1 MOVIMENTO OSCILATÓRIO Movimentos oscilatórios periódicos Movimento harmónico simples (MHS) Sistema massa-mola Representação matemática do MHS Representação gráfica do MHS Definição de frequência e período Equações de movimento do MHS Energia no MHS Pendulo simples Oscilações amortecidas Oscilações forçadas
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1 MOVIMENTO OSCILATÓRIO Movimentos oscilatórios periódicos Movimento harmónico simples (MHS) Sistema massa-mola Representação matemática do MHS Representação.
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MOVIMENTO OSCILATÓRIO
Movimentos oscilatórios periódicos Movimento harmónico simples (MHS) Sistema massa-mola Representação matemática do MHS Representação gráfica do MHS Definição de frequência e período Equações de movimento do MHS Energia no MHS Pendulo simples Oscilações amortecidas Oscilações forçadas
MOVIMENTO OSCILATÓRIO
Estamos familiarizados com diversos tipos de movimentos oscilatórios periódicos
Os átomos num sólido não estão completamente imóveis.
Eles vibram com uma amplitude pequena em torno da sua posição de equilíbrio
MOVIMENTO PERIÓDICO
O movimento periódico é o movimento dum corpo que se repete regularmente
O corpo volta a uma dada posição depois dum certo intervalo de tempo fixo
É um tipo especial de movimento periódico e acontece quando a força que age sobre a partícula
• e é dirigida sempre para a posição de equilíbrio
• é proporcional ao deslocamento da partícula em relação a posição de equilíbrio
O MOVIMENTO HARMÓNICO SIMPLES (MHS)
kxFs Lei de Hooke
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MOVIMENTO DO SISTEMA MASSA-MOLA
Um bloco de massa m é ligado a uma mola
O bloco se desloca numa superfície horizontal sem atrito
Quando a mola não está esticada nem comprimida, o bloco está na posição de
equilíbrio x = 0
Vimos anteriormente que pela Lei de Hooke que
kxFs
k é a constante elástica
sF força restauradora
x deslocamento
A força restauradora está sempre dirigida para o ponto de equilíbrio é sempre oposta ao deslocamento
O movimento do sistema massa-mola é um movimento harmónico simples 9
• O bloco é deslocado para a direita de x = 0
– A posição é positiva• A força restauradora é dirigida para a
esquerda
• O bloco é deslocado para a esquerda de x = 0
– A posição é negativa• A força restauradora é dirigida para a
direita
• O bloco está na posição de equilíbrio x = 0
• A mola não está nem esticada nem comprimida
• A força é 0
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ACELERAÇÃO
De acordo com a segunda lei de Newton
xm
kama -kxmaFs
A aceleração é proporcional ao deslocamento do bloco
A aceleração não é constante
Am
ka Se o bloco é largado de uma posição x = A, então a aceleração inicial é
O bloco continua até x = - A onde a sua aceleração é
Quando o bloco passa pelo ponto de equilíbrio,
O sentido da aceleração é oposto ao sentido do deslocamento (sinal menos)
Num corpo que se mova com um movimento harmónico simples (MHS), a aceleração é proporcional ao seu deslocamento mas tem um sentido oposto ao deslocamento
as equações cinemáticas não podem ser aplicadas
Am
ka
0a11
O bloco continua a oscilar entre –A e +A
MOVIMENTO DO BLOCO
Sistemas reais estão sujeitos a atrito, portanto não oscilam indefinidamente !
A força é conservativa
Na ausência de atrito, o movimento continua para sempre
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AS FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS SIN E COS RESPEITAM ESTES REQUISITOS !
