pesado. Al final se consigue
ubicar el punto donde se equilibra el palo, su centro de
gravedad(CG), es relativamente fcil sostenerlo. Todo objeto tiene
un solo centro de gravedad, aunque en algunos casos se requiere
mucha destreza para localizarlo, como por ejemplo en una calabaza,
esta se puede soportarla teniendo cualquier orientacin : con el
rabo hacia arriba , horizontal o con el dedo en el rabo etc. en
este punto(CG) es donde se centra el peso de la calabaza. El centro
de gravedad de un objeto es el punto nico respecto al cual las
fuerzas de peso que actan sobre el objeto causan momento cero,
independientemente de cmo est orientado el objeto. Centro de masa.
Cuando determinamos el centro de gravedad de la varilla aplicando
el equilibrio de pares, se elimin de la ecuacin el factor de g y
qued una relacin entre masas y distancias. As, el centro de
gravedad es la versin intuitiva de un concepto ms fundamental:
CENTRO DE MASA(CM), podemos considerar que el centro de gravedad de
un objeto es la ubicacin promedio de su peso. Su centro de masa es
la ubicacin promedio de su masa. CON EL CENTRO DE MASA EN EL
ORIGEN,LA SUMA DE LA MASAS m DE LAS PARTICULAS MULTIPLICADA POR SUS
VECTORES DE POSICIN 0= m rCM ejemplo cuatro nadadores, cuyas masa
son 35kg., 41kg., 54kh., y 63kg se sientan en las esquinas de una
balsa cuadrada de 2 de ladodnde est el centro de masa de ese
grupo?(ver figura)
-
47
9.26 Modelo.- las partculas en este sistema son las cuatro
personas. Como se proporcionan sus posiciones en el plano hrozontal
sin informarnos sus tamaos, no podemos decir nada acerca de las
posicin vertical(z) de su CM. Planteamiento.-trabajamos por
separado con las componentes x y y de rCM usando el sistema de
coordenadas que vemos en la figura anterior. xCM = m x/m = 54kg(0m)
+63kg(0m) + 35kg(2m) + 41kg(2m)/35+41+54+63=0.79m
yCM=54(0)+41(0)+63(2)+35(2)/193=1 anlisis.- an cuando los datos
tenan dos cifras significativas, debemos dar las respuestas slo con
una : xCM= 0.8 m, yCM= 1m. Los tamaos de las personas y la
exactitud con la que pueden sentarse en las esquinas de la balsa
hacen que carezca de sentido una segunda cifra significativa.
2.5.2.-Movimiento de rotacin de un cuerpo rgido. Por el momento
analizaremos en esta seccin el equilibrio de un cuerpo extenso, que
no puede considerarse como una partcula, este cuerpo ser rgido,
esto es, que no experimenta deformaciones, como una barra de
heirro, un pedazo de madera o una piedra. En realidad, ninguno de
estos cuerpos es perfectamente rgido, pero las deformaciones que
ellos experimentan son en general muy pequeas y pueden
despreciarse. Estamos pues idealizando una situacin y, como ya
dijimos, es justamente estudiando el comportamiento simple de
cuerpos ideales como se logra comprender el comportamiento ms
complejo de cuerpos reales(deformables). Al analizar el caso de una
partcula, obtenemos la condicin de equilibrio siguiente: R=0 Fx=0
Fy=0
-
48
Trataremos ahora de determinar cules son las condiciones de
equilibrio de un cuerpo rgido. Podra suponerse desprevenidamente
que un cuerpo rgido estara en equilibrio al tener Fx=0 y Fy=0, como
el caso de partculas. Sin embargo, estas condiciones son
necesarias, pero no son suficientes. La razn es que, para una
partcula el nico movimiento posible es el movimiento de translacin,
ver siguiente figura: v-20 Pues el concepto de partcula implica que
no es posible pensar en una partcula que gire alrededor de un eje
que pase por ella misma o, en otras palabras teniendo en cuenta sus
dimensiones insignificantes, prcticamente Se desprecia su
movimiento de rotacin.adems para un cuerpo rgido, tenemos que
considerar el movimiento de traslacin y el movimiento de rotacin,
ver la siguiente figura. V20b Observe que, si el cuerpo rgido tiene
