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Curso Online - Raciocnio Lgico-Quantitativo para Traumatizados
em Exerccios, incluindo Matemtica, Matemtica Financeira e
Estatstica
Profs. Alexandre Lima e Moraes Junior
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Caro(a) concurseiro(a), Primeiramente, gostaramos de fazer uma
breve apresentao. Prof. Alexandre Lima: Como vai? Sou
Auditor-Fiscal Tributrio Municipal de So Paulo (Fiscal do ISS/SP)
desde 1998. Tambm sou professor de Estatstica e Contabilidade
(Geral, Gerencial e de Custos). Servi Marinha do Brasil por 14
anos, como oficial do Corpo de Engenheiros e Tcnicos Navais. Cursei
Cincias Navais com nfase em Eletrnica pela Escola Naval e
Engenharia Eltrica com nfase em Telecomunicaes pela Escola
Politcnica da Universidade de So Paulo. Obtive os graus de Mestre e
Doutor em Engenharia Eltrica pela Escola Politcnica da USP.
Prof. Moraes Junior: Tudo bem? Sou Auditor-Fiscal da Receita
Federal do Brasil, aprovado em 5o lugar para as Unidades Centrais
no concurso de 2005 e trabalho na Coordenao-Geral de Fiscalizao.
Sou professor de Contabilidade Geral, Avanada, Anlise das
Demonstraes Financeiras, Contabilidade de Custos, Matemtica
Financeira, Estatstica e Raciocnio Lgico. Alm disso, servi, durante
17 anos, Marinha da Brasil, como oficial de carreira e trabalhei 1
ano, no Instituto de Pesquisa Econmica Aplicada, como assessor da
presidncia. Sou Bacharel em Cincias Navais (nfase em Eletrnica)
pela Escola Naval e em Engenharia Eltrica (nfase em Telecomunicaes)
pela Escola Politcnica da Universidade de So Paulo. No ano passado,
ministramos um curso de Teoria e Exerccios, que foi um grande
sucesso. Parte desse curso (Teoria e alguns exerccios comentados)
se transformou em um livro que ser lanado Editora Mtodo: Raciocnio
Lgico, incluindo Matemtica, Matemtica Financeira e Estatstica. O
livro j est pronto e em fase final de reviso e dever estar
disponvel para compra at o final de maro. Por essa razo, o curso
Raciocnio Lgico para Traumatizados de 2011 ser um curso de
exerccios comentados e resolvidos. Contudo, no se preocupe, pois os
comentrios sero detalhados e a teoria ser explicada. A idia que o
livro e o curso se complementem. Procuraremos comentar e resolver,
em mdia, 40 exerccios por aula. Como os conceitos matemticos no
mudam, utilizaremos questes das principais bancas: Esaf, Cespe,
FCC, FGV e Cesgranrio. Portanto, o curso voltado para todos os
concursos que cobram Raciocnio Lgico Quantitativo propriamente dito
e as outras vertentes da Matemtica. O curso ter uma aula a cada
quinze dias, para que voc possa estudar com calma e tirar as suas
dvidas com tranquilidade.
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Veja o contedo programtico:
Aula Data Contedo 0 07/03 Modelos de Questes Comentadas e
Resolvidas 1 27/05 Sinais, Fraes, Decimais.
Expoentes e Radicais. Fatorao. Aplicaes da lgebra Equaes e
Inequaes
2 10/06 Conjuntos e Funes. 3 24/06 Matrizes, Determinantes e
Soluo de Sistemas Lineares.
Progresses Aritmtica e Geomtrica 4 08/07 Trigonometria.
Geometria. 5 22/07 Estruturas Lgicas: Proposies; Valores Lgicos
das
Proposies; Sentenas Abertas; Nmero de Linhas da Tabela Verdade;
Conectivos; Proposies Simples; Proposies Compostas. Tautologia.
Contradio. Contingncia. Implicaes Lgicas: Implicao entre Proposies;
Propriedade das Implicaes Lgicas; Relaes entre Implicaes.
Equivalncias Lgicas: Equivalncia entre Proposies; Equivalncia entre
Sentenas Abertas; Propriedade das Equivalncias Lgicas; Operao com
Conjuntos. Lgica de Argumentao e Diagramas Lgicos.
6 05/08 Estatstica Descritiva. Grficos, tabelas, sries, tipos de
variveis, distribuies de freqncia, medidas de posio (mdia, mediana
e moda), medidas de disperso (desvio padro etc.), medidas de
assimetria, medidas de curtose, diagramas de caixa (box plots) e
diagrama de ramo-e-folhas.
7 19/08 Anlise Combinatria: combinaes, arranjos e permutaes.
Probabilidades: conjuntos, eventos, axiomas, probabilidades
conjunta e condicional, independncia, regras de adio, regra da
multiplicao, teoremas da probabilidade total e de Bayes.
8 02/09 Varivel Aleatria: definio, funo discreta de
probabilidade, funo de distribuio de probabilidade, funo densidade
de probabilidade. Valor Esperado: mdia, varincia e valor esperado
de funo de varivel aleatria. Desigualdade de Chebyshev. Principais
distribuies de probabilidade (binomial, Poisson, normal etc.).
9 16/09 Varivel Aleatria Bivariada: funo de probabilidade
conjunta, funo de probabilidade marginal, funo de probabilidade
condicional. Variveis aleatrias independentes. Esperanas envolvendo
duas ou mais variveis: correlao e covarincia. Introduo Regresso
Linear.
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10 30/09 Amostragem. Amostragem aleatria, teorema do limite
central, distribuies amostrais. 11 14/10 Estimao de Parmetros.
Estimador e estimativa, justeza,
vcio de estimao, eficincia, erro quadrtico mdio, mtodo da mxima
verossimilhana. Estimao por ponto e por intervalo. Intervalos de
confiana.
12 28/10 Testes de hipteses para mdias, propores e varincias
populacionais. Valor-p (probabilidade de significncia). Testes de
hipteses no paramtricos (aderncia e independncia).
13 11/11 Inferncia Estatstica e Anlise de Varincia do modelo de
Regresso Linear Simples.
14 25/11 Juros Simples. Montante e juros. Descontos Simples.
Equivalncia Simples de Capital. Taxa real e taxa efetiva. Taxas
equivalentes. Capitais equivalentes. Descontos: Desconto racional
simples e desconto comercial simples.
15 09/12 Juros Compostos. Montante e juros. Desconto Composto.
Taxa real e taxa efetiva. Taxas equivalentes. Capitais
equivalentes. Capitalizao contnua. Equivalncia Composta de
Capitais. Descontos: Desconto racional composto e desconto
comercial composto.
16 23/12 Sistemas de Amortizao Taxa Interna de Retorno: TIR do
acionista e TIR do projeto. Payback e Valor Presente Lquido.
Metodologia de precificao de ttulos pblicos e privados: ttulos
pr-fixados, ttulos ps-fixados, ttulos com pagamentos de cupons,
debntures.
Finalmente, esperamos que este curso seja bastante til para voc
e que possa auxili-lo(a) de forma substantiva na preparao da
disciplina de Raciocnio Lgico Quantitativo. As dvidas sero sanadas
por meio do frum do curso, ao qual todos os matriculados tero
acesso. As crticas ou sugestes podero ser enviadas para as
seguintes caixas postais: Prof. Moraes Junior:
[email protected] Prof. Alexandre Lima:
[email protected]. Finalmente, gostaramos de salientar a voc,
concurseiro(a): NUNCA DESISTA DOS SEUS SONHOS. Deus nos deu o livre
arbtrio para que possamos determinar nosso destino. Se voc deseja
ser aprovado em um concurso pblico, lute por isso, faa com dedicao,
com sacrifcio, sempre visando ao seu objetivo. Desta forma, voc
conseguir ser aprovado!
Prof. Alexandre Lima Prof. Moraes Junior
Abril/2011
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Modelo de Questes Resolvidas
1. (Analista de Processos Organizacionais-Administrao-Bahiags-
2010-FCC) Sendo x e y nmeros reais, definiremos a operao tal que xy
igual a xy. Partindo-se dessa definio, correto dizer que (xy) (yx)
igual a (A) 2x (B) 2y (C) 2(xy) (D) 2(xy) (E) 2x Resoluo
Primeiramente, no precisa se assustar com smbolo e outros que
possam vir a aparecer em questes desse tipo. O que voc precisa
tirar de informao da questo qual o significado do smbolo. No caso
desta questo, o smbolo significa o sinal de menos. Portanto: xy =
xy; ou seja, = (menos). Portanto, basta pegar a informao dada na
questo, substituir na expresso que a questo informa e calcular o
resultado. Vamos l: (xy) (yx) = (x y) (y x). Beleza at aqui? Repare
que, no segundo termo: (y x) = (+ y x). Se retirarmos os parnteses,
teramos: + y x = y + x. Portanto, o que temos que guardar, para
adio e subtrao, : 1. Normalmente, no mostramos o sinal de mais (+)
no primeiro termo, ou seja, (x + y) = (+ x + y). 2. Menos () com
mais (+) igual a menos (): + = . 3. Menos () com menos () igual a
mais (+): = +. Voltando, a nossa questo, teramos: (xy) (yx) = (x y)
(y x) = x y y + x = 2x 2y. Como aparece o nmero 2 nos dois termos,
podemos colocar em evidncia (todos os termos esto multiplicados por
2). Logo: 2x 2y = 2 . (x y). GABARITO: C
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2. (Analista Judicirio-rea Administrativa-TRT/15R-2009-FCC)
Do
total de projetos que estavam em um arquivo, sabe-se que: 25
deveriam ser
analisados e 47
referiam-se ao atendimento ao pblico interno. Com essa
informao, correto concluir que o total de projetos existentes
nesse arquivo NUNCA poderia ser um nmero compreendido entre (A) 10
e 50. (B) 60 e 100. (C) 110 e 160. (D) 150 e 170. (E) 180 e 220.
Resoluo Se consideramos que o nmeros total de projetos igual a X,
sabemos que:
Projetos a serem analisados = X . 25
Projetos relacionados ao pblico interno = X . 47
Repare que o nmero de projetos a serem analisados e o nmero de
projetos relacionados ao pblico interno devem ser nmeros naturais,
certo? Claro! Voc j viu algum analisar meio processo ou um processo
negativo? Risos. Pois . Esta a informao chave da questo, pois, se
so nmeros naturais, o nmero total de processos deve ser divisvel
por 5 e divisvel por 7. Tambm falaremos dos critrios de
divisibilidade em aula posterior, mas, no momento, temos que saber
que, se um nmero deve ser divisvel por 5 e divisvel por 7, ele deve
ser divisvel por 5 x 7 = 35 (que o mnimo mltiplo comum de 5 e 7).
Generalizando, se um nmero divisvel por A e divisvel por B, ele
deve ser divisvel pelo mnimo mltiplo comum de A e B. Portanto,
basta conhecer os mltiplos de 35 para verificarmos a resposta
correta. Veja: 1 x 35 = 35 2 x 35 = 70 3 x 35 = 105 4 x 35 = 140 5
x 35 = 175 6 x 35 = 210 7 x 35 = 245
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Logo, o nmero total de projetos X pode ser: 35, 70, 105, 140,
175, 210, 245,... Analisando as alternativas, temos que verificar
em qual delas no h algum dos nmeros supramencionados: (A) 10 e 50.
