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CORREIOS - Atendente Comercial/Carteiro/Operador de Triagem e
Transbordo
EMPRESA BRASILEIRA DE CORREIOS E TELGRAFOS
ATENDENTE COMERCIAL CARTEIRO
OPERADOR DE TRIAGEM E TRANSBORDO
LNGUA PORTUGUESA:
Compreenso e interpretao de textos.
.................................................................................................
1 Ortografia oficial.
......................................................................................................................................
10 Acentuao grfica.
.................................................................................................................................
13 Emprego das classes de palavras: nome pronome, verbo, preposies
e conjunes. ......................... 20 Emprego do sinal
indicativo de crase.
.....................................................................................................
15 Sintaxe da orao e do perodo.
..............................................................................................................
37 Pontuao.
...............................................................................................................................................
14 Concordncia nominal e verbal.
...............................................................................................................
39 Regncia nominal e verbal.
......................................................................................................................
40 Significao das palavras.
........................................................................................................................
16 Formao de palavras.
.............................................................................................................................
20
MATEMTICA:
Nmeros relativos inteiros e fracionrios, operaes e propriedades.
..................................................... 1 Mltiplos e
divisores, mximo divisor comum e mnimo mltiplo comum.
................................................ 11 Nmeros reais.
.........................................................................................................................................
22 Expresses numricas.
............................................................................................................................
13 Equaes e sistemas de equaes de 1.o grau.
.....................................................................................
27 Sistemas de medida de tempo.
...............................................................................................................
27 Sistema mtrico decimal.
.........................................................................................................................
25 Nmeros e grandezas diretamente e inversamente proporcionais.
......................................................... 29 Regra
de trs simples.
..............................................................................................................................
31 Porcentagem.
............................................................................................................................................
32 Taxas de juros simples e compostas, capital, montante e
desconto. .......................................................
34 Princpios de geometria: permetro, rea e volume.
.................................................................................
33
INFORMTICA:
Conceitos bsicos de computao.
...........................................................................................................
1 Componentes de hardware e software de computadores.
........................................................................
5 Sistema operacional Windows (XP e VISTA).
...........................................................................................
8 Conhecimentos de Word, Excel, PowerPoint.
...........................................................................................
19 Internet: conceitos, navegadores, tecnologias e servios.
..............................................................
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APOSTILAS OPO A Sua Melhor Opo em Concursos Pblicos
A Opo Certa Para a Sua Realizao
A PRESENTE APOSTILA NO EST VINCULADA A EMPRESA ORGANIZADORA DO
CONCURSO
PBLICO A QUE SE DESTINA, ASSIM COMO SUA AQUISIO NO GARANTE A
INSCRIO DO
CANDIDATO OU MESMO O SEU INGRESSO NA CARREIRA PBLICA.
O CONTEDO DESTA APOSTILA ALMEJA ENGLOBAR AS EXIGENCIAS DO
EDITAL, PORM, ISSO
NO IMPEDE QUE SE UTILIZE O MANUSEIO DE LIVROS, SITES, JORNAIS,
REVISTAS, ENTRE OUTROS
MEIOS QUE AMPLIEM OS CONHECIMENTOS DO CANDIDATO, PARA SUA MELHOR
PREPARAO.
ATUALIZAES LEGISLATIVAS, QUE NO TENHAM SIDO COLOCADAS DISPOSIO
AT A
DATA DA ELABORAO DA APOSTILA, PODERO SER ENCONTRADAS
GRATUITAMENTE NO SITE DA
APOSTILAS OPO, OU NOS SITES GOVERNAMENTAIS.
INFORMAMOS QUE NO SO DE NOSSA RESPONSABILIDADE AS ALTERAES E
RETIFICAES
NOS EDITAIS DOS CONCURSOS, ASSIM COMO A DISTRIBUIO GRATUITA DO
MATERIAL RETIFICADO,
NA VERSO IMPRESSA, TENDO EM VISTA QUE NOSSAS APOSTILAS SO
ELABORADAS DE ACORDO
COM O EDITAL INICIAL. QUANDO ISSO OCORRER, INSERIMOS EM NOSSO
SITE,
www.apostilasopcao.com.br, NO LINK ERRATAS, A MATRIA ALTERADA, E
DISPONIBILIZAMOS
GRATUITAMENTE O CONTEDO ALTERADO NA VERSO VIRTUAL PARA NOSSOS
CLIENTES.
CASO HAJA ALGUMA DVIDA QUANTO AO CONTEDO DESTA APOSTILA, O
ADQUIRENTE
DESTA DEVE ACESSAR O SITE www.apostilasopcao.com.br, E ENVIAR
SUA DVIDA, A QUAL SER
RESPONDIDA O MAIS BREVE POSSVEL, ASSIM COMO PARA CONSULTAR
ALTERAES LEGISLATIVAS
E POSSVEIS ERRATAS.
TAMBM FICAM DISPOSIO DO ADQUIRENTE DESTA APOSTILA O TELEFONE
(11) 2856-6066,
DENTRO DO HORRIO COMERCIAL, PARA EVENTUAIS CONSULTAS.
EVENTUAIS RECLAMAES DEVERO SER ENCAMINHADAS POR ESCRITO,
RESPEITANDO OS
PRAZOS ESTATUDOS NO CDIGO DE DEFESA DO CONSUMIDOR.
PROIBIDA A REPRODUO TOTAL OU PARCIAL DESTA APOSTILA, DE ACORDO
COM O
ARTIGO 184 DO CDIGO PENAL.
APOSTILAS OPO
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APOSTILAS OPO A Sua Melhor Opo em Concursos Pblicos
Lngua Portuguesa A Opo Certa Para a Sua Realizao 1
Compreenso e interpretao de textos. Ortografia oficial. Acentuao
grfica. Emprego das classes de palavras: nome pronome, verbo,
preposies e conjunes. Emprego do sinal indicativo de crase. Sintaxe
da orao e do perodo. Pontuao. Concordncia nominal e verbal. Regncia
nominal e verbal. Significao das palavras. Formao de palavras.
COMPREENSO E INTERPRETAO DE TEXTOS.
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SER ESTAR TER HAVER PRESENTE sou estou tenho hei s ests tens hs
est tem h somos estamos temos havemos sois estais tendes haveis so
esto tm ho PRETRITO PERFEITO era estava tinha havia eras estavas
tinhas havias era estava tinha havia ramos estvamos tnhamos havamos
reis estveis tnheis haves eram estavam tinham haviam PRETRITO
PERFEITO SIMPLES fui estive tive houve foste estiveste tiveste
houveste foi esteve teve houve fomos estivemos tivemos houvemos
fostes estivestes tivestes houvestes foram estiveram tiveram
houveram PRETRITO PERFEITO COMPOSTO tenho sido tenho estado tenho
tido tenho havido tens sido tens estado tens tido tens havido tem
sido tem estado tem tido tem havido temos sido temos estado temos
tido temos havido tendes sido tendes estado tendes tido tendes
havido tm sido tm estado tm tido tm havido PRETRITO
MAIS-QUE-PERFEITO SIMPLES fora estivera tivera houvera foras
estiveras tiveras houveras fora estivera tivera houvera framos
estivramos tivramos houvramos freis estivreis tivreis houvreis
foram estiveram tiveram houveram PRETRITO MAIS-QUE-PERFEITO
COMPOSTO tinha, tinhas, tinha, tnhamos, tnheis, tinham (+sido,
estado, tido , havido) FUTURO DO PRESENTE SIMPLES serei estarei
terei haverei sers estars ters haver ser estar ter haver seremos
estaremos teremos haveremos sereis estareis tereis havereis sero
estaro tero havero FUTURO DO PRESENTE COMPOSTO terei, ters, ter,
teremos, tereis, tero, (+sido, estado, tido, havido) FUTURO DO
PRETRITO SIMPLES
seria estaria teria haveria serias estarias terias haverias
seria estaria teria haveria seramos estaramos teramos haveramos
serieis estareis tereis havereis seriam estariam teriam haveriam
FUTURO DO PRETRITO COMPOSTO teria, terias, teria, teramos, tereis,
teriam (+ sido, estado, tido, havido) PRESENTE SUBJUNTIVO seja
esteja tenha haja sejas estejas tenhas hajas seja esteja tenha haja
sejamos estejamos tenhamos hajamos sejais estejais tenhais
hajais
-
APOSTILAS OPO A Sua Melhor Opo em Concursos Pblicos
Lngua Portuguesa A Opo Certa Para a Sua Realizao 31
sejam estejam tenham hajam PRETRITO IMPERFEITO SIMPLES fosse
estivesse tivesse houvesse fosses estivesses tivesses houvesses
fosse estivesse tivesse houvesse fssemos estivssemos tivssemos
houvssemos fsseis estivsseis tivsseis houvsseis fossem estivessem
tivessem houvessem PRETRITO PERFEITO COMPOSTO tenha, tenhas, tenha,
tenhamos, tenhais, tenham (+ sido, estado, tido, havido) PRETRITO
MAIS-QUE-PERFEITO COMPOSTO tivesse, tivesses, tivesses, tivssemos,
tivsseis, tivessem ( + sido, estado, tido, havido) FUTURO
SIM-PLES
se eu for se eu estiver se eu tiver se eu houver se tu fores se
tu estiveres se tu tiveres se tu houveres se ele for se ele estiver
se ele tiver se ele houver se ns formos se ns estiver-
mos se ns tivermos se ns hou-
vermos se vs fordes se vs estiver-
des se vs tiverdes se vs houver-
des se eles forem se eles estive-
rem se eles tiverem se eles houve-
rem FUTURO COMPOSTO tiver, tiveres, tiver, tivermos, tiverdes,
tiverem (+sido, estado, tido, havido) AFIRMATIVO IMPERATIVO s tu
est tu tem tu h tu seja voc esteja voc tenha voc haja voc sejamos
ns estejamos ns tenhamos ns hajamos ns sede vs estai vs tende vs
havei vs sejam vocs estejam vocs tenham vocs hajam vocs NEGATIVO no
sejas tu no estejas tu no tenhas tu no hajas tu no seja voc no
esteja voc no tenha voc no haja voc no sejamos ns no estejamos
ns no tenhamos ns
no hajamos ns
no sejais vs no estejais vs
no tenhais vs no hajais vs
no sejam vocs no estejam vocs
no tenham vocs
no hajam vocs
IMPESSOAL INFINITIVO ser estar ter haver IMPESSOAL COMPOSTO Ter
sido ter estado ter tido ter havido PESSOAL
ser estar ter haver seres estares teres haveres ser estar ter
haver sermos estarmos termos havermos serdes estardes terdes
haverdes serem estarem terem haverem SIMPLES GERNDIO sendo estando
tendo havendo COMPOSTO tendo sido tendo estado tendo tido tendo
havido PARTICPIO sido estado tido havido
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APOSTILAS OPO A Sua Melhor Opo em Concursos Pblicos
Lngua Portuguesa A Opo Certa Para a Sua Realizao 32
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Lngua Portuguesa A Opo Certa Para a Sua Realizao 33
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Lngua Portuguesa A Opo Certa Para a Sua Realizao 41
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Matemtica A Opo Certa Para a Sua Realizao 1
Nmeros relativos inteiros e fracionrios, operaes e propriedades.
