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GESTOR DA QUALIDADE
MATEMTICA
BSICA
Matemtica Bsica para Metrologia
CENTRO CULTURAL BRASIL ESTADOS UNIDOS
NOME:
_______________________________________________________________
PROFESSOR: __________________________
GESTOR DA QUALIDADE
MATEMTICA
BSICA
Matemtica Bsica para Metrologia
CENTRO CULTURAL BRASIL ESTADOS UNIDOSSOROCABA
_______________________________________________________________
PROFESSOR: __________________________
GESTOR DA QUALIDADE
MATEMTICA
Matemtica Bsica para
CENTRO CULTURAL BRASIL ESTADOS UNIDOS
_______________________________________________________________
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2
APRESENTAO
Nos anos mais recentes as organizaes brasileiras vm sofrendo
profundas mudanas que se fazem notar por
modificaes nas relaes sociais polticas, entre os agentes
envolvidos com as vidas nas empresas nas mais variadas
tecnologias que surgem e que se tornam disponveis nas e para as
organizaes quase de que modo repentino e
inusitado nas organizaes nas modificaes extremamente profundas,
das relaes de trabalho.
O conceito de Qualidade foi primeiramente associado definio de
conformidade s especificaes.
Posteriormente o conceito evoluiu para a viso de Satisfao do
Cliente.
Obviamente a satisfao do cliente no resultado apenas e to
somente do grau de conformidade com as
especificaes tcnicas, mas, tambm de fatores como prazo e
pontualidade de entrega, condies de pagamento,
atendimento pr e ps-venda, flexibilidade, etc. Paralelamente a
esta evoluo do conceito de Qualidade, surgiu a
viso de que o mesmo era fundamental no posicionamento estratgico
da empresa perante o Mercado. Pouco tempo
depois percebeu-se que o planejamento estratgico da empresa
enfatizando a Qualidade no era suficiente para seu
sucesso. O conceito de satisfao do cliente foi ento estendido
para outras entidades envolvidas com as atividades da
Empresa.
O termo Qualidade Total representa a busca da satisfao, no s do
cliente, mas de todos os "stakeholders"
(entidades significativas na existncia da empresa) e tambm da
excelncia organizacional da empresa.
Princpios da Qualidade Total
1. Total satisfao dos clientes
2. Desenvolvimento de recursos humanos
3. Constncia de propsitos
4. Gerncia participativa
5. Aperfeioamento contnuo
6. Garantia da qualidade
7. Delegao
8. No aceitao de erros
9. Gerncia de processos
10. Disseminao de informaes
Para que um profissional na rea de qualidade esteja preparado
para enfrentar os desafios do mundo
globalizado, deve ter aperfeioamento constante e muito
conhecimento em Matemtica.
A cincia Matemtica est em todo lugar, na casa, no trabalho, nos
objetos, na vida, apontada de vrias maneiras e atravs de
descobertas fascinantes ela sempre ser exata.
Aproveite, pois informao existe em qualquer lugar, conhecimento
se adquire estudando.
CCBEU Sorocaba
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3
CAPTULO I MDIA ARITMTICA SIMPLES E PONDERADA A mdia aritmtica
simples determina-se com a soma dos valores do conjunto, dividindo
pelo total de elementos, utilizando a frmula abaixo:
Onde: x = mdia aritmtica x = soma dos valores do conjunto n =
total de elementos
Exemplos: Um grupo de pessoas tem as seguintes idades: Idade: 10
anos, 15 anos, 20 anos, 25 anos e 30 anos. Assim: Somam-se todas as
idades: 10+15+20+25+30 = 100 Como possuem 5 idades: n = 5,
aplica-se a formula:
Mdia aritmtica ponderada Definio A mdia aritmtica ponderada a
mdia dos elementos do conjunto numrico A em relao adio, onde todos
os elementos tm o seu determinado peso. Calculo da mdia aritmtica
ponderada Sendo x a mdia aritmtica ponderada dos elementos do
conjunto numrico A = {x1, x2, x3; ...; xn}, com seus respectivos
pesos p1; p2; p3; ...; pn, nesse caso, temos, por definio:
Note que quando p1 = p2 = p3 = ... = pn = 1, nesse caso,
temos:
x = x / n
x = x / n x = 100 / 5 x = 20
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4
como a mdia aritmtica simples. Concluso Para se obter a mdia
aritmtica ponderada dos n elementos do conjunto numrico A,
necessrio determinar a soma dos produtos de cada elemento
multiplicado pelo respectivo peso, e dividi-la pela soma dos pesos.