35 est compreendido entre 10 e 50. (B) 60 e 100. 70 est
compreendido entre 60 e 100. (C) 110 e 160. 105 e 140 esto
compreendidos entre 110 e 160. (D) 150 e 170. no h nmero divisvel
por 35 neste intervalo (E) 180 e 220. 210 est compreendido entre
180 e 220. GABARITO: D 3. (EPPGG-Mpog-2009-Esaf) Se a idade de uma
criana hoje a diferena entre a metade da idade que ela teria daqui
a dez anos e a metade da idade que ela tinha h dois anos, qual a
sua idade hoje? a) 3 anos. b) 2 anos. c) 4 anos. d) 5 anos. e) 6
anos. Resoluo Idade Hoje = X Idade Daqui a 10 anos = X + 10 Idade H
2 anos = X 2 Pelo enunciado: a idade de uma criana hoje (X) a
diferena entre a metade
da idade que ela teria daqui a dez anos 10
2X +
e a metade da idade que ela
tinha h dois anos 2
2X
. Ou seja, transformamos o enunciado em uma
expresso:
10 2 10 2 12 62 2 2 2
X X X XX X anos+ + += = = =
GABARITO: E
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4. (Auditor do Tesouro Municipal-Prefeitura de
Natal/RN2008-Esaf) Uma funo definida no conjunto dos nmeros
inteiros satisfaz a igualdade: f(x) (x + 1) f( 2 x) = 3 x , para
todo x inteiro. Com estas informaes, conclui-se que f(0) igual a:
a) 2-1/3 b) 2-1/3 c) 21/3 d) 2-2/3 e) 2-2/3 Resoluo Para resolver a
questo, temos que relembrar duas propriedades de potncias: I) xn :
xm = xn m diviso de potncias de mesma base conserva a base e
subtrai os expoentes. Ex: 24 : 22 = 22
II) (xn)m = xn . m potncia de potncia multiplica os expoentes.
Ex: (24)2 = 28 Sabemos, de nossa aula que:
2 = 21/2 3 x = x1/3 Portanto, podemos substituir a expresso f(x)
(x + 1) f( 2 x) = 3 x por: f(x) (x + 1) f(21/2 x) = x1/3 O
enunciado da questo pede que calculemos f(0), ou seja, o valor da
expresso para x = 0. Substituindo x na expresso, teramos: x = 0
f(0) (0 + 1) f(21/2 0) = 01/3 f(0) 1 x f(21/2) = 0 f(0) = f(21/2)
(I) Beleza. Sabemos que f(0) = f(21/2). Contudo, no temos o valor
de f(21/2). Tudo bem, no temos ainda, mas podemos substituir x =
21/2 na mesma expresso, que vale para qualquer x, e calcular
f(21/2). Vamos l: x = 21/2 f(21/2) (21/2 + 1) . f(21/2 21/2) =
(21/2)1/3 f(21/2) (21/2 + 1) f(0) = 2 (1/2).(1/3) f(21/2) (21/2 +
1) f(0) = 21/6 (II) Como calculamos, em (I), que f(0) = f(21/2),
substituindo (I) em (II): f(21/2) (21/2 + 1) f(0) = 21/6 f(0) (21/2
+ 1) . f(0) = 21/6 f(0) 21/2 . f(0) f(0) = 21/6
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f(0) f(0) 21/2 . f(0) = 21/6 21/2 . f(0) = 21/6
f(0) =
16
12
2
2
f(0) = 21/6 1/2 Repare que, no expoente de 2, temos que fazer o
seguinte clculo: 1 1 1 1 3 1 3 2 16 2 6 2 3 6 6 3
= = = =
O m.m.c (mnimo mltiplo comum) dos denominadores 2 e 6 igual a 6.
Veremos o procedimento de clculo do m.m.c com mais detalhes na aula
1. f(0) = 2 (1-3)/6 f(0) = 2 -2/6 = 2 -1/3 GABARITO: A 5. (Analista
Judicirio-rea: Administrativa-TRT/15R-2010-FCC) Um criptograma
aritmtico um esquema operatrio codificado, em que cada letra
corresponde a um nico algarismo do sistema decimal de numerao.
Considere que o segredo de um cofre um nmero formado pelas letras
que compem a palavra MOON, que pode ser obtido decodificando-se o
seguinte criptograma: (IN)2 = MOON Sabendo que tal segredo um nmero
maior que 5.000, ento a soma M + O + O + N igual a (A) 16 (B) 19
(C) 25 (D) 28 (E) 31 Resoluo Calma. No precisa ficar nervoso. A
questo parece difcil, mas no . Vejamos. Vamos, literalmente,
decifrar a questo. I) Se o segredo do cofre a palavra MOON e cada
letra corresponde a um algarismo, temos: M = algarismo dos
milhares. O = algarismo das dezenas e das centenas (iguais) N =
algarismo das unidades
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II) Alm disso, outras informaes importantes so que o segredo
(MOON) maior que 5.000 e que um nmero de dois algarismos (IN)
elevado ao quadrado igual a MOON. Alm disso, o algarismo das
dezenas de IN (I) diferente de quaisquer algarismos do segredo
(MOON). Como faremos o teste? Vamos adotar o seguinte procedimento.
I Repare que os algarismos das unidades (N) do nmero elevado ao
quadrado (IN) tem que ser igual ao algarismo das unidades do
segredo (MOON). Ora, quais so os nmeros de 1 a 9 que elevados ao
quadrado possuem algarismos das unidades iguais? Vejamos 02 = 0
(ok) 12 = 1 (ok) 22 = 4 32 = 9 42 = 16 52 = 25 (ok) 62 = 36 (ok) 72
= 49 82 = 64 92 = 81 Por enquanto, temos que N pode ser 0, 1, 5 ou
6. II Com isso, quais so os nmeros de dois algarismos (I0 ou I1 ou
I5 ou I6) possveis? So eles: 10, 11, 15, 16, 20, 21, 25, 26, 30,
31, 35, 36, 40, 41, 45, 46, 50, 51, 55, 56, 60, 61, 65, 66, 70, 71,
75, 76, 80, 81, 85, 86, 90, 91, 95, 96. Repare ainda que: (60)2 =
3.600, que menor que 5.000. Logo, o segredo (MOON) maior que 60.
(70)2 = 4.900, que menor que 5.000. Logo, o segredo (MOON) maior
que 70. Com isso todos os nmeros menores ou iguais a 70 tambm tero
os seus quadrados menores que 5.000. Com isso, eliminamos 10, 11,
15, 16, 20, 21, 25, 26, 30, 31, 35, 36, 40, 41, 45, 46, 50, 51, 55,
56, 60, 61, 65, 66 e 70. Nossa lista de testes ficou com: 71, 75,
76, 80, 81, 85, 86, 90, 91, 95, 96. IV Vamos testar os demais:
(IN)2 = (71)2 = 71 x 71 = 5.041 ( maior que 5.000, mas no atende a
outra caracterstica do segredo, ou seja, o algarismo das dezenas
(4) no igual ao algarismo das centenas (0)).
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(IN)2 = (75)2 = 75 x 75 = 5.625 ( maior que 5.000, mas no atende
a outra caracterstica do segredo, ou seja, o algarismo das dezenas
(2) no igual ao algarismo das centenas (6)). (IN)2 = (76)2 = 76 x
76 = 5.776 Ser que este nmero atende todas as especificaes da
questo? Vejamos: I = 7 N =6 (IN)2 = MOON = 762 = 5.776 maior que
5.000 e o algarismo das dezenas (7) igual ao algarismo das centenas
(7). Tudo bem at aqui? Sim, mas repare que o algarismo das dezenas
de IN (I = 7) igual do algarismo O (O = 7) do segredo, fato que no
possvel, pois I diferente de O. Portanto, 76 tambm no serve.
Continuando os nossos testes: (IN)2 = (80)2 = 80 x 80 = 6.400 (
maior que 5.000, mas no atende a outra caracterstica do segredo, ou
seja, o algarismo das dezenas (0) no igual ao algarismo das
centenas (4)). (IN)2 = (81)2 = 81 x 81 = 6.561 ( maior que 5.000,
mas no atende a outra caracterstica do segredo, ou seja, o
algarismo das dezenas (6) no igual ao algarismo das centenas (5)).
(IN)2 = (85)2 = 85 x 85 = 7.225 maior que 5.000 e o algarismo das
dezenas (2) igual ao algarismo das centenas (2). Tudo bem at aqui?
