? CONTROLE DE PROCESSOS Autor: Prof. Dr. Ricardo de Araújo Kalid – [email protected]Laboratório de Controle e Otimização de Processos Industriais - LACOI Departamento de Engenharia Química - DEQ Escola Politécnica - EP Universidade Federal da Bahia – UFBA Salvador, março de 2007.
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Laboratório de Controle e Otimização de Processos Industriais - LACOI
Departamento de Engenharia Química - DEQ
Escola Politécnica - EP
Universidade Federal da Bahia – UFBA
Salvador, março de 2007.
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Í N D I C E
CAPÍTULO 1. INTRODUÇÃO 1-2
1.1. MOTIVAÇÃO PARA IMPLANTAR UM SISTEMA DA CONTROLE 1-2 1.2. NORMAS UTILIZADAS EM INSTRUMENTAÇÃO 1-7
Í N D I C E D E T A B E L A S Tabela 1-1: Estratégias para o controle de temperatura de um tanque de aquecimento agitado. 1-5 Tabela 1-2: Sinais padrão de transmissão de informações. 1-7 Tabela 1-3: Exemplo de identificação de instrumento. 1-9
Í N D I C E D E F I G U R A S Figura 1-1: Exemplo de controle de processo. 1-3 Figura 1-2: Tanque de aquecimento com agitação. 1-4 Figura 1-3: Tanque de aquecimento agitado com controle feedback. 1-5 Figura 1-4: Símbolos gerais para instrumento ou função programada. 1-7 Figura 1-5: Letras de identificação de instrumento ou função programada. 1-9
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C A P Í T U L O 1 . I N T R O D U Ç Ã O
A finalidade do controle de processos é manter as variáveis de processo nas condições
desejadas com um mínimo custo operacional.
Variáveis de processo são as propriedades intensivas ou extensivas de uma corrente ou
substância.
Como exemplos de variáveis de processo temos:
• Temperatura;
• Pressão;
• Vazão;
• Composição;
• Viscosidade;
• Granulometria;
• Radioatividade;
• Condutividade;
• Dureza;
• Maleabilidade;
• Cor;
• Aroma;
• Sabor; etc.
1 . 1 . M o t i v a ç ã o p a r a i m p l a n t a r u m s i s t e m a d a c o n t r o l e
Mudança nas condições de alimentação do processo e no ambiente (perturbações) estão
sempre acontecendo e se nenhuma ação for tomada importantes variáveis do processo não
alcançarão as condições desejadas. Porém, esta ação deve ser estabelecida de modo que:
1. A segurança dos equipamentos e dos trabalhadores,
2. A qualidade do produto; e
3. A produção
sejam asseguradas com um mínimo custo de investimento e/ou operacional.
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√ Exemplo 01
F igura 1 -1 : Exemplo de cont ro le de p rocesso .
√ Exemplo 02 Seja um tanque agitado, aquecido pela condensação do vapor d’água, conforme mostra a
Figura 1-2. O objetivo deste processo é aquecer uma corrente de vazão w e temperatura T1 até
alcançar a temperatura T2.
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T2(t), w
T1(t), w
vapor condensado Figura 1 -2 : Tanque de aquec imento com ag i tação .
Vamos considerar duas perguntas:
Pergunta 1: Quanto de calor deve ser fornecido ao líquido no interior do tanque para
que atinja a temperatura desejada T2?
Considerando o tanque bem agitado não existem gradientes internos de temperatura e as
propriedades do fluido na saída do tanque são as mesmas do interior do tanque (tanque
perfeitamente agitado).
O balanço de energia em estado estacionário no tanque indica qual a quantidade de calor
que deve ser transferida é:
Equação 1 -1 ( )sssspssss TTcwQ ,1,2.. −=
Mas nas condições de projeto T2 é a temperatura de referência Tr ou temperatura desejada
(set point), então podemos escrever a equação de projeto para o aquecedor:
Equação 1 -2 ( )ssSPpssss TTcwQ ,1.. −=
Pergunta 2: Mas se as condições mudarem (a vazão de líquido aumentar ou diminuir, a
temperatura da alimentação oscilar ou se desejarmos uma temperatura na saída maior ou
menor que a estabelecida no projeto), como iremos atuar sobre o sistema para que a
temperatura na saída do tanque seja a temperatura desejada (T2 = Tr = TSP) ?
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Existem algumas possibilidades, uma delas é medir a temperatura no interior do tanque (T),
comparar esta com a temperatura desejada (TSP) e atuar sobre a válvula de controle para que
esta aumente ou diminua o fluxo de vapor para a serpentina, incrementando ou não a
transferência de energia para o fluido no tanque (veja Figura 1-3). Esta estratégia denomina-se
controle por retroalimentação (Feedback Control).
T
T2(t), w2(t)
T1(t), w1(t)
vapor
condensado
TT
TC
F igura 1 -3 : Tanque de aquec imento ag i tado com contro le feedback .
Na Tabela 1-1 vemos outras alternativas de estratégias de controle para este processo.
Tabe la 1 -1 : Es t ra tég ias para o cont ro le de tempera tura de um tanque de aquec imento ag i tado .
Método Variável Medida
Variável manipulada
Classificação
01 T Q Feedback
02 T1 Q Feedforward
03 T w Feedback
04 T1 w Feedforward
05 T1 e T Q Feedback / feedforward
06 T1 e T w Feedback / feedforward
Podemos ainda instalar um trocador de calor a montante do tanque de aquecimento para
diminuir ou eliminar a oscilação na temperatura T1 ou utilizar um tanque com um volume maior
de modo a diminuir a oscilação na temperatura de saída T.
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Uma vez estabelecida a estratégia de controle é necessário determinar qual a lei ou
algoritmo de controle para o controlador. Uma possibilidade é utilizar o controlador proporcional, no qual a mudança no fluxo de calor é proporcional à diferença entre a
temperatura desejada (TSP(t)) e a temperatura medida (T(t)):
Equação 1 -3 [ ])()(.)( tTtTKQtQSPcss −+=
Onde Kc é denominado ganho do controlador, este parâmetro é ajustável e define a
intensidade da correção a ser realizada sobre o processo.
Do discutido anteriormente deduz-se que para definir um sistema de controle é necessário:
(1) Conhecer o comportamento no estado estacionário do processo que desejamos
controlar;
(2) Conhecer o comportamento dinâmico do processo que desejamos controlar;
(3) Estabelecer quais as variáveis de processo que devem ser mantidas o mais
próximo possível dos valores desejados (set point), denomina-se de variáveis controladas;
(4) Estabelecer quais as variáveis de processo que devem ser monitoradas (variáveis
medidas) a fim de conhecer ou inferir os valores das variáveis controladas ou das
variáveis de processo que podem interferir no mesmo (perturbações).
(5) Estabelecer quais os fluxos de massa e energia que deverão ser modificados
(variáveis manipuladas) para manterem as variáveis controladas nos seus set point.
(6) Escolher e dimensionar os instrumentos necessários para o funcionamento do
sistema de controle:
(a) Sensores das variáveis de processo envolvidas ou elementos primários de
medição,
(b) Transmissores e / ou conversores de sinais,
(c) Indicadores e / ou registradores de sinais,
(d) Controladores,
(e) Elementos finais de controle (válvulas).
Para estabelecer com sucesso o sistema de controle de um processo temos que conhecer
seu comportamento dinâmico, realizando um estudo de processo em malha aberta, assunto
que é tratado de uma apostila deste autor, que deve ser consultada para maiores detalhes.
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1 . 2 . N o r m a s U t i l i z a d a s e m I n s t r u m e n t a ç ã o
A ISA - The Instrumentation, Systems, and Automation Society estabelece normas e
procedimentos para especificação e instalação de instrumentos para controle de processos,
bem como a simbologia a ser adotada nos fluxogramas e documentos (veja “Standards and
Recommended Pratices for Instrumentation and Control” editado pela ISA).
2 . 1 . 1 . S i n a i s d e T r a n s m i s s ã o
Existem alguns tipos e faixas padronizadas para transmissão de sinais em sistemas de
controle:
Tabe la 1 -2 : S ina is padrão de t ransmissão de in fo rmações .
Tipo de sinal Valores Representação
Sinal pneumático ⎪⎭
⎪⎬
⎫
⎪⎩
⎪⎨
⎧
psig 27 a 3psig 30 a 6psig 15 a 3
representado por
Sinal elétrico ou eletrônico ⎪⎭
⎪⎬
⎫
⎪⎩
⎪⎨
⎧
V 10 a 0V 5 a 1
mA 20 a 4
representado por
Sinal digital ou discreto ou binário
, binário elétrico
, binário pneumático
As próximas páginas têm um pequeno resumo da simbologia empregada na confecção de
fluxogramas para instrumentação e controle de processos.
F igura 1 -4 : S ímbo los gera is para ins t rumento ou função programada .
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F igura 1 -5 : Le t ras de iden t i f i cação de ins t rumento ou função programada .
Tabe la 1 -3 : Exemplo de iden t i f i cação de ins t rumento .
T RC 210 02 A
Variável Função Área de atividades
Nº seqüencial da malha Sufixo
Identificação funcional Identificação da malha
Identificação do instrumento
Onde:
T Variável medida ou iniciadora: temperatura;
R Função passiva ou de informação: registrador;
C Função ativa ou de saída: controlador;
210 Área de atividades, onde o instrumento ou função programada atua;
02 Número seqüencial da malha;
A Sufixo.
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Í N D I C E
CAPÍTULO 2. FUNÇÃO DE TRANSFERÊNCIA 2-2
2.1. PROPRIEDADES DA FUNÇÃO DE TRANSFERÊNCIA 2-3 2.2. NATUREZA QUALITATIVA DAS RESPOSTAS DE UM SISTEMA 2-5 2.3. FUNÇÃO DE TRANSFERÊNCIA COM ENTRADAS E SAÍDAS MÚLTIPLAS 2-7
Í N D I C E D E T A B E L A S Tabela 2-1: Raízes da Função de Transferência. 2-6
Í N D I C E D E F I G U R A S Figura 2-1: Diagrama de blocos 01. 2-3 Figura 2-2: Diagrama de blocos 02. 2-4 Figura 2-3: Diagrama de blocos 03. 2-4 Figura 2-4: Localização das raízes da equação característica. 2-7 Figura 2-5: Função exponencial [(a) decrescente (b); crescente] e gráfico de oscilação [(a) crescente; (b)
decrescente; (c) amplitude constante]. 2-7 Figura 2-6: Diagrama de blocos 04. 2-8 Figura 2-7: Diagrama de blocos 05. 2-9
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C A P Í T U L O 2 . F U N Ç Ã O D E T R A N S F E R Ê N C I A
“... proporciona uma relação direta entre as entradas (distúrbios, variáveis manipuladas) e as
saídas (variáveis controladas) do processo.”
George Stephanoupolos
Vamos trabalhar com modelos lineares ou linearizados e variáveis desvio:
Equação 2 -1 ⎩⎨⎧
==
==
ss
ss
X - X(t) X(0) -X(t) (t)XY - Y(t) Y(0) -Y(t) (t)Y
Generalizando, as equações diferenciais ordinárias com coeficientes constantes são da
forma:
Equação 2 -2 ∑∑=
−
−
−=
=++++=m
jj
j
jn
n
nn
n
n
n
ii
i
i dtXdbYa
dtYda
dtYda
dtYda
dtYda
0011
1
10
.........
Equação 2 -3 XbdtXdb
dtXda
dtXdb
dtXdbonde m
m
mm
m
m
m
jj
j
j ........ 011
1
10
++++= −
−
−=∑
Onde, an, an -1, ..., a1, a0 e bm, bm -1, ..., b1, b0 são constantes.
Em sistemas fisicamente exeqüíveis n ≥ m.
Assumindo que inicialmente o sistema está relaxado:
Equação 2 -4 1000 −=== nkdt
Ydtk
k,...,,
e
Equação 2 -5 1000 −=== nldt
Xdtl
l,...,,
Ou seja, o termo relativo às condições iniciais I é nulo: I = 0
Equação transformada:
Equação 2 -6 ( ) ( ) ( ) ( )∑ ∑ ∑∑= = ==
=⇒=m
j
n
i
m
j
jj
ii
jj
n
i
ii sXsbsYsasXsbsYsa
0 0 00)(..)(..).(..).(..
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Equação 2 -7 ( )0.
.
)()()(
0
0 =+==⇒
∑
∑
=
= Isa
sb
sXsYsG
ii
n
i
m
j
jj
G(s) é chamada de função de transferência e é obtida apenas se I = 0.
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P5. O denominador de G(s) igualado a zero é denominado de equação característica – equação cuja solução é uma matriz de autovalores. A estabilidade de um sistema linear
invariante com o tempo pode ser determinada avaliando as raízes da equação característica:
se todas as raízes têm partes reais negativas o sistema é estável, caso alguma raiz tenha parte
real positiva o sistema é instável. Exemplo:
Equação 2 -17 ).21().21(5.2
1)( 2 jC
jB
−−+
+−=
+−+
=ssss
ssG
Equação característica:
Equação 2 -18 0522 =+− ss
Raízes da equação característica:
Equação 2 -19
jr .211 +=
Equação 2 -20
jr .212 −=
Portanto, o sistema é instável pois as raízes do denominador da função de transferência
tem parte real positiva.
P6. As raízes do denominador são os pólos do sistema e as raízes do numerador são os
zeros do sistema. Quando o número de zeros (nz) é menor que o número de pólos (np), diz-se
que existem (nz – np) zeros no infinito; a recíproca é válida. Para a Equação 2-17:
Equação 2 -19 2.j- 1 P e 2.j 1 P :pólos 21 =+=
Equação 2 -20 ∞== z e 1- z :zeros z1
P7. Em sistemas físicos exeqüíveis: nz ≤ np.
2 . 2 . N a t u r e z a Q u a l i t a t i v a d a s R e s p o s t a s d e u m S i s t e m a
Freqüentemente, estamos interessados apenas em determinar a estabilidade do sistema,
uma forma simples e adequada para os propósitos de controle de processos é encontrar as
raízes do denominador da função de transferência (pólos do sistema) e verificar sua
localização no plano complexo. Seja G(s) uma função de transferência que pode ser escrita por
uma razão de dois polinômios Q(s) e P(s):
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Equação 2 -21
( )i
n
ips
sQsPsQsGsXsGsY
n −==⇒=
=0
)()()()()().()(
Na Tabela 2-1 vemos as diferentes formas das contribuições da função transferência para
as respostas dos sistemas. Enquanto que na Figura 2-4 podemos verificar a disposição das
raízes da equação característica no plano complexo.
Tabe la 2 -1 : Ra ízes da Função de T ransferênc ia .
Raízes Características Termos em ƒ (t) para t ≥ 0
p1 p2, p2
* p3, p3
* p4, p4
* p5
p6
Real, < 0 Complexa, Re < 0 Complexa, Re = 0 Complexa, Re > 0
O sistema de Equação 2-30 é denominado Matriz das Funções de Transferência.
Em diagramas de blocos:
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X1(s)
X2(s)
G11(s)
G12(s)
G21(s)
G22(s)
++
++
Y2(s)
Y1(s)
F igura 2 -7 : D iagrama de b locos 05 .
Os sistemas podem ser:
SISO – Single Input Single Output
SIMO – Single Input Multiple Output
MISO - Multiple Input Single Output
MIMO - Multiple Input Multiple Output
Observação 1.: Os processos químicos são, na sua maioria, MIMO.
Observação 2.: Os processos químicos são, na sua maioria, não lineares.
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Í N D I C E
CAPÍTULO 3. ANÁLISE DA DINÂMICA DE PROCESSOS 3-3
3.1. ESTUDO DO COMPORTAMENTO DINÂMICO DE SISTEMAS DE PRIMEIRA ORDEM 3-6 3.2. ESTUDO DO COMPORTAMENTO DINÂMICO DE SISTEMAS CAPACITIVOS PUROS 3-21 3.3. ESTUDO DO COMPORTAMENTO DINÂMICO DE SISTEMAS DE SEGUNDA ORDEM 3-24 3.4. COMPORTAMENTO DINÂMICO DE PROCESSOS TIPO ATRASO-AVANÇO 3-45 3.5. COMPORTAMENTO DINÂMICO DE PROCESSOS COM TEMPO MORTO 3-48 3.6. EXERCÍCIOS 3-54
Í N D I C E D E T A B E L A S Tabela 3-1: Constantes de tempo de elementos primários de medição. 3-6
Tabela 3-2: Tempo (t) e valor alcançado pelo sistema ( )( ) . PY t A K . 3-11
Tabela 3-3: Tempo (t) e valor alcançado pelo sistema PKAtY .)( . 3-15
Tabela 3-4: Classificação dos Sistemas de 2ª ordem. 3-26 Tabela 3-5: Tanques em série com e sem interação. 3-39
Í N D I C E D E F I G U R A S Figura 3-1: Desenho esquemático de um termopoço / termopar. 3-3 Figura 3-2: Diagrama de blocos 01. 3-6 Figura 3-3: Diagrama de blocos 02. 3-8 Figura 3-4: Diagrama de blocos 03. 3-8 Figura 3-5: Função degrau de amplitude A. 3-10 Figura 3-6: Resposta de um sistema de 1ª ordem a perturbação degrau. 3-12 Figura 3-7: Comportamento dinâmico de termopares sem (τTs) e com poço (τTc). 3-13 Figura 3-8: Função impulso de amplitude A. 3-14 Figura 3-9: Resposta de um sistema de 1ª ordem a perturbação impulso de amplitude A. 3-15 Figura 3-10: Resposta real de um sistema de 1ª ordem a perturbação impulso de amplitude A. 3-16 Figura 3-11: Função pulso de amplitude A. 3-17 Figura 3-12: Resposta de sistema de 1ª ordem a perturbação pulso de amplitude A. 3-18 Figura 3-13: Função seno de amplitude A, freqüência ω e período T. 3-19 Figura 3-14: Resposta de um sistema de 1ª ordem a perturbação seno de amplitude A e freqüência w. 3-21
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Figura 3-15: Diagrama de blocos de um sistema capacitivo. 3-22 Figura 3-16: Tanque com vazão de descarga constante. 3-22 Figura 3-17: Processo capacitivo submetido a perturbação degrau de amplitude A. 3-24 Figura 3-18: Diagrama de bloco para sistema de 2ª ordem. 3-25 Figura 3-19: Resposta do sistema de 2ª ordem superamortecido a perturbação degrau. 3-27 Figura 3-20: Influência do fator de amortecimento ζ e do período natural de oscilação τ de um sistema de 2ª
ordem superamortecido a perturbação degrau. 3-28 Figura 3-21: Influência do fator de amortecimento ζ na resposta do sistema de 2ª ordem subamortecido,
submetido a perturbação de amplitude A. 3-29 Figura 3-22: Características do sistema de 2ª ordem subamortecido submetido a perturbação degrau de
amplitude A. 3-31 Figura 3-23: Respostas dos sistemas de 2ª ordem a perturbação impulso de amplitude A. 3-33 Figura 3-24: Dois tanques não-interativos em série. 3-34 Figura 3-25: Dois tanques interativos em série. 3-37 Figura 3-26: Respostas de sistemas e perturbação degrau de amplitude A. 3-39 Figura 3-27: Reator CSTR submetido a perturbação na composição e temperatura da alimentação. 3-40 Figura 3-28: Resposta do sistema (Equação 3-184). 3-46 Figura 3-29: Diagrama pólo-zero para o sistema (Equação 3-184) – X: localização do pólo, □ : localização do
zero. 3-46 Figura 3-30: Resposta ao degrau de um sistema superamortecido com um zero. 3-47 Figura 3-31: Transporte de fluido por uma tubulação em escoamento pistão. 3-48 Figura 3-32: (a) Resposta ao degrau das aproximações de Padé de 1ª e 2ª ordem de um tempo morto puro. (b)
Resposta ao degrau de um sistema de 1ª ordem com tempo morto (τm = 0.25τP) utilizando aproximações
de Padé de 1ª e 2ª ordem para sme τ−
. 3-50 Figura 3-33: Reator gotejante com reciclo. 3-51 Figura 3-34: Reator com reciclo submetido a perturbação degrau na composição da alimentação: (a) resposta
completa; (b) detalhe nos instantes iniciais. 3-54 Figura 3-35: Tanque para alivio de pressão. 3-55 Figura 3-36: Tanque não interativos em série. 3-56 Figura 3-37: Tanque de aquecimento. 3-59 Figura 3-38: Gráfico exercício (7). 3-59 Figura 3-39: Gráfico para exercício (9). 3-61 Figura 3-40: Gráfico do exercício (10). 3-62 Figura 3-41: Gráfico do exercício (11). 3-62 Figura 3-42: Gráfico do exercício (12). 3-63 Figura 3-43: Esquema do exercício (13). 3-63
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C A P Í T U L O 3 . A N Á L I S E D A D I N Â M I C A D E P R O C E S S O S
No capítulo anterior, verificamos que a modelagem matemática de processos conduz a
sistemas de equações diferenciais. Estas equações podem ser resolvidas pelo método da
Transformada de Laplace que conduz às suas respectivas funções de transferência. Neste
capítulo, estudaremos com mais detalhes alguns tipos de funções de transferência (1ª ordem e
2ª ordem) e a resposta desses sistemas a diversos tipos de perturbações (degrau, rampa,
impulso, pulso, seno).
Prosseguindo com a metodologia adotada, sempre partiremos de um sistema físico de
interesse no controle de processos químicos.
Elementos de medição, linhas de transmissão e elementos finais de controle introduzem
atrasos (lag) dinâmicos no sistema de controle. Por exemplo, a Figura 3-1 mostra um termopar
(thermocouple) inserido em poço de termopar (termopoço, termowell) de massa m e calor
específico C.
Termopoço
Termopar
Fluido atemperatura T(t)
F igura 3 -1 : Desenho esquemát ico de um termopoço / t e rmopar .
O atraso dinâmico introduzido pela combinação termopar/termopoço pode ser estimado se
assumimos algumas hipóteses simplificadoras:
a. O termopar e o termopoço estão sempre na mesma temperatura Tm(t), que pode ser
diferente da temperatura do fluido T(t) que envolve o poço;
b. Não existe perda de calor pela extremidade do poço exposta ao meio ambiente;
c. A resistência à transferência de calor é determinada pelo inverso do coeficiente global
de troca térmica R = 1/(UG.A);
d. Toda capacidade térmica se concentra na massa de metal que compõe o poço.
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Analisando a Equação 3-86 observamos que o sistema tende para +∞ se a amplitude da
perturbação for positiva (A > 0), ou tende para -∞ se a amplitude da perturbação for negativa (A
< 0). Na Figura 3-17 está plotado o comportamento dinâmico do processo capacitivo a
perturbação degrau.