las condiciones : Fx=0 Fy=0
-
49
estamos asegurando slo su equilibrio de translacin, es necesario
tambin asegurar el equilibrio de rotacin. Para ello hay que
analizar el concepto de momento de una fuerza(o, torque) y se
descubrir el equilibrio de rotacin. La siguiente figura muestra un
cuerpo rgido que puede girar alrededor de un eje por O. V21 Suponga
que una fuerza F sea aplicada en el punto A. Como punto O est fijo,
dicha fuerza har que el cuerpo gire alrededor de O. Si llamamos d a
la distancia(perpendicular) entre O y F de la figura o sea entre el
eje de rotacin y la lnea de accin de la fuerza F el momento(torque)
de la fuerza F en relacin con el eje O ser: M=F.d El concepto de
momento es de gran importancia porque es una medida del efecto de
rotacin que una fuerza producira al ser aplicada sobre un cuerpo
rgido. de hecho por su experiencia diaria ud. sabe que el efecto de
rotacin de una fuerza depende del valor de la fuerza y de la
distancia de su lnea de accin al eje de rotacin, recuerde por
ejemplo que cuando cierra una puerta: si ud. aplica una fuerza F en
el punto medio de ella.ver la siguiente figura V22
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50
Le imprime cierta rotacin, pero, si aplica la misma fuerza en un
extremo(ms distante del eje de rotacin),la puerta se cerrar con ms
facilidad pues ha adquirido una rotacin mayor. Para tratar de
describir el fenmeno note que en el segundo caso la distancia de la
fuerza al eje de rotacin en mayor, es decir era mayor el momento
aplicado a la puerta. Otro ejemplo:cuando se cambia la rueda de un
automvil con una llave corta,ver la siguiente figura. V23a Y no
puede soltar fcilmente las tuercas, sencillamente alargando el
brazo de la llave, o sea aumentando la distancia d de llave de la
figura anterior, puede lograrlo. La fuerza aplicada por la persona
fue la misma en los dos casos, pero al aumentar d lo que aumenta es
el momento de la fuerza, esto es su momento o torque o poder de
rotacin. Supongamos, que una fuerza se aplique a un cuerpo rgido
como la fuerza F1, aplicada a la barra rigida de la siguiente
figura: V25 Tal fuerza posee un cierto momento que producir una
rotacin de la barra en sentido contrario a las manecillas del
reloj, bajo, la accin solamente de F, la barra tendra una rotacin
acelerada y no estara en equilibrio de rotacin. Si
-
51
deseamos dejar la barra en equilibrio de rotacin habra que
anular el momento de F1 aplicando una fuerza F2 que tenga un
momento del mismo valor que F1 y que produzca rotacin contraria o
sea el sentido de las manecillas del reloj, generalmente se
considera un momento positivo cuando tiende a producir rotacin en
sentido contrario a las manecillas del reloj y negativo viceversa,
en conclusin, para colocar a la barra de la figura anterior en
equilibrio d rotacin, es preciso que la suma algebraica de los
momentos de las fuerzas que actan en la barra sea nula, esto es,
debemos hacer que M=0. en estas condiciones el cuerpo rgido no est
girando o gira en rotacin uniforme y por lo tanto, est en
equilibrio de rotacin. Llegamos as a las condiciones necesarias
para el equilibrio de un cuerpo rgido: Fx=0 Fy=0 M=0 Recprocamente,
si tenemos un cuerpo rgido en equilibrio sabemos que las fuerzas
que sobre l actuan(ver la siguiente figura): V26 Tienen valores y
direcciones tales que se cumplen las tres ecuaciones arriba
indicadas. Como tenemos tres ecuaciones con las fuerzas actuantes,
podemos determinar el valor de tres incgnitas del problema(mdulo o
direcciones de las fuerzas).
-
52
-
53
UNIDAD 3 TRABAJO, ENERGIA CINTICA Y CONSERVACIN DE ENERGA.
3.1.-Concepto de trabajo. 3.1.1.-Calculo del trabajo para
diferentes fuerzas. 3.2.-Teorema del trabajo y la energa.
