SEQUNCIAS LGICAS
PROFESSOR ALEX MAGNO
Lgica matemtica
Por influncia do pensamento de Aristteles, a lgica dizia
respeito, tradicionalmente, apenas s proposies da linguagem verbal.
A partir do sculo XIX, no entanto, seus princpios foram aplicados
linguagem simblica da matemtica.
Lgica matemtica o conjunto de estudos que visam a expressar em
signos matemticos as estruturas e operaes do pensamento,
deduzindo-as de um pequeno nmero de axiomas, com o propsito de
criar uma linguagem rigorosa, adequada ao pensamento cientfico, da
qual estejam afastadas as ambigidades prprias da linguagem comum.
Fundamenta-se na construo de sistemas formais, ou seja, modelos,
para cuja definio se enunciam certos axiomas (conceitos bsicos) e
mtodos de deduo ou demonstrao.
Evoluo histrica. O termo "sistema" foi proposto por Laozi
(Lao-ts) 500 anos antes da era crist, ao dizer que "uma carroa mais
que a soma de suas partes", ou seja, que a relao entre os diversos
elementos que formam a carroa faz com que ela tenha propriedades
especiais e diferentes da soma das propriedades de cada um de seus
componentes em separado. Aristteles j assinalara um princpio de
abstrao ao descrever sistema como um conjunto de funes,
caractersticas e atributos que podem ser definidos. No entanto, o
termo lgica matemtica denota preferencialmente o conjunto de regras
e raciocnios dedutivos elaborado a partir da segunda metade do
sculo XIX. Mediante a eliminao das imprecises e erros lgicos da
linguagem comum e a adoo de critrios de formalizao e emprego de
smbolos, a lgica formal converteu-se numa disciplina associada
matemtica.
Em 1854, George Boole descobriu que os conectivos, ou
operadores, propostos por Aristteles para as proposies (do tipo
"e", "ou", "no" etc.) seguiam regras similares s da soma e da
multiplicao. Projetou, ento, a chamada lgebra de Boole, que se
baseia na lgica binria de "verdadeiro" e "falso" como alternativas
para cada proposio.
Pouco depois, Georg Cantor criou a teoria dos conjuntos e suas
operaes. Definiu conjunto como a unio de objetos que satisfazem
propriedades exprimveis, e conjunto de conjuntos como um novo
conjunto que contm a si mesmo, sendo um de seus prprios elementos.
Bertrand Russell detectou o paradoxo desse raciocnio e argumentou
que um conjunto pertence primeira categoria se no contm a si mesmo,
e segunda se contm a si mesmo como elemento. Assim, se o conjunto A
tem como elementos os conjuntos da primeira categoria, no pode, por
deduo, pertencer a nenhuma das duas categorias mencionadas, ainda
que inicialmente se atribusse uma categoria a cada conjunto.
Ernst Zermelo formulou em 1904 um axioma de escolha sobre
conjuntos no vazios, isto , que contm elementos. Numa famlia de
conjuntos no-vazios, qualquer que seja seu tamanho, pode-se
escolher ao mesmo tempo um elemento de cada conjunto e considerar o
conjunto A, que no podia pertencer a nenhuma categoria, como
constitudo desses elementos. Com esse axioma puderam ser
demonstrados teoremas matemticos clssicos carentes de lgica
aparente, mas ao mesmo tempo comeou a polmica quanto validade dos
teoremas demonstrados com base nele, e a equiparao destes com
aqueles que no necessitam desse axioma para sua demonstrao. Enfim,
tornou-se prtica indicar se em determinado teorema havia sido usado
ou no o axioma de escolha.
Para Kurt Gdel, um sistema matemtico que s fosse suficiente para
a aritmtica clssica seria necessariamente incompleto. Acrescentou
que qualquer sistema pode ser coerente ao se lhe incorporar o
axioma de escolha, e assim se mantm quando nele se inclui a negao
desse mesmo axioma. A hiptese de continuidade geral tambm coerente
com a matemtica comum, que mantm a coerncia quando se lhe
acrescentam simultaneamente o axioma de escolha e a hiptese de
continuidade geral. Essa hiptese prope uma explicao provvel de um
fato ou srie de fatos cuja verdadeira causa se desconhece.
Sistemas e subsistemas lgicos. No sculo XX, define-se sistema
como um conjunto cujos elementos esto em interao e no qual
prevalecem as relaes recprocas entre os elementos, e no os
elementos em si. Por sua prpria natureza, sistema um conjunto de
partes, o que significa que pode ser analisado. O conjunto como um
todo, porm, no pode ser obtido pela simples acumulao das partes. A
trama das relaes entre os elementos constitui a estrutura do
sistema, ou, o que a mesma coisa, o mecanismo de articulao de suas
partes.
As grandezas tomadas para descrever um sistema no so sempre as
mesmas. Se uma delas se comporta de forma particular, deve ter
propriedades que suscitam tal comportamento e dem lugar a certas
regras de organizao. Os sistemas tm limites precisos, de modo que
possvel determinar sem ambigidades se um elemento pretence a um ou
a outro sistema.
Os sistemas classificam-se em fechados, se no permutam matria
com o exterior, mesmo que haja permuta de energia para chegar ao
equilbrio, e abertos, se podem permutar matria e energia com o
exterior e tendem estabilidade. Os ltimos se caracterizam por um
comportamento no plenamente determinado por uma cadeia causal, nem
por puro acaso. Os sistemas abertos tendem a se manter no estado em
que melhor se adequam a possveis perturbaes. Essa tendncia
estabilidade lhes permite alcanar um estado final caracterstico a
partir de estados iniciais distintos e caminhos diferentes. A atuao
ou comportamento de cada subsistema ou componente de um sistema se
difunde pelo sistema inteiro. Os sistemas so representados
formalmente mediante modelos, e chama-se simulao a gerao de
possveis estados do sistema pelo modelo que representa.
Conceitos de lgica matemtica. O processo dedutivo matemtico
exige rigor. O modelo tradicional de um sistema consiste na
apresentao das assertivas principais em forma de teoremas, como j o
fizera Euclides na Grcia antiga. Formalmente, d-se o nome de
teorema a uma proposio cuja validade se prova por demonstrao.
Assim, os axiomas, que se definem como primeiros teoremas e se
admitem sem demonstrao, pertencem a uma categoria lgica diferente.
Os teoremas se demonstram a partir de outros teoremas, mediante
procedimentos de deduo ou induo nos quais se encadeiam conseqncias
lgicas. A axiomtica da matemtica, e das cincias em geral, constitui
o elemento bsico para a deduo de teoremas derivados, e a escolha
adequada dos axiomas um dos pontos mais delicados na elaborao dos
modelos de qualquer sistema. Um conjunto de axiomas aceitvel, do
ponto de vista matemtico, quando tem coerncia lgica, o que implica
que de um mesmo axioma no possvel deduzir dois teoremas
contraditrios.
Desenvolvendo certo raciocnio, conclui-se que, alm dos axiomas,
as prprias regras de deduo deveriam estar sujeitas a variaes.
Quando os axiomas e regras de deduo so abertos, fala-se de sistema
matemtico, ou formal, que exige que o sistema seja coerente uma vez
estabelecido o mtodo. Quando se pode demonstrar uma proposio ou sua
negativa, o sistema completo. Se um sistema que contm um teorema se
altera, a mesma proposio, ou a que corresponde nova entidade, passa
a ser duvidosa ou inteiramente falsa. Mesmo que sua validade se
mantenha, seria preciso uma nova demonstrao, devido possibilidade
de que os axiomas ou as regras de deduo do sistema tenham perdido
sua pertinncia.
As regras bsicas da lgica matemtica exigem a formulao de
enunciados, nos quais se definem previamente os conceitos da
proposio, e predicados ou sentenas matemticas que empregam os
enunciados descritos anteriormente.
A terminologia e a metodologia da lgica matemtica tiveram, ao
longo do sculo XX, importante papel no progresso das novas cincias
da informtica e ciberntica. Desde as origens, elas adotaram as
estruturas formais da lgica binria e da lgebra de Boole e
empregaram a filosofia de enunciado-predicado em suas proposies,
numa axiomtica e num conjunto de regras hipottico-dedutivos
definidas previamente.DEFINIES:Neste roteiro, o principal objetivo
ser a investigao da validade de ARGUMENTOS: conjunto de enunciados
dos quais um a CONCLUSO e os demais PREMISSAS.
Os argumentos esto tradicionalmente divididos em DEDUTIVOS e
INDUTIVOS.
ARGUMENTO DEDUTIVO: vlido quando suas premissas, se verdadeiras,
a concluso tambm verdadeira.
Premissa : "Todo homem mortal." Premissa : "Joo homem." Concluso
: "Joo mortal."
ARGUMENTO INDUTIVO: a verdade das premissas no basta para
assegurar a verdade da concluso.
Premissa : " comum aps a chuva ficar nublado." Premissa : "Est
chovendo." Concluso: "Ficar nublado." As premissas e a concluso de
um argumento, formuladas em uma linguagem estruturada, permitem que
o argumento possa ter uma anlise lgica apropriada para a verificao
de sua validade. Tais tcnicas de anlise sero tratadas no decorrer
deste roteiro.
UMA CLASSIFICAO DA LGICA LGICA INDUTIVA: til no estudo da teoria
da probabilidade, no ser abordada neste roteiro. LGICA DEDUTIVA:
que pode ser dividida em :
LGICA CLSSICA- Considerada como o ncleo da lgica dedutiva. o que
chamamos hoje de CLCULO DE PREDICADOS DE 1a ORDEM com ou sem
igualdade e de alguns de seus subsistemas.
Trs Princpios (entre outros) regem a Lgica Clssica: da
IDENTIDADE, da CONTRADIO e do TERCEIRO EXCLUDO os quais sero
abordados mais adiante.
LGICAS COMPLEMENTARES DA CLSSICA: Complementam de algum modo a
lgica clssica estendendo o seu domnio. Exemplos: lgicas modal ,
dentica, epistmica , etc. AULA 02 - ESTRUTURA LGICA: INVESTIGAO
INVESTIGANDO
As questes de estrutura lgica, tambm chamadas de investigaes,
esto presentes na maioria das provas de raciocnio lgico, mas cada
edital descreve esse tipo de questo de maneira diferente. Podemos
dizer que essas questes tratam do entendimento da estrutura lgica
de relaes arbitrrias entre pessoas, lugares, objetos ou eventos
fictcios, deduzindo novas informaes a partir de relaes fornecidas e
avaliao das condies usadas para estabelecer a estrutura daquelas
relaes.Uma investigao um processo de construo do conhecimento que
tem como metas principais gerar novos conhecimentos e/ou confirmar
ou refutar algum conhecimento pr-existente. A investigao, no
sentido de pesquisa, pode ser definida como o conjunto de
atividades orientadas e planejadas pela busca de um
conhecimento.
As questes de investigao so muito interessantes e prazerosas de
se fazer. No enunciado, so dadas pistas que associadas a hipteses
nos fazem concluir a resposta correta ou ainda nos levam a
concluses diretas, sem precisar supor. O primeiro passo ento,
perceber se precisaremos ou no supor alguma coisa, ou seja, se
todas as informaes so verdadeiras ou existem mentiras. Quando todas
as informaes forem verdadeiras, no haver necessidade de hipteses,
mas quando existirem verdades e mentiras envolvidas, devemos fazer
suposises para chegarmos as concluses.
HIPTESE
Uma hiptese uma teoria provvel, mas no demonstrada, uma suposio
admissvel. Na matemtica, o conjunto de condies para poder iniciar
uma demonstrao. Surge no pensamento cientfico aps a coleta de dados
observados e na conseqncia da necessidade de explicao dos fenmenos
associados a esses dados.
normalmente seguida de experimentao, que pode levar verificao
(aceitao) ou refutao (rejeio) da hiptese. Assim que comprovada, a
hiptese passa a se chamar teoria, lei ou postulado.