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F igura 3 -17 : Processo capac i t i vo submet ido a per tu rbação degrau de ampl i tude A.
Podemos constatar que:
(a) Processos integradores são instáveis e de difícil controle e são não auto-regulados
(enquanto que os sistemas de 1ª ordem são auto-regulados);
(b) No exemplo, pequenas diferenças entre vazões da alimentação q1(t) e da descarga
q2(t), levarão o tanque a transbordar ou secar.
3 . 3 . E s t u d o d o C o m p o r t a m e n t o D i n â m i c o d e S i s t e m a s d e S e g u n d a O r d e m
Genericamente, um sistema de 2ª ordem é definido pela seguinte equação diferencial:
Equação 3 -87 ( )[ ] ( )[ ] ( ) ( )tXbtYatY
dtdatY
dtdaZ .... 12
2
=++ Ο
Se ao ≠ 0 então podemos dividir a Equação 3-87 por ao e obtemos:
Equação 3 -88 ( )[ ] ( )[ ] ( ) ( )tXtYtY
dtdty
dtd
p ..... Κ=+ζτ+τ 22
22
Onde,
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oaa 2=τ
Período natural de oscilação
ζ Fator de amortecimento (Damping Factor)
Ο
=Κab
P
Ganho do processo
e Ο=ζτ
aa12 .
Utilizando variáveis desvio e aplicando a Transformada de Laplace na Equação 3-88,
obtemos a função de transferência do sistema de 2ª ordem:
Equação 3 -89 ( ) ( )
( ) 1...2. 22 ++Κ
==sssX
sYsG P
ζττ
Sistemas de 2ª ordem podem surgir devido a:
(1) Processos multiplicativos (sistemas de 1ª ordem em série), por exemplo: 2 tanques em
série;
(2) Sistemas intrinsecamente de 2ª ordem (raros em processos químicos), por exemplo:
válvula de controle;
(3) Sistema de controle feedback (malha fechada), por exemplo: sistema de 1ª ordem com
controlador P + I.
A resposta do sistema ( )sY a uma perturbação ( )sX é:
Equação 3 -90 ( ) ( ) ( ) ( )sX
sssXsGsY P .
1...2.. 22 ++
Κ==
ζττ
Em diagramas de blocos:
1..222 ++Κ
ssP
ζττ
( )sX ( )sY
F igura 3 -18 : D iagrama de b loco para s is t ema de 2 ª o rdem.
Logo:
Equação 3 -91 ( ) ( ) ( ) ( )sX
pspsKsY P .
. 21
2
−−=
τ
Onde p1 e p2 são as raízes da função de transferência, pólos do sistema:
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Equação 3 -92 2
4.4.222
2
1ττ
ζτζ
−+−=p
e 2
4.4.222
2
2ττ
ζτζ
−−−=p
Os parâmetros KP e τ tem o mesmos significados dos sistemas de 1ª ordem: KP é o ganho
do processo, enquanto que τ determina a velocidade da resposta dos sistema.
A Tabela 3- mostra a classificação dos sistemas de 2ª ordem a depender dos valores do
fator de amortecimento ζ.
Tabe la 3 -4 : C lass i f i cação dos S is temas de 2 ª o rdem.
Fator de amortecimento Pólos p1 e p2
Classificação
ζ > 1 Reais e distintos parte real negativa
Superamortecido
ζ = 1 Reais iguais parte real negativa
Criticamente amortecido
0 < ζ <1 Complexos conjugados parte real negativa
Subamortecido
ζ = 0 Complexas iguais parte real nula
Oscilatório com amplitude cte.
ζ < 0 Complexos conjugados parte real positiva
instável
3 . 3 . 1 . C o m p o r t a m e n t o d e u m S i s t e m a d e S e g u n d a O r d e m a P e r t u r b a ç ã o D e g r a u
Função degrau de amplitude A
Equação 3 -93 ( ) ( )Ο+= t-t.tX uAssX
Transformada de Laplace da função perturbação utilizando variáveis desvio:
Equação 3 -94 ( ) stesX ..
sΟ−=
A
Substituindo a Equação 3-94 na Equação 3-91:
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Equação 3 -95 ( ) ( ) ( )
stP epsps
KsY .
21
2
.s
..
Ο−
−−=
Aτ
Expandindo em frações parciais a Equação 3-95 e aplicando a Transformada Inversa de
Laplace, encontramos soluções diferentes a depender do valor do fator de amortecimento ζ.
√ Perturbação Degrau de Amplitude A e Sistema Superamortecido ζ > 1
Equação 3 -96
( ) ( )Ο
−
⎪⎭
⎪⎬⎫
⎪⎩
⎪⎨⎧
⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢
⎣
⎡
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛ −
−+⎟
⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛ −−Κ= t-t
1.
1
11 *
2
2
*2.
P
*
usenhhcos ttetYt
τζ
ζ
ζτ
ζτ
ζ
A
onde,
Equação 3 -97 t * = t - t o
Na Figura 3-19, Pt τ versus ( ) PKAtY . observamos que a resposta de um sistema de 2ª
ordem superamortecido a uma perturbação degrau é semelhante a resposta do sistema de 1ª
ordem, mas note que existe um ponto de inflexão em ti e que a resposta inicialmente é lenta
(derivada pequena), depois aumenta de velocidade derivada máxima no ponto de inflexão, ou
segunda derivada igual a zero) e então o sistema reage como se fosse de 1ª ordem.
F igura 3 -19 : Resposta do s is tema de 2 ª o rdem superamor tec ido a per tu rbação
degrau .
No Figura 3-20, Pt τ versus ( ) PKAtY . observamos que a medida que o fator de
amortecimento ζ aumenta, o sistema torna-se mais lento, isto é, o parâmetro ζ determina a
suavidade e rapidez da resposta do sistema a perturbação; percebemos também que, a
medida que o período natural de oscilação τ diminui, a resposta fica mais rápida.
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F igura 3 -20 : In f luênc ia do fa to r de amor tec imento ζ e do per íodo natura l de osc i lação
τ de um s is tema de 2 ª o rdem superamor tec i do a per tu rbação degrau .
Observação: Curva A – perturbação; Curva B - τ = 1.0 e ζ = 1.0; Curva C - τ = 1.5 e ζ = 1.0; Curva D - τ
= 1.0 e ζ = 1.5.
√ Perturbação Degrau e Sistema Criticamente Amortecido ζ = 1
Equação 3 -98
( ) ( )Οτ−
⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡
⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡
τ+−Κ= t-tet.tY t
p u...**
11A
Veja na Figura 3-20 a resposta do sistema de 2ª ordem criticamente amortecido a
perturbação degrau de amplitude A.
√ Perturbação Degrau e Sistema Superamortecido 0 < ζ < 1
Equação 3 -99
( ) ( )Ο−
⎪⎭
⎪⎬⎫
⎪⎩
⎪⎨⎧
⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢
⎣
⎡
⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡
−+
⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡−Κ= t-t
- 1
1
- 11 *
2
2
*2
p
*
usencos ttetY t
τζ
ζ
ζτζτA
Uma amostra mais conveniente de escrever a Equação 3-99 é:
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Equação 3 -100
( ) ( ) ( )Ο
−
⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡+
−−Κ= t-t.t...
111.. *
.
2P
*
usen θωζ
τζ t
etY A
Onde,
Equação 3 -101 τζ−
=ω21
e
Equação 3 -102 ⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢
⎣
⎡
ζζ
=θ2-1
arcig
Portanto, observamos que a resposta de um sistema de 2ª ordem subamortecido a
perturbação degrau é uma senoide de amplitude decrescente (devido ao termo exponencial
eζ.t/τ), de freqüência ω e ângulo de fase θ.
Na Figura 3-21, Pt τ versus ( ) PKAtY . observamos que a resposta desse sistema
perturbação degrau é uma curva oscilatória que gradativamente tende a atingir A.KP,
diminuindo a amplitude da oscilação.
Através da Figura 3-21 percebemos que a medida que o amortecimento diminui, isto é, ζ
diminui, a oscilação aumenta, porém a rapidez da resposta também (maior derivada da curva
no ponto de inflexão, e este acontece em um menor intervalo de tempo).
F igura 3 -21 : In f luênc ia do fa to r de amor tec imento ζ na resposta do s is tema de 2 ª
o rdem subamor tec ido , submet ido a per tu rbação de ampl i tude A.
Algumas características importantes devem ser observadas nos sistemas subamortecidos
submetidos a perturbação degrau:
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C1. Tempo de ascensão (Rise Time) tr: Tempo necessário para atingir pela primeira vez o
novo estado estacionário.
C2. Tempo do Primeiro Pico (Time to First Peak) tp: Tempo requerido para atingir o primeiro
máximo da curva.
C3. Tempo de resposta (Setting Time) ts: Tempo decorrido até que a saída oscilatória do
sistema esteja dentro da faixa de +/- 5% do estado estacionário. Também se utiliza o valor ±1%
para determinar o ts.
C4. Sobre-elevação (Overshoot) OS: Razão entre o valor da função no pico máximo e o
valor do novo estado estacionário:
Equação 3 -103 ⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡ Π=
Κ==
2P -1
.-exp.
0ζ
ζA
abaS
C5. Razão de Decaimento (Decay Ratio) DR: razão entre o valor do segundo pico e do
primeiro pico:
Equação 3 -104 ⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢
⎣
⎡
ζ
ζΠ===
2-1-exp
acSDR ..20 2
C6. Período de oscilação (Period of oscilation) T1: Período de tempo transcorrido entre dois
máximos:
Equação 3 -105 21
1
2
ζ−
τΠ=
..T
Lembre que em uma senoide a freqüência em ciclos por unidade de tempo ft é dada por:
Equação 3 -106 Πω
=.2tf
E que o período de oscilação é o inverso da freqüência:
Equação 3 -107 ωΠ
==Τ.21
tt f
Onde a freqüência angular ω é dada pela Equação 3-101.
C7. Período Natural de Oscilação (Natural Period of oscilation) τ: período do sistema
quando o amortecimento é nulo, isto é, ζ = 0:
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Equação 3 -108 nn
nf... Π
=ω
=Π
Τ=τ
211
2
Onde ωn é a freqüência natural de oscilação do sistema não amortecido ζ = 0.
Veja na Figura 3-22 a indicação das características discutidas anteriormente.
F igura 3 -22 : Carac ter í s t icas do s is tema de 2 ª o rdem subamor tec ido submet ido a
per tu rbação degrau de ampl i tude A.
Quando um sistema refere uma perturbação o desejável é ter uma resposta sem oscilações
que atinja rapidamente o novo estado estacionário. Porém, estes objetivos são excludentes
entre si, pois para garantir uma resposta não oscilatória ζ ≥ 1 temos que sacrificar a rapidez da
resposta; por outro lado, se desejarmos uma resposta muito rápida, não podemos escolher um
fator de amortecimento muito pequeno, pois a mesma seria muito oscilatória com uma sobre-
elevação grande.
Os projetistas de sistemas de controle, freqüentemente, trabalham com um fator de
amortecimento na faixa de 0.4 a 0.8, isto é, 0.4 ≥ ζ ≤ 0.8, desta forma, consegue-se um
compromisso entre velocidade de resposta, sobre-elevação, tempo de resposta e oscilação
adequado para a maioria dos casos.
3 . 3 . 2 . C o m p o r t a m e n t o d e u m S i s t e m a d e S e g u n d a O r d e m a P e r t u r b a ç ã o I m p u l s o
A função impulso pode ser descrita matematicamente da seguinte forma:
Equação 3 -109 ( ) ( )Ο−δ+= tt.XtX ss A
Ou em variável no domínio de Laplace:
Equação 3 -110 ( ) ssX .t-e. Ο= A
Substituindo a Equação 3-110 na Equação 3-91:
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Equação 3 -111 ( ) ( ) ( )
sP
pspssX .t-
21
2
e..
Ο
−−Κ
= .Aτ
Expandindo em frações parciais a Equação 3-111 e aplicando a Transformada Inversa de
Laplace, encontramos soluções diferentes a depender do valor do fator de amortecimento ζ.
√ Perturbação Impulso de Amplitude A e Sistema Superamortecido ζ > 1
Equação 3 -112
( ) ( )**2.
2P t1
.1
11..*
uenh⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡ −
−Κ=
−tsetY
t
τζ
ζττ
ζ
A
√ Perturbação Impulso e Sistema Criticamente amortecido ζ = 1:
Equação 3 -113 ( ) ( )*
2
*
P t....*
uτ
τ
t
ettY−
Κ=A
√ Perturbação Impulso e Sistema Subamortecido 0 < ζ < 1:
Equação 3 -114
( ) ( )*t
p tte.tY u..sen.... *. *
⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢
⎣
⎡
τζ−
ζ−τΚ= τ
ζ− 2
2
1
1
11A
Na Figura 3-23 vemos a resposta do sistema de 2ª ordem a perturbação impulso. Observe
que o sistema retorna ao antigo estado estacionário depois de decorrido algum tempo
(processo auto-regulado). As características observadas para a perturbação degrau também
são aplicáveis para perturbação impulso (tp, ts, OS, DR).
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F igura 3 -23 : Respostas dos s is temas de 2 ª o rdem a per tu rbação impu lso de
ampl i tude A.
3 . 3 . 3 . P r o c e s s o s M u l t i c a p a c i t i v o s c o m o S i s t e m a s d e S e g u n d a O r d e m
Processos de ordem superior podem ser o resultado da associação em série de processos
de primeira ordem. Por exemplo, dois tanques (cada tanque é um sistema de 1ª ordem) em
série constituem um sistema de 2ª ordem, que podem ser não-interativos ou interativos.
Outro exemplo de sistemas multiplicativos são:
Tanque de aquecimento com agitação no qual a vazão e temperatura da corrente de alimentação variam: o balanço de massa constitui um sistema de 1ª ordem, mas o balanço de energia é de 2ª ordem em relação a vazão e de 1ª ordem em relação a temperatura de alimentação; Torre de destilação, pois cada prato acumula massa e energia, constituindo,
segundo um modelo de parâmetros concentrados, cada um deles um tanque agitado; Reatores de mistura perfeita (CSTR) com variação na composição e temperatura
de alimentação: as duas equações diferenciais (balanço molar e de energia), constituem um sistema de equações diferenciais interativas.
Estudaremos neste item os tanques em série e o reator CSTR.
√ Tanques não interativos em série
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Sejam dois tanques conforme a Figura 3-24, a descarga do primeiro tanque alimenta o
segundo, na saída de cada um existe uma válvula que impõe ao escoamento uma resistência
R1 e R2.
q1(t)
Tanque 1 h1(t)
Tanque 2 h2(t)q3(t)
R2
q2(t)
R1
F igura 3 -24 : Do is tanques não- in te ra t i vos em sér ie .
Realizando o balanço de massa nos dois tanques, assumindo escoamento laminar,
obtemos:
1º tanque
Equação 3 -115 ( )[ ] ( ) ( )tqthth
dtd
PP 11111 .. Κ=+τ
2º tanque
Equação 3 -116 ( )[ ] ( ) ( )tqthth
dtd
PP 21222 .. Κ=+τ
Onde
Equação 3 -117 11111 ,. RRA PP =Κ=τ
Equação 3 -118 22222 ,. RRA PP =Κ=τ
e
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Equação 3 -119 ( ) ( )
1
12 R
thtq =
Substituindo a Equação 3-119 na Equação 3-116 e utilizando variáveis desvio, temos:
Equação 3 -120 ( )[ ] ( ) ( )tqthth
dtd
PP 11111 .. Κ=+τ
Equação 3 -121 ( )[ ] ( ) ( )
1
11222 ..
Rththth
dtd
PP Κ=+τ
Aplicando a Transformada de Laplace e escrevendo as funções de transferências:
Equação 3 -122
( ) ( )( ) 1.1
1
1
11 +
Κ==
ssqshsG
P
P
τ
Equação 3 -123
( ) ( )( ) 1.2
2
2
22 +
Κ==
ssqshsG
P
P
τ
Mas,
Equação 3 -124 ( ) ( )
1
12 R
shsq =
Então,
Equação 3 -125 ( ) ( )
( ) 1.1. 2
12
2
12
1
2*2 +
=+
==sKK
sRK
shshsG
P
PP
P
P
ττ
Podemos escrever a função da transferência global do sistema Gg(s), isto é, com a saída do
processo (h2(t)) varia com a perturbação inicial (q1(t)):
Equação 3 -126
( ) ( ) ( ) ( )( )
( )( )
( )( )sqsh
shsh
sqshsGsGsGg
1
2
1
2
1
1*21 .. ===
Equação 3 -127 ( )
)1.(.)1.()1.(.
)1.( 21
2
2
12
1
1
++Κ
=+ΚΚ
+Κ
=ssss
sGPP
P
P
PP
P
Pg ττττ
Ou
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Equação 3 -128
( ) ( )( ) 1...2. 221
2
++Κ
==sssq
shsG Pg ζττ
Onde,
KP = KP2 = R2 21 . PP τττ = e
( )21
21
.2 PP
PP
ττττ
ζ+
=
Portanto, da Equação 3-126 concluímos que dois tanques em série formam um sistema de
2ª ordem.
Algumas particularidades são pertinentes a sistemas de 1ª ordem em série não-interativa:
(a) Os sistemas são sempre criticamente amortecidos ζ = 1 (quando τP1 = τP2) ou
superamortecidos ζ ≥ 1 (quando τP1 ≠ τP2) pois:
Equação 3 -129
( ) ( ) 212121
21 ..21..2 PPPP
PP
PP ττττττττ
ζ ≥+⇒≥+
=
Elevando ambos os membros da Equação 3-129 ao quadrado:
Equação 3 -130 212
2212
1 ..4..2 PPPPPP ττττττ ≥++
Equação 3 -131 0..2 2221
21 ≥+− PPPP ττττ
Equação 3 -132 ( ) 0221 ≥− PP ττ
Conforme queríamos demonstrar:
(b) As conclusões do item (a) podem ser estendidas para n tanques em série.
(c) Devido ao fato do sistema ser não-interativo, podemos resolver primeiro a Equação
3-120, conhecer o comportamento do nível do 1º tanque (h1(t)) a perturbação (q1(t)) e então
utilizar este resultado para resolver a Equação 3-121, obtendo a variação de h2(t) com h1(t),
√ Tanques interativos em série Seja dois tanques conforme a Figura 3-25, a descarga do primeiro tanque alimenta o
segundo, na saída de cada um existe uma válvula que impões ao escoamento uma resistência
R1 e R2, porém ao contrário do sistema não interativo, o nível de segundo tanque influência no
nível do primeiro.
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q1(t)
Tanque 1 h1(t) Tanque 2 h2(t)q2(t)
R1
q3(t)
R2 F igura 3 -25 : Do is tanques in te ra t i vos em sér ie .
Realizando os balanços de massa nos dois tanques, assumindo escoamento laminar,
obtemos:
1º tanque
Equação 3 -133 [ ] )()()(. 2111 tqtqthdtdA −=
2º tanque
Equação 3 -134 [ ] )()()(. 3222 tqtqthdtdA −=
Mas,
Equação 3 -135 ( ) ( ) ( )
1
212 R
ththtq −=
E,
Equação 3 -136 ( ) ( )
2
23 R
thtq =
Substituindo a Equação 3-135 e Equação 3-136 na Equação 3-133 e Equação 3-134 e
rearranjando:
Equação 3 -137 ( )[ ] ( ) ( ) ( )thtqRthth
dtdRA 2111111 +=+ ...
Equação 3 -138
( )[ ] ( ) ( )thRRth
RRth
dtdRA 1
1
22
1
2222 1 .... =⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡++
Observe que a Equação 3-137 e a Equação 3-138 dependem ao mesmo tempo de h1(t) e
h2(t) portanto, temos que resolvê-las simultaneamente, utilizando variáveis desvio e aplicando a
Transformada de Laplace, obtemos:
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As funções de transferência cujos denominadores tem zeros finitos, a Equação 3- e a
Equação 3-175, originam sistemas denominados atraso-avanço, que serão estudados no item
3.4.
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3 . 4 . C o m p o r t a m e n t o D i n â m i c o d e P r o c e s s o s T i p o A t r a s o - A v a n ç o
Seja o seguinte sistema:
Equação 3 -178
( ) ( ) ( ) ( )⎥⎦⎤
⎢⎣⎡ +τ=+τ αι tX
dttdXKtY
dttdY ...
A função de transferência associada a Equação 3-178 é:
Equação 3 -179 ( ) ( )
( )1.1.
.++
=ss
KsGι
α
ττ
A resposta deste sistema à perturbação degrau de amplitude A é:
Equação 3 -180
( ) ( )( ) ⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡+
−+=
++
=1.
1.1..
1..
ssK
sss
KsYι
ια
ι
α
τττ
ττ
.A .A
Equação 3 -181
( ) ( )t11 u⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡−−= − ι
ι
α
ττ tteKtY .A
A Figura 3-28 mostra a resposta deste sistema para τℓ e diferentes valores de τα:
Equação 3 -182 αι τ<τ<0
Equação 3 -183 ια τ<τ<0
Equação 3 -184 ια τ<<τ 0
A Figura 3-29 mostra a localização do pólo e do zero do sistema s = -1/τα, para cada caso.
Se τℓ = τα, a função de transferência simplifica-se para K como o resultado do cancelamento do
numerador e do denominador, isto é, ocorre o cancelamento pólo-zero.
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F igura 3 -28 : Resposta do s is tema (Equação 3 -179 ) .
F igura 3 -29 : D iagrama pó lo -zero para o s is tema (Equação 3 -179 ) – X : loca l i zação do
pó lo , □ : loca l i zação do zero .
Seja um sistema de 2ª ordem superamortecido com um zero diferente de infinito,
representado pela função de transferência da Equação 3-185:
Equação 3 -185 ( ) ( )
( ) )1(11
.21 ++
+=
sss
KsGττ
τα
Este sistema sofre uma perturbação degrau de amplitude A, então a resposta no domínio do
tempo será para τ1 ≠ τ2:
Equação 3 -186
( ) ⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡−
−+
−
−+= −− 11
12
2
21
11. τατα
ττττ
ττττ tt eeKtY A
Após algumas análises matemáticas da Equação 3-186, concluímos que três tipos de
respostas podem acontecer:
Equação 3 -187 (a ) 1τ<τα
Equação 3 -188 (b ) 10 τ≤τ< α
Equação 3 -189 (c ) 0<τα
Na Figura 3-30 vemos a representação dessas possibilidades.