OBJETIVO.- El alumno aplicara los conceptos de trabajo y energa en
la solucin de problemas de movimiento de los cuerpos. Supongamos
que un cuerpo se desplaza en lnea recta sobre una mesa horizontal
sometido a la accin de una fuerza F aplicada al cuerpo de la
siguiente figura viii-1 Se puede observar varias situaciones que la
fuerza acta en la direccin de la velocidad o no, que la velocidad
del cuerpo aumente, que se mantenga constante o disminuya, lo cual
depende de la direccin y del sentido de F y de la existencia o no
de otras fuerzas que actan sobre el cuerpo, etc. En todas estas
situaciones sin embargo, si la fuerza F desplaza un cuerpo en una
distancia d decimos que la fuerza F realiza un trabajo, el cual
vamos a designar por W y que est definido por la relacin. W=F cos .
d
-
54
Donde F representa el mdulo de la fuerza, es el ngulo que la
direccin de la fuerza F forma con la direccin del
desplazamiento(fig b) y d es el mdulo del desplazamiento del
cuerpo. Observe que hasta ahora hemos usado en la definicin
magnitudes qye ya conocemos como magnitudes vectoriales(la fuerza y
el desplazamiento) y solo hacemos referencia a sus mdulos, de modo
que el trabajo es por definicin, una magnitud escalar. El concepto
vulgar que se tiene de trabajo es muy diferente de la definicin de
trabajo que acabamos de dar, esto es, no coincide con el
significado fsico de esta palabra. Es corriente escuchar a una
persona decir que he trabajado mucho, pero desde el punto de vista
fsico no ha realizado ningn trabajo. En fsica para que se realice
un trabajo sobre un cuerpo es necesario que este cuerpo se desplace
en la direccin de la fuerza que acta sobre l o en la direccin de
una componente de esta fuerza. Si una persona sostiene un objeto
pesado haciendo una fuerza igual al peso del objeto para
equilibrarlo y se mantiene en esta posicin por mucho tiempo, aunque
se canse mucho n o estar realizando trabajo, puesto que la fuerza
ejercida por la persona no est desplazando el objeto. Volvamos a la
expresin: W = F(cos)d Que define el trabajo. El producto F cos ,
ver la siguiente figura. viii-3
-
55
Es el valor de la componente Fd, de la fuerza F, en la direccin
del desplazamiento. Por lo tanto la ecuacin que defina el trabajo,
podr, ser escrita en la forma: W = Fd.d Esto es, el trabajo de una
fuerza puede ser el producto de la componente de la fuerza en la
direccin del desplazamiento por el mdulo de este desplazamiento.
As, si una fuerza F acta sobre un objeto que experimenta un
desplazamiento d, el trabajo de F depender de la direccin de F( o
sea, del valor de la componente de F en la direccin del
desplazamiento) como se muestra la expresin : W = F(cos )d. si es
nulo(figura a), esto es, si la fuerza acta en la direccin y sentido
del desplazamiento, la expresin se simplifica: W=Fd, si es igual a
90, es decir, si la fuerza acta perpendicular a la direccin del
desplazamiento, su trabajo es nulo puesto que cos 90 =0. an, si est
comprendido entre 0 y 90( 0 menor o igual menor 90), W ser un nmero
positivo( puesto que en este caso, cos es positivo)en tanto que, si
fuera mayor que 90, el trabajo realizado por la fuerza F sera
negativo(fig. c), tenemos =180 y por lo tanto, el trabajo all es
negativo. Si el mdulo de F fuera medido en newtons y el
desplazamiento en metros, el trabajo ser expresao en joules. Una
fuerza de 1N que hiciera deslizar un cuerpo i m en la direccin y
sentido de la propia fuerza, ver la siguiente figura viii-4 Se
realizara un trabajo de 1 joule esto es:
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56
W = 1N X 1m = 1Nm = 1 loule = 1J. El joule representa por lo
tanto, la unidad de trabajo en el sistema MKS. El trabajo de una
fuerza slo podr ser calculado mediante la ecuacin W=Fd.d, si la
fuerza que realiza el trabajo fuera constante. S a medida que un
cuerpo se desplaza, la fuerza F variara en mdulo o en direccin, la
componente Fd sufrir variaciones. Suponga entonces, que Fd vara de
acuerdo con el grafico indicado en la siguiente figura: viii-5
Mientras el cuerpo se desplaza de A hasta pequeos desplazamientos
durante los cuales Fd permanece prcticamente constante. Cuando el
cuerpo experimenta uno de estos pequeos desplazamientos
representado en la figura anterior por d, el trabajo vale Fd.d.