Mdia Aritmtica Ponderada.
Exemplo: 1. Um colgio resolveu inovar a forma de calcular a mdia
final de seu alunos. 1 bimestre teve peso 2. 2 bimestre teve peso
2. 3 bimestre teve peso 3. 4 bimestre teve peso 3. Vamos calcular a
mdia anual de Ricardo que obteve as seguintes notas em historia. 1
bim = 3, 2 bim = 2,5, 3 bim = 3,5 e 4 bim = 3
EXERCCIOS COMPLEMENTARES
1. Calcule a mdia em cada grupo de nmeros. a) 23, 16 e 24. b) 8,
18, 16, 9, 10, 11, 12.
2. Adriana obteve nas duas avaliaes de Qualidade as notas 6 e
10. Qual ser sua mdia nas avaliaes. 3. Obtenha a media da idade dos
contratados para estagiar na rea de metrologia, conforme tabela
abaixo:
Alunos Idades (anos) Aline 17
Amanda 16 Adriana 15 Joaquim 18 Marcelo 14
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5
4. Numa grande empresa, em trs setores pesquisados num
determinado dia, foram constatadas faltas de funcionrios, assim
distribudos:
* 4% no setor administrativo;
* 8% no setor de produo;
* 12% no setor comercial.
Calcule a mdia de faltas desse dia, considerando que, no setor
de produo, h 200 funcionrios, o setor administrativo tem 50
funcionrios e o setor comercial tem 75 funcionrios. X = (16 + 2 +
9) / 325 = 8,3%
5. Calcule a Mdia Aritmtica Ponderada entre :
a) 6 e 8 para os respectivos pesos 1,5 e 3,5
b) 8,5; 7,0 e 9 para os respectivos pesos 2, 3, e 5
c) 7, 6, 10 e 8 para os respectivos pesos 3, 3, 2, e 2
CAPTULO II OPERAES COM NMEROS RACIONAIS ABSOLUTOS ADIO E SUBTRAO
1 Caso: As fraes tm o mesmo denominador
a) Vamos calcular: 5
2 +
5
1
5
2 +
5
1 =
5
3 Somamos os numeradores e conservamos os denominadores.
b) Vamos calcular: 7
5 -
7
2
7
5 -
7
2 =
7
3 Subtramos os numeradores e conservamos o denominador
comum.
2 Caso: Reduzimos as fraes ao menor denominador comum (MMC Mnimo
Mltiplo Comum) e procedemos como no primeiro caso. (Divide pelo de
baixo e multiplica pelo de cima) Exemplos:
a) 3
2 +
2
1 =
6
4 +
6
3 =
6
7
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6
b) 3
2 -
4
1 =
12
8 -
12
3 =
12
5
MULTIPLICAO
Vamos calcular 3
2 x
5
4.
Consideremos 3
2 de um lado.
Consideremos 5
4 do outro lado.
Cada quadradinho representa 15
1.
A parte grifada representa 15
8
Pela figura: 3
2 x
5
4 =
15
8
Concluso: Multiplicamos os numeradores entre si e os
denominadores entre si. SIMPLIFICAO Em alguns casos, podemos
efetuar simplificaes, antes de multiplicar. A simplificao feita com
numerador e denominador da mesma frao ou ento com numerador de uma
frao e denominador de outra. Exemplo:
a) 7
5 x
5
2 =
7
1 x
1
2 =
7
2
b) 8
6 x
5
7 =
4
3 x
5
7 =
20
21
FRAO DE FRAO A preposio de , quando colocada entre duas fraes,
significa multiplicao por. Exemplos:
a) 5
4 de
5
3 =
5
4 x
3
2 =
15
8
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7
b) 7
3 de
2
1 =
7
3 x
2
1 =
14
3
DIVISO
Vamos calcular: 2
1 :
6
1.
2
1
6
1
Dividindo a parte riscada )2
1( por
6
1 observamos que o resultado 3.
