Pré-Cálculo Humberto José Bortolossi Departamento de Matemática Aplicada Universidade Federal Fluminense Aula 13 13 de junho de 2011 Aula 13 Pré-Cálculo 1
Pré-Cálculo
Humberto José Bortolossi
Departamento de Matemática Aplicada
Universidade Federal Fluminense
Aula 13
13 de junho de 2011
Aula 13 Pré-Cálculo 1
Funções Poligonais
Aula 13 Pré-Cálculo 2
Função poligonal
Dizemos quem uma função f : R→ R é uma função poligonal se o seugráfico é uma linha poligonal.
x
y
0
t0t1 t2
Definição
Aula 13 Pré-Cálculo 3
Função poligonal
Dizemos quem uma função f : R→ R é uma função poligonal se o seugráfico é uma linha poligonal.
x
y
0
t0t1 t2
Definição
Aula 13 Pré-Cálculo 4
Observações
Assim, se f : R → R é uma função poligonal se existem t0 < t1 < · · · < tntais que, para x ≤ t0, para x ≥ tn e em cada um dos intervalos [ti−1, ti ], fcoincide com uma função afim fi . Para evitar descontinuidades, exige-seque fi(ti) = fi−1(ti−1).
x
y
0
t0t1 t2
As funções poligonais surgem naturalmente, tanto na vida cotidiana(imposto de renda como função da renda líquida, preço de uma mercadoriaque oferece descontos crescentes quando aumenta a quantidadecomprada) como em diversas áreas da matemática (análise, cálculonumérico, equações diferenciais, topologia, etc.).
Aula 13 Pré-Cálculo 5
Observações
Assim, se f : R → R é uma função poligonal se existem t0 < t1 < · · · < tntais que, para x ≤ t0, para x ≥ tn e em cada um dos intervalos [ti−1, ti ], fcoincide com uma função afim fi . Para evitar descontinuidades, exige-seque fi(ti) = fi−1(ti−1).
x
y
0
t0t1 t2
As funções poligonais surgem naturalmente, tanto na vida cotidiana(imposto de renda como função da renda líquida, preço de uma mercadoriaque oferece descontos crescentes quando aumenta a quantidadecomprada) como em diversas áreas da matemática (análise, cálculonumérico, equações diferenciais, topologia, etc.).
Aula 13 Pré-Cálculo 6
Observações
Assim, se f : R → R é uma função poligonal se existem t0 < t1 < · · · < tntais que, para x ≤ t0, para x ≥ tn e em cada um dos intervalos [ti−1, ti ], fcoincide com uma função afim fi . Para evitar descontinuidades, exige-seque fi(ti) = fi−1(ti−1).
x
y
0
t0t1 t2
As funções poligonais surgem naturalmente, tanto na vida cotidiana(imposto de renda como função da renda líquida, preço de uma mercadoriaque oferece descontos crescentes quando aumenta a quantidadecomprada) como em diversas áreas da matemática (análise, cálculonumérico, equações diferenciais, topologia, etc.).
Aula 13 Pré-Cálculo 7
Exemplo
Os novos valores do IR-fonte são os seguintes:
Base de Cálculo Alíquota Parcela a DeduzirAté R$ 900,00 Isento –
De R$ 900,00 a R$ 1 800,00 15% R$ 135,00Acima de R$ 1 800,00 25% R$ 315,00
.
Baseado na tabela acima, construa o gráfico do imposto a pagar em funçãodo rendimento.Solução. Se f (x) é o imposto a pagar para uma base de cálculo de x reais, então
f (x) =
0, se 0 ≤ x ≤ 900,0,15 x − 135, se 900 < x ≤ 1800,0,25 x − 315, se x > 1800.
x
y
0 900 1800 2700
135
360
.
Aula 13 Pré-Cálculo 8
Exemplo
Os novos valores do IR-fonte são os seguintes:
Base de Cálculo Alíquota Parcela a DeduzirAté R$ 900,00 Isento –
De R$ 900,00 a R$ 1 800,00 15% R$ 135,00Acima de R$ 1 800,00 25% R$ 315,00
.
Baseado na tabela acima, construa o gráfico do imposto a pagar em funçãodo rendimento.Solução. Se f (x) é o imposto a pagar para uma base de cálculo de x reais, então
f (x) =
0, se 0 ≤ x ≤ 900,0,15 x − 135, se 900 < x ≤ 1800,0,25 x − 315, se x > 1800.
x
y
0 900 1800 2700
135
360
.
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Exemplo
Os novos valores do IR-fonte são os seguintes:
Base de Cálculo Alíquota Parcela a DeduzirAté R$ 900,00 Isento –
De R$ 900,00 a R$ 1 800,00 15% R$ 135,00Acima de R$ 1 800,00 25% R$ 315,00
.
Baseado na tabela acima, construa o gráfico do imposto a pagar em funçãodo rendimento.Solução. Se f (x) é o imposto a pagar para uma base de cálculo de x reais, então
f (x) =
0, se 0 ≤ x ≤ 900,0,15 x − 135, se 900 < x ≤ 1800,0,25 x − 315, se x > 1800.
x
y
0 900 1800 2700
135
360
.
Aula 13 Pré-Cálculo 10
Exemplo
Os novos valores do IR-fonte são os seguintes:
Base de Cálculo Alíquota Parcela a DeduzirAté R$ 900,00 Isento –
De R$ 900,00 a R$ 1 800,00 15% R$ 135,00Acima de R$ 1 800,00 25% R$ 315,00
.
Baseado na tabela acima, construa o gráfico do imposto a pagar em funçãodo rendimento.Solução. Se f (x) é o imposto a pagar para uma base de cálculo de x reais, então
f (x) =
0, se 0 ≤ x ≤ 900,0,15 x − 135, se 900 < x ≤ 1800,0,25 x − 315, se x > 1800.
x
y
0 900 1800 2700
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.
Aula 13 Pré-Cálculo 11
Exemplo
Os novos valores do IR-fonte são os seguintes:
Base de Cálculo Alíquota Parcela a DeduzirAté R$ 900,00 Isento –
De R$ 900,00 a R$ 1 800,00 15% R$ 135,00Acima de R$ 1 800,00 25% R$ 315,00
.
Baseado na tabela acima, construa o gráfico do imposto a pagar em funçãodo rendimento.Solução. Se f (x) é o imposto a pagar para uma base de cálculo de x reais, então
f (x) =
0, se 0 ≤ x ≤ 900,0,15 x − 135, se 900 < x ≤ 1800,0,25 x − 315, se x > 1800.
x
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0 900 1800 2700
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Exemplo
Os novos valores do IR-fonte são os seguintes:
Base de Cálculo Alíquota Parcela a DeduzirAté R$ 900,00 Isento –
De R$ 900,00 a R$ 1 800,00 15% R$ 135,00Acima de R$ 1 800,00 25% R$ 315,00
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Baseado na tabela acima, construa o gráfico do imposto a pagar em funçãodo rendimento.Solução. Se f (x) é o imposto a pagar para uma base de cálculo de x reais, então
f (x) =
0, se 0 ≤ x ≤ 900,0,15 x − 135, se 900 < x ≤ 1800,0,25 x − 315, se x > 1800.
x
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0 900 1800 2700
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Aula 13 Pré-Cálculo 13
Exemplo
Os novos valores do IR-fonte são os seguintes:
Base de Cálculo Alíquota Parcela a DeduzirAté R$ 900,00 Isento –
De R$ 900,00 a R$ 1 800,00 15% R$ 135,00Acima de R$ 1 800,00 25% R$ 315,00
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Baseado na tabela acima, construa o gráfico do imposto a pagar em funçãodo rendimento.Solução. Se f (x) é o imposto a pagar para uma base de cálculo de x reais, então
f (x) =
0, se 0 ≤ x ≤ 900,0,15 x − 135, se 900 < x ≤ 1800,0,25 x − 315, se x > 1800.
x
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0 900 1800 2700
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Exemplo
Os novos valores do IR-fonte são os seguintes:
Base de Cálculo Alíquota Parcela a DeduzirAté R$ 900,00 Isento –
De R$ 900,00 a R$ 1 800,00 15% R$ 135,00Acima de R$ 1 800,00 25% R$ 315,00
.
Baseado na tabela acima, construa o gráfico do imposto a pagar em funçãodo rendimento.Solução. Se f (x) é o imposto a pagar para uma base de cálculo de x reais, então
f (x) =
0, se 0 ≤ x ≤ 900,0,15 x − 135, se 900 < x ≤ 1800,0,25 x − 315, se x > 1800.
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Aula 13 Pré-Cálculo 15
Exemplo
Os novos valores do IR-fonte são os seguintes:
Base de Cálculo Alíquota Parcela a DeduzirAté R$ 900,00 Isento –
De R$ 900,00 a R$ 1 800,00 15% R$ 135,00Acima de R$ 1 800,00 25% R$ 315,00
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Baseado na tabela acima, construa o gráfico do imposto a pagar em funçãodo rendimento.Solução. Se f (x) é o imposto a pagar para uma base de cálculo de x reais, então
f (x) =
0, se 0 ≤ x ≤ 900,0,15 x − 135, se 900 < x ≤ 1800,0,25 x − 315, se x > 1800.
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Aula 13 Pré-Cálculo 16
Exemplo
Os novos valores do IR-fonte são os seguintes:
Base de Cálculo Alíquota Parcela a DeduzirAté R$ 900,00 Isento –
De R$ 900,00 a R$ 1 800,00 15% R$ 135,00Acima de R$ 1 800,00 25% R$ 315,00
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Baseado na tabela acima, construa o gráfico do imposto a pagar em funçãodo rendimento.Solução. Se f (x) é o imposto a pagar para uma base de cálculo de x reais, então
f (x) =
0, se 0 ≤ x ≤ 900,0,15 x − 135, se 900 < x ≤ 1800,0,25 x − 315, se x > 1800.
x
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Aula 13 Pré-Cálculo 17
Exemplo
Os novos valores do IR-fonte são os seguintes:
Base de Cálculo Alíquota Parcela a DeduzirAté R$ 900,00 Isento –
De R$ 900,00 a R$ 1 800,00 15% R$ 135,00Acima de R$ 1 800,00 25% R$ 315,00
.
Baseado na tabela acima, construa o gráfico do imposto a pagar em funçãodo rendimento.Solução. Se f (x) é o imposto a pagar para uma base de cálculo de x reais, então
f (x) =
0, se 0 ≤ x ≤ 900,0,15 x − 135, se 900 < x ≤ 1800,0,25 x − 315, se x > 1800.
x
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0 900 1800 2700
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Aplicação: aproximação no cálculo de áreas
(Ir para o GeoGebra)
Aula 13 Pré-Cálculo 19
Exemplo
Desenhe o gráfico da função real f (x) = |x − 1|+ |x − 2|.