Podemos ento dizer que uma afirmao sujeita a
comprovao.IDENTIFICANDO CADA CASO
Existem basicamente trs casos de questes de investigaes. Todos
eles procuram deduzir novas informaes, com base nas informaes
fornecidas no enunciado.Para resolver questes de investigao,
devemos inicialmente identificar o caso (ordenao, associao ou
suposio) e seguir os procedimentos peculiares a cada um deles.
1 CASO - Somente Verdades: ORDENAO.
Esse tipo de questo d apenas informaes verdadeiras, que nos
permite colocar em ordem pessoas, objetos, datas, idades, cores,
figuras ou qualquer outra coisa, mediante pistas que devem ser
seguidas. O fato de colocar os dados fornecidos na ordem desejada
permitir identificar o item correto a ser marcado.
EXEMPLO:
Aline mais velha que Bruna, que mais nova que Carol, mas esta no
a mais velha de todas. Sejam A, B e C as respectivas idades de
Aline, Bruna e Carol, defina a ordem das idades.
CONCLUSES:
Sejam A, B e C as respectivas idades de Aline, Bruna e Carol,
ento
A > B (Aline mais velha que Bruna) e C > B (Bruna mais
nova que Carol)
Como Carol no a mais velha, podemos ordenar as idades das
meninas da seguinte forma:
A > C > B
2 CASO - Somente Verdades: ASSOCIAO.
Como todas as informaes dadas so verdadeiras, o que ser
importante saber organizar as informaes em uma tabela para cruzar
os dados. Por exemplo, cada coluna trata das informaes de uma
determinada pessoa e as linhas tratam das caractersticas dessas
pessoas. O que devemos fazer preencher a tabela cruzando as
informaes de cada uma das pessoas, iniciando pelas informaes
diretas e posteriormente deduzindo as outras.
EXEMPLO:
Aline, Bruna e Carol fazem aniversrio no mesmo dia, mas no tm a
mesma idade, pois nasceram em trs anos consecutivos. Uma delas
Psicloga, a outra Fonoaudiloga e a mais nova Terapeuta. Bruna a
mais nova e tm 25 anos. Carol a mais velha e no Psicloga.
CONCLUSES:
Do enunciado, podemos construir a tabela a seguir.
ABC
Profisso
Idade
Como Bruna a mais nova e tm 25 anos, e que a mais nova
Terapeuta, deduzimos que Bruna Terapeuta. Logo podemos preencher os
seguintes dados na tabela.
ABC
Profisso
T
Idade
25
Como Carol a mais velha e no Psicloga, deduzimos que Carol
Fonoaudiloga e tm 27 anos, j que as trs nasceram em anos
consecutivos e a mais nova tem 25 anos. Logo podemos acrescentar as
seguintes informaes na tabela.
ABC
Profisso
TF
Idade
2527
Por excluso, deduz-se que Aline tem 26 anos e Psicloga. Assim,
temos a tabela totalmente preenchida.
ABC
ProfissoPTF
Idade262527 3 CASO - Verdades e Mentiras: SUPOSIO.
Esse ltimo caso requer maior ateno, pois existem verdades e
mentiras envolvidas no enunciado e atravs da anlise das hipteses
chegaremos s devidas concluses. Por exemplo, quando um delegado
procurar descobrir quem o verdadeiro culpado entre trs suspeitos,
ele lana mo de hipteses, ou seja, ele vai supondo que cada um deles
seja o culpado e vai analisando a veracidade de informao que ele
possui, a fim de confirmar ou rejeitar a hiptese.
EXEMPLO:
Aline, Bruna e Carol so suspeitas de ter comido a ultima fatia
do bolo da vov. Quando perguntadas sobre o fato, declararam o
seguinte:
ALINE: Foi a Bruna que comeu
BRUNA: Aline est mentindo
CAROL: No fui eu
Sabendo que apenas uma delas est dizendo a verdade e que apenas
uma delas comeu o bolo, descubra quem comeu o bolo.
CONCLUSES:
1 PASSO:
(identificar que existem verdades e mentiras)
No enunciado, foi dito que apenas uma delas est dizendo a
verdade, portanto duas delas mentem e outra fala a verdade,
tratando-se de uma questo do 3 caso, ou seja, teremos que fazer
suposies.
2 PASSO:
(construir a tabela e lanar as hipteses)
Do enunciado, podemos construir a tabela a seguir.
ANLISE DAS AFIRMAES HIPTESES
A B C
Se A foi quem comeu
Se B foi quem comeu
Se C foi quem comeu
3 PASSO:
(julgar a veracidade, ou no, das afirmaes, mediante cada uma das
hipteses)
Como Aline disse que Foi a Bruna que comeu, ela s estar mentindo
caso (na hiptese de) Bruna no tenha comido, caso contrrio estar
falando a verdade, logo temos:
A B
C
A comeuF
B comeuV
C comeuF
Como Bruna disse que Aline est mentindo, temos que Bruna s mente
no caso (na hiptese de) de Aline falar a verdade, caso Aline
realmente esteja mentindo ento Bruna estar falando a verdade, ou
seja, as colunas 2 e 3 tero valores lgicos contrrios, logo
temos:
A B
C
A comeuF V
B comeuV F
C comeuF V
Finalmente, como Carol disse no fui eu, ela s estar mentindo
caso (na hiptese de) ela tenha comido, caso contrrio estar falando
a verdade, logo analisando essa afirmao, temos:
A B
C
A comeuF V
V
B comeuV F
V
C comeuF V
F
4 PASSO:
(aceitar ou rejeitar as hipteses, de acordo com o proposto no
enunciado)
Foi dito no enunciado que apenas uma das meninas diz a verdade,
ento com base nisso devemos identificar a nica linha que tem apenas
uma afirmao verdadeira. Observe que apenas na terceira linha, ou
seja, apenas no caso de Carol ter comido o bolo, teremos duas
garotas mentindo e apenas uma dizendo a verdade. Portanto, podemos
afirmar que a 3 hiptese foi aceita e as outras duas foram
rejeitadas.
Concluso, Carol comeu a ltima fatia do bolo.
EXEMPLO DO 1 CASO - VERDADES: ORDENAES01. Em um prdio de 4
andares moram Erick, Fred, Giles e Heitor, cada um em um andar
diferente. Sabe-se que Heitor no mora no 1 andar, Erick mora acima
de Todos, Giles mora abaixo de Fred e este acima de Heitor,
Determine quem mora no 2 andar.
a) Heitor
a) Erick
d) Fred
e) Giles
SOLUO:
Com base nas informaes fornecidas no enunciado, vamos ordenar os
moradores.
Inicialmente como Erick mora acima de todos, ento ele mora no 4
andar.
Como Fred mora acima de Heitor e Heitor no mora no 1 andar, ento
Heitor tem que morar no 2 andar e Fred no 3 andar, para satisfazer
essas condies.
Por excluso, Giles mora no 1 andar, o que satisfaz a condio de
morar abaixo de Fred.
OBS.:
importante diferenciar em cima, acima, em baixo e abaixo. Por
exemplo, se Geovanne mora no 10 andar de um prdio, outro morador
que more:
EM CIMA, mora no andar imediatamente acima, ou seja, no 11
andar.
ACIMA, mora em um andar superior, no necessariamente em
cima.
EM BAIXO, mora no andar imediatamente abaixo, ou seja, no 9
andar.
ABAIXO, mora em um andar inferior, no necessariamente em
baixo.
EXEMPLOS DO 2 CASO - VERDADES: DEDUES02. (IPAD) Luciano, Cludio
e Fernanda so trs estudantes de Filosofia. Sabe-se que um deles
estuda Frege, o outro Kant e o terceiro Wittgenstein. Sabe-se ainda
que: 1) Cludio ou Fernanda estuda Frege, mas no ambos; 2) Luciano
ou Fernanda estuda Kant, mas no ambos; 3) Luciano estuda Frege ou
Cludio estuda Wittgenstein, mas no ocorrem as duas opes
simultaneamente; 4) Fernanda ou Cludio estuda Wittgenstein, mas no
ambos. Luciano, Cludio e Fernanda estudam respectivamente:
a) Kant, Wittgenstein e Frege.
b) Kant, Frege e Wittgenstein.
c) Wittgenstein, Kant e Frege.
d) Frege, Kant e Wittgenstein.
e) Frege, Wittgenstein e Kant.
SOLUO:
Do enunciado, podemos organizar as informaes na tabela a
seguir:
LucianoCludioFernanda
Frege
Kant
Wittgenstein
De acordo com cada premissa podemos eliminar (X) os cruzamentos
incorretos:
1) Se Cludio ou Fernanda estuda Frege, mas no ambos, ento
Luciano no estuda Frege
LucianoCludioFernanda
FregeF
Kant
Wittgenstein
2) Se Luciano ou Fernanda estuda Kant, mas no ambos, ento Cludio
no estuda Kant
LucianoCludioFernanda
FregeF
KantF
Wittgenstein
3) Se Luciano estuda Frege ou Cludio estuda Wittgenstein, mas no
ambos, ento Cludio estuda Wittgenstein pois j tnhamos concludo que
Luciano no estuda Frege
LucianoCludioFernanda
FregeF
KantF
WittgensteinFVERDADEF
Como Luciano no estuda nem Frege, nem Wittgenstein ento por
excluso ele estuda Kant. Nesse caso resta apenas que Fernanda
estuda Frege
LucianoCludioFernanda
FregeFVERDADE
KantVERDADEF
WittgensteinFVERDADEF
03. Trs crianas Astolfo, Belarmino e Cleosvaldo brincavam, cada
qual, com um nico tipo de brinquedo. Considere as seguintes
informaes:
Os brinquedos so: Falcon, Playmobil e Atari;
As idades dos trs so: 11, 8 e 6;
Astolfo no brincava com um Falcon e nem com o Atari;
A criana que tem 11 anos, brincava de Atari;
Cleosvaldo tem menos de 8 anos.
Com base na informaes dadas, correto afirmar que
a) Belarmino tem 11 anos.
b) Astolfo tem 11 anos.
c) Belarmino brincava com um Falcon.
d) Cleosvaldo brincava com um Atari.
e) Astolfo no tem 8 anos.
SOLUO:
Do enunciado, podemos organizar a tabela a seguir:
ASTOLFOBELARMINOCLEOSVALDO
IDADE
BRINQUEDO
Sabendo que Astolfo brincava com um Playmobil e que Cleosvaldo
tem 6 anos, temos:
ASTOLFOBELARMINOCLEOSVALDO
IDADE6
BRINQUEDOPlay
Como A criana que tem 11 anos, brincava de Atari, apenas
Belarmino se encaixa, logo
ASTOLFOBELARMINOCLEOSVALDO
IDADE116
BRINQUEDOPlayAtari
Por excluso, temos
ASTOLFOBELARMINOCLEOSVALDO
IDADE8116
BRINQUEDOPlayAtariFalcon
04. Trs amigas, Anna, Bruna e Camila, encontram-se em uma festa.
O vestido de uma delas azul, o de outra preto, e o de outra branco.
Elas calam pares de sapatos destas mesmas trs cores, mas somente
Anna est com vestido e sapatos de mesma cor. Nem o vestido nem os
sapatos de Bruna so brancos. Camila est com sapatos azuis. Desse
modo,
a) o vestido de Bruna azul e o de Anna preto.
b) o vestido de Bruna branco e seus sapatos so pretos.
c) os sapatos de Bruna so pretos e os de Anna so brancos.
d) os sapatos de Anna so pretos e o vestido de Camila
branco.
e) o vestido de Anna preto e os sapatos de Camila so azuis.
