apostila Movimento Harmonico Simples (Mhs)

7/24/2019 apostila Movimento Harmonico Simples (Mhs)

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FSICAProf. RICARDO FAGUNDES PROMILITARES AFA/EFOMM/EN MDULO 11

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SUMRIO

1. MOVIMENTO HARMNICO SIMPLES (M.H.S.) __________________________________ 3

2. EXERCCIOS DE COMBATE __________________________________________________ 10


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MOVIMENTO HARMNICO SIMPLES (M.H.S.)

Quando a fora resultante que atua em uma partcula apresentar a forma abaixo

F kr r

Podemos dizer que a partcula realiza um M.H.S.

Vamos imaginar a seguinte situao: Uma mola pendurada no teto com a sua outra ponta presa a um bloco

de massa m. O sistema est inicialmente em repouso. Ou seja, a mola est esticada e essa elongao x medida com a equao abaixo:

mgmg kx x

k

O que fizemos foi igualar o mdulo da fora peso ao da fora elstica. Vamos lembrar que a fora elstica

definida como

F kx x

O sinal de menos deve-se ao fato de que o sentido da fora oposto ao sentido da deformao da mola.

Bom, vamos continuar com a nossa situao. Suponha que algum, aps a situao acima, tenha aplicado

uma fora no bloco de modo que a mola esticasse ainda mais (x+d). Nesse caso a fora elstica supera, em

mdulo, a fora peso. Logo aps a mola alcanar essa nova posio (L+x+d), onde L o seu comprimentonatural, essa pessoa que aplicou uma fora extra no bloco o solta. Como ser o movimento da mola??

Sim, ser oscilatrio. A mola ficar oscilando em torno da posio inicial de equilbrio (x). Vamos considerar

que no h atuao de foras dissipativas. A amplitude do movimento (A) ser justamente o quanto a pessoa

esticou a mola (d). Sendo assim, o bloco oscilar da posio inicial A, subindo, passando pela posio de

equilbrio e alcanando a posio A, onde comear a descer, passando novamente pela posio de

equilbrio e voltando para o ponto A. O tempo necessrio para uma oscilao completa chamado de perodo

(T), que o inverso da frequncia (f) de oscilao do movimento, como j sabemos.


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Um M.H.S. pode ser transformado em um crculo. A analogia ajuda bastante no entendimento do movimento.

Observe o crculo abaixo:

Podemos ver que a movimentao vertical do objeto ao longo de sua trajetria circular um M.H.S. cujo

perodo o mesmo do objeto (tempo para dar a volta no crculo) e a amplitude do seu movimento coincide

com o raio da trajetria.

Sendo assim podemos calcular a velocidade angular () do objeto, a fim de descobrirmos o perodo de

oscilao do M.H.S..

A partir da figura acima podemos retratar o movimento do bloco na mola, por exemplo. Note que,

inicialmente o nosso bloco est na posio x = A. Pelo grfico podemos tirar a equao da posio de um

corpo realizando um M.H.S. em funo do tempo:

x t Asen t Acos( t )2


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Perceba que, no caso da figura, a posio inicial x = 0. No nosso exemplo da mola, o bloco comea na

posio x = A, ento, de modo mais geral ( mais conveniente), temos que:

0x t Acos( t+ )

Onde 0 a fase inicial do sistema.

Note que, como a posio inicial do bloco x = A, no nosso exemplo, ento:

0 0 0x A Acos 0

Lembrando que2

2 f .T

Sabendo a frequncia ou o perodo do movimento, conseguimos determinar a

posio do objeto submetido a um M.H.S. em funo do tempo. A fase inicial conseguimos descobrir sabendo

a posio inicial do corpo e/ou a sua velocidade inicial. Porm, podemos descobrir a velocidade angular de

outra maneira. Para isso vamos, a partir da equao da posio, as equaes da velocidade e da acelerao

em funo do tempo:

0dx t

v t Asen tdt

E

2 20dv t

a t Acos t x tdt


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A partir da tabela acima podemos entender como se comportam as energia no movimento e gerar o grfico

abaixo:

A energia mecnica constante durante o movimento e, conforme a energia potencial cai, a cintica aumenta e

vice-versa.

A velocidade ser nula quando o objeto estiver nos extremos (x = A e x = + A) e mxima

quando estiver na posio de equilbrio, j que, nesse ponto, a acelerao ser nula, ou

seja, 0cos t 0, portanto, 0sen t 1 ou 1. A tabela abaixo apresenta todas essas

informaes:

x = 0 x A

v A v = 0

a = 0 2a A

2 2 2

c m

mv m AE E

2 2

2

p m

KAE E

2


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Note tambm, a partir da tabela, que a acelerao diretamente proporcional ao deslocamento do objeto:

2a x t

Ento:

2F m x t kx t

Podemos definir a velocidade angular, tambm chamada de pulsao, do movimento de um bloco de massa

m preso a uma mola de constante elstica k sob M.H.S. como:

k

m

Logo:

mT 2

k

Outro exemplo muito comum de M.H.S. o movimento de uma bolinha de massa m presa por um fio cuja

outra extremidade est presa no teto. Movimento de um pndulo simples.


