Aplicações de Álgebra Linear - professores.im-uff.mat.brprofessores.im-uff.mat.br/hjbortol/disciplinas/2010.1/fgv00000/... · Bibliograﬁa básica Gilbert Strang. Linear Algebra

Aplicações de Álgebra Linear

Humberto José Bortolossi

Departamento de Matemática Aplicada

Universidade Federal Fluminense

Aula 1

6 de janeiro de 2010

1/62 Aula 1 Aplicações de Álgebra Linear 1/1

Apresentação


Ementa

Revisão: base, transformação linear, núcleo, imagem, posto.

Métodos numéricos para resolução de sistemas lineares.

Ortogonalização, decomposição em valores singulares e aplicações.

Programação Linear: método simplex. Dualidade e teoria dos jogos.


Bibliografia básica

Gilbert Strang. Linear Algebra and Its Applications. Third edition.Thomson Learning, 1988.

Elon Lages Lima. Álgebra Linear. Coleção MatemáticaUniversitária. IMPA, 2008.

Flávio Ulhoa Coelho e Mary Lilian Lourenço. Um Curso de ÁlgebraLinear. Editora da Universidade de São Paulo, 2002.

Grégoire Allaire and Sidi Mahmoud Kaber. Numerical LinearAlgebra. Springer-Verlag, 2008.


Programação e Avaliação

Programação: O curso terá aulas expositivas com o instrutor àssegundas, quartas e sextas. As sessões de terça e quintaserão realizadas com o monitor e consistirão de resoluçãoe discussão das listas de exercícios.

Avaliação: Baseada em duas provas e desempenho nas aulas esessões de discussão.

Datas das provas: 18/01/2010 e 01/02/2010.

Página WEB:

http://www.professores.uff.br/hjbortol/disciplinas/2010.1/fgv00000/


Programação e Avaliação

Programação: O curso terá aulas expositivas com o instrutor àssegundas, quartas e sextas. As sessões de terça e quintaserão realizadas com o monitor e consistirão de resoluçãoe discussão das listas de exercícios.

Avaliação: Baseada em duas provas e desempenho nas aulas esessões de discussão.

Datas das provas: 18/01/2010 e 01/02/2010.

Página WEB:

http://www.professores.uff.br/hjbortol/disciplinas/2010.1/fgv00000/


Espaços Vetoriais


Espaços vetoriais

Sejam:

(1) V 6= ∅ (conjunto de vetores),

(2) K = Q ou K = R ou K = C (conjunto de escalares),

(3) +: V × V → V(u,v) 7→ u + v

(adição de vetores),

(4) · : K× V → V(α,v) 7→ α · v

(multiplicação de vetor por escalar).

Definição


Espaços vetoriais

Sejam:



(3) +: V × V → V(u,v) 7→ u + v


(4) · : K× V → V(α,v) 7→ α · v


Definição


Espaços vetoriais

Sejam:



(3) +: V × V → V(u,v) 7→ u + v


(4) · : K× V → V(α,v) 7→ α · v


Definição


Espaços vetoriais

Sejam:



(3) +: V × V → V(u,v) 7→ u + v


(4) · : K× V → V(α,v) 7→ α · v


Definição


Espaços vetoriais

Dizemos que (V ,K,+, · ) é um espaço vetorial se as seguintescondições forem satisfeitas ∀α, β ∈ K e ∀u,v,w ∈ V :

(A1) (comutatividade) u + v = v + u,

(A2) (associatividade) (u + v) + w = u + (v + w),

(A3) (vetor nulo) ∃0 ∈ V tal que ∀v ∈ V , v + 0 = 0 + v = v,

(A4) (inverso aditivo) ∀v ∈ V , ∃w ∈ V tal que v + w = w + v = 0,[notações: w = −v e u− v = u + (−v)]

(M1) (associatividade) (α · β) · v = α · (β · v),

(M2) (multiplicação por 1) 1 · v = v,

(D1) (distributividade) α · (u + v) = α · u + α · v,

(D2) (distributividade) (α + β) · v = α · v + β · v.

Definição


Espaços vetoriais










Definição


Espaços vetoriais










Definição


Espaços vetoriais










Definição


Exemplo: Rn

V = Rn = {(v1, . . . , vn) | v1 ∈ R, . . . , vn ∈ R}

K = R

u + v = (u1, . . . ,un) + (v1, . . . , vn) = (u1 + v1, . . . ,un + vn)

α · u = α · (u1, . . . ,un) = (α · u1, . . . , α · un)

0 = (0, . . . ,0)

− u = − (u1, . . . ,un) = (−u1, . . . ,−un)


Exemplo: Rn

V = Rn = {(v1, . . . , vn) | v1 ∈ R, . . . , vn ∈ R}

K = R

u + v = (u1, . . . ,un) + (v1, . . . , vn) = (u1 + v1, . . . ,un + vn)

α · u = α · (u1, . . . ,un) = (α · u1, . . . , α · un)

0 = (0, . . . ,0)

− u = − (u1, . . . ,un) = (−u1, . . . ,−un)


Exemplo: Rn

V = Rn = {(v1, . . . , vn) | v1 ∈ R, . . . , vn ∈ R}

K = R

u + v = (u1, . . . ,un) + (v1, . . . , vn) = (u1 + v1, . . . ,un + vn)

α · u = α · (u1, . . . ,un) = (α · u1, . . . , α · un)

0 = (0, . . . ,0)

− u = − (u1, . . . ,un) = (−u1, . . . ,−un)


Exemplo: Rn

V = Rn = {(v1, . . . , vn) | v1 ∈ R, . . . , vn ∈ R}

K = R

u + v = (u1, . . . ,un) + (v1, . . . , vn) = (u1 + v1, . . . ,un + vn)

α · u = α · (u1, . . . ,un) = (α · u1, . . . , α · un)

0 = (0, . . . ,0)

− u = − (u1, . . . ,un) = (−u1, . . . ,−un)


Exemplo: Rn

V = Rn = {(v1, . . . , vn) | v1 ∈ R, . . . , vn ∈ R}

K = R

u + v = (u1, . . . ,un) + (v1, . . . , vn) = (u1 + v1, . . . ,un + vn)

α · u = α · (u1, . . . ,un) = (α · u1, . . . , α · un)

0 = (0, . . . ,0)

− u = − (u1, . . . ,un) = (−u1, . . . ,−un)


Exemplo: Rn

V = Rn = {(v1, . . . , vn) | v1 ∈ R, . . . , vn ∈ R}

K = R

u + v = (u1, . . . ,un) + (v1, . . . , vn) = (u1 + v1, . . . ,un + vn)

α · u = α · (u1, . . . ,un) = (α · u1, . . . , α · un)

0 = (0, . . . ,0)

− u = − (u1, . . . ,un) = (−u1, . . . ,−un)


Exemplo: o espaço das sequências reais

V = R∞ = {(v1, . . . , vi , . . .) | v1 ∈ R, . . . , vi ∈ R, . . .}

K = R

u + v = (u1, . . . ,ui , . . .) + (v1, . . . , vi , . . .) = (u1 + v1, . . . ,ui + vi , . . .)

α · u = α · (u1, . . . ,ui , . . .) = (α · u1, . . . , α · ui , . . .)

0 = (0, . . . ,0, . . .)

− u = − (u1, . . . ,ui , . . .) = (−u1, . . . ,−ui , . . .)



V = R∞ = {(v1, . . . , vi , . . .) | v1 ∈ R, . . . , vi ∈ R, . . .}

K = R

u + v = (u1, . . . ,ui , . . .) + (v1, . . . , vi , . . .) = (u1 + v1, . . . ,ui + vi , . . .)

α · u = α · (u1, . . . ,ui , . . .) = (α · u1, . . . , α · ui , . . .)

0 = (0, . . . ,0, . . .)

− u = − (u1, . . . ,ui , . . .) = (−u1, . . . ,−ui , . . .)



V = R∞ = {(v1, . . . , vi , . . .) | v1 ∈ R, . . . , vi ∈ R, . . .}

K = R

u + v = (u1, . . . ,ui , . . .) + (v1, . . . , vi , . . .) = (u1 + v1, . . . ,ui + vi , . . .)

α · u = α · (u1, . . . ,ui , . . .) = (α · u1, . . . , α · ui , . . .)

0 = (0, . . . ,0, . . .)

− u = − (u1, . . . ,ui , . . .) = (−u1, . . . ,−ui , . . .)