(3 partes), ou seja: a) 2
1 :
6
1 = 3
Agora observe a operao abaixo:
b) 2
1 :
6
1 =
2
1 x
1
6 = 3
Comparando a e b, conclumos que: para dividir uma frao por
outra, basta multiplicar a primeira frao pela inversa da segunda.
Exemplos:
a) 3
2 :
2
5 =
3
2 x
5
2 =
15
4
b) 9
7 :
5
1 =
9
7 x
1
5 =
9
35
c) 7
3 : 4 =
7
3 x
4
1 =
28
3
EXERCCIOS COMPLEMENTARES 1. Efetue as adies:
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8
a) 3
1 +
5
1 =
b) 5
4 +
3
1 +
6
7=
2. Efetue as subtraes:
a) 4
5 -
2
1=
b) 8
7 -
6
1=
3. Efetue:
Resolvido 3 + 4
1 =
4
12 +
4
1 =
4
13
a) 2 + 3
5=
b) 2
11 - 3 =
4. Efetue:
Resolvido 6
5 +2
3
1 =
6
5 +
3
7 =
6
5 +
6
14 =
6
19
a) 5
4 + 3
4
1=
b) 2
11 - 2
3
1 =
5. Efetua as multiplicaes:
a) 2
1 x
8
5 =
b) 5
3 x
2
1 =
6. Efetue:
-
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9
Resolvido 3 x 2
1 =
1
3 x
2
1 =
2
3
a) 8
1 x 5 =
b) 3 x 5
2 =
7. Simplifique antes de efetuar as operaes:
a) 7
3 x
3
2 =
b) 8
5 x
7
8 =
8. Calcule:
a) 2
1 de
5
3 =
b) 4
5 de 12 =
9. Efetue as Divises:
a) 0 : 6
5 =
b) 9
2 :
7
4=
10. Calcule:
Resolvido:
1
32
5
= 3
1 :
5
2 =
3
1 x
2
5 =
6
5
a)
3
54
7
= b)
523
=
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10
CAPTULO III
NMEROS DECIMAIS Frao Decimal Chama-se frao decimal toda frao
cujo denominador 10 ou potncia de 10 (100, 1000, ...) .
Exemplos:
a) 10
7 =
b) 100
3 =
c) 1000
27 =
Nmeros Decimais As fraes Decimais podem ser escritas sob a forma
de nmeros decimais. Assim:
Fraes Decimais Nmeros Decimais
10
7
0,7
100
3
0,03
1000
27
0,027
Nos nmeros decimais, a vrgula separa a parte inteira da parte
decimal. Exemplos: Parte inteira 0,7 Parte decimal Parte inteira
15,431 Parte decimal Leitura de um nmero decimal Para ler um nmero
decimal, procedemos do seguinte modo: 1 Lem-se os inteiros. 2 L-se
a parte decimal, seguida da palavra:
dcimos se houver uma casa decimal; centsimos se houver duas
casas decimais; milsimos se houver trs casas decimais.
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11
Exemplos:
a) 5,3 - l-se: cinco inteiros e trs dcimos. b) 1,34 - l-se: um
inteiro e trinta e quatro centsimos. c) 12,007 - l-se: doze
inteiros e sete milsimos.
Quando a parte inteira for zero, l-se apenas a parte decimal.
Exemplos:
a) 0,4 quatro dcimos b) 0,38 trinta e oito centsimos
Transformao de Frao Decimal em Nmero Decimal Para transformar
uma frao decimal em nmero decimal, escrevemos o numerador e
separamos, direita da vrgula, tantas casas quantos so os zeros do
denominador. Exemplos:
a) 10
42 = 4,2 = denominador 10 = um algarismo depois da vrgula.
b) 100
135 = 1,35 = denominador 100 = dois algarismos depois da
vrgula.
c) 1000
135 = 0,135 = denominador 1000 = trs algarismos depois da
vrgula.
Transformao de Nmero Decimal em Frao Decimal Procedimento:
O numerador o nmero decimal sem a vrgula. O denominador o nmero
1 acompanhado de tantos zeros quantos forem os algarismos do nmero
decimal
depois da vrgula. Exemplos:
a) 0,7 = 10
7 um algarismo depois da vrgula = um zero.
b) 8,34 = 100
834 dois algarismos depois da vrgula = dois zeros.
c) 0,005 = 1000
5 trs algarismos depois da vrgula = trs zeros.