SOLUO:
Do enunciado, podemos organizar a tabela a seguir:
ANNABRUNACAMILA
VESTIDO
SAPATOS
Sabendo que Camila est com sapatos azuis, temos:
ANNABRUNACAMILA
VESTIDO
SAPATOSAz
Sabendo que Nem o vestido nem os sapatos de Bruna so brancos,
ento Anna tem que ter sapatos brancosANNABRUNACAMILA
VESTIDO
SAPATOSBrAz
Como Anna est com vestido e sapatos de mesma cor, temos
ANNABRUNACAMILA
VESTIDOBr
SAPATOSBrAz
Por excluso, deduz-se que Bruna est com sapatos pretos e sabendo
que somente Anna est com vestido e sapatos de mesma cor, temos
ANNABRUNACAMILA
VESTIDOBrAzPr
SAPATOSBrPrAz
EXEMPLOS DO 3 CASO VERDADES E MENTIRAS: HIOPTESES05. Quando a me
de Alysson, Bosco, Carlos e Daniel, chega em casa, verifica que seu
vaso preferido havia sido quebrado. Interrogados pela me, eles
fazem as seguintes declaraes:
"Me, o Bosco foi quem quebrou" disse Alysson
"Como sempre, o Daniel foi culpado" disse Bosco
"Me, sou inocente" disse Cleber
Claro que o Bosco est mentindo" disse Daniel
Sabendo que apenas um dos quatro disse a verdade, diga quem
quebrou o vaso.
a) Alysson
b) Bosco
c) Cleber
d) Daniel
SOLUO:
Do enunciado, podemos construir a tabela a seguir, onde sero
analisadas as declaraes mediante as hipteses:
ANLISE DAS DECLARAES
HIPTESESALYSSONBOSCOCLEBERDANIEL
ALYSSON
BOSCO
CLEBER
DANIEL
Analisaremos as declaraes de cada criana, de acordo com as
hipteses dos culpados. Por exemplo, Alysson declara que Bosco foi
quem quebrou, ento ele estar falando a verdade somente no caso de
Bosco realmente ser o culpado, ou seja, ele mente (F) na hiptese de
outra pessoa ser o culpado, logo:
ANLISE DAS DECLARAES
HIPTESESALYSSONBOSCOCLEBERDANIEL
ALYSSONF
BOSCOV
CLEBERF
DANIELF
Como Bosco disse que Daniel foi o culpado, nota-se que apenas no
caso de Daniel ser o culpado ele estar dizendo a verdade, ento para
qualquer outra hiptese de culpado ele mente (F), logo temos:ANLISE
DAS DECLARAES
HIPTESESALYSSONBOSCOCLEBERDANIEL
ALYSSONFF
BOSCOVF
CLEBERFF
DANIELFV
Como Cleber se declara inocente, apenas na hiptese dele ser o
culpado, sua declarao dita como falsa (F), em todas as demais
hipteses ele realmente ser considerado inocente, logo:
ANLISE DAS DECLARAES
HIPTESESALYSSONBOSCOCLEBERDANIEL
ALYSSONFFV
BOSCOVFV
CLEBERFFF
DANIELFVV
Como Daniel disse que Bosco est mentindo", ento nesse caso,
sempre a declarao de Daniel ter valor lgico contrrio ao de Bel,
pois eles se contradizem, ento Daniel s ir mentir no caso dele ser
o culpado, ou seja:
ANLISE DAS DECLARAES
HIPTESESALYSSONBOSCOCLEBERDANIEL
ALYSSONFFVV
BOSCOVFVV
CLEBERFFFV
DANIELFVVF
Anlise das hipteses:
1 Hiptese: Alysson culpado (REJEITADA)(Dois mentiram (F) e dois
falaram a verdade (V)
2 Hiptese: Bosco culpado (REJEITADA)(Somente um mentiu (F)
3 Hiptese: Cleber culpado (ACEITA)(Somente um falou a verdade
(V)
4 Hiptese: Bosco culpado (REJEITADA)(Dois mentiram (F) e dois
falaram a verdade (V)
Observe que somente na hiptese de Cleber ser o culpado que
apenas uma das declaraes se torna verdadeira (V), sendo ento trs
falsas (F). Como somente Daniel diz a verdade, a terceira hiptese a
nica aceita, logo Cleber declarado culpado.
06. Cinco jovens encontram-se diante de trs portas na Caverna do
Drago, buscando um caminho para voltar para casa. Diante das portas
esto trs guardies. As portas levam: ao castelo do Vingador, a um
labirinto e finalmente uma passagem para seu mundo, mas no nessa
ordem. Cada um dos guardies declara:
1 Guardio: O castelo do seu inimigo no est na porta da
direita
2 Guardio: A porta do meio a passagem para seu mundo
3 Guardio: A porta do centro leva a um labirinto e a da direita
ao Castelo do Vingador
Quando o Mestre dos Magos aparece, avisa aos garotos de que
apenas dois dos guardies estava falando a verdade. Logo, eles
concluram que:
a) o labirinto est na porta da esquerda
b) a passagem est na porta da esquerda
c) a passagem est na porta do centro
d) o castelo do Vingador est na porta do centro
e) o castelo do Vingador est na porta da direita
SOLUO:
Do enunciado, podemos construir a tabela a seguir, que mostra as
possibilidades para cada porta:
ANLISE DAS DECLARAES
HIPTESES1 GUARDIO2 GUARDIO3 GUARDIO
CLP
CPL
PCL
PLC
LPC
LCP
O 1 guardio declarou que O castelo no est na porta da direita,
ento ele s estar mentindo (F) no caso do castelo est na porta da
direita, ou seja, o que ocorre na 4 e na 5 hiptese, logo temos:
ANLISE DAS DECLARAES
HIPTESES1 GUARDIO2 GUARDIO3 GUARDIO
CLPV
CPLV
PCLV
PLCF
LPCF
LCPV
J o 2 guardio declarou que A porta do meio a passagem para seu
mundo, ento na 2 e na 5 hiptese ele s estar mentindo (F), pois
nestas hipteses supe-se que a passagem (P) est no meio, logo:
ANLISE DAS DECLARAES
HIPTESES1 GUARDIO2 GUARDIO3 GUARDIO
CLPVF
CPLVV
PCLVF
PLCFF
LPCFV
LCPVF
O 3 guardio fez duas declaraes, que a porta do centro leva a um
labirinto e que a porta da direita leva ao Castelo do Vingador,
ento ele s estar falando a verdade (V) no caso das duas afirmaes
ocorrerem, ou seja, apenas na 4 hiptese, logo temos:
ANLISE DAS DECLARAES
HIPTESES1 GUARDIO2 GUARDIO3 GUARDIO
CLPVFF
CPLVVF
PCLVFF
PLCFFV
LPCFVF
LCPVFF
Observe que apenas na 2 hiptese, dois dos guardies falam a
verdade e um mente, o que satisfaz a condio imposta no enunciado da
questo, ento a ordem ser:
Castelo (C), Passagem (P) e Labirinto (L)
Portanto, a passagem est na porta do centro.
EXERCCIOS PROPOSTOS01. Joo mais velho do que Pedro, que mais
novo do que Carlos; Antnio mais velho do que Carlos, que mais novo
do que Joo. Antnio no mais novo do que Joo e todos os quatro
meninos tm idades diferentes. O mais jovem deles :
a) Joo
b) Antnio
c) Pedro
d) Carlos
02. Em torno de uma mesa quadrada, encontram-se sentados quatro
sindicalistas. Oliveira, o mais antigo entre eles, mineiro. H tambm
um paulista, um carioca e um baiano. Paulo est sentado direita de
Oliveira. Norton, direita do paulista. Por sua vez, Vasconcelos,
que no carioca, encontra-se frente de Paulo. Assim,
a) Paulo paulista e Vasconcelos baiano.
b) Paulo carioca e Vasconcelos baiano.
c) Norton baiano e Vasconcelos paulista.
d) Norton carioca e Vasconcelos paulista.
e) Paulo baiano e Vasconcelos paulista.
03. Na residncia assaltada, Sherlock encontrou os seguintes
vestgios deixados pelos assaltantes, que julgou serem dois, pelas
marcas de sapatos deixadas no carpete:
Um toco de cigarro
Cinzas de charuto
Um pedao de goma de mascar
Um fio de cabelo moreno
As suspeitas recaram sobre cinco antigos empregados, dos quais
se sabia o seguinte:
- Indivduo M: s fuma cigarro com filtro, cabelo moreno, no
mastiga goma.
- Indivduo N: s fuma cigarro sem filtro e charuto, cabelo louro,
no mastiga goma.
- Indivduo O: no fuma, ruivo, mastiga goma.
- Indivduo P: s fuma charuto, cabelo moreno, no mastiga
goma.
- Indivduo Q: s fuma cigarro com filtro, careca, mastiga
goma.
Sherlock concluir que o par de meliantes :
a) M e Q
b) N e P
c) M e O
d) P e Q
e) M e P04. (ESAF) Trs bandeiras A, B e C foram pintadas: uma de
vinho, uma de prola e uma de amarelo, no necessariamente nessa
ordem. Leia atentamente as declaraes abaixo:
A amarela B no amarela C no prolaSabendo(se que apenas uma das
declaraes acima verdadeira, podemos afirmar corretamente que:
a) A bola A vinho, a bola B prola e a bola C amarelab) A bola A
vinho, a bola B amarela e a bola C prolac) A bola A prola, a bola B
amarela e a bola C vinhod) A bola A prola, a bola B vinho e a bola
C amarelae) A bola A amarela, a bola B vinho e a bola C prola05. Em
uma loja de telefonia celular, trabalham quatro funcionrios Pedro,
Carlos, Tiago e Valmir subalternos a um gerente. O gerente sabe que
exatamente um deles ligou um aparelho em uma tomada de voltagem
errada, danificando o mesmo. Colocados frente a frente em uma sala,
o gerente perguntou a todos quem tinha feito a ligao. Pedro
respondeu que havia sido Carlos ou Valmir. Carlos declarou que
tinha sido Tiago. Tiago disse que ele no fez a ligao. Valmir
declarou que Tiago mentiu. Sabendo que apenas um dos quatro
funcionrios falou a verdade, podemos concluir que quem falou a
verdade e quem fez a ligao em voltagem errada foram,
respectivamente:
(A) Tiago e Carlos;
(B) Tiago e Pedro;
(C) Tiago e Valmir;
(D) Carlos eTiago;
(E) Pedro e Carlos.06. Perguntou-se a trs pessoas qual delas se
chamava Antnio. A primeira pessoa respondeu: Eu sou Antnio. A
seguir, a segunda pessoa respondeu: Eu no sou Antnio. Finalmente, a
terceira respondeu: A primeira pessoa a responder no disse a
verdade. Sabendo-se que apenas uma delas se chama Antnio e que duas
delas mentiram, correto concluir que Antnio:a) foi o primeiro a
responder e que somente ele disse a verdade.
b) foi o primeiro a responder e que a segunda pessoa foi a nica
a dizer a verdade.
c) foi o primeiro a responder e que a terceira pessoa foi a nica
a dizer a verdade.
d) foi o segundo a responder e que somente ele disse a
verdade.
e) foi o segundo a responder e que a terceira pessoa foi a nica
a dizer a verdade.
07. Um agente de viagens atende trs amigas. Uma delas loira,
outra morena e a outra ruiva. O agente sabe que uma delas se chama
Anna, outra se chama Bruna e a outra se chama Carine. Sabe, ainda,
que cada uma delas far uma viagem a um pas diferente da Europa: uma
delas ir Alemanha, outra Frana e a outra ir Inglaterra. Ao agente
de viagens, que queria identificar o nome e o destino de cada uma,
elas deram as seguintes informaes:
A loira: No vou Frana nem Inglaterra
A morena: Eu e Bruna, visitaremos Carine em outra viagem
A ruiva: Nem eu nem Bruna vamos Frana
O agente de viagens concluiu, ento, acertadamente, que:
a) A loira Carine e vai Alemanha.
b) A ruiva Carine e vai Frana.
c) A ruiva Anna e vai Inglaterra.
d) A morena Anna e vai Inglaterra.
e) A loira Bruna e vai Alemanha.
08. (FCC) Quatro empresas (Maccorte, Mactex, Macval, Macmais)
participam de uma concorrncia para compra de certo tipo de mquina.
Cada empresa apresentou um modelo diferente do das outras (Thor,
Hrcules, Netuno, Zeus) e os prazos de entrega variavam de 8 a 14
dias. Sabe-se que:
Sobre os prazos de entrega, Macval apresentou o menor e Mactex o
maior.
O modelo Zeus foi apresentado pela Maccorte, com prazo de
entrega de 2 dias a menos do que a Mactex.
O modelo Hrcules seria entregue em 10 dias.
Macval no apresentou o modelo Netuno.