V = R∞ = {(v1, . . . , vi , . . .) | v1 ∈ R, . . . , vi ∈ R, . . .}

K = R

u + v = (u1, . . . ,ui , . . .) + (v1, . . . , vi , . . .) = (u1 + v1, . . . ,ui + vi , . . .)

α · u = α · (u1, . . . ,ui , . . .) = (α · u1, . . . , α · ui , . . .)

0 = (0, . . . ,0, . . .)

− u = − (u1, . . . ,ui , . . .) = (−u1, . . . ,−ui , . . .)



V = R∞ = {(v1, . . . , vi , . . .) | v1 ∈ R, . . . , vi ∈ R, . . .}

K = R

u + v = (u1, . . . ,ui , . . .) + (v1, . . . , vi , . . .) = (u1 + v1, . . . ,ui + vi , . . .)

α · u = α · (u1, . . . ,ui , . . .) = (α · u1, . . . , α · ui , . . .)

0 = (0, . . . ,0, . . .)

− u = − (u1, . . . ,ui , . . .) = (−u1, . . . ,−ui , . . .)



V = R∞ = {(v1, . . . , vi , . . .) | v1 ∈ R, . . . , vi ∈ R, . . .}

K = R

u + v = (u1, . . . ,ui , . . .) + (v1, . . . , vi , . . .) = (u1 + v1, . . . ,ui + vi , . . .)

α · u = α · (u1, . . . ,ui , . . .) = (α · u1, . . . , α · ui , . . .)

0 = (0, . . . ,0, . . .)

− u = − (u1, . . . ,ui , . . .) = (−u1, . . . ,−ui , . . .)


Exemplo: o espaço das matrizes reais m × n

V =Mm×n(R) =

a11 · · · a1n

.... . .

...am1 · · · amn

∣∣∣∣∣∣∣aij ∈ R para 1 ≤ i ≤ m e 1 ≤ j ≤ n

K = R

u + v =

u11 · · · u1n...

. . ....

um1 · · · umn

+

v11 · · · v1n...

. . ....

vm1 · · · vmn

=

u11 + v11 · · · u1n + v1n...

. . ....

um1 + vm1 · · · umn + vmn

α · u = α ·

u11 · · · u1n...

. . ....

um1 · · · umn

=

α · u11 · · · α · u1n...

. . ....

α · um1 · · · α · umn



V =Mm×n(R) =

a11 · · · a1n

.... . .

...am1 · · · amn

∣∣∣∣∣∣∣aij ∈ R para 1 ≤ i ≤ m e 1 ≤ j ≤ n

K = R

u + v =

u11 · · · u1n...

. . ....

um1 · · · umn

+

v11 · · · v1n...

. . ....

vm1 · · · vmn

=

u11 + v11 · · · u1n + v1n...

. . ....


α · u = α ·

u11 · · · u1n...

. . ....

um1 · · · umn

=

α · u11 · · · α · u1n...

. . ....

α · um1 · · · α · umn



V =Mm×n(R) =

a11 · · · a1n

.... . .

...am1 · · · amn

∣∣∣∣∣∣∣aij ∈ R para 1 ≤ i ≤ m e 1 ≤ j ≤ n

K = R

u + v =

u11 · · · u1n...

. . ....

um1 · · · umn

+

v11 · · · v1n...

. . ....

vm1 · · · vmn

=

u11 + v11 · · · u1n + v1n...

. . ....


α · u = α ·

u11 · · · u1n...

. . ....

um1 · · · umn

=

α · u11 · · · α · u1n...

. . ....

α · um1 · · · α · umn


Exemplo: o espaço das funções reais

V = F(X ,R) = conjunto de todas as funções f de X em R com X 6= ∅

K = R

f + g : X → Rx 7→ (f + g)(x) = f (x) + g(x)

α · f : X → Rx 7→ (α · f )(x) = α · f (x)




K = R

f + g : X → Rx 7→ (f + g)(x) = f (x) + g(x)

α · f : X → Rx 7→ (α · f )(x) = α · f (x)




K = R

f + g : X → Rx 7→ (f + g)(x) = f (x) + g(x)

α · f : X → Rx 7→ (α · f )(x) = α · f (x)




K = R

f + g : X → Rx 7→ (f + g)(x) = f (x) + g(x)

α · f : X → Rx 7→ (α · f )(x) = α · f (x)




K = R

f + g : X → Rx 7→ (f + g)(x) = f (x) + g(x)

α · f : X → Rx 7→ (α · f )(x) = α · f (x)




K = R

f + g : X → Rx 7→ (f + g)(x) = f (x) + g(x)

α · f : X → Rx 7→ (α · f )(x) = α · f (x)


Propriedades

(1) O vetor nulo é único.

(2) O inverso aditivo de um vetor é único.

(3) Se u + w = v + w, então u = v.

(4) 0 · v = 0 e α · 0 = 0.

(5) Se α 6= 0 e v 6= 0, então α · v 6= 0.

(6) (−1) · v = −v.

(7) −0 = 0.

(8) −(−v) = v.


Demonstração da propriedade (1)

O vetor nulo de um espaço vetorial é único.

Demonstração. Considere 0 e 0̃ dois vetores nulos do espaço vetorial. Temosque:

0̃(A3)= 0̃ + 0

(A3)= 0.





0̃(A3)= 0̃ + 0

(A3)= 0.





0̃(A3)= 0̃ + 0

(A3)= 0.





0̃(A3)= 0̃ + 0

(A3)= 0.





0̃(A3)= 0̃ + 0

(A3)= 0.





0̃(A3)= 0̃ + 0

(A3)= 0.





0̃(A3)= 0̃ + 0

(A3)= 0.





0̃(A3)= 0̃ + 0

(A3)= 0.


Exercício

Mostre que o inverso aditivo de um elemento v é único:{v + w = w + v = 0v + w̃ = w̃ + v = 0 ⇒ w = w̃.

Demonstração. Temos que

w = 0 + w = (w̃ + v) + w = w̃ + (v + w) = w̃ + 0 = w̃.


Exercício


Demonstração.

Temos que

w = 0 + w = (w̃ + v) + w = w̃ + (v + w) = w̃ + 0 = w̃.


Exercício



w = 0 + w

= (w̃ + v) + w = w̃ + (v + w) = w̃ + 0 = w̃.


Exercício



w = 0 + w = (w̃ + v) + w

= w̃ + (v + w) = w̃ + 0 = w̃.


Exercício



w = 0 + w = (w̃ + v) + w = w̃ + (v + w)

= w̃ + 0 = w̃.


Exercício



w = 0 + w = (w̃ + v) + w = w̃ + (v + w) = w̃ + 0

= w̃.


Exercício



w = 0 + w = (w̃ + v) + w = w̃ + (v + w) = w̃ + 0 = w̃.


Subespaços Vetoriais


Subespaços vetoriais

Sejam (V ,K,+, · ) um espaço vetorial. Um subespaço vetorial de Vé um subconjunto W ⊆ V com as seguintes propriedades:(1) 0 ∈W .(2) Se w1,w2 ∈W , então w1 + w2 ∈W .(3) Se α ∈ K e w ∈W , então α ·w ∈W .

Definição

Note que, em particular,(W ,K, +|W×W , · |K×W

)é, em si mesmo, um espaço vetorial.

{0} e V são sempre subespaços de V , para qualquer espaço vetorial V .




Definição







Definição





Exemplos

(1) W = {(v1, v2, . . . , vn) ∈ Rn | v1 = 0} é subespaço de Rn.

(2) W = {A ∈ Mn×n(R) | A = AT} (conjunto das matrizes reaissimétricas) é subespaço deMn×n(R).

(3) W = {f ∈ F(R,R) | f é contínua} (conjunto das funções reaiscontínuas) é subespaço de F(R,R).

(4) W =

(x1, . . . , xn) ∈ Rn

∣∣∣∣∣∣∣a11 · x1 + · · · + a1n · xn = 0,

...am1 · x1 + · · · + amn · xn = 0.

(soluções de um sistema linear homogêneo) é subespaço de Rn.


Exemplos




(4) W =

(x1, . . . , xn) ∈ Rn

∣∣∣∣∣∣∣a11 · x1 + · · · + a1n · xn = 0,

...am1 · x1 + · · · + amn · xn = 0.



Exemplos




(4) W =

(x1, . . . , xn) ∈ Rn

∣∣∣∣∣∣∣a11 · x1 + · · · + a1n · xn = 0,

...am1 · x1 + · · · + amn · xn = 0.



Exemplos




(4) W =

(x1, . . . , xn) ∈ Rn

∣∣∣∣∣∣∣a11 · x1 + · · · + a1n · xn = 0,

...am1 · x1 + · · · + amn · xn = 0.