REPRESENTAÇÃO MATEMÁTICA DO MOVIMENTO HARMÓNICO SIMPLES
2
2
d x ka x
dt m 2 k
m
Tratamos o bloco como sendo uma partícula
Escolhemos que a oscilação ocorre ao longo do eixo x
Aceleração Definimos
xa 2 xdt
xd 2
2
2
ou
Precisamos de uma função que satisfaça a equação diferencial de segunda ordem
Procuramos uma função x(t) cuja segunda derivada é a mesma que a função original com um sinal negativo e multiplicada por
Podemos construir uma solução com uma ou ambas as funções
2
13
14
Funções seno e cosseno
• A fase do movimento é a quantidade
• Se a partícula está em x = A para t = 0, então
REPRESENTAÇÃO GRÁFICA
tAtx cos
A seguinte função cos é uma solução da equação
onde e ,A são constantes
A é a amplitude do movimento esta é a posição máxima da partícula quer na direção positiva quer na negativa
é a fase (constante) ou o ângulo de fase inicial
é a frequência angularUnidade: rad/s
0
• x(t) é períodica e o seu valor é o mesmo cada vez que t aumenta de 2 radianos
t
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A caneta ligada ao corpo oscilante desenha uma curva sinusoidal no papel que está em movimento
EXPERIÊNCIA
Verifica-se assim a curva cosseno, considerada anteriormente16
• O período, T, é o intervalo de tempo necessário para que a partícula faça um ciclo completo do seu movimento
Os valores de x e v da partícula no instante t são iguais aos valores de x e v em t + T
2T
• O inverso do período chama-se frequência
A frequência representa o nº de oscilações executadas pela partícula por unidade de tempo
• A unidade é o ciclo por segundo = hertz (Hz)
1ƒ
2T
DEFINIÇÕES
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EQUAÇÕES DO MOVIMENTO NO MHS
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tAtx cos
tAdt
dxv sin
tAdt
xda cos2
2
2
Am
kAv max
Am
kAa 2
max
• Energia cinética
• Energia Potencial
2
212
21 sin tAmmvK
tkAK 2221 sin
2
212
21 cos tAkkxU
tkAU 2221 cos
ENERGIA NO MHS
Energia do sistema massa-mola
onde2
2
k
mm
k
19
assim
tAk 222
221 sin
20
UKEM
221 kAEM
• Energia Mecânica
tkAtkA 222122
21 cossin
2212
21 kxmv
Pêndulo simples
O pêndulo simples também pode exibir um movimento harmónico simples (MHS)
O MHS acontece quando o fio faz um ângulo pequeno com a vertical
pequena oscilação
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Pêndulo simples
Forças que atuam sobre a esfera:
2
2sint
d sF mg m
dt
gmP
Peso
Tensão T
Força tangencial (força restauradora)
O comprimento, L, do pêndulo é constante
sin
2
2
L
g
dt
d
Para ângulos pequenos, sin L
g
dt
d
2
2
)( Ls
xm
k
dt
xd2
2mola-massa sistema
Este resultado confirma que o movimento é o MHS22
g
L
22
LT
g
23
A função que satisfaz a equação diferencial: L
g
dt
d
2
2
é
)cos( max t
onde
é a frequencia angular
o período
)cos(
mola-massa sistema
tAx
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Exemplo 1: Considere um pêndulo de comprimento L com uma bola de massa M. A
bola está presa a uma mola de constante k. Admita que o pêndulo e a mola estão
simultaneamente em equilíbrio. Determine para pequenas oscilações.
Resolução
MgMgF sin pendulo
kLkLkxF sin molax
kLMgFFMa molapendulo
M
k
L
gMLkL
M
MMg
L
L
Força resultante que atua sobre a bola:
2
M
k
L
g 2ML onde
M
k
L
g
OSCILAÇÕES AMORTECIDAS
Nos sistemas realistas, estão presentes o ATRITO o movimento não oscila indefinidamente
Neste caso, a energia mecânica do sistema diminui no tempo e o movimento é conhecido como movimento amortecido
Um exemplo de movimento amortecido
A força de atrito pode ser expressa como
bvkxmaF
bvF atrito
um corpo está ligado a uma mola e submerso num líquido viscoso
dt
dxbkx
dt
xdm
2
2
A equação do movimento amortecido é
b é o coeficiente de amortecimento
v a velocidade do corpo de massa m
(no fluido o atrito é proporcional à v )
25
26
2 cos( )b
tmx Ae t
2
2
k b
m m
OSCILAÇÕES AMORTECIDAS
dt
dxbkx
dt
xdm
2
2
A função x que satisfaz a equação diferencial: é
onde
Exemplo
Animations courtesy of Dr. Dan Russell, Kettering University
OSCILAÇÕES FORÇADAS
É possível compensar a perda de energia de um sistema amortecido aplicando uma força externa
F
tFdt
dxbkx
dt
xdm fcos02
2
tFF fcos0
A equação do movimento amortecido para oscilações forçadas é
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A amplitude do movimento permanecerá constante se o aumento de energia for igual à diminuição da energia por cada ciclo.
Exemplo
Animations courtesy of Dr. Dan Russell, Kettering University
Quando a frequência angular da força aplicada (frequência forçada)é igual à frequência angular natural ( ) ocorre um aumento na amplitude
)0(
4
00
22220
2
0
ff
mFA
RESSONÂNCIA
0 f
máximo A
A
Chama-se RESSONÂNCIA a esse
aumento espectacular na amplitude
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onde é a frequência angular natural do oscilador
22220
2
0
4 ff
mFA
A amplitude de uma oscilação forçada é
0
onde é a frequência angular da força aplicada no oscilador
f
Foi estabelecida a condição de ressonância ( ) a ponte caiu
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Exemplo 2:Tacoma bridge
0 f
Em 1940 ventos constantes causaram vibrações na ponte de Tacoma desencadeando sua oscilação numa frequência próxima de uma das frequências naturais da estrutura da ponte.