Nessas condies, o modelo apresentado pela empresa
a) Macval foi o Hcules.
b) Mactex foi o Thor.
c) Macmais foi o Thor.
d) Mactex foi o Netuno
e) Macval foi o Netuno
09. (FCC) Certo dia, trs tcnicos judicirios Altamiro, Benevides
e Corifeu receberam, cada um, um lote de processos para arquivar e
um lote de correspondncias a serem expedidas. Considere que:
tanto a tarefa de arquivamento, quanto a de expedio devem
executadas no mesmo dia e nos seguintes horrios: das 10 s 12 horas,
das 14 s 16 horas e das 16 s 18 horas;
dois funcionrios no podem ficar responsveis pela mesma tarefa no
mesmo horrio;
apenas Altamiro arquivou os processos e expediu as
correspondncias que recebeu em um mesmo horrio;
nem as correspondncias expedidas e nem os processos arquivados
por Benevides ocorreram de 10 s 12h;
Corifeu expediu toda a correspondncia de seu respectivo lote das
16 s 18 horas.
Nessas condies, verdade que
a) os processos dos lotes de Altamiro foram arquivados das 16 s
18 horas.
b) as correspondncias dos lotes de Altamiro foram expedidas das
14 s 16 horas.
c) Benevides arquivou os processos de seu lote das 10 s 12
horas.
d) o lote de processos que coube a Benevides foi arquivado das
10 s 12 horas.
e) Altamiro expediu as correspondncias de seu lote das 10 s 12
horas.010. (CESPE) Trs amigos Ari, Beto e Carlos se encontram todos
os fins-de-semana na feira de carros antigos. Um deles tem um
Chevett, outro tem um Landau e o terceiro, um Fusca. Os trs moram
em bairros diferentes (Buritis, Praia Grande e Cruzeiro) e tm
idades diferentes (45, 50 e 55 anos). Alm disso, sabe-se que:
Ari no tem um Chevett e mora em Buritis;
Beto no mora na Praia Grande e 5 anos mais novo que o dono do
Fusca;
O dono do Chevett no mora no Cruzeiro e o mais velho do
grupo.
A partir das informaes acima, correto afirmar que
a) Ari mora em Buritis, tem 45 anos de idade e proprietrio do
Landau.
b) Beto mora no Cruzeiro, tem 50 anos de idade e proprietrio do
Chevett.
c) Carlos mora na Praia Grande, tem 50 anos de idade e
proprietrio do Chevett.
d) Ari mora em Buritis, tem 50 anos de idade e proprietrio do
Fusca.
011. (CESPE) Trs contadores A, B e C esto sendo avaliados para o
preenchimento de uma posio em uma empresa. Esses contadores
estudaram em diferentes universidades (USP, UnB e FGV), possuem
diferentes tempos de experincia na profisso (3, 5 e 8 anos) e foram
classificados em trs opes: 1., 2. e 3.. Considere tambm que
o contador A estudou na USP e tem menos de 7 anos de
experincia.
o contador C ficou na 3. opo, no estudou na UnB e tem 2 anos de
experincia a menos que o contador que foi classificado na 2.
opo.
Com base nas informaes acima, conclui-se que
a) o contador B estudou na UnB, tem 8 anos de experincia e ficou
em primeira opo.
b) o contador B estudou na UnB, tem 5 anos de experincia e ficou
em primeira opo.
c) o contador C estudou na FGV e tem 5 anos de experincia.
d) o contador A tem 3 anos de experincia.
012. Sabe-se que um crime cometido por um dos quatro suspeitos:
Aurisvanderson, Belarmino, Cleosvaldo e Denysgleison. Interrogados
na delegacia, eles fazem as seguintes declaraes:
Auri: "Cleo o culpado"
Bel: "Acreditem, sou inocente"
Cleo: "Denys realmente o culpado"
Denys: "Cleo est mentindo"
Sabendo que apenas um dos quatro mentiu, diga quem o verdadeiro
culpado.
a) Aurisvanderson
b) Belarmino
c) Cleosvaldo
d) Denysgleison
013. (CESPE) Marcos e Newton carregam fichas nas cores branca ou
preta. Quando Marcos carrega a ficha branca, ele fala somente a
verdade, mas, quando carrega a ficha preta, ele fala somente
mentiras. Por outro lado, quando Newton carrega a ficha branca, ele
fala somente mentira, mas, quando carrega a ficha preta, fala
somente verdades. Cada um deles deu a seguinte declarao: MARCOS:
"Nossas fichas so iguais"
NEWTON: Nossas fichas so diferentes"
Com base nessas informaes, julgue os itens a seguir.
a) Marcos e Newton carregam fichas brancas.
b) Marcos e Newton carregam fichas pretas.
c) Marcos carrega ficha preta e Newton carrega ficha branca.
d) Marcos carrega ficha branca e Newton carrega ficha preta.
014. (ESAF) Pedro encontra-se frente de trs caixas, numeradas de
1 a 3. Cada uma das trs caixas contm um e somente um objeto. Uma
delas contm um livro; outra, uma caneta; outra, um diamante. Em
cada uma das caixas existe uma inscrio, a saber:
Caixa 1: O livro est na caixa 3.
Caixa 2: A caneta est na caixa 1.
Caixa 3: O livro est aqui.
Pedro sabe que a inscrio da caixa que contm o livro pode ser
verdadeira ou falsa. Sabe, ainda, que a inscrio da caixa que contm
a caneta falsa, e que a inscrio da caixa que contm o diamante
verdadeira. Com tais informaes, Pedro conclui corretamente que nas
caixas 1, 2 e 3 esto, respectivamente,
a) a caneta, o diamante, o livro.
b) o livro, o diamante, a caneta.
c) o diamante, a caneta, o livro.
d) o diamante, o livro, a caneta.
e) o livro, a caneta, o diamante.
015. (ESAF) Cinco moas, Ana, Beatriz, Carolina, Denise e
Eduarda, esto vestindo blusas vermelhas ou amarelas. Sabe-se que as
moas que vestem blusas vermelhas sempre contam a verdade e as que
vestem blusas amarelas sempre mentem. Ana diz que Beatriz veste
blusa vermelha. Beatriz diz que Carolina veste blusa amarela.
Carolina, por sua vez, diz que Denise veste blusa amarela. Denise
diz que Beatriz e Eduarda vestem blusas de cores diferentes. Por
fim, Eduarda diz que Ana veste blusa vermelha. Desse modo, as cores
das blusas de Ana, Beatriz, Carolina, Denise e Eduarda so,
respectivamente:
a) amarela, amarela, vermelha, vermelha e amarela.
b) vermelha, vermelha, vermelha, amarela e amarela.
c) vermelha, amarela, amarela, amarela e amarela.
d) vermelha, amarela, vermelha, amarela e amarela.
e) amarela, amarela, vermelha, amarela e amarela.016. (ESAF) Uma
empresa produz andrides de dois tipos: os de tipo V, que sempre
dizem a verdade, e os de tipo M, que sempre mentem. Dr. Turing, um
especialista em Inteligncia Artificial, est examinando um grupo de
cinco andrides fabricados por essa empresa rotulados de Alfa, Beta,
Gama, Delta e psilon para determinar quantos entre os cinco so do
tipo V. Ele pergunta a Alfa: Voc do tipo M? Alfa responde mas Dr.
Turing, distrado, no ouve a resposta. Os andrides restantes fazem,
ento, as seguintes declaraes: Beta: Alfa respondeu que sim.
Gama: Beta est mentindo.
Delta: Gama est mentindo.
psilon: Alfa do tipo M.
Mesmo sem ter prestado ateno resposta de Alfa, Dr. Turing pde,
ento, concluir corretamente que o andride que certamente do tipo V
o andride:a) Alfab) Betac) Deltad) Gama
e) psilon
17. Trs tcnicos: Amanda, Beatriz e Cssio trabalham no banco um
deles no complexo computacional, outro na administrao e outro na
segurana do Sistema Financeiro, no respectivamente. A praa de lotao
de cada um deles : So Paulo, Rio de Janeiro ou Porto Alegre.
Sabe-se que:
_ Cssio trabalha na segurana do Sistema Financeiro.
_ O que est lotado em So Paulo trabalha na administrao.
_ Amanda no est lotada em Porto Alegre e no trabalha na
administrao.
verdade que, quem est lotado em So Paulo e quem trabalha no
complexo computacional so, respectivamente,
a) Cssio e Beatriz.
b) Beatriz e Cssio.
c) Cssio e Amanda.
d)) Beatriz e Amanda.
e) Amanda e Cssio.18. Sabe-se que um dos quatro indivduos
Marcelo, Z Bolacha, Adalberto ou Jos cometeu o crime da novela A
prxima Vtima. 0 delegado Olavo interrogou os quatro obtendo as
seguintes respostas:
- Marcelo declara: Z Bolacha o criminoso.
- Z Bolacha declara: O criminoso Jos.
- Adalberto declara: No sou o criminoso.
- Jos protesta: Z Bolacha est mentindo.
Sabendo que apenas uma das declaraes verdica, as outras trs so
falsas, quem o criminoso?
"Inspirado na novela da Rede Globo - A PRXIMA VTIMA"
a) Z Bolacha
b) Jos
c) Adalberto
d) Marcelo
e) Impossvel de descobrir.19. Os cursos de Mrcia, Berenice e
Priscila so, no necessariamente nesta ordem, Medicina, Biologia e
Psicologia. Uma delas realizou seu curso em Belo Horizonte, a outra
em Florianpolis, e a outra em So Paulo. Mrcia realizou seu curso em
Belo Horizonte. Priscila cursou Psicologia. Berenice no realizou
seu curso em So Paulo e no fez Medicina. Assim, cursos e
respectivos locais de estudo de Mrcia, Berenice e Priscila so, pela
ordem:
a) Medicina em Belo Horizonte, Psicologia em Florianpolis,
Biologia em So Paulo.
b) Psicologia em Belo Horizonte, Biologia em Florianpolis,
Medicina em So Paulo.
c) Medicina em Belo Horizonte, Biologia em Florianpolis,
Psicologia em So Paulo.
d) Biologia em Belo Horizonte, Medicina em So Paulo, Psicologia
em Florianpolis.
e) Medicina em Belo Horizonte, Biologia em So Paulo, Psicologia
em Florianpolis.20. Um crime foi cometido por uma e apenas uma
pessoa de um grupo de cinco suspeitos: Armando, Celso, Edu, Juarez
e Tarso. Perguntados sobre quem era o culpado, cada um deles
respondeu:
Armando: Sou inocente
Celso: Edu o culpado
Edu: Tarso o culpado
Juarez: Armando disse a verdade
Tarso: Celso mentiu
Sabendo-se que apenas um dos suspeitos mentiu e que todos os
outros disseram a verdade, pode-se concluir que o culpado :
a) Armando
b) Celso
c) Edu
d) Juarez
e) TarsoGABARITO
01. C02. A03. #04. E05. C06. E07. E08. D09. D10. E11. A12. C13.
A14. C15. E16. D 17. # 18 # 19. # 20. #EXERCCIOS DE FIXAO
01. Em torno de uma mesa quadrada, encontram-se sentados quatro
sindicalistas. Oliveira, o mais antigo entre eles, mineiro. H tambm
um paulista, um carioca e um baiano. Paulo est sentado direita de
Oliveira. Norton, direita do paulista. Por sua vez, Vasconcelos,
que no carioca, encontra-se frente de Paulo. Assim,
a) Paulo paulista e Vasconcelos baiano.
b) Paulo carioca e Vasconcelos baiano.
c) Norton baiano e Vasconcelos paulista.
d) Norton carioca e Vasconcelos paulista.
e) Paulo baiano e Vasconcelos paulista.
02. Um agente de viagens atende trs amigas. Uma delas loira,
outra morena e a outra ruiva. O agente sabe que uma delas se chama
Milena, outra se chama Monyke e a outra se chama Carine. Sabe,
ainda, que cada uma delas far uma viagem a um pas diferente da
Europa: uma delas ir Alemanha, outra Frana e a outra ir Inglaterra.