Exercício

W1 = {A ∈Mn×n(R) | tr(A) = 0} e W2 = {A ∈Mn×n(R) | tr(A) 6= 0}

são subespaços vetoriais de V =Mn×n(R)?

tr

a11 · · · a1n

.... . .

...an1 · · · ann

= a11 + a22 + · · ·+ ann =

n∑i=1

aii .


Operações com Subespaços


Interseção

Seja {Wλ}λ∈Λ uma coleção de subespaços de um espaço vetorial V .Então, a interseção

W =⋂λ∈Λ

Wλ

também é um subespaço de V .

Teorema

Demonstração.(1) Para todo λ ∈ Λ, temos que 0 ∈ Wλ, pois cada Wλ é subespaço vetorial

de V . Logo, 0 ∈W =⋂

λ∈Λ Wλ.(2) Se w1,w2 ∈ W =

⋂λ∈Λ Wλ, então w1,w2 ∈ Wλ, para todo λ ∈ Λ. Como

cada Wλ é subespaço vetorial, segue-se que w1 + w2 ∈ Wλ, ∀λ ∈ Λ.Logo, w1 + w2 ∈W =

⋂λ∈Λ Wλ.

(3) Se α ∈ K e w ∈ W =⋂

λ∈Λ Wλ, então w ∈ Wλ, para todo λ ∈ Λ. Comocada Wλ é subespaço vetorial, segue-se que α ·w ∈ Wλ, ∀λ ∈ Λ. Logo,α ·w ∈W =

⋂λ∈Λ Wλ.


Interseção


W =⋂λ∈Λ

Wλ


Teorema



λ∈Λ Wλ.(2) Se w1,w2 ∈ W =



⋂λ∈Λ Wλ.

(3) Se α ∈ K e w ∈ W =⋂


⋂λ∈Λ Wλ.


Interseção


W =⋂λ∈Λ

Wλ


Teorema



λ∈Λ Wλ.(2) Se w1,w2 ∈ W =



⋂λ∈Λ Wλ.

(3) Se α ∈ K e w ∈ W =⋂


⋂λ∈Λ Wλ.


Interseção


W =⋂λ∈Λ

Wλ


Teorema



λ∈Λ Wλ.(2) Se w1,w2 ∈ W =



⋂λ∈Λ Wλ.

(3) Se α ∈ K e w ∈ W =⋂


⋂λ∈Λ Wλ.


Interseção


W =⋂λ∈Λ

Wλ


Teorema



λ∈Λ Wλ.(2) Se w1,w2 ∈ W =



⋂λ∈Λ Wλ.

(3) Se α ∈ K e w ∈ W =⋂


⋂λ∈Λ Wλ.


Interseção


W =⋂λ∈Λ

Wλ


Teorema



λ∈Λ Wλ.(2) Se w1,w2 ∈ W =



⋂λ∈Λ Wλ.

(3) Se α ∈ K e w ∈ W =⋂


⋂λ∈Λ Wλ.


Interseção


W =⋂λ∈Λ

Wλ


Teorema



λ∈Λ Wλ.(2) Se w1,w2 ∈ W =



⋂λ∈Λ Wλ.

(3) Se α ∈ K e w ∈ W =⋂


⋂λ∈Λ Wλ.


Interseção


W =⋂λ∈Λ

Wλ


Teorema



λ∈Λ Wλ.(2) Se w1,w2 ∈ W =



⋂λ∈Λ Wλ.

(3) Se α ∈ K e w ∈ W =⋂


⋂λ∈Λ Wλ.


Interseção


W =⋂λ∈Λ

Wλ


Teorema



λ∈Λ Wλ.(2) Se w1,w2 ∈ W =



⋂λ∈Λ Wλ.

(3) Se α ∈ K e w ∈ W =⋂


⋂λ∈Λ Wλ.


Interseção


W =⋂λ∈Λ

Wλ


Teorema



λ∈Λ Wλ.(2) Se w1,w2 ∈ W =



⋂λ∈Λ Wλ.

(3) Se α ∈ K e w ∈ W =⋂


⋂λ∈Λ Wλ.


Interseção


W =⋂λ∈Λ

Wλ


Teorema



λ∈Λ Wλ.(2) Se w1,w2 ∈ W =



⋂λ∈Λ Wλ.

(3) Se α ∈ K e w ∈ W =⋂


⋂λ∈Λ Wλ.


Interseção


W =⋂λ∈Λ

Wλ


Teorema



λ∈Λ Wλ.(2) Se w1,w2 ∈ W =



⋂λ∈Λ Wλ.

(3) Se α ∈ K e w ∈ W =⋂


⋂λ∈Λ Wλ.


Interseção


W =⋂λ∈Λ

Wλ


Teorema



λ∈Λ Wλ.(2) Se w1,w2 ∈ W =



⋂λ∈Λ Wλ.

(3) Se α ∈ K e w ∈ W =⋂


⋂λ∈Λ Wλ.


Interseção


W =⋂λ∈Λ

Wλ


Teorema



λ∈Λ Wλ.(2) Se w1,w2 ∈ W =



⋂λ∈Λ Wλ.

(3) Se α ∈ K e w ∈ W =⋂


⋂λ∈Λ Wλ.


Interseção


W =⋂λ∈Λ

Wλ


Teorema



λ∈Λ Wλ.(2) Se w1,w2 ∈ W =



⋂λ∈Λ Wλ.

(3) Se α ∈ K e w ∈ W =⋂


⋂λ∈Λ Wλ.


União

União de subespaços não é, em geral, um subespaço.

W1 = {(x ,0) ∈ R2 | x ∈ R} e W2 = {(0, y) ∈ R2 | y ∈ R}

são subespaços de R2.

Mas W = W1 ∪W2 não é subespaço de R2.

De fato: w1 = (1,0) ∈W , w2 = (0,1) ∈W ,mas w = w1 + w2 = (1,1) 6∈W .


União


W1 = {(x ,0) ∈ R2 | x ∈ R} e W2 = {(0, y) ∈ R2 | y ∈ R}





União


W1 = {(x ,0) ∈ R2 | x ∈ R} e W2 = {(0, y) ∈ R2 | y ∈ R}





União


W1 = {(x ,0) ∈ R2 | x ∈ R} e W2 = {(0, y) ∈ R2 | y ∈ R}





União


W1 = {(x ,0) ∈ R2 | x ∈ R} e W2 = {(0, y) ∈ R2 | y ∈ R}





Soma

Sejam W1 e W2 dois subespaços de um espaço vetorial V . Então,a soma

W = W1 + W2 = {w1 + w2 ∈ V | w1 ∈W1 e w2 ∈W2}


Teorema


Soma direta

Dizemos que W é soma direta dos subespaços W1 e W2 se

W1 + W2 = W e W1 ∩W2 = {0}.

Notação: W = W1 ⊕W2.

Definição


Exemplos

(1) W1 = {(x ,0) ∈ R2 | x ∈ R} e W2 = {(0, y) ∈ R2 | y ∈ R}.

R2 = W1 ⊕W2

(2) W1 = {A ∈Mn×n(K) | A = AT} e W2 = {A ∈Mn×n(K) | A = −AT}.

Mn×n(K) = W1 ⊕W2

(3) W1 = {f ∈ F(R,R) | f é par} e W2 = {f ∈ F(R,R) | f é ímpar}.

F(R,R) = W1 ⊕W2


Exemplos

(1) W1 = {(x ,0) ∈ R2 | x ∈ R} e W2 = {(0, y) ∈ R2 | y ∈ R}.

R2 = W1 ⊕W2


Mn×n(K) = W1 ⊕W2


F(R,R) = W1 ⊕W2


Exemplos

(1) W1 = {(x ,0) ∈ R2 | x ∈ R} e W2 = {(0, y) ∈ R2 | y ∈ R}.

R2 = W1 ⊕W2


Mn×n(K) = W1 ⊕W2


F(R,R) = W1 ⊕W2


Soma direta

W = W1 ⊕ · · · ⊕Wk

mW = W1 + · · ·+ Wk

e

∀1 ≤ j ≤ k ,Wj ∩ (W1 + · · ·+ Wj−1 + Wj+1 + · · ·Wk ) = {0}.

Definição


Combinações Lineares e Geradores



Seja V um espaço vetorial.

(1) Um vetor v ∈ V é uma combinação linear dos vetoresv1, . . . ,vk ∈ V se existem escalares α1, . . . , αk ∈ K tais que

v = α1 · v1 + · · ·+ αk · vk =k∑

i=1

αi · vi .