Solução. Temos que f (x) = g(x) + h(x), onde g(x) = |x − 1| e h(x) = |x − 2|. Agora, peladefinição de módulo,
g(x) =
{x − 1, se x ≥ 1,−x + 1, se x < 1,
e h(x) =
{x − 2, se x ≥ 2,−x + 2, se x < 2.
Assim,
f (x) = g(x)+h(x) =
( x − 1) + ( x − 2), se x ≥ 2,( x − 1) + (−x + 2), se 1 ≤ x < 2,(−x + 1) + (−x + 2), se x < 1
=
2 x − 3, se x ≥ 2,1, se 1 ≤ x < 2,−2 x + 3, se x < 1
cujo gráfico é apresentado na figura abaixo.
x
y
0 1 2 3
1
3
.
Aula 13 Pré-Cálculo 20
Exemplo
Desenhe o gráfico da função real f (x) = |x − 1|+ |x − 2|.
Solução. Temos que f (x) = g(x) + h(x), onde g(x) = |x − 1| e h(x) = |x − 2|. Agora, peladefinição de módulo,
g(x) =
{x − 1, se x ≥ 1,−x + 1, se x < 1,
e h(x) =
{x − 2, se x ≥ 2,−x + 2, se x < 2.
Assim,
f (x) = g(x)+h(x) =
( x − 1) + ( x − 2), se x ≥ 2,( x − 1) + (−x + 2), se 1 ≤ x < 2,(−x + 1) + (−x + 2), se x < 1
=
2 x − 3, se x ≥ 2,1, se 1 ≤ x < 2,−2 x + 3, se x < 1
cujo gráfico é apresentado na figura abaixo.
x
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0 1 2 3
1
3
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Aula 13 Pré-Cálculo 21
Exemplo
Desenhe o gráfico da função real f (x) = |x − 1|+ |x − 2|.
Solução. Temos que f (x) = g(x) + h(x), onde g(x) = |x − 1| e h(x) = |x − 2|. Agora, peladefinição de módulo,
g(x) =
{x − 1, se x ≥ 1,−x + 1, se x < 1,
e h(x) =
{x − 2, se x ≥ 2,−x + 2, se x < 2.
Assim,
f (x) = g(x)+h(x) =
( x − 1) + ( x − 2), se x ≥ 2,( x − 1) + (−x + 2), se 1 ≤ x < 2,(−x + 1) + (−x + 2), se x < 1
=
2 x − 3, se x ≥ 2,1, se 1 ≤ x < 2,−2 x + 3, se x < 1
cujo gráfico é apresentado na figura abaixo.
x
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0 1 2 3
1
3
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Aula 13 Pré-Cálculo 22
Exemplo
Desenhe o gráfico da função real f (x) = |x − 1|+ |x − 2|.
Solução. Temos que f (x) = g(x) + h(x), onde g(x) = |x − 1| e h(x) = |x − 2|. Agora, peladefinição de módulo,
g(x) =
{x − 1, se x ≥ 1,−x + 1, se x < 1,
e h(x) =
{x − 2, se x ≥ 2,−x + 2, se x < 2.
Assim,
f (x) = g(x)+h(x) =
( x − 1) + ( x − 2), se x ≥ 2,( x − 1) + (−x + 2), se 1 ≤ x < 2,(−x + 1) + (−x + 2), se x < 1
=
2 x − 3, se x ≥ 2,1, se 1 ≤ x < 2,−2 x + 3, se x < 1
cujo gráfico é apresentado na figura abaixo.
x
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0 1 2 3
1
3
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Aula 13 Pré-Cálculo 23
Exemplo
Desenhe o gráfico da função real f (x) = |x − 1|+ |x − 2|.
Solução. Temos que f (x) = g(x) + h(x), onde g(x) = |x − 1| e h(x) = |x − 2|. Agora, peladefinição de módulo,
g(x) =
{x − 1, se x ≥ 1,−x + 1, se x < 1,
e h(x) =
{x − 2, se x ≥ 2,−x + 2, se x < 2.
Assim,
f (x) = g(x)+h(x) =
( x − 1) + ( x − 2), se x ≥ 2,( x − 1) + (−x + 2), se 1 ≤ x < 2,(−x + 1) + (−x + 2), se x < 1
=
2 x − 3, se x ≥ 2,1, se 1 ≤ x < 2,−2 x + 3, se x < 1
cujo gráfico é apresentado na figura abaixo.
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0 1 2 3
1
3
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Aula 13 Pré-Cálculo 24
Exemplo
Desenhe o gráfico da função real f (x) = |x − 1|+ |x − 2|.
Solução. Temos que f (x) = g(x) + h(x), onde g(x) = |x − 1| e h(x) = |x − 2|. Agora, peladefinição de módulo,
g(x) =
{x − 1, se x ≥ 1,−x + 1, se x < 1,
e h(x) =
{x − 2, se x ≥ 2,−x + 2, se x < 2.
Assim,
f (x) = g(x)+h(x) =
( x − 1) + ( x − 2), se x ≥ 2,( x − 1) + (−x + 2), se 1 ≤ x < 2,(−x + 1) + (−x + 2), se x < 1
=
2 x − 3, se x ≥ 2,1, se 1 ≤ x < 2,−2 x + 3, se x < 1
cujo gráfico é apresentado na figura abaixo.
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0 1 2 3
1
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Aula 13 Pré-Cálculo 25
Exemplo
Desenhe o gráfico da função real f (x) = |x − 1|+ |x − 2|.
Solução. Temos que f (x) = g(x) + h(x), onde g(x) = |x − 1| e h(x) = |x − 2|. Agora, peladefinição de módulo,
g(x) =
{x − 1, se x ≥ 1,−x + 1, se x < 1,
e h(x) =
{x − 2, se x ≥ 2,−x + 2, se x < 2.
Assim,
f (x) = g(x)+h(x) =
( x − 1) + ( x − 2), se x ≥ 2,( x − 1) + (−x + 2), se 1 ≤ x < 2,(−x + 1) + (−x + 2), se x < 1
=
2 x − 3, se x ≥ 2,1, se 1 ≤ x < 2,−2 x + 3, se x < 1
cujo gráfico é apresentado na figura abaixo.
x
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0 1 2 3
1
3
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Aula 13 Pré-Cálculo 26
Exemplo
Desenhe o gráfico da função real f (x) = |x − 1|+ |x − 2|.
Solução. Temos que f (x) = g(x) + h(x), onde g(x) = |x − 1| e h(x) = |x − 2|. Agora, peladefinição de módulo,
g(x) =
{x − 1, se x ≥ 1,−x + 1, se x < 1,
e h(x) =
{x − 2, se x ≥ 2,−x + 2, se x < 2.
Assim,
f (x) = g(x)+h(x) =
( x − 1) + ( x − 2), se x ≥ 2,( x − 1) + (−x + 2), se 1 ≤ x < 2,(−x + 1) + (−x + 2), se x < 1
=
2 x − 3, se x ≥ 2,1, se 1 ≤ x < 2,−2 x + 3, se x < 1
cujo gráfico é apresentado na figura abaixo.
x
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0 1 2 3
1
3
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Aula 13 Pré-Cálculo 27
Exemplo
Desenhe o gráfico da função real f (x) = |x − 1|+ |x − 2|.
Solução. Temos que f (x) = g(x) + h(x), onde g(x) = |x − 1| e h(x) = |x − 2|. Agora, peladefinição de módulo,
g(x) =
{x − 1, se x ≥ 1,−x + 1, se x < 1,
e h(x) =
{x − 2, se x ≥ 2,−x + 2, se x < 2.
Assim,
f (x) = g(x)+h(x) =
( x − 1) + ( x − 2), se x ≥ 2,( x − 1) + (−x + 2), se 1 ≤ x < 2,(−x + 1) + (−x + 2), se x < 1
=
2 x − 3, se x ≥ 2,1, se 1 ≤ x < 2,−2 x + 3, se x < 1
cujo gráfico é apresentado na figura abaixo.
x
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0 1 2 3
1
3
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Aula 13 Pré-Cálculo 28
Exemplo
Desenhe o gráfico da função real f (x) = |x − 1|+ |x − 2|.
Solução. Temos que f (x) = g(x) + h(x), onde g(x) = |x − 1| e h(x) = |x − 2|. Agora, peladefinição de módulo,
g(x) =
{x − 1, se x ≥ 1,−x + 1, se x < 1,
e h(x) =
{x − 2, se x ≥ 2,−x + 2, se x < 2.
Assim,
f (x) = g(x)+h(x) =
( x − 1) + ( x − 2), se x ≥ 2,( x − 1) + (−x + 2), se 1 ≤ x < 2,(−x + 1) + (−x + 2), se x < 1
=
2 x − 3, se x ≥ 2,1, se 1 ≤ x < 2,−2 x + 3, se x < 1
cujo gráfico é apresentado na figura abaixo.
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0 1 2 3
1
3
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Aula 13 Pré-Cálculo 29
Exemplo
Desenhe o gráfico da função real f (x) = |x − 1|+ |x − 2|.
Solução. Temos que f (x) = g(x) + h(x), onde g(x) = |x − 1| e h(x) = |x − 2|. Agora, peladefinição de módulo,
g(x) =
{x − 1, se x ≥ 1,−x + 1, se x < 1,
e h(x) =
{x − 2, se x ≥ 2,−x + 2, se x < 2.
Assim,
f (x) = g(x)+h(x) =
( x − 1) + ( x − 2), se x ≥ 2,( x − 1) + (−x + 2), se 1 ≤ x < 2,(−x + 1) + (−x + 2), se x < 1
=
2 x − 3, se x ≥ 2,1, se 1 ≤ x < 2,−2 x + 3, se x < 1
cujo gráfico é apresentado na figura abaixo.
x
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0 1 2 3
1
3
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Aula 13 Pré-Cálculo 30
Exemplo
Desenhe o gráfico da função real f (x) = |x − 1|+ |x − 2|.
Solução. Temos que f (x) = g(x) + h(x), onde g(x) = |x − 1| e h(x) = |x − 2|. Agora, peladefinição de módulo,
g(x) =
{x − 1, se x ≥ 1,−x + 1, se x < 1,
e h(x) =
{x − 2, se x ≥ 2,−x + 2, se x < 2.
Assim,
f (x) = g(x)+h(x) =
( x − 1) + ( x − 2), se x ≥ 2,( x − 1) + (−x + 2), se 1 ≤ x < 2,(−x + 1) + (−x + 2), se x < 1
=
2 x − 3, se x ≥ 2,1, se 1 ≤ x < 2,−2 x + 3, se x < 1
cujo gráfico é apresentado na figura abaixo.
x
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0 1 2 3
1
3
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Aula 13 Pré-Cálculo 31
Exemplo
Desenhe o gráfico da função real f (x) = |x − 1|+ |x − 2|.