este trabajo, en la grafica anterior, est representado por el rea
rayada. El trabajo total realizado por la fuerza F desde este punto
A hasta punto B, ser calculado por la suma de los trabajos
realizados en cada desplazamiento d. Estar entonces, representado
en la grafica anterior por el rea total bajo la curva, desde el
punto A hasta el punto B. El trabajo de una fuerza variable ser
calculado a travs del rea bajo la curva Fd X d. Onserve que en la
definicin de trabajo no se ha tenido en cuenta el tiempo
transcurrido durante la realizacin del trabajo. As, al arrastrar un
cuerpo sobre una superficie horizontal con una fuerza tambin
horizontal de un mdulo igual a 10N, dando al cuerpo un
desplazamiento de 7.5 m, habremos realizado un trabajo: W= 10N X
7.5m = 75 J. Usted puede imaginar que una misma fuerza se puede
aplicar a un cuerpo de masa mayor en tal forma que adquiera una
aceleracin menor, gastando ms
-
57
tiempo para desplazarse, o sea los mismos 7.5 m. A pesar de esto
el trabajo realizado por la fuerza aplicada ser todava 75J. En la
vida prctica sin embargo, la rapidez con que se realiza un trabajo
puede ser de gran importancia. Entre dos mquinas que realizan el
mismo trabajo con la misma perfeccin, preferimos siempre la ms
rpida. Para medir esta rapidez en la realizacin de un trabajo, se
define una magnitud de potencia P. P=W/t Donde W es el trabajo
realizado por una fuerza y de t el intervalo de tiempo en el cual
se realiza el trabajo. La unidad de potencia en el sistema MKS es
el Watt, que representa 1joule/segundo, as si un trabajo W = 75J se
realiza en un tiempo t= 5s, tendremos una potencia P=75j/5s= 15
watts. Cuando decimos que una mquina tiene una potencia de 15
watts, estamos indicando que en cada segundo, puede realizar un
trabajo de 15 joules. Probablemente usted ha odo decir que cierta
mquina hidroelctrica es capaza de generar 300 mil kilowatts.qu
significado tiene esta expresin?. Ejemplo: cul es el trabajo que
debemos realizar para elevar con velocidad constante, un cuerpo de
masa m=10kg.hasta una altura h=3m. Tenga en cuenta que: 1.-el
cuerpo es elevado verticalmente. 2.-el cuerpo es arrastrado sobre
un plano inclinado, cuya longitud es de 5 m sin roce, por una
fuerza paralela al plano. En el primer caso, ver figura a,debemos
aplicar una fuerza F igual y contraria al peso del cuerpo, luego:
F=mg= 10kg X 9.8 m/s = 98N. Fig.viii-6
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58
Como el ngulo ebntre F y el desplazamiento es nulo, el trabajo
que debemos realizar ser: W= F X h = 98N X 3m = 294J. En el Segundo
caso(ver figura b) para arrastrar el cuerpo sobre el plano con
velocidad constante, ser necesario aplicar una fuerza igual y
contraria a la componente mg( sen) del peso del cuerpo, esto es,
debemos aploicar una fuerza F= mg(sen) Pero: Sen= h/AB= 3m/5m = 0.6
Entonces: F= 10kg X 9.8 m/s X 0.60 = 58.8N Observe que para elevar
verticalmente el cuerpo debamos ejercer una fuerza de 98 N, en
tanto que usando el plano inclinado conseguimos elevarlo
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empleando una fuerza de apenas 58.8 N el trabaj que debemos
realizar ahora. W= F X AB Pues nuevamente es nulo el ngulo de la
fuerza con el desplazamiento del cuerpo: As: W= 58.8 N X 5 m= 294J.