(2) Seja B um subconjunto de V . O subespaço gerado por B,denotado por [B], é o conjunto formado por todo todo elementode V que é uma combinação linear de um número finito deelementos de B. Convenção: [∅] = {0}.

(3) Se [B] = V , dizemos que B é um conjunto de geradores de V .

Definição

Exercício: mostre que, de fato, [B] é subespaço vetorial de V .





v = α1 · v1 + · · ·+ αk · vk =k∑

i=1

αi · vi .



Definição






v = α1 · v1 + · · ·+ αk · vk =k∑

i=1

αi · vi .



Definição






v = α1 · v1 + · · ·+ αk · vk =k∑

i=1

αi · vi .



Definição






v = α1 · v1 + · · ·+ αk · vk =k∑

i=1

αi · vi .



Definição






v = α1 · v1 + · · ·+ αk · vk =k∑

i=1

αi · vi .



Definição



Exemplos

(1) [(1,0), (0,1)] = R2.

(2) [(1,0), (0,1), (1,1)] = R2.

(3) [R2] = R2.

(4) [1, x , . . . , xn, . . .] = P(R), onde P(R) é o espaço vetorial dos polinômios comcoeficientes reais .


Exemplos

(1) [(1,0), (0,1)] = R2.

(2) [(1,0), (0,1), (1,1)] = R2.

(3) [R2] = R2.



Exemplos

(1) [(1,0), (0,1)] = R2.

(2) [(1,0), (0,1), (1,1)] = R2.

(3) [R2] = R2.



Exemplos

(1) [(1,0), (0,1)] = R2.

(2) [(1,0), (0,1), (1,1)] = R2.

(3) [R2] = R2.



Combinações lineares e sistemas lineares

a11 · x1 + · · · + a1n · xn = b1,

...am1 · x1 + · · · + amn · xn = bm.

m

x1 ·

a11...

am1

+ · · ·+ xn ·

a1n...

amn

=

b1...

bm

Moral:

o sistema linear possui solução

m

o vetor (b1, . . . ,bm) pode ser escrito como combinação lineardos vetores (a11, . . . ,am1), . . . , (a1n, . . . ,amn).



a11 · x1 + · · · + a1n · xn = b1,

...am1 · x1 + · · · + amn · xn = bm.

m

x1 ·

a11...

am1

+ · · ·+ xn ·

a1n...

amn

=

b1...

bm

Moral:


m




a11 · x1 + · · · + a1n · xn = b1,

...am1 · x1 + · · · + amn · xn = bm.

m

x1 ·

a11...

am1

+ · · ·+ xn ·

a1n...

amn

=

b1...

bm

Moral:


m




a11 · x1 + · · · + a1n · xn = b1,

...am1 · x1 + · · · + amn · xn = bm.

m

x1 ·

a11...

am1

+ · · ·+ xn ·

a1n...

amn

=

b1...

bm

Moral:


m



Multiplicação de matrizes e combinações lineares

ym×1 = Bm×r · xr×1

my1...

ym

=

|b1|

· · ·|

br|

·

x1...

xr

m

y1...

ym

= x1 ·

|b1|

+ · · ·+ xr ·

|br|

Moral:

Se y = B · x, então y é combinação linear das colunas damatriz B.



ym×1 = Bm×r · xr×1

my1...

ym

=

|b1|

· · ·|

br|

·

x1...

xr

m

y1...

ym

= x1 ·

|b1|

+ · · ·+ xr ·

|br|

Moral:




ym×1 = Bm×r · xr×1

my1...

ym

=

|b1|

· · ·|

br|

·

x1...

xr

m

y1...

ym

= x1 ·

|b1|

+ · · ·+ xr ·

|br|

Moral:




ym×1 = Bm×r · xr×1

my1...

ym

=

|b1|

· · ·|

br|

·

x1...

xr

m

y1...

ym

= x1 ·

|b1|

+ · · ·+ xr ·

|br|

Moral:




Am×n = Bm×r · Cr×n

m |a1|

· · ·|

an|

=

|b1|

· · ·|

br|

·

c11...

cr1

· · ·c1r...

crn

m |

aj|

=

|b1|

· · ·|

br|

·

c1j...

cr j

Moral:

Se A = B · C, então as colunas da matriz A são combinaçõeslineares das colunas da matriz B.




m |a1|

· · ·|

an|

=

|b1|

· · ·|

br|

·

c11...

cr1

· · ·c1r...

crn

m |

aj|

=

|b1|

· · ·|

br|

·

c1j...

cr j

Moral:





m |a1|

· · ·|

an|

=

|b1|

· · ·|

br|

·

c11...

cr1

· · ·c1r...

crn

m |

aj|

=

|b1|

· · ·|

br|

·

c1j...

cr j

Moral:





m |a1|

· · ·|

an|

=

|b1|

· · ·|

br|

·

c11...

cr1

· · ·c1r...

crn

m |

aj|

=

|b1|

· · ·|

br|

·

c1j...

cr j

Moral:



Geradores e a escolha de K

B = {(1,0), (0,1)} é um conjunto gerador de V = C2

sobre K = C.

De fato: ∀(z1, z2) ∈ C2, (z1, z2) = z1 · (1,0) + z2 · (0,1).

Mas

B = {(1,0), (0,1)} não é um conjunto gerador de V = C2

sobre K = R.

Por exemplo, (i ,0) 6∈ [(1,0), (0,1)].

B = {(1,0), (0,1), (i ,0), (0, i)} é um conjunto gerador de V = C2 sobre K = R.




sobre K = C.

De fato: ∀(z1, z2) ∈ C2, (z1, z2) = z1 · (1,0) + z2 · (0,1).

Mas


sobre K = R.

Por exemplo, (i ,0) 6∈ [(1,0), (0,1)].





sobre K = C.

De fato: ∀(z1, z2) ∈ C2, (z1, z2) = z1 · (1,0) + z2 · (0,1).

Mas


sobre K = R.

Por exemplo, (i ,0) 6∈ [(1,0), (0,1)].





sobre K = C.

De fato: ∀(z1, z2) ∈ C2, (z1, z2) = z1 · (1,0) + z2 · (0,1).

Mas


sobre K = R.

Por exemplo, (i ,0) 6∈ [(1,0), (0,1)].





sobre K = C.

De fato: ∀(z1, z2) ∈ C2, (z1, z2) = z1 · (1,0) + z2 · (0,1).

Mas


sobre K = R.

Por exemplo, (i ,0) 6∈ [(1,0), (0,1)].





sobre K = C.

De fato: ∀(z1, z2) ∈ C2, (z1, z2) = z1 · (1,0) + z2 · (0,1).

Mas


sobre K = R.

Por exemplo, (i ,0) 6∈ [(1,0), (0,1)].





sobre K = C.

De fato: ∀(z1, z2) ∈ C2, (z1, z2) = z1 · (1,0) + z2 · (0,1).

Mas


sobre K = R.

Por exemplo, (i ,0) 6∈ [(1,0), (0,1)].



Bases


Dependência e independência linear

Sejam (V ,K,+, · ) um espaço vetorial e B um subconjunto de V .

(1) Dizemos que B é um conjunto linearmente independente (LI) se,para qualquer escolha de vetores v1, . . . ,vk ∈ B tais que

α1 · v1 + · · ·+ αk · vk = 0 ⇒ α1 = · · · = αk = 0,

onde α1, . . . , αk ∈ K. Por convenção, ∅ é LI.

(2) Dizemos que B é linearmente dependente (LD) se ele não for LI.

Definição





α1 · v1 + · · ·+ αk · vk = 0 ⇒ α1 = · · · = αk = 0,



Definição





α1 · v1 + · · ·+ αk · vk = 0 ⇒ α1 = · · · = αk = 0,



Definição





α1 · v1 + · · ·+ αk · vk = 0 ⇒ α1 = · · · = αk = 0,



Definição





α1 · v1 + · · ·+ αk · vk = 0 ⇒ α1 = · · · = αk = 0,



Definição





α1 · v1 + · · ·+ αk · vk = 0 ⇒ α1 = · · · = αk = 0,



Definição


Exemplos

(1) {(1,0, . . . ,0), (0,1, . . . ,0), . . . , (0,0, . . . ,1)} é LI em (Rn,R,+, · ).

(2) {(1,0), (0,1), (i ,0), (0, i)} é LI em (C2,R,+, · ).