Mltiplos e divisores, mximo divisor comum e mni-mo mltiplo comum.
Nmeros reais. Expresses numricas. Equaes e sistemas de equaes de
1.o grau. Sistemas de medida de tempo. Sistema mtrico decimal.
Nmeros e grandezas diretamente e inversamente proporcionais. Regra
de trs simples. Porcentagem. Taxas de juros simples e compostas,
capital, montan-te e desconto. Princpios de geometria: permetro,
rea e volume.
NMEROS RELATIVOS INTEIROS E FRACION-RIOS, OPERAES E
PROPRIEDADES.
Conjuntos numricos podem ser representados de di-versas formas.
A forma mais simples dar um nome ao conjunto e expor todos os seus
elementos, um ao lado do outro, entre os sinais de chaves. Veja o
exemplo abaixo:
A = {51, 27, -3} Esse conjunto se chama "A" e possui trs termos,
que
esto listados entre chaves. Os nomes dos conjuntos so sempre
letras maisculas.
Quando criamos um conjunto, podemos utilizar qualquer letra.
Vamos comear nos primrdios da matemtica. - Se eu pedisse para
voc contar at 10, o que voc me
diria? - Um, dois, trs, quatro, cinco, seis, sete, oito, nove
e
dez. Pois , estes nmeros que saem naturalmente de sua
boca quando solicitado, so chamados de nmeros NA-TURAIS, o qual
representado pela letra .
Foi o primeiro conjunto inventado pelos homens, e tinha como
inteno mostrar quantidades.
*Obs.: Originalmente, o zero no estava includo neste conjunto,
mas pela necessidade de representar uma quan-tia nula, definiu-se
este nmero como sendo pertencente ao conjunto dos Naturais.
Portanto:
N = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, ...} Obs.2: Como o zero originou-se
depois dos outros n-
meros e possui algumas propriedades prprias, algumas vezes
teremos a necessidade de representar o conjunto dos nmeros naturais
sem incluir o zero. Para isso foi defi-nido que o smbolo *
(asterisco) empregado ao lado do smbolo do conjunto, iria
representar a ausncia do zero. Veja o exemplo abaixo:
N* = {1, 2, 3, 4, 5, 6, ...} Estes nmeros foram suficientes para
a sociedade du-
rante algum tempo. Com o passar dos anos, e o aumento
das "trocas" de mercadorias entre os homens, foi necess-rio
criar uma representao numrica para as dvidas.
Com isso inventou-se os chamados "nmeros negati-vos", e junto
com estes nmeros, um novo conjunto: o conjunto dos nmeros inteiros,
representado pela letra .
O conjunto dos nmeros inteiros formado por todos os nmeros
NATURAIS mais todos os seus representantes negativos.
Note que este conjunto no possui incio nem fim (ao contrrio dos
naturais, que possui um incio e no possui fim).
Assim como no conjunto dos naturais, podemos repre-sentar todos
os inteiros sem o ZERO com a mesma nota-o usada para os
NATURAIS.
Z* = {..., -2, -1, 1, 2, ...} Em algumas situaes, teremos a
necessidade de re-
presentar o conjunto dos nmeros inteiros que NO SO
NEGATIVOS.
Para isso emprega-se o sinal "+" ao lado do smbolo do conjunto
(vale a pena lembrar que esta simbologia repre-senta os nmeros NO
NEGATIVOS, e no os nmeros POSITIVOS, como muita gente diz). Veja o
exemplo abai-xo:
Z+ = {0,1, 2, 3, 4, 5, ...} Obs.1: Note que agora sim este
conjunto possui um in-
cio. E voc pode estar pensando "mas o zero no positi-vo". O zero
no positivo nem negativo, zero NULO.
Ele est contido neste conjunto, pois a simbologia do sinalzinho
positivo representa todos os nmeros NO NE-GATIVOS, e o zero se
enquadra nisto.
Se quisermos representar somente os positivos (ou se-ja, os no
negativos sem o zero), escrevemos:
Z*+ = {1, 2, 3, 4, 5, ...} Pois assim teremos apenas os
positivos, j que o zero
no positivo. Ou tambm podemos representar somente os
inteiros
NO POSITIVOS com: Z
- ={...,- 4, - 3, - 2, -1 , 0}
Obs.: Este conjunto possui final, mas no possui incio. E tambm
os inteiros negativos (ou seja, os no positi-
vos sem o zero): Z*
- ={...,- 4, - 3, - 2, -1}
Fonte:
http://www.tutorbrasil.com.br/estudo_matematica_online/conjuntos/conjuntos.php
Assim:
Conjunto dos Nmeros Naturais: So todos os nme-ros inteiros
positivos, incluindo o zero. representado pela letra maiscula N.
Caso queira representar o conjunto dos nmeros naturais no-nulos
(excluindo o zero), deve-se colocar um * ao lado do N:
N = {0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10, ...} N* = {1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,
...} Conjunto dos Nmeros Inteiros: So todos os nme-
ros que pertencem ao conjunto dos Naturais mais os seus
respectivos opostos (negativos). So representados pela letra Z:
Z = {... -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, ...}
-
APOSTILAS OPO A Sua Melhor Opo em Concursos Pblicos
Matemtica A Opo Certa Para a Sua Realizao 2
O conjunto dos inteiros possui alguns subconjuntos, e-les
so:
- Inteiros no negativos: So todos os nmeros intei-ros que no so
negativos. Logo percebemos que este conjunto igual ao conjunto dos
nmeros naturais.
representado por Z+: Z+ = {0,1,2,3,4,5,6, ...} - Inteiros no
positivos: So todos os nmeros intei-
ros que no so positivos. representado por Z-:
Z- = {..., -5, -4, -3, -2, -1, 0}
- Inteiros no negativos e no-nulos: o conjunto Z+ excluindo o
zero. Representa-se esse subconjunto por Z*+:
Z*+ = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, ...} Z*+ = N*
- Inteiros no positivos e no nulos: So todos os nmeros do
conjunto Z
- excluindo o zero. Representa-se
por Z*-.
Z*- = {... -4, -3, -2, -1}
Conjunto dos Nmeros Racionais: Os nmeros ra-cionais um conjunto
que engloba os nmeros inteiros (Z), nmeros decimais finitos (por
exemplo, 743,8432) e os nmeros decimais infinitos peridicos (que
repete uma seqncia de algarismos da parte decimal infinitamente),
como "12,050505...", so tambm conhecidas como dzi-mas
peridicas.
Os racionais so representados pela letra Q. Conjunto dos Nmeros
Irracionais: formado pelos
nmeros decimais infinitos no-peridicos. Um bom exem-plo de nmero
irracional o nmero PI (resultado da divi-so do permetro de uma
circunferncia pelo seu dime-tro), que vale 3,14159265 ....