Solução. Temos que f (x) = g(x) + h(x), onde g(x) = |x − 1| e h(x) = |x − 2|. Agora, peladefinição de módulo,
g(x) =
{x − 1, se x ≥ 1,−x + 1, se x < 1,
e h(x) =
{x − 2, se x ≥ 2,−x + 2, se x < 2.
Assim,
f (x) = g(x)+h(x) =
( x − 1) + ( x − 2), se x ≥ 2,( x − 1) + (−x + 2), se 1 ≤ x < 2,(−x + 1) + (−x + 2), se x < 1
=
2 x − 3, se x ≥ 2,1, se 1 ≤ x < 2,−2 x + 3, se x < 1
cujo gráfico é apresentado na figura abaixo.
x
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Aula 13 Pré-Cálculo 32
Exemplo
Desenhe o gráfico da função real f (x) = |x − 1|+ |x − 2|.
Solução. Temos que f (x) = g(x) + h(x), onde g(x) = |x − 1| e h(x) = |x − 2|. Agora, peladefinição de módulo,
g(x) =
{x − 1, se x ≥ 1,−x + 1, se x < 1,
e h(x) =
{x − 2, se x ≥ 2,−x + 2, se x < 2.
Assim,
f (x) = g(x)+h(x) =
( x − 1) + ( x − 2), se x ≥ 2,( x − 1) + (−x + 2), se 1 ≤ x < 2,(−x + 1) + (−x + 2), se x < 1
=
2 x − 3, se x ≥ 2,1, se 1 ≤ x < 2,−2 x + 3, se x < 1
cujo gráfico é apresentado na figura abaixo.
x
y
0 1 2 3
1
3
.
Aula 13 Pré-Cálculo 33
Exemplo
Desenhe o gráfico da função real f (x) = |x − 1|+ |x − 2|.
Solução. Temos que f (x) = g(x) + h(x), onde g(x) = |x − 1| e h(x) = |x − 2|. Agora, peladefinição de módulo,
g(x) =
{x − 1, se x ≥ 1,−x + 1, se x < 1,
e h(x) =
{x − 2, se x ≥ 2,−x + 2, se x < 2.
Assim,
f (x) = g(x)+h(x) =
( x − 1) + ( x − 2), se x ≥ 2,( x − 1) + (−x + 2), se 1 ≤ x < 2,(−x + 1) + (−x + 2), se x < 1
=
2 x − 3, se x ≥ 2,1, se 1 ≤ x < 2,−2 x + 3, se x < 1
cujo gráfico é apresentado na figura abaixo.
x
y
0 1 2 3
1
3
.
Aula 13 Pré-Cálculo 34
Exemplo
Desenhe o gráfico da função real f (x) = |x − 1|+ |x − 2|.
Solução. Temos que f (x) = g(x) + h(x), onde g(x) = |x − 1| e h(x) = |x − 2|. Agora, peladefinição de módulo,
g(x) =
{x − 1, se x ≥ 1,−x + 1, se x < 1,
e h(x) =
{x − 2, se x ≥ 2,−x + 2, se x < 2.
Assim,
f (x) = g(x)+h(x) =
( x − 1) + ( x − 2), se x ≥ 2,( x − 1) + (−x + 2), se 1 ≤ x < 2,(−x + 1) + (−x + 2), se x < 1
=
2 x − 3, se x ≥ 2,1, se 1 ≤ x < 2,−2 x + 3, se x < 1
cujo gráfico é apresentado na figura abaixo.
x
y
0 1 2 3
1
3
.
Aula 13 Pré-Cálculo 35
Exemplo
Desenhe o gráfico da função real f (x) = |x − 1|+ |x − 2|.
Solução. Temos que f (x) = g(x) + h(x), onde g(x) = |x − 1| e h(x) = |x − 2|. Agora, peladefinição de módulo,
g(x) =
{x − 1, se x ≥ 1,−x + 1, se x < 1,
e h(x) =
{x − 2, se x ≥ 2,−x + 2, se x < 2.
Assim,
f (x) = g(x)+h(x) =
( x − 1) + ( x − 2), se x ≥ 2,( x − 1) + (−x + 2), se 1 ≤ x < 2,(−x + 1) + (−x + 2), se x < 1
=
2 x − 3, se x ≥ 2,1, se 1 ≤ x < 2,−2 x + 3, se x < 1
cujo gráfico é apresentado na figura abaixo.
x
y
0 1 2 3
1
3
.
Aula 13 Pré-Cálculo 36
Exemplo
Desenhe o gráfico da função real f (x) = |x − 1|+ |x − 2|.
Solução. Temos que f (x) = g(x) + h(x), onde g(x) = |x − 1| e h(x) = |x − 2|. Agora, peladefinição de módulo,
g(x) =
{x − 1, se x ≥ 1,−x + 1, se x < 1,
e h(x) =
{x − 2, se x ≥ 2,−x + 2, se x < 2.
Assim,
f (x) = g(x)+h(x) =
( x − 1) + ( x − 2), se x ≥ 2,( x − 1) + (−x + 2), se 1 ≤ x < 2,(−x + 1) + (−x + 2), se x < 1
=
2 x − 3, se x ≥ 2,1, se 1 ≤ x < 2,−2 x + 3, se x < 1
cujo gráfico é apresentado na figura abaixo.
x
y
0 1 2 3
1
3
.
Aula 13 Pré-Cálculo 37
Exemplo: o gráfico de f (x) = |x − 1|+ |x − 2|
x
y
0 1 2 3
1
3
Aula 13 Pré-Cálculo 38
Funções da forma f (x) = xn, com n ∈ N
Aula 13 Pré-Cálculo 39
Funções da forma f (x) = xn, com n ∈ N
f : R → Rx 7→ y = f (x) = xn
Importante: se n ∈ N, xn é uma notação para x · x · · · · · x︸ ︷︷ ︸n fatores
.
Propriedades:(1) ∀x ∈ R, ∀n, m ∈ N, xn · xm = xn+m.
Prova:xn · xm = x · x · · · · · x︸ ︷︷ ︸
n fatores
· x · x · · · · · x︸ ︷︷ ︸m fatores
= x · x · · · · · x︸ ︷︷ ︸n+m fatores
= xn+m.
(2) ∀x ∈ R, ∀n, m ∈ N, (xn)m = xn·m.Prova: exercício!
Aula 13 Pré-Cálculo 40
Funções da forma f (x) = xn, com n ∈ N
f : R → Rx 7→ y = f (x) = xn
Importante: se n ∈ N, xn é uma notação para x · x · · · · · x︸ ︷︷ ︸n fatores
.
Propriedades:(1) ∀x ∈ R, ∀n, m ∈ N, xn · xm = xn+m.
Prova:xn · xm = x · x · · · · · x︸ ︷︷ ︸
n fatores
· x · x · · · · · x︸ ︷︷ ︸m fatores
= x · x · · · · · x︸ ︷︷ ︸n+m fatores
= xn+m.
(2) ∀x ∈ R, ∀n, m ∈ N, (xn)m = xn·m.Prova: exercício!
Aula 13 Pré-Cálculo 41
Funções da forma f (x) = xn, com n ∈ N
f : R → Rx 7→ y = f (x) = xn
Importante: se n ∈ N, xn é uma notação para x · x · · · · · x︸ ︷︷ ︸n fatores
.
Propriedades:(1) ∀x ∈ R, ∀n, m ∈ N, xn · xm = xn+m.
Prova:xn · xm = x · x · · · · · x︸ ︷︷ ︸
n fatores
· x · x · · · · · x︸ ︷︷ ︸m fatores
= x · x · · · · · x︸ ︷︷ ︸n+m fatores
= xn+m.
(2) ∀x ∈ R, ∀n, m ∈ N, (xn)m = xn·m.Prova: exercício!
Aula 13 Pré-Cálculo 42
Funções da forma f (x) = xn, com n ∈ N
f : R → Rx 7→ y = f (x) = xn
Importante: se n ∈ N, xn é uma notação para x · x · · · · · x︸ ︷︷ ︸n fatores
.
Propriedades:(1) ∀x ∈ R, ∀n, m ∈ N, xn · xm = xn+m.
Prova:xn · xm = x · x · · · · · x︸ ︷︷ ︸
n fatores
· x · x · · · · · x︸ ︷︷ ︸m fatores
= x · x · · · · · x︸ ︷︷ ︸n+m fatores
= xn+m.
(2) ∀x ∈ R, ∀n, m ∈ N, (xn)m = xn·m.Prova: exercício!
Aula 13 Pré-Cálculo 43
Funções da forma f (x) = xn, com n ∈ N
f : R → Rx 7→ y = f (x) = xn
Importante: se n ∈ N, xn é uma notação para x · x · · · · · x︸ ︷︷ ︸n fatores
.
Propriedades:(1) ∀x ∈ R, ∀n, m ∈ N, xn · xm = xn+m.
Prova:xn · xm = x · x · · · · · x︸ ︷︷ ︸
n fatores
· x · x · · · · · x︸ ︷︷ ︸m fatores
= x · x · · · · · x︸ ︷︷ ︸n+m fatores
= xn+m.
(2) ∀x ∈ R, ∀n, m ∈ N, (xn)m = xn·m.Prova: exercício!
Aula 13 Pré-Cálculo 44
Funções da forma f (x) = xn, com n ∈ N
f : R → Rx 7→ y = f (x) = xn
Importante: se n ∈ N, xn é uma notação para x · x · · · · · x︸ ︷︷ ︸n fatores
.
Propriedades:(1) ∀x ∈ R, ∀n, m ∈ N, xn · xm = xn+m.
Prova:xn · xm = x · x · · · · · x︸ ︷︷ ︸
n fatores
· x · x · · · · · x︸ ︷︷ ︸m fatores
= x · x · · · · · x︸ ︷︷ ︸n+m fatores
= xn+m.
(2) ∀x ∈ R, ∀n, m ∈ N, (xn)m = xn·m.Prova: exercício!
Aula 13 Pré-Cálculo 45
Funções da forma f (x) = xn, com n ∈ N
f : R → Rx 7→ y = f (x) = xn
Importante: se n ∈ N, xn é uma notação para x · x · · · · · x︸ ︷︷ ︸n fatores
.
Propriedades:(1) ∀x ∈ R, ∀n, m ∈ N, xn · xm = xn+m.
Prova:xn · xm = x · x · · · · · x︸ ︷︷ ︸
n fatores
· x · x · · · · · x︸ ︷︷ ︸m fatores
= x · x · · · · · x︸ ︷︷ ︸n+m fatores
= xn+m.
(2) ∀x ∈ R, ∀n, m ∈ N, (xn)m = xn·m.Prova: exercício!
Aula 13 Pré-Cálculo 46
Funções da forma f (x) = xn, com n ∈ N
f : R → Rx 7→ y = f (x) = xn
Importante: se n ∈ N, xn é uma notação para x · x · · · · · x︸ ︷︷ ︸n fatores
.