Sim. Alm disso, o algarismo das dezenas de IN (I = 8) diferente do
algarismo O (O = 2) do segredo. Portanto, o segredo 7.225. M = 7 O
= 2 O = 2 N = 5 A questo pede a soma: M + O + O + N = 7 + 2 + 2 + 5
= 16 GABARITO: A
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6. (AFRFB-2009-Esaf) Considere uma esfera, um cone, um cubo e
uma pirmide. A esfera mais o cubo pesam o mesmo que o cone. A
esfera pesa o mesmo que o cubo mais a pirmide. Considerando ainda
que dois cones pesariam o mesmo que trs pirmides, quantos cubos
pesa a esfera? a) 4 b) 5 c) 3 d) 2 e) 1 Resoluo Coloquei esta
questo aqui com o objetivo de mostrar que as equaes, praticamente,
sero utilizadas para resolver todos os problemas de prova. Sempre
teremos que utilizar uma equao, seja ela de primeiro ou segundo
grau. Vamos resoluo da questo. Primeiramente, vamos verificar as
informaes fornecidas para que possamos montar nossas equaes: Peso
da Esfera = Pe Peso do Cubo = Pcb Peso do Cone = Pcn Peso da
Pirmide = Pp De acordo com a questo, a esfera mais o cubo pesam o
mesmo que o cone. Pe + Pcb = Pcn (I) Ainda de acordo com a questo,
a esfera pesa o mesmo que o cubo mais a pirmide. Pe = Pcb + Pp Pp =
Pe Pcb (II) E, finalmente, que dois cones pesam o mesmo que trs
pirmides. 2.Pcn = 3.Pp (III) A questo deseja saber quantos cubos
pesa a esfera. Substituindo (II) em (III): Pp = Pe Pcb (II) 2.Pcn =
3.Pp (III) 2.Pcn = 3.(Pe Pcb) Pcn = (3/2).(Pe Pcb) Pcn = 1,5.(Pe
Pcb) (IV)
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Substituindo (IV) em (I): Pe + Pcb = Pcn (I) Pcn = 1,5.(Pe Pcb)
(IV) Pe + Pcb = 1,5.(Pe Pcb) Pe + Pcb = 1,5.Pe 1,5.Pcb 1,5.Pe Pe =
Pcb + 1,5.Pcb 0,5.Pe = 2,5.Pcb Pe = 5.Pcb GABARITO: B 7. (Professor
de Matemtica-Secretaria de Estado da Educao-SP-2010-FCC) Na equao
x3 + 3x2 + x 1 = 0, substituindo-se x por z 1 obtm-se uma equao em
z sem o termo quadrtico, o que facilita sua resoluo. A partir
disso, podem-se obter tambm as solues da equao original, uma das
quais (A) 2 (B) 2 1 (C) 2 (D) 3 2 (E) 3 2 2 Resoluo Bom, a questo j
est nos indicando que caminho devemos seguir, ou seja, devemos
substituir a incgnita x da equao por z 1 (transformao): x3 + 3x2 +
x 1 = 0 (z 1)3 + 3.(z 1)2 + (z 1) 1 = 0 Vamos calcular
separadamente: (z 1)2 = (z 1).(z 1) = z.(z 1) 1.(z 1) (z 1)2 = z.z
+ z.(-1) 1.z 1.(-1) (z 1)2 = z2 z z + 1 = z2 2z + 1 S estou fazendo
as contas detalhadamente para que voc possa treinar, mas, na
verdade, j estudamos que: (a b)2 = a2 2ab + b2. Portanto: (z 1)2 =
z2 2.z.1 + 12 = z2 2z + 1 Para calcular (z 1)3 basta fazer (z
1)2.(z 1): (z 1)3 = (z 1)2.(z 1) = (z2 2z + 1).(z 1) (z 1)3 = z2.(z
1) 2z.(z 1) + 1.(z 1) (z 1)3 = z2.z + z2.(1) 2z.z 2z.(1) + 1.z +
1.(1) (z 1)3 = z3 z2 2z2 + 2z + z 1
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(z 1)3 = z3 3z2 + 3z 1 Logo, temos: (z 1)2 = z2 2z + 1 (z 1)3 =
z3 3z2 + 3z 1 Substituindo tudo na equao abaixo: x3 + 3x2 + x 1 = 0
(z 1)3 + 3.(z 1)2 + (z 1) 1 = 0 z3 3z2 + 3z 1 + 3.( z2 2z + 1) + z
1 1 = 0 z3 3z2 + 3z 1 + 3z2 +3.(-2z) + 3.1 + z 2 = 0 z3 3z2 + 3z 1
+ 3z2 6z + 3 + z 2 = 0 z3 3z2 + 3z2 + 3z 6z + z 1 + 3 2 = 0 z3 2z =
0 Repare que todos os termos da equao possuem z. Portanto, podemos
colocar o z em evidncia: z3 2z = 0 z.(z2 2) = 0 Repare que, se
temos A.B = 0, ou A = 0 ou B = 0 ou ambos so iguais a zero.
Portanto, na equao z.(z2 2) = 0, temos as seguintes opes: z = 0 ou
z2 2 = 0 z2 = 2 z = 2 (repare que 2 elevado ao quadrado igual a 2).
Cuidado, pois achamos as razes da equao transformada para z e a
questo pergunta as razes para equao com a varivel x. Contudo,
sabemos que a transformao foi x = z 1. Portanto, as razes da equao
x3 + 3x2 + x 1 sero: z = 0 Como x = z 1 Como x = 0 1 x = 1 z = 2
Como x = z 1 Como x = 2 1 x = 2 1 z = 2 Como x = z 1 Como x = 2 1 x
= 2 1 GABARITO: B
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8. (Especialista em Polticas Pblicas e Gesto
Governamental-MPOG-2009-Esaf) Se uma companhia telefnica cobrasse
uma taxa de assinatura bsica de R$100,00 mensais mais R$ 0,50 por
cada pulso excedente franquia, que de 20 pulsos, quanto um
assinante pagaria se telefonasse o equivalente a 50 pulsos no ms?
a) R$ 50,00 b) R$ 100,00 c) R$ 80,00 d) R$ 115,00 e) R$ 125,00
Resoluo Esta uma questo que temos que montar a funo. Ou seja, o
tipo de questo que aparece muito em prova, onde a lgebra aplicada
vida real, por meio de funes. Taxa de Assinatura Bsica (Mensal) =
R$ 100,00 Franquia = 20 pulsos Pulso Excedente = R$ 0,50 por pulso
Repare que o valor excedente somente ser cobrado somente sobre os
pulsos que ultrapassarem os 20 pulsos da franquia. Valor Excedente
= 0,50 . (P F) = 0,50 . (P 20) P = nmero de pulsos por ms F =
franquia = 20 pulsos Valor a ser Pago (P) = Taxa Bsica + Valor
Excedente Valor a ser Pago (P) = 100 + 0,50 . (P 20) Valor a ser
Pago (P = 50) = 100 + 0,50 . (50 20) Valor a ser Pago (P = 50) =
100 + 0,50 . 30 = R$ 115,00 GABARITO: D 9. (Assistente
Tcnico-Administrativo-MF-2009-Esaf) Seja uma matriz quadrada 4 por
4. Se multiplicarmos os elementos da segunda linha da matriz por 2
e dividirmos os elementos da terceira linha da matriz por 3, o
determinante da matriz fica: a) Multiplicado por 1. b) Multiplicado
por 16/81. c) Multiplicado por 2/3. d) Multiplicado por 16/81. e)
Multiplicado por 2/3.
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Resoluo Repare que a questo pede o determinante de uma matriz 4
x 4. A, voc poderia indagar: o professor ficou maluco, pois ele
ensinou apenas o procedimento de clculo das matrizes quadradas de
ordem 1 (1 x 1), ordem 2 (2 x 2) e de ordem 3 (3 x 3). E a? Como
fazer? Bom esta questo envolve as propriedades dos determinantes,
que so aplicveis a quaisquer matrizes quadradas, independentemente
da ordem. Vamos relembrar a propriedade que ser utilizada na
questo: Se multiplicarmos uma fila qualquer de uma matriz A, por um
nmero k, o determinante na nova matriz A ser o produto de k pelo
determinante de A: det A= k . det A. Tambm vale para a diviso por
k: det A= (1/k) . det A. Consideramos a matriz 4 x 4 igual
Aerminantede A igual a: det(A) I. Linha 2 da matriz
Amultiplicadapor2:logo,onovrminanteser:Novrminante=2xdet(A) II.
Linha 3 da matriz
Adivididapor3:logo,onovrminanteser:Novrminante=2xdet(A)x(1/3)=
(-2/3) x det(A) GABARITO: E 10. (AFRFB-2009-Esaf) Um projtil lanado
com um ngulo de 30 em relao a um plano horizontal. Considerando que
a sua trajetria inicial pode ser aproximada por uma linha reta e
que sua velocidade mdia, nos cinco primeiros segundos, de 900 km/h,
a que altura em relao ao ponto de lanamento este projtil estar
exatamente cinco segundos aps o lanamento? a) 0,333 km b) 0,625 km
c) 0,5 km d) 1,3 km e) 1 km Resoluo Esta uma questo de aplicao
prtica do tringulo retngulo e suas relaes. A questo estabelece que
a trajetria inicial pode ser aproximada por uma linha reta.
Portanto, inicialmente, vamos determinar quanto que o projtil
percorreu em 5 segundos: Velocidade Mdia = 900 km/h, ou seja, o
projtil capaz de percorrer 900 km em 1 hora.
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Fazendo uma regra de trs: 900 km ===== 1 hora = 60 minutos = 60
x 60 = 3.600 segundos Distncia ===== 5 segundos Multiplicando em
cruz:
Distncia x 3.600 = 900 x 5 Distncia = 900 53.600
= 1,25 km
Contudo, a trajetria do projtil forma um ngulo de 30 em relao ao
plano horizontal. Portanto, temos o tringulo retngulo abaixo, onde
a hipotenusa distncia percorrida e a altura do projtil aps 5
segundos ser um dos catetos: A questo pede a altura (h) que o
projtil estar a 5 segundos do lanamento. Das relaes trigonomtricas,
temos:
Seno 30 = _cateto oposto
hipotenusa=
1,25h
(I)
Tambm sabemos, da teoria, que:
Seno 30 = 12
(II)
Portanto, temos: 1,25
h=
12
h = 1,25
2 h = 0,625 km
GABARITO: B Abraos e at a prxima aula, Bons estudos, Moraes
Junior [email protected] Alexandre Lima
[email protected]
30
1,25 h
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Questes Comentadas e Resolvidas Nesta Aula 1. (Analista de
Processos Organizacionais-Administrao-Bahiags- 2010-FCC) Sendo x e
y nmeros reais, definiremos a operao tal que xy igual a xy.
Partindo-se dessa definio, correto dizer que (xy) (yx) igual a (A)
2x (B) 2y (C) 2(xy) (D) 2(xy) (E) 2x 2. (Analista Judicirio-rea
Administrativa-TRT/15R-2009-FCC) Do
total de projetos que estavam em um arquivo, sabe-se que: 25
deveriam ser
analisados e 47
referiam-se ao atendimento ao pblico interno. Com essa
informao, correto concluir que o total de projetos existentes
nesse arquivo NUNCA poderia ser um nmero compreendido entre (A) 10
e 50. (B) 60 e 100. (C) 110 e 160. (D) 150 e 170. (E) 180 e 220. 3.
(EPPGG-Mpog-2009-Esaf) Se a idade de uma criana hoje a diferena
entre a metade da idade que ela teria daqui a dez anos e a metade
da idade que ela tinha h dois anos, qual a sua idade hoje? a) 3
anos. b) 2 anos. c) 4 anos. d) 5 anos. e) 6 anos.
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4. (Auditor do Tesouro Municipal-Prefeitura de
Natal/RN2008-Esaf) Uma funo definida no conjunto dos nmeros
inteiros satisfaz a igualdade: f(x) (x + 1) f( 2 x) = 3 x , para
todo x inteiro. Com estas informaes, conclui-se que f(0) igual a:
a) 2-1/3 b) 2-1/3 c) 21/3 d) 2-2/3 e) 2-2/3 5. (Analista
Judicirio-rea: Administrativa-TRT/15R-2010-FCC) Um criptograma
aritmtico um esquema operatrio codificado, em que cada letra
corresponde a um nico algarismo do sistema decimal de numerao.
Considere que o segredo de um cofre um nmero formado pelas letras
que compem a palavra MOON, que pode ser obtido decodificando-se o
seguinte criptograma: (IN)2 = MOON Sabendo que tal segredo um nmero
maior que 5.000, ento a soma M + O + O + N igual a (A) 16 (B) 19
(C) 25 (D) 28 (E) 31 6. (AFRFB-2009-Esaf) Considere uma esfera, um
cone, um cubo e uma pirmide. A esfera mais o cubo pesam o mesmo que
o cone. A esfera pesa o mesmo que o cubo mais a pirmide.