(3) {(1,0), (0,1), (i ,0), (0, i)} é LD em (C2,C,+, · ).De fato: i · (1,0) + 0 · (0,1)− 1 · (i ,0) + 0 · (0, i) = (0,0).

(4) O conjunto infinito{fn : [a,b] → R

t 7→ fn(t) = tn

}∣∣∣∣n∈N

é um conjunto LI em C([a,b],R).De fato: pelo teorema fundamental da álgebra,

(∀t ∈ [a,b], α1 · tn1 + · · ·+ αk · tnk = 0)⇒ α1 = · · · = αk = 0.


Exemplos

(1) {(1,0, . . . ,0), (0,1, . . . ,0), . . . , (0,0, . . . ,1)} é LI em (Rn,R,+, · ).

(2) {(1,0), (0,1), (i ,0), (0, i)} é LI em (C2,R,+, · ).



t 7→ fn(t) = tn

}∣∣∣∣n∈N


(∀t ∈ [a,b], α1 · tn1 + · · ·+ αk · tnk = 0)⇒ α1 = · · · = αk = 0.


Exemplos

(1) {(1,0, . . . ,0), (0,1, . . . ,0), . . . , (0,0, . . . ,1)} é LI em (Rn,R,+, · ).

(2) {(1,0), (0,1), (i ,0), (0, i)} é LI em (C2,R,+, · ).



t 7→ fn(t) = tn

}∣∣∣∣n∈N


(∀t ∈ [a,b], α1 · tn1 + · · ·+ αk · tnk = 0)⇒ α1 = · · · = αk = 0.


Exemplos

(1) {(1,0, . . . ,0), (0,1, . . . ,0), . . . , (0,0, . . . ,1)} é LI em (Rn,R,+, · ).

(2) {(1,0), (0,1), (i ,0), (0, i)} é LI em (C2,R,+, · ).



t 7→ fn(t) = tn

}∣∣∣∣n∈N


(∀t ∈ [a,b], α1 · tn1 + · · ·+ αk · tnk = 0)⇒ α1 = · · · = αk = 0.


Exemplos

(1) {(1,0, . . . ,0), (0,1, . . . ,0), . . . , (0,0, . . . ,1)} é LI em (Rn,R,+, · ).

(2) {(1,0), (0,1), (i ,0), (0, i)} é LI em (C2,R,+, · ).



t 7→ fn(t) = tn

}∣∣∣∣n∈N


(∀t ∈ [a,b], α1 · tn1 + · · ·+ αk · tnk = 0)⇒ α1 = · · · = αk = 0.


Exemplos

(1) {(1,0, . . . ,0), (0,1, . . . ,0), . . . , (0,0, . . . ,1)} é LI em (Rn,R,+, · ).

(2) {(1,0), (0,1), (i ,0), (0, i)} é LI em (C2,R,+, · ).



t 7→ fn(t) = tn

}∣∣∣∣n∈N


(∀t ∈ [a,b], α1 · tn1 + · · ·+ αk · tnk = 0)⇒ α1 = · · · = αk = 0.


Exemplos

(1) {(1,0, . . . ,0), (0,1, . . . ,0), . . . , (0,0, . . . ,1)} é LI em (Rn,R,+, · ).

(2) {(1,0), (0,1), (i ,0), (0, i)} é LI em (C2,R,+, · ).



t 7→ fn(t) = tn

}∣∣∣∣n∈N


(∀t ∈ [a,b], α1 · tn1 + · · ·+ αk · tnk = 0)⇒ α1 = · · · = αk = 0.


Exemplos

(1) {(1,0, . . . ,0), (0,1, . . . ,0), . . . , (0,0, . . . ,1)} é LI em (Rn,R,+, · ).

(2) {(1,0), (0,1), (i ,0), (0, i)} é LI em (C2,R,+, · ).



t 7→ fn(t) = tn

}∣∣∣∣n∈N


(∀t ∈ [a,b], α1 · tn1 + · · ·+ αk · tnk = 0)⇒ α1 = · · · = αk = 0.


Bases

Sejam (V ,K,+, · ) um espaço vetorial e B um subconjunto de V .Dizemos que B é uma base de V se

(a) B for um conjunto gerador de V e

(b) B for linearmente independente.

Definição


Exemplos

(1) {(1,0, . . . ,0), (0,1, . . . ,0), . . . , (0,0, . . . ,1)} é uma base do espaçovetorial (Rn,R,+, · ). Ela é denominada base canônica de Rn.

(2) {(1,0), (0,1), (i ,0), (0, i)} é uma base de (C2,R,+, · ).

(3) {(1,0), (0,1)} é uma base de (C2,C,+, · ).


t 7→ fn(t) = tn

}∣∣∣∣n∈N∪{0}

é uma base de

P([a,b],R) = conjunto das funções polinomiais de [a,b] em R sobre K = R.


Exemplos


(2) {(1,0), (0,1), (i ,0), (0, i)} é uma base de (C2,R,+, · ).

(3) {(1,0), (0,1)} é uma base de (C2,C,+, · ).


t 7→ fn(t) = tn

}∣∣∣∣n∈N∪{0}

é uma base de



Exemplos


(2) {(1,0), (0,1), (i ,0), (0, i)} é uma base de (C2,R,+, · ).

(3) {(1,0), (0,1)} é uma base de (C2,C,+, · ).


t 7→ fn(t) = tn

}∣∣∣∣n∈N∪{0}

é uma base de



Exemplos


(2) {(1,0), (0,1), (i ,0), (0, i)} é uma base de (C2,R,+, · ).

(3) {(1,0), (0,1)} é uma base de (C2,C,+, · ).


t 7→ fn(t) = tn

}∣∣∣∣n∈N∪{0}

é uma base de



Espaços Finitamente Gerados


Espaços finitamente gerados

Dizemos que um espaço vetorial (V ,K,+, · ) é finitamente gerado seele possui um conjunto gerador finito.

Definição

(1) (R2,R,+, · ) é finitamente gerado por B = {(1,0), (0,1)}.

(2) (R2,Q,+, · ) não é finitamente gerado.

(3) (Pn([a,b],R),R,+, · ) não é finitamente gerado.

(4) (Pn([a,b],R),R,+, · ) é finitamente gerado por B = {1, x , . . . , xn}.




Definição








Definição








Definição








Definição






Proposição

Se B = {v1, . . . ,vk} é um conjunto gerador de V , então todo conjuntoLI de V possui no máximo k elementos.

Proposição

Demonstração.Passo 1. Vamos mostrar que todo subconjunto de V com mais do que k

vetores é LD.

Passo 2. Seja X = {u1, . . . ,um} um subconjunto de V com m > kelementos.

Passo 3. Como B = {v1, . . . ,vk} é um conjunto gerador para V , existemescalares aij , com 1 ≤ i ≤ k e 1 ≤ j ≤ m tais que

u1 = a11 · v1 + · · ·+ ak1 · vk =∑k

i=1 ai1 · vi ,...

um = a1m · v1 + · · ·+ akm · vk =∑k

i=1 aim · vi .


Proposição


Proposição


vetores é LD.



u1 = a11 · v1 + · · ·+ ak1 · vk =∑k

i=1 ai1 · vi ,...

um = a1m · v1 + · · ·+ akm · vk =∑k

i=1 aim · vi .


Proposição


Proposição


vetores é LD.



u1 = a11 · v1 + · · ·+ ak1 · vk =∑k

i=1 ai1 · vi ,...

um = a1m · v1 + · · ·+ akm · vk =∑k

i=1 aim · vi .


Proposição


Proposição


vetores é LD.



u1 = a11 · v1 + · · ·+ ak1 · vk =∑k

i=1 ai1 · vi ,...

um = a1m · v1 + · · ·+ akm · vk =∑k

i=1 aim · vi .


Proposição


Proposição


vetores é LD.



u1 = a11 · v1 + · · ·+ ak1 · vk =∑k

i=1 ai1 · vi ,...

um = a1m · v1 + · · ·+ akm · vk =∑k

i=1 aim · vi .


Proposição


Proposição


vetores é LD.



u1 = a11 · v1 + · · ·+ ak1 · vk =∑k

i=1 ai1 · vi ,...

um = a1m · v1 + · · ·+ akm · vk =∑k

i=1 aim · vi .


Demonstração

Passo 4. Vamos agora estudar as combinações lineares de u1, . . . ,um emtermos de v1, . . . , vk :

x1 · u1 + · · ·+ xm · um

=

x1 · (a11 · v1 + · · ·+ ak1 · vk ) + · · ·+ xm · (a1m · v1 + · · ·+ akm · vk )

=

(a11 · x1 + · · ·+ a1m · xm) · v1 + · · ·+ (ak1 · x1 + · · ·+ akm · xm) · vk .