Ao agente de viagens, que queria identificar o nome e o destino de
cada uma, elas deram as seguintes informaes:
A loira: No vou Frana nem Inglaterra
A morena: Meu nome no Monyke nem Carine
A ruiva: Nem eu nem Monyke vamos Frana
O agente de viagens concluiu, ento, acertadamente, que:
a) A loira Carine e vai Inglaterra.
b) A ruiva Carine e vai Frana.
c) A ruiva Milena e vai Inglaterra.
d) A morena Milena e vai Inglaterra.
e) A loira Monyke e vai Alemanha.
03. Cinco camisetas de cores diferentes foram dispostas em uma
pilha. A verde est abaixo da amarela e acima da azul. A rosa est
acima da marrom e esta fica abaixo da verde. A amarela e a verde se
encostam, assim como esta e a marrom. Qual a cor da camiseta do
topo da pilha?
a) Azul
b) Amarela
c) Verde
d) rosa
e) Marrom04. (FCC) Pesquisados sobre o hbito de tomar caf no
horrio do almoo, no perodo de segunda a sexta-feira, trs colegas
afirmaram:
EUCLIDES:No tomo caf s teras, nem s sextas-feiras.
LUS:Tomo caf todas as teras, quintas e sextas-feiras e no tomo
nos demais dias.
FRANCISCO: Tomo caf todas as segundas e quartas-feiras e no tomo
nos demais dias.
Sabe-se que todos os dias pelo menos um deles toma caf no almoo
e h um dia em que os trs tomam caf juntos. Se apenas Francisco no
falou a verdade, ento os trs tomam caf juntos na
a) sexta-feira
b) quinta-feira
c) quarta-feira
d) tera-feira
e) segunda-feira
05. Joo mais velho do que Pedro, que mais novo do que Carlos;
Antnio mais velho do que Carlos, que mais novo do que Joo. Antnio
no mais novo do que Joo e todos os quatro meninos tm idades
diferentes. O mais jovem deles :
a) Joo
b) Antnio
c) Pedro
d) Carlos
06. (FCC) Quatro empresas (Maccorte, Mactex, Macval, Macmais)
participam de uma concorrncia para compra de certo tipo de mquina.
Cada empresa apresentou um modelo diferente do das outras (Thor,
Hrcules, Netuno, Zeus) e os prazos de entrega variavam de 8 a 14
dias. Sabe-se que: Sobre os prazos de entrega, Macval apresentou o
menor e Mactex o maior.
O modelo Zeus foi apresentado pela Maccorte, com prazo de
entrega de 2 dias a menos do que a Mactex.
O modelo Hrcules seria entregue em 10 dias.
Macval no apresentou o modelo Netuno.
Nessas condies, o modelo apresentado pela empresa
a) Macval foi o Hcules.
b) Mactex foi o Thor.
c) Macmais foi o Thor.
d) Mactex foi o Netuno
e) Macval foi o Netuno
07. (FCC) Cinco times: Antares, Bilbao, Cascais, Deli e Elite,
disputam um campeonato de basquete e, no momento, ocupam as cinco
primeiras posies na classificao geral. Sabe-se que:
Antares est em um primeiro lugar e Bilbao est em quinto;
Cascais est exatamente na posio intermediria entre
Antares e Bilbao;
Deli est frente do Bilbao, enquanto que o Elite est
imediatamente atrs do Cascais.
Nessas condies, correto afirmar que:
a) Cascais est em segundo lugar.
b) Deli est em quarto lugar.
c) Deli est em segundo lugar.
d) Elite est em segundo lugar.
e) Elite est em terceiro lugar.
08. Marcos e Paulo pertencem a um grupo de mentirosos
programados. Marcos mente sempre na tera, quarta e quinta, dizendo
a verdade nos outros dias da semana. Paulo mente sempre na sexta,
sbado e domingo, fazendo questo de dizer a verdade nos outros dias.
Certo dia, dialogando entre eles, afirmaram:
Marcos: Eu mentirei amanh, assim como ontem
Paulo: Hoje tera-feira
Em que dia da semana ocorreu esse dilogo?
a) segunda
b) tera
c) quarta
d) quinta
e) sexta
09. Sabe-se que um crime cometido por um dos quatro suspeitos:
Aurisvanderson, Belarmino, Cleosvaldo e Denysgleison. Interrogados
na delegacia, eles fazem as seguintes declaraes:
Auri: "Bel o culpado"
Bel: "Denys realmente o culpado"
Cleo: "Acreditem, eu no sou culpado"
Denys: "Bel est mentindo"
Sabendo que apenas um dos quatro mentiu, diga quem o verdadeiro
culpado.
a) Aurisvanderson
b) Belarmino
c) Cleosvaldo
d) Denysgleison
010. Trs bolas A, B e C foram pintadas: uma de vermelho, uma de
preto e uma de azul, no necessariamente nessa ordem. Leia
atentamente as declaraes abaixo:
A azul
B no azul
C no preta
Sabendo(se que apenas uma das declaraes acima verdadeira,
podemos afirmar corretamente que:
a) A bola A vermelha, a bola B preta e a bola C azul
b) A bola A vermelha, a bola B azul e a bola C preta
c) A bola A preta, a bola B azul e a bola C vermelha
d) A bola A preta, a bola B vermelha e a bola C azul
e) A bola A azul, a bola B vermelha e a bola C preta
011. Percival encontra-se frente de trs portas, numeradas de 1 a
3, cada uma das quais conduz a uma sala diferente. Em uma das salas
encontra-se uma linda princesa; em outra, um valioso tesouro;
finalmente, na outra, um feroz drago. Em cada uma das portas
encontra-se uma inscrio:
Porta 1: Se procuras a linda princesa, no entres; ela est atrs
da porta 2.
Porta 2: Se aqui entrares, encontrars um valioso tesouro; mas
cuidado: no entres na porta 3 pois atrs dela encontra-se um feroz
drago.
Porta 3: Podes entrar sem medo pois atrs desta porta no h drago
algum.
Alertado por um mago de que uma e somente uma dessas inscries
falsa (sendo as duas outras verdadeiras), Percival conclui, ento,
corretamente que atrs das portas 1, 2 e 3 encontram-se
respectivamente:
a) o feroz drago, o valioso tesouro, a linda princesa
b) a linda princesa, o valioso tesouro, o feroz drago
c) o valioso tesouro, a linda princesa, o feroz drago
d) a linda princesa, o feroz drago, o valioso tesouro
e) o feroz drago, a linda princesa, o valioso tesouro
012. (ESAF) Trs amigas encontram-se em uma festa. O vestido de
uma delas azul, o de outra preto, e o de outra branco. Elas calam
pares de sapatos destas mesmas trs cores, mas somente Ana est com
vestido e sapatos de mesma cor. Nem o vestido nem os sapatos de
Jlia so brancos. Marisa est com sapatos azuis. Desse modo,
a) o vestido de Jlia azul e o de Ana preto.
b) o vestido de Jlia branco e seus sapatos so pretos.
c) os sapatos de Jlia so pretos e os de Ana so brancos.
d) os sapatos de Ana so pretos e o vestido de Marisa branco.
e) o vestido de Ana preto e os sapatos de Marisa so azuis.
013. (ESAF) Uma empresa produz andrides de dois tipos: os de
tipo V, que sempre dizem a verdade, e os de tipo M, que sempre
mentem. Dr. Turing, um especialista em Inteligncia Artificial, est
examinando um grupo de cinco andrides rotulados de Alfa, Beta,
Gama, Delta e psilon , fabricados por essa empresa, para determinar
quantos entre os cinco so do tipo V. Ele pergunta a Alfa: Voc do
tipo M? Alfa responde mas Dr. Turing, distrado, no ouve a resposta.
Os andrides restantes fazem, ento, as seguintes declaraes:
Beta: Alfa respondeu que sim.
Gama: Beta est mentindo.
Delta: Gama est mentindo.
psilon: Alfa do tipo M.
Mesmo sem ter prestado ateno resposta de Alfa, Dr. Turing pde,
ento, concluir corretamente que o nmero de andrides do tipo V,
naquele grupo, era igual a
a) 1
b) 2
c) 3
d) 4
014. Sete funcionrios de uma empresa (Arnaldo, Beatriz, Carlos,
Douglas, Edna, Flvio e Geraldo) foram divididos em 3 grupos para
realizar uma tarefa. Esta diviso foi feita de modo que: cada grupo
possui no mximo 3 pessoas;Edna deve estar no mesmo grupo que
Arnaldo; Beatriz e Carlos no podem ficar no mesmo grupo que
Geraldo; Beatriz e Flvio devem estar no mesmo grupo; Geraldo e
Arnaldo devem ficar em grupos distintos; nem Edna nem Flvio podem
fazer parte do grupo de Douglas. Estaro necessariamente no mesmo
grupo:
a) Arnaldo e Carlos;
b) Arnaldo e Douglas;
c) Carlos e Flvio; d) Douglas e Geraldo;
015. (CESPE) Trs amigos Ari, Beto e Carlos se encontram todos os
fins-de-semana na feira de carros antigos. Um deles tem um Gordini,
outro tem um Sinca e o terceiro, um Fusca. Os trs moram em bairros
diferentes (Buritis, Praia Grande e Cruzeiro) e tm idades
diferentes (45, 50 e 55 anos). Alm disso, sabe-se que:
Ari no tem um Gordini e mora em Buritis;
Beto no mora na Praia Grande e 5 anos mais novo que o dono do
Fusca;
O dono do Gordini no mora no Cruzeiro e o mais velho do
grupo.
A partir das informaes acima, correto afirmar que
a) Ari mora em Buritis, tem 45 anos de idade e proprietrio do
Sinca.
b) Beto mora no Cruzeiro, tem 50 anos de idade e proprietrio do
Gordini.
c) Carlos mora na Praia Grande, tem 50 anos de idade e
proprietrio do Gordini.
d) Ari mora em Buritis, tem 50 anos de idade e proprietrio do
Fusca.
GABARITO
01. A02. E03. D04. B05. C
06. D07. C08. B09. B10. C
11. E12. C13. B14. D15. DTEORIA ELEMENTAR DOS CONJUNTOSSituao
Problema ...........
Um funcionrio do departamento de seleo pessoal de uma indstria
automobilstica, analisando o currculo de 47 candidatos, conclui que
apenas 3 deles nunca trabalharam em montagem ou pintura, 32 j
trabalharam em montagem, e 17 j trabalharam nos dois setores.
De acordo com essas informaes, quantos desses candidatos j
trabalharam apenas na pintura.
Aps os contedos que sero apresentados nesta aula como o que so
conjuntos e como represent-los, iremos resolver problemas como
este, que envolvem quantidades de elementos de conjuntos
finitos.
Conceitos primitivos*
Na teoria dos conjuntos, os conceitos primitivos so: conjunto,
elemento de um conjunto e pertinncia entre elemento e conjunto. A
ideia de conjunto a mesma de coleo, reunio, etc .......
A coleo de apostilas que voc utiliza um conjunto de apostilas. A
apostila de Matemtica um elemento que pertence a esse conjunto.
Os alunos de sua sala de aula formam um conjunto de alunos. Voc
um elemento que pertence a esse conjunto.
*Os conceitos que iniciam uma teoria so aceitos sem definio,
pois, no existindo ainda teoria, no h recursos para defini-los.
Representao
Representao tabular um conjunto em que os elementos so
apresentados entre chaves e separados por vrgula ou ponto e
vrgula.
Exemplos:
A = {a,e,i,o,u}
B = {1,2,3,4}
Note que u ( A, ou seja, u elemento do conjunto A, mas no
elemento do conjunto B, ou seja, u ( B.
Conjunto unitrio e Conjunto Vazio
Conjunto unitrio aquele formado por um nico elemento.
Conjunto vazio aquele que no possui elemento algum.
Representa-se o conjunto vazio por { } ou .
Observao: {} um conjunto unitrio.
Representao por diagrama de Veen aquela em que os elementos so
simbolizados por pontos interiores a uma regio plana delimitada por
uma linha fechada que no se entrelaa.
Subconjuntos
Considere B o conjunto formado por todas as pessoas Brasileiras.