Considerando ainda que dois cones pesariam o mesmo que trs
pirmides, quantos cubos pesa a esfera? a) 4 b) 5 c) 3 d) 2 e) 1
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7. (Professor de Matemtica-Secretaria de Estado da
Educao-SP-2010-FCC) Na equao x3 + 3x2 + x 1 = 0, substituindo-se x
por z 1 obtm-se uma equao em z sem o termo quadrtico, o que
facilita sua resoluo. A partir disso, podem-se obter tambm as
solues da equao original, uma das quais (A) 2 (B) 2 1 (C) 2 (D) 3 2
(E) 3 2 2 8. (Especialista em Polticas Pblicas e Gesto
Governamental-MPOG-2009-Esaf) Se uma companhia telefnica cobrasse
uma taxa de assinatura bsica de R$100,00 mensais mais R$ 0,50 por
cada pulso excedente franquia, que de 20 pulsos, quanto um
assinante pagaria se telefonasse o equivalente a 50 pulsos no ms?
a) R$ 50,00 b) R$ 100,00 c) R$ 80,00 d) R$ 115,00 e) R$ 125,00 9.
(Assistente Tcnico-Administrativo-MF-2009-Esaf) Seja uma matriz
quadrada 4 por 4. Se multiplicarmos os elementos da segunda linha
da matriz por 2 e dividirmos os elementos da terceira linha da
matriz por 3, o determinante da matriz fica: a) Multiplicado por 1.
b) Multiplicado por 16/81. c) Multiplicado por 2/3. d) Multiplicado
por 16/81. e) Multiplicado por 2/3.
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10. (AFRFB-2009-Esaf) Um projtil lanado com um ngulo de 30 em
relao a um plano horizontal. Considerando que a sua trajetria
inicial pode ser aproximada por uma linha reta e que sua velocidade
mdia, nos cinco primeiros segundos, de 900 km/h, a que altura em
relao ao ponto de lanamento este projtil estar exatamente cinco
segundos aps o lanamento? a) 0,333 km b) 0,625 km c) 0,5 km d) 1,3
km e) 1 km GABARITO: 1 C 2 D 3 E 4 A 5 A 6 B 7 B 8 D 9 E 10 B
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Bibliografia
ALENCAR FILHO, Edgard de, Iniciao Lgica Matemtica. So Paulo.
Nobel, 2002. ANDRADE, Nonato de, Raciocnio Lgico para Concursos.
Rio de Janeiro. Ed. 2008. ATENFELDER, Srgio, Matemtica Financeira
para todos os concursos: com todas as questes comentadas. Rio de
Janeiro. Elsevier, 2007. BARROS, Dimas Monteiro de, Raciocnio
lgico, matemtico e quantitativo. So Paulo. Novas Conquistas, 2001.
BARROS, Dimas Monteiro de, Lgica para concursos. Araatuba. So
Paulo. Novas Conquistas, 2005. BARROS, Dimas Monteiro de, Enigmas,
desafios, paradoxos e outros divertimentos lgicos e matemticos.
Araatuba. So Paulo. Editora MB, 2009. CARVALHO FILHO, Srgio de,
Estatstica Bsica para concursos: teoria e 150 questes. Niteri/RJ.
Impetus, 2004. CESAR, Benjamim, Matemtica Financeira: teoria e 640
questes. 5a Edio. Rio de Janeiro. Impetus, 2004. DEWDNEY, A. K.,
20.000 Lguas Matemticas: um passeio pelo misterioso mundo dos
nmeros. Traduo: Vera Ribeiro; Reviso: Vitor Tinoco. Rio de Janeiro.
Jorge Zahar Ed., 2000. DOLCE, Osvaldo, Fundamentos da Matemtica
Elementar. 9: Geometria Plana/ Dolce Osvaldo, Jos Nicolau Pompeo.
8a Edio. So Paulo. Atual, 2005. DOXIADIS, Apstolos, Tio Petros e a
conjectura de Goldbach: um romance sobre os desafios da Matemtica.
Traduo: Cristiane Gomes de Riba. So Paulo. Ed. 34, 2001. DOWNING,
Douglas, Estatstica Aplicada/Douglas Downing, Jeffrey Clark.
Traduo: Alfredo Alves de Faria. 2a Edio. So Paulo. Saraiva, 2006.
GUEDJ, Denis, O teorema do papagaio. Traduo: Eduardo Brando. So
Paulo. Companhia das Letras, 1999. IEZZI, Gelson, Fundamentos da
Matemtica Elementar. 1: Conjuntos, Funes/ Gelson Iezzi, Carlos
Murakami. 8a Edio. So Paulo. Atual, 2004.
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IEZZI, Gelson, Fundamentos da Matemtica Elementar. 3:
Trigonometria/ Gelson Iezzi. 8a Edio. So Paulo. Atual, 2004. IEZZI,
Gelson, Fundamentos da Matemtica Elementar. 4: Seqncias, Matrizes,
Determinantes, Sistemas/Gelson Iezzi, Samuel Hazzan. 7a Edio. So
Paulo. Atual, 2004. IEZZI, Gelson, Fundamentos da Matemtica
Elementar. 6: Complexos, Polinmios, Equaes/Gelson Iezzi. 7a Edio.
So Paulo. Atual, 2004. IEZZI, Gelson, Fundamentos da Matemtica
Elementar. 11: Matemtica Comercial, Matemtica Financeira,
Estatstica Descritiva/Gelson Iezzi, Samuel Hazzan, David Mauro
Degenszajn. 1a Edio. So Paulo. Atual, 2004. MORGADO, Augusto Csar,
Raciocnio Lgico-Quantitativo: teoria, questes resolvidas, questes
de concursos e mais de 850 questes/Augusto Csar Morgado, Benjamim
Csar de Azevedo Costa. 4a Edio. Rio de Janeiro. Elsevier, 2009.
NORBIM, Fernando Dalvi, Raciocnio Lgico Descomplicado: Mais de 400
questes resolvidas, comentadas e com gabarito oficial. Rio de
Janeiro. Editora Cincia Moderna Ltda, 2009. Enrique, Raciocnio
Lgico: voc consegue aprender. Rio de Janeiro. Elsevier, 2005.
SINGH, Simon, O ltimo Teorema de Fermat: a histria do enigma que
confundiu as maiores mentes do mundo durante 358 anos. Traduo:
Jorge Luiz Calife; 7a Edio. Rio de Janeiro. Record, 2000. SINGH,
Simon, O livro dos cdigos. Traduo: Jorge Luiz Calife; 7a Edio. Rio
de Janeiro. Record, 2001. STEWART, Ian, Ser que Deus joga dados?
Traduo: Maria Luiza X. de A. Borges; Reviso: Ildeu de Castro
Moreira. Rio de Janeiro. Jorge Zahar Ed., 1991. TAHAN, Malba,
1895-1974, O homem que calculava/Malba Tahan. 44a Edio. Rio de
Janeiro. Record, 1997.
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Aula 1 - Questes Comentadas e Resolvidas Sinais, Fraes,
Decimais. Expoentes e Radicais. Fatorao. Aplicaes da lgebra Equaes
e Inequaes Como falamos na aula demonstrativa, vamos ver questes de
vrias bancas. Afinal, o conceito matemtico o mesmo. A ideia deixar
voc bem preparado para resolver quaisquer questes. Como complemento
a esse curso de exerccios, indicamos o nosso livro, que j est venda
nas melhores livrarias do pas: Raciocnio Lgico, incluindo
Matemtica, Matemtica Financeira e Estatstica Editora Mtodo Moraes
Junior e Alexandre Lima 1a Edio Abril/2011. (Assistente em
Administrao-FUB-2010-Cespe) 1 Considere que os preos de venda de
dois veculos sejam inversamente proporcionais aos seus tempos de
uso e diretamente proporcionais aos seus rendimentos, expressos em
km/L, e que o primeiro, com trs anos e seis meses de uso, tenha
sido vendido por R$ 40.000,00. Nessa situao, se o
segundo tiver trs anos e oito meses de uso e se o seu rendimento
for 34
do
rendimento do primeiro, ento esse segundo veculo dever ser
vendido por menos de R$ 30.000,00. Resoluo Para que possamos
resolver este item, temos que entender dois conceitos: inversamente
proporcional e diretamente proporcional. Vamos l. Se A diretamente
proporcional a B, conforme A aumenta, B tambm aumenta, ou, conforme
A diminui B tambm diminui. No entendeu? Vamos ver um exemplo:
Suponha que o preo de feijo aumenta quando o preo da gasolina
aumenta e diminui quando o preo da gasolina diminui. Portanto, os
preos do feijo e da gasolina so diretamente proporcionais. Se A
inversamente proporcional a B, conforme A aumenta, B diminui, ou,
conforme A diminui B aumenta. No entendeu? Vamos ver um exemplo:
Suponha que o preo de feijo diminui quando o preo do arroz aumenta
e aumenta quando o preo do arroz diminui. Portanto, os preos do
feijo e do arroz so inversamente proporcionais.
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Vamos ver exemplos numricos. Exemplo 1: Diretamente
Proporcionais Preo do Feijo Preo da Gasolina
R$ 2,00 R$ 1,00 R$ 4,00 R$ 2,00 R$ 8,00 R$ 4,00
Repare que o preo do feijo sempre duas vezes o valor do preo da
gasolina. Portanto, se o preo da gasolina aumenta de R$ 2,00 para
R$ 4,00, o preo do feijo tambm aumenta de R$ 4,00 para R$ 8,00. Por
outro lado, se o preo da gasolina diminui de R$ 2,00 para R$ 1,00,
o preo do feijo tambm diminui de R$ 4,00 para R$ 2,00. Nesse caso,
poderamos deduzir a seguinte frmula para os preos diretamente
proporcionais: Preo do Feijo = 2 x Preo da Gasolina Exemplo 2:
Inversamente Proporcionais Preo do Feijo Preo do Arroz
R$ 4,00 R$ 1,00 R$ 2,00 R$ 2,00 R$ 1,00 R$ 4,00
Repare que se o preo do arroz aumenta de R$ 1,00 para R$ 2,00, o
preo do feijo diminui de R$ 4,00 para R$ 2,00. Por outro lado, se o
preo do arroz diminui de R$ 4,00 para R$ 2,00, o preo do feijo
aumenta de R$ 1,00 para R$ 2,00. Nesse caso, poderamos deduzir a
seguinte frmula para os preos inversamente proporcionais: Preo do
Feijo = 4/Preo do Arroz Generalizando, teramos: I Diretamente
proporcionais: A = k . B II Inversamente proporcionais: A = k/B
Onde k a constante de proporcionalidade entre A e B.