Propriedades:(1) ∀x ∈ R, ∀n, m ∈ N, xn · xm = xn+m.
Prova:xn · xm = x · x · · · · · x︸ ︷︷ ︸
n fatores
· x · x · · · · · x︸ ︷︷ ︸m fatores
= x · x · · · · · x︸ ︷︷ ︸n+m fatores
= xn+m.
(2) ∀x ∈ R, ∀n, m ∈ N, (xn)m = xn·m.Prova: exercício!
Aula 13 Pré-Cálculo 47
Funções da forma f (x) = xn, com n ∈ N
f : R → Rx 7→ y = f (x) = xn
Importante: se n ∈ N, xn é uma notação para x · x · · · · · x︸ ︷︷ ︸n fatores
.
Propriedades:(1) ∀x ∈ R, ∀n, m ∈ N, xn · xm = xn+m.
Prova:xn · xm = x · x · · · · · x︸ ︷︷ ︸
n fatores
· x · x · · · · · x︸ ︷︷ ︸m fatores
= x · x · · · · · x︸ ︷︷ ︸n+m fatores
= xn+m.
(2) ∀x ∈ R, ∀n, m ∈ N, (xn)m = xn·m.Prova: exercício!
Aula 13 Pré-Cálculo 48
Funções da forma f (x) = xn, com n ∈ N
f : R → Rx 7→ y = f (x) = xn
Importante: se n ∈ N, xn é uma notação para x · x · · · · · x︸ ︷︷ ︸n fatores
.
Propriedades:(1) ∀x ∈ R, ∀n, m ∈ N, xn · xm = xn+m.
Prova:xn · xm = x · x · · · · · x︸ ︷︷ ︸
n fatores
· x · x · · · · · x︸ ︷︷ ︸m fatores
= x · x · · · · · x︸ ︷︷ ︸n+m fatores
= xn+m.
(2) ∀x ∈ R, ∀n, m ∈ N, (xn)m = xn·m.Prova: exercício!
Aula 13 Pré-Cálculo 49
Funções da forma f (x) = xn, com n ∈ N
f : R → Rx 7→ y = f (x) = xn
Importante: se n ∈ N, xn é uma notação para x · x · · · · · x︸ ︷︷ ︸n fatores
.
Propriedades:(1) ∀x ∈ R, ∀n, m ∈ N, xn · xm = xn+m.
Prova:xn · xm = x · x · · · · · x︸ ︷︷ ︸
n fatores
· x · x · · · · · x︸ ︷︷ ︸m fatores
= x · x · · · · · x︸ ︷︷ ︸n+m fatores
= xn+m.
(2) ∀x ∈ R, ∀n, m ∈ N, (xn)m = xn·m.Prova: exercício!
Aula 13 Pré-Cálculo 50
Funções da forma f (x) = xn, com n ∈ N
f : R → Rx 7→ y = f (x) = xn
Importante: se n ∈ N, xn é uma notação para x · x · · · · · x︸ ︷︷ ︸n fatores
.
Propriedades:(1) ∀x ∈ R, ∀n, m ∈ N, xn · xm = xn+m.
Prova:xn · xm = x · x · · · · · x︸ ︷︷ ︸
n fatores
· x · x · · · · · x︸ ︷︷ ︸m fatores
= x · x · · · · · x︸ ︷︷ ︸n+m fatores
= xn+m.
(2) ∀x ∈ R, ∀n, m ∈ N, (xn)m = xn·m.Prova: exercício!
Aula 13 Pré-Cálculo 51
Funções da forma f (x) = xn, com n ∈ N
f : R → Rx 7→ y = f (x) = xn
Importante: se n ∈ N, xn é uma notação para x · x · · · · · x︸ ︷︷ ︸n fatores
.
Propriedades:(1) ∀x ∈ R, ∀n, m ∈ N, xn · xm = xn+m.
Prova:xn · xm = x · x · · · · · x︸ ︷︷ ︸
n fatores
· x · x · · · · · x︸ ︷︷ ︸m fatores
= x · x · · · · · x︸ ︷︷ ︸n+m fatores
= xn+m.
(2) ∀x ∈ R, ∀n, m ∈ N, (xn)m = xn·m.Prova: exercício!
Aula 13 Pré-Cálculo 52
Funções da forma f (x) = xn, com n ∈ N
f : R → Rx 7→ y = f (x) = xn
Importante: se n ∈ N, xn é uma notação para x · x · · · · · x︸ ︷︷ ︸n fatores
.
Propriedades:(1) ∀x ∈ R, ∀n, m ∈ N, xn · xm = xn+m.
Prova:xn · xm = x · x · · · · · x︸ ︷︷ ︸
n fatores
· x · x · · · · · x︸ ︷︷ ︸m fatores
= x · x · · · · · x︸ ︷︷ ︸n+m fatores
= xn+m.
(2) ∀x ∈ R, ∀n, m ∈ N, (xn)m = xn·m.Prova: exercício!
Aula 13 Pré-Cálculo 53
Funções da forma f (x) = xn, com n ∈ N
f : R → Rx 7→ y = f (x) = xn , com n um número par.
(1) A função f é par.
(2) A função f é crescente em [0, +∞).Prova: use a identidade
an − bn = (a− b)(an−1 + an−2b + · · ·+ abn−2 + bn−1).
(3) A imagem de f é o intervalo [0, +∞). Prova: será feita nadisciplina de cálculo.
Aula 13 Pré-Cálculo 54
Funções da forma f (x) = xn, com n ∈ N
f : R → Rx 7→ y = f (x) = xn , com n um número par.
(1) A função f é par.
(2) A função f é crescente em [0, +∞).Prova: use a identidade
an − bn = (a− b)(an−1 + an−2b + · · ·+ abn−2 + bn−1).
(3) A imagem de f é o intervalo [0, +∞). Prova: será feita nadisciplina de cálculo.
Aula 13 Pré-Cálculo 55
Funções da forma f (x) = xn, com n ∈ N
f : R → Rx 7→ y = f (x) = xn , com n um número par.
(1) A função f é par.
(2) A função f é crescente em [0, +∞).Prova: use a identidade
an − bn = (a− b)(an−1 + an−2b + · · ·+ abn−2 + bn−1).
(3) A imagem de f é o intervalo [0, +∞). Prova: será feita nadisciplina de cálculo.
Aula 13 Pré-Cálculo 56
Funções da forma f (x) = xn, com n ∈ N
f : R → Rx 7→ y = f (x) = xn , com n um número par.
(1) A função f é par.
(2) A função f é crescente em [0, +∞).Prova: use a identidade
an − bn = (a− b)(an−1 + an−2b + · · ·+ abn−2 + bn−1).
(3) A imagem de f é o intervalo [0, +∞). Prova: será feita nadisciplina de cálculo.
Aula 13 Pré-Cálculo 57
Funções da forma f (x) = xn, com n ∈ N
f : R → Rx 7→ y = f (x) = xn , com n um número par.
(1) A função f é par.
(2) A função f é crescente em [0, +∞).Prova: use a identidade
an − bn = (a− b)(an−1 + an−2b + · · ·+ abn−2 + bn−1).
(3) A imagem de f é o intervalo [0, +∞). Prova: será feita nadisciplina de cálculo.
Aula 13 Pré-Cálculo 58
Funções da forma f (x) = xn, com n ∈ N
f : R → Rx 7→ y = f (x) = xn , com n um número par.
(1) A função f é par.
(2) A função f é crescente em [0, +∞).Prova: use a identidade
an − bn = (a− b)(an−1 + an−2b + · · ·+ abn−2 + bn−1).
(3) A imagem de f é o intervalo [0, +∞). Prova: será feita nadisciplina de cálculo.
Aula 13 Pré-Cálculo 59
Funções da forma f (x) = xn, com n ∈ N
f : R → Rx 7→ y = f (x) = xn , com n um número ímpar.
(1) A função f é ímpar.
(2) A função f é crescente em R = (−∞, +∞).Prova: use a identidade
an − bn = (a− b)(an−1 + an−2b + · · ·+ abn−2 + bn−1).
(3) A imagem de f é R = (−∞, +∞). Prova: será feita nadisciplina de cálculo.
Aula 13 Pré-Cálculo 60
Funções da forma f (x) = xn, com n ∈ N
f : R → Rx 7→ y = f (x) = xn , com n um número ímpar.
(1) A função f é ímpar.
(2) A função f é crescente em R = (−∞, +∞).Prova: use a identidade
an − bn = (a− b)(an−1 + an−2b + · · ·+ abn−2 + bn−1).
(3) A imagem de f é R = (−∞, +∞). Prova: será feita nadisciplina de cálculo.
Aula 13 Pré-Cálculo 61
Funções da forma f (x) = xn, com n ∈ N
f : R → Rx 7→ y = f (x) = xn , com n um número ímpar.
(1) A função f é ímpar.
(2) A função f é crescente em R = (−∞, +∞).Prova: use a identidade
an − bn = (a− b)(an−1 + an−2b + · · ·+ abn−2 + bn−1).
(3) A imagem de f é R = (−∞, +∞). Prova: será feita nadisciplina de cálculo.
Aula 13 Pré-Cálculo 62
Funções da forma f (x) = xn, com n ∈ N
f : R → Rx 7→ y = f (x) = xn , com n um número ímpar.
(1) A função f é ímpar.
(2) A função f é crescente em R = (−∞, +∞).Prova: use a identidade
an − bn = (a− b)(an−1 + an−2b + · · ·+ abn−2 + bn−1).
(3) A imagem de f é R = (−∞, +∞). Prova: será feita nadisciplina de cálculo.
Aula 13 Pré-Cálculo 63
Funções da forma f (x) = xn, com n ∈ N
f : R → Rx 7→ y = f (x) = xn , com n um número ímpar.
(1) A função f é ímpar.
(2) A função f é crescente em R = (−∞, +∞).Prova: use a identidade
an − bn = (a− b)(an−1 + an−2b + · · ·+ abn−2 + bn−1).
(3) A imagem de f é R = (−∞, +∞). Prova: será feita nadisciplina de cálculo.
Aula 13 Pré-Cálculo 64
Funções da forma f (x) = xn, com n ∈ N
f : R → Rx 7→ y = f (x) = xn , com n um número ímpar.
(1) A função f é ímpar.
(2) A função f é crescente em R = (−∞, +∞).Prova: use a identidade
an − bn = (a− b)(an−1 + an−2b + · · ·+ abn−2 + bn−1).
(3) A imagem de f é R = (−∞, +∞). Prova: será feita nadisciplina de cálculo.
Aula 13 Pré-Cálculo 65
Proposição
Seja f : R→ R definida por
y = f (x) = xn, com n ∈ N.
(a) Se 0 < x < 1, então xn+1 < xn.(b) Se x > 1, então xn+1 > xn.
