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Nmeros relativos inteiros e fracionriosNMEROS INTEIROSOs nmeros inteiros so constitudos dos nmeros naturais {0, 1, 2, ...} e dos seus simtricos {0, -1, -2, ...}.Dois nmeros so opostos se, e somente se, sua soma zero. Por vezes, no ensino pr-universitrio, chamam-sea estes nmeros inteiros relativos. Oconjunto de todos os inteiros denominado porZ (Mais apropriadamente,um Z em blackboard bold, ), que vem doalemoZahlen, que significa nmeros, algarismos.Os resultados das operaes de soma, subtrao e multiplicao entre dois Inteiros so inteiros. Dois inteiros
admitem relaes binrias como =, > e
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Operaes e suas propriedades (adio, subtrao, multiplicao, diviso e potenciao.Operaes fundamentais
Adio: 1. Ato ou efeito de adir. 2. Arit. Reunio de todas as unidades ou fraes de unidade de vriosnmeros; soma, total. 3. Acrscimo, aumento.Exemplo:a) 2254 + 1258 = 3512
Milhar Centenas Dezenas Unidades
1 1
2 2 5 4
1 2 5 8__________________________________________________________________________________________
_______________________________________________________________________________3 5 1 2
Para o clculo da adio, ordenamos os nmeros em unidades, dezenas, centenas, milhar... Feito isso,efetuamos a soma. Notem que os nmeros 2254 e 1258 foram agrupados para serem somados.O resultado da soma das unidades (4+8 = 12) igual a 1 dezena e 2 unidades. Portanto, adiciona-se 1 dezena asua respectiva "casa".O resultado da soma das dezenas (1+5+5 = 11) igual a 1 centena e 1 dezena. Portanto, adiciona-se umacentena a sua respectiva "casa".A soma da "casa" das centenas (1+2+2 = 5), ou seja, 5 centenas.Finalmente, a soma da "casa" do milhar igual a 3 (1+2=3).A soma de 2254 + 1258 = 3512.*Observao: as cores auxiliam a compreenso do processo.Subtrao: 1. Ato ou efeito de subtrair(se). 2.Tirar de outro nmero parcela, quantia etc.; diminuir.
Exemplo:a) 2234 - 1258 = 976
Milhar Centenas Dezenas Unidades
2 2 3 4
1 2 5 8__________________________________________________________________________________________
_______________________________________________________________________________Primeiramente, vamos agrupar os nmeros em unidades, dezenas, centenas, milhar, etc...
Feito isso, observamos que no possvel a subtrao das unidades (4 - 8). preciso, portanto, "pediremprestado" casa das dezenas:
Milhar Centenas Dezenas Unidades
2 2 3-1 = 2 4+10 = 14
1 2 5 8__________________________________________________________________________________________
_______________________________________________________________________________6
Observamos que no possvel a subtrao das dezenas(2 - 5). Vamos "pedir emprestado" a nossa "vizinha" centena:
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Milhar Centenas Dezenas Unidades
2 2-1=1 10+2=12 14
1 2 5 8__________________________________________________________________________________________
_______________________________________________________________________________7 6
Vamos efetuar a subtrao das centenas: Oras, no possvel efetuar o clculo (1 - 2) das centenas sem pediremprestado casa do milhar...
Milhar Centenas Dezenas Unidades
2-1=1 10+1=11 12 14
1 2 5 8__________________________________________________________________________________________
_______________________________________________________________________________0 9 7 6
Agora sim! Vamos efetuar o clculo das centenas(11 - 2 = 9). E, tambm, do milhar (1 - 1 = 0).A subtrao de 2234 - 1258 = 976.
Clculo da adio e subtrao envolvendo nmeros no inteirosExemplos:a) 235,65 + 45,758 = 281,408
Cent. Dez. Uni. Dec. Cent. Mil.
1 1 12 3 5 ,6 5 0
4 5 ,7 5 8__________________________________________________________________________________________
_______________________________________________________________________________2 8 1 ,4 0 8
Siga os mesmos passos do clculo com nmeros inteiros, no se esquecendo, porm, de agrupar os algarismosde acordo com suas "casas" (milhar, centena, dezena, unidades,...).b) 254,65 - 144,732 = 109,918
Cent. Dez. Uni. Dec. Cent. Mil.
2 5 4 ,6 5 0
1 4 4 ,7 3 2__________________________________________________________________________________________
_______________________________________________________________________________
Cent. Dez. Uni. Dec. Cent. Mil.
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2 5 4-1=3 ,16 5-1=4 10
1 4 4 ,7 3 2__________________________________________________________________________________________
_______________________________________________________________________________,9 1 8
Cent. Dez. Uni. Dec. Cent. Mil.
2 5-1=4 13 ,16 4 10
1 4 4 ,7 3 2__________________________________________________________________________________________
_______________________________________________________________________________1 0 9 ,9 1 8
Siga os mesmos passos do clculo da subtrao com nmeros inteiros, agrupe as algarismos de acordo com suas"casas" e "pea emprestado" "casa" do vizinho quando no for possvel efetuar a subtrao.
Multiplicao: 1. Ato ou efeito de multiplicar. 2.Arit. Operao aritmtica, que consiste em repetir um nmero,chamado multiplicando, tantas vezes quantas so as unidades de outro, chamado multiplicador, para achar umterceiro que representa o produto dos dois. 3.Repetir (um nmero) tantas vezes quantas so as unidades de(outro).Exemplo:a) 236 x 25 = 5900
Milhar Centenas Dezenas Unidades
2 3 6
2 5__________________________________________________________________________________________
_______________________________________________________________________________
Vamos inicialmente multiplicar 236 por 5:
Milhar Centenas Dezenas Unidades
1 3
2 3 6
2 5__________________________________________________________________________________________
_______________________________________________________________________________1 1 8 0
1) 6x5 = 30 (3 dezenas e 0 unidades)
2) 3x5 = 15 + 3 = 18 (1 centena e 8 dezenas) - No se esquea de somar as 3 a casa das dezenas.3) 2x5 = 10 + 1 = 11Agora vamos multiplicar 236 por 2. Estamos efetuando o clculo da casa das dezenas, portanto, vamos colocaros resultados em sua respectiva casa. Aps a multiplicao, some os resultados.