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E a? Pronto para resolver a questo? Vamos analis-la: I -
Considere que os preos de venda de dois veculos... Dessa primeira
parte, podemos retirar o seguinte: temos dois veculos, cada um com
seu preo de venda. Veculo 1 Preo de Venda 1 = PV1 Veculo 2 Preo de
Venda 1 = PV2 Utilizamos PV1 e PV2 apenas para facilitar e
simplificar a identificao. II - Considere que os preos de venda de
dois veculos sejam inversamente proporcionais aos seus tempos de
uso... Ou seja, os preos de vendas dos veculos, definidos por ns
como PV1 e PV2, so inversamente proporcionais aos seus tempos de
uso. Vamos chamar os tempos de uso da seguinte maneira: Tempo de
Uso do Veculo 1 = T1 Tempo de Uso do Veculo 2 = T2 Portanto,
teremos a primeira relao:
11
kPVT
=
22
kPVT
=
III - Considere que os preos de venda de dois veculos sejam
diretamente proporcionais aos seus rendimentos, expressos em
km/L... Ou seja, os preos de vendas dos veculos, definidos por ns
como PV1 e PV2, so diretamente proporcionais aos seus rendimentos
(em km/L), onde: km = quilmetro L = litro km/L = quilmetro por
litro Vamos chamar os rendimentos da seguinte maneira: Rendimento
do Veculo 1 = R1 Rendimento do Veculo 2 = R2
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Portanto, teremos a segunda relao:
1 1.PV k R=
2 2.PV k R= Juntando as relaes, teramos:
1 11
kPV RT
= i (I)
2 22
kPV RT
= i (II)
Se dividirmos (I) por (II), teramos (o objetivo dessa diviso
eliminar a constante de proporcionalidade):
1
1 1
22
2
k RPV T
k RPVT
=
1
1 1
22
2
RPV T
RPVT
=
Aqui, precisamos lembrar que a diviso de uma frao por outra
equivale a multiplicao da frao do numerador pelo inverso da frao do
denominador. No entendeu? Veja:
Frao: min
a numeradorb deno ador=
Exemplo: 1
1 5 1 5 534 3 4 3 4 125
= = =
Frao do numerador = 13
Frao do denominador = 45
Inverso da Frao do Denominador = 54
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Voltando a nossa frmula, teramos:
1
1 1
22
2
RPV T
RPVT
= 1 1 22 1 2
PV R TPV T R
= 1 1 22 2 1
PV R TPV R T
=
Pronto! Chegamos a nossa relao para resolver a questo: 1 1 2
2 2 1
PV R TPV R T
=
Agora, vamos extrair os valores numricos! IV - ... e que o
primeiro, com trs anos e seis meses de uso, tenha sido vendido por
R$ 40.000,00. Portanto, o veculo 1 possui tempo de uso de trs anos
e seis meses e foi vendido por R$ 40.000,00. Preo de Venda 1 = PV1
= R$ 40.000,00 Tempo de Uso do Veculo 1 = T1 = 3 anos e 6 meses
Vamos transformar o tempo de uso em meses. Sabemos que 12 meses
corresponde a 1 ano. Portanto, teremos: T1 = 3 anos x 12 meses + 6
meses = 36 + 6 = 42 meses At aqui, temos o seguinte:
Relao: 1 1 2
2 2 1
PV R TPV R T
=
PV1 = R$ 40.000,00 T1 = 42 meses V - Se o segundo tiver trs anos
e oito meses de uso e se o seu rendimento for 34
do rendimento do primeiro, ento esse segundo veculo dever ser
vendido
por menos de R$ 30.000,00. Tempo de Uso do Veculo 2 = T2 = 3
anos e 8 meses T2 = 3 anos x 12 meses + 8 meses = 36 + 8 = 44
meses
-
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Alm disso, o item informa que o rendimento do segundo veculo
34
do
rendimento do primeiro veculo:
2 134
R R=
Agora, finalmente, temos todos os valores para resolver a
questo:
Relao: 1 1 2
2 2 1
PV R TPV R T
= (I)
PV1 = R$ 40.000,00 T1 = 42 meses T2 = 44 meses
2 134
R R=
Substituindo todos os valores na relao (I):
1 1 2
2 2 1
1
21
40.000 443 424
PV R TPV R T
RPV R
=
=
2
40.000 1 443 424
PV =
Repare que 134
o inverso de 34
. Portanto, igual a 43
.
2
40.000 4 443 42PV
=
Como 44 e 42 so divisveis por 2, podemos dividir os dois nmeros
por 2 que a relao no se altera.
2
40.000 4 223 21PV
=
-
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Repare que podemos dividir ambos os lados da relao por 4, que a
igualdade no se altera:
2
40.000 4 224 3 4 21PV
=
2
10.000 1 223 21PV
=
2
10.000 223 21PV
=
Para achar o PV2 basta multiplicar em cruz(voc multiplica em
cruz um lado pelo outro da igualdade, pois mais fcil para os
clculos). Vejamos:
2
10.000 223 21PV
=
10.000 . 3 . 21 = PV2 . 22 30.000 . 21 = PV2 . 22 Repare que
podemos dividir ambos os lados da relao por 22, que a igualdade no
se altera:
230.000 21 22
22 22PV =
PV2 = 30.000 . 2122
Como 21 menor que 22, temos certeza que PV2 ser menor que R$
30.000,00, tendo em vista que 2122
menor que 1.
GABARITO: Certo
2 Na proporo 5 7 11x y z= = , sabe-se que 2x + y + 3z = 250.
Nesse caso,
correto afirmar que x + y + z < 110. Resoluo O item informa
uma proporo e logo depois informa uma equao entre as variveis. Para
resolv-lo, primeiramente, a partir da proporo, achamos as relaes
entre as variveis x, y e z.
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Depois, substitumos as relaes na equao dada. Vamos l: I Relaes
entre as variveis x, y e z
5 7 11x y z= =
I.1 Relao entre x e y
5 7x y=
Vamos achar x em funo de y (tambm possvel achar y em funo de x,
mas preferimos achar x em funo de y). Para isso, precisamos
eliminar o 5 do denominador de x. Basta passar o 5 multiplicando
para o outro lado da igualdade. No entendeu? Vejamos:
5 7x y=
Se multiplicarmos por 5 ambos os lados da igualdade, ela no se
altera:
5 55 7 5 7x y x y= =
Simplificando o lado esquerdo da igualdade:
55 55 7 7x y yx = =
Ou seja, o mesmo que passarmos o 5 para o outro lado da
igualdade multiplicando (seria multiplicar por metade de uma cruz
risos somente para um lado). I.2 Relao entre as variveis y e z
7 11y z=
Para substituirmos na equao dada (2x + y + 3z = 250), temos que
deixar duas variveis em funo de uma nica. J achamos a relao entre x
e y. Agora, vamos calcular z em funo de y. Para isso, basta passar
o 11 (denominador de z) para o outro lado da equao
multiplicando.
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J aprendemos como se faz acima. Por isso, faremos a conta
diretamente:
11117 11 7 7y z y yz= = =
II Substituio das relaes na equao dada (2x + y + 3z = 250)
Relaes:
57yx =
117yz =
Substituindo as relaes na equao, teramos:
2x + y + 3z = 250 2.57y
+ y + 3. 11
7y
= 250
Repare que, do lado direito da equao, temos trs termos. Dois com
denominador 7 e um com denominador 1 (o termo y). Portanto, vamos
reduzir ao denominador comum. Para isso, temos que calcular o mnimo
mltiplo comum. Epa, epa, epa, professores? Como calcularemos o
mnimo mltiplo comum? Vejamos: O Mnimo Mltiplo Comum (mmc) de dois
ou mais nmeros calculado utilizando o seguinte procedimento: I.
Fazer a fatorao dos nmeros (em fatores primos), separadamente; e
Para fazer uma fatorao em nmeros primos, voc deve pegar o nmero que
deseja fatorar e efetuar a diviso pelos nmeros primos a comear do 2
(dois). Nmeros primos: so nmeros inteiros, maiores que o nmero 1
(um), que so divisveis apenas por eles mesmos e por 1 (um).
Exemplos: 2, 3, 5, 7,... Se a diviso do nmero a ser fatorado pelo
nmero primo no for exata (o resto da diviso for diferente de zero),
voc deve dividi-lo pelo nmero primo seguinte (em ordem crescente),
e assim por diante. A fatorao acaba quando o resultado da diviso
por um nmero primo for 1 (um). No entendeu? Vamos ver um
exemplo.
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Exemplo: Fatorar o nmero 12. Passo 1: Dividir 12 pelo primeiro
nmero primo (2) 12 dividido por 2 igual a 6 com resto 0 (zero).
Portanto, 2 primeiro fator primo de 12. Passo 2: Pegar o resultado
da diviso do passo 1 (podemos considerar que o nmero a ser fatorado
agora o 6) e dividir ainda pelo primeiro nmero primo (2) 6 dividido
por 2 igual a 3 com resto 0 (zero). Portanto, 2 o segundo fator
primo de 12. Passo 3: Pegar o resultado da diviso do passo 2
(podemos considerar que o nmero a ser fatorado agora o 3) e dividir
ainda pelo primeiro nmero primo (2) 3 dividido por 2 igual a 1 com
resto 1 (um). Portanto, 2 no o terceiro fator primo de 12. Passo 4:
Como o resultado da diviso do passo 3 foi diferente de zero,
devemos utilizar o prximo nmero primo (em ordem crescente). No
caso, ser o 3. Pegar o resultado da diviso do passo 2 (podemos
considerar que o nmero a ser fatorado agora o 3) e dividir pelo
prximo nmero primo (3) 3 dividido por 3 igual a 1 com resto 0
(zero). Portanto, 3 o terceiro fator primo de 12. Para facilitar,
utilizamos a seguinte representao:
12 2 6 2 3 1
3
12 : 2 = 6 6 : 2 = 3 3 : 3 = 1 Fatorao de 12 = 2 x 2 x 3 = 22 x
3 II. mmc = produto de todos os fatores comuns e no comuns elevados
ao maior expoente. Exemplo: Calcule o mnimo mltiplo comum de 8 e
6.
8 2 4 2 2 2 1
Fatorao de 8 = 2 x 2 x 2 = 23
-
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6 2 3 3 1
Fatorao de 6 = 2 x 3 Para achar o mnimo mltiplo comum, teramos:
Fatores comuns e no comuns: 8 = 23 6 = 2 x 3 Fator Comum = 2 Fator
No Comum = 3 Maiores expoentes: Maior expoente de 2 = 3 Fator Comum
elevado ao maior expoente = 23
Maior expoente de 3 = 1 Fator No Comum = 31 = 3 mmc (8,6) = 23 x
3 = 24 No caso de nosso item mais simples, pois o mmc entre
qualquer nmero e 1 o prprio nmero. Como temos que calcular o mmc
entre 1 e 7, ele ser o prprio 7. Portanto, basta multiplicar e
dividir o termo y por 7 (para que no altere a equao). Vejamos:
2.57y
+ y + 3. 11
7y
= 250
2.57y
+ y.77
+ 3. 11
7y
= 250
Agora que o lado direito da equao est todo com o denominador 7
podemos fazer a conta:
2 5 7 3 11 250
7 7 7y y y + + =
10 7 33 250
7 7 7y y y+ + =
10 7 33 250
7y y y+ +
=
50 250
7y=
-
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Como os dois lados da igualdade so divisveis por 50, vamos fazer
a simplificao: 50 50 1 1250 250
7 7 50 50y y= =
57y=
Fazendo a nossa famosa multiplicao em cruz: y . 1 = 7 . 5 y =35
Ufa! Achamos y! Para achar x e z, basta substituir o valor de y nas
relaes. Lets go! Lembre que 35 dividido por 7 igual 5!
5 5 35 5 5 257 7yx x x x= = = =
11 11 35 11 5 557 7yz z z z= = = =
III Verificando se o item est certo ou errado De acordo com o
item Nesse caso, correto afirmar que x + y + z < 110. Como j
temos os valores de x, y e z, basta calcular a soma: x + y + z = 35
+ 25 + 55 = 115 Como 115 maior que 110, o item est errado.