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F igura 3 -30 : Resposta ao degrau de um s is tema superamor tec ido com um zero .
No caso (a) ocorre a sobreelevação pois o avanço (lead) provoca uma rápida reação do
sistema. No caso (b), o sistema reage como sendo de 2ª ordem superamortecido. Porém, no
caso (c) acontece uma resposta inusitada: inicialmente o sistema reage no sentido inverso ao
da perturbação, após decorrido um certo intervalo de tempo a resposta toma o sentido da força
motriz. Este tipo de resposta denomina-se resposta inversa (inverse response) e pode ser
encontrado em alguns processos químicos, como por exemplo:
O nível de uma caldeira pode diminuir quando ocorre um aumento repentino na vazão de água, pois a maior quantidade de água numa temperatura inferior a temperatura do vapor que está sendo formado provoca a implosão das bolhas de vapor, diminuindo o nível aparente monitorado pelo elemento de medição, mas após algum tempo o sistema reage no sentido de aumentar o nível, pois a brusca perturbação inicial diminui de intensidade; Em um reator tubular, no qual acontece uma reação exotérmica, o aumento súbito
da temperatura da alimentação pode provocar uma diminuição da temperatura na saída do reator, pois maiores temperaturas na entrada do reator significa maiores taxas de reação e maiores conversões, conseqüentemente, decremento da quantidade de reagente nas seções posteriores do reator e diminuição das taxas de reação e menor temperatura na saída do mesmo (existe resfriamento do reator), mas decorrido algum tempo o sistema responde da maneira esperada, isto é, maiores temperaturas na entrada provocam maiores temperaturas na saída.
Na verdade, a resposta inversa ou a sobreelevação acontecem devido a diferença da
dinâmica dos vários fenômenos físicos envolvido em um processo.
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3 . 5 . C o m p o r t a m e n t o D i n â m i c o d e P r o c e s s o s c o m T e m p o M o r t o
Quando material ou energia é transferido em uma planta industrial existe um tempo morto
associado a este movimento. Por exemplo, em uma tubulação, conforme Figura 3-31, por onde
é transportado um fluido em escoamento pistão (plug flow) o tempo transcorrido entre o ponto
inicial (1) e o final (2) é τm:
Equação 3 -190 avolumétricvazãotubulaçãodavolume
fluidodovelocidadetubulaçãodaocompriment
m ==τ
D
L
V1(t)
q1(t)
1 2
V2(t)
q2(t)
Figura 3 -31 : T ranspor te de f lu ido por uma tubu lação em escoamento p is tão .
Para estabelecer o modelo matemático deste processo temos que assumir que o fluido seja
incompreensível, garantindo que a velocidade do mesmo não varie na direção axial, o
escoamento pistão.
Então:
Equação 3 -191 ( ) ( ) ( ) ( ) ( )tq
Vtq
VtqLD
tVLtm
211
2
1
4==
Π==τ
..
Portanto, se a temperatura ou composição variam no ponto (1) este sinal demorará τm para
ser percebido no ponto (2), ou seja:
Equação 3 -192
( ) ( )⎩⎨⎧
≥−<
=mm
m
ttxt
tYτττ
,0
Ou
Equação 3 -193 ( ) ( ) ( )mm ttXtY τ−τ−= u.
A saída dos sistema Y(t) é o mesmo sinal de entrada X(t) defasado (atrasado) por um
intervalo de tempo igual a τm.
A função de transferência deste sistema é:
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Equação 3 -194 ( ) ( )
( )sme
sXsYsG τ−==
Podemos combinar funções de transferência no intuito de melhor representar a dinâmica de
um processo. Por exemplo, um sistema de 1ª ordem mais tempo morto tem a seguinte função
de transferência:
Equação 3 -195
( ) ( )( )
s
p
p messX
sYsG ..1.
τ
τ−
+
Κ==
A presença do tempo morto é um elemento dinâmico que dificulta o controle de processos,
pois as informações do estado do sistema ficam defasadas, provocando as reações do estado
do sistema de controle a uma situação ocorrida a τm atrás.
Podemos aproximar o tempo morto por uma razão de dois polinômios. Uma expansão
adequada é a aproximação de Padé:
Aproximação de Padé de 1ª ordem:
Equação 3 -196 s
se
m
m
sm
21
21
,
τ
ττ
+
−≈−
Aproximação de Padé de 2ª ordem:
Equação 3 -197 1221
1221
22
22
,
ss
ss
emm
mm
sm
ττ
τττ
++
+−≈−
Estas aproximações são mais precisas quanto maior a diferença entre o tempo morto τm e a
constante de tempo do processo τP, isto é, τm << τP, como na maioria das vezes isto acontece,
podemos utilizar a aproximação de Padé.
A Figura 3-32a ilustra a resposta da aproximação de 1ª ordem e de 2ª ordem a entrada
degrau. Verificamos que a aproximação de ordem maior é mais precisa. A Figura 3-32b, mostra
que a aproximação de Padé é satisfatória para um sistema de 2ª ordem mais tempo morto,
submetido a perturbação degrau pois quando τm =0.25τP.
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F igura 3 -32 : (a ) Resposta ao degrau das aprox imações de Padé de 1 ª e 2 ª o rdem de
um tempo mor to puro . (b ) Resposta ao degrau de um s is tema de 1 ª o rdem com tempo
mor to (τm = 0 .25τ P ) u t i l i zando aprox imações de Padé de 1 ª e 2 ª o rdem para sme τ−
.
√ Exemplo: Reator com reciclo O reator de leito gotejante mostrado na Figura 3-33 utiliza o reciclo para obter uma operação
satisfatória. O uso de um reciclo muito intenso elimina a necessidade de agitação mecânica. A
concentração do reagente é medida no ponto onde a corrente deixa o sistema reacional. A
reação é de 1ª ordem. Sob condições normais de operação as seguintes hipóteses podem ser
assumidas:
H.01. O reator opera isotermicamente;
H.02. As vazões de alimentação q e de reciclo α.q são constantes;
H.03. Não ocorre reação na tubulação e a dinâmica envolvida nos tubos pode ser
aproximada por atrasos devido apenas ao tempo morto τm1 e τm2, conforme indicado na Figura
3-33;
H.04. Devido a grande taxa de reciclo a mistura do reator é completa.
Pede-se:
(a) A função de transferência ( ) ( )sCsC i/1 ;
(b) Utilizando as informações a seguir, calcule ( )tC1 para a mudança em ( )tCi de
2,000Kg/m3.
V = 5.0 m3 α = 12
q = 0.005 m3/min τm1 = 0.9 min
ℜ = 0.004 min-1 τm2 = 1.1 min
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F igura 3 -33 : Reator go te jan te com rec ic lo .
Solução:
(a) Realizando o balanço molar para o reagente A em torno do reator (volume de controle
indicado pela superfície pontilhada).
Equação 3 -198
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )tCVtCqtCqtCqdt
tdCV i ........ ℜ−α+−α+= 12
Onde a concentração da espécie é denotada por C(t) omitindo o subscrito A por
conveniência. A Equação 3-198 é linear com coeficientes constantes, subtraindo do seu valor
no estado estacionário e substituindo as variáveis desvio, obtemos:
Equação 3 -199
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )tCVtCqtCqtCqdt
tCdV i ........ ℜ−α+−α+= 12
Relações adicionais são necessárias para conhecermos ( )tCi e ( )tC . Estas podem ser
obtidas da hipótese H03 que determina que a dinâmica das tubulações é determinada apenas
CAPÍTULO 4. IDENTIFICAÇÃO DA DINÂMICA DE PROCESSOS 4-3
4.1. CURVA DE RESPOSTA DE SISTEMA DE 1ª ORDEM A PERTURBAÇÃO DEGRAU 4-3 4.2. CURVA DE RESPOSTA DE SISTEMA DE 2ª ORDEM A PERTURBAÇÃO DEGRAU 4-6 4.3. REGRESSÃO LINEAR 4-10 4.4. SISTEMAS DE ORDEM SUPERIORES 4-16 4.5. OBSERVAÇÕES E CONCLUSÕES SOBRE IDENTIFICAÇÃO DE PROCESSOS 4-17 4.6. EXERCÍCIOS 4-19
Í N D I C E D E T A B E L A S Tabela 4-1: Dados para Identificação de Processos. 4-15
Í N D I C E D E F I G U R A S Figura 4-1: Resposta de um sistema de 1ª ordem a perturbação degrau. Curva A entrada X(t) e curva B
resposta do sistema Y(t). 4-4 Figura 4-2: POMTM ajuste pelo Método 1. 4-5 Figura 4-3: POMTM ajuste pelo Método 2. 4-5 Figura 4-4: POMTM ajuste pelo Método 3. 4-6 Figura 4-5: Resposta de um sistema de 2ª ordem a perturbação degrau: Curva A - entrada X(t); Curva B -
resposta Y(t) de um sistema super-amortecido; Curva C - resposta Y(t) de um sistema sub-amortecido.
4-7 Figura 4-6: Resposta de vários SOMTM a perturbação degrau. 4-8
Figura 4-7: Gráfico do Método de Harriot para ( ) 5.021 =+ττt . 4-8
Figura 4-8: Gráfico do Método de Smith, relação entre τ, ζ, t20 e t60. 4-10 Figura 4-9: Função contínua. 4-11 Figura 4-10: Aproximação de um sistema de 5ª ordem por uma função de transferência de 1ª ordem mais
tempo morto. 4-16 Figura 4-11: Etapas para identificação de processo. 4-18 Figura 4-12: Gráfico do exercício (1). 4-19
Figura 4-13: Fornalha. 4-20 Figura 4-14: Curva de reação da fornalha para uma perturbação na saída do controlador. 4-21 Figura 4-15: Curva de reação para uma perturbação na saída do controlador. 4-22 Figura 4-16: Curva de reação para uma perturbação na umidade da alimentação 4-22 Figura 4-17: Secador de grãos. 4-23 Figura 4-18: Curva de reação para uma perturbação na vazão da corrente de alimentação. 4-23
Dos estudos anteriores sabemos que quando um SOMTM esta submetido a uma
perturbação degrau de amplitude A [X(t) = Xss + A.u(t)] a resposta do mesmo é dada pela
Figura 4-5.
F igura 4 -5 : Resposta de um s is tema de 2 ª o rdem a per tu rbação degrau : Cur va A - en t rada X ( t ) ; Curva B - resposta Y ( t ) de um s is tema super -amor tec ido; Curva C -
resposta Y ( t ) de um s is tema sub -amor tec ido .
Descrevemos dois métodos de identificação de SOMTM:
(a) Método de Harriott, válido para sistema super-amortecidos;
(b) Método de Smith, válido para sistema super ou sub-amortecidos.
Nesses dois procedimentos o tempo morto τm deve ser identificado visualmente através do
gráfico da curva de resposta.
4 . 2 . 1 . M é t o d o d e H a r r i o t
Este método está baseado na seguinte função de transferência:
Encontram-se instalados os seguintes instrumentos:
(a) Uma válvula de controle, cuja vazão de descarga varia de 0 a 6.81 kg-mols/min de
reagente à medida que a pressão no diagrama varia de 1.02 a 0.20 atm. A válvula tem
constante de tempo de 20 segundos.
(b) Um dispositivo de medida de concentração, cuja saída elétrica varia de 0.15 a 2.0 mV, à
medida em que a fração molar do produto varia de 0.5 a 0.8 na corrente de saída, levando 12
min para processar cada amostra.
(c) Um transmissor que modifica sua saída de 4 a 20 mA à medida em que a entrada
elétrica varia de 0.05 a 3 mV.
(d) Um conversor que modifica sua saída de 0,2 a 1,2 (atm) à medida que a entrada varia de
4 a 20 mA.
Utilizando os instrumentos supracitados, desenvolva o fluxograma de controle deste
processo e identifique as funções de transferência entre o sinal pneumático da válvula de
controle de reagente (entrada) e a fração molar dos produtos na saída do reator (saída).
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Í N D I C E
CAPÍTULO 5. INSTRUMENTAÇÃO E VÁLVULAS DE CONTROLE 5-2
5.1. SELEÇÃO DE UM MEDIDOR DE VAZÃO 5-4 5.2. AUTOMAÇÃO INDUSTRIAL 5-8
Í N D I C E D E T A B E L A S Tabela 5-1: Guia de seleção de medidores de vazão. 5-2 Tabela 5-2: Etapas evolutivas dos sistemas de controle industriais. 5-7
Í N D I C E D E F I G U R A S Figura 5-1: Evolução dos Sistemas de Controle – Etapa I 5-5 Figura 5-2: Evolução dos Sistemas de Controle – Etapa II. 5-5 Figura 5-3: Evolução dos Sistemas de Controle – Etapa III. 5-5 Figura 5-4: Evolução dos Sistemas de Controle – Etapa IV. 5-6 Figura 5-5: Evolução dos Sistemas de Controle – Etapa V. 5-6 Figura 5-6: Evolução dos Sistemas de Controle – Etapa VI. 5-6 Figura 5-7: Evolução dos Sistemas de Controle – Etapa VII. 5-7
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C A P Í T U L O 5 . I N S T R U M E N T A Ç Ã O E V Á L V U L A S D E C O N T R O L E
A instrumentação industrial e um tema que por si só requer profissionais altamente
qualificados e especializados, principalmente para instrumentação analítica. Ao lado da teoria é
necessário um elevado conhecimento das normas utilizadas para dimensionar, aferir, calibrar,
montar e instalar os instrumentos.
O tema instrumentação industrial justifica um curso de graduação de 75 horas, no qual seria
abordado desde o projeto (dimensionamento) do instrumento até o conhecimento da
documentação necessária para compra e instalação do elemento primário de medição. Uma
boa referência sobre a documentação envolvida em projetos de sistemas de controle é a
monografia elaborada por Caiuby Alves da Costa: O Projeto de Controle e Instrumentação para
Processos Industriais.
A experiência e conhecimento prático também são fatores chaves para a formação de um
engenheiro de instrumentação com elevada qualificação técnica.
Embora formalmente não exista o curso de engenheiro de instrumentação, pode-se definir
claramente esta categoria entre as várias modalidades de engenharias. Nesta área atuam
engenheiros (de todas as formações), físicos, químicos, matemáticos, etc.
As referências citadas no início desta publicação cita as principais fontes de consulta para o
projeto, dimensionamento, instalação, calibração e aferição de instrumentos.
Medidores de canal aberto - A expressão "canal aberto" refere-se a qualquer elemento
condutor no qual o líquido flui com superfície areada. Dentro dos métodos mais comuns para
obter-se a vazão encontra-se o de profundidade. Existem diferentes desenhos de canais. O
método mais moderno de medição de altura é o ultra-sônico.
Na Tabela 5-1 estão as principais características dos instrumentos de medição de vazão:
Tabe la 5 -1 : Gu ia de se leção de med idores de vazão .
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Elementos de
Medição
Serviço recomendado
Rangea-bilidade
Perda de carga
Incerteza normal %
Trecho reto recomendado
Efeito de viscosidade
Orifício Fluidos limpos e com sol; alguns efluentes, vapor
4:1 Média + 2a +4F.E. 10 e 30 D Alto
Wedge Efluentes e fluidos viscosos 3:1 Baixa e
Média + 0.5a
+ 2F.E. 10 e 30 D Baixa
Tubo Ventum
Fluidos limpos com sólidos e viscosos e
alguns efluentes 4:1 Baixa + 1FE 5 e 20 D Alta
Bocal de fluxo
Fluidos limpos e com sólidos 4:1 Média
+ 1a + 2F.E.
10 e 30 D Alta
Tubo Pitor Líquidos limpos 3:1 Muito baixa
+ 3a +5F.E.
20 e 30 D Baixa
Elbow Meter
Líquidos limpos com sólidos e alguns
efluentes. 3:1 Muito
baixa + 5a
+ 10F.E. 30 D Baixa
Target Líquido limpos com sólidos viscosos e alguns efluentes
10:1 Média + 1a +5F.E. 10 e 30 D Média
Área variável
Líquidos limpos com sólidos viscosos 10:1 Média + 1a
+10F.E. Nenhum Média
Desloca-mento
Positivo
Líquidos limpos e viscosos 10:1 Alta + 0.5 de
vazão Nenhum Alto
Turbinas Fluidos limpos e viscosos 20:1 Média
+ 0.5%F.E.
para líquido +
1.0% F.E. para gases
5 e 10 D Alto
Nortex Fluidos limpos e viscosos 10:1 Média + 1 de
vazão 10 e 20 D Médio
Eletro-magnético
Líquidos condutivos limpos com sólidos
e efluentes ind. 30:1 Nenhum + 1.0 5 D Nenhum
Ultra-sônico
(doppler)
Líquido com sólidos viscosos e efluentes 10:1 Nenhum + 5F.E. 5 e 30 D Nenhum
Ultra-sônico
(tempo de viagem)
Líquidos limpos e viscosos 20:1 Nenhum + 1a
+5F.E. 5 e 30 D Nenhum
Mássico (Coriolis)
Limpos, com sólidos viscosos, alguns
efluentes 10:1 Baixa + 0.4 de
vazão Nenhum Nenhum
Mássico Limpos, com sólidos 10:1 Baixa + 1F.E. Nenhum Nenhum
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Elementos de
Medição
Serviço recomendado
Rangea-bilidade
Perda de carga
Incerteza normal %
Trecho reto recomendado
Efeito de viscosidade
(térmico) viscosos, alguns efluentes
Weir (V-Notch)
Líquidos limpos e com sólidos 100:1 Muito
baixa + 2a
+5F.E. Nenhum Muito Baixo
Calha (Parshall)
Líquidos limpos e com sólidos 50:1 Muito
baixa + 2a
+10F.E. Nenhum Muito Baixo
Nota: Os valores da incerteza indicados são médios, podendo haver variações em função de
fabricantes e/ou inovações tecnológicas.
5 . 1 . S e l e ç ã o d e u m M e d i d o r d e V a z ã o
O primeiro e mais importante passo é saber exatamente o que o instrumento deverá fazer.
Por exemplo: se a medição é para controle de processo ou para compra e venda. Que tipo de
sinal é requerido (proporcional ou fechamento de contato), ou apenas leitura local. Se o
produto a ser medido é viscoso, limpo ou sujo, eletricamente condutivo etc.
Levantados os dados, devemos avaliar os seguintes pontos, contra as características de
performance de cada tipo de medidor para selecionarmos a melhor opção:
a) Checar os tipos que têm condições de suportar as condições de operação: pressão, temperatura, corrosão, classificação da área. b) Verificar quais atendem aos requisitos de exatidão nas condições de processo. c) Verificar o (custo de aquisição + instalação) versus orçamento. d) Avaliar os requisitos de faturas manutenções: freqüência, custos, durabilidade, recalibrações. e) Perda de carga causada pelo medidor e nível de pulsação ou turbulência que possa causar. f) Adaptabilidade para futuras necessidades e facilidade de interfaceamento com o equipamento existente.
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PLANTA OPERADORSINALANALÓGICO
CAMPO
F igura 5 -1 : E vo lução dos S is temas de Cont ro le – E tapa I
CONTROLADORANALÓGICO 2
PLANTA SINALPNEUMATICO
CAMPO
CONTROLADORANALÓGICO 1
F igura 5 -2 : E vo lução dos S is temas de Cont ro le – E tapa I I .
CONTROLADORANALÓGICO 2
PLANTA SINALPNEUMATICO
CAMPO
CONTROLADORANALÓGICO 1
SALA DECONTROLE
F igura 5 -3 : Evo lução dos S is temas de Cont ro le – E tapa I I I .
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CONTROLADORANALÓGICO 2
PLANTA SINALELETRICO
CAMPO
CONTROLADORANALÓGICO 1
SALA DECONTROLE
CONVERSOR
I\P
F igura 5 -4 : E vo lução dos S is temas de Cont ro le – E tapa IV .
PLANTA SINALELETRICO
CAMPO
COMPUTADORCENTRAL
(DDC)
SALA DECONTROLE
CONVERSOR
I\P
CONVERSOR
I/D
F igura 5 -5 : E vo lução dos S is temas de Cont ro le – E tapa V .
PLANTASINAL
ELETRICO
CAMPOSALA DE
CONTROLE
CONVERSOR
I\P
CONVERSOR
I\D
CONTROLADORDIGITAL 2
CONTROLADORDIGITAL 1
F igura 5 -6 : E vo lução dos S is temas de Cont ro le – E tapa V I .
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PLANTA
CAMPO SALA DECONTROLE
MULTIPLEXADOR
Controladordigital 1
ESTAÇÃO DEOPERAÇÃO E/OUCOMPUTADOR DE
PROCESSOControlador
digital 2
REDEFIELDBUS
F igura 5 -7 : E vo lução dos S is temas de Cont ro le – E tapa V I I .
Tabe la 5 -2 : E tapas e vo lu t i vas dos s is temas de cont ro le indust r ia is .
Etapa Controle Funções
geograficamente
Controladores geograficame
nte Tipo de sinal Observação
I Manual Distribuídas Não existiam Analógico-pneumático
Indicadores locais
II Automático Distribuídas Distribuídos Analógico-pneumático
Controladores de campo
III Automático Distribuídas Concentrados Analógico-pneumático
Sala de controle
IV Automático Distribuídas Concentrados Analógico – elétrico
Sala de controle
V Automático Concentradas ConcentradosAnalógico-
digital-analógico
DDC (controle digital direto)
VI Automático Distribuídas ConcentradosAnalógico-
digital-analógico
SDCD sem field bus
VII Automático Distribuídas Distribuídos Basicamente-digital
SDCD com field bus
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5 . 2 . A u t o m a ç ã o I n d u s t r i a l
Multidisciplinar:
(1) Engenharia de processos (engenheiro químico, mecânico, eletricista, sanitarista, de minas, etc.)
(2) Controle de processos (3) Engenharia de software * (4) Simulação e otimização de processos (5) Engenharia de “hardware” * (6) Instrumentação industrial (7) Inteligência artificial * (8) Informática * (9) Redes industriais *
* Intervenção dos profissionais de processamento de dados.