Se trata del mismo trabajo que realizamos para elevar el cuerpo
verticalmente. El plano inclinado nos permite aplicar una fuerza
menor, pero debemos recorrer una distancia mayor hasta alcanzar la
altura h. De esta manera, se deber realizar el mismo trabajo en
ascenso vertical que a lo largo de un plano inclinado. .
3.2.1.-Concepto de energa cintica. 3.2.2.-Aplicaciones. Dentro de
los conceptos que hemos tocado en el estudio de la Fsica, el de
energa es uno de los ms importantes, aunque es difcil de definir,
en pocas palabras, su concepto es bastante familiar y con
frecuencia lo empleamos en el lenguaje cotidiano. Es corriente
escuchar frases como stas:va a faltar energa elctrica, dentro de
algunos aos estaremos consumiendo energa atmica, el enfermo est
recuperando sus energas, etc. frases que usted comprende, a pesar
de no saber a fondo el significado de la palabra energa. Algunas
personas acostumbran a introducir el concepto diciendo que la
energa representa la capacidad para realizar un trabajo. Estamos de
acuerdo en que esto constituye por lo menos, un principio en el
estudio de la energa, como estamos haciendo ahora, un cuerpo o un
sistema cualquiera tendra energa cuando pudiera realizar un
trabajo. La energa que encierra el sistema seria medida por el
trabajo que el sistema es capaza de realizar. Si por ejemplo ud.
dispone de una batera de automvil puede conectarla a un motor
elctrico y ste podra levantar cierto peso.. una batera por lo tanto
es un sistema que posee energa, pues realizar un trabajo al
levantar el peso. Si la batera se usara continuamente hasta
descargarla en su totalidad. Es evidente que si la energa de un
sistema se mide por el trabajo que l pueda realizar, tambin debe
ser una magnitud escalar y como el trabajo, medirse por el sistema
MKS, en joules. Suponga ahora, que un cuerpo de masa m, se
estuviera moviendo con velocidad v, como se indica en la figura
siguiente(a)
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60
viii-8 si este cuerpo en movimiento estuviese ligado con una
polea y una cuerda a otro cuerpo(ver figura b). viii-8b Aqul podr
levantarlo a cierta altura hasta que su velocidad se anule. El
cuerpo en movimiento capaz de realizar un trabajo, posee por lo
tanto cierta cantidad de energa. Esta energa, que un cuerpo posee
en virtud de su movimiento se denomina energa cintica.
Representaremos la energa cintica de un cuerpo por Ec. La energa
cintica, estando ntimamente relacionada con el movimiento del
cuerpo, es una forma de energa mecnica. Procuraremos analizar ms
detalladamente la energa cintica de un cuerpo y de obtener una
expresin matemtica que nos permita calcular su valor Para llegar a
este resultado, analizaremos primero algunos hechos importantes
relacionados con la figura siguiente: viii-9
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En esta figura representamos una partcula de masa m, que pasa
por el punto A con la velocidad VA. Supongamos que la partcula est
bajo la accin de varias fuerzas que combinadas, forman una
resultante R, constante, que acta paralelamente a la direccin del
movimiento. Sobre la partcula pueden actuar su peso, la reaccin
normal de la superficie, fuerzas de roce o fuerzas ejercidas por
cuerdas que jala una persona. Estas fuerzas son las que originan la
resultante R. Bajo la accin de R , la partcula tendr un movimiento
variado desplazndose una distancia d y alcanzar el punto B con una
velocidad VB. Durante este desplazamiento el trabajo realizado por
la resultante R, que representamos por WAB sera: WAB= R . d Si
designamos por a a la aceleracin que R imprime a la partcula,
tendremos R = ma, y como usted ya se enter, la velocidades VB y VA
estn relacionadas por la eceuacin: VB = VA + 2ad. De donde
concluimos que : d= VB - VA/2 al uasar este valor de d y la
expresin para R dada por la segunda ley de Newton, se usarn en la
relacion WAB= R . d, obtendremos: WAB = mvB - mvA La relacion
anterior nos permite calcular el trabajo total realizado sobre la
partcula desde el punto A hasta el punto B, si conocemos la masa de
la partcula y sus velocidades en A y B. Aunque se haya obtenidos
esta relacin, suponiendo que R fuese constante y el movimiento
fuese rectilneo resulta verdadera en cualquier caso, aun cuando las
fuerzas que actan sobre la partcula varan a lo largo de la
trayectoria y esta trayectoria forma una curva complicada, la
ecuacin: WAB = mvB - mvA
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62
Es una consecuencia importante de la segunda ley de Newton,
observe que el trabajo total WAB, slo depende de las velocidades vA
y vB( y evidente el valor de m), aunque nada sepamos de la
resultante R o de la trayectoria de la partcula. Veamos ahora cmo
estos resultados se relacionan con la energa cintica de un cuerpo.