Atualmente, supercomputado-res j conseguiram calcular bilhes de
casas decimais para o PI. Tambm so irracionais todas as razes no
exatas, como a raiz quadrada de 2 (1,4142135 ...)
Conjunto dos Nmeros Reais: formado por todos os conjuntos
citados anteriormente (unio do conjunto dos racionais com os
irracionais). Representado pela letra R.
Representao geomtrica de
A cada ponto de uma reta podemos associar um nico nmero real, e
a cada nmero real podemos associar um nico ponto na reta.
Dizemos que o conjunto denso, pois entre dois nmeros reais
existem infinitos nmeros reais (ou seja, na reta, entre dois pontos
associados a dois nmeros reais, existem infinitos pontos).
Veja a representao na reta de :
Fonte:http://www.infoescola.com/matematica/conjuntos-numericos/
CONJUNTO DOS NMEROS NATURAIS (N)
ADIO E SUBTRAO Veja a operao: 2 + 3 = 5 . A operao efetuada
chama-se adio e indicada es-
crevendo-se o sinal + (l-se: mais") entre os nmeros. Os nmeros 2
e 3 so chamados parcelas. 0 nmero 5,
resultado da operao, chamado soma. 2 parcela
+ 3 parcela 5 soma
A adio de trs ou mais parcelas pode ser efetuada adicionando-se
o terceiro nmero soma dos dois primei-ros ; o quarto nmero soma dos
trs primeiros e assim por diante.
3 + 2 + 6 = 5 + 6 = 11 Veja agora outra operao: 7 3 = 4 Quando
tiramos um subconjunto de um conjunto, reali-
zamos a operao de subtrao, que indicamos pelo sinal - .
7 minuendo 3 subtraendo
4 resto ou diferena O minuendo o conjunto maior, o subtraendo o
sub-
conjunto que se tira e o resto ou diferena o conjunto que
sobra.
Somando a diferena com o subtraendo obtemos o mi-nuendo. Dessa
forma tiramos a prova da subtrao.
4 + 3 = 7
EXPRESSES NUMRICAS Para calcular o valor de uma expresso numrica
en-
volvendo adio e subtrao, efetuamos essas operaes na ordem em que
elas aparecem na expresso.
Exemplos: 35 18 + 13 =
17 + 13 = 30 Veja outro exemplo:
47 + 35 42 15 =
82 42 15 = 40 15 = 25
Quando uma expresso numrica contiver os sinais de parnteses ( ),
colchetes [ ] e chaves { }, procederemos do seguinte modo:
Efetuamos as operaes indicadas dentro dos parnte-ses;
efetuamos as operaes indicadas dentro dos colche-tes;
efetuamos as operaes indicadas dentro das chaves. 1) 35 +[ 80
(42 + 11) ] =
35 + [ 80 53] = 35 + 27 = 62
2) 18 + { 72 [ 43 + (35 28 + 13) ] } = 18 + { 72 [ 43 + 20 ] } =
18 + { 72 63} = 18 + 9 = 27
-
APOSTILAS OPO A Sua Melhor Opo em Concursos Pblicos
Matemtica A Opo Certa Para a Sua Realizao 3
CLCULO DO VALOR DESCONHECIDO Quando pretendemos determinar um
nmero natural
em certos tipos de problemas, procedemos do seguinte modo: -
chamamos o nmero (desconhecido) de x ou qualquer
outra incgnita ( letra ) - escrevemos a igualdade correspondente
- calculamos o seu valor
Exemplos: 1) Qual o nmero que, adicionado a 15, igual a 31?
Soluo: Seja x o nmero desconhecido. A igualdade corres-pondente
ser:
x + 15 = 31
Calculando o valor de x temos:
x + 15 = 31
x + 15 15 = 31 15
x = 31 15
x = 16
Na prtica , quando um nmero passa de um lado para outro da
igualdade ele muda de sinal. 2) Subtraindo 25 de um certo nmero
obtemos 11. Qual
esse nmero? Soluo: Seja x o nmero desconhecido. A igualdade
correspon-dente ser:
x 25 = 11
x = 11 + 25
x = 36
Passamos o nmero 25 para o outro lado da igualdade e com isso
ele mudou de sinal. 3) Qual o nmero natural que, adicionado a 8,
igual a
20? Soluo:
x + 8 = 20
x = 20 8
x = 12
4) Determine o nmero natural do qual, subtraindo 62, obtemos 43.
Soluo:
x 62 = 43
x = 43 + 62
x = 105
Para sabermos se o problema est correto simples, basta
substituir o x pelo valor encontrado e realizarmos a operao. No
ltimo exemplo temos:
x = 105
105 62 = 43
MULTIPLICAO Observe:
4 X 3 = 12
A operao efetuada chama-se multiplicao e indi-cada escrevendo-se
um ponto ou o sinal x entre os nme-ros.
Os nmeros 3 e 4 so chamados fatores. O nmero 12,
resultado da operao, chamado produto.
3 X 4 = 12
3 fatores
X 4
12 produto Por conveno, dizemos que a multiplicao de qual-
quer nmero por 1 igual ao prprio nmero. A multiplicao de
qualquer nmero por 0 igual a 0. A multiplicao de trs ou mais
fatores pode ser efetu-
ada multiplicando-se o terceiro nmero pelo produto dos dois
primeiros; o quarto numero pelo produto dos trs pri-meiros; e assim
por diante.
3 x 4 x 2 x 5 =
12 x 2 x 5 =
24 x 5 = 120
EXPRESSES NUMRICAS Sinais de associao O valor das expresses
numricas envolvendo as ope-
raes de adio, subtrao e multiplicao obtido do seguinte modo:
efetuamos as multiplicaes efetuamos as adies e subtraes, na ordem
em que
aparecem. 1) 3 . 4 + 5 . 8 2 . 9 =
12 + 40 18 = = 34
2) 9 . 6 4 . 12 + 7 . 2 = 54 48 + 14 = = 20
No se esquea: Se na expresso ocorrem sinais de parnteses
colche-
tes e chaves, efetuamos as operaes na ordem em que aparecem:
1) as que esto dentro dos parnteses 2) as que esto dentro dos
colchetes 3) as que esto dentro das chaves. Exemplo: 22 + {12 +[ (
6 . 8 + 4 . 9 ) 3 . 7] 8 . 9 } = 22 + { 12 + [ ( 48 + 36 ) 21] 72 }
= = 22 + { 12 + [ 84 21] 72 } = = 22 + { 12 + 63 72 } = = 22 + 3 =
= 25
DIVISO Observe a operao: 30 : 6 = 5 Tambm podemos representar a
diviso das seguintes
maneiras: 30 6
ou 56
30= 0 5
O dividendo (D) o nmero de elementos do conjunto que dividimos o
divisor (d) o nmero de elementos do subconjunto pelo qual dividimos
o dividendo e o quociente (c) o nmero de subconjuntos obtidos com a
diviso.
Essa diviso exata e considerada a operao inver-sa da
multiplicao.
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Se 30 : 6 = 5, ENTO 5 x 6 = 30 observe agora esta outra
diviso:
32 6 2 5
32 = dividendo 6 = divisor 5 = quociente 2 = resto
Essa diviso no exata e chamada diviso aproxi-mada.
ATENO: Na diviso de nmeros naturais, o quociente sempre
menor ou igual ao dividendo. O resto sempre menor que o divisor.
O resto no pode ser igual ou maior que o divisor. O resto sempre da
mesma espcie do dividendo. Exem-
plo: dividindo-se laranjas por certo nmero, o resto ser
laranjas.
impossvel dividir um nmero por 0 (zero), porque no existe um
nmero que multiplicado por 0 d o quociente da diviso.
PROBLEMAS
Determine um nmero natural que, multiplicado por 17, resulte
238.
x . 17 = 238
x = 238 : 17
x = 14
Prova: 14 . 17 = 238 Determine um nmero natural que, dividido
por 62, resulte
49. x : 62 = 49
x = 49 . 62 x = 3038
Determine um nmero natural que, adicionado a 15, d como
resultado 32
x + 15 = 32 x = 32 15 x = 17
Quanto devemos adicionar a 112, a fim de obtermos 186? x + 112 =
186
x = 186 112 x = 74
Quanto devemos subtrair de 134 para obtermos 81? 134 x = 81
x = 81 134 x = 53 (multiplicando por 1)
x = 53 Prova: 134 53 = 81
Ricardo pensou em um nmero natural, adicionou-lhe 35, subtraiu
18 e obteve 40 no resultado. Qual o nmero pensado?
x + 35 18 = 40
x = 40 35 + 18 x = 23
Prova: 23 + 35 18 = 40 Adicionando 1 ao dobro de certo nmero
obtemos 7. Qual
esse numero? 2 . x + 1 = 7
2x = 7 1 2x = 6 x = 6 : 2 x = 3
O nmero procurado 3. Prova: 2. 3 +1 = 7
Subtraindo 12 do triplo de certo nmero obtemos 18. De-terminar
esse nmero.