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Í N D I C E
CAPÍTULO 5. INSTRUMENTAÇÃO E VÁLVULAS DE CONTROLE 5-2
5.1. SELEÇÃO DE UM MEDIDOR DE VAZÃO 5-4 5.2. AUTOMAÇÃO INDUSTRIAL 5-8
Í N D I C E D E T A B E L A S Tabela 5-1: Guia de seleção de medidores de vazão. 5-2 Tabela 5-2: Etapas evolutivas dos sistemas de controle industriais. 5-7
Í N D I C E D E F I G U R A S Figura 5-1: Evolução dos Sistemas de Controle – Etapa I 5-5 Figura 5-2: Evolução dos Sistemas de Controle – Etapa II. 5-5 Figura 5-3: Evolução dos Sistemas de Controle – Etapa III. 5-5 Figura 5-4: Evolução dos Sistemas de Controle – Etapa IV. 5-6 Figura 5-5: Evolução dos Sistemas de Controle – Etapa V. 5-6 Figura 5-6: Evolução dos Sistemas de Controle – Etapa VI. 5-6 Figura 5-7: Evolução dos Sistemas de Controle – Etapa VII. 5-7
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C A P Í T U L O 5 . I N S T R U M E N T A Ç Ã O E V Á L V U L A S D E C O N T R O L E
A instrumentação industrial e um tema que por si só requer profissionais altamente
qualificados e especializados, principalmente para instrumentação analítica. Ao lado da teoria é
necessário um elevado conhecimento das normas utilizadas para dimensionar, aferir, calibrar,
montar e instalar os instrumentos.
O tema instrumentação industrial justifica um curso de graduação de 75 horas, no qual seria
abordado desde o projeto (dimensionamento) do instrumento até o conhecimento da
documentação necessária para compra e instalação do elemento primário de medição. Uma
boa referência sobre a documentação envolvida em projetos de sistemas de controle é a
monografia elaborada por Caiuby Alves da Costa: O Projeto de Controle e Instrumentação para
Processos Industriais.
A experiência e conhecimento prático também são fatores chaves para a formação de um
engenheiro de instrumentação com elevada qualificação técnica.
Embora formalmente não exista o curso de engenheiro de instrumentação, pode-se definir
claramente esta categoria entre as várias modalidades de engenharias. Nesta área atuam
engenheiros (de todas as formações), físicos, químicos, matemáticos, etc.
As referências citadas no início desta publicação cita as principais fontes de consulta para o
projeto, dimensionamento, instalação, calibração e aferição de instrumentos.
Medidores de canal aberto - A expressão "canal aberto" refere-se a qualquer elemento
condutor no qual o líquido flui com superfície areada. Dentro dos métodos mais comuns para
obter-se a vazão encontra-se o de profundidade. Existem diferentes desenhos de canais. O
método mais moderno de medição de altura é o ultra-sônico.
Na Tabela 5-1 estão as principais características dos instrumentos de medição de vazão:
Tabe la 5 -1 : Gu ia de se leção de med idores de vazão .
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Elementos de
Medição
Serviço recomendado
Rangea-bilidade
Perda de carga
Incerteza normal %
Trecho reto recomendado
Efeito de viscosidade
Orifício Fluidos limpos e com sol; alguns efluentes, vapor
4:1 Média + 2a +4F.E. 10 e 30 D Alto
Wedge Efluentes e fluidos viscosos 3:1 Baixa e
Média + 0.5a
+ 2F.E. 10 e 30 D Baixa
Tubo Ventum
Fluidos limpos com sólidos e viscosos e
alguns efluentes 4:1 Baixa + 1FE 5 e 20 D Alta
Bocal de fluxo
Fluidos limpos e com sólidos 4:1 Média
+ 1a + 2F.E.
10 e 30 D Alta
Tubo Pitor Líquidos limpos 3:1 Muito baixa
+ 3a +5F.E.
20 e 30 D Baixa
Elbow Meter
Líquidos limpos com sólidos e alguns
efluentes. 3:1 Muito
baixa + 5a
+ 10F.E. 30 D Baixa
Target Líquido limpos com sólidos viscosos e alguns efluentes
10:1 Média + 1a +5F.E. 10 e 30 D Média
Área variável
Líquidos limpos com sólidos viscosos 10:1 Média + 1a
+10F.E. Nenhum Média
Desloca-mento
Positivo
Líquidos limpos e viscosos 10:1 Alta + 0.5 de
vazão Nenhum Alto
Turbinas Fluidos limpos e viscosos 20:1 Média
+ 0.5%F.E.
para líquido +
1.0% F.E. para gases
5 e 10 D Alto
Nortex Fluidos limpos e viscosos 10:1 Média + 1 de
vazão 10 e 20 D Médio
Eletro-magnético
Líquidos condutivos limpos com sólidos
e efluentes ind. 30:1 Nenhum + 1.0 5 D Nenhum
Ultra-sônico
(doppler)
Líquido com sólidos viscosos e efluentes 10:1 Nenhum + 5F.E. 5 e 30 D Nenhum
Ultra-sônico
(tempo de viagem)
Líquidos limpos e viscosos 20:1 Nenhum + 1a
+5F.E. 5 e 30 D Nenhum
Mássico (Coriolis)
Limpos, com sólidos viscosos, alguns
efluentes 10:1 Baixa + 0.4 de
vazão Nenhum Nenhum
Mássico Limpos, com sólidos 10:1 Baixa + 1F.E. Nenhum Nenhum
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Elementos de
Medição
Serviço recomendado
Rangea-bilidade
Perda de carga
Incerteza normal %
Trecho reto recomendado
Efeito de viscosidade
(térmico) viscosos, alguns efluentes
Weir (V-Notch)
Líquidos limpos e com sólidos 100:1 Muito
baixa + 2a
+5F.E. Nenhum Muito Baixo
Calha (Parshall)
Líquidos limpos e com sólidos 50:1 Muito
baixa + 2a
+10F.E. Nenhum Muito Baixo
Nota: Os valores da incerteza indicados são médios, podendo haver variações em função de
fabricantes e/ou inovações tecnológicas.
5 . 1 . S e l e ç ã o d e u m M e d i d o r d e V a z ã o
O primeiro e mais importante passo é saber exatamente o que o instrumento deverá fazer.
Por exemplo: se a medição é para controle de processo ou para compra e venda. Que tipo de
sinal é requerido (proporcional ou fechamento de contato), ou apenas leitura local. Se o
produto a ser medido é viscoso, limpo ou sujo, eletricamente condutivo etc.
Levantados os dados, devemos avaliar os seguintes pontos, contra as características de
performance de cada tipo de medidor para selecionarmos a melhor opção:
a) Checar os tipos que têm condições de suportar as condições de operação: pressão, temperatura, corrosão, classificação da área. b) Verificar quais atendem aos requisitos de exatidão nas condições de processo. c) Verificar o (custo de aquisição + instalação) versus orçamento. d) Avaliar os requisitos de faturas manutenções: freqüência, custos, durabilidade, recalibrações. e) Perda de carga causada pelo medidor e nível de pulsação ou turbulência que possa causar. f) Adaptabilidade para futuras necessidades e facilidade de interfaceamento com o equipamento existente.
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PLANTA OPERADORSINALANALÓGICO
CAMPO
F igura 5 -1 : E vo lução dos S is temas de Cont ro le – E tapa I
CONTROLADORANALÓGICO 2
PLANTA SINALPNEUMATICO
CAMPO
CONTROLADORANALÓGICO 1
F igura 5 -2 : E vo lução dos S is temas de Cont ro le – E tapa I I .
CONTROLADORANALÓGICO 2
PLANTA SINALPNEUMATICO
CAMPO
CONTROLADORANALÓGICO 1
SALA DECONTROLE
F igura 5 -3 : Evo lução dos S is temas de Cont ro le – E tapa I I I .
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CONTROLADORANALÓGICO 2
PLANTA SINALELETRICO
CAMPO
CONTROLADORANALÓGICO 1
SALA DECONTROLE
CONVERSOR
I\P
F igura 5 -4 : E vo lução dos S is temas de Cont ro le – E tapa IV .
PLANTA SINALELETRICO
CAMPO
COMPUTADORCENTRAL
(DDC)
SALA DECONTROLE
CONVERSOR
I\P
CONVERSOR
I/D
F igura 5 -5 : E vo lução dos S is temas de Cont ro le – E tapa V .
PLANTASINAL
ELETRICO
CAMPOSALA DE
CONTROLE
CONVERSOR
I\P
CONVERSOR
I\D
CONTROLADORDIGITAL 2
CONTROLADORDIGITAL 1
F igura 5 -6 : E vo lução dos S is temas de Cont ro le – E tapa V I .
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PLANTA
CAMPO SALA DECONTROLE
MULTIPLEXADOR
Controladordigital 1
ESTAÇÃO DEOPERAÇÃO E/OUCOMPUTADOR DE
PROCESSOControlador
digital 2
REDEFIELDBUS
F igura 5 -7 : E vo lução dos S is temas de Cont ro le – E tapa V I I .
Tabe la 5 -2 : E tapas e vo lu t i vas dos s is temas de cont ro le indust r ia is .
Etapa Controle Funções
geograficamente
Controladores geograficame
nte Tipo de sinal Observação
I Manual Distribuídas Não existiam Analógico-pneumático
Indicadores locais
II Automático Distribuídas Distribuídos Analógico-pneumático
Controladores de campo
III Automático Distribuídas Concentrados Analógico-pneumático
Sala de controle
IV Automático Distribuídas Concentrados Analógico – elétrico
Sala de controle
V Automático Concentradas ConcentradosAnalógico-
digital-analógico
DDC (controle digital direto)
VI Automático Distribuídas ConcentradosAnalógico-
digital-analógico
SDCD sem field bus
VII Automático Distribuídas Distribuídos Basicamente-digital
SDCD com field bus
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5 . 2 . A u t o m a ç ã o I n d u s t r i a l
Multidisciplinar:
(1) Engenharia de processos (engenheiro químico, mecânico, eletricista, sanitarista, de minas, etc.)
(2) Controle de processos (3) Engenharia de software * (4) Simulação e otimização de processos (5) Engenharia de “hardware” * (6) Instrumentação industrial (7) Inteligência artificial * (8) Informática * (9) Redes industriais *
* Intervenção dos profissionais de processamento de dados.
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Í N D I C E
CAPÍTULO 6. SISTEMAS LINEARES EM MALHAS FECHADAS 6-6
6.1. DEFINIÇÕES 6-7
6.2. EXEMPLO DE UM SISTEMA DE CONTROLE: TANQUE DE AQUECIMENTO 6-9
6.3. TERMINOLOGIA 6-9
6.4. DIAGRAMA DE BLOCOS 6-10
6.5. FUNÇÃO DE TRANSFERÊNCIA EM MALHA FECHADA 6-17
6.6. ÁLGEBRA DE DIAGRAMA LINEAR DE BLOCOS 6-19
6.7. FUNÇÃO DE TRANSFERÊNCIA DE VÁLVULAS DE CONTROLE 6-21
6.8. FUNÇÃO DE TRANSFERÊNCIA DE CONTROLADORES IDEAIS 6-22
6.9. FUNÇÃO DE TRANSFERÊNCIA DE CONTROLADORES INDUSTRIAIS 6-24
6.10. COMPORTAMENTO DINÂMICO DE PROCESSOS COM SISTEMA CONTROLE FEEDBACK 6-31
6.11. AÇÃO DIRETA E AÇÃO REVERSA DO CONTROLADOR 6-42
6.12. PROJETO DE SISTEMAS DE CONTROLE FEEDBACK 6-46
6.13. MÉTODO DE SINTONIA RECOMENDADO: MÉTODO IMC OU MÉTODO Λ 6-57
6.14. EXERCÍCIOS 6-60
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Í N D I C E D E T A B E L A S Tabela 6-1: Operações com diagramas de bloco. 6-20
Tabela 6-2: Ação Direta do Controlador. 6-42
Tabela 6-3: Ação Reversa do Controlador. 6-43
Tabela 6-4: Características dinâmicas de variáveis de processo. 6-54
Tabela 6-5: Critério de Sintonia de Cohen & Coon. 6-55
Tabela 6-6: Critério de Sintonia de controladores pelo método λ-L. Método recomendado. 6-58
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Í N D I C E D E F I G U R A S Figura 6-1: Divisão do controle de processo. 6-7
Figura 6-2: Partes de um sistema 01. 6-8
Figura 6-3: Partes de um sistema 02. 6-8
Figura 6-4: Tanque de aquecimento. 6-9
Figura 6-5: Diagrama de blocos. 6-10
Figura 6-6: Tanque com aquecimento 02. 6-11
Figura 6-7: Diagrama de bloco do processo 01. 6-14
Figura 6-8: Diagrama de bloco do processo 02. 6-14
Figura 6-9: Diagrama de bloco do processo 03. 6-15
Figura 6-10: Diagrama de bloco do elemento primário de medição. 6-15
Figura 6-11: Diagrama de bloco do transmissor. 6-15
Figura 6-12: Diagrama de bloco do controlador proporcional. 6-16
Figura 6-13: Diagrama de bloco do conversor I/P. 6-16
Figura 6-14: Diagrama de bloco da válvula de controle. 6-16
Figura 6-15: Diagrama de blocos completo para o sistema de controle. 6-17
Figura 6-16: Mecanismo do controlador. 6-17
Figura 6-17: Diagrama de bloco para servomecanismo. 6-18
Figura 6-18: Diagrama de bloco para sistemas reguladores. 6-18
Figura 6-19: Redução de diagrama de blocos: (a) Diagrama original; (b) Primeira redução; (c) Diagrama
final com bloco único. 6-21
Figura 6-20: Diagrama de bloco da válvula de controle. 6-22
Figura 6-21: Mecanismo do controlador feedback. 6-31
Figura 6-22: Resposta em malha fechada de um sistema de 1ª ordem com controlador proporcional: (a)
perturbação no set point; (b) perturbação na carga. 6-33
Figura 6-23: Efeito do ganho do controlador na resposta de um sistema de 2ª ordem com controlador
proporcional. 6-35
Figura 6-24: Efeito do controlador na resposta de um sistema de 2ª ordem com apenas ação integral.
6-36
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Figura 6-25: Efeitos do controlador PID (Sistema regulador e perturbação em degrau). 6-39
Figura 6-26: Tanque com vazão de saída constante. 6-39
Figura 6-27: Diagrama de bloco para tanque com vazão de descarga constante. 6-40
Figura 6-28: Ação do controlador de temperatura de aquecedores de correntes através da manipulação da
vazão de vapor para o trocador. 6-44
Figura 6-29: Ação do controlador de temperatura de reatores (reação exotérmica) através da manipulação da
vazão de fluido refrigerante. 6-45
Figura 6-30: Controle de vazão de uma corrente cujo elemento final de controle seja uma válvula NA.
6-45
Figura 6-31: Tanque de aquecimento com agitação. 6-48
Figura 6-32: Sistema de controle para um tanque de aquecimento com agitação. 6-49
Figura 6-33: Processo com multiplicidade de estados estacionários. 6-50
Figura 6-34: Tanques não interativos em série. 6-61
Figura 6-35: Tanque de aquecimento com agitação. 6-62
Figura 6-36: Tanque não interativos com aquecimento. 6-63
Figura 6-37: Tanque pulmão. 6-64
Figura 6-38: Diagrama de blocos a. 6-65
Figura 6-39: Diagrama de blocos b. 6-65
Figura 6-40: Tanques em séries com controle de nível. 6-66
Figura 6-41: Tanques em série com aquecimento. 6-67
Figura 6-42: Tanque de aquecimento com agitação. 6-69
Figura 6-43: Diagrama de blocos exercício (11). 6-70
Figura 6-44: Tanque de mistura. 6-71
Figura 6-45: Diagrama de blocos para sistema de controle feedforward. 6-71
Figura 6-46: Diagrama de blocos para exercício (14). 6-72
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C A P Í T U L O 6 . S I S T E M A S L I N E A R E S E M M A L H A S F E C H A D A S
Processos físicos e/ou químicos estão sujeitos a influências as mais diversas e
imprevisíveis.
Ex.: Reator químico
Mudança da composição da alimentação
Desativação do catalisador
Lote de catalisador diferente
Ex.: Torre de destilação
Mudança da vazão, temperatura ou composição da alimentação
Controle de processos visa:
Produtos mais uniformes;
Aumento da qualidade dos produtos;
Aumento da segurança para equipamentos e pessoas;
Diminuição do consumo de energia;
Aumento do lucro.
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CONTROLE DE PROCESSO
MANUAL AUTOMÁTICO
PROCESSO SIMPLES PROCESSOS MUITO RÁPIDOS OU COMPLEXOSREGIÕES REMOTAS
OPERAÇÕES PERIGOSASOPERAÇÕES ROTINEIRAS
MAIS EFICIENTEMAIOR INVESTIMENTO INICIAL
MAIOR TAXA DE RETORNO
Figura 6-1: Divisão do controle de processo.
6 . 1 . D e f i n i ç õ e s
Sistema:
“Qualquer conjunto de unidades, entre as quais existem relações”
Um sistema é constituído de partes que formam um todo complexo, mas
organizado e que se inter-relacionam de tal maneira que o todo adquire características
próprias, diferente da simples soma das características de suas partes.
Exemplos:
Sistema do mundo físico:
Sistema solar
Sistema do mundo social:
Sistema político de um país
Sistema de trânsito de uma cidade
Sistemas do mundo tecnológico:
Sistema de computação eletrônica
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Sistema de produção de amônia
Sistema de controle de processos
Partes de um sistema:
1. Entrada ou “input”: aporte do meio externo para o sistema
2. Processo: série de operações ou transformações efetuadas no interior do sistema sobre as entradas.
3. Saída ou “output”: resultado da ação do sistema sobre as entradas, é o aporte do processo para o meio.
PROCESSOENTRADAESTÍMULO
"INPUT
SAÍDARESPOSTA"OUTPUT"
Figura 6-2: Partes de um sistema 01.
SUBSISTEMA 1
SISTEMA(META OU SUPRASISTEMA)
SUBSISTEMA 3SUBSISTEMA 2
Figura 6-3: Partes de um sistema 02.
Sistema de controle: “Disposição de componentes físicos, conectados ou relacionados de
maneira a comandar, dirigir ou regular a si mesmos ou a outros sistemas.”
Feedforward: A ação de controle é independente da saída (controle antecipatório)
Feedback: A ação de controle depende, de algum modo, da saída (realimentação)
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R i c a r d o d e A r a ú j o K a l i d – k a l i d @ u f b a . b r
⎪⎩
⎪⎨
⎧→
⎪⎪⎪⎪⎪
⎩
⎪⎪⎪⎪⎪
⎨
⎧
RIOANTECIPATÓ
ÇÃOREALIMENTA
ENTODESACOPLAMODISTRIBUÍD DIGITAL
DIRETO DIGITALIOSUPERVISÓR
ADAPTATIVORELAÇÃO
:CASCATA
CONTROLE DE SISTEMAS DE TIPOS
6 . 2 . E x e m p l o d e u m S i s t e m a d e C o n t r o l e : T a n q u e d e A q u e c i m e n t o
Procedimento possível:
1. Medir a variável a ser controlada (T);
2. Comparar t com o valor desejado (TSP);
3. Ligar ou desligar o aquecedor a depender da diferença TSP(t) – T(t).
T2(t), w2(t)
T1(t), w1(t)
vapor
condensadowst(t)TC
TT
Figura 6-4: Tanque de aquecimento.
6 . 3 . T e r m i n o l o g i a
Variável Controlada (VC ou PV): Variável a ser mantida no valor de
referência, por exemplo: temperatura T(t)
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Variável Manipulada (VM): Variável que recebe a ação do controlador,
variável que se modifica pela ação do elemento final de controle, ex.: vazão de vapor wst(t)
Distúrbio Externo (DE): Variável que interfere na variável controlada, ex.:
vazão w1(t) ou temperatura T1(t) da água fria ou vazão da água aquecida w2(t) – demanda do
processo ou vazão de vapor wst(t).
Variável Medida: Variável que é medida e serve como fonte de
informação para malha de controle, ex.: temperatura dentro ou na saída do tanque.
Elemento Final de Controle: Dispositivo físico que executa a ação de controle,
ex.: válvula de controle ou resistência elétrica.
Elemento Primário de Medição: Dispositivo físico que mensura as variáveis de
processo.
6 . 4 . D i a g r a m a d e B l o c o s
Apresenta visão global das relações entre as variáveis;
O sentido do fluxo de informações;
Função de cada uma das partes.
Diagrama de blocos:
( )sTSP
( )sTm
( )sT1
( )sT
( )sT
Figura 6-5: Diagrama de blocos.
Convenções:
Segmentos de reta: Representam sinais, que podem ser fluxos de informações, de
massa ou de energia.
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Junção circular: Soma algébrica dos sinais afluentes à junção (+ ou -).
A A + B
B
Ponto de ramificação: Reta que se ramifica em outra: divisão de um sinal em mais de um
canal sem sofrer modificação.
A
A
A
Retângulos: Representam uma modificação dos sinais efluentes e são usados
para simbolizar os elementos do sistema. Normalmente contêm as notações que descrevem as
características dinâmicas do sistema: Equações Diferenciais, Funções de Transferência, etc.
PROCESSOA B
√ Exemplo: Diagrama de blocos do tanque de aquecimento com agitação.
Função de transferência e diagrama de blocos para o elemento primário de
medição
Equação 6-20 ( )
( ) 1.
*
+Κ
==ssT
TsGTE
TEmTE τ
GTE(s)( )sT m*( )sT
Figura 6-10: Diagrama de bloco do elemento primário de medição.
Função de transferência e diagrama de blocos para o transmissor
Equação 6-21 ( ) ( )
( ) TTm
mTT
sT
sTsG Κ== *
( )sTm( )sGTT
( )sT m*
Figura 6-11: Diagrama de bloco do transmissor.
Função de transferência e diagrama de blocos para controlador proporcional
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Equação 6-22 ( ) ( )
( )( )
( ) ( ) CmSP
C sssOUT
ssOUTsG Κ=
Τ−Τ==
E
( )sOUT *( )sGC
( )sE( )sTSPΣ
( )sT m*
Figura 6-12: Diagrama de bloco do controlador proporcional.
Função de transferência e diagrama de blocos para o conversor I/P
Equação 6-23 ( ) ( )
( ) CTY sOUTsOUTsG Κ==
*
( )sTUO *( )sGTY( )sTUO
Figura 6-13: Diagrama de bloco do conversor I/P.
Função de transferência e diagrama de blocos para a válvula de controle
Equação 6-24 ( ) ( )
( ) 1.* +Κ
==ssOUT
sWsGV
VstV τ
( )sTUO *( )sGV
( )sWst
Figura 6-14: Diagrama de bloco da válvula de controle.
Diagrama de blocos para o sistema de controle
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( )sTm
( )sGTT
( )sT m*( )sGTE
( )sT
( )sT1
( )sGP1
Σ( )sGC
( )sE( )sTSPΣ
( )sTUO *( )sGTY
( )sTUO( )sGV
( )sWst ( )sGP2
++
( )sT
Figura 6-15: Diagrama de blocos completo para o sistema de controle.