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Milhar Centenas Dezenas Unidades
1
2 3 6
2 5
_________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
1 1 8 0
4 7 2 +__________________________________________________________________________________________
_______________________________________________________________________________5 9 0 0
Multiplicao de nmeros no inteirosVamos efetuar os mesmos clculos dos com os nmeros inteiros e tomar um pouco de cuidado com a vrgula.
Exemplo:a) 45,5 x 8,1 = 368,55Observe:
Mil. Cent. Dez. Uni. Dec.
4 5 ,5
8 ,1__________________________________________________________________________________________
_______________________________________________________________________________O nmero 45,5 possui 1 casa aps a vrgula. O nmero 8,1 tambm apresenta 1 casa aps a vrgula. O resultadoter, portanto, 2 (1+1) casas aps a vrgula. Vamos agora efetuar a multiplicao sem nos preocupar com avrgula. Afinal, j sabemos que o produto ter 2 casas aps a vrgula.
4 5 5
8 1__________________________________________________________________________________________
_______________________________________________________________________________4 5 5
3 6 4 0 +
_________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________3 6 8 5 5
Bom, sem nos preocuparmos com as vrgulas o resultado seria 36855, porm sabemos, como visto acima, que onmero deve possuir 2 casas aps a vrgula. Vamos colocar as vrgulas ento!
3 6 8 ,5 5Simples no? Mas vamos recapitular: Contamos e somamos a quantidade de casas aps a vrgula dos nmerosque iremos multiplicar. O resultado apresentar esse nmero de casas aps a vrgula. Resolvemos, ento, amultiplicao e depois colocamos as vrgulas :)
Diviso: 1. Ato, efeito ou operao de dividir.2. Fragmentao. 3. Parte de um todo que se dividiu. 4. Mat. Operao com que se procura achar quantas vezesum nmero se contm noutro.A diviso , sem dvidas, o principal problema dos estudantes. Vamos resolver alguns exerccios, observe asresolues e os esquemas.
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Exemplos: Por favor, espere e siga a resoluo.a) 756 : 21 = 36
b) 202 : 5 = 40,4
c) 17,4 : 3 = 5,8
Vejam a questo da FUVEST 2003 - Primeira fase: Num bolo, sete amigos ganharam vinte e um milhes,sessenta e trs mil e quarenta e dois reais. O prmio foi dividido em sete partes iguais. Logo, o que cada umrecebeu, em reais, foi:(a) 3.009.006,00(b) 3.009.006,50(c) 3.090.006,00(d) 3.090.006,50(e) 3.900.060,50Resposta: (a)
Mltiplos e divisores, e operaes.Mltiplos e divisores de um nmeroUm nmero mltiplo de outro quando, ao dividirmos o primeiro pelo segundo, o resto zero.
Exemplo:
Observe as
seguintesdivises entrenmeros
Naturais:As trs
primeirasdivises tmresto zero.Chamam-sedivisesexatas. As
duas ltimastm restodiferente dezero.
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Chamamos dedivisointeira. Umnmero divisor dooutro se osegundo
mltiplo doprimeiro.O nmero 10 mltiplo de2; 12 mltiplo de 3;15 tambm mltiplo de 3;mas 9 no mltiplo de 2;e 15 no
mltiplo de 4.Vamos agoraescrever oconjunto dosmltiplos de2, indicado
por M(2), edos mltiplosde 5, isto ,M(5):M(2) ={0,2,4,6,8,...}.M(5) ={0,5,10,15,20,...}Para lembrar:
O conjunto dos mltiplos de um nmero Naturalno-nulo infinito e podemos consegui-lo
multiplicando-se o nmero dado por todos os
Observe:M(3) = {3 x0, 3 x 1, 3 x 2,3 x 3, 3 x 4, 3x 5, 3 x 6,...}={0,3,6,9,12,15,18,...}Observetambm que omenor
mltiplo detodos osnmeros sempre o
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zero. Diremosque umnmero divisor deoutro se osegundo formltiplo do
primeiro.No exemploanterior,observamosque o nmero10 mltiplode 2,conseqentemente 2 divisor de 10.Os nmeros
12 e 15 somltiplos de3, portanto, 3e 5 sodivisores de12 e 15,respectivamente.Vamosagoraescrever oconjunto dosdivisores de15, indicado
por D(15), edos divisoresde 20, isto ,D(20):D(15) ={1,3,5,15}D(20) ={1,2,4,5,10,20
}Observe queo conjuntodos divisoresde umnmero
Natural no-nulo sempreum conjuntofinito, em queo menor
elemento o1 e o maior o prprionmero.
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Critrios dedivisibilidade: Os critriosdedivisibilidadeso uma sriede regras para
averiguar seum nmero ou nomltiplo deoutro, sem anecessidadede efetuar adiviso de um
pelo outro,principalmente quando os
nmeros sograndes.Veja, emseguida, oscritrios dedivisibilidademaiscomuns:Divisibilidade
por 2Olhe para oconjunto dosmltiplos de2, M(2),expostoacima.Observe quetodos oselementosdesseconjunto
terminam emalgarismo par.Assim,
podemosdizer que umnmero divisvel por2 se oalgarismo dasunidades for
par.
Exemplo:Os nmeros22, 30, 68,650, 3 285
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416 somltiplos de 2
porqueterminam emalgarismo par.Os nmeros7, 15, 201, 1
483, 186 749no somltiplos de2, poisnenhum delestermina emalgarismo
par.Divisibilidade
por 3Observe,
agora, oconjuntoM(3) ={0,3,6,9,12,15,18,...}.Repare que asoma dosalgarismos detodos estesnmeros mltiplo de 3.Assim, umnmero divisvel por3 quando asoma de todosos seusalgarismos mltiplo de3.
Exemplo:
Sem fazer adiviso,vamoscomprovarque o nmero34 572 divisvel por3: 3 + 4 + 5 +7 + 2 = 21,mas podeacontecer de
no sabermosse 21 ou nomltiplo de 3.Repetimos o
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mtodo agoracom onmero 21,em que 2 + 1= 3. Sabemosque 3 mltiplo de si
mesmo,portanto, 21 divisvel por3, isto , 21 mltiplo de 3e,conseqentemente, 34 572 divisvel por3.Divisibilidade
por 5Observe oalgarismo dasunidades dosnmeros doconjuntoM(5) ={0,5,10,15,20,25,30,35,...}. fcil
perceber queeles terminamem zero ouem 5. Assim,um nmero divisvel por5 quandotermina emzero ou em 5.