GABARITO: Errado (Administrativa-MPS-2010-Cespe) A soma dos salrios
de 3 empregados de uma empresa igual a R$ 3.500,00 e esses salrios
so nmeros diretamente proporcionais a 7, 11 e 17. Nesse caso,
correto afirmar que 3 o valor do salrio intermedirio igual a R$
1.100,00. Resoluo Vamos interpretar a questo. I - A soma dos
salrios de 3 empregados de uma empresa igual a R$ 3.500,00...
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Vamos identificar os salrios dos empregados conforme abaixo:
Salrio do Empregado 1 = S1 Salrio do Empregado 2 = S2 Salrio do
Empregado 3 = S3 S1 + S2 + S3 = 3.500 II - ... e esses salrios so
nmeros diretamente proporcionais a 7, 11 e 17. Logo, podemos tirar
as seguintes relaes:
S1 = k . 7 Basta dividir por 7 os dois lados da igualdade 17Sk
=
S2 = k . 11 Basta dividir por 11 os dois lados da igualdade
211Sk =
S3 = k . 17 Basta dividir por 17 os dois lados da igualdade
317Sk =
Ou, de forma direta (eliminando a constante de proporcionalidade
k): S1 + S2 + S3 = 3.500
31 2
7 11 17SS S
= =
III Clculo do salrio intermedirio (S2): Repare que temos a soma
dos salrios e as relaes entre eles. Portanto, basta achar, por
exemplo, S1 e S3 em funo de S2 (que o salrio intermedirio
solicitado no item) e substituir na equao da soma dos salrios.
Vamos l: III.1 Relao entre S1 e S2:
1 2
7 11S S
=
Multiplicando por 7 ambos os lados da igualdade, o valor no se
altera:
1 2 21
77 77 11 11S S SS = =
-
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III.2 Relao entre S2 e S3:
32
11 17SS
=
Multiplicando por 17 ambos os lados da igualdade, o valor no se
altera:
32 23
1717 1711 17 11
SS SS = =
III.3 Substituindo as relaes obtidas na equao da soma dos
salrios: S1 + S2 + S3 = 3.500
21
711
SS =
23
1711
SS =
S1 + S2 + S3 = 3.500 2 227. 17. 3.50011 11S SS+ + =
Temos trs termos, dois com denominador 11 e um com denominador
1. Portanto, o mnimo mltiplo comum (m.m.c) entre 11 e 1 11. Lembre
que o m.m.c entre um nmero N e 1 N. Portanto, teramos:
2 22
2 22
2 2 2
2
7. 17. 3.50011 11
7. 17.11 3.50011 11 11
7. 11. 17. 3.50011
35. 3.50011
S SS
S SS
S S S
S
+ + =
+ + =
+ + =
=
-
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Repare que podemos dividir os dois lados da equao por 35:
2
2
2
35. 3.50011
35. 1 13.50011 35 35
10011
S
S
S
=
=
=
Multiplicando os dois lados da igualdade por 11:
2 22100 11 100 11 1.10011 11
S S S= = =
GABARITO: Certo 4 a diferena entre o maior salrio e o menor
salrio superior a R$ 1.200,00. Resoluo Para calcular a diferena
entre o maior salrio (S3) e o menor salrio (S1), basta fazer a
diferena das relaes de S3 com S2 e de S1 com S3.
21
711
SS =
23
1711
SS =
S3 S1 = 2 2 217 7 10
11 11 11S S S
=
J calculamos S2 no item anterior: S2 = R$ 1.100,00. Substituindo
S2 no resultado obtido acima:
S3 S1 = 210 10 1.100 10 100 1.000
11 11S
= = =
Portanto, S3 S2 = R$ 1.000,00. GABARITO: Errado
-
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(Polcia Militar-ES-2010-Cespe) Considerando que um pai pretenda
distribuir a quantia de R$ 4.100,00 a 3 filhos, de 11, 13 e 17 anos
de idade, em valores diretamente proporcionais s suas idades,
julgue os itens a seguir. 5 O filho mais novo receber uma quantia
superior a R$ 1.150,00. Resoluo Mais uma questo de
proporcionalidade. Vamos interpretar: I - Considerando que um pai
pretenda distribuir a quantia de R$ 4.100,00 ... Quantia Distribuda
= Q = R$ 4.100,00 II - ...a 3 filhos, de 11, 13 e 17 anos de idade,
... Idade do Filho Mais Novo = F1 = 11 anos Idade do Filho do Meio
= F2 = 13 anos Idade do Filho Mais Velho = F3 = 17 anos III - ...em
valores diretamente proporcionais s suas idades. Valor Recebido
pelo Filho Mais Novo = V1 Valor Recebido pelo Filho do Meio = V2
Valor Recebido pelo Filho Mais Velho = V3 Portanto, temos que: Q =
V1 + V2 + V3 = R$ 4.100,00 Repare que os valores recebidos so
diretamente proporcionais s idades dos filhos. Portanto, teramos:
F1 = k . V1 F2 = k . V2 F3 = k . V3 Onde k a constante de
proporcionalidade. Fazendo diretamente (agora, j podemos fazer
assim e na hora da prova tambm faa direto):
31 2
1 2 3
FF FV V V
= =
-
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Substituindo os valores das idades: F1 = 11 anos F2 = 13 anos F3
= 17 anos
1 2 3
11 13 17V V V
= =
IV - O item deseja saber a quantia recebida pelo filho mais novo
(V1). Portanto, vamos determinar as relaes entre V1 e V2 e entre V1
e V3: IV.1 Relao entre V1 e V2:
1 2
11 13V V
=
Multiplicando em cruz, teramos: 11 x V2 = 13 x V1 Dividindo os
dois lados da igualdade por 11 (para deixar V2 isolado):
2 1
12
1 111 1311 1113
11
V V
VV
=
=
IV.2 Relao entre V1 e V3:
1 3
11 17V V
=
Multiplicando em cruz, teramos: 11 x V3 = 17 x V2 Dividindo os
dois lados da igualdade por 11 (para deixar V3 isolado):
3 1
13
1 111 1711 1117
11
V V
VV
=
=
-
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IV.3 Clculo de V1: V1 + V2 + V3 = 4.100
12
1311
VV =
1
317
11VV =
Substituio as relaes na equao:
V1 + V2 + V3 = 4.100 1 1113 17 4.100
11 11V VV + + =
Temos trs termos, dois com denominador 11 e um com denominador
1. Portanto, o mnimo mltiplo comum (m.m.c) entre 11 e 1 11. Lembre
que o m.m.c entre um nmero N e 1 N. Portanto, teramos:
1 11
1 1 1
1
13 1711 4.10011 11 11
11 13 17 4.10011
41. 4.10011
V VV
V V V
V
+ + =
+ + =
=
Dividindo os dois lados da equao por 41:
1
1
1
41. 4.10011
41. 1 14.10011 41 41
10011
V
V
V
=
=
=
-
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Multiplicando por 11 ambos os lados da igualdade:
1
1
1
10011
11 100 1111
1.100
V
V
V
=
=
=
GABARITO: Errado 6 Os 2 filhos mais velhos recebero, juntos, uma
quantia inferior a R$ 2.900,00. Resoluo Como calculamos no item
anterior, o filho mais novo recebeu R$ 1.100,00. Tambm sabemos que
a quantia total que o pai deu aos filhos foi de R$ 4.100,00.
Portanto, os dois filhos mais velhos receberam a diferena entre o
valor total que o pai deu aos filhos e o valor que filho mais novo
recebeu. Vamos aos clculos: V1 + V2 + V3 = 4.100 V1 = 1.100 1.100 +
V2 + V3 = 4.100 V2 + V3 = 4.100 1.100 V2 + V3 = 3.000 GABARITO:
Errado Uma equipe composta por 12 garis foi contratada para
recolher o lixo deixado no local onde se realizou um evento.
Sabe-se que cada gari dessa equipe capaz de recolher 4 kg de lixo
em um minuto. Com base nessas informaes e assumindo que todos os
garis da equipe trabalhem no ritmo descrito anteriormente e que
sejam recolhidos 3.600 kg de lixo, julgue os itens subsequentes. 7
Em 15 minutos de trabalho, 6 garis dessa equipe recolheriam 10% do
lixo. Resoluo Primeiramente, vamos estudar o conceito de regra de
trs simples: Regra de Trs Simples: formada por uma igualdade entre
duas razes (proporo). Exemplo: Com 10 kg de farinha possvel fazer
100 pes. Quantos quilogramas de farinha so necessrios para produzir
5.000 pes?
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As grandezas quantidade de farinha e quantidades de pes so
diretamente proporcionais, pois quanto maior a quantidade de pes,
maior a quantidade de farinha. 10 kg de farinha ===== 100 pes x
===== 5.000 pes 100.x = 10 . 5.000 x = 10 . 50 = 500 kg de farinha
Vamos utilizar somente o nosso raciocnio para resolver o item: I -
Uma equipe composta por 12 garis foi contratada para recolher o
lixo deixado no local onde se realizou um evento. Sabe-se que cada
gari dessa equipe capaz de recolher 4 kg de lixo em um minuto. As
informaes importantes so: - Total de garis na equipe = 12 -
Capacidade de recolhimento de lixo de um gari = 4 kg/minuto kg =
quilograma II - Com base nessas informaes e assumindo que todos os
garis da equipe trabalhem no ritmo descrito anteriormente e que
sejam recolhidos 3.600 kg de lixo, julgue os itens subsequentes. As
informaes importantes so: - Todos os garis trabalham no mesmo ritmo
(capacidade de recolhimento de 4 kg por minuto). - Total de lixo a
ser recolhido = 3.600 kg. III - Em 15 minutos de trabalho, 6 garis
dessa equipe recolheriam qual percentual de lixo (em relao ao lixo
total)? Se 1 gari recolhe 4 kg de lixo por minuto, 6 garis
recolheriam quantos kg? Basta fazer uma regra de trs simples.
Vejamos: 1 gari === 4 kg/minuto 6 garis === X X = 6 x 4 = 24
kg/minuto Portanto, 6 garis recolheriam 24 kg/minuto. E quanto
esses mesmos 6 garis recolheriam em 15 minutos? A outra regra de
trs. Vejamos: 24 kg === 1 minuto Y === 15 minutos Y = 24 x 15 = 360
kg
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Finalmente, qual seria o percentual recolhido em relao ao total
de lixo? Total de lixo a ser recolhido = T = 3.600 kg Total de lixo
recolhido por 6 garis em 15 minutos = R = 360 kg Percentual de Lixo
que foi recolhido = P
360 13.600 10
RPT
= = =
Repare que dividimos a frao, no numerador e no denominador, por
360 e
chegamos frao de um dcimo 1
10
.
Mas o item fala em percentual. Como acharemos o valor? Repare
que a palavra percentual, significa por cento ou por cem. Portanto,
devemos achar uma frao, cujo denominador seja 100. Como j temos 10
no denominador, basta multiplicar por 10. Para no alterar a frao,
multiplicamos o numerador e o denominador por 10. Vejamos:
Percentual =1 10 10.