6 . 5 . F u n ç ã o d e T r a n s f e r ê n c i a e m M a l h a F e c h a d a
Utilizando uma nomenclatura padrão para sistemas de controle, além das destacadas no
final da apostila:
Erro E = R ± B
G1 Função de transferência do elemento final de controle
G2 Função de transferência do processo
CGERΣ
B
1G M Σ
U
C2G
H
+/-+
+
+
Figura 6-16: Mecanismo do controlador.
OBS.: Todas as variáveis são desvios no domínio de Laplace.
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6 . 5 . 1 . S e r v o m e c a n i s m o s e s i s t e m a s r e g u l a d o r e s
√ Servomecanismos:
U = 0 Não ocorre distúrbio na carga
R ≠ 0 Mudança no set point
R CHG
G.1∓
CGER Σ
B
1G M C2G
H
+/-+
Figura 6-17: Diagrama de bloco para servomecanismo.
Equação 6-25
HGG
RC
CHB
GGMMGC
c
.1 HC)G.(RB)G.(R C
Gc.G1.G2 CGc.G1.G2.E C
.BR
. 1
2
∓∓=⇒
⎪⎩
⎪⎨
⎧
+=+===
⇒
⎩⎨⎧
==
⎩⎨⎧
==
E
E
Onde HG
GRC
.1∓= é a função de transferência global que relaciona C com R.
√ Sistemas Reguladores:
U ≠ 0 Ocorre distúrbios na carga
R = 0 Set point não se modifica
U CHG
G.1
2
∓
CGE0=R Σ
B
1G M C2G
H
+/-+Σ
U
+
+
Figura 6-18: Diagrama de bloco para sistemas reguladores.
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Equação 6-26
( )
HGG
RC
HCGGCHB
GGMMUGC
C
c
.1 GC).UG)G.(U C
.G1.G2G C.E.GG .(UG C
.B
.2
21
c
1Cc1
2
∓∓=⇒
⎪⎩
⎪⎨
⎧
+=+==
+=⇒
⎩⎨⎧
==
⎩⎨⎧
=+=
E
E
HGG
UC
.∓12=
função de transferência global que relaciona C com R.
Observações:
1. Equação característica: 1 ± G.H = 0 ⇒ a resposta dinâmica do processo em malha fechada depende da dinâmica do processo e, também, da dinâmica dos sensores, controladores e elementos finais de controle.
2. Servomecanismos ou sistema regulador o denominador da função transferência é o mesmo: 1 ± G.H função de transferência de malha aberta: G.H = GC.G1.G2.H
3. O numerador da função de transferência é o resultado do produto das funções de transferência entre o distúrbio e a saída:
Servomecanismo: G = GC.G1.G2
Sistema regulador: G2
4. Normalmente, os sistemas tem retroação negativa: E = R - B mas, em sistema de controle complexo, com muitas malhas, pode ocorrer a retroação positiva: E = R + B. este comportamento conduz a instabilidade.
5. Lembrado que o princípio da superposição é válido (sistema linear), a resposta do sistema a variação simultânea de R e U é:
Equação 6-27 U
HGGR
HGGC .
..
. ±+
±=
112
6 . 6 . Á l g e b r a d e D i a g r a m a L i n e a r d e B l o c o s
Na Tabela 6-1 temos a representação de equações algébricas através de diagramas de
blocos e regras para redução desses diagramas a estruturas mais simples.
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Tabela 6-1: Operações com diagramas de bloco.
A letra P representa qualquer função de transferência, W, X, Y, Z representam quaisquer
sinais no domínio de Laplace.
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Exemplo: Redução de Diagramas de Blocos.
Figura 6-19: Redução de diagrama de blocos: (a) Diagrama original; (b) Primeira redução;
(c) Diagrama final com bloco único.
6 . 7 . F u n ç ã o d e t r a n s f e r ê n c i a d e v á l v u l a s d e c o n t r o l e
Toda válvula apresenta sempre algum retardo dinâmico de experiências em válvulas
pneumáticas:
Equação 6-28 1.)(1 +=
sK
sGV
V
τ
Onde,
Kv é a constante de proporcionalidade entre a vazão em estado estacionário e a pressão no
topo da válvula.
Em instalações industriais τV << τ dos outros componentes
Substituindo as várias funções de transferência s e rearrumando:
Equação 6-109 ( ) ( ) ( )sqsA
shsA
sh d
C
CSP
C
.1.
1.
1.
1
+Κ
Κ+
+Κ
=
√ Problema Servo e Perturbação Degrau
Equação 6-110 ( ) ( )s
0 M== shesq SPd
Equação 6-112 ( )s
.1.
1 M
+Κ
=⇒sA
sh
C
Aplicando o Teorema do Valor Final:
Equação 6-111 ( ) ( ) M==→∞→
shst .limh lim0sT
Obs: Testar validade do T. V. F.
Cálculo do offset:
Offset = nova referência – valor alcançado
Offset = A – A = 0
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Logo não existe offset.
√ Problema Regulador e Perturbação degrau
Equação 6-114 ( ) ( ) 0== shesAsq SPd
Equação 6-112 ( )s
.1.
1 A
+Κ
Κ=⇒
sAsh
C
C
Aplicando o Teorema do Valor Final:
Equação 6-116 ( ) ( )cKshst A
==→∞→
.limh lim0sT
Obs: Testar validade do T. V. F.:
Cálculo do offset:
Offset = nova referência – valor alcançado
Equação 6-113 cc
0Κ
−=Κ
−=AAOffset
Logo não existe offset.
6 . 1 1 . A ç ã o D i r e t a e A ç ã o R e v e r s a d o C o n t r o l a d o r
Se o aumento (diminuição) da variável de processo PV(t) provocar um incremento
(decremento) na saída do controlador OUT(t), então diz-se o controlador tem ação direta
(Tabela 6-2).
Tabela 6-2: Ação Direta do Controlador.
PV(t) OUT(t) Equação do controlador proporcional
Aumento
↑
Incremento
↑ OUT (t) = BIAS - ( )t .EcΚ
Diminuição
↓
Decremento
↓
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Se, por outro lado, o aumento aumento (diminuição) da variável de processo PV(t) provocar
um decremento (incremento) na saída do controlador OUT(t), então diz-se o controlador tem
ação reversa (Tabela 6-3).
Tabela 6-3: Ação Reversa do Controlador.
PV(t) OUT(t) Equação do controlador proporcional
Maior
↑
Diminui
↓ OUT (t) = BIAS + ( )t .EcΚ
Menor
↓
Aumenta
↑
A definição da ação do controlador depende dos seguintes aspectos:
Sinal do ganho do transmissor da variável controlada;
Sinal do ganho entre variável controlada e variável manipulada, se a saída do controlador é
“setpoint” de outro controlador;
Sinal do ganho do elemento final de controle (sinal do produto entre o ganho da válvula,
quando for este o elemento final de controle, e do posicionador, se este existir), se a saída do
controlador é enviada para um elemento final de controle.
Mas o produto de todos os ganhos de uma malha de controle deve sempre ter sinal positivo,
pois estamos sempre considerando realimentação negativa da malha de controle, ou seja, o
erro (E) é a diferença entre o “setpoint” e a variável de processo (E = SP – PV).
Vamos ver alguns exemplos:
Sistema de aquecimento com vapor, com o controlador de temperatura enviando o sinal
para uma válvula de controle. Nesse caso a variável controlada é a temperatura do sistema e a
variável manipulada é a vazão de vapor. Se o ganho do transmissor tem sinal positivo (KTT > 0),
se o ganho do posicionador da válvula também for positivo (KTY > 0), se a válvula for normal
fechada ou ar-para-abrir (KTV > 0), como o ganho entre a PV (temperatura) e a MV (vazão de
vapor) também é positiva (KP > 0), o controlador será de ação reversa (+Kc), veja Figura 6-28.
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T1(t) T2(t)
Condensado
Vapor
NFAO
TT
TC
Ação reversa
OUTPV
Figura 6-28: Ação do controlador de temperatura de aquecedores de correntes através
da manipulação da vazão de vapor para o trocador.
Sistema de aquecimento com vapor, com o controlador de temperatura enviando o sinal
para a válvula de controle. Nesse caso a variável controlada é a temperatura do sistema e a
variável manipulada é a vazão de vapor. Se o ganho do transmissor tem sinal positivo (KTT>0),
se o ganho do posicionador da válvula também for positivo (KTY>0), se a válvula for normal
aberta ou ar-para-fechar (KTV < 0), como o ganho entre a PV (temperatura) e a MV (vazão de
vapor) também é positiva, o controlador será de ação direta (-Kc).
Na Figura 6-29 e Figura 6-30 é apresentado mais dois exemplos com as escolhas
apropriadas da ação da controlador.
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Figura 6-29: Ação do controlador de temperatura de reatores (reação exotérmica) através
da manipulação da vazão de fluido refrigerante.
Figura 6-30: Controle de vazão de uma corrente cujo elemento final de controle seja uma
válvula NA.
Portanto, para definir a ação do controlador que envia o sinal para o elemento final de
controle é antes necessário estabelecer se o elemento final de controle será normalmente
aberto (ar-para-fechar) ou normalmente fechado (ar-para-abrir).
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6 . 1 1 . 1 . V á l v u l a N o r m a l - A b e r t a e V á l v u l a N o r m a l - F e c h a d a
Foi dito anteriormente que uma das finalidades do sistema de controle é operar a planta em
condições seguras. Porém, em certas situações (por exemplo, falha no fornecimento de
energia elétrica ou parada de um compressor de ar de instrumento) fica impossível o controle
do processo. Neste caso, a planta por si só deve parar na condição mais segura possível,
apesar de todos os problemas. Isto pode ser conseguido, escolhendo adequadamente a
posição em que as válvulas de controle vão estar em caso de pane no sistema de fornecimento
de energia para o atuador da mesma.
Existem duas possibilidades para a posição de repouso de válvulas de controle:
NA ou FO ou AC Normal-Aberta (Ar-para-fechar ou Fail-Open ou Air-to-
close). Neste caso a falta de ar de instrumento provoca abertura total da válvula.
NF ou FC ou AO Normal-Fechada (Ar-para-Abrir ou Fail-Close ou Air-to-
Open. Neste caso a falta de ar de instrumento provoca fechamento total da válvula.
A escolha da posição de repouso da válvula depende de qual a condição mais segura para
a planta. Por exemplo:
(a) A vazão da alimentação de um reator, no qual acontecem reações exotérmicas, deve
ser modulada por uma válvula de controle NF, pois em caso de falha do ar de instrumento a
condição mais segura é cortar a alimentação do reator;
(b) Do mesmo modo, se este reator possui um sistema de refrigeração, a válvula de
controle que modula a vazão do fluido refrigerante deve ser NA, permitindo a continua
refrigeração do reator.
Portanto, para determinação da ação do controlador (ação direta ou reversa) deve-se
primeiro estabelecer a posição de repouso da válvula de controle (normalmente fechada ou
aberta) em seguida, a depender da necessidade do processo, é estabelecida a ação do
controlador.
6 . 1 2 . P r o j e t o d e S i s t e m a s d e C o n t r o l e F e e d b a c k
A definição do sistema de controle requer que algumas perguntas sejam respondidas:
(01) Quantos controladores um equipamento pode ter?
(02) Quais as variáveis controladas, manipuladas, quais os principais distúrbios?
(03) Qual o modo de controle mais apropriado (P, PI ou PID)?
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(04) Qual a ação do controlador (ação direta ou ação reversa) e qual a posição de
repouso das válvulas de controle (NA ou NF ou falha na posição corrente)?
(05) Qual a melhor sintonia do controlador (qual o valor do ganho proporcional KC do
tempo integral τI e do tempo derivativo τD)?
6 . 1 2 . 1 . G r a u s d e L i b e r d a d e d e u m P r o c e s s o d e C o n t r o l e
Para os propósitos do controle de processos a definição de graus de liberdade de um
sistema tem uma pequena diferença em relação a definição utilizada num projeto de um
processo.
Para nós graus de liberdade F pode ser definido como:
F = (nº de variáveis V) – (nº de equações E) - (nº de parâmetros conhecidos P)
- (nº de distúrbios externos D) – (nº de controladores C)
ou
F = V – (E + P + D + C)
Se F for maior que 0 (zero) então o processo (ou pelo menos alguma variável de processo)
não estará sobre controle.
Se F for menor que 0 (zero) então existem controladores em excesso e eles estarão
“brigando” entre si, um tentando suplantar o outro.
Portanto, para um processo estar sobre controle o número de controladores deve ser igual
a: C = V – (E + P + D).
√ Exemplo: Tanque de aquecimento com agitação
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T2(t), q2(t)
T1(t), q1(t)
vapor
condensado
Figura 6-31: Tanque de aquecimento com agitação.
Balanço de massa:
Equação 6-114 ( ) ( ) ( )tqtq
dttdhA 21. −=
Balanço de energia:
Equação 6-115 ( ) ( ) ( ) ( ) ( )[ ] ( )tWC
HtTtTtq
dttdTthA st
p
fg ..
... 11 ρ+−=
Portanto:
Nº de variáveis V 10 A, h(t), q1(t), q2(t), T1(t), T(t), Wst(t), ρ, CP, Hfg
Nº de equações E 02 (um balanço de massa e um balanço de energia)
Nº de parâmetros P 04 A, ρ, CP, Hfg
Nº de distúrbios D 02 q1(t), T1(t)
Sub-total 02 (nº de controladores C)
Logo, podemos e devemos instalar dois controladores neste processo, um para o controle
de nível e um para o controle de temperatura. Por exemplo, podemos propor o seguinte
sistema de controle para este processo:
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T2(t), q2(t)
T1(t), q1(t)
vapor
condensado
LCLT
TC
TT
Figura 6-32: Sistema de controle para um tanque de aquecimento com agitação.
Um fato importante deve ser lembrado: existem processos que apresentam multiplicidade de
estados estacionários, de modo que mesmo instalando o número correto de controladores, a
depender do procedimento de partida da planta, diferentes estados estacionários podem ser
alcançados.
Por exemplo, seja um reator de mistura (CSTR) no qual ocorrem reações exotérmicas. Este
reator tem uma camisa de resfriamento cujo objetivo é controlar a temperatura no interior do
reator. É sabido que este sistema pode apresentar multiplicidade de estados estacionários,
vide a Figura 6-33.
Portanto, para que este processo opere de acordo com o desejado, além de definir
corretamente o sistema de controle, o procedimento de partida do reator deve ser estabelecido
de modo que o estado estacionário alcançado seja o desejado.
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Figura 6-33: Processo com multiplicidade de estados estacionários.
6 . 1 2 . 2 . E s c o l h a d a E s t r u t u r a d e C o n t r o l e e d o A l g o r i t m o d o C o n t r o l a d o r
A definição da qual a estrutura de controle a ser adotada é uma tarefa complexa, que requer
um profundo conhecimento do processo e de teoria de controle. Porém, uma abordagem
qualitativa é possível, e deve ser aplicada, pois facilita o entendimento sobre o comportamento
dinâmico do processo, dando boas pistas sobre a estrutura de controle a ser implementada. De
maneira geral, podemos aplicar a seguinte metodologia na elaboração da estrutura (escolha
dos pares de variáveis controladas PV e manipuladas MV) de um sistema de controle:
(a) Mantenha sob controle o inventário de massa do processo.
(b) Mantenha sob controle o inventário de energia do processo.
(c) Mantenha sob controle a qualidade do processo.
Para cada etapa defina as estruturas segundo a seqüência abaixo:
(1) Selecione as variáveis controladas.
(2) Selecione a(s) variáveis(s) manipulada(s) para cada variável controlada.
(3) Verifique as interações entre as variáveis manipuladas e controladas e destas entre si.
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(4) Reduza as interações através da troca dos pares PV-MV.
(5) Retorne ao passo (1) sempre que o desempenho do sistema não for satisfatório.
O procedimento para estabelecer os pares PV-MV é o seguinte:
(a) Estabelecer quais as válvulas que serão utilizadas no controle do inventário;
(b) Estabelecer quais as válvulas que serão utilizadas no controle da qualidade;
(c) A partir de uma análise qualitativa escolher possíveis pares de variáveis manipuladas-
controladas (PV-MV);
(d) A partir da análise quantitativa definir os pares PV-MV, essa análise quantitativa requer o
emprego da Matriz de Ganhos Relativos e/ou da Decomposição por Valores Singulares (SVD);
(e) Verificar através de simulações (em computador ou na planta) da validade da estrutura
de controle estabelecida.
Na definição dos pares PV-MV, ou seja, na definição da estrutura do sistema de controle,
tem que ser considerada os seguintes aspectos:
(a) Satisfazer aos estados estacionários desejados (satisfazer os set point’s),
(b) Desempenho dinâmico apropriado,
(c) Satisfazer a operação global da planta/unidade.
Após decidir quais as variáveis a serem controladas, devem ser estabelecidas as variáveis
manipuladas. A escolha dos pares de variáveis manipuladas e controladas é uma tarefa
complexa. Neste capítulo, discutiremos qualitativamente alguns aspectos a esse respeito.
Contudo, encontrar o par “ótimo” requer a análise quantitativa das funções de transferência.
Após definir a estrutura temos que especificar o algoritmo que o controlador deve seguir, isto
é, escolher entre os modos P, PI, PID ou mesmo uma outra função de controle.
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6 . 1 2 . 3 . R e g r a s P r á t i c a s p a r a S e l e ç ã o d a s V a r i á v e i s C o n t r o l a d a s
A escolha da variável controlada depende das características do processo e da
disponibilidade de instrumentação adequada para efetuar sua medição. Porém, existem as
seguintes regras gerais:
(a) Sempre escolha as variáveis que não são auto-reguladas, por exemplo nível em tanques
com vazão de descarga sugada por uma bomba.
(b) Sempre escolha as variáveis que, embora sejam auto-reguladas, podem exceder um
limite operacional do equipamento ou processo.
(c) Sempre selecione as variáveis que, embora auto-reguladas interagem fortemente com
outros inventários do processo.
(d) Se o número de variáveis controladas por maior que o número de variáveis manipuladas,
apenas as regras (b) e (c) devem ser reconsideradas.
Essas regras são gerais e o engenheiro deve adaptá-las para seu problema, quando for
conveniente.
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6 . 1 2 . 4 . R e g r a s P r á t i c a s p a r a S e l e ç ã o d a s V a r i á v e i s M a n i p u l a d a s .
Após definir as variáveis controladas devem ser estabelecidas as variáveis manipuladas.
esta seleção não é uma tarefa simples e para sua definição é necessário uma análise
quantitativa da influência das variáveis manipuladas sobre as controladas. Mas, como guia
geral, temos as seguintes regra1:
(a) A variável manipulada deve ser a que tem maior influência sobre a variável controlada
associada;
(b) Se duas correntes têm a mesma influência sobre a variável controlada, deve ser
escolhida a corrente com menor vazão;
(c) A variável manipulada deve ter a maior relação linear com a variável controlada;
(d) A variável manipulada deve ser pouco sensível as condições ambientais;
(e) A variável manipulada deve ser a que causa menor interação com as demais malhas de
controle;
(f) Qualquer atraso (constante de tempo e tempo morto) associado a variável manipulada
deve ser pequeno quando comparado com a constante de tempo do processo;
(g) Escolha sempre que possível uma corrente de utilidades para ser a variável manipulada,
isto não sendo viável selecione por uma corrente de descarga do processo, e somente em
último caso opte por uma corrente de alimentação (“passe seus distúrbios para frente”).
1 Lipták, B. G., Instrument Engineers Handbook, 1ª ed., pg 1233 e Newell e Lee, Applied Process
Control, pg 131 a 141
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É praticamente impossível encontrar uma variável manipulada que satisfaça todas essas
observações, portanto a relativa importância de cada uma delas deve ser considerada para
cada processo.
A definição da PV depende da MV escolhida e vice-versa.
6 . 1 2 . 5 . E s c o l h a d o M o d o d o C o n t r o l a d o r : P , P I o u P I D
As variáveis de processo têm dinâmicas diferentes: a variável temperatura é muito mais
lenta que a variável vazão. Com isso queremos dizer que o modo de controle apropriado para a
variável temperatura via de regra inclui a ação derivativa, o que nunca deve acontecer com a
variável vazão (devido ao elevado nível de ruído que a medição dessa variável possui).
Outra característica que diferencia as variáveis de processo é a necessidade de eliminar o
offset. Freqüentemente, no controle de nível em tanques e de pressão em vasos é permitido, e
muitas vezes desejado, que aconteça o offset no intuito de absorver perturbações transitórias
do processo, evitando assim que tais distúrbios atinjam equipamentos críticos a jusante do
tanque ou vaso. Por outro lado, o controle de temperatura quase sempre não permite a
presença de offset, exigindo a atuação da ação integral.
Na Tabela 6-4 é apresentado um resumo das características dinâmicas das principais
variáveis de processos químicos.
Tabela 6-4: Características dinâmicas de variáveis de processo.
Tipo de variável Tempo de resposta dos elementos sensores Eliminar offset Modo
controlador
Concentração Na maioria das vezes grande, às vezes com tempo morto Sim PI ou PID
Temperatura Grande Sim PI ou PID
Nível
Na maioria das vezes pequeno (mas se o nível depender do equilíbrio
termodinâmico é grande)
Às vezes P ou PI (ou PID)
Pressão
Na maioria das vezes pequeno (mas se a pressão
depender do equilíbrio termodinâmico é grande)
Na maioria das vezes
P ou PI (ou PID)
Vazão Pequeno SIM PI
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6 . 1 2 . 6 . A ç ã o A p r o p r i a d a p a r a o C o n t r o l a d o r
Conforme discutido na seção 6.11, quem determina se ação do controlador será direta ou
reversa é a condição mais segura para operação da planta.
Na verdade outros elementos da malha de controle podem inverter a ação do controlador
(posicionadores de válvulas de controle ou mesmo os conversores I/P), de forma que, se for
conveniente, pode ser padronizada a ação dos controladores.
6 . 1 2 . 7 . S i n t o n i a d o C o n t r o l a d o r
Para o perfeito funcionamento de um sistema de controle além de responder corretamente
às 4 perguntas anteriores (itens 6.12.1 a 6.12.6) a escolha dos valores dos parâmetros do
controlador (KC, τI e τD) deve ser feita de forma criteriosa. A essa escolha criteriosa denomina-
se sintonia do controlador.
O primeiro problema que surge é qual o critério de sintonia a ser utilizado, pois certas
opções são contraditórias com outras. Por exemplo, não é possível obter simultaneamente
mínimo tempo de ascensão e mínima sobre-elevação.