Exemplo:
Os nmeros20, 210, 2 105so divisveis
por 5, pois oprimeiro e osegundoterminam em
zero e oterceiro em5.Divisibilidade
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por 9Dado M(9) ={0,9,18,27,36,45,...}verificamosumacaracterstica
semelhante aocritrio dedivisibilidade
por 3. Umnmero divisvel por9 quando asoma de seusalgarismos 9 ou mltiplode 9.
Exemplo:O nmero 14985 divisvel por9?
+ 4 + 9 + 8 + 5 = 27
Se nosoubermos se27 ou no
mltiplo de 9,repetimos aoperaoagora com27:
2 + 7 = 9
Portanto, 27 divisvel por9, isto , 27 mltiplo de 9e,conseqentemente, 14 985 divisvel por9.Decomposio de umnmeroemfatoresprimos
Um nmeroNatural umnmero Primoquando stem por
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divisores elemesmo e aunidade.
O estudosobre osnmerosPrimos ganhaumdesenvolvimento particularna Grcia.Eratstenes(por volta de
276 a.C. a194 a.C.) eEuclides(sculo IIIa.C.?) so osresponsveis
por estedesenvolvimento.Eratstenesdesenvolveu
um mtodo de'separar' osnmerosPrimos,menores de100, dosnmeros no-
primos. Osnmeros no-
primosdiferentes de1 receberam onome denmeroscompostos,uma vez quese compemdo produto denmerosPrimos.O mtodo
consiste emse riscar da onome Crivo
primeiro o
Figura 1. Crivo de Eratstenes
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nmero 1, queno Primo,em seguida osmltiplos de2, depois osde 3, depoisos de 5 e
assim pordiante. Osnmeros querestarem soPrimos.Observe queo nmero 1no Primonemcomposto eque o nmero
2 o niconmero Primoque par.
Note aindaque oconjunto dosnmerosPrimos infinito. Osnmeros 7, 19e 47, comovemos noCrivo deEratstenes,so nmerosPrimos poiss tm comodivisores elesmesmos e o 1(Figura 1,acima).
Para lembrar:Decompor um nmero composto em fatores
primos significa expressar este nmero comoproduto de outros que sejam primos.
Exemplo:
Queremosdecompor onmero 40em fatores
primos.40 2 (40 divisvel por 2, termina em 0)20 2 (20 divisvel por 2, termina em 0)10 2 (10 divisvel por 2, termina em 0)
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5 5 (5 primo. Divide-se por si mesmo)
1
Adecomposiode 40 em
fatores primos:2 X 2 X 2 X 5= 23 X 5Mximodivisorcomum(m.d.c.) dedois ou maisnmerosO mximo
divisorcomum dedois ou maisnmeros
Naturais no-nulos omaior dosdivisorescomunsdessesnmeros.
Para calcularo m.d.c. dedois ou maisnmeros,devemosseguir umasrie deetapas:' Decompomos os nmeros em fatores primos.' Tomamos os fatores comuns com o menor expoente.
' Multiplicamos esses fatores entre si.
Exemplo:
Vamoscalcular om.d.c. dosnmeros 15 e24. Para isto,vamosdecomp-losem fatores
primos:15 3
5 5
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1
Exemplo:
Queremos
calcular om.d.c. de 20 e21.
20 2
10 2
5 5
1
Para lembrar:
Dizemos que dois nmeros Naturais distintosso Primos entre si quando seu m.d.c. 1.
Mnimomltiplocomum(m.m.c.) dedois ou maisnmerosNaturaisno-nulos o menor
nmero,diferente dezero, que mltiplocomumdessesnmeros.Para calcularo m.m.c. dedois ou maisnmeros,devemosseguirtambm umasrie deetapas: Decompomos os nmeros em fatores primos. Tomamos os fatores comuns e no-comuns com o maior expoente. Multiplicamos esses fatores entre si.
Exemplo:
Calculemos om.m.c. dosnmeros do
primeiro
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exemplo, 15 e24.Como jforamdecompostosem fatores
primos,
temos:15 = 3 X 5
24 = 23 X3
m.m.c. (15, 24) = 2120
Exemplo:Calculemos om.m.c. dosnmeros dosegundoexemplo, 20 e21.
20 = 22X 5
21 = 7 X 3
(20, 21) = 22 X 3= 420
Relaoentre om.d.c. e om.m.c. dedois nmerosO produto de
O grego Eratstenes,ador de um mtodospecial para separar
nmeros Primos eno-primos
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dois nmeros igual ao
produto deseu m.d.c. porseu m.m.c.
Exemplo:
Vamoscalcular om.d.c. e om.m.c. de 30e 50:
30 2
15 3
5 5
1
5025
Comprove,agora, arelao. Paratanto:Multiplique om.d.c. e om.m.c.:
10 X 150 = 1 500
Em seguida,multiplique osdoisnmeros:
30 X 50 = 1 500
m.m.c. dos nmeros 24 e 180.
nmeros so Primos: 89, 504, 37, 18 e
ores de 50. Assinalar os que forem
guintes, indicar os que forem divisveis5 250, 633, 1 562, 13 000 e 125.
mos colocar no lugar desse nmero seja divisvel por 3?
es nmeros como produto de fatores
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50.