Com os elementos de B, podemos formar o conjunto H, formado por
todos os homens Brasileiros e o conjunto M, formado por todas as
mulheres Brasileiras, dizemos ento que:
H e M so subconjuntos de B
H ( B (l-se H est contido em B)
M ( B (l-se M est contido em B)
Observao
I. A relao de pertinncia ( ( ) usada apenas para relacionar um
elemento com um conjunto.
II.A relao de incluso ( ( ) usada para relacionar um conjunto
com outro conjunto.
III.Podemos representar os conjuntos mencionados acima da
seguinte forma:
B ( H (l-se B contm H)
IV.O total de subconjuntos formados por um conjunto finito A
dado por:
2n(A)
Onde: n(A) o nmero de elementos de A
Operaes entre conjuntos
UNIOA UNIO (A U B) de dois conjuntos A e B o conjunto formado
pelos elementos pertencentes a A ou a B.
INTERSECOA INTERSECO (A B) de dois conjuntos A e B o conjunto
formado pelos elementos pertencentes a A e a B.
DIFERENAA DIFERENA (A B) de dois conjuntos A e B o conjunto
formado pelos elementos que pertencem a A e no pertencem a B.
COMPLEMENTARQuando dois conjuntos A e B so tais que A B, d se o
nome de COMPLEMENTAR DE B EM A diferena B A.
Problemas que envolvem conjuntos
Cardinalidade o nmero de elementos do conjunto. Cardinalidade da
unio:
n(A ( B) = n(A) + n(B) n(A ( B)O nmero de elementos da unio de
dois conjuntos igual soma do nmero de elementos de cada conjunto,
menos a quantidade de elementos repetidos.EXERCCIOS PROPOSTOS
01.O conjunto A possui 30 elementos; o conjunto A ( B possui 12
elementos; o conjunto A ( B possui 50 elementos. O nmero de
elementos do conjunto B :
a) 28
b) 32
c) 40
d) 48
e) 5202.Dado o conjunto {a, b, c, d, e, f, g} o nmero mximo de
subconjuntos distintos :
a) 21
b) 128
c) 64
d)nenhuma dessas
03.Sendo A = {1, 2, 3, 5, 7, 8} e B = {2, 3, 7}, ento o
complementar de B em A :
a) (b) {8}
c) {8, 9, 10}
d) {9, 10, 11 }
e) {1, 5, 8}
04.Dados os conjuntos A = {a, b, c}, B = {b, c, d} e C = {a, c,
d, e}, o conjunto (A C) ( (C B) ( (A ( B ( C) :
a) {a, b, c, e}
b) {a, c, e}
c) A
d) {b, d, e}
e) {a, b, c, d}
05.Supondo que:
A ( B = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8}
A ( B = {4, 5}
A B = {1, 2, 3}, ento B :
a) {6, 7, 8}
b) {4, 5, 6, 7, 8}
c) {1, 2, 3, 4}
d) {4, 5}
e) (06.Numa comunidade constituda de 1.800 pessoas h trs
programas de TV favoritos: Esporte (E), Novela (N) e Humorismo (H).
A tabela abaixo indica quantas pessoas assistem a esses
programas.
Programas N de Telespectadores
E
400
N
1220
H
1080
E e N 220
N e H 800
E e H 180
E, N e H 100
Atravs desses dados, verifica-se que o nmero de pessoas da
comunidade que no assistem a qualquer dos trs programas :
a) 200
b) os dados do problema esto incorretos
c) 900
d) 100
e) n.d.a
07.Numa certa cidade so consumidos trs produtos A, B e C,
sendo:
A um tipo de desodorante
B um tipo de sabonete
C um tipo de creme dental
Feita uma pesquisa de mercado sobre o consumo desses produtos,
foram colhidos os dados da tabela abaixo:
Produto N de consumidores
A
120
B
180
C
250
A e B
40
A e C
50
B e C
60
A, B e C
30
Nenhum dos trs180
O conjunto das pessoas consultadas constitui uma amostra.
Note-se que os trs primeiros dados da tabela (120, 180 e 250) no
representam os que consomem apenas A ou apenas B ou apenas C, e sim
o nmero total de consumidores dos 3 produtos (isolados ou
conjuntamente). Nessas condies, quantas pessoas foram
consultadas?
a) 500
b) 560
c) 610
d) 730
e) 910
08.O quadro abaixo mostra o resultado de uma pesquisa realizada
com 1.800 pessoas, entrevistadas a respeito da audincia de trs
programas favoritos de televiso, a saber: Esporte (E), Novela (N) e
Humorismo (H).
De acordo com os dados apresentados, o nmero de pessoas
entrevistadas que no assistem a algum dos trs programas :
a) 900
b) 200
c) 100
d) 300
e) 400
09.Num grupo de 50 esportistas, 25 jogam tnis, 29, basquete e 15
praticam os dois esportes. Sabendo-se que x esportistas do grupo no
jogam tnis ou basquete, o valor de x
a) 4
b) 6
c) 10
d) 11
e) 39
10.Numa escola h n alunos. Sabe-se que 56 alunos leem o jornal
A, 21 leem os jornais A e B, 106 leem apenas um dos dois jornais e
66 no leem o jornal B. O valor de n
a) 249
b) 137
c) 158
d) 127
e) 183
11.Num grupo de 2000 adultos, apenas 20% so portadores do vrus
da hepatite B. Os homens desse grupo so exatamente 30% do total e
apenas 10% das mulheres apresentam o vrus. O nmero total de homens
desse grupo que no apresenta o vrus , exatamente,
a) 140
b) 260
c) 340
d) 400
e) 600
12.Num grupo de estudantes, 80% estudam Ingls, 40% estudam
Francs e 10% no estudam nenhuma dessas duas lnguas. Nesse grupo, a
porcentagem de alunos que estudam ambas as lnguas :
a) 25%
b) 50%
c) 15%
d) 33%
e) 30%
a) Todas as afirmaes so verdadeiras.
b) Somente a ultima afirmao verdadeira.
c) II, IV e VI so falsas.
d) III, IV e V so verdadeiras.
e) Todas as afirmaes so falsas.
13.Em uma pesquisa de opinio, foram obtidos estes dados:
( 40% dos entrevistados lem o jornal A.
( 55% dos entrevistados lem o jornal B.
( 35% dos entrevistados lem o jornal C.
( 12% dos entrevistados lem os jornais A e B.
( 15% dos entrevistados lem os jornais A e C.
( 19% dos entrevistados lem os jornais B e C.
( 7% dos entrevistados lem os trs jornais.
( 135 pessoas entrevistadas no lem nenhum dos trs jornais.
Considerando-se esses dados, correto afirmar que o nmero total
de entrevistados foi:
a) 1 200
b) 1 500
c) 1 250
d) 1 350
14.Na escola do professor Golias, so praticadas duas modalidades
de esportes: o futebol e a natao. Exatamente 80% dos alunos
praticam futebol e 60%, natao. Se a escola tem 300 alunos e todo
aluno pratica pelo menos um esporte, ento o nmero de alunos que
praticam os dois esportes :
a) 240
b) 204
c) 180
d) 139
e) 120
15.Num clube, dentre os 500 inscritos no departamento de natao,
30 so unicamente nadadores, entretanto 310 tambm jogam futebol e
250 tambm jogam tnis. Os inscritos em natao que tambm praticam
futebol e tnis so em nmero de:
a) 80
b) 90
c) 100
d) 110
e) 120
16.Em uma pesquisa feita a 30 alunos sobre o tipo de revista que
costumam ler, 14 responderam que leem a revista X, cinco
responderam que leem a revista Y e sete responderam que leem a
revista Z. Sabendo-se que trs lem as revistas X e Y, dois leem as
revistas X e Z, dois leem as revistas Y e Z e somente um l as trs
revistas, o nmero dos que leem pelo menos uma destas trs revistas
:
a) 8
b) 12
c) 19
d) 20
e) 26
17.Uma populao utiliza 3 marcas diferentes de detergente: A, B e
C. Feita uma pesquisa de mercado colheram-se os resultados
tabelados abaixo.
Marcas Nmero de
consumidoresA
109
B
203
C
162
A e B 25
A e C 28
B e C 41
A, B e C 5
Nenhuma delas 115
Pode-se concluir que o nmero de pessoas que consomem ao menos
duas marcas
a) 99
b) 94
c) 90
d) 84
e) 79
18.O conjunto A possui 20 elementos; o conjunto A ( B possui 12
elementos; o conjunto A ( B possui 60 elementos. O nmero de
elementos do conjunto B :
a) 28
b) 36
c) 40
d) 48
e) 52
19.Foi consultado um certo nmero de pessoas sobre as emissoras
de TV que habitualmente assistem. Obteve-se o resultado seguinte:
300 pessoas assistem ao canal A, 270 assistem ao canal B, das quais
150 assistem ambos os canais A B e 80 assistem outros canais
distintos de A e B. O nmero de pessoas consultadas :
a) 800
b) 720
c) 570
d) 500
e) 600
20.Num grupo de estudantes, 80% estudam Ingls, 40% estudam
Francs e 10% no estudam nenhuma dessas duas lnguas. Nesse grupo, a
porcentagem de alunos que estudam ambas as lnguas :
a) 25%
b) 50%
c) 15%
d) 33%
e) 30%
GABARITO - CONJUNTOS
0102030405
BBEBB
0607080910
ACBDC
1112131415
CEBEB
1617181920
DDEDE
SILOGISMO
Proposies so sentenas que podem ser julgadas como verdadeiras V
ou falsas F , mas no como ambas.As quatro proposies categricas de
Aristteles (384 a 322 a.C.), componentes fundamentais de seus
silogismos, podem ser simbolizadas pelas frmulas da linguagem da
lgica de 1. ordem, mostradas na tabela abaixo.
Denotando por AB qualquer uma das quatro proposies categricas, e
denominando A e B os termos de AB, ento um silogismo consiste
(sintaticamente) de uma seqncia de trs proposies categricas
construdas com trs termos, de modo que cada duas delas tenham
exatamente um termo comum.
Para os termos A, B e C, a tabela abaixo apresenta os quatro
possveis modelos de silogismos.
CB (PREMISSA MAIOR)
Todo homem mortal.AC (PREMISSA MENOR)
Scrates homem.AB (CONCLUSO)
Logo, Scrates mortal.
O termo semelhante nas premissas desaparece, restando na
concluso os termos restantes das premissas.
QUANTIFICADORES
So elementos que transformam as sentenas abertas em
proposies.
Eles so utilizados para indicar a quantidade de valores que a
varivel de uma sentena precisa assumir para que esta sentena
torne-se verdadeira ou falsa e assim gere uma proposio.
TIPOS DE QUANTIFICADORESa) Quantificador existencial: o
quantificador que indica a necessidade de existir pelo menos um
elemento satisfazendo a proposio dada para que esta seja
considerada verdadeira.
indicado pelo smbolo (, que se l existe, existe um ou existe
pelo menos um.
EXEMPLO:
(p) (x(R / x ( 3
(q) Existe dia em que no chove.
b) Quantificador universal: o quantificador que indica a
necessidade de termos todos os elementos satisfazendo a proposio
dada para que esta seja considerada verdadeira.
indicado pelo smbolo (, que se l para todo ou qualquer que
seja.
EXEMPLO:
(m) (x(R ( x ( 5 (L-se: para todo x pertencente aos reais, tal
que x maior ou igual a 5)
(n) Qualquer que seja o dia, no chover.
TEORIA DOS CONJUNTOS
NOMENCLATURA UTILIZADA
( -conjunto dos nmeros reais
(* - conjunto dos nmeros reais no nulos
(+ - conjunto dos nmeros reais no negativos
(*+ - conjunto dos nmeros reais positivos
Q - conjunto dos nmeros racionais
Q* - conjunto dos nmeros racionais no nulos
Z - conjunto dos nmeros inteiros
Z+ - conjunto dos nmeros inteiros no negativos
Z* - conjunto dos nmeros inteiros no nulosN- conjunto dos nmeros
naturais
N*- conjunto dos nmeros naturais no nulos
(- conjunto vazio
(- smbolo de unio entre dois conjuntos
(- smbolo de interseco entre dois conjuntos
(- smbolo de pertinncia entre elemento e conjunto
(- smbolo de incluso entre dois conjuntos
(- qualquer que sejaOPERAES COM CONJUNTOS
UNIO ( ( )
Unio de dois conjuntos A e B o conjunto formado pelos elementos
que pertencem a A ou a B ou a ambos.