Existem inúmeros critérios de sintonia, cada um adequado para um propósito. Alguns dos
critérios utilizados para sintonia de controladores estão citados a seguir.
(a) Mínima sobre-elevação (overshoot);
(b) Mínimo tempo de resposta;
(c) Razão de decaimento de ¼;
(d) Critério de Ziegler-Nichols;
(e) Critério de Cohen & Coon;
(f) Critérios integrais: IAE, ISE, ITAE e ITSE;
(g) Margem de ganho e margem de fase.
O critério de Cohen & Coon, por exemplo, se baseia nos parâmetros que caracterizam um
processo de 1ª ordem com tempo morto (KP, τP e τm) e determina o ajuste do controlador. Para
encontrar KP, τP e τm é necessário utilizar algum procedimento de identificação de processos.
Na Tabela 6-5, temos os valores dos parâmetros do controlador sugerido por Cohen & Coon.
Tabela 6-5: Critério de Sintonia de Cohen & Coon.
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Modo do Controlador Sintonia do Controlador Proporcional
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡+
Κ=Κ
P
m
m
P
PC τ
τττ
.31.1
Proporcional +
Integral ⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡+
Κ=Κ
P
m
m
P
PC τ
τττ
.129.0.1
Pm
PmmI ττ
ττττ
.209
.330.++
=
Proporcional +
Integral +
Derivativo
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡+
Κ=Κ
P
m
m
P
PC τ
τττ
.434.1
Pm
PmmI ττ
ττττ
.813
.632.
++
=
PmmD ττ
ττ.2114.
+=
A literatura contem os procedimentos utilizados na sintonia de controladores para os
diferentes critérios. Como fonte inicial de pesquisa deste assunto recomendo a monografia
elaborada por FREITAS no qual ele faz uma breve revisão dos vários métodos de sintonia e
utiliza o critério integral ITAE para sintonizar diferentes processos (representados pelas suas
funções de transferência) e as dissertações de SILVA JUNIOR2 e ALFANO NETO3.
Contudo o método que recomendamos utilizar para a sintonia inicial dos controladores PID
industriais é o método IMC também denominado método λ, que descreveremos a seguir.
2 SILVA JUNIOR, Antonio Francisco de Almeida. “Sintonia de Controladores PID”, (1998).
Dissertação de mestrado. UFBA.
3 ALFANO NETO, Carlos de Freitas “Sintonia Ótima de Controladores PID Aplicada a
Sistemas SISO e MIMO”, (2002). Dissertação de mestrado. UFBA.
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6 . 1 3 . M é t o d o d e s i n t o n i a r e c o m e n d a d o : m é t o d o I M C o u m é t o d o λ
O método recomendado para sintonia inicial de controladores industriais PID é o método λ.
Nesse método os parâmetros do controlador são funções das funções de transferências de
cada elemento que compõe a malha de controle e do critério de desempenho (constante de
tempo em malha fechada – λ). Na Tabela 6-6 é apresentada a sintonia pelo método λ.
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Tabela 6-6: Critério de Sintonia de controladores pelo método λ-L. Método recomendado.
Função de transferência em Malha Aberta (MA)
MA P V I/P MG G .G .G .G≅ ( )MA
MA
m
MA MAp
MA P V I/P M
.sG K
.s 1 .s
onde K K .K .K .K
eα
ττ
−= ⋅
+
=
Equação do Controlador
( ) ( ) ( )⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛++
−⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+= sPV
1s..1s.sE
s.11.KsOP C
D
D
I τγτ
τ ( )
⎭⎬⎫
⎩⎨⎧
Δ−+Δ=Δ PV..KkOP C DI
k ττεε
Função de transferência em Malha Fechada (MF)
( )1.s1
.G.G.G.GG1.G.K.G.GG
.GG1.G.K.G.GG
PVPVG
CMI/PVP
CMI/PVP
CMA
CMI/PVP
SPMF +
=+
=+
==λ
Constante de tempo da resposta desejada em MF ( λ )
( ) [ ] t.u. 6 comcomeçar recomendo , 3 e 9 entre número um
3.tr aberta malha em resposta de tempo
:integrador não sistema Parafechada malha em tempode constante
m1MA =+=
=
≅ ττλ
λ
Resposta instantânea τ1 = τ2 = τ3 = τm = α = 0
MAC K
1K =
Integrador com ou sem tempo morto
τ1 = τ2 = 0 τm = 0 ou τm ≠ 0 α = 1 ( )C
MA m
1KK . τ=
+λ
1ª ou 2ª ordem com ou sem tempo morto
τ1 ≠ 0 ; τ2 = 0 ou τ2 =≠ 0 τ1 > τ2 α = 0
( )1
CMA m
KK .
ττ=
+λ
τI = τ1 [=] u.t./repetições τD = τ 2 + τm/2 [=] u. t.
MÉTODO λ-L: Após definir a estimativa inicial utilizando as regras acima complete a sintonia através do método da SINTONIA ÓTIMA
GM
E
-
+
+
+
GC GI/P GV GP
GD DE
PVKM
PVSP
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Legenda:
α expoente do termo integrador, 1 para integrador ou capacitivo puro 0 para não integrador
λ - constante de tempo em malha fechada, critério de desempenho da malha, definido pelo usuário [=] u. t.
τD - tempo derivativo [=] u. t.
τI - tempo integral [=] u. t. / repetições
τj - parâmetros que caracterizam a dinâmica do sistema; j = 1 a 4 onde τ1 > τ2
τm - tempo morto [=] u. t.
DE - Distúrbio Externo [=] u.DE
FT - Função de Transferência
GC - função de transferência (FT) do controlador
GI/P - função de transferência (FT) do conversor I/P
GM - função de transferência (FT) do medidor/transmissor da PV
GMA - função de transferência (FT) global do processo GMA = Gp. Gv. GI/P. GT
GP - função de transferência (FT) do processo
GV - função de transferência (FT) da válvula
Kc - ganho do controlador [=] mA / mA
KI/P - ganho do conversor I/P [=] psi / mA
KM - ganho do transmissor da PV [=] mA / (u. e. da PV)
KMA - ganho global do processo = KP.KV.KI/P.KM.λα [=] adimensional
KP - ganho do processo [=] (u. e. da PV) / (u. e. da MV)
KV - ganho da válvula [=] (u. e. da MV) / psi
MA - Malha Aberta
MF - Malha Fechada
MV - variável manipulada (Manipulable Variable)
OP - sinal de saída do controlador
PV - variável de processo, variável controlada (Process Variable)
trMA – tempo de resposta em malha aberta, tempo para o processo atingir o estado estacionário para perturbação degrau [=] u. t.
u. e. - unidade de engenharia
u. t. - unidade de tempo
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6 . 1 4 . E x e r c í c i o s
(1) Considere um reator de mistura perfeita, no qual ocorrerá uma reação
homogênea endotérmica. Projete um sistema de controle feedback para esse processo.
Dados:
Vazão e concentrações na alimentação são constantes;
Temperatura da corrente de entrada = 70ºC;
Temperatura da corrente de saída = 50ºC;
Há necessidade de aquecimento do reator;
Fluido de aquecimento é vapor saturado;
(a) Faça um desenho simplificado do sistema de controle feedback identificando:
Elemento(s) primário(s) de medição;
Elemento(s) final(is) de controle;
Distúrbio(s);
Variável(is) controlada(s);
Variável(is) manipulada(s);
Malha de controle.
(b) Faça o diagrama de blocos associado.
(c) Identifique e justifique o tipo de controlador mais indicado para esse sistema (ação direta
ou reversa; modo P, PI ou PID).
(d) Se a reação fosse exotérmica, o que mudaria no controlador. Justifique.
(2) Examine os efeitos que valores diferentes do ganho do elemento de medição Km
irá produzir na resposta em malha fechada de um processo que tem a seguinte função de
transparência:
Equação 6-116 ( ) ( ) ( )1211
++=
sssGP
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Assuma que, H = Km, GV = 1, e que o controlador é proporcional com KC = 1.
(3) Considere dois tanques não interativos em série, veja figura abaixo. Nós
queremos controlar o nível do tanque 2 (hz), pela manipulação da vazão de alimentação q(t),
utilizando um controlador proporcional. Assuma que os tanques tem a mesma área transversal
(A = 5 ft2). Inicialmente o sistema está no estado estacionário com qs = 1 ft3/min e h1 = h2 = 3 ft.
Encontre os valores do ganho do controlador que:
(a) Produza uma resposta criticamente amortecida,
(b) Produza uma resposta subamortecida com razão de decaimento de ¼, em hz.
Obs.: A razão de decaimento de ¼ é, às vezes, utilizado como critério de ajuste de
controladores.
(c) Encontre a resposta dinâmica (resposta no tempo) do nível de líquido do tanque 1 (h1),
para uma perturbação degrau-unitário no set point de hz.
q(t)
h1
h2
q1
R1
q2
R2
Figura 6-34: Tanques não interativos em série.
(4) O sistema aquecedor-tanque com agitação, mostrando na Figura 6-35, é
controlado por um controlador P. Os seguintes dados são pertinentes ao problema:
w Vazão do líquido (cte) através do tanque [ = ] kg/min
V Volume de retenção do tanque [ = ] l
ρ Densidade do líquido [ = ] kg/l
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CP Capacidade calorífica [ = ] kcal/(kg.ºC)
Elemento final de controle: uma variação de ΔP atm do controlador faz variar o fluxo
de energia ΔQ kcal/min.
Elemento final de controle é linear.
Não há atraso na medição
To(t), w
Ti(t), w
vapor
condensadoTC
TT
Figura 6-35: Tanque de aquecimento com agitação.
Obtenha:
(a) O diagrama de blocos deste sistema indicando as funções de transferências (expressões
e unidades das constantes).
(b) Qual o valor máximo permitido para o ganho do controlador.
(5) O sistema aquecedor-tanque com agitação, mostrado na Figura 6-36, é
controlado por um controlador PI. Os seguintes dados são pertinentes ao problema:
w Vazão do líquido (cte) através dos tanques: 113.5 kg/min
V Volume de retenção de cada tanque: 283.2 l
ρ Densidade do líquido: 800 g/l
CP Capacidade calorífica: 1 kcal/(kg.ºC)
Elemento final de controle: uma variação de 1 atm do controlador faz variar o fluxo
de energia Q de 1,481.76 kcal/min.
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Elemento final de controle é linear.
Não há atraso na medição
Ti(t), w
vapor
condensado
T1(t), w
T2(t), w
TC
TT
Figura 6-36: Tanque não interativos com aquecimento.
Pede-se:
(a) Obtenha o modelo matemático do sistema;
(b) A partir do resultado anterior, obtenha o diagrama de blocos do sistema de controle.
Mostrar em detalhes as unidades e os valores numéricos dos parâmetros. Identifique a ação do
controlador (direta ou reversa);
(c) Para o controlador proporcional puro, quais os valores da constante proporcional para
que o sistema seja super, criti e sub-amortecido. Assuma perturbação degrau unitário no set
point.
(6) Um tanque pulmão de produtos intermediários, conforme Figura 6-37 está
instalado num processo. Acontecerá a ampliação da planta de modo que a vazão deste
produto intermediário duplicará.
Pede-se:
(a) Qual o ponto de operação (nível no estado estacionário) do tanque quando qs =
0.2m3/min, para R1 e R2;
(b) Para qs = 0.4 m3/min, há necessidade de trocar o tanque? Faça para R1 e R2, discuta os
resultados;
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(c) Para controlador PI, qual os valores do ganho proporcional (KC) que tornam o sistema
instável? (faça para R1 e R2);
h(t)
qi(t)
qo
R
LT
LC
Figura 6-37: Tanque pulmão.
Dados:
qs Vazão em estado estacionário antes da duplicação = 0.2 m3/min
A Área da seção transversal do tanque = 0.8 m2
hmax Altura máxima do tanque = 1.25 m
R1 Resistência ao fluxo de saída = 1.25m/(m3/min)
R2 Resistência ao fluxo de saída = 2.5 m/(m3/min)
q01(t) Fluxo de saída = 1R
h(t)
q02(t) Fluxo de saída = 2R
[h(t)]1/2
τI Tempo integral = 5 min
KV Ganho da válvula unitário. Não há atraso na resposta da válvula
Km Ganho do elemento de medição = 1
τm Constante de tempo do elemento de medição = 0.2 min
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(7) Considere o sistema indicado na Figura 6-38, onde K é um ganho ajustável e
G(s) e H(s) são componentes fixos. A função de transferência de malha-fechada para o
distúrbio N(s) é:
Equação 6-117 )K.G(s).H(s1
1N(s)C(s)
+=
Para minimizar o efeito dos distúrbios, o ganho ajustável K deve ser escolhido tão grande
quanto possível.
(a) Isto é também verdade para o sistema mostrado na Figura 6-39?
(b) Qual o valor que o ganho ajustável deveria assumir neste caso?
Obs.: Justifique sua resposta.
K)(sRΣ Σ
)(sH
)(sG
( )sN
( )sC
Figura 6-38: Diagrama de blocos a.
K)(sRΣ
Σ)(sH
)(sG
( )sN
( )sC
Figura 6-39: Diagrama de blocos b.
(8) Considere o processo mostrado na Figura 6-40.
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q5(t)
q1(t) q2(t)
q3(t)
qo(t)
m(t)
LV2
LV3
h1(t)
h2(t)
q4(t)
LV1
LY LC
LT
Figura 6-40: Tanques em séries com controle de nível.
As seguintes informações são fornecidas:
A densidade do líquido é constante.
A vazão de descarga dos tanques é dado por:
Equação 6-118 h/m ] [(t)..VPCv(t)q 3i iii == h
A vazão através da bomba é dada por:
Equação 6-119 [ ] /hm] [4-m(t).K(t)q 3b3 ==
Onde,
CVi Coeficiente de vazão da válvula, constante
VPi Posição da válvula, constante
M(t) Energia fornecida à bomba
A válvula de controle pode ser representado por um sistema de 1a (primeira) ordem
de ganho Kv e constante de tempo τv.
Os diâmetros dos tanques são D1 e D2.
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O transdutor de sinal I/P (LY1) e o transmissor (LT1) não têm atraso e apresentam
ganhos KLY e KLT, respectivamente.
Os distúrbios são q1(t) e m(t).
Controlador Proporcional + Integral.
Obtenha o diagrama de blocos, indicando as funções de transferência com suas constantes
de tempo, ganhos, e as seguintes variáveis desvio no domínio de Laplace Q1(s), Q2(s), M(s),
H2(s).
(9) Considere o processo mostrado na Figura 6-41. Nós queremos manter a
temperatura T3 em um determinado valor manipulando as vazões de vapor d’água q1,st e q2,st.
Tanque 1
T1(t), q
vapor
condensadoq1,st(t)
Tanque 2
T2(t), q
T3(t), q
vapor
condensado
q2,st(t)
Figura 6-41: Tanques em série com aquecimento.
As seguintes informações são fornecidas:
Vazão do produto constante, q = cte.
A temperatura de entrada T1(t) é o principal distúrbio.
A dinâmica dos dois tanques de aquecimento é dada por
Equação 6-120 ( ) ( ) ( )sQs
KsTs
sT 11
11
12 .
1..
1.1
++′
+=′
ττ
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Equação 6-121 ( ) ( ) ( )sQs
KsTs
sT 22
22
23 .
1..
1.1
++′
+=′
ττ
Onde,
τ1 = 4 ; τ2 = 10
K1 = 0.2 ; K2 = 0.1
Obs.: T’1(s), T’2(s), T’3(s), Q1(s), Q2(s) são variáveis desvio no domínio de Laplace.
O controlador é proporcional.
O ganho do elemento final de controle e do elemento de medição é unitário; a
dinâmica do elemento final de controle e do elemento de medição é desprezível.
É disponível apenas uma válvula de controle e uma válvula de acionamento
manual.
Duas alternativas são possíveis:
A - Elemento de controle atuando sobre q1,st, e q2,st submetida a uma válvula de
acionamento manual;
B - Elemento final de controle atuando sobre q2,st, e q1,st submetida a uma válvula de
acionamento manual.
Pede-se
(a) Identifique:
(1) Variável controlada,
(2) Variável manipulada.
(b) Decida, e justifique, qual o melhor local de instalação do elemento sensor de
temperatura.
(c) Faça os diagramas de blocos (para os casos A e B), identificando as funções de
transferência, com seus ganhos e ctes de tempo (valores); indique no diagrama de blocos
T’1(s), T’2(s), T’3(s), Q1(s), Q2(s).
(d) Estude para KC = 0.1 e KC = 50:
(1) Offset,
(2) Fator de amortecimento,
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(3) Período natural de oscilação;
(4) Estabilidade absoluta.
(e) Com base nas conclusões anteriores, decida, entre as alternativas A e B, qual o melhor
local de instalação do elemento final de controle.
(10) Seja o tanque de aquecimento com agitação conforme a Figura 6-42. A
temperatura e a vazão da alimentação podem variar com o tempo. Para manter este processo
nas condições desejadas são necessários dois controladores: um do nível do tanque, outro da
temperatura de saída do produto. O nível é controlado manipulando a vazão de descarga do
tanque, enquanto a temperatura pela vazão de vapor saturado.
T1(t), q1(t)
T0(t), q0(t)
vapor
condensado
LCLT
TC
TT
Figura 6-42: Tanque de aquecimento com agitação.
Dados complementares:
Controlador PID para temperatura de PI para nível;
Ganho da válvula de vazão de vapor KV1;
Ganho da válvula de vazão do produto KV2;
Constante de tempo da válvula de vazão de vapor τV1;
Constante de tempo da válvula do produto τV2;
Os transdutores/transmissores tem ganhos KTT e KLT para malha de temperatura e
nível, respectivamente;
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Existe um tempo morto na medida de temperatura dado por τm.
Obtenha o diagrama de blocos correspondente ao sistema de controle deste processo,
indicando as expressões de todas as funções de transferências.
(11) Seja o diagrama de blocos da Figura 6-43.
R GC2Σ
Gm2
Σ
U1
GP1
Gm1
Σ GC1 GY GV Σ GP2
U2
-
+
+-
+
++
+
Figura 6-43: Diagrama de blocos exercício (11).
Obtenha as seguintes funções de transferência:
(a) RC
(b) 1U
C
(c) 2U
C
(12) Duas correntes 1 e 2 são misturadas em tanque de mistura bem agitado,
originando a corrente 3, conforme a Figura 6-44. Cada corrente é composta de duas
substâncias A e B, com concentrações molares CA1, CB1 e CAZ, CBZ, respectivamente. Seja
também v1 e v2 as vazões volumétricas e T1 e T2 suas temperaturas. Uma serpentina está
submersa no líquido o tanque com a finalidade de aquecer a mistura.
Dados:
ρ1 = ρ2 = ρ3 = ρ constante
Cp1 = Cp2 = Cp3 = Cp = constante
CA1 >> CA2
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v1 << v2
Pede-se:
(a) O modelo matemático deste processo;
(b) Identifique as variáveis manipuladas e controladas, justifique sua resposta;
(c) O diagrama de bloco do sistema de controle deste processo, para sistema
isotérmico. Identifique a ordem das funções de transferências, suas constantes de tempo e
ganhos (expressões matemáticas).
Figura 6-44: Tanque de mistura.
(13) Um sistema de controle feedforward pode ser descrito pelo diagrama de blocos
da Figura 6-45.
CGR
Σ
mG
MΣ
U
2PGΣ VGQ 1PG C
+-
++E
FB
PAGFWG
FW
Figura 6-45: Diagrama de blocos para sistema de controle feedforward.
Pede-se:
(a) Prove que a resposta do sistema a uma perturbação no set point independe da função
de transferência do feedforward GFW.
(b) Obtenha a expressão de GFW em função das outras funções de transferência. Observe
que o ideal é que a variável controlada não se modifique apesar de ocorrer perturbações na
carga do sistema.
(14) Um sistema de controle multivariável pode ser descrito pelo diagrama de blocos
da Figura 6-46:
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1CGΣ
+ -
R1E1
1VG Σ
+
+11PG Σ
C1
1mG
2CGΣ
+ -
R2E2
2VG 22PG Σ
2mG
C2
12DG 12PG
Figura 6-46: Diagrama de blocos para exercício (14).
Pede-se:
(a) Prove que resposta da variável controlada C1 a uma perturbação no set point R1
independe da função de transferência do desacoplamento D12.
(b) Obtenha a expressão de D12 em função das outras funções de transferência.
Observe que o ideal é que a variável controlada C1 não se modifique apesar da malha de
controle 2 continuar atuando.
(15) Para a questão 4.03 pede-se:
(a) Especifique a ação do controlador (direta ou reversa) e o modo do controlador
mais adequado (P, PI ou PID). Justifique sua resposta.
(b) Diagrama de blocos representativo deste sistema identificando as dimensões de
cada sinal, as funções de transferência de cada bloco (os valores e dimensões dos ganhos,
constantes de tempo e tempos mortos).
(c) Estabeleça as restrições que os parâmetros do controlador de temperatura
devem obedecer para o sistema ser estável.
Sugestão: Aproxime o sistema por uma função de transferência de 1a ordem com tempo
morto.
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(16) Para a questão 4.04 pede-se:
(a) Fluxograma simplificado de engenharia do sistema de controle deste processo,
indicando os instrumentos necessários (transmissores, controladores, conversores, etc.). Listar
as suposições que devem ser feitas para completar este projeto.
(b) O modo (P, PI ou PID) e a ação (direta ou reversa) mais recomendada para o(s)
controlador(es). Justifique sua resposta.
(c) O diagrama de blocos deste sistema de controle com suas funções de
transferências (valores e unidades dos parâmetros).
(d) Relações para a sintonia do controlador que tornam o sistema estável. Justifique
sua resposta.
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Í N D I C E
CAPÍTULO 7. ESTABILIDADE DE SISTEMAS LINEARES 7-2
7.1. CRITÉRIO GERAL DE ESTABILIDADE 7-3 7.2. CRITÉRIO DE ROUTH-HURWITZ PARA ESTABILIDADE 7-4 7.3. MÉTODO DA SUBSTITUIÇÃO DIRETA 7-7 7.4. MÉTODO DO LUGAR DAS RAÍZES 7-8 7.5. EXERCÍCIOS 7-12
Í N D I C E D E T A B E L A S Tabela 7-1: Teste de estabilidade de Routh. 7-6 Tabela 7-2: Raízes da equação característica (Equação 7-37). 7-9
Í N D I C E D E F I G U R A S Figura 7-1: Diagrama de blocos de um sistema de controle. 7-2 Figura 7-2: Diagrama de blocos de um sistema de controle. 7-3 Figura 7-3: Diagrama de blocos para Exemplo (2). 7-6 Figura 7-4: Diagrama do lugar das raízes para Equação 7-37. 7-10 Figura 7-5: Exercício (3) – Tanque pulmão. 7-13 Figura 7-6: Diagrama de bloco do Exercício (4). 7-14
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C A P Í T U L O 7 . E S T A B I L I D A D E D E S I S T E M A S L I N E A R E S
Exemplo (1 ) Seja um processo representado pela sua função de transferência C(s):
Equação 7 -1 )(.1
5)(.1
10)( sDs
sMs
sC−
+−
=
Como o pólo da função de transferência, raiz da função de transferência, é p1 = +1 , com
parte real positiva, este processo é instável.