Passo 5. Para mostrar que {u1, . . . ,um} é LD, precisamos exibir x1, . . . , xmnão todos nulos tais que a combinação linear acima resulta novetor nulo.

Passo 6. Para isto, basta exibir x1, . . . , xm não todos nulos tais quea11 · x1 + · · ·+ a1m · xm = 0,

...ak1 · x1 + · · ·+ akm · xm = 0.


Demonstração


x1 · u1 + · · ·+ xm · um

=


=




...ak1 · x1 + · · ·+ akm · xm = 0.


Demonstração


x1 · u1 + · · ·+ xm · um

=


=




...ak1 · x1 + · · ·+ akm · xm = 0.


Demonstração


x1 · u1 + · · ·+ xm · um

=


=




...ak1 · x1 + · · ·+ akm · xm = 0.


Demonstração


x1 · u1 + · · ·+ xm · um

=


=




...ak1 · x1 + · · ·+ akm · xm = 0.


Demonstração

Passo 6. Ou seja, o sistema linear homogêneo abaixo deve ter pelo menosuma solução (x1, . . . , xm) não nula:

a11 · x1 + · · ·+ a1m · xm = 0,...

ak1 · x1 + · · ·+ akm · xm = 0.

Passo 7. Mas isto acontece, porque o número de equações (k ) é menor doque o número de variáveis (m).


Demonstração

Passo 6. Ou seja, o sistema linear homogêneo abaixo deve ter pelo menosuma solução (x1, . . . , xm) não nula:

a11 · x1 + · · ·+ a1m · xm = 0,...

ak1 · x1 + · · ·+ akm · xm = 0.

Passo 7. Mas isto acontece, porque o número de equações (k ) é menor doque o número de variáveis (m).


Corolário

Se (V ,K,+, · ) é um espaço vetorial não nulo finitamente gerado,então toda base de V possui o mesmo número de elementos,denominado dimensão de V .

Corolário

Demonstração. Sejam B e B′ duas bases de V .

Passo 1. Como V é finitamente gerado e B e B′ são LI, pela proposiçãoanterior, B e B′ são conjuntos finitos.

Passo 2. Sejam então m = #B e m′ = #B′.

Passo 3. Como [B] = V e B′ é LI, pela proposição anterior, m′ ≤ m.

Passo 4. Como [B′] = V e B é LI, pela proposição anterior, m ≤ m′.

Passo 5. Logo, m = m′.


Corolário


Corolário








Corolário


Corolário








Corolário


Corolário








Corolário


Corolário








Corolário


Corolário








Corolário


Corolário








Corolário


Corolário








Exemplos

(1) dimR(Rn) =

n.

(2) dimR(C2) =

4.

(3) dimC(C2) =

2.

(4) dimR(P([a,b],R)) =

∞.

(5) dimR(Mm×n(R)) =

m · n.

(6) dimK({0}) =

0. Lembre-se que, por convenção, ∅ é LI e [∅] = {0}.


Exemplos

(1) dimR(Rn) = n.

(2) dimR(C2) =

4.

(3) dimC(C2) =

2.

(4) dimR(P([a,b],R)) =

∞.


m · n.

(6) dimK({0}) =



Exemplos

(1) dimR(Rn) = n.

(2) dimR(C2) = 4.

(3) dimC(C2) =

2.

(4) dimR(P([a,b],R)) =

∞.


m · n.

(6) dimK({0}) =



Exemplos

(1) dimR(Rn) = n.

(2) dimR(C2) = 4.

(3) dimC(C2) = 2.

(4) dimR(P([a,b],R)) =

∞.


m · n.

(6) dimK({0}) =



Exemplos

(1) dimR(Rn) = n.

(2) dimR(C2) = 4.

(3) dimC(C2) = 2.

(4) dimR(P([a,b],R)) =∞.


m · n.

(6) dimK({0}) =



Exemplos

(1) dimR(Rn) = n.

(2) dimR(C2) = 4.

(3) dimC(C2) = 2.

(4) dimR(P([a,b],R)) =∞.

(5) dimR(Mm×n(R)) = m · n.

(6) dimK({0}) =



Exemplos

(1) dimR(Rn) = n.

(2) dimR(C2) = 4.

(3) dimC(C2) = 2.

(4) dimR(P([a,b],R)) =∞.

(5) dimR(Mm×n(R)) = m · n.

(6) dimK({0}) = 0.

Lembre-se que, por convenção, ∅ é LI e [∅] = {0}.


Exemplos

(1) dimR(Rn) = n.

(2) dimR(C2) = 4.

(3) dimC(C2) = 2.

(4) dimR(P([a,b],R)) =∞.

(5) dimR(Mm×n(R)) = m · n.

(6) dimK({0}) = 0. Lembre-se que, por convenção, ∅ é LI e [∅] = {0}.


Corolário

Seja (V ,K,+, · ) um espaço vetorial de dimensão n ≥ 1.

(1) Todo conjunto de vetores com mais do que n elementos é LD.

(2) Nenhum conjunto com menos do que n elementos pode gerar V .

Corolário


Proposição

Seja B = {v1, . . . ,vk} um subconjunto LI de um espaço vetorial V .Se v 6∈ [B], então {v1, . . . ,vk ,v} também é LI.

Proposição

Demonstração.

Passo 1. Suponha, por absurdo, que {v1, . . . ,vk ,v} seja LD.

Passo 2. Então existem escalares α1, . . . , αk , α não todos nulos tais que

α1 · v1 + · · ·+ αk · vk + α · v = 0.

Passo 3. Obrigatoriamente, α 6= 0 pois, caso contrário, {v1, . . . ,vk} seriaLD.

Passo 4. Então, v = −α1

α· v1 − · · · −

αk

α· vk ∈ [B]. Uma contradição.


Proposição


Proposição

Demonstração.



α1 · v1 + · · ·+ αk · vk + α · v = 0.



α· v1 − · · · −

αk



Proposição


Proposição

Demonstração.



α1 · v1 + · · ·+ αk · vk + α · v = 0.



α· v1 − · · · −

αk



Proposição


Proposição

Demonstração.



α1 · v1 + · · ·+ αk · vk + α · v = 0.



α· v1 − · · · −

αk



Proposição


Proposição

Demonstração.



α1 · v1 + · · ·+ αk · vk + α · v = 0.



α· v1 − · · · −

αk



Proposição


Proposição

Demonstração.



α1 · v1 + · · ·+ αk · vk + α · v = 0.



α· v1 − · · · −

αk



Proposição


Proposição

Demonstração.



α1 · v1 + · · ·+ αk · vk + α · v = 0.



α· v1 − · · · −

αk



Proposição


Proposição

Demonstração.



α1 · v1 + · · ·+ αk · vk + α · v = 0.



α· v1 − · · · −

αk



Teorema

(1) Todo espaço vetorial não nulo finitamente gerado possui umabase.

(2) Se B é subconjunto LI de um espaço vetorial V finitamentegerado, então existe base de V que contém B.

Teorema


Teorema

(1) Todo espaço vetorial não nulo finitamente gerado possui umabase.

(2) Se B é subconjunto LI de um espaço vetorial V finitamentegerado, então existe base de V que contém B.

Teorema


Proposição

Seja V um espaço vetorial e sejam W1, W2 dois subespaços vetoriaisde V , ambos de dimensão finita. Então

dimK(W1 + W2) = dimK(W1) + dimK(W2)− dimK(W1 ∩W2).

Teorema


Coordenadas


Proposição

Seja V um espaço vetorial de dimensão n ≥ 1 e seja B ⊆ V . As duasafirmações abaixo são equivalentes.

(a) B é uma base de V .

(b) Todo elemento de V se escreve de maneira única comocombinação linear de elementos de B.

Proposição


Proposição

Seja V um espaço vetorial de dimensão n ≥ 1 e seja B ⊆ V . As duasafirmações abaixo são equivalentes.

(a) B é uma base de V .

(b) Todo elemento de V se escreve de maneira única comocombinação linear de elementos de B.

Proposição


Demonstração: (a)⇒ (b)

Como B é base de V , certamente B gera V . Logo, todo vetor v de V seescreve como combinação linear de elementos de B. Resta mostrar que oscoeficientes desta combinação linear são únicos.

Passo 1. Vamos escrever B = {v1, . . . ,vn} e supor que

v = α1 · v1 + · · ·+ αn · vn = β1 · v1 + · · ·+ βn · vn.