Imaginemos que un cuerpo de masa m se mueve con la velocidad v ,
como se muestra en la siguiente figura: viii-10 Este cuerpo posee
por lo tanto, cierta energa cintica Ec, suponga que mediante un
proceso cualquiera, el cuerpo llegue al reposo. Imagnese, por
ejemplo que sujetamos a l un segundo cuerpo como se muestra en la
siguiente figura: viii-10b O que choc con un resorte y lo comprimi.
En ambos casos, el cuerpo en movimiento realiza trabajo y termina
por alcanzar el reposo. El trabajo se realiza en virtud de la
energa cintica Ec que el cuerpo posea y como alcanza el reposo,
toda su energa cintica es utilizada en la realizacin del trabajo.
Por lo tanto, si conseguimos calcular este trabajo realizado por el
cuerpo, estaremos calculando la energa cintica que posea en el
instante en que estaba movindose con velocidad v. Considerando el
punto donde el cuerpo alcanz el reposo como el punto B, podemos
calcular el trabajo total efectuado por el cuerpo. Tendremos
evidentemente, la expresin obtenida anteriormente:
-
63
WAB = mvB - mvA = 0 - mv donde WAB = - mv. Este es el trabajo
total realizado sobre el cuerpo hasta que se detiene. Podra
representar el trabajo hecho, por la fuerza ejercida por el cuerpo
suspendido y atado a l o por la fuerza ejercida por el resorte que
lo fren. Si tenemos en mente ahora la tercera ley de Newton,
notaremos que en cuanto el cuerpo era frenado, reaccionaba sobre el
agente retardador( el resorte por ejemplo) con una fuerza igual y
contraria. Entonces a medida que iba detenindose, el cuerpo
realizba un trabajo del mismo valor, pero de signo contrario al
trabajo realizado sobre l, esto es, el cuerpo realiz un trabajo
hasta detenerse: WAB = mv Siendo ste el trabajo que el cuerpo puede
realizar en virtud de su movimiento, representa exactamente su
energa cintica. Concluimos que si un cuerpo de masa m se est
moviendo con la velocidad v, posee una energa cintica Ec, dada por:
Wc = mv En consecuencia la energa cintica del cuerpo depende slo de
su masa y del mdulo de su velocidad. Si por ejemplo, la masa de un
cuerpo en moviento es m= 2 kg y se mueve con la velocidad V= 8 m/s,
su energa cintica vale : Wc = mv = 2kg(8m/s) Esto significa que el
cuerpo sera capaz de realizar un trabajo de 64 J, si por un motivo
cualquiera, fuera llevado a reposo. Una vez encontrada la expresin
para la energa cintica de un cuerpo, volvamos a la relacion: WAB =
mvB - mvA Uno se da cuenta entonces, de que mvA representa la
energa cintica que el cuerpo posea al pasar por el punto A y mvB es
la enera cintica con la que alcanza el punto B. Si representamos
por EcB y EcA esas energas, podemos escribir: WAB = EcB - EcA Esta
expresin que relaciona el trabajo realizado sobre un cuerpo con su
energa cintica, es muy importante y usualmente se denomina teorema
del
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trabajo-energa , que significa propiamente: el trabajo realizado
por la resultante de todas las fuerzas que actan sobre una
particula. La variacin de la energa cintica de la partcula, ser
representada por Ec= EcB EcA, de modo que : WAB=