EXERCCIOS COMPLEMENTARES
1. Quais das fraes abaixo so decimais?
a) 20
7
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12
b) 5
3
c) 100
9
d) 10000
3
2. Transforme as fraes decimais em nmeros decimais:
a) 10
7 =
b) 10
517=
c) 10000
15238 =
3. Transforme os nmeros decimais em fraes decimais:
a) 0,4
b) 7,3
c) 4,29
d) 8,436
e) 68,37
f) 0,08
g) 7,016
h) 138,11
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13
CAPTULO IV
SISTEMA MTRICO DECIMAL
Definio
O SISTEMA MTRICO DECIMAL parte integrante do Sistema de Medidas.
adotado no Brasil tendo
como unidade fundamental de medida o metro.
O Sistema de Medidas um conjunto de medidas usado em quase todo
o mundo, visando padronizar as
formas de medio.
Deste os tempos passados os povos criavam seu mtodo prprio de
unidades de medidas. Cada um, desta
forma, tinha seus prprios mtodos de medio.
Com o comrcio crescente e em expanso na poca, ficava cada vez
mais complicado operar com tamanha
diversidade de sistemas de medidas e a troca de informaes entre
os povos era confusa.
Assim foi necessrio que se adotasse um sistema padro de medidas
em suas respectivas grandezas.
Ento no ano de 1971, um grupo de representantes de diversos
pases reuniu-se para discutir a forma de
adotar um sistema de medidas nico que facilitasse a troca de
informaes entre os povos. Foi desenvolvido o sistema
mtrico decimal.
O metro
O termo metro oriundo da palavra grega mtron e tem como
significado o que mede. Estabeleceu-se
no princpio que a medida do metro seria a dcima milionsima parte
da distncia entre o Plo Norte e Equador,
medida pelo meridiano que passa pela cidade francesa de Paris. O
metro padro foi criado no de 1799 e hoje baseado
no espao percorrido pela luz no vcuo em um determinado perodo de
tempo.
As primeiras medies
No mundo atual, temos os mais diversos meios e instrumentos que
permitem ao homem moderno medir
comprimentos. Porm nem sempre foi desta forma, h 3.000 anos,
quando no se existia os recursos atuais, como o
homem fazia para efetuar medidas de comprimentos?
Esta necessidade de medir espaos to antiga quanto necessidade de
contar. Quando o homem comeou a
construir suas habitaes e desenvolver sua agricultura e outros
meios de sobrevivncia e desenvolvimento
econmico, que se fazia necessrio medir espaos, ento houve ai a
necessidade de se medir espaos.
Desta forma, para medir espaos o homem antigo, tinha como base
seu prprio corpo, por isto que surgiram:
polegadas, a braa, o passo, o palmo. Algumas destas medidas
ainda so usadas at hoje, como o caso da polegada.
H algum tempo, o povo egpcio usava como padro para comprimento,
o cbito, que a distncia do
cotovelo a ponta do dedo mdio.
Como as pessoas, claro, tem tamanhos diferentes, o cbito variava
de uma pessoa para outra, fazendo com
que houvesse muita divergncia nos resultados finais de
medidas.
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14
Ento, vendo este problema de variao de medidas, o povo egpcio
resolveu adotar outra forma de medir o
cbito, passaram ento ao invs de usar seu prprio corpo, a usarem
uma barra de pedra como o mesmo
comprimento, assim deu-se origem ento o cbito padro.
Como era impossvel realizar medies em extenses grandes, o povo
egpcio ento comeou a usar cordas,
para medir grandes reas. Tnhamos ns que eram igualmente
colocados em espaos iguais, e o intervalo entre estes
ns, poderia medir x cbitos fixos. Desta forma de medio com
cordas, originou-se o que chamamos hoje de
trena.
Mltiplos e submltiplos do Metro
Como o metro a unidade fundamental do comprimento, existem
evidentemente os seus respectivos mltiplos
e submltiplos.
Os nomes pr-fixos destes mltiplos e submltiplos so: quilo,
hecto, deca, centi e mili.
Veja o quadro:
Os mltiplos do metro so usados para realizar medio em grandes
reas/distncias, enquanto os submltiplos para
realizar medio em pequenas distncias.