3 . x 12 = 18 3 x = 18 + 12 3 x = 30
x = 30 : 3 x = 10
Dividindo 1736 por um nmero natural, encontramos 56. Qual o
valor deste numero natural?
1736 : x = 56 1736 = 56 . x
56 . x = 1736 x . 56 = 1736
x = 1736 : 56 x = 31
O dobro de um nmero igual a 30. Qual o nmero? 2 . x = 30
2x = 30 x = 30 : 2 x = 15
O dobro de um nmero mais 4 igual a 20. Qual o nme-ro ?
2 . x + 4 = 20 2 x = 20 4 2 x = 16
x = 16 : 2 x = 8
Paulo e Jos tm juntos 12 lpis. Paulo tem o dobro dos lpis de
Jos. Quantos lpis tem cada menino? Jos: x Paulo: 2x Paulo e Jos: x
+ x + x = 12
3x = 12 x = 12 : 3 x = 4
Jos: 4 - Paulo: 8 A soma de dois nmeros 28. Um o triplo do
outro.
Quais so esses nmeros? um nmero: x o outro nmero: 3x
x + x + x + x = 28 (os dois nmeros) 4 x = 28
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x = 28 : 4 x = 7 (um nmero)
3x = 3 . 7 = 21 (o outro nmero). Resposta: 7 e 21
Pedro e Marcelo possuem juntos 30 bolinhas. Marcelo tem 6
bolinhas a mais que Pedro. Quantas bolinhas tem cada um? Pedro: x
Marcelo: x + 6
x + x + 6 = 30 ( Marcelo e Pedro) 2 x + 6 = 30
2 x = 30 6 2 x = 24
x = 24 : 2 x = 12 (Pedro)
Marcelo: x + 6 =12 + 6 =18
EXPRESSES NUMRICAS ENVOLVENDO AS QUA-TRO OPERAES
Sinais de associao: O valor das expresses numricas envolvendo as
qua-
tro operaes obtido do seguinte modo: efetuamos as multiplicaes e
as divises, na ordem em
que aparecem; efetuamos as adies e as subtraes, na ordem em
que
aparecem; Exemplo 1) 3 .15 + 36 : 9 = = 45 + 4 = 49 Exemplo 2)
18 : 3 . 2 + 8 6 . 5 : 10 = = 6 . 2 + 8 30 : 10 = = 12 + 8 3 = = 20
3 = 17 RADICIAO potenciao e racionalizao.
POTENCIAO Considere a multiplicao:2 . 2 . 2 em que os trs
fato-
res so todos iguais a 2. Esse produto pode ser escrito ou
indicado na forma 23
(l-se: dois elevado terceira potncia), em que o 2 o fator que se
repete e o 3 corresponde quantidade desses fatores.
Assim, escrevemos: 23 = 2 . 2 . 2 = 8 (3 fatores) A operao
realizada chama-se potenciao. O nmero que se repete chama-se base.
O nmero que indica a quantidade de fatores iguais a
base chama-se expoente. O resultado da operao chama-se
potncia.
Observaes: 1) os expoentes 2 e 3 recebem os nomes especiais
de
quadrado e cubo, respectivamente. 2) As potncias de base 0 so
iguais a zero.
02 = 0 . 0 = 0 3) As potncias de base um so iguais a um.
Exemplos: 13 = 1 . 1 . 1 = 1 15 = 1 . 1 . 1 . 1 . 1 = 1 4) Por
conveno, tem-se que: a potncia de expoente zero igual a 1
(a0 = 1, a 0) 30 = 1 ; 50 = 1 ; 120 = 1
a potncia de expoente um igual base (a1 = a) 21 = 2 ; 71 = 7 ;
1001 =100
PROPRIEDADES DAS POTNCIAS para multiplicar potncias de mesma
base, conserva-se a
base e adicionam-se os expoentes. am . an = a m + n Exemplos: 32
. 38 = 32 + 8 = 310 5 . 5 6 = 51+6 = 57 para dividir potncias de
mesma base, conserva-se a base
e subtraem-se os expoentes. am : an = am - n
Exemplos: 37 : 33 = 3 7 3 = 34 510 : 58 = 5 10 8 = 52 para
elevar uma potncia a um outro expoente, conserva-
se base e multiplicam-se os expoentes. Exemplo: (32)4 = 32 . 4 =
38 para elevar um produto a um expoente, eleva-se cada fator
a esse expoente. (a. b)m = am . bm
Exemplos: (4 . 7)3 = 43 . 73 ; (3. 5)2 = 32 . 52
RADICIAO Suponha que desejemos determinar um nmero que,
elevado ao quadrado, seja igual a 9. Sendo x esse nmero,
escrevemos: x2 = 9
De acordo com a potenciao, temos que x = 3, ou se-ja: 32 = 9
A operao que se realiza para determinar esse nme-ro 3 chamada
radiciao, que a operao inversa da potenciao.
Indica-se por:
392 = (l-se: raiz quadrada de 9 igual a 3) Da , escrevemos:
9339 22 == Na expresso acima, temos que:
- o smbolo chama-se sinal da raiz - o nmero 2 chama-se ndice - o
nmero 9 chama-se radicando - o nmero 3 chama-se raiz,
- o smbolo 2 9 chama-se radical As razes recebem denominaes de
acordo com o n-
dice. Por exemplo:
2 36 raiz quadrada de 36 3 125 raiz cbica de 125
4 81 raiz quarta de 81
5 32 raiz quinta de 32 e assim por diante No caso da raiz
quadrada, convencionou-se no escre-
ver o ndice 2.
Exemplo : 49 49 7 492 = = =, pois 72
-
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EXERCCIOS Calcule: a) 10 10 : 5 = b) 45 : 9 + 6 = c) 20 + 40 :
10 = d) 9. 7 3 = e) 30 : 5 + 5 = f ) 6 . 15 56 : 4 = g) 63 : 9 . 2
2 = h) 56 34 : 17 . 19 = i ) 3 . 15 : 9 + 54 :18 = j ) 24 12 : 4+1.
0 =
Respostas: a) 8 c) 24 e) 11 g) 12 i) 8
b) 11 d) 60 f) 76 h) 18 j) 21
Calcule o valor das expresses: 23 + 32 = 3 . 52 72 = 2 . 33 4.
23 = 53 3 . 62 + 22 1 = (2 + 3)2 + 2 . 34 152 : 5 = 1 + 72 3 . 24 +
(12 : 4)2 = Respostas:
a) 17 c) 22 e) 142
b) 26 d) 20 f) 11
Uma indstria de automveis produz, por dia, 1270 unida-des. Se
cada veculo comporta 5 pneus, quantos pneus sero utilizados ao
final de 30 dias? (Resposta: 190.500)
Numa diviso, o divisor 9,o quociente 12 e o resto 5. Qual o
dividendo? (113)
Numa diviso, o dividendo 227, o divisor 15 e o resto 2. Qual o
quociente? (15)
Numa diviso, o dividendo 320, o quociente 45 e o resto 5. Qual o
divisor? (7)
Num diviso, o dividendo 625, o divisor 25 e o quocien-te 25.
Qual o resto? (0)
Numa chcara havia galinhas e cabras em igual quantida-de.
Sabendo-se que o total de ps desses animais era 90, qual o nmero de
galinhas? Resposta: 15 ( 2 ps + 4 ps = 6 ps ; 90 : 6 = 15).
O dobro de um nmero adicionado a 3 igual a 13. Calcu-le o
nmero.(5)
Subtraindo 12 do qudruplo de um nmero obtemos 60. Qual esse
nmero (Resp: 18)
Num joguinho de "pega-varetas", Andr e Renato fizeram 235 pontos
no total. Renato fez 51 pontos a mais que Andr. Quantos pontos fez
cada um? ( Andr-92 e Renato-143)
Subtraindo 15 do triplo de um nmero obtemos 39. Qual o nmero?
(18)
Distribuo 50 balas, em iguais quantidades, a 3 amigos. No final
sobraram 2. Quantas balas coube a cada um? (16)
A diferena entre dois nmeros naturais zero e a sua soma 30.
Quais so esses nmeros? (15)
Um aluno ganha 5 pontos por exerccio que acerta e perde 3 pontos
por exerccio que erra. Ao final de 50 exerc-cios tinha 130 pontos.
Quantos exerccios acertou? (35)
Um edifcio tem 15 andares; cada andar, 30 salas; cada sala, 3
mesas; cada mesa, 2 gavetas; cada gaveta, 1 chave. Quantas chaves
diferentes sero necessrias para abrir todas as gavetas? (2700).
Se eu tivesse 3 dzias de balas a mais do que tenho, daria 5 e
ficaria com 100. Quantas balas tenho realmente? (69)
A soma de dois nmeros 428 e a diferena entre eles 34. Qual o
nmero maior? (231)
Pensei num nmero e juntei a ele 5, obtendo 31. Qual o nmero?