Expressesnumricas
Expresses
numricasUmaexpressonumrica umaseqncia denmerosassociados
poroperaes.Essas
operaesdevem serefetuadasrespeitando-se a seguinteordem:1)Potenciaese radiciaes,se houver.2)
Multiplicaes e divises,se houver.3) Adies esubtraesExemplo:
Emexpressesnumricascom sinais deassociao( parnteses,colchetes echaves)efetuam-se,
primeiro asoperaesdentro dos
parnteses,
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depois as queesto dentrodos colchetese, por ltimo,as interioresas chaves,respeitando-
se ainda, aprioridade dasoperaes.Exemplo:36 + 2.{25
+ [ 18 (5 2).3]} == 36 + 2.{ 25+ [18 3.3]}== 36 + 2.{25
+ [18 9]} == 36 + 2.{25+ 9} == 36 +2.34 == 36 + 68 =104Outroexemplo:[(5 - 6.2).3
+ (13 7) :3] : 5 == [(25 6.4).3 + 6 :3] : 5 ==[(25 24).3+ 36 : 3 ] : 5== [1.3 + 12] :5 == [3 + 12 ] : 5
== 15 : 5 = 3Efetue:11 + 32 + 4.9
15 : 3 =11 + 32 + 36
5 = 74109 15.4 +26 : 13 =
109 60 + 2= 5110 + 3502 :
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17 100 : 25=10 + 206 4= 21225 + 25 : 25 25.1 =
25 + 1 25 =1
(7.6 32 : 2) :13 =(42 16 ) :13=26 : 13 = 2
Calcule ovalornumrico dasexpresses:
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(0,5) : 5 2.(0,3.1,2 - 0,72: 2,4) =
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0,25 : 5 2.(0,36 0,3) =0,05 2.(0,06) =0,05 0,12 =- 0,07
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(- 3,5 +2.1,45) (-1,2 : 5 3,5)=(-3,5 + 2,9 )
(-0,24 3,5)=-0,6 (-3,74)=-0,6 + 3,74 =3,14
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Considere aexpresso
Efetuando asoperaesindicadas esimplificando,temos:a)9/10
d)15/9
b)7/3
e) 1
c) 19/10
Soluo:
Alternativacorreta: (b)Simplifique:
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EQUAODO 1GRAU
Equaes do1 grau comuma varivelEquao toda sentenamatemticaabertarepresentada
por uma
igualdade, emque existauma ou maisletras querepresentamnmerosdesconhecidos.Exemplo:X +3 = 12 4
Formageral: ax =
b, emque x representa a varivel(incgnita)e a e b so
nmerosracionais,com a0. Dizemos
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que a e b sooscoeficientesda equao.(ax = b, aforma maissimples da
equao do 1grau)Exemplos:x - 4 = 2 +7, (varivelx)
2m + 6= 12 3 ,(varivelm)
-2r + 3 =
31, (varivelr)
5t + 3 =2t 1 , (varivelt)
3(b 2)= 3 + b,(varivel
b)4 + 7 = 11, (umaigualdade,mas no
possui umavarivel,
portanto no uma equaodo 1 grau)3x 12 >13, (possui
uma varivel,mas no umaigualdade,
portanto no uma equaodo 1 grau)Obs:Devemosobservar duas
partes em
uma equao,o 1 membro esquerda dosinal de igual
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e o 2membro direita dosinal de igual.
Veja:
ConjuntoUniverso:Con
junto formadopor todos osvalores que a
varivel podeassumir.Representamos pela
letraU.ConjuntoSoluo:Conjunto formado
por valores doconjunto Uque tornam asentenaverdadeira.Representamos pela letra S.Exemplo:Dentre oselementos doconjunto F ={0, 2, 3, 6, 8,
9}, qual delestorna asentenamatemtica2x 4 = 2,
verdadeira.2(0) 4 = 2Errado2(2) 4 = 2Errado2(3) 4 = 2
Verdadeiro2(6) 4 = 2Errado2(8) 4 = 2
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Errado2(9) 4 = 2Errado
Devemosobservar queo conjunto U
= {0, 2, 3, 6,8, 9}, econjunto S ={3}Sistemas de
Equaes do1Grau
SISTEMACOM DUAS
EQUAESDO 1 GRAUCOM DUASVARIVEISResolver umsistema deduas equaesdo 1 graucom duasvariveis, x ey, porexemplo,significadeterminar onico parordenado(x,y) que asoluo dosistema.Podemosencontrar a
soluo deum sistemausando osmtodos daadio,substituio ecomparao.ExercciosResolvidos:1) Umnmero mais
a sua metade igual a 150.Qual essenmero?
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Soluo:n + n/2 = 1502n/2 + n/2 =300/22n + n = 3003n = 300n = 300/3
n = 100Resposta:Esse nmero 100.2) Adiferenaentre umnmero e suaquinta parte igual a 36.Qual esse
nmero?Soluo:x - x/5 = 36(5 x - x)/5 =364x /5 = 364x = 36.54x = 180x = 180/4x = 45Resposta:Esse nmero 45.3) O triplo deum nmero igual a suametade mais20. Qual esse nmero?Soluo:3 m = m/2 +
206m/2 =(m+40)/26m = m + 406m - m =5m = 40m = 40/5m = 8Resposta:Esse nmero 8.
4) O triplo deum nmero,mais 5, igual a 254.
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Qual essenmero?Soluo:3p + 5 = 2543p = 254 - 53p = 249
p = 249/3
p = 83Resposta:Esse nmero 83.5) Oqudruplo deum nmero,diminudo detrs, igual a99. Qual esse nmero ?
6) Jlio tem15 anos e Evatem 17 anos.Daqui aquantos anosa soma desuas idadesser 72 anos?7) Num ptioh bicicletas ecarros numtotal de 20veculos e 56rodas.Determine onmero de
bicicletas e decarros.8) A metadedos objetos deuma caixa
mais a teraparte dessesobjetos igual a 75.Quantosobjetos h nacaixa?9) Em umafbrica, umtero dosempregados
soestrangeiros e90empregados
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sobrasileiros.Quantos soosempregadosda fbrica?10) Numa
caixa, onmero debolas pretas o triplo de
bolas brancas.Se tirarmos 4
brancas e 24pretas, onmero de
bolas de cadacor ficar
igual. Qual aquantidade de
bolasbrancas?11) Comodevodistribuir R$438,00 entretrs pessoas,de modo queas duas
primeirasrecebamquantiasiguais e aterceirareceba odobro do quereceber asduas
primeiras?
12) Ao triplode umnmero foiadicionado40. Oresultado igual aoquntuplo donmero. Qual essenmero?
Grfico deuma equaode 1 graucom duas
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variveisSabemos queuma equaodo 1 graucom duasvariveis
possui
infinitassolues.Cada umadessassolues podeserrepresentada
por um parordenado (x,y).Dispondo de
dois paresordenados deum equao,
podemosrepresent-losgraficamentenum planocartesiano,determinando,atravs dareta que osune, oconjunto dassoluo dessaequao.Exemplo:Construir umgrfico daequao x+ y = 4.Inicialmente,
escolhemosdois paresordenadosquesolucionamessa equao.1 par: A (4,
0)2 par: B (0,
4)A seguir,
representamos esses pontosnum planocartesiano.