Demonstração. Se 0 < x < 1, então 0 · x < x · x < 1 · x , isto é,0 < x2 < x . Agora, se 0 < x2 < x , então 0 · x < x2 · x < x · x ,isto é, 0 < x3 < x2. Prosseguindo com este raciocínio, concluímosque 0 < xn+1 < xn, para todo n ∈ N. Isto demonstra a parte (a). Aparte (b) fica como exercício.
Aula 13 Pré-Cálculo 66
Proposição
Seja f : R→ R definida por
y = f (x) = xn, com n ∈ N.
(a) Se 0 < x < 1, então xn+1 < xn.(b) Se x > 1, então xn+1 > xn.
Demonstração. Se 0 < x < 1, então 0 · x < x · x < 1 · x , isto é,0 < x2 < x . Agora, se 0 < x2 < x , então 0 · x < x2 · x < x · x ,isto é, 0 < x3 < x2. Prosseguindo com este raciocínio, concluímosque 0 < xn+1 < xn, para todo n ∈ N. Isto demonstra a parte (a). Aparte (b) fica como exercício.
Aula 13 Pré-Cálculo 67
Proposição
Seja f : R→ R definida por
y = f (x) = xn, com n ∈ N.
(a) Se 0 < x < 1, então xn+1 < xn.(b) Se x > 1, então xn+1 > xn.
Demonstração. Se 0 < x < 1, então 0 · x < x · x < 1 · x , isto é,0 < x2 < x . Agora, se 0 < x2 < x , então 0 · x < x2 · x < x · x ,isto é, 0 < x3 < x2. Prosseguindo com este raciocínio, concluímosque 0 < xn+1 < xn, para todo n ∈ N. Isto demonstra a parte (a). Aparte (b) fica como exercício.
Aula 13 Pré-Cálculo 68
Proposição
Seja f : R→ R definida por
y = f (x) = xn, com n ∈ N.
(a) Se 0 < x < 1, então xn+1 < xn.(b) Se x > 1, então xn+1 > xn.
Demonstração. Se 0 < x < 1, então 0 · x < x · x < 1 · x , isto é,0 < x2 < x . Agora, se 0 < x2 < x , então 0 · x < x2 · x < x · x ,isto é, 0 < x3 < x2. Prosseguindo com este raciocínio, concluímosque 0 < xn+1 < xn, para todo n ∈ N. Isto demonstra a parte (a). Aparte (b) fica como exercício.
Aula 13 Pré-Cálculo 69
Proposição
Seja f : R→ R definida por
y = f (x) = xn, com n ∈ N.
(a) Se 0 < x < 1, então xn+1 < xn.(b) Se x > 1, então xn+1 > xn.
Demonstração. Se 0 < x < 1, então 0 · x < x · x < 1 · x , isto é,0 < x2 < x . Agora, se 0 < x2 < x , então 0 · x < x2 · x < x · x ,isto é, 0 < x3 < x2. Prosseguindo com este raciocínio, concluímosque 0 < xn+1 < xn, para todo n ∈ N. Isto demonstra a parte (a). Aparte (b) fica como exercício.
Aula 13 Pré-Cálculo 70
Proposição
Seja f : R→ R definida por
y = f (x) = xn, com n ∈ N.
(a) Se 0 < x < 1, então xn+1 < xn.(b) Se x > 1, então xn+1 > xn.
Demonstração. Se 0 < x < 1, então 0 · x < x · x < 1 · x , isto é,0 < x2 < x . Agora, se 0 < x2 < x , então 0 · x < x2 · x < x · x ,isto é, 0 < x3 < x2. Prosseguindo com este raciocínio, concluímosque 0 < xn+1 < xn, para todo n ∈ N. Isto demonstra a parte (a). Aparte (b) fica como exercício.
Aula 13 Pré-Cálculo 71
Proposição
Seja f : R→ R definida por
y = f (x) = xn, com n ∈ N.
(a) Se 0 < x < 1, então xn+1 < xn.(b) Se x > 1, então xn+1 > xn.
Demonstração. Se 0 < x < 1, então 0 · x < x · x < 1 · x , isto é,0 < x2 < x . Agora, se 0 < x2 < x , então 0 · x < x2 · x < x · x ,isto é, 0 < x3 < x2. Prosseguindo com este raciocínio, concluímosque 0 < xn+1 < xn, para todo n ∈ N. Isto demonstra a parte (a). Aparte (b) fica como exercício.
Aula 13 Pré-Cálculo 72
Proposição
Seja f : R→ R definida por
y = f (x) = xn, com n ∈ N.
(a) Se 0 < x < 1, então xn+1 < xn.(b) Se x > 1, então xn+1 > xn.
Demonstração. Se 0 < x < 1, então 0 · x < x · x < 1 · x , isto é,0 < x2 < x . Agora, se 0 < x2 < x , então 0 · x < x2 · x < x · x ,isto é, 0 < x3 < x2. Prosseguindo com este raciocínio, concluímosque 0 < xn+1 < xn, para todo n ∈ N. Isto demonstra a parte (a). Aparte (b) fica como exercício.
Aula 13 Pré-Cálculo 73
Proposição
Seja f : R→ R definida por
y = f (x) = xn, com n ∈ N.
(a) Se 0 < x < 1, então xn+1 < xn.(b) Se x > 1, então xn+1 > xn.
Demonstração. Se 0 < x < 1, então 0 · x < x · x < 1 · x , isto é,0 < x2 < x . Agora, se 0 < x2 < x , então 0 · x < x2 · x < x · x ,isto é, 0 < x3 < x2. Prosseguindo com este raciocínio, concluímosque 0 < xn+1 < xn, para todo n ∈ N. Isto demonstra a parte (a). Aparte (b) fica como exercício.
Aula 13 Pré-Cálculo 74
Proposição
Seja f : R→ R definida por
y = f (x) = xn, com n ∈ N.
(a) Se 0 < x < 1, então xn+1 < xn.(b) Se x > 1, então xn+1 > xn.
Demonstração. Se 0 < x < 1, então 0 · x < x · x < 1 · x , isto é,0 < x2 < x . Agora, se 0 < x2 < x , então 0 · x < x2 · x < x · x ,isto é, 0 < x3 < x2. Prosseguindo com este raciocínio, concluímosque 0 < xn+1 < xn, para todo n ∈ N. Isto demonstra a parte (a). Aparte (b) fica como exercício.
Aula 13 Pré-Cálculo 75
Proposição
Seja f : R→ R definida por
y = f (x) = xn, com n ∈ N.
(a) Se 0 < x < 1, então xn+1 < xn.(b) Se x > 1, então xn+1 > xn.
Demonstração. Se 0 < x < 1, então 0 · x < x · x < 1 · x , isto é,0 < x2 < x . Agora, se 0 < x2 < x , então 0 · x < x2 · x < x · x ,isto é, 0 < x3 < x2. Prosseguindo com este raciocínio, concluímosque 0 < xn+1 < xn, para todo n ∈ N. Isto demonstra a parte (a). Aparte (b) fica como exercício.
Aula 13 Pré-Cálculo 76
Proposição
Seja f : R→ R definida por
y = f (x) = xn, com n ∈ N.
(a) Se 0 < x < 1, então xn+1 < xn.(b) Se x > 1, então xn+1 > xn.
Demonstração. Se 0 < x < 1, então 0 · x < x · x < 1 · x , isto é,0 < x2 < x . Agora, se 0 < x2 < x , então 0 · x < x2 · x < x · x ,isto é, 0 < x3 < x2. Prosseguindo com este raciocínio, concluímosque 0 < xn+1 < xn, para todo n ∈ N. Isto demonstra a parte (a). Aparte (b) fica como exercício.
Aula 13 Pré-Cálculo 77
Proposição
Seja f : R→ R definida por
y = f (x) = xn, com n ∈ N.
(a) Se 0 < x < 1, então xn+1 < xn.(b) Se x > 1, então xn+1 > xn.
Demonstração. Se 0 < x < 1, então 0 · x < x · x < 1 · x , isto é,0 < x2 < x . Agora, se 0 < x2 < x , então 0 · x < x2 · x < x · x ,isto é, 0 < x3 < x2. Prosseguindo com este raciocínio, concluímosque 0 < xn+1 < xn, para todo n ∈ N. Isto demonstra a parte (a). Aparte (b) fica como exercício.
Aula 13 Pré-Cálculo 78
Proposição
Seja f : R→ R definida por
y = f (x) = xn, com n ∈ N.
(a) Se 0 < x < 1, então xn+1 < xn.(b) Se x > 1, então xn+1 > xn.
Demonstração. Se 0 < x < 1, então 0 · x < x · x < 1 · x , isto é,0 < x2 < x . Agora, se 0 < x2 < x , então 0 · x < x2 · x < x · x ,isto é, 0 < x3 < x2. Prosseguindo com este raciocínio, concluímosque 0 < xn+1 < xn, para todo n ∈ N. Isto demonstra a parte (a). Aparte (b) fica como exercício.
Aula 13 Pré-Cálculo 79
Revisão: funções da forma x elevado a n
Aula 13 Pré-Cálculo 80
A função raiz n-ésima
Aula 13 Pré-Cálculo 81
A função raiz n-ésima: caso n par
f : [0, +∞) → [0, +∞)x 7→ y = f (x) = xn , com n par.
Já demonstramos que f : [0, +∞)→ [0, +∞) é injetiva.
Já mencionamos que f : [0, +∞) → [0, +∞) é sobrejetiva (a prova destefato requer ferramentas de análise).
Logo f : [0, +∞)→ [0, +∞) é bijetiva e, portanto, inversível.
A função inversa f−1 de f é denominada função raiz n-ésima. Usaremosas notações
n√
x e x1/n
para representarf−1(x).
Note então que, se n é par e a ≥ 0, então n√
a é o único número real ≥ 0que, elevado a n, dá o número real a.
Aula 13 Pré-Cálculo 82
A função raiz n-ésima: caso n par
f : [0, +∞) → [0, +∞)x 7→ y = f (x) = xn , com n par.
Já demonstramos que f : [0, +∞)→ [0, +∞) é injetiva.
Já mencionamos que f : [0, +∞) → [0, +∞) é sobrejetiva (a prova destefato requer ferramentas de análise).
Logo f : [0, +∞)→ [0, +∞) é bijetiva e, portanto, inversível.
A função inversa f−1 de f é denominada função raiz n-ésima. Usaremosas notações
n√
x e x1/n
para representarf−1(x).
Note então que, se n é par e a ≥ 0, então n√
a é o único número real ≥ 0que, elevado a n, dá o número real a.
Aula 13 Pré-Cálculo 83
A função raiz n-ésima: caso n par
f : [0, +∞) → [0, +∞)x 7→ y = f (x) = xn , com n par.