(26)
Qual o nmero que multiplicado por 7 resulta 56? (8) O dobro das
balas que possuo mais 10 36. Quantas
balas possuo? (13). Raul e Lus pescaram 18 peixinhos. Raul
pescou o
dobro de Lus. Quanto pescou cada um? (Raul-12 e Lus-6)
PROBLEMAS Vamos calcular o valor de x nos mais diversos
casos:
1) x + 4 = 10 Obtm-se o valor de x, aplicando a operao inversa
da adio:
x = 10 4 x = 6 2) 5x = 20
Aplicando a operao inversa da multiplicao, temos: x = 20 : 5 x =
4 3) x 5 = 10
Obtm-se o valor de x, aplicando a operao inversa da subtrao:
x = 10 + 5 x = 15 4) x : 2 = 4
Aplicando a operao inversa da diviso, temos: x = 4 . 2 x = 8
COMO ACHAR O VALOR DESCONHECIDO EM UM PROBLEMA
Usando a letra x para representar um nmero, pode-mos expressar,
em linguagem matemtica, fatos e senten-as da linguagem corrente
referentes a esse nmero, ob-serve: - duas vezes o nmero 2 . x - o
nmero mais 2 x + 2
- a metade do nmero 2x
- a soma do dobro com a metade do nmero
2x
x2 +
- a quarta parte do nmero 4x
PROBLEMA 1 Vera e Paula tm juntas R$ 1.080,00. Vera tem o
triplo
do que tem Paula. Quanto tem cada uma? Soluo:
x + 3x = 1080 4x = 1080 x = 1080 : 4
-
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x = 270 3 . 270 = 810
Resposta: Vera R$ 810,00 e Paula R$ 270,00 PROBLEMA 2 Paulo foi
comprar um computador e uma bicicleta. Pa-
gou por tudo R$ 5.600,00. Quanto custou cada um, saben-do-se que
a computador seis vezes mais caro que a bicicleta?
Soluo: x + 6x = 5600
7x = 5600 x = 5600 : 7 x = 800
6 . 800 = 4800 R: computador R$ 4.800,00 e bicicleta R$ 800,00
PROBLEMA 3 Repartir 21 cadernos entre Jos e suas duas irms, de
modo que cada menina receba o triplo do que recebe Jos. Quantos
cadernos receber Jos?
Soluo: x + 3x + 3x = 21
7x = 21 x = 21 : 7 x = 3
Resposta: 3 cadernos PROBLEMA 4 Repartir R$ 2.100,00 entre trs
irmos de modo que o
2 receba o dobro do que recebe o 1 , e o 3 o dobro do que recebe
o 2. Quanto receber cada um?
Soluo: x + 2x + 4x = 2100
7x = 2100 x = 2100 : 7 x = 300
300 . 2 = 600 300 . 4 = 1200
Resposta: R$ 300,00; R$ 600,00; R$ 1200,00 PROBLEMA 5 A soma das
idades de duas pessoas 40 anos. A ida-
de de uma o triplo da idade da outra. Qual a idade de cada
uma?
Soluo: 3x + x = 40
4x = 40 x = 40 : 4 x = 10
3 . 10 = 30 Resposta: 10 e 30 anos. PROBLEMA 6 A soma das nossas
idades 45 anos. Eu sou 5 anos
mais velho que voc. Quantos anos eu tenho? x + x + 5 = 45
x + x = 45 5 2x = 40 x = 20
20 + 5 = 25
Resposta: 25 anos PROBLEMA 7 Sua bola custou R$ 10,00 menos que
a minha. Quanto
pagamos por elas, se ambas custaram R$ 150,00? Soluo:
x + x 10 = 150 2x = 150 + 10 2x = 160 x = 160 : 2 x = 80
80 10 = 70 Resposta: R$ 70,00 e R$ 80,00 PROBLEMA 8 Jos tem o
dobro do que tem Srgio, e Paulo tanto
quanto os dois anteriores juntos. Quanto tem cada um, se os trs
juntos possuem R$ 624,00?
Soluo: x + 2x + x + 2x = 624
6x = 624 x = 624 : 6 x = 104
Resposta:S-R$ 104,00; J-R$ 208,00; P- R$ 312,00 PROBLEMA 9 Se eu
tivesse 4 rosas a mais do que tenho, poderia dar
a voc 7 rosas e ainda ficaria com 2. Quantas rosas tenho?
Soluo:
x + 4 7 = 2 x + 4 = 7 + 2 x + 4 = 9
x = 9 4 x = 5
Resposta: 5 CONJUNTO DOS NMEROS INTEIROS (Z)
Conhecemos o conjunto N dos nmeros naturais: N = {0, 1, 2, 3, 4,
5, .....,} Assim, os nmeros precedidos do sinal + chamam-se
positivos, e os precedidos de - so negativos. Exemplos: Nmeros
inteiros positivos: {+1, +2, +3, +4, ....} Nmeros inteiros
negativos: {-1, -2, -3, -4, ....} O conjunto dos nmeros inteiros
relativos formado pe-
los nmeros inteiros positivos, pelo zero e pelos nmeros inteiros
negativos. Tambm o chamamos de CONJUNTO DOS NMEROS INTEIROS e o
representamos pela letra Z, isto : Z = {..., -3, -2, -1, 0, +1, +2,
+3, ... }
O zero no um nmero positivo nem negativo. Todo nmero positivo
escrito sem o seu sinal positivo.
Exemplo: + 3 = 3 ; +10 = 10 Ento, podemos escrever: Z = {...,
-3, -2, -1, 0 , 1, 2, 3, ...} N um subconjunto de Z. REPRESENTAO
GEOMTRICA Cada nmero inteiro pode ser representado por um
ponto sobre uma reta. Por exemplo:
-
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Ao ponto zero, chamamos origem, corresponde o n-mero zero.
Nas representaes geomtricas, temos direita do ze-ro os nmeros
inteiros positivos, e esquerda do zero, os nmeros inteiros
negativos.
Observando a figura anterior, vemos que cada ponto a representao
geomtrica de um nmero inteiro.
Exemplos: ponto C a representao geomtrica do nmero +3 ponto B' a
representao geomtrica do nmero -2
ADIO DE DOIS NMEROS INTEIROS 1) A soma de zero com um nmero
inteiro o prprio
nmero inteiro: 0 + (-2) = -2 2) A soma de dois nmeros inteiros
positivos um nmero
inteiro positivo igual soma dos mdulos dos nmeros dados: (+700)
+ (+200) = +900
3) A soma de dois nmeros inteiros negativos um nme-ro inteiro
negativo igual soma dos mdulos dos nme-ros dados: (-2) + (-4) =
-6
4) A soma de dois nmeros inteiros de sinais contrrios igual
diferena dos mdulos, e o sinal o da parcela de maior mdulo: (-800)
+ (+300) = -500 ADIO DE TRS OU MAIS NMEROS INTEIROS A soma de trs
ou mais nmeros inteiros efetuada a-
dicionando-se todos os nmeros positivos e todos os nega-tivos e,
em seguida, efetuando-se a soma do nmero nega-tivo.
Exemplos: 1) (+6) + (+3) + (-6) + (-5) + (+8) =
(+17) + (-11) = + 6
2) (+3) + (-4) + (+2) + (-8) =
(+5) + (-12) = 7
PROPRIEDADES DA ADIO A adio de nmeros inteiros possui as
seguintes pro-
priedades: 1) FECHAMENTO A soma de dois nmeros inteiros sempre
um nmero inteiro: (-3) + (+6) = + 3 Z 2) ASSOCIATIVA Se a, b, c so
nmeros inteiros quaisquer, ento: a + (b + c) = (a + b) + c
Exemplo:
(+3) +[(-4) + (+2)] = [(+3) + (-4)] + (+2)
(+3) + (-2) = (-1) + (+2)
+1 = +1 3) ELEMENTO NEUTRO Se a um nmero inteiro qualquer,
temos: a+ 0 = a e 0 + a = a Isto significa que o zero elemento
neutro para a adi-o. Exemplo: (+2) + 0 = +2 e 0 + (+2) = +2
4) OPOSTO OU SIMTRICO
Se a um nmero inteiro qualquer, existe um nico nmero oposto ou
simtrico representado por (-a), tal que: (+a) + (-a) = 0 = (-a) +
(+a) Exemplos: (+5) + ( -5) = 0
( -5) + (+5) = 0
5) COMUTATIVA Se a e b so nmeros inteiros, ento: a + b = b + a
Exemplo: (+4) + (-6) = (-6) + (+4) -2 = -2
SUBTRAO DE NMEROS INTEIROS Em certo local, a temperatura passou
de -3C para 5C,
sofrendo, portanto, um aumento de 8C, aumento esse que pode ser
representado por:
(+5) - (-3) = (+5) + (+3) = +8 Portanto: A diferena entre dois
nmeros dados numa certa or-
dem a soma do primeiro com o oposto do segundo. Exemplos: 1)
(+6) - (+2) = (+6) + (-2 ) = +4 2) (-8 ) - (-1 ) = (-8 ) + (+1) = -
7 3) (-5 ) - (+2) = (-5 ) + (-2 ) = - 7 Na prtica, efetuamos
diretamente a subtrao, elimi-
nando os parnteses - (+4 ) = -4 - ( -4 ) = +4 Observao:
Permitindo a eliminao dos parnteses, os sinais po-
dem ser resumidos do seguinte modo: ( + ) = + + ( - ) = -
- ( + ) = - - ( - ) = + Exemplos: - ( -2) = +2 +(-6 ) = -6 -
(+3) = -3
+(+1) = +1
PROPRIEDADE DA SUBTRAO A subtrao possui uma propriedade.