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x y
4 00 4
Finalmente,unimos os
pontos A e B,
determinandoa reta r, quecontm todosos pontossolues daequao.
A reta r chamada retasuporte dogrfico daequao.Sistemas de
EquaesConsidere oseguinte
problema:Pipoca, em
sua ltimapartida,acertou xarremessos de
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2 pontos e yarremessos de3 pontos. Eleacertou 25arremessos emarcou 55
pontos.
Quantosarremessos de3 pontos eleacertou?Podemostraduzir essasituaoatravs deduasequaes, asaber:
x +y = 2 5(total dearremessoscerto)
2x+ 3y = 55(total de
pontosobtidos)Essasequaescontm umsistema deequaes.Costuma-se
indicar osistemausando chave.
O parordenado (20,5), que tornaambas assentenasverdadeiras, chamadosoluo dosistema.Um sistemade duasequaes comduas variveis
possui uma
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nica soluo.Resoluo de
SistemasA resoluode um sistemade duasequaes com
duas variveisconsiste emdeterminarum par ordenado quetorneverdadeiras,ao mesmotempo, essasequaes.Estudaremos
a seguiralgunsmtodos:Mtodo de
substituio
Soluo
determinamos ovalor de x na1 equao.
x = 4 ySubstitumos
esse valor na2 equao.2 . (4 - y) -3y
= 3Resolvemos aequao
formada.8 - 2y - 3y = 3-2y - 3y = 3-5y = 5 (-1)
5y = -5y = 5/3y = 1
Substitumos ovalorencontrado dey, emqualquer dasequaes,determinandox.
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x + 1 = 4x = 4 - 1
x = 3A soluo
do sistema opar ordenado(3, 1).
V= {(3, 1)}Mtodo daadioSendo U = Qx Q, observea soluo decada um dossistemas aseguir, pelomtodo da
adio.Resolva osistemaabaixo:
SoluoAdicionamos
membros amembros asequaes:
2x = 16x = 16/2
x = 8 Substitumoso valor
encontrado dex, emqualquer dasequaes,determinadoy:8+y=
10y = 10 - 8
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y = 2A soluo dosistema o
par ordenado(8, 2)
V = {(8, 2)}
PROBLEMAS
Uma dasprincipaisfunes daMatemtica desenvolver aintelignciado Ser Humano. Os
problemasapresentadossorelacionadoscom aMatemtica enormalmenteaparecem emlivros sobrecriatividade,revistas emateriaisdidticos deMatemtica.Apresentamossolues paraalguns dos
problemas,pois oobjetivo
promover o
interesse dovisitante pelaMatemtica.
Problema01: Umavasilhacilndricacircular comcapacidade
para 1 litro
est cheia desuco.
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De que formapode ser feitaatransfernciade suco davasilha maior
para umaoutra vasilhairregular comcapacidade
para 678 ml,de modo queambas asvasilhasfiquem comexatamente500 ml, sem
usar outrasvasilhas.
Problema 02:Palitos e mais
palitosa. Dada
afiguraem cormaravilhacom12
palitos, mova3
palitosparaobtertrs
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quadrados.
b. Usando 9
palitosdefsforo,construa o100.
I I I I I I I I I
c. Retirar 3
palitosdodesenho emazul
para
obter3quadrados.
d. Acrescente8
palitosa 3
palitosparaobteroito.
I I I I I I I I II I
e. Mover 5
palitosnafiguraverde
para
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obter3quadrados.
f. Usando 6
palitosdemesmotamanho,
construir 4tringulosequilteros.
g. Mova2
palitos
nafiguraemlaranja
paraobter5quadrados.
Problema03: Umfeirantevendiaqueijos em
peas. Aoprimeirocomprador,ele vendeu ametade das
peas quepossuia maismeio queijo.Ao segundo,ele vendeu a
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metade doque restoumais meioqueijo. Assimseguiuvendendo atchegar ao
sexto e ultimocompradorque comproua metade doque o feirante
possuia maismeio queijo,encerrando asatividadescom todos osqueijos
vendidos.Quantosqueijos
possuia ovendedor?
Problema04: Determinar um nmeronatural quedividido por 2tem resto 1,dividido por 3tem resto 2,dividido por 4tem resto 3,dividido por 5tem resto 4,dividido por 6tem resto 5, edividido por 7
tem resto 0.Problema05: Qual afrmula quefornece asoma:
a. Dos nprimeirosnmer
osnaturais?
b. Dos n
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primeirosnmerosnaturais
pares?
c. Dos nprimeirosnmerosnaturaismpares?
d. Dosquadra
dosdos n
primeirosnmerosnaturais?
e. Dosquadradosdos n
primeirosnmerosnaturais
pares?f. Dos
quadra
dosdos nprimeirosnmerosnaturaismpares?
g. Dos
cubosdos nprimeiros
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nmerosnaturais?
h. Doscubosdos n
primeirosnmerosnaturais
pares?i. Dos
cubosdos n
primei
rosnmerosnaturaismpares?
j. Daspotncias deordem4 dosn
primeirosnmerosnaturais?
k. Daspotnc
ias deordem5 dosn
primeirosnmerosnaturais?
l. Das
potncias deordem6 dos
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nprimei
rosnmerosnaturais?
Problema06: Como se
pode repartirpara trspessoas, 21tonis devinho, se 7tonis esto
vazios, 7tonis estocheios e 7tonis esto
pela metade,de modo queno final da
diviso cadapessoa tenhaa mesmaquantidade devinho e detonis.
Problema07: Como se
pode repartir
igualmentepara duaspessoas, 8litros de
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vinho queesto em umavasilha maior,sabendo-seque as
pessoaspossuem
somente duasvasilhasvazias, umacomcapacidade
para 5 litros eoutra comcapacidade
para 3 litros.
Problema08: Como se
pode repartirigualmente
para duaspessoas, 16litros devinho queesto em umavasilha maior,sabendo-seque as
pessoaspossuemsomente duasvasilhasvazias, umacomcapacidade
para 11 litrose outra com
capacidadepara 6 litros.