Já demonstramos que f : [0, +∞)→ [0, +∞) é injetiva.
Já mencionamos que f : [0, +∞) → [0, +∞) é sobrejetiva (a prova destefato requer ferramentas de análise).
Logo f : [0, +∞)→ [0, +∞) é bijetiva e, portanto, inversível.
A função inversa f−1 de f é denominada função raiz n-ésima. Usaremosas notações
n√
x e x1/n
para representarf−1(x).
Note então que, se n é par e a ≥ 0, então n√
a é o único número real ≥ 0que, elevado a n, dá o número real a.
Aula 13 Pré-Cálculo 84
A função raiz n-ésima: caso n par
f : [0, +∞) → [0, +∞)x 7→ y = f (x) = xn , com n par.
Já demonstramos que f : [0, +∞)→ [0, +∞) é injetiva.
Já mencionamos que f : [0, +∞) → [0, +∞) é sobrejetiva (a prova destefato requer ferramentas de análise).
Logo f : [0, +∞)→ [0, +∞) é bijetiva e, portanto, inversível.
A função inversa f−1 de f é denominada função raiz n-ésima. Usaremosas notações
n√
x e x1/n
para representarf−1(x).
Note então que, se n é par e a ≥ 0, então n√
a é o único número real ≥ 0que, elevado a n, dá o número real a.
Aula 13 Pré-Cálculo 85
A função raiz n-ésima: caso n par
f : [0, +∞) → [0, +∞)x 7→ y = f (x) = xn , com n par.
Já demonstramos que f : [0, +∞)→ [0, +∞) é injetiva.
Já mencionamos que f : [0, +∞) → [0, +∞) é sobrejetiva (a prova destefato requer ferramentas de análise).
Logo f : [0, +∞)→ [0, +∞) é bijetiva e, portanto, inversível.
A função inversa f−1 de f é denominada função raiz n-ésima. Usaremosas notações
n√
x e x1/n
para representarf−1(x).
Note então que, se n é par e a ≥ 0, então n√
a é o único número real ≥ 0que, elevado a n, dá o número real a.
Aula 13 Pré-Cálculo 86
A função raiz n-ésima: caso n par
f : [0, +∞) → [0, +∞)x 7→ y = f (x) = xn , com n par.
Já demonstramos que f : [0, +∞)→ [0, +∞) é injetiva.
Já mencionamos que f : [0, +∞) → [0, +∞) é sobrejetiva (a prova destefato requer ferramentas de análise).
Logo f : [0, +∞)→ [0, +∞) é bijetiva e, portanto, inversível.
A função inversa f−1 de f é denominada função raiz n-ésima. Usaremosas notações
n√
x e x1/n
para representarf−1(x).
Note então que, se n é par e a ≥ 0, então n√
a é o único número real ≥ 0que, elevado a n, dá o número real a.
Aula 13 Pré-Cálculo 87
A função raiz n-ésima: caso n par
f : [0, +∞) → [0, +∞)x 7→ y = f (x) = xn , com n par.
Já demonstramos que f : [0, +∞)→ [0, +∞) é injetiva.
Já mencionamos que f : [0, +∞) → [0, +∞) é sobrejetiva (a prova destefato requer ferramentas de análise).
Logo f : [0, +∞)→ [0, +∞) é bijetiva e, portanto, inversível.
A função inversa f−1 de f é denominada função raiz n-ésima. Usaremosas notações
n√
x e x1/n
para representarf−1(x).
Note então que, se n é par e a ≥ 0, então n√
a é o único número real ≥ 0que, elevado a n, dá o número real a.
Aula 13 Pré-Cálculo 88
A função raiz n-ésima: caso n par
f : [0, +∞) → [0, +∞)x 7→ y = f (x) = xn , com n par.
Já demonstramos que f : [0, +∞)→ [0, +∞) é injetiva.
Já mencionamos que f : [0, +∞) → [0, +∞) é sobrejetiva (a prova destefato requer ferramentas de análise).
Logo f : [0, +∞)→ [0, +∞) é bijetiva e, portanto, inversível.
A função inversa f−1 de f é denominada função raiz n-ésima. Usaremosas notações
n√
x e x1/n
para representarf−1(x).
Note então que, se n é par e a ≥ 0, então n√
a é o único número real ≥ 0que, elevado a n, dá o número real a.
Aula 13 Pré-Cálculo 89
A função raiz n-ésima: caso n par
f : [0, +∞) → [0, +∞)x 7→ y = f (x) = xn , com n par.
Já demonstramos que f : [0, +∞)→ [0, +∞) é injetiva.
Já mencionamos que f : [0, +∞) → [0, +∞) é sobrejetiva (a prova destefato requer ferramentas de análise).
Logo f : [0, +∞)→ [0, +∞) é bijetiva e, portanto, inversível.
A função inversa f−1 de f é denominada função raiz n-ésima. Usaremosas notações
n√
x e x1/n
para representarf−1(x).
Note então que, se n é par e a ≥ 0, então n√
a é o único número real ≥ 0que, elevado a n, dá o número real a.
Aula 13 Pré-Cálculo 90
A função raiz n-ésima: caso n par
f : [0, +∞) → [0, +∞)x 7→ y = f (x) = xn , com n par.
Já demonstramos que f : [0, +∞)→ [0, +∞) é injetiva.
Já mencionamos que f : [0, +∞) → [0, +∞) é sobrejetiva (a prova destefato requer ferramentas de análise).
Logo f : [0, +∞)→ [0, +∞) é bijetiva e, portanto, inversível.
A função inversa f−1 de f é denominada função raiz n-ésima. Usaremosas notações
n√
x e x1/n
para representarf−1(x).
Note então que, se n é par e a ≥ 0, então n√
a é o único número real ≥ 0que, elevado a n, dá o número real a.
Aula 13 Pré-Cálculo 91
A função raiz n-ésima: caso n par
f : [0, +∞) → [0, +∞)x 7→ y = f (x) = xn , com n par.
Já demonstramos que f : [0, +∞)→ [0, +∞) é injetiva.
Já mencionamos que f : [0, +∞) → [0, +∞) é sobrejetiva (a prova destefato requer ferramentas de análise).
Logo f : [0, +∞)→ [0, +∞) é bijetiva e, portanto, inversível.
A função inversa f−1 de f é denominada função raiz n-ésima. Usaremosas notações
n√
x e x1/n
para representarf−1(x).
Note então que, se n é par e a ≥ 0, então n√
a é o único número real ≥ 0que, elevado a n, dá o número real a.
Aula 13 Pré-Cálculo 92
A função raiz n-ésima: caso n ímpar
f : (−∞, +∞) → (−∞, +∞)x 7→ y = f (x) = xn , com n ímpar.
Já demonstramos que f : (−∞, +∞)→ (−∞, +∞) é injetiva.
Já mencionamos que f : (−∞, +∞) → (−∞, +∞) é sobrejetiva (a provadeste fato requer ferramentas de análise).
Logo f : (−∞, +∞)→ (−∞, +∞) é bijetiva e, portanto, inversível.
A função inversa f−1 de f é denominada função raiz n-ésima. Usaremosas notações
n√
x e x1/n
para representarf−1(x).
Note então que, se n é ímpar e a ∈ R, então n√
a é o único número realque, elevado a n, dá o número real a.
Aula 13 Pré-Cálculo 93
A função raiz n-ésima: caso n ímpar
f : (−∞, +∞) → (−∞, +∞)x 7→ y = f (x) = xn , com n ímpar.
Já demonstramos que f : (−∞, +∞)→ (−∞, +∞) é injetiva.
Já mencionamos que f : (−∞, +∞) → (−∞, +∞) é sobrejetiva (a provadeste fato requer ferramentas de análise).
Logo f : (−∞, +∞)→ (−∞, +∞) é bijetiva e, portanto, inversível.
A função inversa f−1 de f é denominada função raiz n-ésima. Usaremosas notações
n√
x e x1/n
para representarf−1(x).
Note então que, se n é ímpar e a ∈ R, então n√
a é o único número realque, elevado a n, dá o número real a.
Aula 13 Pré-Cálculo 94
A função raiz n-ésima: caso n ímpar
f : (−∞, +∞) → (−∞, +∞)x 7→ y = f (x) = xn , com n ímpar.
Já demonstramos que f : (−∞, +∞)→ (−∞, +∞) é injetiva.
Já mencionamos que f : (−∞, +∞) → (−∞, +∞) é sobrejetiva (a provadeste fato requer ferramentas de análise).
Logo f : (−∞, +∞)→ (−∞, +∞) é bijetiva e, portanto, inversível.
A função inversa f−1 de f é denominada função raiz n-ésima. Usaremosas notações
n√
x e x1/n
para representarf−1(x).
Note então que, se n é ímpar e a ∈ R, então n√
a é o único número realque, elevado a n, dá o número real a.
Aula 13 Pré-Cálculo 95
A função raiz n-ésima: caso n ímpar
f : (−∞, +∞) → (−∞, +∞)x 7→ y = f (x) = xn , com n ímpar.
Já demonstramos que f : (−∞, +∞)→ (−∞, +∞) é injetiva.
Já mencionamos que f : (−∞, +∞) → (−∞, +∞) é sobrejetiva (a provadeste fato requer ferramentas de análise).
Logo f : (−∞, +∞)→ (−∞, +∞) é bijetiva e, portanto, inversível.
A função inversa f−1 de f é denominada função raiz n-ésima. Usaremosas notações
n√
x e x1/n
para representarf−1(x).
Note então que, se n é ímpar e a ∈ R, então n√
a é o único número realque, elevado a n, dá o número real a.
Aula 13 Pré-Cálculo 96
A função raiz n-ésima: caso n ímpar
f : (−∞, +∞) → (−∞, +∞)x 7→ y = f (x) = xn , com n ímpar.
Já demonstramos que f : (−∞, +∞)→ (−∞, +∞) é injetiva.
Já mencionamos que f : (−∞, +∞) → (−∞, +∞) é sobrejetiva (a provadeste fato requer ferramentas de análise).
Logo f : (−∞, +∞)→ (−∞, +∞) é bijetiva e, portanto, inversível.
A função inversa f−1 de f é denominada função raiz n-ésima. Usaremosas notações
n√
x e x1/n
para representarf−1(x).
Note então que, se n é ímpar e a ∈ R, então n√
a é o único número realque, elevado a n, dá o número real a.
Aula 13 Pré-Cálculo 97
A função raiz n-ésima: caso n ímpar
f : (−∞, +∞) → (−∞, +∞)x 7→ y = f (x) = xn , com n ímpar.
Já demonstramos que f : (−∞, +∞)→ (−∞, +∞) é injetiva.
Já mencionamos que f : (−∞, +∞) → (−∞, +∞) é sobrejetiva (a provadeste fato requer ferramentas de análise).
Logo f : (−∞, +∞)→ (−∞, +∞) é bijetiva e, portanto, inversível.