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As equaes de movimento continuam sendo as definidas anteriormente, j que se trata de um M.H.S. bem

como todas as informaes da tabela. O que ser diferente a velocidade angular do movimento. Pela figura

acima podemos dizer que:

2mgsen ma m x

Onde

x lsen

Ento:

g

l

Logo:

lT 2 g

EXEMPLO:

Um pndulo cujo comprimento de fio vale 1,0 m foi abandonada a uma distncia de 20 cm da posio de

equilbrio. Qual o perodo do movimento? E se o pndulo fosse afastado a uma distncia de 10 cm, qual seria

o perodo?

RESOLUO:

Apesar de ser contra a nossa intuio, o perodo no depende da amplitude de oscilao. Sendo assim, tanto a

20cm quanto a 10cm, o perodo ser1

2 2,2 s.g


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Essa frmula s vale para pequenas oscilaes. Mas, para um afastamento de 45, por

exemplo, o erro menor que 10%. Ento podemos usar essa frmula sem muitos

problemas.


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1.(Espcex_2015) Uma criana de massa 25 kg brinca em um balano cuja haste rgida no deformvel e de

massa desprezvel, presa ao teto, tem 1,60 m de comprimento. Ela executa um movimento harmnico

simples que atinge uma altura mxima de 80 cm em relao ao solo, conforme representado no desenho

abaixo, de forma que o sistema criana mais balano passa a ser considerado como um pndulo simples com

centro de massa na extremidade P da haste. Pode-se afirmar, com relao situao exposta, que

DADOS:

Intensidade da acelerao da gravidade 2g 10 m/s

Considere o ngulo de abertura no superior a 10 .

a) a amplitude do movimento 80 cm.

b) a frequncia de oscilao do movimento 1,25 Hz.

c) o intervalo de tempo para executar uma oscilao completa de 0,8 s.

d) a frequncia de oscilao depende da altura atingida pela criana.

e) o perodo do movimento depende da massa da criana.


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2. (EsPCEx_2014)Peneiras vibratrias so utilizadas na indstria de construo para classificao e separao

de agregados em diferentes tamanhos. O equipamento constitudo de um motor que faz vibrar uma peneira

retangular, disposta no plano horizontal, para separao dos gros. Em uma certa indstria de minerao,

ajusta-se a posio da peneira de modo que ela execute um movimento harmnico simples (MHS) de funo

horria x 8 cos (8 t), onde x a posio medida em centmetros e t, o tempo em segundos.

O nmero de oscilaes a cada segundo executado por esta peneira de

a) 2

b) 4

c) 8

d) 16

e) 32

3. (IME 2013) Uma partcula de carga q e massa m est sujeita a dois campos eltricos ortogonais Ex(t) e Ey(t),

dados pelas equaes:

x

y

E t 5 sen 2t

E t 12 cos 2t

Sabe-se que a trajetria da partcula constitui uma elipse. A velocidade escalar mxima atingida pela partcula :

a)5 q

2 m

b)q

5m

c)q

6m

d)13 q

2 m

e)q

13m

4. (EsPCEx_2013)Uma mola ideal est suspensa verticalmente, presa a um ponto fixo no teto de uma sala, por

uma de suas extremidades. Um corpo de massa 80 g preso extremidade livre da mola e verifica-se que a

mola desloca-se para uma nova posio de equilbrio. O corpo puxado verticalmente para baixo e

abandonado de modo que o sistema massa-mola passa a executar um movimento harmnico simples.

Desprezando as foras dissipativas, sabendo que a constante elstica da mola vale 0,5N m e considerando

3,14, o perodo do movimento executado pelo corpo de

a) 1,256 s

b) 2,512 sc) 6,369 s

d) 7,850 s


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e) 15,700 s

5. (Esc. Naval 2013) A figura abaixo mostra uma mola ideal de constante elstica k 200 N m, inicialmente em

repouso, sustentando uma esfera de massa M 2, 00 kg na posio A. Em seguida, a esfera deslocada

15,0 cm para baixo at a posio B, onde, no instante t 0 , liberada do repouso, passando a oscilarlivremente. Desprezando a resistncia do ar, pode-se afirmar que, no intervalo de tempo 0 t 2 30 s, o

deslocamento da esfera, em cm, de

a) 3,75

b) 7,50

c) 9,00

d) 15,0

e) 22,5

6. (EPCAr (AFA) 2013) Num local onde a acelerao da gravidade constante, um corpo de massa m, com

dimenses desprezveis, posto a oscilar, unido a uma mola ideal de constante elstica k, em um plano fixo e

inclinado de um ngulo , como mostra a figura abaixo.