INTERSEO ( ( )
Interseo de dois conjuntos A e B o conjunto formado pelos
elementos que pertencem ao mesmo tempo a ambos os conjuntos
dados.
DIFERENA ( ) ou COMPLEMENTAR
Diferena entre os conjuntos A e B, nesta ordem, o conjunto
formado pelos elementos que pertencem a A, porm, no pertencem a B.
O conjunto A B tambm chamado de complementar de B e em A, pois o
que falta para B completar o conjunto A.
CONJUNTOS LGICOS
NENHUM
No existe interseo entre os conjuntos.
EX.:
A: Nenhum soldado covarde
ALGUNS
Existe pelo menos um elemento na interseo entre os conjuntos,
mas nem todos.
EX.:
B: Alguns soldados so covardes
TODOS
Um dos conjuntos subconjunto do outro.
EX.:
C: Todos os soldados so covardes
TIPOS DE PROPOSIES COMPOSTAS
Uma proposio chamada de composta quando formada a partir de
outras proposies mais simples (p, q, r, ...) mediante o uso de:
modificadores (~)
conectivos (( e ()
condicionais (( e ().
TAUTOLOGIA
Dizemos que uma proposio composta uma tautologia, ou seja, uma
proposio logicamente verdadeira, quando tem o valor lgico
verdadeiro independentemente dos valores lgicos das proposies
parciais usadas na sua elaborao. Ex.: p(q: No concurso Joo foi
aprovado ou reprovadoCONTRADIO
Dizemos que uma proposio composta uma contradio, ou seja, uma
proposio logicamente falsa, quando tem o valor lgico falso
independentemente dos valores lgicos das proposies parciais usadas
na sua elaborao. Ex.: p(q: Sophia nasceu em Fortaleza e em So
PauloCONTINGNCIA
Dizemos que uma proposio composta uma contingncia quando ela
pode ter os valores lgico verdadeiro ou falso.EXEMPLOS
01. (IPAD) Supondo que todos os cientistas so objetivos e que
alguns filsofos tambm o so, podemos logicamente concluir que:
a) no pode haver cientista filsofo.
b) algum filsofo cientista.
c) se algum filsofo cientista, ento ele objetivo.
d) alguns cientistas no so filsofos.
e) nenhum filsofo objetivo.
SOLUO:
Dadas as premissas:
A: todos os cientistas so objetivos
B: alguns filsofos so objetivos
Sejam
O Objetivos
C Cientistas
F Filsofos
Do enunciado, para satisfazer as premissas A e B, temos os
seguintes diagramas possveis:
Dessa forma, temos que se algum filsofo cientista ele fica de
acordo com o 2 ou 3 diagrama, o que implica necessariamente que
esse filsofo ser objetivo, pois todo cientista objetivo.
Resposta: C
02. (IPAD) Supondo que cronpios e famas existem e que nem todos
os cronpios so famas, podemos concluir logicamente que:
a) nenhum cronpio fama.
b) no existe cronpio que seja fama.
c) todos os cronpios so famas.
d) nenhum fama cronpio.
e) algum cronpio no fama.
SOLUO:
Dada a premissa:
A: Nem todos os cronpios so famas
Sejam
C Cronpios
F Famas
Do enunciado, para satisfazer a premissa A, temos os seguintes
diagramas possveis:
Podemos concluir que Se nem todo cronpio fama, ento
necessariamente existe pelo menos um cronpio que no fama.
Resposta: E
03. (IPAD) Em um pas estranho sabe-se que as pessoas esto
divididas em dois grupos: o grupo dos que tm uma idia original e o
grupo dos que tm uma idia comercializvel. Sabe-se tambm que 60% das
pessoas tm uma idia original e apenas 50% tm idias comercializveis.
Podemos afirmar que:
a) 15% das pessoas tm idias originais e comercializveis.
b) 10% das pessoas tm idias originais e comercializveis.
c) 30% das pessoas tm idias comercializveis, mas no
originais.
d) 70% das pessoas tm idias originais e no comercializveis.
e) 65% das pessoas tm idias originais e no comercializveis.
SOLUO:
Sejam
A grupo dos que tm uma idia original ;
B grupo dos que tm uma idia comercializvel;
Como todas as pessoas (100%) esto em pelo menos um dos grupos (A
ou B), temos:
Sabendo que
n(A ( B) = n(A) + n(B) n(A ( B)
100% = 60% + 50% x
x = 10%
portanto
10% das pessoas tm idias originais e comercializveis
Resposta: B
04. verdade que "Alguns A so R" e que "nenhum G R" ento
necessariamente verdade que:
a) Alguns A no G.
b) Algum A G.
c) Nenhum A G.
d) Algum G A.
e) Nenhum G A.
SOLUO:
Sabe-se que todos os A que tambm so R, no podem ser G, pois
nenhum G R, ento existem alguns A que nunca sero G.
Resposta: A
OBS.:Os outros itens esto errados por que podem ser verdade ou
no, dependendo de como for o diagrama. Mas como no se pode garantir
que G e A tm interseo ou no, nada se pode afirmar.
05. Supondo que Nenhum advogado foi reprovado e que Alguns
bancrios foram reprovados, podemos logicamente concluir que:
a) no pode haver advogado bancrio.
b) algum advogado bancrio.
c) nenhum advogado bancrio.
d) todos os advogados so bancrios.
e) alguns bancrios no so advogados.
SOLUO:
Do enunciado temos os possveis diagramas:
Dessa forma, percebemos que nas duas possibilidades alguns
bancrios no so advogados, pois aqueles bancrios que foram
reprovados, jamais podero ser advogados, pois nenhum destes foi
reprovado.
Resposta: E
O PRINCPIO DO POMBAL OU PRINCPIO DA CASA DOS POMBOS a afirmao de
que se n pombos devem ser postos em m casas, e se n > m, ento
pelo menos uma casa ir conter mais de um pombo. Matematicamente
falando, isto quer dizer que se o nmero de elementos de um conjunto
finito A maior do que o nmero de elementos de um outro conjunto B,
ento uma funo de A em B no pode ser injetiva.
tambm conhecido como TEOREMA DE DIRICHLET OU PRINCPIO DAS
GAVETAS DE DIRICHLET, pois supe-se que o primeiro relato deste
principio foi feito por Dirichlet em 1834, com o nome de
Schubfachprinzip ("princpio das gavetas").
O princpio do pombal um exemplo de um argumento de calcular que
pode ser aplicado em muitos problemas formais, incluindo aqueles
que envolvem um conjunto infinito.
Embora se trate de uma evidncia extremamente elementar, o
princpio til para resolver problemas que, pelo menos primeira
vista, no so imediatos. Para aplic-lo, devemos identificar, na
situao dada, quem faz o papel dos objetos e quem faz o papel das
gavetas.
Exemplo
Todos os pontos de um plano so pintados de amarelo ou verde.
prove que podemos encontrar dois pontos de mesma cor que distam
exatamente um metro:Soluo: Basta imaginarmos um tringulo equiltero
de lado igual a um metro. Como so duas cores (casas) e trs pontos
(pombos),pelo PCP (princpio da casa dos pombos) teremos dois de
mesma cor.
Embora este princpio seja uma observao trivial, pode ser usado
para demonstrar resultados possivelmente inesperados. Por exemplo,
em qualquer grande cidade (digamos com mais de 1 milho de
habitantes) existem pessoas com o mesmo nmero de fios de cabelo.
Demonstrao: Tipicamente uma pessoa tem cerca de 150 mil fios de
cabelo. razovel supor que ningum tem mais de 1.000.000 de fios de
cabelo em sua cabea. Se h mais habitantes do que o nmero mximo de
fios de cabelo, necessariamente pelo menos duas pessoas tero
precisamente o mesmo nmero de fios de cabelo.
Generalizaes do princpioUma verso generalizada declara que, se
"n" objetos distintos para ser alocados "m" recipientes, ento pelo
menos um recipiente deve conter no menos que objetos, onde denota o
menor inteiro igual ou superior a x (a funo tecto).
Uma generalizao probabilstica do princpio da casa dos pombos
define que se "n" pombos so colocados aleatoriamente em "m" casas
com uma probabilidade uniforme 1/m, ento pelo menos uma casa de
pombos ter mais de um pombo com probabilidade:
onde um fatorial decrescente. Para n = 0 e para n = 1 (e m >
0), que provavelmente zero; em outras palavras, se tem apenas um
pombo, ento no deve haver conflitos. Para n > m (mais pombos do
que casa de pombos) um, neste caso coincide com o princpio de casa
dos pombos normal. Mas mesmo que o nmero de pombos no exceda o
nmero de casa de pombos (n m), devido a natureza da atribuio
aleatria das casas aos pombos existe uma chance substancial que um
confronto ocorra muitas vezes. Por exemplo, se 2 pombos so
colocados na 4 casa de pombos, h uma chance de 25% que pelo menos
uma casa de pombo ter mais do que um pombo, para 5 pombos e 10
casas, a probabilidade de 69,76%; e para 10 pombos em 20 casas a
probabilidade de 93,45%.MAIS EXERCCIOS | O SEGREDO EXERCITAR!!!01.
Qual a negao de Todo artista elegante.
a) Nenhum artista elegante
b) Todas as pessoas so elegantes
c) Ningum elegante
d) Todo artista no elegante
e) Pelo menos um artista no elegante
02. Dizer que Alguns alunos vo passar implica que:
a) No h aluno que v passar
b) Todas as pessoas vo passar
c) Pelo menos um aluno vai passar
d) Todos os alunos vo passar
e) Todos os alunos no vo passar
03. A equivalncia de Nenhum poltico honesto :
a) Todas as pessoas so honestas
b) Todos os polticos so desonestos
c) Ningum honesto
d) Todo poltico honesto
e) Pelo menos um poltico honesto
04. Dadas as proposies:
I Toda mulher boa motorista.
II Nenhum homem bom motorista.
III Todos os homens so maus motoristas.
IV Pelo menos um homem mau motorista.
V Todos os homens so bons motoristas.A negao da proposio (V)
:
a) I
b) II
c) III
d) IV
e) V
05. Assinale a alternativa que apresenta uma contradio.a) Todo
espio vegetariano e algum vegetariano no espio.
b) Nenhum espio vegetariano e algum espio no vegetariano.
c) Todo espio no vegetariano e algum vegetariano espio.
d) Algum espio vegetariano e algum espio no vegetariano.
e) Todo vegetariano espio e algum espio no vegetariano.
06. Das premissas:
A: Nenhum heri covarde
B: Alguns soldados so covardes
Pode(se corretamente concluir que:
a) Alguns heris so soldados
b) Alguns soldados so heris
c) Nenhum heri soldado
d) Alguns soldados no so heris
e) Nenhum soldado heri
07. "Se alguns Smaugs so Trois e alguns Trois so Ludgans, ento
alguns Smaugs so definitivamente Ludgans". Esta sentena :
a) VERDADEIRA
b) FALSA
c) Nem Falso nem verdadeiro
d) impossvel de dizer
08. bem conhecido que os marcianos tem, ao menos, uma cabea. Um
cientista assegura: "Todo marciano tem exatamente duas cabeas".
Mais tarde se demonstra que estava equivocado. Qual das seguintes
afirmaes necessariamente correta?
a) No h marciano com duas cabeas.
b) Todo marciano, ou tem uma cabea, ou tem mais de duas
cabeas.
c) H um marciano que tem uma cabea.
d) H um marciano que tem mais de duas cabeas.
e) H um marciano que, ou tem uma cabea, ou tem mais de duas
cabeas.