A função inversa f−1 de f é denominada função raiz n-ésima. Usaremosas notações
n√
x e x1/n
para representarf−1(x).
Note então que, se n é ímpar e a ∈ R, então n√
a é o único número realque, elevado a n, dá o número real a.
Aula 13 Pré-Cálculo 98
A função raiz n-ésima: caso n ímpar
f : (−∞, +∞) → (−∞, +∞)x 7→ y = f (x) = xn , com n ímpar.
Já demonstramos que f : (−∞, +∞)→ (−∞, +∞) é injetiva.
Já mencionamos que f : (−∞, +∞) → (−∞, +∞) é sobrejetiva (a provadeste fato requer ferramentas de análise).
Logo f : (−∞, +∞)→ (−∞, +∞) é bijetiva e, portanto, inversível.
A função inversa f−1 de f é denominada função raiz n-ésima. Usaremosas notações
n√
x e x1/n
para representarf−1(x).
Note então que, se n é ímpar e a ∈ R, então n√
a é o único número realque, elevado a n, dá o número real a.
Aula 13 Pré-Cálculo 99
A função raiz n-ésima: caso n ímpar
f : (−∞, +∞) → (−∞, +∞)x 7→ y = f (x) = xn , com n ímpar.
Já demonstramos que f : (−∞, +∞)→ (−∞, +∞) é injetiva.
Já mencionamos que f : (−∞, +∞) → (−∞, +∞) é sobrejetiva (a provadeste fato requer ferramentas de análise).
Logo f : (−∞, +∞)→ (−∞, +∞) é bijetiva e, portanto, inversível.
A função inversa f−1 de f é denominada função raiz n-ésima. Usaremosas notações
n√
x e x1/n
para representarf−1(x).
Note então que, se n é ímpar e a ∈ R, então n√
a é o único número realque, elevado a n, dá o número real a.
Aula 13 Pré-Cálculo 100
A função raiz n-ésima: caso n ímpar
f : (−∞, +∞) → (−∞, +∞)x 7→ y = f (x) = xn , com n ímpar.
Já demonstramos que f : (−∞, +∞)→ (−∞, +∞) é injetiva.
Já mencionamos que f : (−∞, +∞) → (−∞, +∞) é sobrejetiva (a provadeste fato requer ferramentas de análise).
Logo f : (−∞, +∞)→ (−∞, +∞) é bijetiva e, portanto, inversível.
A função inversa f−1 de f é denominada função raiz n-ésima. Usaremosas notações
n√
x e x1/n
para representarf−1(x).
Note então que, se n é ímpar e a ∈ R, então n√
a é o único número realque, elevado a n, dá o número real a.
Aula 13 Pré-Cálculo 101
A função raiz n-ésima: caso n ímpar
f : (−∞, +∞) → (−∞, +∞)x 7→ y = f (x) = xn , com n ímpar.
Já demonstramos que f : (−∞, +∞)→ (−∞, +∞) é injetiva.
Já mencionamos que f : (−∞, +∞) → (−∞, +∞) é sobrejetiva (a provadeste fato requer ferramentas de análise).
Logo f : (−∞, +∞)→ (−∞, +∞) é bijetiva e, portanto, inversível.
A função inversa f−1 de f é denominada função raiz n-ésima. Usaremosas notações
n√
x e x1/n
para representarf−1(x).
Note então que, se n é ímpar e a ∈ R, então n√
a é o único número realque, elevado a n, dá o número real a.
Aula 13 Pré-Cálculo 102
A função raiz n-ésima: caso n ímpar
f : (−∞, +∞) → (−∞, +∞)x 7→ y = f (x) = xn , com n ímpar.
Já demonstramos que f : (−∞, +∞)→ (−∞, +∞) é injetiva.
Já mencionamos que f : (−∞, +∞) → (−∞, +∞) é sobrejetiva (a provadeste fato requer ferramentas de análise).
Logo f : (−∞, +∞)→ (−∞, +∞) é bijetiva e, portanto, inversível.
A função inversa f−1 de f é denominada função raiz n-ésima. Usaremosas notações
n√
x e x1/n
para representarf−1(x).
Note então que, se n é ímpar e a ∈ R, então n√
a é o único número realque, elevado a n, dá o número real a.
Aula 13 Pré-Cálculo 103
A função raiz n-ésima
(Ir para o GeoGebra)
Aula 13 Pré-Cálculo 104
Cuidado!
Se n é par,o domínio de f (x) = n
√x = x1/n é [0, +∞).
Se n é ímpar,o domínio de f (x) = n
√x = x1/n é R.
Aula 13 Pré-Cálculo 105
Cuidado!
Se n é par,o domínio de f (x) = n
√x = x1/n é [0, +∞).
Se n é ímpar,o domínio de f (x) = n
√x = x1/n é R.
Aula 13 Pré-Cálculo 106
Cuidado!
Se n é par,o domínio de f (x) = n
√x = x1/n é [0, +∞).
Se n é ímpar,o domínio de f (x) = n
√x = x1/n é R.
Aula 13 Pré-Cálculo 107
Propriedades da função raiz n-ésima para n par
Se n é par, ∀a ∈ R,n√
an = |a|.
Se n é par, ∀a, b ≥ 0,n√
a · b = n√
a · n√
b e ∀a, b ≤ 0,n√
a · b = n√−a · n√−b.
Se n é par, ∀a ≥ 0,∀b > 0, n
√ab
=n√
an√
be ∀a ≤ 0,∀b < 0, n
√ab
=n√−a
n√−b
.
A função raiz n-ésima é crescente (n par): ∀a, b ≥ 0, a < b ⇒ n√
a <n√
b.
Se n é par, ∀a, b ≥ 0,n√
a + b ≤ n√
a +n√
b.
Aula 13 Pré-Cálculo 108
Propriedades da função raiz n-ésima para n par
Se n é par, ∀a ∈ R,n√
an = |a|.
Se n é par, ∀a, b ≥ 0,n√
a · b = n√
a · n√
b e ∀a, b ≤ 0,n√
a · b = n√−a · n√−b.
Se n é par, ∀a ≥ 0,∀b > 0, n
√ab
=n√
an√
be ∀a ≤ 0,∀b < 0, n
√ab
=n√−a
n√−b
.
A função raiz n-ésima é crescente (n par): ∀a, b ≥ 0, a < b ⇒ n√
a <n√
b.
Se n é par, ∀a, b ≥ 0,n√
a + b ≤ n√
a +n√
b.
Aula 13 Pré-Cálculo 109
Propriedades da função raiz n-ésima para n par
Se n é par, ∀a ∈ R,n√
an = |a|.
Se n é par, ∀a, b ≥ 0,n√
a · b = n√
a · n√
b e ∀a, b ≤ 0,n√
a · b = n√−a · n√−b.
Se n é par, ∀a ≥ 0,∀b > 0, n
√ab
=n√
an√
be ∀a ≤ 0,∀b < 0, n
√ab
=n√−a
n√−b
.
A função raiz n-ésima é crescente (n par): ∀a, b ≥ 0, a < b ⇒ n√
a <n√
b.
Se n é par, ∀a, b ≥ 0,n√
a + b ≤ n√
a +n√
b.
Aula 13 Pré-Cálculo 110
Propriedades da função raiz n-ésima para n par
Se n é par, ∀a ∈ R,n√
an = |a|.
Se n é par, ∀a, b ≥ 0,n√
a · b = n√
a · n√
b e ∀a, b ≤ 0,n√
a · b = n√−a · n√−b.
Se n é par, ∀a ≥ 0,∀b > 0, n
√ab
=n√
an√
be ∀a ≤ 0,∀b < 0, n
√ab
=n√−a
n√−b
.
A função raiz n-ésima é crescente (n par): ∀a, b ≥ 0, a < b ⇒ n√
a <n√
b.
Se n é par, ∀a, b ≥ 0,n√
a + b ≤ n√
a +n√
b.
Aula 13 Pré-Cálculo 111
Propriedades da função raiz n-ésima para n par
Se n é par, ∀a ∈ R,n√
an = |a|.
Se n é par, ∀a, b ≥ 0,n√
a · b = n√
a · n√
b e ∀a, b ≤ 0,n√
a · b = n√−a · n√−b.
Se n é par, ∀a ≥ 0,∀b > 0, n
√ab
=n√
an√
be ∀a ≤ 0,∀b < 0, n
√ab
=n√−a
n√−b
.
A função raiz n-ésima é crescente (n par): ∀a, b ≥ 0, a < b ⇒ n√
a <n√
b.
Se n é par, ∀a, b ≥ 0,n√
a + b ≤ n√
a +n√
b.
Aula 13 Pré-Cálculo 112
Propriedades da função raiz n-ésima para n par
Se n é par, ∀a ∈ R,n√
an = |a|.
Se n é par, ∀a, b ≥ 0,n√
a · b = n√
a · n√
b e ∀a, b ≤ 0,n√
a · b = n√−a · n√−b.
Se n é par, ∀a ≥ 0,∀b > 0, n
√ab
=n√
an√
be ∀a ≤ 0,∀b < 0, n
√ab
=n√−a
n√−b
.
A função raiz n-ésima é crescente (n par): ∀a, b ≥ 0, a < b ⇒ n√
a <n√
b.
Se n é par, ∀a, b ≥ 0,n√
a + b ≤ n√
a +n√
b.
Aula 13 Pré-Cálculo 113
Propriedades da função raiz n-ésima para n ímpar
Se n é ímpar, ∀a ∈ R,n√
an = a.
Se n é ímpar, ∀a, b ∈ R,n√
a · b = n√
a · n√
b.
Se n é ímpar, ∀a ∈ R, ∀b ∈ R− {0}, n
√ab
=n√
an√
b.
A função raiz n-ésima é crescente (n ímpar): ∀a, b ∈ R, a < b ⇒ n√
a <n√
b.
Se n é ímpar, ∀a, b ≥ 0,n√
a + b ≤ n√
a +n√
b.
Aula 13 Pré-Cálculo 114
Propriedades da função raiz n-ésima para n ímpar
Se n é ímpar, ∀a ∈ R,n√
an = a.
Se n é ímpar, ∀a, b ∈ R,n√
a · b = n√
a · n√
b.
Se n é ímpar, ∀a ∈ R, ∀b ∈ R− {0}, n
√ab
=n√
an√
b.
A função raiz n-ésima é crescente (n ímpar): ∀a, b ∈ R, a < b ⇒ n√
a <n√
b.
Se n é ímpar, ∀a, b ≥ 0,n√
a + b ≤ n√
a +n√
b.
Aula 13 Pré-Cálculo 115
Propriedades da função raiz n-ésima para n ímpar
Se n é ímpar, ∀a ∈ R,n√
an = a.
Se n é ímpar, ∀a, b ∈ R,n√
a · b = n√
a · n√
b.