Leitura das Medidas de comprimento Podemos efetuar a leitura
corretas das medidas de comprimento com auxilio de um quadro
chamado quadro de unidades. Exemplo: Leia 16,072 m
Aps ter colocado os respectivos valores dentro das unidades
equivalentes, l-se a parte inteira acompanhada da unidade de medida
do seu ltimo algarismo e a parte decimal com a unidade de medida o
ltimo algarismo. Veja outros exemplos de leitura: 8,05 km = L-se
assim: Oito quilmetros e cinco decmetros
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15
72,207 dam = L-se assim: Setenta e dois decmetros e duzentos e
sete centmetros 0,004 m = L-se assim: quatro milmetros *
Transformar unidades Este um item que muito pedido em grande parte
de concursos que exigem matemtica, e justamente onde muitas pessoas
que estudam este tema tem comprometido seus resultados. Observe a
tabela abaixo:
Agora observe os exemplos de transformaes 1) Transforme 17,475hm
em m
Para transformar hm (hectmetro) em m (metro) - observe que so
duas casas direita - multiplicamos por 100, ou seja, (10 x 10).
17,475 x 100 = 1747,50 Ou seja 17,475 hm = 1747,50m 2) Transforme
2,462 dam em cm
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16
Para transformar dam (Decmetro) em cm (Centmetro) observe que so
trs casas direita multiplicamos por 1000, ou seja, (10 x 10 x 10).
2,462 x 1000 = 2462 Ou seja 2,462dam = 2462cm 3) Transforme 186,8m
em dam.
Para transformar m (metro) em dam (decmetro) observe que uma
casa esquerda dividimos por 10. 186,8 10 = 18,68 Ou seja 186,8m =
18,68dam 4) Transforme 864m em km. Para transformar m (metro) em km
(Kilmetro) observe que so trs casas esquerda dividimos por 1000.
864 1000 = 0,864 Ou seja 864m = 0,864km Obs. Os quadros das medidas
foram colocados em cada operao repetidamente, de propsito, para que
haja uma fixao, pois fundamental conhecer decoradamente estas
posies. EXERCCIOS COMPLEMENTARES
1 - Transforme em m:
a) 1,23 km b) 1003 mm
c) 0,02 km d) 51 cm
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17
e) 17 mm f) 206cm
g) 200 km h) 2,69 dm
i) 4,12 hm j) 511 dam
CAPTULO V
PORCENTAGEM A porcentagem de grande importncia no
desenvolvimento de noes matemticas aplicadas ao mercado financeiro.
Normalmente, a taxa representada pela letra i, onde a notao i% (i
por cento) usada para representar a frao i/100 = i%. Assim: 20% de
200 = 20/100 * 200 = 0,2 * 200 = 40 P= i * p onde: P porcentagem e
p o preo, valor ou quantidade Utilizando regra de trs:
100X = 200*20 100X = 4000 X = 4000/100 X = 40
Razo centesimal
Toda a razo que tem para consequente o nmero 100 denomina-se
razo centesimal. Alguns exemplos:
Podemos representar uma razo centesimal de outras formas:
As expresses 7%, 16% e 125% so chamadas taxas centesimais ou
taxas percentuais.
Considere o seguinte problema:
Joo vendeu 50% dos seus 50 cavalos. Quantos cavalos ele vendeu?
Para solucionar esse problema devemos aplicar a taxa percentual
(50%) sobre o total de cavalos.
200 = 100% X 20%
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18
Logo, ele vendeu 25 cavalos, que representa a porcentagem
procurada.
Portanto, chegamos seguinte definio:
Porcentagem o valor obtido ao aplicarmos uma taxa percentual a
um determinado valor.
EXERCCIOS COMPLEMENTARES
1) Calcule:
a) 10% de 50 b) 5% de 50 c) 29% de 290
2) Numa empresa de 50 funcionrios, 20 so mulheres. Qual a
porcentagem dos homens na empresa?
