Matemática Superior Aplicada Aproximación de derivadas Aproximaciones con mayor exactitud Derivadas de orden superior Prof.: Dr. Alejandro S. M. Santa Cruz J.T.P.: Dr. Juan Ignacio Manassaldi Aux. 2 da : Sra. Amalia Rueda Aux. 2 da : Sr. Alejandro Jesús Ladreyt
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Aproximaciones con mayor exactitud Derivadas de orden superior · Reglas practicas para aproximar derivadas de cualquier orden - Realizar las series de Taylor equiespaciadas y colocarlas
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Transcript
Matemática Superior Aplicada
Aproximación de derivadas
Aproximaciones con mayor exactitud
Derivadas de orden superior
Prof.: Dr. Alejandro S. M. Santa Cruz
J.T.P.: Dr. Juan Ignacio Manassaldi
Aux. 2da: Sra. Amalia Rueda
Aux. 2da: Sr. Alejandro Jesús Ladreyt
Derivada Numérica (Repaso)
h
hxfhxfxf
2
)()()( 00
0
'
h
xfhxfxf
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0
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h
hxfxfxf
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Derivada Numérica (Repaso)
h
hxfhxfxf
2
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h
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hxf
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20
'''2
!3
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xfhE
Derivada Numérica (Repaso)
h
hxfhxfxf
2
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h
xfhxfxf
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0
' h
xfhE
!2
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20
'''2
!3
)(h
xfhE
32
12'''
1''
1'ln
xxf
xxf
xxfxxf
Estimar la derivada de f(x) en x=3 con un h=0.01 Estimar el error cometido Calcular el error exacto cometido utilizando la derivada analítica
Serie de Taylor en torno a x0
n
n
n
xxn
xfxf )(
!
)()( 0
0
0
)(
Aproximación de Derivadas
x0 x0 + h x0 - h
n
n
nn
n
n
hn
xfxhx
n
xfhxf )(
!
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!
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0
0
)(
00
0
0
)(
0
n
n
n
hn
xfhxf
0
0
)(
0!
)()(
Taylor en torno a x0 con intervalos equiespaciados
Hacia delante
Hacia atrás
n
n
nn h
n
xfhxf
0
0
)(
0!
)()1()(
k intervalos hacia delante
n
n
nn h
n
xfkkhxf
0
0
)(
0!
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k intervalos hacia atrás
n
n
nn h
n
xfkkhxf
0
0
)(
0!
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Aproximaciones con mayor exactitud
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)(
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)(
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)(
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'''''40
''''30
'''20
''
0
'
00 hxf
hxf
hxf
hxf
hxfxfhxf
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)(16
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'''''40
''''30
'''20
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0
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00 hxf
hxf
hxf
hxf
hxfxfhxf
...32!5
)(16
!4
)(8
!3
)(4
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)(2)()()2( 50
'''''40
''''30
'''20
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00 hxf
hxf
hxf
hxf
hxfxfhxf
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!3
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''''30
'''20
''
0
'
00 hxf
hxf
hxf
hxf
hxfxfhxf
x0 x0 + h x0 + 2h x0 - 2h x0 - h
....)(8)2()(8)2( 0000 hxfhxfhxfhxf
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)(8
!4
)(8
!3
)(8
!2
)(8)(8)(8)(8 50
'''''40
''''30
'''20
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0
'
00 hxf
hxf
hxf
hxf
hxfxfhxf
...!5
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)(16
!3
)(8
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'''''40
''''30
'''20
''
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'
00 hxf
hxf
hxf
hxf
hxfxfhxf
...!5
)(32
!4
)(16
!3
)(8
!2
)(4)(2)()2( 50
'''''40
''''30
'''20
''
0
'
00 hxf
hxf
hxf
hxf
hxfxfhxf
...!5
)(8
!4
)(8
!3
)(8
!2
)(8)(8)(8)(8 50
'''''40
''''30
'''20
''
0
'
00 hxf
hxf
hxf
hxf
hxfxfhxf
50
'''''
0
'
0000!5
)(48)(12)(8)2()(8)2( h
xfhxfhxfhxfhxfhxf
...!5
)(4
12
)(8)2()(8)2()( 40
'''''
00000
'
hxf
h
hxfhxfhxfhxfxf
Error de Truncamiento
Aproximaciones con mayor exactitud
h
hxfhxfhxfhxfxf
12
)(8)2()(8)2()( 0000
0
'
40
'''''4
!5
)(4 h
xfhE
Aproximaciones con mayor exactitud
Error de Truncamiento
Reglas practicas para aproximar derivadas de cualquier orden
- Realizar las series de Taylor equiespaciadas y colocarlas una debajo de la otra. - Mediante combinaciones lineales se deben eliminar todas las derivadas de orden menor (sin anular la de interés) y de manera simultanea intentar minimizar el error. - Finalmente despejamos nuestro objetivo y obtenemos la aproximación del error.
Ejemplo para f ’’ utilizando dos aproximaciones:
...!5
)(
!4
)(
!3
)(
!2
)()()()( 50
'''''40
''''30
'''20
''
0
'
00 hxf
hxf
hxf
hxf
hxfxfhxf
...!5
)(
!4
)(
!3
)(
!2
)()()()( 50
'''''40
''''30
'''20
''
0
'
00 hxf
hxf
hxf
hxf
hxfxfhxf
...!6
)(2
!4
)(2
!2
)(2)(2)()( 60
''''''40
''''20
''
000 hxf
hxf
hxf
xfhxfhxf
+
...!6
)(2
!4
)(2
)(2)()()( 40
''''''20
''''
2
0000
''
hxf
hxf
h
xfhxfhxfxf
Error de Truncamiento
Reglas practicas para aproximar derivadas de cualquier orden
- Realizar las series de Taylor equiespaciadas y colocarlas una debajo de la otra. - Mediante combinaciones lineales se debe buscar eliminar todas las derivadas de orden menor sin anular la que buscamos aproximar. - Finalmente despejamos nuestro objetivo y obtenemos la aproximación del error.
Ejemplo para f ’’ utilizando dos aproximaciones:
2
0000
'' )(2)()()(
h
xfhxfhxfxf
20
''''2
!4
)(2)( h
xfhE
Ejercicio
- Realizar las series de Taylor equiespaciadas y colocarlas una debajo de la otra - Mediante combinaciones lineales se debe buscar eliminar todas las derivadas de orden menor sin anular la que buscamos aproximar - Finalmente despejamos nuestro objetivo y obtenemos la aproximación del error
Obtener una aproximación de la derivada segunda a partir de dos puntos hacia delante (k=1 y k=2) Hallar la estimación del error de truncamiento y compararla con el valor real para la funcion f(x)=ln(x) utilizando un incremento de h=0.01 en x=3