Se n é ímpar, ∀a ∈ R, ∀b ∈ R− {0}, n
√ab
=n√
an√
b.
A função raiz n-ésima é crescente (n ímpar): ∀a, b ∈ R, a < b ⇒ n√
a <n√
b.
Se n é ímpar, ∀a, b ≥ 0,n√
a + b ≤ n√
a +n√
b.
Aula 13 Pré-Cálculo 116
Propriedades da função raiz n-ésima para n ímpar
Se n é ímpar, ∀a ∈ R,n√
an = a.
Se n é ímpar, ∀a, b ∈ R,n√
a · b = n√
a · n√
b.
Se n é ímpar, ∀a ∈ R, ∀b ∈ R− {0}, n
√ab
=n√
an√
b.
A função raiz n-ésima é crescente (n ímpar): ∀a, b ∈ R, a < b ⇒ n√
a <n√
b.
Se n é ímpar, ∀a, b ≥ 0,n√
a + b ≤ n√
a +n√
b.
Aula 13 Pré-Cálculo 117
Propriedades da função raiz n-ésima para n ímpar
Se n é ímpar, ∀a ∈ R,n√
an = a.
Se n é ímpar, ∀a, b ∈ R,n√
a · b = n√
a · n√
b.
Se n é ímpar, ∀a ∈ R, ∀b ∈ R− {0}, n
√ab
=n√
an√
b.
A função raiz n-ésima é crescente (n ímpar): ∀a, b ∈ R, a < b ⇒ n√
a <n√
b.
Se n é ímpar, ∀a, b ≥ 0,n√
a + b ≤ n√
a +n√
b.
Aula 13 Pré-Cálculo 118
Propriedades da função raiz n-ésima para n ímpar
Se n é ímpar, ∀a ∈ R,n√
an = a.
Se n é ímpar, ∀a, b ∈ R,n√
a · b = n√
a · n√
b.
Se n é ímpar, ∀a ∈ R, ∀b ∈ R− {0}, n
√ab
=n√
an√
b.
A função raiz n-ésima é crescente (n ímpar): ∀a, b ∈ R, a < b ⇒ n√
a <n√
b.
Se n é ímpar, ∀a, b ≥ 0,n√
a + b ≤ n√
a +n√
b.
Aula 13 Pré-Cálculo 119
Observações
As demonstrações destas propriedades seguem basicamente as mesmastécnicas usadas na demonstração das propriedades da função raiz quadrada.Elas ficam, portanto, como exercícios. Na última propriedade, a fórmula dobinômio de Newton pode ser útil:
(a + b)n =n∑
i=0
(ni
)an−ibi .
Mesmo para n ímpar, devemos colocar como hipótese que a e b sejammaiores do que ou iguais a zero na desigualdade n
√a + b ≤ n
√a + n
√b
da última propriedade. De fato: se a = −1, b = −1 e n = 3, então3√−1− 1 = − 3
√2 > −2 = 3
√−1 + −3
√−1.
Aula 13 Pré-Cálculo 120
Observações
As demonstrações destas propriedades seguem basicamente as mesmastécnicas usadas na demonstração das propriedades da função raiz quadrada.Elas ficam, portanto, como exercícios. Na última propriedade, a fórmula dobinômio de Newton pode ser útil:
(a + b)n =n∑
i=0
(ni
)an−ibi .
Mesmo para n ímpar, devemos colocar como hipótese que a e b sejammaiores do que ou iguais a zero na desigualdade n
√a + b ≤ n
√a + n
√b
da última propriedade. De fato: se a = −1, b = −1 e n = 3, então3√−1− 1 = − 3
√2 > −2 = 3
√−1 + −3
√−1.
Aula 13 Pré-Cálculo 121
Observações
As demonstrações destas propriedades seguem basicamente as mesmastécnicas usadas na demonstração das propriedades da função raiz quadrada.Elas ficam, portanto, como exercícios. Na última propriedade, a fórmula dobinômio de Newton pode ser útil:
(a + b)n =n∑
i=0
(ni
)an−ibi .
Mesmo para n ímpar, devemos colocar como hipótese que a e b sejammaiores do que ou iguais a zero na desigualdade n
√a + b ≤ n
√a + n
√b
da última propriedade. De fato: se a = −1, b = −1 e n = 3, então3√−1− 1 = − 3
√2 > −2 = 3
√−1 + −3
√−1.
Aula 13 Pré-Cálculo 122
Observações
As demonstrações destas propriedades seguem basicamente as mesmastécnicas usadas na demonstração das propriedades da função raiz quadrada.Elas ficam, portanto, como exercícios. Na última propriedade, a fórmula dobinômio de Newton pode ser útil:
(a + b)n =n∑
i=0
(ni
)an−ibi .
Mesmo para n ímpar, devemos colocar como hipótese que a e b sejammaiores do que ou iguais a zero na desigualdade n
√a + b ≤ n
√a + n
√b
da última propriedade. De fato: se a = −1, b = −1 e n = 3, então3√−1− 1 = − 3
√2 > −2 = 3
√−1 + −3
√−1.
Aula 13 Pré-Cálculo 123
Observações
As demonstrações destas propriedades seguem basicamente as mesmastécnicas usadas na demonstração das propriedades da função raiz quadrada.Elas ficam, portanto, como exercícios. Na última propriedade, a fórmula dobinômio de Newton pode ser útil:
(a + b)n =n∑
i=0
(ni
)an−ibi .
Mesmo para n ímpar, devemos colocar como hipótese que a e b sejammaiores do que ou iguais a zero na desigualdade n
√a + b ≤ n
√a + n
√b
da última propriedade. De fato: se a = −1, b = −1 e n = 3, então3√−1− 1 = − 3
√2 > −2 = 3
√−1 + −3
√−1.
Aula 13 Pré-Cálculo 124
Observações
As demonstrações destas propriedades seguem basicamente as mesmastécnicas usadas na demonstração das propriedades da função raiz quadrada.Elas ficam, portanto, como exercícios. Na última propriedade, a fórmula dobinômio de Newton pode ser útil:
(a + b)n =n∑
i=0
(ni
)an−ibi .
Mesmo para n ímpar, devemos colocar como hipótese que a e b sejammaiores do que ou iguais a zero na desigualdade n
√a + b ≤ n
√a + n
√b
da última propriedade. De fato: se a = −1, b = −1 e n = 3, então3√−1− 1 = − 3
√2 > −2 = 3
√−1 + −3
√−1.
Aula 13 Pré-Cálculo 125
Observações
As demonstrações destas propriedades seguem basicamente as mesmastécnicas usadas na demonstração das propriedades da função raiz quadrada.Elas ficam, portanto, como exercícios. Na última propriedade, a fórmula dobinômio de Newton pode ser útil:
(a + b)n =n∑
i=0
(ni
)an−ibi .
Mesmo para n ímpar, devemos colocar como hipótese que a e b sejammaiores do que ou iguais a zero na desigualdade n
√a + b ≤ n
√a + n
√b
da última propriedade. De fato: se a = −1, b = −1 e n = 3, então3√−1− 1 = − 3
√2 > −2 = 3
√−1 + −3
√−1.
Aula 13 Pré-Cálculo 126
Observações
As demonstrações destas propriedades seguem basicamente as mesmastécnicas usadas na demonstração das propriedades da função raiz quadrada.Elas ficam, portanto, como exercícios. Na última propriedade, a fórmula dobinômio de Newton pode ser útil:
(a + b)n =n∑
i=0
(ni
)an−ibi .
Mesmo para n ímpar, devemos colocar como hipótese que a e b sejammaiores do que ou iguais a zero na desigualdade n
√a + b ≤ n
√a + n
√b
da última propriedade. De fato: se a = −1, b = −1 e n = 3, então3√−1− 1 = − 3
√2 > −2 = 3
√−1 + −3
√−1.
Aula 13 Pré-Cálculo 127
Observações
As demonstrações destas propriedades seguem basicamente as mesmastécnicas usadas na demonstração das propriedades da função raiz quadrada.Elas ficam, portanto, como exercícios. Na última propriedade, a fórmula dobinômio de Newton pode ser útil:
(a + b)n =n∑
i=0
(ni
)an−ibi .
Mesmo para n ímpar, devemos colocar como hipótese que a e b sejammaiores do que ou iguais a zero na desigualdade n
√a + b ≤ n
√a + n
√b
da última propriedade. De fato: se a = −1, b = −1 e n = 3, então3√−1− 1 = − 3
√2 > −2 = 3
√−1 + −3
√−1.
Aula 13 Pré-Cálculo 128
Mais propriedades
Se n é par e m ∈ N, então ∀x ≥ 0, n√
xm = ( n√
x)m.
Se n é ímpar e m ∈ N, então ∀x ∈ R, n√
xm = ( n√
x)m.
Se m é par ou n é par, então ∀x ≥ 0, n√
m√
x = n m√
x .
Se m e n são ímpares, então ∀x ∈ R, n√
m√
x = n m√
x .
Aula 13 Pré-Cálculo 129
Mais propriedades
Se n é par e m ∈ N, então ∀x ≥ 0, n√
xm = ( n√
x)m.
Se n é ímpar e m ∈ N, então ∀x ∈ R, n√
xm = ( n√
x)m.
Se m é par ou n é par, então ∀x ≥ 0, n√
m√
x = n m√
x .
Se m e n são ímpares, então ∀x ∈ R, n√
m√
x = n m√
x .
Aula 13 Pré-Cálculo 130
Mais propriedades
Se n é par e m ∈ N, então ∀x ≥ 0, n√
xm = ( n√
x)m.
Se n é ímpar e m ∈ N, então ∀x ∈ R, n√
xm = ( n√
x)m.
Se m é par ou n é par, então ∀x ≥ 0, n√
m√
x = n m√
x .
Se m e n são ímpares, então ∀x ∈ R, n√
m√
x = n m√
x .
Aula 13 Pré-Cálculo 131
Mais propriedades
Se n é par e m ∈ N, então ∀x ≥ 0, n√
xm = ( n√
x)m.
Se n é ímpar e m ∈ N, então ∀x ∈ R, n√
xm = ( n√
x)m.
Se m é par ou n é par, então ∀x ≥ 0, n√
m√
x = n m√
x .
Se m e n são ímpares, então ∀x ∈ R, n√
m√
x = n m√
x .
Aula 13 Pré-Cálculo 132
Mais propriedades
Se n é par e m ∈ N, então ∀x ≥ 0, n√
xm = ( n√
x)m.
Se n é ímpar e m ∈ N, então ∀x ∈ R, n√
xm = ( n√
x)m.
Se m é par ou n é par, então ∀x ≥ 0, n√
m√
x = n m√
x .
Se m e n são ímpares, então ∀x ∈ R, n√
m√
x = n m√
x .
Aula 13 Pré-Cálculo 133