09. Se no verdade que Alguma professora universitria no d aulas
interessantes, ento verdade que:
a) Todas as professoras universitrias do aulas interessantes
b) Nenhuma professora universitria d aulas interessantes
c) Nenhuma aula interessante dada por alguma professora
universitria
d) Nem todas as professoras universitrias do aulas
interessantes.
e) Todas as aulas no interessantes so dadas por professoras
universitrias.
010. Sabe-se que de um grupo 25 atletas, alguns so baianos e dos
30 baianos, alguns so comerciantes, mas nenhum dos 40 comerciantes
atleta. Sabe-se ainda que o nmero de atletas baianos o mesmo que
dos comerciantes baianos, que tambm igual ao nmero de baianos que
no so nem atletas nem comerciantes. Dessa forma, determine o nmero
de comerciantes que no so baianos.
a) 35
b) 30
c) 25
d) 20
011. A sentena ( x ( R(x = a + b a negao de:
a) ( x ( R(x ( a + b
b) ( x ( R(x > a + b
c) ( x ( R(x < a + b
d) ( x ( R(x = a + b
e) ( x ( R(x ( a + b
012. Em determinada universidade, foi realizado um estudo para
avaliar o grau de satisfao de seus professores e alunos. O estudo
mostrou que, naquela universidade, nenhum aluno completamente feliz
e alguns professores so completamente felizes. Uma concluso
logicamente necessria destas informaes que, naquela universidade,
objeto da pesquisa,
a) nenhum aluno professor.
b) alguns professores no so alunos.
c) alguns alunos so professores.
d) nenhum professor aluno.
e) todos os alunos so professores.
013. Atravs de uma pesquisa, descobriu-se que nenhum cientista
rico e que alguns professores so ricos. Assim, pode-se afirmar
que:
a) Alguns cientistas so professores
b) Alguns professores so cientistas
c) Alguns professores no so cientistas
d) Nenhum cientista professor
e) Nenhum professor cientista
014. Todos os alunos de matemtica so, tambm, alunos de ingls,
mas nenhum aluno de ingls aluno de histria. Todos os alunos de
Portugus so tambm alunos de informtica, e alguns alunos de
informtica so tambm alunos de histria. Como nenhum aluno de
informtica aluno de ingls, e como nenhum aluno de Portugus aluno de
Histria, ento:
a) Pelo menos um aluno de portugus aluno de ingls
b) Pelo menos um aluno de matemtica aluno de histria
c) Nenhum aluno de Portugus aluno de matemtica
d) Todos os alunos de informtica so alunos de matemtica.
e) Todos os alunos de informtica so alunos de portugus
015. Em um grupo de amigas, todas as meninas loiras so, tambm,
altas e magras, mas nenhuma menina alta e magra tem olhos azuis.
Todas as meninas alegres possuem cabelos crespos, e algumas meninas
de cabelos crespos tm tambm olhos azuis. Como nenhuma menina de
cabelos crespos alta e magra e como, neste grupo de amigas, no
existe nenhuma menina que tenha cabelos crespos, olhos azuis e seja
alegre, ento:
a) Pelo menos uma menina alegre tem olhos azuis
b) Pelo menos uma menina loira tem olhos azuis
c) Todas as meninas que possuem cabelos crespos so loiras
d) Todas as meninas que possuem cabelos crespos so alegres
e) Nenhuma menina alegre loira
016. Sabe-se que existe pelo menos um A que B. Sabe-se, tambm,
que todo B C. Disto resulta que:
a) Todo C B.
b) Todo C A
c) Algum A C
d) Nada que no seja C A
e) Algum A no C
017. Supondo que todos os alunos so inteligentes e que Nem todos
os filsofos tambm so inteligentes, podemos logicamente concluir
que:
a) no pode haver aluno filsofo.
b) algum filsofo aluno.
c) alguns aluno no so filsofos.
d) se algum filsofo aluno, ento ele inteligente.
e) nenhum filsofo inteligente.
018. Em uma gaveta existem 3 meias pretas, 2 meias brancas, 4
meias azuis, 1 meia vermelha e 2 meias rosas. Nesse contexto, qual
o nmero mnimo de tentativas que uma pessoa dever realizar para ter
certeza de ter retirado duas meias da mesma cor:
a) 13b) 14
c) 15d) 16e) 17019. Considere que os argumentos so
verdadeiros:
Todo comilo gordinho;
Todo guloso comilo;
Com base nesses argumentos, correto afirmar que:
a) Todo gordinho guloso.
b) Todo comilo no guloso.
c) Pode existir gordinho que no guloso.
d) Existem gulosos que no so comiles.
e) Pode existir guloso que no gordinho.
020. (FCC) Considere que as seguintes afirmaes so
verdadeiras:
Alguma mulher vaidosa.
Toda mulher inteligente.
Assim sendo, qual das afirmaes seguintes certamente
verdadeira?
a) Alguma mulher inteligente vaidosa.
b) Alguma mulher vaidosa no inteligente.
c) Alguma mulher no vaidosa no inteligente.d) Toda mulher
inteligente vaidosa.
e) Toda mulher vaidosa no inteligente.
GABARITO
01. E02. C03. B04. D05. C 06. D07. B08. E09. A10. B
11. E12. B13. C14. C15. E16. C17. D18. A19. C20. AALGEBRA DAS
PROPOSIES
INTRODUO
A Lgica Matemtica, em sntese, pode ser considerada como a cincia
do raciocnio e da demonstrao. Este importante ramo da Matemtica
desenvolveu-se no sculo XIX, sobretudo atravs das idias de George
Boole, matemtico ingls (1815 - 1864), criador da lgebra Booleana,
que utiliza smbolos e operaes algbricas para representar proposies
e suas inter-relaes. As idias de Boole tornaram-se a base da Lgica
Simblica, cuja aplicao estende-se por alguns ramos da eletricidade,
da computao e da eletrnica.
LGICA MATEMTICA
A lgica matemtica (ou lgica simblica), trata do estudo das
sentenas declarativas tambm conhecidas como proposies, as quais
devem satisfazer aos dois princpios fundamentais seguintes:
PRINCPIO DO TERCEIRO EXCLUDO: uma proposio s pode ser verdadeira
ou falsa, no havendo alternativa.
PRINCPIO DA NO CONTRADIO: uma proposio no pode ser ao mesmo
tempo verdadeira e falsa.
Diz-se ento que uma proposio verdadeira possui valor lgico V
(verdade) e uma proposio falsa possui valor lgico F (falso). Os
valores lgicos tambm costumam ser representados por 0 (zero) para
proposies falsas ( 0 ou F) e 1 (um) para proposies verdadeiras ( 1
ou V ).
As proposies so indicadas pelas letras latinas minsculas: p, q,
r, s, t, u, ...
De acordo com as consideraes acima, expresses do tipo, "O dia
est bonito" , "3 + 5" , "x um nmero real" , "x + 2 = 7", etc., no
so proposies lgicas, uma vez que no poderemos associar a ela um
valor lgico definido (verdadeiro ou falso).
Exemplificamos a seguir algumas proposies, onde escreveremos ao
lado de cada uma delas, o seu valor lgico V ou F. Poderia ser tambm
1 ou 0.
p: "a soma dos ngulos internos de um tringulo igual a 180 " ( V
)
q: "3 + 5 = 2" ( F )
r: "7 + 5 = 12" ( V)
s: "a soma dos ngulos internos de um polgono de n lados dada por
Si = (n 2).180 ( V )
t: "O Sol um planeta" ( F )
w: "Um pentgono um polgono de dez lados " ( F )
SENTENA ABERTA: No pode ser atribudo um valor lgico
EX.:
Algum est nascendo nesse exato momento Pode ser Verdadeiro (V)
ou Falso (F), no se pode afirmar.
SENTENA FECHADA: Pode ser atribudo um valor lgico V ou F.
EX.:
O professor Pedro Evaristo ensina Matemtica Sentena Verdadeira
(V)
A soma 2 + 2 igual a 5 Sentena Falsa (F)SMBOLOS UTILIZADOS NA
LGICA (CONECTIVOS E QUALIFICADORES)
PRIVATE no
e
Ou
se ... ento
se e somente se
tal que
Implica
Equivalente
Existe
existe um e somente um
qualquer que seja
O MODIFICADOR NEGAO
Dada a proposio p, indicaremos a sua negao por ~p ou (p. (L-se
"no p" ).
EXEMPLOS:
p: 2 pontos distintos determinam uma nica reta (V)
~p: 2 pontos distintos no determinam uma nica reta (F)
q: Joo magro
~q: Joo no magro
~q: No verdade que Joo magro
s: Fernando honesto
(s: Fernando no honesto
(s: No verdade que Fernando honesto
(s: Fernando desonesto
OBS.:
Duas negaes equivalem a uma afirmao, ou seja, em termos
simblicos: ~(~p) = p.
p: Diego dirige bem
~p: Diego no dirige bem
~(~p): No verdade que Diego no dirige bem
ESTRUTURAS E OPERAES LGICAS
As proposies lgicas podem ser combinadas atravs dos operadores
lgicos , , e , dando origem ao que conhecemos como proposies
compostas. Assim, sendo p e q duas proposies simples, poderemos
ento formar as seguintes proposies compostas: pq, pq, pq, pq.
Estas proposies compostas recebem designaes particulares,
conforme veremos a seguir:
CONJUNO: p q (l-se "p e q" )
DISJUNO: p q (l-se "p ou q")
CONDICIONAL: p q (l-se "se p ento q")
BI-CONDICIONAL: p q (l-se "p se e somente se q")
Conhecendo-se os valores lgicos de duas proposies simples p e q,
como determinaremos os valores lgicos das proposies compostas
acima? Isto conseguido atravs do uso da tabela a seguir, tambm
conhecida pelo sugestivo nome de TABELA VERDADE.CONJUNO (E)
A conjuno s ser verdadeira em apenas um caso, se a premissa A
for verdadeira e a premissa B tambm for verdadeira, ou seja, caso
uma delas seja falsa a conjuno toda torna-se falsa.
EXEMPLO:
Analise a afirmao: Nesse final de semana estudarei raciocnio
lgico e informtica.
A:Estudar raciocnio lgico
B:Estudar informtica
TABELA VERDADE
ABA ( B
VVV
FVF
FFF
VFF
CONCLUSES:
S existe uma possibilidade para o fim de semana. Para que a
afirmao seja verdadeira, deverei estudar raciocnio lgico e
informtica.
Observe que a afirmao falsa, se pelo menos uma das premissas
forem falsas.
A ( B
Premissa A e premissa B
DISJUNO NO-EXCLUDENTE (OU)
PREMISSAS NO EXCLUDENTES: so aquelas que podem ocorrer
simultaneamente. Portanto, nesse caso o ou significa dizer que pelo
menos uma das premissas dever ser verdadeira. Nesse caso o ou
significa que pelo menos uma das premissas verdadeira.
EXEMPLO:
Analise a afirmao: Este final de semana irei praia ou ao
cinema.
A:Irei praia
B:Irei ao cinema
TABELA VERDADE
ABA ( B
VVV
VFV
FVV
FFF
CONCLUSES:
Sabendo que ele foi praia, conclui-se que ele pode ter ido ou no
ao cinema.
Sabendo que ele no foi praia, conclui-se que certamente foi ao
cinema.
Sabendo que ele foi ao cinema, conclui-se que ele pode ter ido
ou no praia.
Sabendo que ele no foi ao cinema, conclui-se que certamente foi
praia.
Observe que, nesse caso, o ou significa que eu irei a pelo menos
um desses lugares no fim de semana (o fim de semana longo e nada
impede de ir aos dois lugares).
A v BPremissa A ou premissa B
DISJUNO EXCLUDENTE (OU...OU)
Quando estamos trabalhando com disjunes, devemos analisar
inicialmente se as premissas so excludentes ou no excludentes.
PREMISSAS EXCLUDENTES: so aquelas que no podem ocorrer
simultaneamente. Portanto, nesse caso o ou significa dizer que
exatamente uma das premissas dever ser verdadeira. Caso seja usado
ou...ou, devemos entender que se trata de disjuno excludente.
EXEMPLO:
Analise a afirmao: Felipe nasceu ou em Fortaleza, ou em So
Paulo.
A:Felipe nasceu em Fortaleza
B:Felipe nasceu e