10 10 100=
Ou seja, teramos 10 por cento (por cem) do lixo recolhido.
Podemos
representar o percentual (por cento ou por cem) como %.
Percentual = 10%
GABARITO: Certo 8 Para recolher 800 kg de lixo em 20 minutos,
sero necessrios 10 garis dessa equipe. Resoluo Quantos garis seriam
necessrios para recolher 800 kg em 20 minutos? Primeiramente, vamos
verificar quanto lixo 1 gari recolheria em 20 minutos: Se 1 gari
recolhe 4 kg de lixo por minuto, 6 garis recolheriam quantos kg?
Basta fazer uma regra de trs simples. Vejamos: 4 kg === 1 minuto X
=== 20 minutos X = 4 x 20 = 80 kg
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Ou seja, 1 gari recolhe 80 kg de lixo em 20 minutos. Agora ficou
fcil! Como queremos saber quantos garis recolhem 800 kg, para
multiplicar 80 kg por 10, isto , 10 garis. Ficou em dvida? Ento
vamos calcular: 1 gari === 80 kg (em 20 minutos) Y === 800 kg (em
20 minutos)
80 x Y = 800 Y = 80080
Y = 10 garis
GABARITO: Certo Considerando que a soma das idades de 2 meninos
seja igual a 8 anos, que essas idades, em anos, sejam medidas por
nmeros inteiros e que cada menino tenha pelo menos 2 anos de idade,
julgue os itens a seguir. 9 Se a diferena entre as idades dos
meninos for 2 anos, ento o produto das medidas dessas idades, em
anos, ser inferior a 14. Resoluo Vamos interpretar a questo: I -
Considerando que a soma das idades de 2 meninos seja igual a 8
anos, ... Vamos nomear as idades da seguinte forma: Idade do Menino
1 = I1 Idade do Menino 2 = I2 Portanto, temos a nossa primeira
equao: I1 + I2 = 8 II - ... que essas idades, em anos, sejam
medidas por nmeros inteiros e que cada menino tenha pelo menos 2
anos de idade. Logo, as idades so nmeros inteiros. Vamos estudar o
que so nmeros inteiros. Nmeros Inteiros: englobam os nmeros
naturais (inteiros positivos) e seus opostos (inteiros negativos),
ou seja, so conhecidos como nmeros inteiros positivos e negativos,
tais como: ...-10, -9, -8, -7, -6, -5, -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3,
4, 5, 6, 7, 8, 9, 10,...
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Em relao ao item, temos que as idades I1 e I2 so nmeros inteiros
e que so maiores ou iguais a 2 anos (cada menino tem, pelo menos, 2
anos de idade). III - De acordo com o item a ser julgado: Se a
diferena entre as idades dos meninos for 2 anos, ento o produto das
medidas dessas idades, em anos, ser inferior a 14. Vamos verificar
se est certo ou errdo. III.1 - Se a diferena entre as idades dos
meninos for 2 anos... Vamos considerar que a idade do menino 2
maior (tanto faz para a resoluo considerar uma ou outra maior).
Portanto, teramos: I2 I1 = 2 (A) Alm disso, sabemos, da primeira
equao, que: I1 + I2 = 8 (B) Repare que temos um sistema com duas
equaes e duas variveis. Para resolv-lo, basta determinar a relao
entre I1 e I2 em uma equao e substituir em outra. I2 I1 = 2 I2 = 2
+ I1 (C) Substituindo o valor de I2 na equao (A): I1 + I2 = 8 I1 +
2 + I1 = 8 2.I1 = 8 2 2.I1 = 6
I1 = 62
I1 = 3
Substituindo o valor de I1 na relao (C): I2 = 2 + I1 I2 = 2 + 3
I2 = 5 III.2 - ... ento o produto das medidas dessas idades, em
anos, ser inferior a 14. Vamos calcular o produto das idades: I1 .
I2 = 3 x 5 = 15, que superior a 14. GABARITO: Errado 10 Se a
diferena entre as idades dos meninos for maior que 3 anos, ento um
dos meninos ter idade superior a 5 anos.
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Resoluo Aqui, no h como sairmos calculando as idades para
diferena igual a 3, 4, 5, etc. Se fizermos dessa maneira,
precisaramos de uma prova com 48 horas de durao. Risos. Repare que
o item fala que se diferena entre as idades dos meninos for maior
que 3 anos, ento um dos meninos ter idade superior a 5 anos. Ora,
quando calculamos, no item anterior, para diferena entre as idades
dos meninos igual a 2 anos, j encontramos um menino com 5 anos de
idade. Portanto, basta realizar os mesmos clculos, agora com
diferena de idade igual a 4 anos (que maior que 3). Se j
encontrarmos um menino com idade superior a 5 anos, ento o item
estar correto. Vejamos: I2 I1 = 4 (A) Alm disso, sabemos, da
primeira equao, que: I1 + I2 = 8 (B) Repare que temos um sistema
com duas equaes e duas variveis. Para resolv-lo, basta determinar a
relao entre I1 e I2 em uma equao e substituir em outra. I2 I1 = 4
I2 = 4 + I1 (C) Substituindo o valor de I2 na equao (A): I1 + I2 =
8 I1 + 4 + I1 = 8 2.I1 = 8 4 2.I1 = 4
I1 = 42
I1 = 2
Substituindo o valor de I1 na relao (C): I2 = 4 + I1 I2 = 4 + 2
I2 = 6 (que maior que 5 anos) Ainda acha que no vale para todos os
casos. Ento, vamos fazer mais dois casos: Caso 1: Diferena entre as
idades igual a 5 anos I2 I1 = 5 (A) Alm disso, sabemos, da primeira
equao, que: I1 + I2 = 8 (B) Repare que temos um sistema com duas
equaes e duas variveis. Para resolv-lo, basta determinar a relao
entre I1 e I2 em uma equao e substituir em outra. I2 I1 = 5 I2 = 5
+ I1 (C)
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Substituindo o valor de I2 na equao (A): I1 + I2 = 8 I1 + 5 + I1
= 8 2.I1 = 8 5 2.I1 = 3
I1 = 32
I1 = 1,5 (no serve, pois, de acordo as definies, as idades
so
nmeros inteiros). Caso 2: Diferena entre as idades igual a 6
anos I2 I1 = 6 (A) Alm disso, sabemos, da primeira equao, que: I1 +
I2 = 8 (B) Repare que temos um sistema com duas equaes e duas
variveis. Para resolv-lo, basta determinar a relao entre I1 e I2 em
uma equao e substituir em outra. I2 I1 = 6 I2 = 6 + I1 (C)
Substituindo o valor de I2 na equao (A): I1 + I2 = 8 I1 + 6 + I1 =
8 2.I1 = 8 6 2.I1 = 2
I1 = 22
I1 = 1 (no serve, pois, de acordo as definies, as idades
devem ser superiores a 2). Portanto, a nica opo possvel, para
diferena entre as idades maior que 3, seria essa diferena igual a
4. Como vimos, considerando a diferena igual a 4, um dos meninos
possui idade de 6 anos. GABARITO: Certo (Professor-Secretaria de
Educao do Estado da Bahia-2010-Cespe) 11. Em determinado estado da
Federao, o sindicato local dos professores das escolas particulares
negociou com os patres e conseguiu um reajuste total dos salrios em
aproximadamente 28%. Para que cada professor calculasse quanto
passaria a ganhar, foram dadas as seguintes instrues: calcular X =
(carga horria mensal) (valor da hora-aula) 4,5; calcular o descanso
semanal remunerado dado por Y = X 6; calcular a regncia de classe,
que 2% de (X + Y); calcular o adicional noturno (somente para
aqueles que tivessem atuao aps as 22 h), dado por N = Z + 2% de Z,
em que Z = 20% do valor da hora-aula multiplicado pela quantidade
de horas noturnas trabalhadas e pelo fator 5,25. Desse modo, o
salrio do professor foi calculado por X + Y + regncia de classe +
adicional noturno. Nessa situao hipottica, considerando-se que um
professor de escola particular do estado em questo trabalhe em uma
escola cuja carga horria mensal seja de 50 horas e que pague R$
25,60 por hora-aula, se, em determinado ms, esse professor
trabalhar 3 horas aps as 22 h, ento, de acordo com as instrues
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acima citadas, o seu salrio bruto nesse ms, calculado com duas
casas decimais, ser de A R$ 8.144,64. B R$ 6.856,01. C R$ 6.936,65.
D R$ 8.065,61. Resoluo No se assuste com o tamanho do enunciado.
Vamos interpret-lo com calma. I - Em determinado estado da Federao,
o sindicato local dos professores das escolas particulares negociou
com os patres e conseguiu um reajuste total dos salrios em
aproximadamente 28%. Primeira informao: Reajuste Total de Salrios
dos Professores = 28% (aproximadamente) II - Para que cada
professor calculasse quanto passaria a ganhar, foram dadas as
seguintes instrues: calcular X = (carga horria mensal) (valor da
hora-aula) 4,5; ... Primeira frmula para o clculo do novo salrio
(Clculo de X): X = (Carga Horria Mensal) x (Valor da Hora-Aula) x
4,5 III - ...calcular o descanso semanal remunerado dado por Y = X
6; ... Segunda frmula para o clculo do novo salrio (Y = descanso
semanal remunerado): Y = X 6 IV - ...calcular a regncia de classe,
que 2% de (X + Y); ... Terceira frmula para o clculo do novo
salrio: Regncia de Classe = 2% x (X + Y) V - ...calcular o
adicional noturno (somente para aqueles que tivessem atuao aps as
22 h), dado por N = Z + 2% de Z, em que Z = 20% do valor da
hora-aula multiplicado pela quantidade de horas noturnas
trabalhadas e pelo fator 5,25. Quarta frmula para o clculo do novo
salrio (valor do adicional noturno somente para aqueles que
trabalharem aps as 22 horas): N = Z + 2% x Z Z = 20% x Valor da
Hora-Aula x Horas Noturnas Trabalhadas x 5,25
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VI - Desse modo, o salrio do professor foi calculado por X + Y +
regncia de classe + adicional noturno. Salrio do Professor = X + Y
+ Regncia de Classe + Adicional Noturno Onde, X = (Carga Horria
Mensal) x (Valor da Hora-Aula) x 4,5 Y = X 6 Regncia de Classe = 2%
x (X + Y) Adicional Noturno = N = Z + 2% x Z Z = 20% x Valor da
Hora-Aula x Horas Noturnas Trabalhadas x 5,25 VII - Nessa situao
hipottica, considerando-se que um professor de escola particular do
estado em questo trabalhe em uma escola cuja carga horria mensal
seja de 50 horas e que pague R$ 25,60 por hora-aula, se, em
determinado ms, esse professor trabalhar 3 horas aps as 22 h, ento,
de acordo com as instrues acima citadas, o seu salrio bruto nesse
ms, calculado com duas casas decimais, ser de: Devemos considerar
os seguintes dados para o clculo do salrio de determinado
professor: Carga Horria Mensal = 50 horas Valor da Hora-Aula = R$
25,60 Horas Noturnas Trabalhadas = 3 horas VII.1 Clculo do
adicional noturno: Adicional Noturno = N = Z + 2% Z = 20% x Valor
da Hora-Aula x Horas Noturnas Trabalhadas x 5,25 Z = 20% x R$ 25,60
x 3 horas x 5,25 = 20% x 403,20 Lembre-se que 20% , em portugus, 20
por cento ou 20 por cem. Portanto,
pode ser representado por 20
100.