Vamos submeter este processo a um controle feedback com controlador proporcional. Veja
o diagrama de blocos na Figura 7-1.
D(s)
Σ C(s)CK
( )sRΣ
M(s)
110−s
+
+-
+
15−s
1
F igura 7 -1 : D iagrama de b locos de um s is tema de co nt ro le .
Então a resposta do sistema em malha fechada será:
Equação 7 -2 )(.).101(
5)(.).101(
.10)( sD
KssR
KsK
sCcc
c
−−+
−−=
Para este sistema ser estável implica que,
Equação 7 -3 0 )10.K - (1 C <
Então,
Equação 7 -4 0.1 K C >
Portanto, KC > 0.1 o sistema será estável em malha fechada, apesar de o processo ser
instável em malha aberta.
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7 . 1 . C r i t é r i o G e r a l d e E s t a b i l i d a d e
“Um sistema dinâmico é considerado estável se para toda entrada limitada o resultado é
uma saída limitada, qualquer que seja a condição inicial.”
U
Σ CErroCGR Σ
M+
+-
+
H
1G 2G
B
F igura 7 -2 : D iagrama de b locos de um s is tema de co nt ro le .
Equação 7 -5 UHG
GRHG
GUHGGG
GRHGGG
GGGCcc
c ..
..
....
....
..+
++
=+
++
=1111
2
1
2
1
21
Onde, G = GC.G1.G2
G.H ≡ Função de Transferência de Malha Aberta
1 + G . H = 0 ≡ Equação Característica
Observações:
1. Os denominadores dos termos são os mesmos;
2. As raízes da equação característica determinam, após aplicar a transformada inversa, a
forma da solução no tempo;
3. Como o estímulo é limitado a estabilidade do sistema depende apenas das raízes da
equação característica;
4. Como já vimos, se alguma raiz da equação característica estiver no semi-plano direito
do plano complexo o sistema é instável;
5. Para processos capacitivos puros entradas limitadas provocam saídas ilimitadas, por
exemplo para perturbação degrau.
“A estabilidade de um sistema de controle é determinada apenas pela sua função de
transferência na malha aberta através das raízes da equação característica.”
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Exemplo a:
Equação 7 -6 1
10 1, G ,K G 1, H 21CC −====
sG
Equação 7 -7 1
10 .K 1 .H.G.GG 1 G.H 1 C21C −+=+=+
s
s – 1 + 10 . KC = 0 → P1 = 1 – 10.KC (raiz da equação característica )
Se P1 ≥ 0 → Sistema Instável
Então KC > 0.1 → Sistema Estável
Exemplo b:
Equação 7 -8 1 G , .
11. 1, H 11
=⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡+==
sKG CC τ
Equação 7 -9 2.2
122 ++
=ss
G
Equação 7 -10 02.2
1..
11.1.1 21
=++⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛++=+
sssKHG C τ
Para KC = 100 e τ1 = 0.1:
Equação 7 -11 j.11.5 2.29
j.11.5 2.290 7.185-
0 1000 102.s 2.s s 23
⎪⎩
⎪⎨
⎧
−+→=+++
→ O sistema é instável, pois a parte real de alguma das raízes é positiva.
7 . 2 . C r i t é r i o d e R o u t h - H u r w i t z p a r a E s t a b i l i d a d e
Equação 7 -12 0, n .sn ... .sa G.H1 a1-an
o =+++=+
Onde ao > 0
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1. Se algum coeficiente a1, ..., na é negativo, existe ao menos uma raiz da equação
característica com parte real positiva, portanto o sistema é instável.
2. Se todos os coeficientes são positivos, forme o seguinte arranjo:
Coluna 1 ao a2 a4 a6 ...
2 a1 a3 a5 a7 ...
3 A1 A2 A3 ... ...
4 B1 B2 B3 ... ...
5 C1 C2 C3 ... ...
... ... ... ... ... ...
n + 1 W1 W2 W3 ... ...
Onde,
Equação 7 -13
....
...
....
1
31312
1
21211
1
31512
1
21311
1
7613
1
5412
1
3211
BBAAB
CB
BAABC
AAaaA
BA
AaaAB
aaaaa
Aa
aaaaA
aaaaa
A ooo
−=
−=
−=
−=
−=
−=
−=
(a) Se alguma dos elementos da primeira coluna for negativo, temos ao menos uma raiz do
lado direito do eixo imaginário e o sistema é instável.
(b) O número de trocas de sinais entre esses elementos é igual ao número de raízes do
lado direito do eixo imaginário.
Este critério permite avaliar as condições críticas de estabilidade de um sistema: quais os
valores de KC, τI, τP que tornam um sistema instável, ou seja, permite avaliar a estabilidade
absoluta do sistema.
Exemplo (2 ) Seja um processo descrito pela seguinte função de transferência:
Equação 7 -14 )1().(1((
12.2
1)( 2 jsissssGP +−−+−−
=++
=
Portanto, estável pois os pólos têm parte real negativa.
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Submetendo este processo a um sistema de controle feedback com controlador PI,
assumindo todas as demais funções de transferência do sistema iguais a 1, obtemos o
seguinte diagrama de blocos:
C⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+
sK
IC τ
11R(s) Σ+
-22
12 ++ ss
F igura 7 -3 : D iagrama de b locos para Exemplo (2 ) .
A estabilidade deste sistema é dada pela equação característica:
Equação 7 -15 0 G(s).H(s) 1 =+
Ou seja,
Equação 7 -16 02.2
1..
11.1 21
=++⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛++
sssKc τ
Logo,
Equação 7 -17 0 1) .s( .K 2) 2.s .s(s( 1C2
1 =++++ ττ
Ou melhor,
Equação 7 -18 0)2(2. 112
13
1 =++++ CC KsKss ττττ
A depender dos valores ajustados para os parâmetros do controlador este sistema pode ser
estável ou instável, pois diferentes KC e τ1 implica em diferentes coeficientes da equação
característica podendo ocorrer raízes com parte real positiva.
Aplicando o teste de estabilidade de Routh:
Tabe la 7 -1 : Tes te de es tab i l idade de Routh .
1 τ1 2. τ1+ KC.τ1
2 2.τ1 KC
3
1
11112
22τ
τ−τ+ττ.
)).(()..).(.( cc KK0
4 KC
Como KC e τ1 são sempre positivos então para este sistema ser estável
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Equação 7 -19 0.2
)).(()..2).(.2(
1
1111 >−+
τττττ cc KK
Ou seja,
Equação 7 -20 0...2.4 22 >−+ cIcII KK τττ
Dividindo por τ1(pois, τ1 ≠ 0) e rearranjando:
Equação 7 -21 0).1.2(.4 1 >−+ cI Kττ
Desta equação concluímos que para valores de τ ≥ 0.5, o sistema é sempre estável,
qualquer que seja o valor do ganho do controlador, porém para valores de τ < 0.5 o ganho do
controlador é limitado pela seguinte restrição:
Equação 7 -22
12
12
1−
τ
<
.
cK
Com este exemplo demonstramos a utilidade do Critério de Routh para sintonia de
controladores.
7 . 3 . M é t o d o d a S u b s t i t u i ç ã o D i r e t a
O eixo imaginário divide o plano complexo em uma região estável (à esquerda da ordenada)
e outra instável (à direita do eixo vertical), isto é, a localização das raízes da equação
característica determina a estabilidade de um sistema de controle.
Portanto, o eixo imaginário (s = 0+j.w), quando a parte real da(s) raiz(es) da equação
característica é igual a zero delimita a região de estabilidade do sistema, logo fazendo:
Equação 7 -23 j.ws =
Em,
Equação 7 -24 01 G(s).H(s) =+
Obtemos expressões que delimitam a estabilidade do sistema: regiões nos quais a parte
real das raízes do denominador da FT assumem valor negativo.
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Exemplo (3 ) Seja o diagrama de blocos mostrado na Figura 7-4. O controlador é do tipo proporcional puro, a
válvula e o transmissor são modelados por modelos instantâneos (processo de ordem zero), e
o processo por um sistema de 1ª ordem. Utilizando o Método de Substituição Direta determine
o valor máximo que o ganho do controlador pode assumir.
F igura 7 -4 : D iagrama de b locos de um s is tema de co nt ro le .
A estabilidade é dada por
Equação 7 -25 0...1 =+ TCVp GGGG
Substituindo na Equação 7-25 as funções de transferência de cada componente, obtém-se:
Equação 7 -26 0...1.
1 =+
+ TCVP
p KKKs
Kτ
Equação 7 -27 0...1. =++ TCVpP KKKKsτ
Equação 7 -28 ( ) 0...1.. =++ TCVpP KKKKwjτ
Portanto se τp > 0 a raiz do denominador não cruza o eixo imaginário e o sistema é sempre
estável.
7 . 4 . M é t o d o d o L u g a r d a s R a í z e s
“Lugar das Raízes é um procedimento gráfico de busca das raízes da equação
característica, à medida que os parâmetros de G.H variam continuamente.”
Equação 7 -29 0 G.H 1 =+
Exemplo (4 ) Seja o diagrama de blocos da Figura 7-2. No plano complexo assinale as raízes da equação
característica à medida que o ganho do controlador aumenta.
Onde GC = KC (controlador proporcional puro)
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Equação 7 -30 ( ) 1.
11.
11.
12
22
11 +
=+
=+
=s
Hs
Gs
GHτττ
Portanto, a equação característica deste processo é:
Equação 7 -31 ( )
01.
1.1.
1.1.
1.1...1.1 221
21 =+++
+=+=+sss
KHGGGHGH
cc τττ
Que pode ser escrita da seguinte forma:
Equação 7 -32 ( )( ) ( ) 0..
.. 321
221 =+−−−
H
CH
Kpspsps
τττ
Onde,
Equação 7 -33 HHppp τττ /1/1/1 2211 −=−=−=
Para,
Equação 7 -34 35.485.245.1 221 −=−==−= Hba pppp
Variando o valor de KC, podemos construir o Lugar das Raízes, veja a Tabela 7-2 que
corresponde à Figura 7-5.
Tabe la 7 -2 : Ra ízes da equação ca rac t er ís t ica (Equação 7 -32 ) .
KC p1 pa2 pb
2 pH
0.0 -1.45 -2.85 -2.85 -4.35
1.0 -1.71 -2.30 + j(0.90) -2.30 + j(0.90) -4.74
5.0 -1.98 -1.71 + j(1.83) -1.71 + j(1.83) -5.87
20.0 -2.15 -1.09 + j(3.12) -1.09 + j(3.12) -7.20
50.0 -2.20 -0.48 + j(4.35) -0.48 + j(4.35) -8.61
100.0 -2.24 +0.35 + j(5.40) +0.35 + j(5.40) -9.75
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F igura 7 -5 : D iagrama do lugar das ra ízes para Equação 7 -32 .
Exemplo (5 ) Seja o diagrama de blocos mostrado na Figura 7-2. Para as funções de transferência a
seguir estude a estabilidade desse sistema.
Dados:
Equação 7 -35 1.3
15, 1 +===
sGGkG vcc
Equação 7 -36 1
7,01.240
212 +
=∴+
==s
Hs
GG p
Solução: a equação característica deste sistema é:
Equação 7 -37 01
7,0.1.240
21.1.3
15.1.1 =+++
+=+sss
KHG c
Equação 7 -38 0.5,2201.244.963.720 23 =++++ cKsss
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Portanto para que as raízes estejam no eixo imaginário a parte real e a parte imaginária
devem ser iguais a zero, isto é:
Equação 7 -40 0.963.5,2201 2 =−+ wKc
E,
Equação 7 -41 ( ) 0.720244..720.244 23 ww ww =−=−
Então da Equação 7-41, as raízes que anulam a parte imaginária são:
Equação 7 -42
582,0582,0
0
−=+=
=
www
A raiz w = 0 é a solução trivial e equivale ao estado estacionário, portanto as raízes que
interessam são as diferentes de zero. Substituindo w = ±0,582 na Equação 7-40, o valor que
anula a parte real é
Equação 7 -43 4755,1=cK
Resolvendo a Equação 7-38 para diferentes valores de Kc se obtém as raízes do
denominador da função de transferência em malha fechada para várias sintonias (Lugar das
Raízes). A seguir é apresentado as instruções no MATLAB ® para construir o gráfico do lugar
das raízes (“root locus”):
Gv = tf( [ 15 ] , [ 3 1 ] ) % Função de transferência da válvula
Gp = tf( [ 21 ] , [ 240 1 ] ) % Função de transferência do processo
GT = tf( [ 0.7 ] , [ 1 1 ] ) % Função de transferência do transmissor
GMA = series(series(Gp,Gv),GT) % Função de transferência da malha aberta
rlocus(GMA) % Lugar das raízes
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Figura 7-6: Lugar das raízes para o exemplo 3 – sistema estável para 0 < Kc < 1,4755
Neste exemplo o controlador deve ter ação reversa (AR), pois sendo
KMA = Kp . KV . KT > 0 o coeficiente que multiplica o ganho do controlador também deve ser +1.
7 . 5 . E x e r c í c i o s
(1) Examine os efeitos que valores diferentes do ganho do elemento de medição Km
irá produzir na resposta em malha fechada de um processo que tem a seguinte função de
transferência:
Equação 7 -44 )12)(1(
1)(++
=ss
sGP
Assuma que, H = Km, Gv = 1, e que o controlador é proporcional com KC = 1.
Demonstre que este sistema é sempre estável.
(2) Discuta as seguintes afirmações:
(a) um sistema em instável em malha aberta não pode ser controlado.
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(b) Um sistema em malha fechada (feedback) de 1ª ordem com tempo morto é mais estável
que um sistema feedback de 2ª ordem.
Observações:
Justifique e demonstre suas conclusões As afirmações podem ser falsas.
(3) Um tanque pulmão de produtos intermediários, conforme figura abaixo está
instalado num processo. Acontecerá a ampliação da planta de modo que a vazão deste
produto intermediário duplicará.
Pede-se:
(a) qual o ponto (nível no estado estacionário) do tanque quando qs = 0.2 m3/min, para R1 e R2;
(b) para qs =0.4 m3/min, há necessidade de trocar o tanque? Faça para R1 e R2, discuta os
resultados;
(c) para controlador PI, qual os valores do ganho proporcional (KC) que tornam o sistema
instável? (faça para R1 e R2);
qi(t)
h(t)LTLC
LY
qo(t)R
F igura 7 -7 : Exerc íc io (3 ) – Tanque pu lmão .
Dados:
qs Vazão em estado estacionário antes da duplicação = 0.2 m3/min
A Área da seção transversal do tanque = 0.8 m2
Hmax Altura máxima do tanque = 1.25 m
R1 Resistência ao fluxo de saída = 1.25m/(m3/min)
R2 Resistência ao fluxo de saída = 2.5 m/(m3/min)
q01(t) Fluxo de saída = 1
)(R
th
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q01(t) Fluxo de saída = 2
)(R
th
τI Tempo integral = 5.0 min
Kv Ganho da válvula unitário. Não há atraso na resposta da válvula
Km Ganho do elemento de medição = 1.0
τm Constante de tempo do elemento de medição = 0.2 min
(4) Considere um sistema de controle cujo diagrama de blocos é dado na Figura
7-8. Obtenha a relação entre KC e τm que torna o sistema estável.
Dados:
Controlador é proporcional puro, com ganho Kc O ganho da válvula de controle é unitário
A constante de tempo da válvula é τv = 2
O ganho do transmissor é unitário
A constante de tempo do transmissor é τT = 1
A função de transferência Gp1 é caracterizado por ter apenas tempo morto τm;
A função de transferência Gpz é caracterizado por ter ganho 10.5 e constantes de tempo τP1 = 2.3, τP2 = 7.9 e τP3 = 15.0
GP2
Σ C(s)GC
( )sRΣ GV
+
+-
+
Gm
GP1
F igura 7 -8 : D iagrama de b loco do Exerc íc io (4 ) .
(5) Estabeleça a relação entre as sintonias do controlador mestre e o escravo, para
um controle em cascata, com o controlador mestre e escravo proporcionais, que torne o
sistema estável. Assuma que o GMA da malha mestre e da malha escrava são de 1ª ordem.
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(6) Repita o exercício (5) assumindo que o GMA da malha mestre e da malha
escrava são de 1ª ordem com tempo morto.
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Í N D I C E
CAPÍTULO 8. ESTRATÉGIAS DE CONTROLE 8-3
8.1. CONTROLE EM CASCATA 8-3 8.2. CONTROLE POR RELAÇÃO 8-5 8.3. COMBINAÇÃO DE CONTROLE EM CASCATA E POR RELAÇÃO 8-7 8.4. CONTROLE ANTECIPATÓRIO 8-8 8.5. COMBINAÇÃO DE CONTROLE POR REALIMENTAÇÃO E ANTECIPATÓRIO 8-10 8.6. CONTROLE POR INTERVALO DIVIDIDO (SPLIT-RANGE) 8-12 8.7. CONTROLE SELETIVO 8-13 8.8. CONTROLE COM BANDA MORTA E GANHO NÃO-LINEAR 8-14 8.9. COMPENSAÇÃO DO TEMPO MORTO 8-15 8.10. DESACOPLAMENTO 8-17 8.11. CONTROLE ADAPTATIVO 8-20 8.12. GANHO PROGRAMADO (GAIN SCHEDULING) 8-22 8.13. CONTROLE INFERENCIAL 8-22 8.14. EXERCÍCIOS 8-25
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Í N D I C E D E F I G U R A S Figura 8-1: Sistema de controle em cascata. 8-3 Figura 8-2: Controle de temperatura da camisa de um CSTR. (a) convencional; (b) cascata. 8-4 Figura 8-3: Diagrama de bloco. (a) Malha aberta; (b) Convencional; (c) Cascata. 8-5 Figura 8-4: Controle por relação. 8-5 Figura 8-5: Sistema de controle por relação. 8-7 Figura 8-6: Combinação de controle em cascata com controle relação. 8-8 Figura 8-7: Mistura de duas correntes. 8-8 Figura 8-8: Controle feedback/feedforward. 8-9 Figura 8-9: Combinação de controle feedback/feedforward. 8-11 Figura 8-10: Diagrama de bloco para controle feedback. 8-12 Figura 8-11: Diagrama de bloco para controle feedforward. 8-12 Figura 8-12: Controle split-range. 8-13 Figura 8-13: Controle split-rante. 8-13 Figura 8-14: Exemplo de sistema com controle seletivo. 8-14 Figura 8-15: Diagrama esquemático do compensador de tempo morto. 8-16 Figura 8-16: Diagrama de blocos para o Preditor de Smith. 8-16 Figura 8-17: Diagrama de bloco para sistema MIMO. 8-18 Figura 8-18: Função de transferência em s de um sistema MIMO 2x2. 8-19 Figura 8-19: Sistema MIMO 2x2 com desacoplamento no domínio s. 8-19 Figura 8-20: Controlador adaptativo. 8-21 Figura 8-21: Controle adaptativo por ganho programado. 8-22 Figura 8-22: Diagrama de blocos de sistema 2x2 em malha aberta. 8-23 Figura 8-23: Diagrama de blocos de sistema de controle inferencial. 8-24 Figura 8-24: Diagrama de blocos de sistema de controle inferencial com atualização do modelo. 8-25 Figura 8-25: Fluxograma para exercício (1). 8-26 Figura 8-26: Fluxograma para o exercício (2). 8-28 Figura 8-27: Fluxograma para o exercício (3). 8-29 Figura 8-28: Fluxograma para o exercício (4). 8-30
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C A P Í T U L O 8 . E S T R A T É G I A S D E C O N T R O L E
8 . 1 . C o n t r o l e e m C a s c a t a
Uma das aplicações do controle em cascata é evitar que aconteçam perturbações não
desejadas na variável manipulada. Por exemplo, no sistema de resfriamento de um reator a
vazão para a camisa é a variável manipulada, porém pode acontecer, devido a mudança na
pressão a montante ou a jusante da válvula de controle que esta vazão se modifique, apesar
da saída do controlador se manter constante. Neste caso, é aconselhável acrescentar um
controlador de vazão de líquido refrigerante, sendo que o set point deste controlador é a saída
do controlador de temperatura do reator (vide Figura 8-1).
reagenteA
reagenteB
catalisador
FY3
FC3
FT3
TI3
FY2
FC2
FT2
TI2
FY4
FC4
FT4
fluidorefrigerante
FY1
FC1
FT1
TT1
TC1
TI5
C + D
AI1
AC1
Controladorprimário
Controladorsecundário
F igura 8 -1 : S is tema de cont ro le em cascata .
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F igura 8 -2 : Cont ro le de tempera t ura da camisa de um CSTR. (a ) con venc iona l ; (b )
cascata .
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Figura 8-3: Diagrama de bloco. (a) Malha aberta; (b) Convencional; (c) Cascata.
8 . 2 . C o n t r o l e p o r R e l a ç ã o
Quando se deseja manter a razão entre duas vazões constantes é interessante utilizar o
controle por relação. Por exemplo, deseja-se manter constante a composição de uma
determinada corrente, para tanto, modula-se a vazão de uma segunda corrente:
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Equação 8 -45 ( )( )
( ) ( )( ) ( )
( )( )⎥⎦⎤
⎢⎣
⎡⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡=⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡sXsX
sGsGsGsG
sYsY
2
1
2221
1211
2
1 .
O sistema de Equação 8-45 é denominado Matriz das Funções de Transferência. Em
diagrama de blocos:
X1(s)G11(s) Σ
Y1(s)
Y2(s)X2(s)ΣG22(s)
G21(s)
G12(s)
F igura 8 -18 : Função de t ransfe rênc ia em s de um s is tema MIMO 2x2 .
O desacoplamento é implementado, conforme a Figura 8-19:
X1(s)G11(s) Σ
Y1(s)
Y2(s)X2(s)ΣG22(s)
G21(s)
G12(s)
Σ
Σ
U1(s)
U2(s)
D21(s)
D12(s)U21
U12
F igura 8 -19 : S is tema MIMO 2x2 com desacop lamento no domín io s .