FECHAMENTO: A diferena de dois nmeros inteiros
sempre um nmero inteiro. MULTIPLICAO DE NMEROS INTEIROS
1 CASO: OS DOIS FATORES SO NMEROS INTEI-ROS POSITIVOS Lembremos
que: 3 . 2 = 2 + 2 + 2 = 6 Exemplo: (+3) . (+2) = 3 . (+2) = (+2) +
(+2) + (+2) = +6 Logo: (+3) . (+2) = +6 Observando essa igualdade,
conclumos: na multiplica-
o de nmeros inteiros, temos: (+) . (+) =+ 2 CASO: UM FATOR
POSITIVO E O OUTRO
NEGATIVO Exemplos: 1) (+3) . (-4) = 3 . (-4) = (-4) + (-4) +
(-4) = -12 ou seja: (+3) . (-4) = -12 2) Lembremos que: -(+2) = -2
(-3) . (+5) = - (+3) . (+5) = -(+15) = - 15 ou seja: (-3) . (+5) =
-15 Concluso: na multiplicao de nmeros inteiros, te-
mos: ( + ) . ( - ) = - ( - ) . ( + ) = - Exemplos : (+5) . (-10)
= -50
-
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(+1) . (-8) = -8 (-2 ) . (+6 ) = -12 (-7) . (+1) = -7
3 CASO: OS DOIS FATORES SO NMEROS IN-TEIROS NEGATIVOS
Exemplo: (-3) . (-6) = -(+3) . (-6) = -(-18) = +18 isto : (-3) .
(-6) = +18 Concluso: na multiplicao de nmeros inteiros, te-
mos: ( - ) . ( - ) = + Exemplos: (-4) . (-2) = +8 (-5) . (-4) =
+20 As regras dos sinais anteriormente vistas podem ser
resumidas na seguinte: ( + ) . ( + ) = + ( + ) . ( - ) = - ( - )
. ( - ) = + ( - ) . ( + ) = - Quando um dos fatores o 0 (zero), o
produto igual a
0: (+5) . 0 = 0
PRODUTO DE TRS OU MAIS NMEROS INTEIROS
Exemplos: 1) (+5 ) . ( -4 ) . (-2 ) . (+3 ) = (-20) . (-2 ) .
(+3 ) = (+40) . (+3 ) = +120
2) (-2 ) . ( -1 ) . (+3 ) . (-2 ) = (+2 ) . (+3 ) . (-2 ) = (+6
) . (-2 ) = -12 Podemos concluir que:
Quando o nmero de fatores negativos par, o produto sempre
positivo.
Quando o nmero de fatores negativos mpar, o produto sempre
negativo.
PROPRIEDADES DA MULTIPLICAO No conjunto Z dos nmeros inteiros so
vlidas as se-
guintes propriedades: 1) FECHAMENTO Exemplo: (+4 ) . (-2 ) = - 8
Z Ento o produto de dois nmeros inteiros inteiro. 2) ASSOCIATIVA
Exemplo: (+2 ) . (-3 ) . (+4 ) Este clculo pode ser feito
diretamente, mas tambm
podemos faz-lo, agrupando os fatores de duas maneiras: (+2 ) .
[(-3 ) . (+4 )] = [(+2 ) . ( -3 )]. (+4 ) (+2 ) . (-12) = (-6 ) .
(+4 ) -24 = -24 De modo geral, temos o seguinte: Se a, b, c
representam nmeros inteiros quaisquer, en-
to: a . (b . c) = (a . b) . c 3) ELEMENTO NEUTRO Observe que:
(+4 ) . (+1 ) = +4 e (+1 ) . (+4 ) = +4 Qualquer que seja o nmero
inteiro a, temos: a . (+1 ) = a e (+1 ) . a = a O nmero inteiro +1
chama-se neutro para a multiplica-
o. 4) COMUTATIVA Observemos que: (+2). (-4 ) = - 8 e (-4 ) . (+2
) = - 8 Portanto: (+2 ) . (-4 ) = (-4 ) . (+2 ) Se a e b so nmeros
inteiros quaisquer, ento: a . b =
b . a, isto , a ordem dos fatores no altera o produto.
5) DISTRIBUTIVA EM RELAO ADIO E SUBTRAO
Observe os exemplos: (+3 ) . [( -5 ) + (+2 )] = (+3 ) . ( -5 ) +
(+3 ) . (+2 ) (+4 ) . [( -2 ) - (+8 )] = (+4 ) . ( -2 ) - (+4 ) .
(+8 ) Concluso: Se a, b, c representam nmeros inteiros quaisquer,
te-
mos: a) a . [b + c] = a . b + a . c A igualdade acima conhecida
como propriedade
distributiva da multiplicao em relao adio. b) a . [b c] = a . b
- a . c A igualdade acima conhecida como propriedade dis-
tributiva da multiplicao em relao subtrao.
DIVISO DE NMEROS INTEIROS CONCEITO Dividir (+16) por 2 achar um
nmero que, multiplicado
por 2, d 16. 16 : 2 = ? 2 . ( ? ) = 16 O nmero procurado 8.
Analogamente, temos: 1) (+12) : (+3 ) = +4 porque (+4 ) . (+3 ) =
+12 2) (+12) : ( -3 ) = - 4 porque (- 4 ) . ( -3 ) = +12 3) ( -12)
: (+3 ) = - 4 porque (- 4 ) . (+3 ) = -12 4) ( -12) : ( -3 ) = +4
porque (+4 ) . ( -3 ) = -12 A diviso de nmeros inteiros s pode ser
realizada
quando o quociente um nmero inteiro, ou seja, quando o dividendo
mltiplo do divisor.
Portanto, o quociente deve ser um nmero inteiro. Exemplos: ( -8
) : (+2 ) = -4 ( -4 ) : (+3 ) = no um nmero inteiro Lembramos que a
regra dos sinais para a diviso a
mesma que vimos para a multiplicao: ( + ) : ( + ) = + ( + ) : (
- ) = - ( - ) : ( - ) = + ( - ) : ( + ) = - Exemplos: ( +8 ) : ( -2
) = -4 (-10) : ( -5 ) = +2 (+1 ) : ( -1 ) = -1 (-12) : (+3 ) =
-4
Como vimos: (+4 ) : (+3 ) Z Portanto, no vale em Z a propriedade
do fechamento
para a diviso. Alem disso, tambm no so vlidas as proposies
associativa, comutativa e do elemento neutro.
POTENCIAO DE NMEROS INTEIROS CONCEITO A notao (+2 )3 = (+2 ) .
(+2 ) . (+2 )
um produto de trs fatores iguais Analogamente: ( -2 )4 = ( -2 )
. ( -2 ) . ( -2 ) . ( -2 )
um produto de quatro fatores iguais Portanto potncia um produto
de fatores iguais. Na potncia (+5 )2 = +25, temos:
-
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+5 ---------- base 2 ---------- expoente +25 ---------- potncia
Observaces : (+2 ) 1 significa +2, isto , (+2 )1 = +2 ( -3 )1
significa -3, isto , ( -3 )1 = -3 CLCULOS O EXPOENTE PAR Calcular
as potncias (+2 )4 = (+2 ) . (+2 ) . (+2 ) . (+2 ) = +16
isto , (+2)4 = +16 ( -2 )4 = ( -2 ) . ( -2 ) . ( -2 ) . ( -2 ) =
+16
isto , (-2 )4 = +16 Observamos que: (+2)4 = +16 e (-2)4 = +16
Ento, de modo geral, temos a regra: Quando o expoente par, a
potncia sempre um n-
mero positivo. Outros exemplos: (-1)6 = +1 (+3)2 = +9
Calcular as potncias: (+2 )3 = (+2 ) . (+2 ) . (+2 ) = +8 isto ,
(+2)3 = + 8 ( -2 )3 = ( -2 ) . ( -2 ) . ( -2 ) = -8 ou seja, (-2)3
= -8 Observamos que: (+2 )3 = +8 e ( -2 )3 = -8 Da, a regra: Quando
o expoente mpar, a potncia tem o mesmo
sinal da base. Outros exemplos: (- 3) 3 = - 27 (+2)4 = +16
PROPRIEDADES PRODUTO DE POTNCIAS DE MESMA BASE Exemplos: (+2 )3 .