Z = 20
100 x 403,20 =
210
x 403,20 = 2 x 40,32 = 80,64
Adicional Noturno = N = Z + 2% x Z Aqui, como temos Z nos dois
termos a direita da equao, podemos coloc-lo em evidncia. Vejamos: N
= Z + 2% x Z = Z x (1 + 2%)
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Sabemos que 2% igual a 2
100, que igual a 0,02. Est em dvida? Vamos
relembrar alguns conceitos: Decimais: so fraes especiais, tendo
em vista que seus denominadores sero sempre mltiplos de 10 (10,
100, 1.000, 10.000, etc.), tambm chamados potncias de 10. As
potncias de 10 so: 10 = 101 10 x 10 = 102 = 100 10 x 10 x 10 = 103
= 1.000 10 x 10 x 10 x 10 = 104 = 10.000 10 x 10 x 10 x 10 x 10 =
105 = 100.000 (...) Repare que o expoente do 10 indica o nmero de
zeros do resultado, colocando sempre o 1 na frente. Exemplo: 105 =
100.000 (5 zeros) O nmero de casas decimais direita da vrgula
indica o nmero de zeros da potncia de 10 que ser escrita no
denominador. Exemplos: A) 0,45 H dois nmeros aps a vrgula (4 e 5).
Portanto, a potncia de 10 escrita no denominador ser 102 = 100.
0,45 = 45
100
B) 0,451 H trs nmeros aps a vrgula (4, 5 e 1). Portanto, a
potncia de 10 escrita no denominador ser 103 = 1.000.
0,451 = 451
1.000
C) 23,13335 H cinco nmeros aps a vrgula (1, 3, 3, 3 e 5).
Portanto, a potncia de 10 escrita no denominador ser 105 =
100.000.
23,13335 = 2.313.335100.000
D) 0,25 H dois nmeros aps a vrgula (2 e 5). Portanto, a potncia
de 10 escrita no denominador ser 102 = 100.
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0,25 = 25 1
100 4= repare que possvel simplificar o 25 do numerador com
o
100 do denominador, dividindo ambos por 25. Entendeu agora? Ento
vamos em frente. N = Z x (1 + 2%) = Z x (1 + 0,02) = 1,02 x Z =
1,02 x 80,64 = 82,2528 Como a questo pediu at a segunda casa
decimal: N = 82,25 VII.2 Clculo do X: X = (Carga Horria Mensal) x
(Valor da Hora-Aula) x 4,5 X = 50 horas x R$ 25,60 x 4,5 = 5.760
VII.3 Clculo do Y: Y = X 6 Y = 5.760 6 = 960 VII.4 Clculo da
Regncia de Classe: Regncia de Classe = 2% x (X + Y) Regncia de
Classe = 0,02 x (5.760 + 960) Regncia de Classe = 0,02 x 6.720
Regncia de Classe = 134,40 VII.5 Clculo do Salrio do Professor:
Salrio do Professor = X + Y + Regncia de Classe + Adicional Noturno
Salrio do Professor = 5.760 + 960 + 134,40 + 82,25 Salrio do
Professor = R$ 6.936,65 GABARITO: C 12. Em certo ano, determinada
cooperativa conseguiu vender a caixa de laranja ao preo de R$ 6,00
na safra e de R$ 13,00 na entressafra, tendo arrecadado um total de
R$ 880.000,00 pela venda de 100 mil dessas caixas. Nesse caso,
denominando-se por x e y, respectivamente, as quantidades de caixas
vendidas pela cooperativa na safra e na entressafra, as equaes que
modelam adequadamente a situao descrita so x + y = 100.000 e A 6y
+13x = 880.000. B 6x +13y = 880. C 6x +13y = 880.000. D 6y +13x =
880.
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Resoluo Repare que x a quantidade de caixas de laranja vendidas
na safra e que y a quantidade de caixas de laranja vendidas na
entressafra. O preo da caixa de laranja na safra foi de R$ 6,00 e
na entressafra foi de R$ 13,00. Sabe-se que: x + y = 100.000 (foram
vendidas, ao todo, 100.000 caixas de laranja). Alm disso, sabe-se
que o valor total arrecadado foi de R$ 880.000,00. Esse valor
formado pelo total de caixas de laranja vendidas na safra (x)
multiplicado pelo preo da caixa na safra (R$ 6,00), somado ao total
de caixas de laranja vendidas na entressafra (y) multiplicado pelo
preo da caixa na entressafra (R$ 13,00). Vejamos: 6.x + 13.y =
880.000 GABARITO: C 13. Em uma de suas viagens a Braslia, Carlos,
que mora em Barreiras-BA, leu o seguinte anncio em determinado
jornal: Vendo carro muito econmico a gasolina. 13 km/L dentro do
permetro urbano; 15 km/L fora. Tanque: 50 L Carlos comprou o carro
anunciado e decidiu dirigi-lo at Barreiras. No incio da viagem, ele
abasteceu o tanque do veculo com gasolina at o limite mximo. Aps
percorrer 280 km da viagem, Carlos parou em outro posto de
combustvel e reabasteceu novamente o tanque com gasolina, at o
limite mximo. Depois disso, Carlos viajou sem parar at Barreiras,
circulando apenas em rodovias fora do permetro urbano dos municpios
por onde passou, percorrendo o total de 670 km desde sua sada de
Braslia. Considerando-se verdadeiras as informaes do anncio de
venda do carro, a quantidade mxima de quilmetros que Carlos pode
percorrer nesse veculo no permetro urbano da cidade de Barreiras,
sem realizar novo abastecimento de combustvel, igual a A 572. B
312. C 338. D 360.
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Resoluo Vamos interpretar a questo. I - Em uma de suas viagens a
Braslia, Carlos, que mora em Barreiras-BA, leu o seguinte anncio em
determinado jornal: Vendo carro muito econmico a gasolina. 13 km/L
dentro do permetro urbano; 15 km/L fora. Tanque: 50 L Carlos
comprou o carro anunciado e decidiu dirigi-lo at Barreiras.
Portanto, temos duas informaes importantes sobre o consumo do carro
comprado por Carlos: Consumo no Permetro Urbano = PD = 13 Km/L
Consumo fora do Permetro Urbano = PF = 15 Km/L Onde: Km = quilmetro
L = litro Alm disso, a questo informa que o tanque do carro de 50
litros. II - No incio da viagem, ele abasteceu o tanque do veculo
com gasolina at o limite mximo. Aps percorrer 280 km da viagem,
Carlos parou em outro posto de combustvel e reabasteceu novamente o
tanque com gasolina, at o limite mximo. Depois disso, Carlos viajou
sem parar at Barreiras, circulando apenas em rodovias fora do
permetro urbano dos municpios por onde passou, percorrendo o total
de 670 km desde sua sada de Braslia. Portanto, a ordem cronolgica
foi a seguinte. II.1 Incio da viagem: Carlos abasteceu o veculo at
o limite mximo (50 litros). II.2 Percorreu 280 km e novamente
abasteceu o veculo at o limite mximo (50 litros). II.3 Viajou sem
parar at Barreiras, somente fora do permetro urbano e a distncia
total percorrida foi de 670 Km. Repare que ele j havia percorrido
280 Km. Logo, a distncia percorrida fora do permetro urbano foi de:
Distncia Percorrida Fora do Permetro Urbano = 670 280 = 390 Km
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Portanto, ele estava com o tanque cheio (50 litros) e percorreu
390 Km. O consumo fora do permetro urbano de 15 Km/L. Vamos
calcular quantos litros sobraram ao chegar a Barreiras: Distncia
Percorrida = 390 Km Consumo por litro (fora do permetro urbano) =
15 Km/L Fazendo uma regra de trs simples: 1 Litro === 15 Km X
Litros === 390 Km
15 . X = 1 . 390 X = 39015
X = 26 Litros
Portanto, ainda h 24 Litros (50 Litros 26 Litros) no tanque do
carro. II.4 - Quantidade mxima de quilmetros que Carlos pode
percorrer nesse veculo no permetro urbano da cidade de Barreiras,
sem realizar novo abastecimento de combustvel. Litros Restantes do
Tanque = 24 litros Consumo por litro (dentro do permetro urbano) =
13 Km/L Distncia Mxima = 13 km/L x 24 litros = 312 Km GABARITO: B
14. Considere que, no resultado de exame de colesterol a que um
paciente se submeteu, o LDL (low density lipoprotein) tenha sido
igual a 125 mg/dL. Nessa situao, se o resultado do LDL fosse
fornecido em g/L, o novo valor seria igual a A 1.250. B 12,5. C
1,25. D 0,125. Resoluo Vamos relembrar a unidade de medida em
questo: Para medir massa: grama (g) Quilograma (kg) = 1.000 gramas
= 103 gramas Hectograma (hg) = 100 gramas = 102 gramas Decagrama
(dag) = 10 gramas = 101 gramas Grama (g) = 1 grama
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Decigrama (dg) = 0,1 grama = 10-1 grama Centigrama (cg) = 0,01
grama = 10-2 grama Miligrama (mg) = 0,001 grama = 10-3 grama Para
medir capacidade: litro (l) Quilolitro (kl) = 1.000 litros = 103
litros Hectolitro (hl) = 100 litros = 102 litros Decalitro (dam) =
10 litros = 101 litros Litro (l) = 1 litro Decilitro (dl) = 0,1
litro = 10-1 litro Centilitro (cl) = 0,01 litro = 10-2 litro
Mililitro (ml) = 0,001 litro = 10-3 litro A questo informa o valor
de: 125 mg/dL (cento e vinte e cinco miligramas por decilitro).
Para converter miligrama para grama, temos que multiplicar a
miligrama por 10-3, pois cada miligrama equivale a 0,001 grama. Por
outro lado, para decilitro para litro, temos que o decilitro por
10-1, pois cada decilitro equivale a 0,1 litro. Portanto, teramos a
seguinte conta:
125 mg/L = 125,0 x 3
1
1010
gL
E agora? Como dividiremos 10-3 por 10-1. Vamos relembrar a
diviso de potncias. xn xm = xn m diviso de potncias de mesma base
conserva a base e subtrai os expoentes. Exemplo: 28 22 = 28-2 = 26
Em relao questo, temos: 10-3 10-1 = 10-3-(-1) = 10-3+1 = 10-2
Portanto, teramos: 125 mg/dL = 125,0 x 3
1
1010
gL
= 125,0 x 10-2 g/L
E como faremos esta multiplicao? Multiplicao por potncias de 10
simples. Se o expoente for positivo, andamos com a vrgula do nmero
que est sendo multiplicado para a direita. Por outro lado, se o
expoente for negativo, andamos com a vrgula do nmero que est sendo
multiplicado para a esquerda.
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