Problema09: Desejamos construiruma coleode "pesos"
para medirmassas deobjetos com
uma balanacontendo doispratosequilibrados.
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De que formauma barrametlica coma massa de 40Kg poder sercortada emapenas 4
partes demodo a se
poder pesarobjetos desde1 Kg at 40Kg.
Problema10: Dinheirosiguais: Uma
pessoa faloucom a outra:"Se voc me
der R$1,00,eu terei odobro do quevoc tem".Ento o outrodisse: "Sevoc me derR$1,00,teremosdinheirosiguais".
Quanto tinhacada um?
Problema11: H 10litros devinho em 3vasilhas, comcapacidadesiguais a 5litros, 3 litros
e 7 litros,respectivamente. A
primeira
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contem 4litros devinho, asegunda estvazia e aterceiracontem 6
litros devinho.
Como se poderepartir emduas partesiguais ovinho, usandoapenas estastrs vasilhas?
Problema 12(dos
camelos): Umvelho tinhatrs filhos elhes deu aordem quedepois demorto,deveriamdividir os 35camelos que
possuia, de
modo que oprimeiro filhodeveriareceber ametade deles,o segundodeveriareceber umtero e aoltimo caberiaum nono.
Como nohouveconcordnciaentre eles,
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foram at umsbio quetambm
possua umcamelo.Como foi queo sbio
realizou adiviso deforma quetodos osfilhos ficaramsatisfeitoscom a divisoe no final atmesmo osbio acabouganhando
algo?
Problema13: Trscasais foramfazer comprasem uma feirade exposio.Joo, Jos eJuca, socasados comMaria,Marlene eMara. Quemest casadocom quem, sesabemos quecada umadessas seis
pessoas pagoupor cada
objetocomprado omesmonmero (emR$) que onmero deobjetoscomprados.Cada homemgastouR$48,00 a
mais que asua mulher.Alm disso,Joo comprou
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9 objetos amais do queMarlene eJos comprou7 objetos amais do queMaria.
Sugesto:Considere quepara um certocasal, ohomemcomprou hobjetos e amulher mobjetos.
Problema
14: De umafolha de papelsulfite, qual o quadrado demaior reaque voc
pode cortarsem realizaremendas?
Problema15: De umafolha de papelsulfite, qual o tringuloequiltero demaior reaque voc
pode cortarsem realizaremendas?
Problema16: De umafolha de papelsulfite, qual o tringuloissceles demaior reaque voc
pode cortar
sem realizaremendas?
Problema
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17: De umafolhaquadrada de
papel sulfite,como se podecortar umhexgono
regular demaior reasem realizaremendas?
Problema18: Usando otringulo,demonstreque a somados ngulos
internos domesmocorresponde a180o.
Sugesto:Considere as
partes quetm a mesmacor, dobrandoa metade decada umasobre a outrametade paraconstatar o
resultado.
Problema19: De umafolhaquadrada de
papel sulfite,como se podecortar umoctgonoregular de
maior reasem realizaremendas?Problema
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20: Demonstregeometricamente que (-1).(-1)=+1utilizando odesenho
abaixo.
Sugesto:Desenvolver
(a-b)(a-b)=a.a+a.(-b)+(-b).a+(-b).(-b)e utilizar ofato que
a.(-b)=(-b).a=-ab
a.a a reado quadradode lado a.Grandeza,
RazoeProporo
JosLucivaldo
Leiteda
Silva(Prof.
Z)
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Grandeza: uma relaonumricaestabelecida
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com umobjeto.Assim, aaltura de umarvore, ovolume de umtanque, o peso
de um corpo,a quantidadepes, entreoutros, sograndezas. Grandeza tudoque voc
pode contar,medir, pesar,enfim,enumerar.
Razo: adiviso ourelao entreduasgrandezas.Exemplo: senuma classetivermos 40meninos e 30meninas, quala razo entreo nmero demeninos e onmero demeninas?
Razo=
Razoinversa: oinverso darazo,assim
.
Proporo: a igualdade
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entre razes.Exemplo:meu carro faz13km porlitro decombustvel,ento para
26km precisode 2L, para39km precisode 3L e assim
por diante.
1situao:
2situao:
,logo formamuma
proporo.
Observe
,se vocmultiplicarem cruz oresultado sero mesmo: 26
x 3 = 2 x 39 =78.
Numaproporo,quandomultiplicamosem cruz, oresultado omesmo. Masalm desta
propriedade,temos outrasque seromuito teis:
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Numaproporoquandosomamostermo atermo:
, a razo semantm.
Numaproporoquandosubtramostermo atermo:
, a razo semantm.
Dadas aspropores:
GrandezasProporcionais
O queestudaremosso grandezasque sejam
diretamenteouinversamente
proporcionais,emboraexistam casosem que essasrelaes nose observem,e que
portanto, no
faro parte denosso estudo.
Por exemplo,
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"na partida deabertura deumcampeonato,um jogadorfez trs gols,quantos gols
ele far aofinal docampeonatosabendo que omesmo ter46 partidas?".
GrandezasDiretamenteProporcionais (G.D.P.)
Duasgrandezas soditasdiretamente
proporcionais,quando oaumento deuma implicano aumentoda outra,quando areduo deuma implicana reduo daoutra, ou seja,o que vocfizer comumaacontecercom a outra.
Observao necessrioque satisfaaa propriedadedestacadaabaixo.
Exemplo: Senuma receitade pudim de
microondasuso duas latasde leitecondensado, 6
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ovos e duaslatas de leite,
para umpudim. Tereique dobrar aquantidade decada
ingrediente sequiser fazerdois pudins,ou reduzir ametade cadaquantidade deingredientesse quiser,apenas meiareceita.
Observe atabela abaixoque relacionao preo quetenho que
pagar emrelao quantidade de
pes quepea:
PreoR$
N de pes
Preo equantidade de
pes sograndezasdiretamente
proporcionais.
Portanto sepeo maispes, pagomais, se peomenos pes,
pago menos.Observe quequandodividimos o
preo pelaquantidade de
pes obtemossempre omesmo valor.
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Propriedade:Em grandezasdiretamente
proporcionais,a razo constante.