(+2 )2 = (+2 )3+22 = (+2 )5 ( -2 )2 . ( -2 )3 . ( -2 )5 = ( -2 ) 2
+ 3 + 5 = ( -2 )10 Para multiplicar potncias de mesma base,
mantemos a
base e somamos os expoentes.
(+2 ) 5 : (+2 )2 = (+2 )5-2 = (+2 )3 ( -2 )7 : ( -2 )3 = ( -2
)7-3 = ( -2 )4 Para dividir potncias de mesma base em que o
expo-
ente do dividendo maior que o expoente do divisor, man-temos a
base e subtramos os expoentes.
[( -4 )3]5 = ( -4 )3 . 5 = ( -4 )15 Para calcular uma potncia de
potncia, conservamos a
base da primeira potncia e multiplicamos os expoentes .
[( -2 ) . (+3 ) . ( -5 )]4 = ( -2 )4 . (+3 )4 . ( -5 )4 Para
calcular a potncia de um produto, sendo n o ex-
poente, elevamos cada fator ao expoente n.
(+2 )5 : (+2 )5 = (+2 )5-5 = (+2 )0 e (+2 )5 : (+2 )5 = 1
Consequentemente: (+2 )0 = 1 ( -4 )0 = 1 Qualquer potncia de
expoente zero igual a 1. Observao: No confundir -32 com ( -3 )2,
porque -32 significa -(
3 )2 e portanto -32 = -( 3 )2 = -9 enquanto que: ( -3 )2 = ( -3
) . ( -3 ) = +9 Logo: -3 2 ( -3 )2
CLCULOS
O EXPOENTE PAR Calcular as potncias (+2 )4 = (+2 ) . (+2 ) . (+2
) . (+2 ) = +16 isto , (+2)4 = +16 ( -2 )4 = ( -2 ) . ( -2 ) . ( -2
) . ( -2 ) = +16 isto , (-2 )4 = +16 Observamos que: (+2)4 = +16 e
(-2)4 = +16 Ento, de modo geral, temos a regra: Quando o expoente
par, a potncia sempre um n-
mero positivo. Outros exemplos: (-1)6 = +1 (+3)2 = +9
O EXPOENTE MPAR Exemplos: Calcular as potncias: 1) (+2 )3 = (+2
) . (+2 ) . (+2 ) = +8 isto , (+2)3 = + 8 2) ( -2 )3 = ( -2 ) . (
-2 ) . ( -2 ) = -8 ou seja, (-2)3 = -8
Observamos que: (+2 )3 = +8 e ( -2 )3 = -8 Da, a regra: Quando o
expoente mpar, a potncia tem o mesmo
sinal da base. Outros exemplos: (- 3) 3 = - 27 (+2)4 = +16
PROPRIEDADES PRODUTO DE POTNCIAS DE MESMA BASE Exemplos: (+2 )3
. (+2 )2 = (+2 )3+22 = (+2 )5 ( -2 )2 . ( -2 )3 . ( -2 )5 = ( -2 )
2 + 3 + 5 = ( -2 )10 Para multiplicar potncias de mesma base,
mantemos a
base e somamos os expoentes.
(+2 ) 5 : (+2 )2 = (+2 )5-2 = (+2 )3 ( -2 )7 : ( -2 )3 = ( -2
)7-3 = ( -2 )4 Para dividir potncias de mesma base em que o
expo-
ente do dividendo maior que o expoente do divisor, man-temos a
base e subtramos os expoentes.
[( -4 )3]5 = ( -4 )3 . 5 = ( -4 )15 Para calcular uma potncia de
potncia, conservamos a
base da primeira potncia e multiplicamos os expoentes .
-
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Matemtica A Opo Certa Para a Sua Realizao 11
[( -2 ) . (+3 ) . ( -5 )]4 = ( -2 )4 . (+3 )4 . ( -5 )4 Para
calcular a potncia de um produto, sendo n o ex-
poente, elevamos cada fator ao expoente n.
(+2 )5 : (+2 )5 = (+2 )5-5 = (+2 )0 e (+2 )5 : (+2 )5 = 1
Consequentemente: (+2 )0 = 1 ( -4 )0 = 1 Qualquer potncia de
expoente zero igual a 1. Observao: No confundir-32 com (-3)2,
porque -32
significa -( 3 )2 e portanto: -32 = -( 3 )2 = -9 enquanto que: (
-3 )2 = ( -3 ) . ( -3 ) = +9 Logo: -3 2 ( -3 )2
MLTIPLOS E DIVISORES, MXIMO DIVISOR COMUM E MNIMO MLTIPLO
COMUM.
NMEROS PARES E MPARES Os pitagricos estudavam natureza dos
nmeros, e ba-
seado nesta natureza criaram sua filosofia e modo de vida. Vamos
definir nmeros pares e mpares de acordo com a concepo pitagrica:
par o nmero que pode ser dividido em duas partes iguais,
sem que uma unidade fique no meio, e mpar aquele que no pode ser
dividido em duas partes iguais, porque sempre h uma unidade no meio
Uma outra caracterizao, nos mostra a preocupao com
natureza dos nmeros: nmero par aquele que tanto pode ser
dividido em duas
partes iguais como em partes desiguais, mas de forma tal que em
nenhuma destas divises haja uma mistura da na-tureza par com a
natureza mpar, nem da mpar com a par. Isto tem uma nica exceo, que
o princpio do par, o nmero 2, que no admite a diviso em partes
desi-guais, porque ele formado por duas unidades e, se isto pode
ser dito, do primeiro nmero par, 2. Para exemplificar o texto
acima, considere o nmero 10,
que par, pode ser dividido como a soma de 5 e 5, mas tam-bm como
a soma de 7 e 3 (que so ambos mpares) ou como a soma de 6 e 4
(ambos so pares); mas nunca como a soma de um nmero par e outro
mpar. J o nmero 11, que mpar pode ser escrito como soma de 8 e 3,
um par e um mpar. Atualmente, definimos nmeros pares como sendo o
nmero que ao ser dividido por dois tm resto zero e nmeros mpares
aqueles que ao serem divididos por dois tm resto diferente de zero.
Por exemplo, 12 dividido por 2 tm resto zero, portanto 12 par. J o
nmero 13 ao ser dividido por 2 deixa resto 1, portanto 13 mpar.
MLTIPLOS E DIVISORES DIVISIBILIDADE Um nmero divisvel por 2
quando termina em 0, 2, 4, 6
ou 8. Ex.: O nmero 74 divisvel por 2, pois termina em 4. Um
nmero divisvel por 3 quando a soma dos valores
absolutos dos seus algarismos um nmero divisvel por 3. Ex.: 123
divisvel por 3, pois 1+2+3 = 6 e 6 divisvel por 3
Um nmero divisvel por 5 quando o algarismo das uni-dades 0 ou 5
(ou quando termina em o ou 5). Ex.: O nmero 320 divisvel por 5,
pois termina em 0.
Um nmero divisvel por 10 quando o algarismo das uni-dades 0 (ou
quando termina em 0). Ex.: O nmero 500 divisvel por 10, pois
termina em 0. NMEROS PRIMOS
Um nmero natural primo quando divisvel apenas por dois nmeros
distintos: ele prprio e o 1.
Exemplos: O nmero 2 primo, pois divisvel apenas por dois n-
meros diferentes: ele prprio e o 1. O nmero 5 primo, pois
divisvel apenas por dois n-
meros distintos: ele prprio e o 1. O nmero natural que divisvel
por mais de dois nmeros
diferentes chamado composto. O nmero 4 composto, pois divisvel
por 1, 2, 4. O nmero 1 no primo nem composto, pois divisvel
apenas por um nmero (ele mesmo). O nmero 2 o nico nmero par
primo.
DECOMPOSIO EM FATORES PRIMOS (FATORAO) Um nmero composto pode
ser escrito sob a forma de um
produto de fatores primos. Por exemplo, o nmero 60 pode ser
escrito na forma: 60 =
2 . 2 . 3 . 5 = 22 . 3 . 5 que chamada de forma fatorada. Para
escrever um nmero na forma fatorada, devemos
decompor esse nmero em fatores primos, procedendo do seguinte
modo:
Dividimos o nmero considerado pelo menor nmero pri-mo possvel de
modo que a diviso seja exata.
Dividimos o quociente obtido pelo menor nmero primo possvel.
Dividimos, sucessivamente, cada novo quociente pelo menor nmero
primo possvel, at que se obtenha o quociente 1.
Exemplo:
60 2
0 30 2
0 15 3
5 0 5
1
Portanto: 60 = 2 . 2 . 3 . 5 Na prtica, costuma-se traar uma
barra vertical direita
do nmero e, direita dessa barra, escrever os divisores primos;
abaixo do nmero escrevem-se os quocientes obtidos. A decomposio em
fatores primos estar terminada quando o ltimo quociente for igual a
1.