Passo 2. Logo, (α1 − β1) · v1 + · · ·+ (αn − βn) · vn = 0.

Passo 3. Como {v1, . . . ,vn} é LI, segue-se que α1 = β1, . . . , αn = βn.





v = α1 · v1 + · · ·+ αn · vn = β1 · v1 + · · ·+ βn · vn.







v = α1 · v1 + · · ·+ αn · vn = β1 · v1 + · · ·+ βn · vn.







v = α1 · v1 + · · ·+ αn · vn = β1 · v1 + · · ·+ βn · vn.







v = α1 · v1 + · · ·+ αn · vn = β1 · v1 + · · ·+ βn · vn.







v = α1 · v1 + · · ·+ αn · vn = β1 · v1 + · · ·+ βn · vn.







v = α1 · v1 + · · ·+ αn · vn = β1 · v1 + · · ·+ βn · vn.







v = α1 · v1 + · · ·+ αn · vn = β1 · v1 + · · ·+ βn · vn.







v = α1 · v1 + · · ·+ αn · vn = β1 · v1 + · · ·+ βn · vn.




Demonstração: (b)⇒ (a)

Como, por hipótese, todo elemento v se escreve de maneira única comocombinação linear de elementos de B, segue-se que B gera V . Resta mostrarque B é LI.

Passo 1. Seja v1, . . . ,vk ∈ V e α1, . . . , αk ∈ K tais que

α1 · v1 + · · ·+ αk · vk = 0.

Passo 2. Temos também que:

0 · v1 + · · ·+ 0 · vk = 0.

Passo 3. Como, por hipótese, todo vetor se escreve de maneira única comocombinação linear de elementos de B, segue-se que

α1 = · · · = αk = 0.

Passo 4. Isto mostra que B é LI.





α1 · v1 + · · ·+ αk · vk = 0.


0 · v1 + · · ·+ 0 · vk = 0.


α1 = · · · = αk = 0.






α1 · v1 + · · ·+ αk · vk = 0.


0 · v1 + · · ·+ 0 · vk = 0.


α1 = · · · = αk = 0.






α1 · v1 + · · ·+ αk · vk = 0.


0 · v1 + · · ·+ 0 · vk = 0.


α1 = · · · = αk = 0.






α1 · v1 + · · ·+ αk · vk = 0.


0 · v1 + · · ·+ 0 · vk = 0.


α1 = · · · = αk = 0.






α1 · v1 + · · ·+ αk · vk = 0.


0 · v1 + · · ·+ 0 · vk = 0.


α1 = · · · = αk = 0.






α1 · v1 + · · ·+ αk · vk = 0.


0 · v1 + · · ·+ 0 · vk = 0.


α1 = · · · = αk = 0.






α1 · v1 + · · ·+ αk · vk = 0.


0 · v1 + · · ·+ 0 · vk = 0.


α1 = · · · = αk = 0.



Bases

Seja B = {v1, . . . ,vn} uma base de V . Fixando-se a ordem doselementos desta base, pela proposição anterior, cada elemento vde V fica determinado de maneira unívoca pelos coeficientesα1, . . . , αn da combinação linear

v = α1 · v1 + · · ·+ αn · vn.

A n-upla ordenada[v]B = (α1, . . . , αn)B

será denominada coordenadas do vetor v com relação à base B.

Definição


Aplicação


Aplicação

Seja W o conjunto das soluções da equação diferencial linearhomogênea de ordem k com coeficientes constantes:

dk fdxk + ak−1 ·

dk−1fdxk−1 + · · ·+ a1 ·

dfdx

+ a0f = 0.

Isto significa que:(1) f ∈ F(R,R),(2) f tem derivada até ordem k para qualquer x ∈ R e(3) ∀x ∈ R,

dk fdxk (x) + ak−1 ·

dk−1fdxk−1 (x) + · · ·+ a1 ·

dfdx

(x) + a0f (x) = 0.

Exercício: W é um subespaço de F(R,R).Exercício mais interessante: W é um subespaço de C∞(R,R).


Aplicação


dk fdxk + ak−1 ·

dk−1fdxk−1 + · · ·+ a1 ·

dfdx

+ a0f = 0.



dk−1fdxk−1 (x) + · · ·+ a1 ·

dfdx

(x) + a0f (x) = 0.



Aplicação


dk fdxk + ak−1 ·

dk−1fdxk−1 + · · ·+ a1 ·

dfdx

+ a0f = 0.



dk−1fdxk−1 (x) + · · ·+ a1 ·

dfdx

(x) + a0f (x) = 0.



Aplicação


dk fdxk + ak−1 ·

dk−1fdxk−1 + · · ·+ a1 ·

dfdx

+ a0f = 0.



dk−1fdxk−1 (x) + · · ·+ a1 ·

dfdx

(x) + a0f (x) = 0.



Aplicação


y (k) + ak−1y (k−1) + · · ·+ a1y ′ + a0y = 0.

Isto significa que:(1) y ∈ F(R,R),(2) y tem derivada até ordem k para qualquer x ∈ R e(3) ∀x ∈ R,

y (k)(x) + ak−1y (k−1)(x) + · · ·+ a1y ′(x) + a0y(x) = 0.



Teorema de Existência e Unicidade (TEU)

Existe uma única solução y : R→ R para o problema de valor inicial y (k)(x) + ak−1y (k−1)(x) + · · ·+ a1y ′(x) + a0y(x) = 0,

y(0) = c0, y ′(0) = c1, . . . , y (k−1)(0) = ck−1.

Teorema


Teorema

O subespaço W das soluções da equação diferencial linearhomogênea de ordem k com coeficientes constantes

y (k) + ak−1y (k−1) + · · ·+ a1y ′ + a0y = 0.

tem dimensão k .

Teorema


Demonstração

Seja y1 solução de

y (k)(x) + ak−1y (k−1)(x) + · · ·+ a1y ′(x) + a0y(x) = 0,

y(0) = 1 , y ′(0) = 0 , . . . , y (k−1)(0) = 0 .


y (k)(x) + ak−1y (k−1)(x) + · · ·+ a1y ′(x) + a0y(x) = 0,

y(0) = 0 , y ′(0) = 1 , . . . , y (k−1)(0) = 0 .

...

Seja yk solução de

y (k)(x) + ak−1y (k−1)(x) + · · ·+ a1y ′(x) + a0y(x) = 0,

y(0) = 0 , y ′(0) = 0 , . . . , y (k−1)(0) = 1 .

Fato: B = {y1, . . . , yk} é base de W !


Demonstração


y (k)(x) + ak−1y (k−1)(x) + · · ·+ a1y ′(x) + a0y(x) = 0,

y(0) = 1 , y ′(0) = 0 , . . . , y (k−1)(0) = 0 .


y (k)(x) + ak−1y (k−1)(x) + · · ·+ a1y ′(x) + a0y(x) = 0,

y(0) = 0 , y ′(0) = 1 , . . . , y (k−1)(0) = 0 .

...


y (k)(x) + ak−1y (k−1)(x) + · · ·+ a1y ′(x) + a0y(x) = 0,

y(0) = 0 , y ′(0) = 0 , . . . , y (k−1)(0) = 1 .



Demonstração


y (k)(x) + ak−1y (k−1)(x) + · · ·+ a1y ′(x) + a0y(x) = 0,

y(0) = 1 , y ′(0) = 0 , . . . , y (k−1)(0) = 0 .


y (k)(x) + ak−1y (k−1)(x) + · · ·+ a1y ′(x) + a0y(x) = 0,

y(0) = 0 , y ′(0) = 1 , . . . , y (k−1)(0) = 0 .

...


y (k)(x) + ak−1y (k−1)(x) + · · ·+ a1y ′(x) + a0y(x) = 0,

y(0) = 0 , y ′(0) = 0 , . . . , y (k−1)(0) = 1 .



Demonstração


y (k)(x) + ak−1y (k−1)(x) + · · ·+ a1y ′(x) + a0y(x) = 0,

y(0) = 1 , y ′(0) = 0 , . . . , y (k−1)(0) = 0 .


y (k)(x) + ak−1y (k−1)(x) + · · ·+ a1y ′(x) + a0y(x) = 0,

y(0) = 0 , y ′(0) = 1 , . . . , y (k−1)(0) = 0 .

...


y (k)(x) + ak−1y (k−1)(x) + · · ·+ a1y ′(x) + a0y(x) = 0,

y(0) = 0 , y ′(0) = 0 , . . . , y (k−1)(0) = 1 .