GrandezasInversamenteProporcionais (G.I.P.)
Duasgrandezas so
ditasinversamente
proporcionaisquando oaumento deuma implicana reduo daoutra, quandoa reduo deuma implicano aumentoda outra, ouseja, o quevoc fizercom umaacontecer oinverso com aoutra.
Observao: necessrio
que satisfaaa propriedadedestacadaabaixo.
Exemplo: Numa viagem,quanto maiora velocidademdia no
percurso,
menor ser otempo deviagem.Quanto menor
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for avelocidademdia, maiorser o tempode viagem.
Observe a
tabela abaixoque relacionaa velocidademdia e otempo deviagem, parauma distnciade 600km.
Velocidade mdia(km/h)
Tempo de viagem(h)
Velocidademdia e
Tempo deviagem sograndezas
inversamenteproporcionais,
assim se viajomais depressalevo um
tempo menor,se viajo com
menorvelocidademdia levoum tempo
maior.Observe que
quandomultiplicamosa velocidademdia pelotempo deviagemobtemossempre o
mesmo valor.
Propriedade:
Em grandezasinversamente
proporcionais,o produto
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constante.
Diviso empartes
proporcionais.
DIVISOPROPORCIO
NALDefin
io
Conformedefiniesvista emtutoriaisanteriores, emque informadoqueGRANDEZA
todo valorque ao serrelacionado aum outrocerto valor detal forma que,quando umvaria, comoconseqnciadireta o outrovalor tambm
varia.Desta
forma,podemosdefinir umaDIVISOPROPORCIO
NAL, comouma forma dediviso no
qualdeterminam-se valoresque, divididos
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porquocientes
previamentedeterminados,mantm-seuma razoque no tem
variao.Exem
plos parafixao dedefinio
Para
decompor onmero 120em duas
partes a e bdiretamente
proporcionaisa 2 e 3,montaremos osistema demodo quea+b=120, cujasoluo seguede:
a/2 =
b/3 a + b =a+b/2+3 120/5 = 24
Ento
: a=48 e b=72.
Divid
ir o nmero60 em duaspartes a e bdiretamente
proporcionaisa 4 e 2. Destaforma, sermontado osistema demodo que a +
b = 60, cuja
soluo sugueno clculoabaixo:
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a/4 =b/2 a + b = a+ b/4+2 60/6 = 10
Ento
: a=40 e b=
20. A
divisoproporcionalpode ser:
-
Direta-
Inversa-
Direta eInversa aomesmotempo.
Divis
o em partesdiretamenteproporcionais
O
total dosnmeros a serdividido est
para a somados
proporcionais,
assim como onmeroproporcionalest para a
parte que arepresenta.
Exem
plos defixao dedefinio:
a)Uma pessoadivide o valor
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de R$12.000,00
proporcionalmente asidades de seusfilhos: 2, 4, 6anos. Qual o
valor quecada umreceber?
Resol
uo:2 + 4
+ 6 = 1212
: 12.0002
: X
12: 12.000
4: X
12: 12.000
6
: X
Ovalor total,ento, de cadafilhorespectivamente s idades: R$2.000,00 + R$
4.000,00+R$6.000,00tendo oresultado
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geral o capitalde R$12.000,00.
b)
Dividir onmero 240,
em partesdiretamenteproporcionala 2, 4 e 6.
Resol
uo:Cham
aremos dasincgnitas
x, y e zas partes queserodeterminadas,assim:
x + y
+ z = 240Pela
definiodada, temos:x/2 = y/4 =z/6
x + y
+ z = 240x/2 =
y/4 =z/6 (aplica-se
a propriedadedaspropores)
x + y
+ z = 240= 20
2 + 4+ 6 = 12 = 1
Para
determinar aspartes, necessriomontar uma
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proporopara cadauma delas,com a
proporoencontrada.
20 =x --> x . 1 =20 . 2 x = 40
12
20 =
y --> y . 1 =20 . 4 y = 80
14
20 =
z --> z . 1 =20 . 6 x =120
16
Chec
ando osresultados:
x + y
+ z = 24040 +
80 + 120 =240
c)
Dividir o
nmero 360,em partesdiretamente
proporcionala 4, 5 e 6.
Resol
uo:Cham
aremos das
incgnitasx, y e zas partes quesero
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determinadas,assim:
x + y
+ z = 360Pela
definiodada, temos:x/4 = y/5 =z/6
x + y
+ z = 360x/4 =
y/5 =z/6 (aplica-se
a propriedadedas
propores)x + y
+ z = 360= 24
4 + 5+ 6 = 15 = 1
Para
determinar aspartes, necessriomontar uma
proporopara cadauma delas,com a
proporoencontrada.
24 =x --> x . 1 =24 . 4 x = 96
14
24 =
y --> y . 1 =24 . 5 y =120
1524 =
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z --> z . 1 =24 . 6 z =144
16
Chec
ando osresultados:x + y
+ z = 36096 +
120 + 144 =360
d)
Dividir onmero 169em partesdiretamente
proporcionaisa 1/2, 1/3, 1/4
Resol
uo:Vale
observar queagora estamostratando denmerosfracionrios.
Como
os nmerosquocientesso
predeterminados so emfraes,temos quedeterminar asfraesequivalentes,assim:
m.m.
c (2,3,4) = 12
1/2,1/3, 1/4 6/12, 4/12,
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3/12Mont
ando osclculos:
x + y
+ z = 169x/1/2
= y/1/3 =z/1/4
Com
o mmc dasfraes:
x + y
+ z = 169x/6 =
y/4 = z/3x + y
+ z = 1696 + 4
+ 3 = 13Logo:
13/1 arazoequivalente
Calc
ulando aspartesseparadamente:
13/1= x/6x . 1
= 6 . 13x =
7813/1
= y/4
Y . 1= 4 . 13
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y =52
13/1
= z/3Z . 1
= 3 . 13 z =
39Chec
ando osclculostemos:
78 +
52 + 39 = 16978/6
= 1352/4
= 1339/3
= 13
Nasprximasliesveremos maissobre os
principaistemas dematemtica
paraconcursos.