Nessas condies, o sistema massa-mola executa um movimento harmnico simples de perodo T. Colocando-

se o mesmo sistema massa-mola para oscilar na vertical, tambm em movimento harmnico simples, o seu

novo perodo passa a ser T.

Nessas condies, a razo T/T

a) 1

b) sen

c)1

2

d)1

sen


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7. (EsPCEx_2012) Um objeto preso por uma mola de constante elstica igual a 20N mexecuta um movimento

harmnico simples em torno da posio de equilbrio. A energia mecnica do sistema de 0,4 J e as foras

dissipativas so desprezveis. A amplitude de oscilao do objeto de:a) 0,1 m

b) 0,2 m

c) 1,2 m

d) 0,6 m

e) 0,3 m

8. (ITA 2012) Um cilindro vazado pode deslizar sem atrito num eixo horizontal no qual se apoia. Preso ao

cilindro, h um cabo de 40 cm de comprimento tendo uma esfera na ponta, conforme figura. Uma fora

externa faz com que o cilindro adquira um movimento na horizontal do tipo 0y y sen(2 ft) . Qual deve ser o

valor de f em hertz para que seja mxima a amplitude das oscilaes da esfera?

a) 0,40

b) 0,80

c) 1,3

d) 2,5

e) 5,0

9. (ITA 2011) Uma partcula de massa m move-se sobre uma linha reta horizontal num Movimento Harmnico

Simples (MHS) com centro O. Inicialmente, a partcula encontra-se na mxima distncia x0de O e, a seguir,percorre uma distncia a no primeiro segundo e uma distncia b no segundo seguinte, na mesma direo e

sentido. Quanto vale a amplitude x0desse movimento?

a) 2a3/ (3a2b2)

b) 2b2/ (4ab)

c) 2a2/ (3ab)

d) 2a2b / (3a2b2)

e) 4a2/ (3a2b)


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10. (AFA_2011) Dois corpos, de dimenses desprezveis, A e B presos a molas ideais, no deformadas, de

constantes elsticas Ak e Bk , respectivamente, esto, inicialmente, separados de uma distncia d numa

plataforma sem atrito como mostra a figura a seguir.

A partir dessa situao, os blocos so ento lentamente puxados por foras de mesma intensidade,

aproximando-se, at se encostarem. Em seguida, so abandonados, passando a oscilar em movimento

harmnico simples.

Considere que no haja interao entre os blocos quando esses se encontram.Nessas condies, a soma das energias mecnicas dos corpos A e B ser

a)

2

A B

A B

k k d

2 k k

b)

2 2

A

2

B A B

k d

2k k k

c)

2

A B

2

A B

k k d

2 k k

d) A A B2k k k

11. (ITA 2011) Um relgio tem um pndulo de 35 cm de comprimento. Para regular seu funcionamento, ele

possui uma porca de ajuste que encurta o comprimento do pendulo de 1 mm a cada rotao completa

direita e alonga este comprimento de 1 mm a cada rotao completa esquerda.

Se o relgio atrasa um minuto por dia, indique o nmero aproximado de rotaes da porca e sua direo

necessrios para que ele funcione corretamente.

a) 1 rotao esquerda

b) 1/2 rotao esquerdac) 1/2 rotao direita

d) 1 rotao direita

e) 1 e 1/2 rotaes direita.


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12. (IME 2010) Uma partcula emite um som de frequncia constante e se desloca no plano XY de acordo com

as seguintes equaes de posio em funo do tempo t, onde a, b e w so constantes positivas, com a > b.

x a cos(wt)

y b sen(wt)

Sejam as afirmativas:

I. o som na origem percebido com a mesma frequncia quando a partcula passa pelas coordenadas (a,0) e

(0,b).