Os desacopladores D12(s) e D21(s) são descritos por:
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Equação 8 -46 ( ) ( )( )sGsG
sD11
1212 −=
Equação 8 -47 ( ) ( )( )sGsG
sD22
2121 −=
8 . 1 1 . C o n t r o l e A d a p t a t i v o
Os processos químicos são não-lineares e alguns são também não-variantes com o tempo.
Nas duas situações, e mais ainda na última, a sintonia dos controladores PID só são válidas
quando o processo encontra-se próximo do estado no qual foi realizado o ajuste dos
parâmetros do controlador. Portanto, quando o processo sofre uma grande perturbação, o
desempenho do controlador fica comprometido, a menos que seja ajustada uma nova função
de controle, neste caso é recomendado que seja implementado um procedimento automático
para sintonia/adaptação automática dos controladores. Esse controlador é denominado de
adaptativo pois se modifica, adequando-se às novas condições de processo.
O livro de Karl Johan Åström e Björn Wittenmark, Adaptativr Control, editado pela Addison-
Wesley Publisng Company, é uma excelente referência para iniciar os estudos sobre
controladores adaptativos.
Um controlador adaptativo segue as seguintes etapas de atuação:
(a) Monitoramento das entradas e saídas do processo;
(b) Estimativa das saídas a partir de um modelo de referência;
(c) Comparação das saídas calculadas com as medidas;
(d) Adaptação do modelo às novas condições de processo;
(e) Sintonia do controlador a partir do modelo adaptado.
Na Figura 8-20 vemos, em diagramas de blocos, o esquema de um controlador adaptativo.
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EΣ ProcessoControladorSP
-+C
Algoritmoestimador
Algoritmode sintonia
Novosparâmetros
F igura 8 -20 : Cont ro lador adapta t ivo .
Existem basicamente 5 tipos de controladores adaptativos:
(1) Ganho programado
Em Inglês: Gain Scheduling
(2) Controlador Robusto de Ganho Constante e Elevado
Em inglês: Robust High-gain Control
(3) Sistema Adaptativo Auto Oscilante
Em Inglês: SOAS – Self Oscillating Adaptative Systems
(4) Controle Adaptativo por Modelo de Referência
Em Inglês: MRAC – Model Reference Adaptative Control ou
MRAS – Model-Reference Adaptative Systems
(5) Controladores Auto Sintonizados
Em Inglês: STR – Self-Tuning Regulators
A diferença entre estes algoritmos reside nos procedimentos utilizados na implementação
das diversas etapas do controlador adaptativo.
Neste curso apresentaremos controlador de ganho programado. Os demais algoritmos
requerem um aprofundamento maior em teoria de controle que foge ao escopo e ao tempo
disponível para este curso.
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C o n t r o l e d e P r o c e s s o s R i c a r d o d e A r a ú j o K a l i d – k a l i d @ u f b a . b r
8 . 1 2 . G a n h o P r o g r a m a d o ( G a i n S c h e d u l i n g )
Neste tipo de controlador o ganho do controlador é modificado conforme for o valor de
alguma variável de processo, vide Figura 8-21.
EΣ ProcessoControladorSP
-+C
Tabela deganhos
Novoganho
Condiçãooperacional
F igura 8 -21 : Cont ro le adapta t i vo por ganho programado .
O ganho do controlador (KC) pode ser alterado continuamente de forma que seu produto
com o ganho do processo (KP) seja constante (Kg):
Equação 8 -48 gPC Κ=ΚΚ .
Assim, de acordo com a Equação 8-48 se o ganho do processo se modifica, o ganho do
controlador deve ser alterado para manter o ganho global constante.
Um procedimento para implementar um controlador programado é visto abaixo:
(a) Determine o ganho em malha aberta do processo no ponto de operação desejado à sua
volta.
(b) Obtenha o valor apropriado do ganho do controlador para o ponto de operação
desejado. Calcule neste ponto o ganho global da malha.
(c) Obtenha uma função que defina a variação do ganho do controlador com alguma
variável do processo.
8 . 1 3 . C o n t r o l e I n f e r e n c i a l
Freqüentemente, a variável que se deseja controlar não pode ser medida diretamente,
conseqüentemente, não é possível implementar um sistema de controle feedback ou qualquer
outra estratégia de controle que necessite a medição da variável controlada. Se os distúrbios
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que perturbem o processo forem mensurados, podemos instalar controladores feedforward
para manter a saída do sistema próxima do valor desejado.
Porém, quando não for possível medir as perturbações, ou quando o modelo disponível não
for adequado, a única alternativa é inferir o valor da variável controlada a partir de outras
medições e utilizar esta informação para realimentar a malha de controle. A esta técnica dá-se
o nome de Controle Inferencial.
Considere o diagrama de blocos de um sistema em malha aberta conforme a Figura 8-22.
MGP1 Σ
C
ΣGP2
GD1
Y
GD2
U
F igura 8 -22 : D iagrama de b locos de s is tema 2x2 em ma lha aber ta .
Da Figura 8-22 obtemos o modelo entrada-saída:
Equação 8 -49 UGMGC DP .. 11 +=
Equação 8 -50 UGMGY DP .. 22 +=
O intuito é encontrar uma equação que forneça o valor da variável controlada (C) a partir do
conhecimento da oura saída do sistema (Y). Para tanto, da Equação 8-50 vamos isolar o valor
de U:
Equação 8 -51 MGGY
GU
D
P
D..1
2
2
2−=
Substituindo a Equação 8-51 na Equação 8-49 e re-arranjando, obtemos:
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Equação 8 -52 YGGMG
GGGC
D
DP
D
DP ...~
2
12
2
11 +⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡−=
A equação fornece a estimativa da variável controlada a partir da variável manipulada (M) e
da outra saída do processo (Y).
Implementando a Equação 8-52 numa malha feedback obtemos o diagrama de blocos
mostrado na Figura 8-23.
MGP1 Σ
C
ΣGP2
GD1
Y
GD2
U
GC
Σ
ΣCSP
22
11 P
D
DP G
GGG −
C~
2
1
D
D
GG
F igura 8 -23 : D iagrama de b locos de s is tema de cont ro le in fe renc ia l .
Como o controle inferencial requer um bom modelo matemático, o que raramente está
disponível, deve-se implementar algum procedimento para ajuste do inferenciador. Por
exemplo, no controle inferencial de malhas de composição, o modelo matemático pode ser
corrigido a partir das análises realizadas off-line, assim o sistema de controle estaria
periodicamente sendo “adaptado” às novas condições operacionais do processo, mantendo
seu bom desempenho. Na Figura 8-24 observamos a forma como o modelo do inferenciador é
atualizado.
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MGP1 Σ
C
ΣGP2
GD1
Y
GD2
U
GC
Σ
ΣCSP
22
11 P
D
DP G
GGG −
C~
2
1
D
D
GG
Σ C + MEDCorreção doganho de GP1
-
F igura 8 -24 : D iagrama de b locos de s is tema de cont ro le in fe renc ia l com a tua l i zação
do mode lo .
8 . 1 4 . E x e r c í c i o s
(1) Seja um forno e seu sistema de controle, conforme o fluxograma da Figura 8-25.
O objetivo deste processo é pré-aquecer a corrente de petróleo bruto que alimentará a seção
de fracionamento de uma refinaria. O combustível é um sub-produto dessa unidade (gás
natural), estando disponível em grande quantidade. A pressão da corrente de gás natural é
constante. O combustível é o ar atmosférico, sendo fornecido por um sistema de sopradores.
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Produto
TI1
AC1FT
2
FC2
FY2
AT1
AC1
TE5
TI5
TC5
FC4
FY4
gásnatural
ar
FE4
FT4
FE3
FY3
FFC3
FT3
F igura 8 -25 : F luxograma para exerc íc io (1 ) .
Devido a negligência do setor de documentação, a descrição do sistema de controle deste
forno foi perdida, havendo necessidade de reconstituir este documento. Pede-se que
engenheiro de controle (vossa senhoria) elabore tal documentação.
(2) Seja uma coluna de destilação e seu sistema de controle, conforme a Figura
8-26. O objetivo deste processo é separar os componentes leves (D) leves de uma mistura,
retirando pela base da coluna os componentes mais pesados (B). Não há limitações quanto a
quantidade de utilidades necessárias a este processo (vapor e fluido refrigerante).
Devido a negligência do setor de documentação, a descrição do sistema de controle desta
coluna foi perdida, restando apenas uma fotocópia em péssimo estado de conservação de
fluxograma de engenharia deste processo, havendo necessidade de reconstituir este
documento. Pede-se que o engenheiro de controle (vossa senhoria) elabore tal documentação,
complementando uma já existente.
Descreva o sistema de controle indicando e justificando para cada malha:
(a) Válvulas de controle: normal aberta ou normal fechada
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(b) Controladores (qual o modo – P, PI ou PID – e ação de controle mais recomendados –
direta ou reversa)
(c) Localiza os controles em cascata indicando o controlador primário (master) e o
controlador secundário (slave).
(d) Localize os controles de razão e feedforward presentes, indique os computadores
existentes, descrevendo quais os cálculos que realizam.
Descreva o sistema de controle indicando cada malha:
(a) Variável (s) controlada (s), justificando por que o projetista a (s) a (s) escolheu:
(b) Variável (s) manipulada (s), justificando por que o projetista a (s) escolheu;
(c) Variável (s) medida (s), justificando por que o projetista as escolheu;
(d) Elementos primários de medição (qual o tipo mais indicado);
(e) Elementos primários de medição (qual o tipo mais indicado);
(f) Transmissores e/ou transdutores (indique tipo de sinal de entrada e de saída);
(g) Controladores (qual o modo de controle mais recomendado);
(h) Localize os controles em cascata indicando o controlador primário (master) e o
controlador secundário (slave).
(i) No fluxograma está presente um controlador de razão (o sinal de saída do controlador
depende da razão entre dois sinais de entrada), porque há necessidade deste tipo de
estratégia de controle? Justifique sua resposta.
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÷
÷
( )tf
( )tf
×
F igura 8 -26 : F luxograma para o exerc íc io (2 ) .
(3) Seja um sistema reacional e seu sistema de controle, conforme a Figura 8-27. O
objetivo deste processo é produzir os compostos C e D a partir da reação de A com B. A
depender das condições mercadológicas, se maximiza a obtenção de C ou de D, alterando a
vazão de A e B na alimentação. A conversão dos reagentes é determinada pela quantidade de
catalisador admitida no sistema, que deve ser a menor possível para evitar a ocorrência de
reações indesejadas. Todas as reações que ocorrem são altamente exotérmicas. Não há
limitações quanto à quantidade de matérias-primas e utilidades necessárias a este processo
(fluido refrigerante).
Devido à negligência do setor de documentação, a descrição dos sistemas de controle deste
processo foi perdida, restando apenas um esboço do fluxograma de engenharia deste
processo.
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Havendo necessidade de descrição do sistema de controle, pede-se que o engenheiro de
controle elabore tal documentação. Descreva o sistema de controle indicando e justificando
para cada malha:
(a) Variáveis medidas, manipuladas e controladas;
(b) Localize, se existirem, os controladores em cascata indicando o controlador primário, o
controlador secundário, o terciário, etc.
(c) Localize, se existirem, os controles de razão e feedforward presentes, indique os
computadores existentes, descrevendo quais os cálculos que realizam;
(d) Localize, se existirem, os controles tipo split-range e seletivo, descrevendo seu modo de
funcionamento.
F igura 8 -27 : F luxograma para o exerc íc io (3 ) .
(4) Seja um forno e seu sistema de controle, conforme o fluxograma da Figura 8-28.
O objetivo deste processo é pré-aquecer a corrente de petróleo bruto que alimentará a seção
de fracionamento de uma refinaria. Um dos combustíveis é um subproduto dessa unidade (gás
natural), o outro é o óleo combustível utilizado na quantidade necessária à complementação de
carga térmica. A pressão da corrente de gás natural é constante. O comburente é o ar
atmosférico, sendo fornecido por um sistema de sopradores.
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Devido à negligência do setor de documentação, a descrição do sistema de controle desse
forno foi perdida, havendo necessidade de reconstituir este documento. Pede-se que o
engenheiro de controle (Vossa Senhoria) corrija o fluxograma e elabore tal documentação.
Descreva o sistema de controle indicando e justificando para cada malha:
(a) Localize, se existirem, os controles em cascata indicando o controlador primário, o
controlador secundário, o terciário, etc., indique também qual a variável controlada mais
importante;
(b) Localize, se existirem, o(s) controle(s) de razão, indique os computadores existentes,
descrevendo quais os cálculos que realizam, indique também qual a variável controlada mais
importante;
(c) Localize, se existirem, o(s) controle(s) e feedforward presentes, indique os
computadores existentes, descrevendo quais os cálculos que realizam; o(s) modelo(s)
utilizado(s) no(s) possível(is) feedforward existente(s) é (são) estacionário(s) ou transiente(s)?
tO
TI1
FT1 FY
1
O2
X
SP = K3X + K4qS
FY2
óleoar
FT2FT
3
FY3
AR1
AIC1
FFC3
TI3
I/P
FY3
WO
TC2
TY2
FC2
I/P
TY4
WO
TY3
gás
FT4
AR4
AR2
ho
hg
qs = qp - qc
AX1
SP de O2
FC1
I/P
FY2
TY1
ts
ΔT = ts - te
Wp
qp = WpCpΔT
x
w
w
qc = hgwg + howo
y = k1wg + k2wo
SP = Ry + b
F igura 8 -28 : F luxograma para o exerc íc io (4 ) .
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Í N D I C E
CAPÍTULO 9. CONTROLE AVANÇADO 9-2
9.1. OBJETIVOS DO CONTROLE AVANÇADO 9-2 9.2. ATRATIVOS PARA IMPLEMENTAÇÃO DE CONTROLE AVANÇADO 9-3 9.3. BENEFÍCIOS TRAZIDOS PELO CONTROLE AVANÇADO 9-4 9.4. ESTRATÉGIAS AVANÇADAS DE CONTROLE 9-4
Í N D I C E D E T A B E L A S Tabela 9-1: Objetivos do controle avançado. 9-2 Tabela 9-2: Estratégias de controle avançado. 9-4
Í N D I C E D E F I G U R A S Figura 9-1: Diagrama de bloco de controle feedback. 9-2 Figura 9-2: Pirâmide do controle avançado. 9-3 Figura 9-3: Benefícios do controle avançado. 9-4
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C A P Í T U L O 9 . C O N T R O L E A V A N Ç A D O
Principais problemas dos sistemas de controle de processos industriais:
• Substanciais capacitâncias (atrasos de 1ª ordem) e tempo morto na resposta dinâmica dos processos, que são variáveis com o tempo e/ou porto de operação do processo.
• Não medição em linha das variáveis controladas
• Resposta dinâmica não linear
• Modelos dinâmicos empíricos e aproximados
• Variáveis controladas e manipuladas sujeitas a restrições
• Significativa interação entre as malhas de controle
• Substanciais distúrbios externos não estacionários
Solução mais empregada (quando empregada!): Controle Feedback.
R GCEΣ G1
M Σ
U
CG2
HB
-+
+
+
Mecanismo do controlador
F igura 9 -1 : D iagrama de b loco de cont ro le feedback .
OBS: Todas as variáveis são desvios no domínio de Laplace.
9 . 1 . O b j e t i v o s d o C o n t r o l e A v a n ç a d o
Tabe la 9 -1 : Ob je t i vos do cont ro le a vançado .
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C o n t r o l e d e P r o c e s s o s R i c a r d o d e A r a ú j o K a l i d – k a l i d @ u f b a . b r
OPERACIONAIS COMERCIAIS
Aumento da segurança Maximizar o rendimento
Incrementar a flexibilidade Maximizar a produção
Atender as especificações de qualidade Incrementar os tempos de campanha
Operar em estado estacionário Reduzir consumo energia
Atender às restrições ambientais Reduzir estoques de produtos intermediários
Reduzir custos variáveis
CONTROLE AVANÇADO
CONTROLEFEEDBACK
QUANTIDADE
SEGURANÇA e MEIO AMBIENTE
QUALIDADE
F igura 9 -2 : P i râmide do cont ro le a vançado .
9 . 2 . A t r a t i v o s p a r a I m p l e m e n t a ç ã o d e C o n t r o l e A v a n ç a d o
√ Mudanças freqüentes:
• Vazão de alimentação
• Composição da alimentação
• Demanda de produção
• Abastecimento de energia
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√ Grande consumo de energia por unidade de produção;
√ Larga diferença entre os valores dos produtos;
√ Projeto altamente integrado;
√ Muitos controladores em manual;
√ Longos períodos entre a análise das correntes;
√ Resposta dinâmica lenta.
9 . 3 . B e n e f í c i o s t r a z i d o s p e l o C o n t r o l e A v a n ç a d o
CONTROLE REGULATÓRIOCONTROLE REGULATÓRIO
BÁSICO / AVANÇADOBÁSICO / AVANÇADO
CONTROLE PREDITIVOCONTROLE PREDITIVO
MULTIVARIÁVELMULTIVARIÁVEL
OPERAÇÃO NORMALOPERAÇÃO NORMAL REDUÇÃO DAS VARIAÇÕESREDUÇÃO DAS VARIAÇÕES OPERAÇÃO MAIS PRÓXIMAOPERAÇÃO MAIS PRÓXIMADO LIMITE DO LIMITE
LIMITE ESPECIFICADOLIMITE ESPECIFICADO
SETPOINTSETPOINT
F igura 9 -3 : Benef íc ios do cont ro le a vançado .
9 . 4 . E s t r a t é g i a s A v a n ç a d a s d e C o n t r o l e
Tabe la 9 -2 : Es t ra tég ias de cont ro le avan çado .
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PROBLEMA SOLUÇÃO
Mudanças na alimentação Controle feedforward1 Controle preditivo multivariável
Elevado tempo morto Compensação do tempo morto Controle preditivo multivariável
Ruído na medição Filtros passa-baixa
Variáveis não medidas Controle inferencial Controle preditivo multivariável
Interação Controle preditivo multivariável
Não linearidades Controle adaptativo Controle preditivo multivariável
Dinâmica difícil Controle preditivo multivariável
Restrições Controle com restrição Controle preditivo multivariável
Distúrbios de baixa freqüência Controle estatístico
Conseqüência econômica Otimização on-line
Modificação nas estratégias de controle Sistemas especialistas
1 Alguns autores não classificam o feedforward como controle avançado, mas estamos nos referindo ao controle antecipatório baseado nos modelos fenomenológicos dos processos.
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Í N D I C E
CAPÍTULO 10. TEORIA DE CONTROLE MODERNO: ABORDAGEM POR ESPAÇO DE
ESTADOS 10-2
Í N D I C E D E T A B E L A S Tabela 10-1: Controle Clássico x Controle Moderno. 10-2
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C A P Í T U L O 1 0 . T E O R I A D E C O N T R O L E M O D E R N O : A B O R D A G E M P O R E S P A Ç O D E E S T A D O S
Neste momento, faremos uma breve comparação entre a Teoria Clássica de Controle (o que
acabamos de estudar) e a denominada Teoria Moderna de Controle.
Tabe la 10 - 1 : Cont ro le C láss ico x Cont ro le Moderno .
Controle Clássico Controle Moderno
Sistemas lineares Sistemas lineares ou não lineares
SISO ou MIMO linear SISO ou MIMO não linear
Transformada de Laplace Equações diferenciais
Transformada Z Equações de diferenças finitas
Critério de Routh, Lugar das raízes,
Critério de Bode e de Nyquist
Autovalores e autovetores Planos de fases
Funções e critério de Liapunov
Multiplicidade de estados estacionários não é observada
Multiplicidade de estados estacionários é observada
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A B R E V I A T U R A S
a , b Constantes arbitrárias
A Amplitude de perturbação
A Área da seção transversal [ = ] m2
B Variável produzida pelo elemento de medida
BIAS Saída do controlador no estado estacionário
C Capacitância
C Concentração molar [ = ] kgmol/m3
C Variável de saída – controlada – não medida
CV Variável controlada (control variable)
cp Capacidade calorífica a pressão constante [ = ] kcal/(kg.K)
DE Carga do sistema (distúrbio externo)
E Erro
G Função de transferência
h Altura [ = ] m
H Entalpia [ = ] Kcal
H Função de transferência do elemento de medida
K Ganho do processo
L Comprimento da tubulação [ = ] m
m Massa [ = ] kg
M Sinal de saída da válvula
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MV Variável manipulada
OUT Sinal de saída do controlador [ = ] mA
PV Variável de processo (process variable)
q Vazão volumétrica [ = ] m3/s
Q Calor trocado [ = ] kcal/h
R Ponto de referência ou valor desejado
R Resistência
Rg Constante universal dos gases [ = ] J.mol-1
SP Valor desejado (set point)
t Tempo [ = ] h, min ou s
T Temperatura absoluta [ = ] K (graus Kelvin)
T Temperatura [ = ] ºC
U Variável de carga ou perturbação
UG Coeficiente global de troca térmica [ = ] kcal/m2. h.K
V Volume [ = ] m3
w Vazão mássica [ = ] kg/h
X Função entrada ou perturbação do sistema
Y Função saída ou resposta dos sistema
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Símbolos gregos
ν Coeficiente estequiométrico da substância
τ Constante de tempo para sistema de 1ª ordem
τ Período natural de oscilação para sistema de 2ª ordem
τD Tempo derivativo [ = ] min ou s
τI Tempo integral [ = ] min ou s
τm Tempo morto do processo
ζ Fator de amortecimento
ƒ Freqüência [ = ] rpm
ρ Massa específica [ = ] kg/m3
ℜ Constante da reação [ = ] s-1
ℜo Fator de freqüência [ = ] s-1
ω Freqüência angula da senoide [ = ] rad/s
Γ Taxa de consumo ou de reação [ = ] mol/m3.s
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Sobrescrito
- Variável em desvio
Subscrito
C Controlador
P Processo
SP Set point
ss Referente ao estado estacionário
st Referente à corrente de vapor (steam)
Abreviaturas
SISO - Uma entrada e Uma saída (Single-Input Single-Output)
SIMO - Uma entrada e Múltiplas saídas (Single-Input Multiple-Output)
MISO - Múltiplas entradas e Uma saída (Multiple-Input Single-Output)
MIMO -Múltiplas entradas e Múltiplas saídas (Multiple-Input Multiple-Output)
BIBO -Entrada Limitada e Saída Limitada (Bounded-Input Bounded-Output)