Ecuaciones paramétricas - Instituto de Física LRTlilia/mating/TrayectoriaEcsParametricas.pdf · • Figuras de Lissajous tti5dasmc4 ... •Derivadas de cualquier orden (si existen)

Funciones vectoriales

Ecuaciones paramétricas

Ecuaciones paramétricas

Las componentes del campo vectorial son funciones de algún parámetro

x= f(t); y = g(t); z= h(t) t parámetro (puede ser el tiempo o algún

otro) Función vectorial en el plano

R(t) = f(t) i + g(t) j Función vectorial en el espacio R(t) = f(t) i + g(t) j + h(t) k

Gráficamente •  Para cada valor del parámetro t tenemos

las coordenadas (x(t),y(t),z(t)) con vector de posición R(t) = f(t) i + g(t) j + h(t) k

= x(t) i + y(t) j + z(t) k

R(t1)

(x(t1),y(t1),z(t1))

R(t2) R(t3)

(x(t2),y(t2),z(t2))

(x(t3),y(t3),z(t3))

x y

z

Operaciones

Dadas las funciones vectoriales F y G y las funciones reales f(t) y g(t)

i)  Suma (F+G)(t) = F(t) + G(t) ii)  Diferencia (F-G)(t) = F(t) - G(t) iii)  Producto punto (F·G)(t) = F(t) · G(t) iv)  Producto vectorial (FxG)(t) = F(t) x G(t) v)  Producto por escalar (fF)(t) = f(t)F(t) vi)  Función compuesta (Fºg)(t) = F(g(t))

Ejemplos

•  Figuras de Lissajous https://www.desmos.com/calculator/tti5dasmc4 http://lissajousfigure.netne.net/ http://mathworld.wolfram.com/LissajousCurve.html

Mathematical heart x = 5 sin3t, y = 4 cos(t) − 1.3 cos(2t) − 0.6 cos(3t) − 0.2 cos(4t)

Derivada

•  Definición

ttRttRtR

t Δ−Δ+

=→Δ

)()(lim)('0

!!!

Teorema R’(t) = f’(t) i + g’(t) j + h’(t) k

Vector tangente a la curva definida por R(t) Similarmente, integral.

Por componentes (R2)

•  De la definición y R(t) = f(t) i + g(t) j

kiki

kji

hgdtdh

dtdg

dtdf

ΔtΔt)-h(t)h(t

ΔtΔt)-g(t)g(t

ΔtΔt)-f(t)f(t

Δt(t)RΔt)-(tRtR

ttt

t

ʹ′+ʹ′+ʹ′=++=

++

++

+=

+=ʹ′

→Δ→Δ→Δ

→Δ

j(t)fj

limlimlim

lim)(

000

0

!!!

• Derivar cada una de las componentes • Derivadas de cualquier orden (si existen)

Gráficamente R(t+Δt) = f(t +Δt) i + g(t +Δt) j + h(t +Δt) k

R(t) = f(t) i + g(t) j + h(t) k = x(t) i + y(t) j + z(t) k

R(t)

(x(t),y(t),z(t))

(x(t +Δt),y(t +Δt),z(t +Δt)) R(t+Δt)

R(t+Δt) –R(t)

En el límite Δtà0 el vector derivada es tangente a la trayectoria

x

z

y

Reglas de derivación

dtdf

dtdftf

dtd

dtd

dtd

dtd

dtd

dtd

dtd

dtd

dtd

dtd

AAA

BABABA

BABABA

BABA

+=

×+×=×

•+•=•

+=+

)(

)(

)(

)(

Aplicaciones: Ecuación de la recta en R3

Determinada por un punto P0 y la dirección dada por un vector v Sea P(x,y,z) punto sobre línea con posición r. Posición de P0 es r0 Sea t un escalar, a= tv r = r0+a= r0+t v

Ecuaciones de la recta

r = r0+ t v Ecuaciones paramétricas. Si v=<a, b, c>

Ecuaciones simétricas. Despejando t e igualando

Aplicaciones: vectores unitarios Vector unitario tangente

Normal unitario

T y Nplano osculante

Binormal

Velocidad y aceleración

Bibliografía •  Stewart, James. Cálculo, Trascendentes tempranas.

Trad. J. E. Pérez C. y D. Garmendia G. México, International Thomson Editores. 2001. 991 páginas.

•  Leithold, L. El Cálculo. Trad. F. Mata G. 7a Edición. México. Oxford University Press -Harla México. 1998.1360 páginas.

•  Larson, R. E.,Hostetler, R.P.,Edwards, B.H., Cálculo y Geometría Analítica, Vol. 2, 6ª Ed., McGraw Hill.