II. o raio de curvatura mximo da trajetria ocorre quando a partcula passa pelos pontos (0,b) e (0,-b).

III. a velocidade mxima da partcula ocorre com a passagem da mesma pelo eixo Y.

A(s) afirmativa(s) correta(s) (so):

a) I, apenas

b) I e II, apenas

c) II, apenas

d) II e III, apenas

e) I, II e III

13. (ITA 2009) Um cubo de 81,0 kg e 1,00 m de lado flutua na gua cuja massa especfica = 1000 kg/m 3. O

cubo ento calcado ligeiramente para baixo e, quando liberado, oscila em um movimento harmnicosimples com uma certa frequncia angular. Desprezando-se as foras de atrito e tomando g = 10 m/s 2, essa

frequncia angular igual a:

a)100

9rad/s.

b)1000

81rad/s

c)1

9rad/s.

d)9

100rad/s.

e)81

1000rad/s


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14. (ITA 2007) Uma bolinha de massa M colada na extremidade de dois elsticos iguais de borracha, cada

qual de comprimento L/2, quando na posio horizontal. Desprezando o peso da bolinha, esta permanece

apenas sob a ao da tenso T de cada um dos elsticos e executa no plano vertical um movimento

harmnico simples, tal que sen tg . Considerando que a tenso no se altera durante o movimento, o

perodo vale

a) 2 4ML /T .

b) 2 ML /4T .

c) 2 ML /T .d) 2 ML /2T .

e) 2 2ML /T .

15. (ITA 2007) Um sistema massa-molas constitudo por molas de constantes k1 e k2, respectivamente,

barras de massas desprezveis e um corpo de massa m, como mostrado na figura. Determine a frequncia

desse sistema.


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16. (ITA 2005) Considere um pndulo de comprimento , tendo na sua extremidade uma esfera de massa m

com uma carga eltrica positiva q. A seguir, esse pndulo colocado num campo eltrico uniforme E queatua na mesma direo e sentido da acelerao da gravidade g . Deslocando-se essa carga ligeiramente de

sua posio de equilbrio e soltando-a, ela executa um movimento harmnico simples, cujo perodo

a) T = 2 g

b) T = 2 g q

c) T = 2 m qE d) T = 2 m mg qE

e) T = 2 m mg qE

17. (FUVEST 2004) Um certo relgio de pndulo consiste em uma pequena bola, de massa M = 0,1 kg, que

oscila presa a um fio. O intervalo de tempo que a bolinha leva para, partindo da posio A, retornar a essa

mesma posio seu perodo T0, que igual a 2s. Neste relgio, o ponteiro dos minutos completa uma volta

(1 hora) a cada 1800 oscilaes completas do pndulo.


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Estando o relgio em uma regio em que atua um campo eltrico E, constante e homogneo, e a bola

carregada com carga eltrica Q, seu perodo ser alterado, passando a T(Q). Considere a situao em que a

bolinha esteja carregada com carga Q = 3 x 10-5C, em presena de um campo eltrico cujo mdulo E = 1 x 10 5

V/m.

Ento, determine:

a) A intensidade da fora efetiva F(e), em N, que age sobre a bola carregada.

b) A razo R = T(Q)/T0entre os perodos do pndulo, quando a bola est carregada e quando no tem carga.

c) A hora que o relgio estar indicando, quando forem de fato trs horas da tarde, para a situao em que o

campo eltrico tiver passado a atuar a partir do meio-dia.

18. (ITA 2001) Uma partcula descreve um movimento cujas coordenadas so dadas pelas seguintes equaes:X(t) = X0 . cos(t) e Y(t) = Y0 . sen(t + /6), em que w, X0 e Y0 so constantes positivas. A trajetria da

partcula

a) Uma circunferncia percorrida no sentido anti-horrio.

b) Uma circunferncia percorrida no sentido horrio.

c) Uma elipse percorrida no sentido anti-horrio.

d) Uma elipse percorrida no sentido horrio.

e) Um segmento de reta.

19. (FUVEST 1999) O grfico representa, num dado instante, a velocidade transversal dos pontos de umacorda, na qual se propaga um onda senoidal na direo do eixo dos x.

A velocidade de propagao da onda na corda de 24m/s. Sejam A, B, C, D e E pontos da corda. Considere,

para o instante representado, as seguintes afirmaes:

I. A frequncia da onda 0,25Hz.

II. Os pontos A, C e E tm mxima acelerao transversal (em mdulo).

III. Os pontos A, C e E tm mximo deslocamento transversal (em mdulo).IV. Todos os pontos da corda se deslocam com velocidade de 24m/s na direo do eixo x.


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So corretas as afirmaes:

a) todas.

b) somente IV.

c) somente II e III.

d) somente I e II.

e) somente II , III e IV

20. (ITA 1998) Um relgio de pndulo simples montado no ptio de um laboratrio em Novosibirsk na

Sibria, utilizando um fio de suspenso de coeficiente de dilatao 1 x 105C1. O pndulo calibrado para

marcar a hora certa em um bonito dia de vero de 20 C. Em um dos menos agradveis dias do inverno, com a

temperatura a40C, o relgio:a) adianta 52 s por dia.

b) adianta 26 s por dia.

c) atrasa 3 s por dia.

d) atrasa 26 s por dia.

e) atrasa 52 s por dia.

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