Demonstração


y (k)(x) + ak−1y (k−1)(x) + · · ·+ a1y ′(x) + a0y(x) = 0,

y(0) = 1 , y ′(0) = 0 , . . . , y (k−1)(0) = 0 .


y (k)(x) + ak−1y (k−1)(x) + · · ·+ a1y ′(x) + a0y(x) = 0,

y(0) = 0 , y ′(0) = 1 , . . . , y (k−1)(0) = 0 .

...


y (k)(x) + ak−1y (k−1)(x) + · · ·+ a1y ′(x) + a0y(x) = 0,

y(0) = 0 , y ′(0) = 0 , . . . , y (k−1)(0) = 1 .



Demonstração: B = {y1, y2, . . . , yk} gera V

Seja z ∈W . Afirmamos que z = z(0)y1 + z ′(0)y2 + · · ·+ z(k−1)(0)yk .

Passo 1. Note que f = z(0)y1 + z ′(0)y2 + · · ·+ z(k−1)(0)yk também satisfazo problema de valor inicial: y (k)(x) + ak−1y (k−1)(x) + · · ·+ a1y ′(x) + a0y(x) = 0,

y(0) = z(0), y ′(0) = z ′(0), . . . , y (k−1)(0) = z(k−1)(0).

Passo 2. Note que a própria função z satisfaz o mesmo problema de valorinicial: y (k)(x) + ak−1y (k−1)(x) + · · ·+ a1y ′(x) + a0y(x) = 0,

y(0) = z(0), y ′(0) = z ′(0), . . . , y (k−1)(0) = z(k−1)(0).

Passo 3. Pelo Teorema de Existência e Unicidade, segue-se que

z = f = z(0)y1 + z ′(0)y2 + · · ·+ z(k−1)(0)yk .





y(0) = z(0), y ′(0) = z ′(0), . . . , y (k−1)(0) = z(k−1)(0).


y(0) = z(0), y ′(0) = z ′(0), . . . , y (k−1)(0) = z(k−1)(0).


z = f = z(0)y1 + z ′(0)y2 + · · ·+ z(k−1)(0)yk .





y(0) = z(0), y ′(0) = z ′(0), . . . , y (k−1)(0) = z(k−1)(0).


y(0) = z(0), y ′(0) = z ′(0), . . . , y (k−1)(0) = z(k−1)(0).


z = f = z(0)y1 + z ′(0)y2 + · · ·+ z(k−1)(0)yk .





y(0) = z(0), y ′(0) = z ′(0), . . . , y (k−1)(0) = z(k−1)(0).


y(0) = z(0), y ′(0) = z ′(0), . . . , y (k−1)(0) = z(k−1)(0).


z = f = z(0)y1 + z ′(0)y2 + · · ·+ z(k−1)(0)yk .





y(0) = z(0), y ′(0) = z ′(0), . . . , y (k−1)(0) = z(k−1)(0).


y(0) = z(0), y ′(0) = z ′(0), . . . , y (k−1)(0) = z(k−1)(0).


z = f = z(0)y1 + z ′(0)y2 + · · ·+ z(k−1)(0)yk .


Demonstração: B = {y1, y2, . . . , yk} é LI

Sejam α1, . . . , αk escalares tais que α1y1 + α2y2 + · · ·αkyk = 0. Sendo assim,

α1y ′1 + α2y ′2 + · · ·αky ′k = 0,α1y ′′1 + α2y ′′2 + · · ·αky ′′k = 0,

...

α1y (k−1)1 + α2y (k−1)

2 + · · ·αky (k−1)k = 0.

Agora

α1y1 + α2y2 + · · ·αkyk = 0⇒ α1y1(0) + α2y2(0) + · · ·αkyk (0) = 0⇒ α1 = 0,α1y ′1 + α2y ′2 + · · ·αky ′k = 0⇒ α1y ′1(0) + α2y ′2(0) + · · ·αky ′k (0) = 0⇒ α2 = 0,

...

α1y (k−1)1 + α2y (k−1)

2 + · · ·αky (k−1)k = 0⇒ α1y (k−1)

1 (0) + α2y (k−1)2 (0) + · · ·αky (k−1)

k (0) = 0⇒ αk = 0.

Isto demonstra que B = {y1, y2, . . . , yk} é LI.





...

α1y (k−1)1 + α2y (k−1)

2 + · · ·αky (k−1)k = 0.

Agora


...

α1y (k−1)1 + α2y (k−1)

2 + · · ·αky (k−1)k = 0⇒ α1y (k−1)

1 (0) + α2y (k−1)2 (0) + · · ·αky (k−1)

k (0) = 0⇒ αk = 0.






...

α1y (k−1)1 + α2y (k−1)

2 + · · ·αky (k−1)k = 0.

Agora


...

α1y (k−1)1 + α2y (k−1)

2 + · · ·αky (k−1)k = 0⇒ α1y (k−1)

1 (0) + α2y (k−1)2 (0) + · · ·αky (k−1)

k (0) = 0⇒ αk = 0.






...

α1y (k−1)1 + α2y (k−1)

2 + · · ·αky (k−1)k = 0.

Agora


...

α1y (k−1)1 + α2y (k−1)

2 + · · ·αky (k−1)k = 0⇒ α1y (k−1)

1 (0) + α2y (k−1)2 (0) + · · ·αky (k−1)

k (0) = 0⇒ αk = 0.






...

α1y (k−1)1 + α2y (k−1)

2 + · · ·αky (k−1)k = 0.

Agora


...

α1y (k−1)1 + α2y (k−1)

2 + · · ·αky (k−1)k = 0⇒ α1y (k−1)

1 (0) + α2y (k−1)2 (0) + · · ·αky (k−1)

k (0) = 0⇒ αk = 0.






...

α1y (k−1)1 + α2y (k−1)

2 + · · ·αky (k−1)k = 0.

Agora


...

α1y (k−1)1 + α2y (k−1)

2 + · · ·αky (k−1)k = 0⇒ α1y (k−1)

1 (0) + α2y (k−1)2 (0) + · · ·αky (k−1)

k (0) = 0⇒ αk = 0.






...

α1y (k−1)1 + α2y (k−1)

2 + · · ·αky (k−1)k = 0.

Agora


...

α1y (k−1)1 + α2y (k−1)

2 + · · ·αky (k−1)k = 0⇒ α1y (k−1)

1 (0) + α2y (k−1)2 (0) + · · ·αky (k−1)

k (0) = 0⇒ αk = 0.






...

α1y (k−1)1 + α2y (k−1)

2 + · · ·αky (k−1)k = 0.

Agora


...

α1y (k−1)1 + α2y (k−1)

2 + · · ·αky (k−1)k = 0⇒ α1y (k−1)

1 (0) + α2y (k−1)2 (0) + · · ·αky (k−1)

k (0) = 0⇒ αk = 0.






...

α1y (k−1)1 + α2y (k−1)

2 + · · ·αky (k−1)k = 0.

Agora


...

α1y (k−1)1 + α2y (k−1)

2 + · · ·αky (k−1)k = 0⇒ α1y (k−1)

1 (0) + α2y (k−1)2 (0) + · · ·αky (k−1)

k (0) = 0⇒ αk = 0.






...

α1y (k−1)1 + α2y (k−1)

2 + · · ·αky (k−1)k = 0.

Agora


...

α1y (k−1)1 + α2y (k−1)

2 + · · ·αky (k−1)k = 0⇒ α1y (k−1)

1 (0) + α2y (k−1)2 (0) + · · ·αky (k−1)

k (0) = 0⇒ αk = 0.






...

α1y (k−1)1 + α2y (k−1)

2 + · · ·αky (k−1)k = 0.

Agora


...

α1y (k−1)1 + α2y (k−1)

2 + · · ·αky (k−1)k = 0⇒ α1y (k−1)

1 (0) + α2y (k−1)2 (0) + · · ·αky (k−1)

k (0) = 0⇒ αk = 0.






...

α1y (k−1)1 + α2y (k−1)

2 + · · ·αky (k−1)k = 0.

Agora


...

α1y (k−1)1 + α2y (k−1)

2 + · · ·αky (k−1)k = 0⇒ α1y (k−1)

1 (0) + α2y (k−1)2 (0) + · · ·αky (k−1)

k (0) = 0⇒ αk = 0.



Aplicações de Álgebra Linear - professores.im-uff.mat.brprofessores.im-uff.mat.br/hjbortol/disciplinas/2010.1/fgv00000/... · Bibliograﬁa básica Gilbert Strang. Linear Algebra

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