Exemplo: 60
30 15 5
1
2 2 3 5
Logo: 60 = 2 . 2 . 3 . 5
DIVISORES DE UM NMERO Consideremos o nmero 12 e vamos determinar
todos os
seus divisores Uma maneira de obter esse resultado escre-ver os
nmeros naturais de 1 a 12 e verificar se cada um ou no divisor de
12, assinalando os divisores.
1 - 2 - 3 - 4 - 5 - 6 - 7 - 8 - 9 - 10 - 11 - 12 = = = = =
=
Indicando por D(12) (l-se: "D de 12) o conjunto dos divi-sores
do nmero 12, temos:
-
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D (12) = { 1, 2, 3, 4, 6, 12} Na prtica, a maneira mais usada a
seguinte: 1) Decompomos em fatores primos o nmero considera-
do. 12 6 3 1
2 2 3
2) Colocamos um trao vertical ao lado os fatores primos e, sua
direita e acima, escrevemos o numero 1 que divisor de todos os
nmeros.
12 6 3 1
2 2 3
1
3) Multiplicamos o fator primo 2 pelo divisor 1 e escreve-mos o
produto obtido na linha correspondente.
12 6 3 1
2 2 3
x1 2
4) Multiplicamos, a seguir, cada fator primo pelos divi-sores j
obtidos, escrevendo os produtos nas linhas correspondentes, sem
repeti-los.
12 6 3 1
2 2 3
x1 2 4
12 6 3 1
2 2 3
x1 2 4 3, 6, 12
Os nmeros obtidos direita dos fatores primos so os di-visores do
nmero considerado. Portanto:
D(12) = { 1, 2, 4, 3, 6, 12} Exemplos: 1)
18 9 3 1
2 3 3
1 2 3, 6 9, 18
D(18) = {1, 2 , 3, 6, 9, 18}
2)
30 15 5 1
2 3 5
1 2 3, 6 5, 10, 15, 30
D(30) = { 1, 2, 3, 5, 6, 10, 15, 30}
MXIMO DIVISOR COMUM Recebe o nome de mximo divisor comum de dois
ou
mais nmeros o maior dos divisores comuns a esses nme-ros.
Um mtodo prtico para o clculo do M.D.C. de dois n-meros o
chamado mtodo das divises sucessivas (ou algoritmo de Euclides),
que consiste das etapas seguintes:
1) Divide-se o maior dos nmeros pelo menor. Se a di-viso for
exata, o M.D.C. entre esses nmeros o menor deles.
2) Se a diviso no for exata, divide-se o divisor (o me-nor dos
dois nmeros) pelo resto obtido na diviso anterior, e,
assim, sucessivamente, at se obter resto zero. 0 ultimo
divi-sor, assim determinado, ser o M.D.C. dos nmeros
conside-rados.
Exemplo: Calcular o M.D.C. (24, 32)
32 24 24 8
8 1 0
3
Resposta: M.D.C. (24, 32) = 8
MNIMO MLTIPLO COMUM
Recebe o nome de mnimo mltiplo comum de dois ou mais nmeros o
menor dos mltiplos (diferente de zero) co-muns a esses nmeros.
O processo prtico para o clculo do M.M.C de dois ou mais nmeros,
chamado de decomposio em fatores primos, consiste das seguintes
etapas: 1) Decompem-se em fatores primos os nmeros apresen-
tados. 2) Determina-se o produto entre os fatores primos comuns
e
no-comuns com seus maiores expoentes. Esse produto o M.M.C
procurado. Exemplos: Calcular o M.M.C (12, 18) Decompondo em
fatores primos esses nmeros, temos:
12 6 3 1
2 2 3
18 9 3 1
2 3 3
12 = 22 . 3 18 = 2 . 32
Resposta: M.M.C (12, 18) = 22 . 32 = 36
Observao: Esse processo prtico costuma ser simplifi-cado
fazendo-se uma decomposio simultnea dos nme-ros. Para isso,
escrevem-se os nmeros, um ao lado do outro, separando-os por
vrgula, e, direita da barra vertical, coloca-da aps o ltimo nmero,
escrevem-se os fatores primos comuns e no-comuns. 0 calculo estar
terminado quando a ltima linha do dispositivo for composta somente
pelo nmero 1. O M.M.C dos nmeros apresentados ser o produto dos
fatores.
Exemplo: Calcular o M.M.C (36, 48, 60)
36, 48, 60 18, 24, 30 9, 12, 15 9, 6, 15 9, 3, 15 3, 1, 5 1, 1 5
1, 1, 1
2 2 2 2 3 3 5
Resposta: M.M.C (36, 48, 60) = 24 . 32 . 5 = 720
RAZ QUADRADA EXATA DE NMEROS INTEIROS CONCEITO Consideremos o
seguinte problema: Descobrir os nmeros inteiros cujo quadrado +25.
Soluo: (+5 )2 = +25 e ( -5 )2 =+25 Resposta: + 5 e - 5 Os nmeros +5
e -5 chamam-se razes quadradas de +25. Outros exemplos:
-
APOSTILAS OPO A Sua Melhor Opo em Concursos Pblicos
Matemtica A Opo Certa Para a Sua Realizao 13
Nmero Razes quadradas +9
+16 +1
+64 +81 +49 +36
+ 3 e -3 + 4 e -4 + 1 e -1 + 8 e -8 + 9 e -9 + 7 e -7 +6 e
-6
O smbolo 25 significa a raiz quadrada de 25, isto 25 = +5 Como
25 = +5 , ento: 525 = Agora, consideremos este problema. Qual ou
quais os nmeros inteiros cujo quadrado -25? Soluo: (+5 )2 = +25 e
(-5 )2 = +25 Resposta: no existe nmero inteiro cujo quadrado
se-
ja -25, isto , 25 no existe no conjunto Z dos nmeros
inteiros.
Concluso: os nmeros inteiros positivos tm, como raiz quadrada,
um nmero positivo, os nmeros inteiros negativos no tm raiz quadrada
no conjunto Z dos nmeros inteiros.
RADICIAO A raiz n-sima de um nmero b um nmero a tal que an
= b.
baab nn ==
2325 = 5 ndice 32 radicando pois 25 = 32
raiz
2 radical
Outros exemplos : 3 8 = 2 pois 2 3 = 8 3 8 = - 2 pois ( -2 )3 =
-8
PROPRIEDADES (para a 0, b 0) 1) pm pnm n aa : := 3 215 10 33 =
2) nnn baba = 326 =
3) nnn baba :: = 4
44
165
165
=
4) ( ) m nnm aa = ( ) 3 553 xx = 5) nmm n aa = 126 33 =
EXPRESSES NUMRICAS
EXPRESSES NUMRICAS COM NMEROS INTEI-ROS ENVOLVENDO AS QUATRO
OPERAES
Para calcular o valor de uma expresso numrica com nmeros
inteiros, procedemos por etapas.
1 ETAPA: a) efetuamos o que est entre parnteses ( ) b)
eliminamos os parnteses
2 ETAPA: a) efetuamos o que est entre colchetes [ ] b)
eliminamos os colchetes 3 ETAPA: a) efetuamos o que est entre
chaves { } b) eliminamos as chaves Em cada etapa, as operaes devem
ser efetuadas na
seguinte ordem: 1) Potenciao e radiciao na ordem em que
apare-
cem. 2) Multiplicao e diviso na ordem em que aparecem. 3) Adio e
subtrao na ordem em que aparecem. Exemplos: 1) 2 + 7 . (-3 + 4) = 2
+ 7 . (+1) = 2 + 7 = 9
2) (-1 )3 + (-2 )2 : (+2 ) = -1+ (+4) : (+2 ) = -1 + (+2 ) = -1
+ 2 = +1
3) -(-4 +1) [-(3 +1)] = -(-3) - [-4 ] = +3 + 4 = 7
4) 2( -3 1)2 +3 . ( -1 3)3 + 4 -2 . ( -4 )2 + 3 . ( - 4 )3 + 4 =
-2 . (+16) + 3 . (- 64) + 4 = -32 192 + 4 = -212 + 4 = - 208
5) (-288) : (-12)2 - (-125) : ( -5 )2 = (-288) : (+144) - (-125)
: (+25) = (-2 ) - (- 5 ) = -2 + 5 = +3
6) (-10 - 8) : (+6 ) - (-25) : (-2 + 7 ) = (-18) : (+6 ) - (-25)
: (+5 ) = -3 - (- 5) = - 3 + 5 = +2
7) 52 : (+25) - (-4 )2 : 24 - 12 = -25 : (+25) - (+16) : 16 - 1
=
-1 - (+1) 1 = -1 -1 1 = -3
8) 2 . ( -3 )2 + (-40) : (+2)3 - 22 = 2 . (+9 ) + (-40) : (+8 )
- 4 = +18 + (-5) - 4 = + 18 - 9 = +9
CONJUNTO DOS NMEROS RACIONAIS (Q) Os nmeros racionais so
representados por um nume-
ral em forma de frao ou razo, ab
, se