3) O Salrio de Jair igual a 50% do que ganha Carlos. A diferena
dos salrios de R$350,00. Qual o salrio do Jair? 4) Uma fbrica
possui 800 funcionrios dos quais 400 so homens, 320 mulheres e 80
menores. Qual a porcentagem de cada um? 5) O preo que consta na
etiqueta de uma cala jeans de R$85,00. Essa cala entrou em promoo
com desconto de 8%. Aps uma semana sem vend-la, novamente voltaram
a acrescentar outro desconto de 8 %. Qual o preo atual da cala? 6)
Numa loja, um carro que custa R$48.000,00 sofreu desconto de 10% no
saldo de final de semana, como no foi vendido, o proprietrio
aumentou o preo em 8% sobre o valor do saldo. Quanto custa o carro
agora? 7) Dobro de x quantos % dele mesmo (x)
8) Uma pessoa investiu R$ 8.000,00 em aes. No primeiro ms, ela
perdeu 40% do total investido e, no segundo ms, ela recuperou 50%
do que havia perdido. Logo aps os dois meses, a quantia com que ela
ficou igual a: (Questo 33 concurso Secretrio Escola 2002).
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19
CAPTULO VI
Grandezas Diretamente ou Inversamente Proporcionais Uma grandeza
pode ser proporcional ou inversamente proporcional, a duas ou mais
grandezas. Ser proporcional quando a variao da primeira grandeza
levar a segunda a variar no mesmo sentido ou caso seja sentido
diferente ser inversamente. Representa-se diretamente proporcional
as setas no mesmo sentido: e, representa-se inversamente
proporcional as setas no sentido contrrio Exemplos:
Quantidade de metros de fio e preo diretamente proporcional
Velocidade e tempo inversamente proporcional
Salrio e nmero de horas de trabalho diretamente proporcional
Tempo de construo e operrios inversamente proporcional
Utiliza-se regra de trs simples ou composta, multiplicando em X
quando for diretamente proporcional ou multiplica-se reto ou
multiplica-se em x aps inverter a segunda frao. Problemas: a) Um
funcionrio recebe R$ 850,00 por ms de trabalho. Quanto receber por
3 meses?
1X = 850*3 X = 2550
1 X= 2550 Resposta: R$ 2.550,00
b) Dois pedreiros levam 6 dias para realizar um determinado
trabalho, quantos dias levariam para fazer o mesmo trabalho se
tivessem mais 2 pedreiros.
4X = 2*6 4X = 12 X = 12/4 X = 3 Resposta: 3 dias
c) Na fabricao de 20 camisas, 8 mquinas gastam 4 horas. Para 4
mquinas produzirem 15 camisas, quantas horas gastam?
R$ Ms 850 1 = X 3
Pedreiros Dias 2 6 = 4 X
Camisas Mquinas Horas 20 8 4 15 4 X
X * 4 * 20 = 4 * 8 * 15
80 X = 480
X = 480 / 80
X = 6
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20
EXERCCIOS COMPLEMENTARES
a) Se 8 metros de tecido custam R$ 156, 00, qual o preo de 12 m
de tecidos?
b) Viajando de automvel velocidade de 60 Km/h, eu gastaria 4
horas para fazer certo percurso. Aumentando a velocidade para 80
Km/h, em quanto tempo farei esse percurso?
c) Um operrio ganha R$ 396,00 por 12 dias de trabalho. Quanto
receber por 25 dias de trabalho?
d) Uma obra construda em 90 dias por 12 operrios. Em quanto
tempo essa obra seria construda por 15 operrios?
e) Uma torneira despeja num tanque 50 litros de gua em 20
minutos. Quantas horas levar para despejar 600 litros?
f) Se para imprimir 87.500 exemplares, 5 mquinas gastam 56
minutos, em quanto tempo 7 mquinas imprimiro 350.000
exemplares?
g) Uma viagem foi feita em 12 dias, percorrendo 150 km por dia.
Quantos dias sero necessrios para fazer a mesma viagem, percorrendo
200 km por dia?
BIBLIOGRAFIA
ANDRINI, lvaro. Praticando Matemtica, 3 edio So Paulo: Editora
do Brasil, 1989.
Consultas nos seguintes sites:
http://www.matematicamuitofacil.com/medias.html
http://www.coladaweb.com/exercicios-resolvidos/exercicios-resolvidos-de-matematica/media-aritmetica
http://www.mundovestibular.com.br/articles/60/1/MEDIA-ARITMETICA/Paacutegina1.html
http://www.matematicadidatica.com.br/MediaAritmeticaGeometriaExercicios.aspx
http://www.juliobattisti.com.br/tutoriais/jorgeasantos/matematicaconcursos010.asp
2 edio 2012
Coordenao e Orientao Pedaggica: rica Simoni Pereira Divino