Regra de trssimples
Paragrandezasdiretamenteproporcionais
Carlos
AlbertoCampagner*Especialpara a
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Pgina 3Pedagogia &ComunicaoAlgumas equaessosimples de
resolver, jquerelacionamgrandezas(tempo,comprimento,quantidades,etc). So asequaes queenvolvem
proporcionali
dades,facilmenteresolvidas porregrinhas detrs.Veja osseguintesexemplos:
No rtulo deum sucoconcentrado,observam-seas seguintesinstrues:
Misture 1
parte do
produto a 4
partes de
gua. Adoce
a gosto.
No primeiro
exemplo,temos que aproporo desucoconcentrado
para o de
gua .Isso umarazo.
Logo seforemcolocados 2copos de suco
http://educacao.uol.com.br/matematica/ult1692u26.jhtmhttp://educacao.uol.com.br/matematica/ult1692u26.jhtmhttp://educacao.uol.com.br/matematica/ult1692u26.jhtmhttp://educacao.uol.com.br/matematica/ult1692u48.jhtmhttp://educacao.uol.com.br/matematica/ult1692u48.jhtmhttp://educacao.uol.com.br/matematica/ult1692u26.jhtmhttp://educacao.uol.com.br/matematica/ult1692u26.jhtmhttp://educacao.uol.com.br/matematica/ult1692u48.jhtm7/29/2019 apostila matemtica para concurso dos correios
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concentrado,devem-secolocar 8 degua.Ento:
Numa receita
de macarro
caseiro, l-
se: Misturar
100g de
farinha de
trigo para
cada ovo.
A proporo
Umaigualdadeentre razes uma
proporo.
Asproporespossuem umapropriedadeimportante,multiplicandoseus termosem cruz,
obtem-se omesmoresultado:
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o princpioda regra detrsProblemas
comregrasdetrs
No exemploda receita demacarrocaseiro,quantos ovosdevem-seutilizar para500g defarinha detrigo?Lembrandoque a
proporo
de 1 ovo para100g defarinha detrigo, existemalgumasregras para aresoluo da
proporcionalidade atravsda regra detrs:
1 regra:colocar asgrandezasiguais namesmacoluna:
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2 regra:multiplicarem cruz:
Logo:
Resposta:devem-seutilizar 5 ovos
para 500g defarinha detrigo.
Esseraciocnio vlido paragrandezasdiretamente
proporcionais(quanto maisfarinha, maisovos; quantomenos gua,menos suco).
Paraaproporograndezasinversamente
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proporcionais,o modo deoperaomuda um
pouco.Existemtambm
problemas emque voc temmais de duasgrandezasenvolvidas.So aschamadas regras de trscompostas.Porcentageme juros
CarlosAlbertoCampagner*Especialpara aPgina 3Pedagogia &Comunicao
1)Porcentagem
2) JurosJuros
simples:
Juros compostos:
Capital,tempo, taxase montante.
Montante:
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asomadocapital(Princi
pal)com
ojurorelativo ao
perodo deaplicao.Suafrmula
ou
JuroComposto: aqueleque, a
partirdo
segundoperodofinanceiro calculadosobreoMonta
nte doperodoanterior.OJurocompostoquando a
cadaperodoosjuro
http://pt.wikipedia.org/wiki/Jurohttp://pt.wikipedia.org/wiki/Jurohttp://pt.wikipedia.org/wiki/Jurohttp://pt.wikipedia.org/wiki/Jurohttp://pt.wikipedia.org/wiki/Jurohttp://pt.wikipedia.org/wiki/Juroshttp://pt.wikipedia.org/wiki/Juroshttp://pt.wikipedia.org/wiki/Jurohttp://pt.wikipedia.org/wiki/Jurohttp://pt.wikipedia.org/wiki/Jurohttp://pt.wikipedia.org/wiki/Juros7/29/2019 apostila matemtica para concurso dos correios
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s soincorporadosaoPrinci
pal e onovo
Principalpassatambm arender
juros.Frmula:
Taxas
Equivalentes:fazemcomque oCapital
produza omesmoMontante, nofinaldomesmo
prazodeaplica
o. Valor
Atual:chama-sevaloratualde umcompromisso
futurodeterminad
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a taxade
juros,aocapitalque,se
colocado arender
jurosquela taxa, a
partirdadatadehoje,
atingiria ummontanteigualaovalornominal docompromisso, emsuadatadevencimento.
Desconto: adifere
naentre ovalornominal(valorindicado nottulo |valorno
vencimento|) e ovalor
http://pt.wikipedia.org/wiki/Taxa_de_juroshttp://pt.wikipedia.org/wiki/Taxa_de_juroshttp://pt.wikipedia.org/wiki/Taxa_de_juroshttp://pt.wikipedia.org/wiki/Juroshttp://pt.wikipedia.org/wiki/Taxahttp://pt.wikipedia.org/wiki/Taxahttp://pt.wikipedia.org/wiki/Taxa_de_juroshttp://pt.wikipedia.org/wiki/Taxa_de_juroshttp://pt.wikipedia.org/wiki/Taxa_de_juroshttp://pt.wikipedia.org/wiki/Juroshttp://pt.wikipedia.org/wiki/Taxahttp://pt.wikipedia.org/wiki/Taxa7/29/2019 apostila matemtica para concurso dos correios
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atual(valordottuloantesdovenci
mento). Desco
ntoRacional (pordentro): oequivalente
aojuro simples
produzido
pelovaloratualno
perodocorres
pondente, taxafixada.
DescontoComercial (
por
fora): oequivalenteaojuro simples
produzido
pelovalor
nominal noperodo
http://pt.wikipedia.org/wiki/Jurohttp://pt.wikipedia.org/wiki/Jurohttp://pt.wikipedia.org/wiki/Taxahttp://pt.wikipedia.org/wiki/Taxahttp://pt.wikipedia.org/wiki/Jurohttp://pt.wikipedia.org/wiki/Jurohttp://pt.wikipedia.org/wiki/Jurohttp://pt.wikipedia.org/wiki/Jurohttp://pt.wikipedia.org/wiki/Taxahttp://pt.wikipedia.org/wiki/Jurohttp://pt.wikipedia.org/wiki/Juro7/29/2019 apostila matemtica para concurso dos correios
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correspondente, taxafixada.
Capitaliza
o: aremuneraodedeterminadocapitaldurante uminterv
alo detempo.
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